北师大版七年级数学下册《3.1 认识三角形》习题
《3.1 认识三角形》习题
1、如图，老师让同学们数一数图中所标字母构成的三角形个数时，下面4个学生回答正确的是（ ）
A
B C D E
A .4个
B .6个
C .8个
D .10个
2、如果三条线段a ，b ，c 能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ）
A .1：2：4
B .1：3：4
C .3：4：7
D . 2：3：4
3、一个三角形的三个内角中，锐角的个数最少为（ ）
A .0
B .1
C .2
D .3
4、三角形中最大的内角不能小于（ ）
A .30º
B .45º
C .60º
D .90º
5、如图所示，图中的三角形有（ ）
A .6个
B .8个
C .10个
D .12个
6、给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A .∠A ∶∠
B ∶∠C=1∶2∶3 B .∠A+∠B=∠C
C .∠A=2
1∠B=31∠C D .∠A=2∠B=3∠C 7、在一个三角形的三个内角中，说法正确的是（ ）
A .至少有一个直角
B .至少有一个钝角
C .至多有两个锐角
D .至少有两个锐角
8、锐角三角形中，任意两个内角之和必大于（ ）
A .120°
B .100°
C .90°
D .60°
9、在△ABC 中，∠A ＝31∠B ＝5
1∠C ，则△ABC 是（ ） A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .以上都不对
10、若三角形的三边分别为x －1、x 、x +1（x ＞1），则x 的取值范围是（ ）
A .x ＞1
B .1＜x ＜2
C .x ＞2
D .x ≥2
11、已知a，b，c为△ABC的三边，化简：|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|.
12、三角形中有一边比第二条边长3cm，这条边又比第三条边短4cm，这个三角形的周长为28cm，求最短边的长.。
专题4.1认识三角形(与三角形有关的线段)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.1 认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝BC. 特别说明：(1)三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明：（1）三角形的角平分线是线段； ⇔21⇔21（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段??三角形的边段??概念??分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出CDE ∆的边和角．（3）AD 是哪些三角形的边？C ∠是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：ABD ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆，ACB ∆，共5个；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB 的，含AD （不含AB ）的，含DE （不含AD ）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD 的三角形，先找AD 左边的，再找AD 右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C 的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB 为边的三角形有∠ABD ，∠ABC ，以AD 为边的三角形有∠ADE ，∠ADC ，再以DE 为边三角形有∠DEC ，一共有5个三角形分别为ABD ∆，ABC ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD 为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD 边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD 为边的三角形有：∠BDC ，∠BDO ，以∠1为内角的三角形有：∠EOC ，∠ACD ．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．若a ，b ，c 满足22()()0a b b c -+-=，试判断ABC 的形状．【答案】ABC 的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a ，b ，c 的关系，进而判断ABC ．解：∠22()()0a b b c -+-=，∠0a b -=，0b c -=∠a =b =c ，∠ ABC ∆是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含90︒的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）∠ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝∠B ；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∠∠A ＝30°，∠C ＝∠B ，∠A ＋∠C ＋∠B ＝180°，∠∠C ＝∠B ＝75°，∠满足条件的三角形是锐角三角形．(2) ∠三个内角的度数之比为1∠2∠3，∠可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∠满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段??构成三角形条件??确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm 、8cm 、4cm ； （2）5cm 、6cm 、11cm ； （3）5cm 、6cm 、10cm ；【答案】（1）不能，因为3cm ＋4cm ＜8cm ；（2）不能，因为5cm ＋6cm ＝11cm ；（3）能，因为5cm ＋6cm ＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a ，b ，c 能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明b a c b c -<<+即可．解：三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知b a c b c -<<+，∠三条线段a ，b ，c 能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明b a c b c -<<+是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a ．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为整数，当a 为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) 212a << (2)当11a =时，三角形的周长最大为23【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知7575a -<<+，即212a <<，∠a 的取值范围是212a <<；（2）解：由（1）知，a 的取值范围是212a <<，a 是整数，∠当11a =时，三角形的周长最大，此时周长为：571123++=，∠周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 举一反三：【变式】已知：ABC 中，5AB =，21BC a =+，12AC =，求a 的范围．【答案】38a <<【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∠AB BC AC 、、是ABC 的三边，∠AC AB BC AC AB -<<+，即：a -<+<+12521125，解得：38a <<，故答案为：38a <<．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段??三角形的高??作图??求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 均在小正方形的顶点上．(1) 画出ABC 中BC 边上的高AD ；(2) 直接写出ABC 的面积为___．【答案】(1)见分析 (2)8【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：AD 即为所求；1【变式】如图：(1) 用三角尺分别作出锐角三角形ABC ，直角三角形DEF 和钝角三角形PQR 的各边上的高线．(2) 观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，,AD AE 分别是ABC 的中线和高，3cm AE =，26cm ABD S =△．求BC 和DC 的长．【答案】8cm BC =，4cm CD =ABD S =是ABC 的中线，得到解：由题意，得：BD AE ⋅4cm ，是ABC 的中线，12BD BC =∠4cm,28cm CD BC BD ===．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，AD BE ，分别是ABC 的高，若465AD BC AC ===，，，求BE 的长．2ABC S =分别是ABC 的高，1122ABC S BC AD AC =⨯=⨯45AD BC AC ===，，，462455BC BE ⨯==24BE =【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．7．如图，在ABC 中()2AB BC AC BC BC >=，，边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，求AC 和AB 的长．【答案】5636AC AB ==，【分析】先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论7050AC CD AC CD +=+=①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设BD CD x ==，则24AC BC x ==，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，AB BC >，①当7050AC CD AB BD +=+=，时，470x x +=，解得：14x =，441456AC x ∴==⨯=，14BD CD ==，50501436AB BD ∴=-=-=，36AB ∴=，36286456BC AB AC +=+=>=，满足三边关系，5636AC AB ∴==，；②当5070AC CD AB BD +=+=，时，450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==⨯=，10BD CD ∴==，70701060AB BD =-=-=，60AC BC AB +==，不满足三角形三边关系，所以舍去，5636AC AB ∴==，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 举一反三：【变式】如图，已知AD 、AE 分别是ABC 的高和中线9cm,12cm AB AC ==，15cm BC =，90BAC ∠=︒．试求：(1) ABE 的面积；(2) AD 的长度；(3) ACE △与ABE 的周长的差．2ACE △的周长－ABE 的周长）解：ABC 是直角三角形，2191254(cm )2ABC =⨯⨯，AE 是BC 上的中线，BE EC ∴=，ABE ACE S S ∆∆∴=，2127cm 2ABE ABC S S ∆∆∴=； ）解：BAC ∠=，AD 是BC 1122AD BC ∴⋅=AB AC AD BC ⋅∴=）解：AE 是BC BE CE =，ACE 的周长－ABE 的周长和ABE 的周长差是3cm 【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒．(1) 当t =___________时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？(2) 当t =___________时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？(3) 当t 为何值时，BCP 的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒先求出ABC的周长为把ABC的周长分成相等的两部分时，12cmBC+=速度即可求解；）根据中线的性质可知，点把ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即）分两种情况：∠P在AC1）ABC中，∠8cmAC，6cmBC，10cmAB，∠ABC的周长861024cm=++=，∠当CP把ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时212t=，解得6t=．故答案为：6；）当点P在AB中点时，把ABC的面积分成相等的两部分，此时213t=，解得 6.5t=．故答案为：6.5；）分两种情况：∠当P在AC∠BCP的面积16 2CP⨯⨯4CP=，24t=，t∠当P在AB∠BCP的面积=12=ABC面积的一半，∠P为AB中点，213t=， 6.5．故t为2或6.5秒时，BCP的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分【变式】已知ABC的面积为S，根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 1AM 是ABC 的边BC 上的中线，如图1，则1ACM 的面积为 （用含S 的式子表示，下同）；2CM 是1ACM 的边1AM 上的中线，如图2，则2ACM △的面积为 ；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，则3ACM △的面积为 ；…… ）中的求解可得规律，利用规律即可求解．是ABC 的边上的中线，ABC 的面积为11122ACM ABC S S S ==； 2CM 是1ACM 的边AM 2， 12111244ACM ACM ABC S S S S ===；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，231128ACM ACM S S S ==， 故答案为：12S ，14S ，1）解：∠112ACM SS =，211124ACM ACM S S S ==2312ACM ACM S S ==，以此类推，可得12n ACM S ⎛⎫= ⎪⎝⎭2022=2022ACM S故答案为：202212⎛⎫ ⎪【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是9．如图，CE 是ABC 的角平分线，EF BC ∥，交AC 于点F ，已知64AFE ∠=︒，求FEC ∠的度数．【答案】32︒ ACB AFE ==∠是ABC 的角平分线，12BCE ACB =∠FEC BCE =∠本题主要考查了平行线的性质，【变式】如图，点E 为直线AB 上一点，B ACB ∠=∠，BC 平分ACD ∠，求证：AB CD ．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：BC 平分ACD ∠，ACB BCD ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，B BCD ∴∠=∠，∠AB CD ∥．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，ABC 中，按要求画图：(1) BAC ∠的平分线AD ；(2) 画出ABC 中BC 边上的中线AE ；(3) 画出ABC 中AB 边上的高CF ．【分析】（1）画出BAC ∠的平分线交BC 于D 即可；（2）取BC 的中点E ，连接AE ，中线AE 即为所求；（3）过点C 作CF BA ⊥交BA 的延长线于F ，CF 即为ABC 中AB 边上的高．（1）解：如图，AD 即为所求；（2）解：如图，中线AE 即为所求；（3）解：如图，高CF 即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：'''；(1)画出ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C'''的重叠部分面积为多少？(2)ABC与A B C重叠部分面积为'''即可；）根据题意画出ABC沿CB个单位后的A B C）正方形的边长为，根据图形进行求解即可．'''如图所示：解：（1）ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C（2）∠正方形的边长为1，9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）∠∠∠；（2）图见分析【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：（1）具有稳定性的是∠∠∠三个．（2）如图所示：【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式2】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：∠三角形木架的形状______，说明三角形具有______；∠四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠是三角形，稳定性；∠四边形，稳定性．【分析】∠根据三角形的稳定性进行解答即可；∠根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；∠四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．。
北师大版初中数学七年级下册《4.1 认识三角形》同步练习卷(9)
北师大新版七年级下学期《4.1 认识三角形》同步练习卷一．选择题（共26小题）1．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．05．如图所示，有一条线段是△ABC（AC＞AB）的中线，该线段是（）A．线段AD B．线段AE C．线段AF D．线段MN6．在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（）A．B．C．D．7．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．8．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BF A的面积之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．2：310．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．811．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（）A．7，8，9B．5，6，7C．3，4，5D．1，2，312．已知线段a＝6cm，b＝8cm，则下列线段中，能与a、b组成三角形的是（）A．2cm B．12cm C．14cm D．16cm13．若三角形的两边长为2和3，则第三边长可以是（）A．1B．3C．5D．714．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．4，5，9B．5，5，11C．1，2，3D．5，6，10 15．下列各组数可做为一个三角形三边长的是（）A．4，6，8B．4，5，9C．1，2，4D．5，5，11 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°，则∠AOB的度数是（）A．100°B．125°C．135°D．130°17．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（）A．120°B．60°C．140°D．无法确定18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，且交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC ＝86°，则∠BDE的度数为（）A．26°B．30°C．34°D．52°19．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°20．如图，∠C＝50°，∠B＝30°，则∠CAD的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°21．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°22．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．105°C．110°D．120°23．在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）A．60B．65C．70D．8024．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（）A．2B．3C．2D．525．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（）A．75°B．65°C．55°D．45°26．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足点为D，则下列结论中正确的个数为（）①AB与AC互相垂直；②∠ADC＝90°；③点C到AB的垂线段是线段AB；④线段AB的长度是点B到AC的距离；⑤线段AB是点B到AC的距离．A．5B．4C．3D．2二．填空题（共4小题）27．如图，△ABC中，点O是重心，过点O的两条线段BE⊥AD．若BD＝10，BO＝8，则AO的长为．28．如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为．29．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝．30．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝70°，则∠B＝．北师大新版七年级下学期《4.1 认识三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．【解答】解：三角形根据边分类，∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．2．图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，根据图示得出三角形个数即可．【解答】解：图中三角形由△ABC，△ABE，△BEC，△BDC，△DEC，故选：C．【点评】此题考查三角形，在数三角形的个数时，注意不要忽略一些大的三角形．3．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．故选：C．【点评】本题考查了三角形，牢记三角形的定义是解题的关键．4．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．0【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．综上所述，正确的结论2个．故选：B．【点评】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．5．如图所示，有一条线段是△ABC（AC＞AB）的中线，该线段是（）A．线段AD B．线段AE C．线段AF D．线段MN【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，逐一判断各选项即可．【解答】解：由图可得，F是BC的中点，根据三角形中线的定义，可知线段AF是△ABC的中线，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．6．在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（）A．B．C．D．【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．【解答】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高，所以画法正确的是D．故选：D．【点评】考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．7．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BD是△ABC 的高．【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．8．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：过点B作AC边上的高，垂足为E，则线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BF A的面积之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．2：3【分析】利用三角形的中位线定理可得DE：AB＝1：2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵CE＝AE，CD＝DB，∴ED∥AB，DE＝AB，∴△DEF∽△ABF，∴＝（）2＝，故选：B．【点评】本题考查三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．8【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．【解答】解：解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；∴S△BEF＝S△BEC，同理得，S△EBC＝S△ABC，∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝16，∴S△BEF＝4，即阴影部分的面积为4．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．11．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（）A．7，8，9B．5，6，7C．3，4，5D．1，2，3【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【解答】解：A、7+8＞9，能构成三角形；B、5+6＞7，能构成三角形；C、3+4＞5，能构成三角形；D、1+2＝3，不能构成三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．12．已知线段a＝6cm，b＝8cm，则下列线段中，能与a、b组成三角形的是（）A．2cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．【解答】解：设三角形的第三边为m．由题意：8﹣6＜m＜6+8，即2＜m＜14，故选：B．【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．若三角形的两边长为2和3，则第三边长可以是（）A．1B．3C．5D．7【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，即可解答．【解答】解：∵三角形的两边长为3和2，∴第三边x的长度范围是3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5，观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．14．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．4，5，9B．5，5，11C．1，2，3D．5，6，10【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，4+5＝9，不能组成三角形；B中，5+5＝10＜11，不能组成三角形；C中，1+2＝3，不能够组成三角形；D中，5+6＝11＞8，能组成三角形．故选：D．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．15．下列各组数可做为一个三角形三边长的是（）A．4，6，8B．4，5，9C．1，2，4D．5，5，11【分析】在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得答案．【解答】解：A、4+6＞8，能组成三角形；B、4+5＝9，不能组成三角形；C、1+2＜4，不能组成三角形；D、5+5＜11，不能组成三角形．故选：A．【点评】本题考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°，则∠AOB的度数是（）A．100°B．125°C．135°D．130°【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到∠ABO和∠BAO的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠AOB的度数．【解答】解：∵BO平分∠ABC，∠ABO＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵∠C＝90°，∴∠BAC＝30°，∵AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠BAC＝15°，∴△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝135°，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是180°．17．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（）A．120°B．60°C．140°D．无法确定【分析】以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，再根据∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，即可得到∠DBC+∠DCB的度数，最后利用三角形内角和定理可得∠BDC的度数．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，∴∠DBC+∠DCB＝×60°＝40°，∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，故选：C．【点评】此题考查三角形的内角和，角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是180°．18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，且交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC ＝86°，则∠BDE的度数为（）A．26°B．30°C．34°D．52°【分析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠ABD的度数，再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数，然后根据两直线平行，内错角相等即可得解．【解答】解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝86°﹣60°＝26°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝26°，又∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝26°．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，以及两直线平行，内错角相等的性质，准确识图是解题的关键．19．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】求出∠ABC+∠ACB的度数即可解决问题．【解答】解：∵∠BDC＝110°，∴∠DBC+∠DCB＝70°，∵点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝140°，∴∠A＝180°﹣140°＝40°，故选：A．【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．如图，∠C＝50°，∠B＝30°，则∠CAD的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°【分析】根据三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠CAD＝∠B+∠C，∠C＝50°，∠B＝30°，∴∠CAD＝80°，故选：A．【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】由∠A＝80°，∠B＝40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．【解答】解：∵∠ACD＝∠B+∠A，而∠A＝80°，∠B＝40°，∴∠ACD＝80°+40°＝120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝60°，故选：D．【点评】本题考查了三角形的外角定理，关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和．22．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．105°C．110°D．120°【分析】根据图形求出∠1，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：如图，∠1＝90°﹣45°＝45°，则∠α＝60°+45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．23．在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）A．60B．65C．70D．80【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【解答】解：∵与∠ABC相邻的外角＝∠A+∠C，∴x+65＝x﹣5+x，解得x＝70．故选：C．【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（）A．2B．3C．2D．5【分析】设BE＝EC＝x，CF＝F A＝y，构建方程组求出x2，y2，再根据AB＝计算即可．【解答】解：设BE＝EC＝x，CF＝F A＝y，∵∠C＝90°，AE＝3，BF＝4，则有，解得x2＝，y2＝，∴AB＝＝＝2，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．25．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（）A．75°B．65°C．55°D．45°【分析】根据直角三角形两锐角互余，列式进行计算即可得解．【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，∴另一个锐角的度数是90°﹣35°＝55°．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．26．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足点为D，则下列结论中正确的个数为（）①AB与AC互相垂直；②∠ADC＝90°；③点C到AB的垂线段是线段AB；④线段AB的长度是点B到AC的距离；⑤线段AB是点B到AC的距离．A．5B．4C．3D．2【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线进行分析．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴AB与AC互相垂直；故①正确；∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，故②正确；点C到AB的垂线段是线段AC；故③错误；线段AB的长度是点B到AC的距离；故④正确；线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；故选：C．【点评】本题主要考查了点到直线的距离，关键时注意点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．二．填空题（共4小题）27．如图，△ABC中，点O是重心，过点O的两条线段BE⊥AD．若BD＝10，BO＝8，则AO的长为12．【分析】先根据勾股定理得到OD的长，再根据重心的性质即可得到AO的长．【解答】解：∵BE⊥AD，BD＝10，BO＝8，∴OD＝＝6，∵AC、BC上的中线交于点O，∴AO＝2OD＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及重心的性质，根据已知得出各边之间的关系进而求出是解题关键．28．如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为．【分析】根据三角形重心的性质即可求解．【解答】解：∵△ABC的中线BE、CD交于点G，∴CG：DG＝2：1，∴＝＝．故答案为：．【点评】考查了三角形的重心，重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．29．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝．【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的重心的性质计算即可．【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵G为△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，∴CD＝AB＝5，∵G为△ABC的重心，∴CG ＝CD ＝，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．30．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝70°，则∠B＝20°．【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C＝Rt∠，∠A＝70°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．第21页（共21页）。
北师大版七年级数学下册《4.1 认识三角形》 同步练习 包含答案
4.1 认识三角形一．选择题（共10小题）1．如图，△ABC中的边BC上的高是（）A．AF B．DB C．CF D．BE2．如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．5条3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（）A．16B．8C．4D．24．如图，点O为△ABC的重心，连接BO并廷长AC交于点D，连接CO并延长交AB于E，则S△OCD：S四边形AEOD＝（）A．2：1B．1：2C．1：3D．4：45．已知三角形的两边长分别为3和4，则第三边长x的范围是（）A．3＜x＜4B．1＜x＜7C．1＜x＜5D．无法确定6．下列各组值代表线段的长度，其中能组成三角形的是（）A．1，2，3.5B．20，15，8C．5，15，8D．4，5，97．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则∠DEC等于（）A．63°B．113°C．55°D．62°8．如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，（α＞β）AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（）A．α﹣βB．2（α﹣β）C．α﹣2βD．（α﹣β）9．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠1的度数为（）A．105°B．100°C．95°D．110°10．小明同学把自己的一副三角板（两个直角三角形）按如图所示的位置将相等的边叠放在一起，则α的度数（）A．135°B．120°C．105°D．75°二．填空题（共10小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝18°，则∠C的度数为．12．直角三角形两个锐角的平分线相交所构成的锐角是度．13．如图，在△ABC中，最长的边是．14．如果一个三角形的三条高的交点在三角形的内部，那么该三角形是三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）15．如图，在三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点D是AB的中点，点P 从C点出发，先以每秒2cm的速度运动到B，然后以每秒1cm的速度从B运动到A．当点P运动时间t＝秒时，三角形PCD的面积为6cm2．16．如图，M是△ABC的重心，过点M分别作DF∥AC，EG∥BC，DF分别交AB，BC于点D，F，EG分别交AB，AC于点E，C．若△ABC的面积是18，则四边形DEFG的面积为．17．设△ABC三边为a、b、c，其中a、b满足|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0，则第三边c的取值范围．18．如图所示，∠ACD是△BC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．∠E＝．19．如图，在△ABC中，EF∥BC，∠ACG是△ABC的外角，∠BAC的平分线交BC于点D，若∠1＝150°，∠2＝110°，则∠3＝．20．如图，△ABC中，∠A＝50°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠BDC ＝．三．解答题（共10小题）21．观察以下图形，回答问题：（1）图②有个三角形；图③有个三角形；图④有个三角形；…猜测第七个图形中共有个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有个三角形（用n的代数式表示结论）．22．如图所示，BD是△ABC的中线，AD＝2，AB+BC＝5，求△ABC的周长．23．如果a、b、c是△ABC的三边，满足（b﹣3）2+|c﹣4|＝0，a为奇数，求△ABC的周长．24．（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．①当∠A＝60°时，求∠D的度数．②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论．（2）如图（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）．25．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F．（1）∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BFD的度数；（2）直接写出∠A与∠BFD的数量关系．26．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE＝10°，∠B＝60°，求∠A的度数．27．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC ＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．28．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；（2）请你写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．29．如图，AB∥CD，△EFG的顶点分别落在直线AB、CD上，GH平分∠EGF交EF于点H．若∠EFG＝90°，∠EFC＝40°，求∠EHG的度数．30．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．A．2．D．3．B．4．B．5．B．6．B．7．D．8．D．9．A．10．C．二．填空题（共10小题）11．36°．12．45．13．AB．14．锐角．15．2或5.5或8.5．16．8．17．4＜c＜6．18．22.5°19．70°．20．65°．三．解答题（共10小题）21．解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．22．解：因为BD是△ABC的中线，所以点D是AC的中点，所以AC＝2AD＝4，所以△ABC的周长为AB+BC+AC＝5+4＝9．23．解：∵（b﹣3）2≥0，|c﹣4|≥0 且（b﹣3）2+|c﹣4|＝0，∴（b﹣3）2＝0|c﹣4|＝0，∴b＝3，c＝4．∵4﹣3＜a＜4+3且a为奇数，∴a＝3 或5．当a＝3时，△ABC的周长是3+4+3＝10；当a＝5时，△ABC的周长是3+4+5＝12．24．解：（1）①∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝×120°＝60°，∴∠D＝180°﹣60°＝120°．②结论：∠D＝90°+∠A．理由：∵∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠D＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．（2）不正确．结论：∠D＝90°﹣∠A．理由：∵∵∠DBC＝∠PBC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝×（∠PBC+∠QCB）＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，∴∠D＝180°﹣（90°﹣+∠A）＝90°﹣∠A．25．解：（1）∵∠ABC＝40°，∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝20°+40°＝60°．（2）∵∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．26．解：∵CE是AB边上的高，∴∠A+∠ACE＝90°，∠B+∠BCE＝90°．∵CD是∠ACB的角平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB，又∵∠DCE＝10°，∠B＝60°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝40°，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝∠BCD+∠DCE＝50°，∴∠A＝90°﹣∠ACE＝40°．27．解：（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），＝180°﹣（180°﹣∠A），＝180°﹣90°+∠A，＝90°+32＝122°，故答案为：122°；（2）∵CE和BE分别是∠ACB和∠ABD的角平分线，∴∠1＝∠ACB，∠2＝∠ABD，又∵∠ABD是△ABC的一外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∴∠2＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠1，∵∠2是△BEC的一外角，∴∠BEC＝∠2﹣∠1＝∠A+∠1﹣∠1＝∠A＝；（3）∠QBC＝（∠A+∠ACB），∠QCB＝（∠A+∠ABC），∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BQC＝90°﹣∠A．28．解：（1）∵∠ECD＝∠B+∠E，∠B＝35°，∠E＝25°，∴∠ECD＝60°，∵EC平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD＝60°，∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝60°+25°＝85°．（2）结论：∠BAC＝∠B+2∠E．理由：∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∠ECD＝∠ACE＝∠B+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．29．解：∵∠EFG＝90°，∠EFC＝40°，∴∠CFG＝130°，∴∠GFD＝50°，∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠GFD＝50°，∠GEF＝∠EFC＝40°，∵GH平分∠EGF交EF于点H，∴∠HGF＝EGF＝25°，∴∠EHG＝∠EFG+∠HGF＝90°+25°＝115°．30．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CF A＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．。
北师大版初中数学七年级下册《4.1 认识三角形》同步练习卷(1)
北师大新版七年级下学期《4.1 认识三角形》同步练习卷一．选择题（共24小题）1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（）A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形3．已知三角形ABC三边a、b、c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对4．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm5．下列说法中正确的是（）A．三角形的内角中至少有两个锐角B．三角形的内角中至少有两个钝角C．三角形的内角中至少有一个直角D．三角形的内角中至少有一个钝角6．在△ABC中，AD＝4，BC＝10，则第三边AC的长可能是（）A．5B．7C．14D．167．下列各组数可做为一个三角形三边长的是（）A．4，6，8B．4，5，9C．1，2，4D．5，5，118．已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．1B．2C．3D．49．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个B．2个C．3个D．4个11．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形12．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACBC．AE＝BE D．CD⊥BE13．下列说法中，正确的个数是（）①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．A．1B．2C．3D．414．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3D．BC是△ABE的高15．下面说法错误的是（）A．三角形的三条角平分线交于一点B．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等C．三角形的三条高交于一点D．平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交16．已知AD，BE分别是△ABC的两条中线，若△ABD的面积为10，则△BCE的面积为（）A．5B．10C．15D．2017．如图，O是△ABC的重心，则图中与△ABD面积相等的三角形个数为（）A．3B．4C．5D．618．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°19．如图在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝32°，则∠CFE的度数为（）A．68°B．58°C．52°D．48°20．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）A．165°B．135°C．105°D．75°21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足点为D，则下列结论中正确的个数为（）①AB与AC互相垂直；②∠ADC＝90°；③点C到AB的垂线段是线段AB；④线段AB的长度是点B到AC的距离；⑤线段AB是点B到AC的距离．A．5B．4C．3D．222．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°23．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C24．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°二．填空题（共5小题）25．一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为．26．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落到点A′，若∠C＝125°，∠A＝20°，则∠BDA′的度数为．27．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，点E在AD延长线上，且EC⊥AC．若∠E＝50°，则∠ADC的度数是．28．如图，△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1＝153°，则∠B的度数为．29．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，△ABC的面积为12，则CD的长为．三．解答题（共3小题）30．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．31．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC 的周长为15，求BC的长．32．如图，在△ABC中∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．北师大新版七年级下学期《4.1 认识三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形解答，【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：D．【点评】此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．2．下列说法正确的是（）A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形【分析】根据锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义一一判断即可．【解答】解：A、错误．内角为30°，30°，120°的等腰三角形是钝角三角形．B、正确．等边三角形属于等腰三角形．C、错误．内角为30°，30°，120°的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形．D、错误．内角为30°，30°，120°的三角形有两个锐角，是钝角三角形．故选：B．【点评】本题考查三角形的一个概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义，属于基础题，中考常考题型．3．已知三角形ABC三边a、b、c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对【分析】根据非负数的性质列式求解得到a＝b＝c，然后选择答案即可．【解答】解：根据非负数的性质，a﹣b＝0，b﹣c＝0，解得a＝b，b＝c，所以，a＝b＝c，所以，△ABC是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了三角形的形状判定，非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．4．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x﹣1）cm，根据三角形的周长即可求得x，进而求解．【解答】解：设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x ﹣1）cm．则（x+1）+x+（x﹣1）＝12，解得：x＝4，则最短的边长是：4﹣1＝3cm．故选：B．【点评】本题考查了三角形的周长，理解三边长的设法是关键．5．下列说法中正确的是（）A．三角形的内角中至少有两个锐角B．三角形的内角中至少有两个钝角C．三角形的内角中至少有一个直角D．三角形的内角中至少有一个钝角【分析】利用三角形的特征分析．【解答】解：根据三角形的内角和是180度可知：A、三角形的内角中至少有两个锐角，正确；B、三角形的内角中最多有1个钝角，故不对；C、三角形的内角中最多有一个直角，故不对；D、三角形的内角中最多有1个钝角．故不对；故选：A．【点评】主要考查了三角形的定义和分类．6．在△ABC中，AD＝4，BC＝10，则第三边AC的长可能是（）A．5B．7C．14D．16【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，10﹣4＜AC＜10+4，即6＜AC＜14，符合条件的只有7，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．7．下列各组数可做为一个三角形三边长的是（）A．4，6，8B．4，5，9C．1，2，4D．5，5，11【分析】在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得答案．【解答】解：A、4+6＞8，能组成三角形；B、4+5＝9，不能组成三角形；C、1+2＜4，不能组成三角形；D、5+5＜11，不能组成三角形．故选：A．【点评】本题考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．8．已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后根据若x为正整数，即可选择答案．【解答】解：∵10﹣2＝8，10+2＝12，∴8＜x＜12，∵若x为正整数，∴x的可能取值是9，10，11，故这样的三角形共有3个．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出x的取值范围是解题的关键．9．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．10．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．11．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B．【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．12．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACBC．AE＝BE D．CD⊥BE【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．故选：C．【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高，根据是熟悉它们的定义和性质．13．下列说法中，正确的个数是（）①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．A．1B．2C．3D．4【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有1个．故选：A．【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3D．BC是△ABE的高【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，正确；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△EBC的角平分线，正确；C、∵BD是△EBC的角平分线，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE是中线，∴∠EBD≠∠ABE，∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意；D、∵∠C＝90°，∴BC是△ABE的高，正确．故选：C．【点评】本题考查了三角形的角平分线，高线，中线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．15．下面说法错误的是（）A．三角形的三条角平分线交于一点B．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等C．三角形的三条高交于一点D．平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交【分析】根据三角形角平分线、高的性质及平行线的其性质求解可得．【解答】解：A、三角形的三条角平分线交于一点，此选项正确；B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，此选项正确；C、三角形的三条高所在直线交于一点，此选项错误；D、平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，此选项正确；故选：C．【点评】本题主要考查三角形的高和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的高的定义和平行线的性质．16．已知AD，BE分别是△ABC的两条中线，若△ABD的面积为10，则△BCE的面积为（）A．5B．10C．15D．20【分析】根据三角形中线的性质列出等式，得出答案．【解答】解：如图，∵AD和BE是△ABC的两条中线，∴△ABD面积＝△ACD面积，△BCE面积＝△ABE面积，即S1+S4＝S2+S3①，S2+S4＝S1+S3②，①﹣②得：S1﹣S2＝S2﹣S1，∴S1＝S2．∵△ABD的面积为10，∴△BCE的面积＝10，故选：B．【点评】本题主要考查了三角形中线的性质，难度适中，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．17．如图，O是△ABC的重心，则图中与△ABD面积相等的三角形个数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据题干条件D、E、F为△ABC三边的中点，故得BD＝CD，又知△ABD与△ADC的高相等，于是得到△ABD与△ACD的面积相等并且为△ABC面积的一半，同理可得△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，即可求出与△ABD面积相等的三角形个数，【解答】解：∵O是△ABC的重心，∴BD＝CD，又∵△ABD与△ADC的高相等，∴△ABD与△ACD的面积相等＝S△ABC，同理可知：△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，∴图中与△ABD面积相等的三角形个数为5个，故选：C．【点评】本题主要考查三角形面积、重心的性质及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握三角形的面积＝底×高，此题难度一般．18．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】求出∠ABC+∠ACB的度数即可解决问题．【解答】解：∵∠BDC＝110°，∴∠DBC+∠DCB＝70°，∵点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝140°，∴∠A＝180°﹣140°＝40°，故选：A．【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．如图在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝32°，则∠CFE的度数为（）A．68°B．58°C．52°D．48°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BDF＝∠A+∠ACD，再根据三角形的内角和定理求出∠BFD，然后根据对顶角相等解答．【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD＝20°，∴∠BDF＝∠A+∠ACD＝70°+20°＝90°，在△BDF中，∠BFD＝180°﹣∠BDF﹣∠ABE＝180°﹣90°﹣32°＝58°，∴∠CFE＝∠BFD＝58°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．20．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）A．165°B．135°C．105°D．75°【分析】根据三角形内角和定理求出∠1，根据三角形外角的性质求出∠2，根据邻补角的概念计算即可．【解答】解：∠1＝90°﹣30°﹣60°，∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，∴∠α＝180°﹣15°＝165°，故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足点为D，则下列结论中正确的个数为（）①AB与AC互相垂直；②∠ADC＝90°；③点C到AB的垂线段是线段AB；④线段AB的长度是点B到AC的距离；⑤线段AB是点B到AC的距离．A．5B．4C．3D．2【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线进行分析．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴AB与AC互相垂直；故①正确；∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，故②正确；点C到AB的垂线段是线段AC；故③错误；线段AB的长度是点B到AC的距离；故④正确；线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；故选：C．【点评】本题主要考查了点到直线的距离，关键时注意点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．22．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°【分析】设∠B＝x°，由直角三角形的性质结合条件可得到关于x的方程，可求得答案．【解答】解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，由直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，∴x+3x＝90，解得x＝22.5，∴∠B＝22.5°，故选：A．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．23．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．【解答】解：A中∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，同理，B，C均为直角三角形，D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，故选：D．【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．24．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据直角三角形的性质求出∠AEB的度数，根据对顶角相等求出∠DEC，根据直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵AB⊥BD，∠A＝40°，∴∠AEB＝50°，∴∠DEC＝50°，又AC⊥CD，∴∠D＝40°，故选：A．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．二．填空题（共5小题）25．一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为105°．【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝105°，再根据对顶角相等，即可得出∠AOD的度数．【解答】解：由题可得，∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，∴△BCO中，∠BOC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∴∠AOD＝∠BOC＝105°，故答案为：105°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及对顶角的性质，利用三角形内角和为180°是关键．26．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落到点A′，若∠C＝125°，∠A＝20°，则∠BDA′的度数为110°．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠B，根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE＝∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE＝∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C＝125°，∠A＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣125°＝35°，∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，∴∠ADE＝∠B＝35°，∴∠A′DE＝∠ADE＝35°，∴∠A′DB＝180°﹣35°﹣35°＝110°．故答案为：110°．【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．27．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD平分∠BAC，点E在AD延长线上，且EC⊥AC．若∠E＝50°，则∠ADC的度数是100°．【分析】根据三角形内角和和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵EC⊥AC．∠E＝50°，∴∠DAC＝40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝40°，∵∠B＝60°，∴∠ADC＝40°+60°＝100°，故答案为：100°．【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形内角和、三角形的外角性质和角平分线的定义解答．28．如图，△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1＝153°，则∠B的度数为63°．【分析】利用平行线的性质求出∠C，再根据∠B＝90°﹣∠C计算即可．【解答】解：∵∠1+∠EDC＝180°，∠1＝153°，∴∠EDC＝27°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠C＝27°，∵∠A＝90°，∴∠B＝90°﹣∠C＝63°，故答案为63°．【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，△ABC的面积为12，则CD的长为3．【分析】利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题．【解答】解：∵AE⊥BC，AE＝4，△ABC的面积为12，∴×BC×AE＝12，∴×BC×4＝12，∴BC＝6，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝3，故答案为3．【点评】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．三．解答题（共3小题）30．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．31．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC 的周长为15，求BC的长．【分析】根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，∴AB＝2AF＝2×3＝6，AC＝2AE＝2×2＝4，∵△ABC的周长为15，∴BC＝15﹣6﹣4＝5．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并准确识图是解题的关键．32．如图，在△ABC中∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．【分析】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE计算即可得解．【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×40°＝20°，∵∠B＝30°，AD是BC边上高线，∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣20°＝40°．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．。
北师大版七年级数学下册同步练习：4.1认识三角形(1)
《作业推荐》01-认识三角形（1）一、单选题1.()叫做三角形A.连接任意三点组成的图形B.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形C.由三条线段组成的图形D.以上说法均不对【答案】B【解析】【分析】根据三角形的定义进行判断即可．【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的定义，属于概念题，正确并熟练掌握三角形的定义是解决本题的关键．2.图中三角形的个数是（）A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】C【解析】【分析】根据三角形的定义解答即可.【详解】解：图中三角形有：△ABC，△ABE，△BEC，△BDC，△DEC.故选：C．【点睛】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.3.如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能【答案】B【解析】【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．从题中可知，只能看到一个角是钝角．所以这个三角形为钝角三角形．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的分类的灵活应用．4.在ΔABC中，∠A=21°，∠B=34°，则ΔABC是（）．A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形【答案】C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求得∠C的度数进行判断即可得解.【详解】根据三角形的内角和定理得，∠C=180°−∠A−∠B=180°−21°−34°=125°，则ΔABC是钝角三角形，故选：C.【点睛】本题主要考查了钝角三角形的概念，熟练掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键.5.下列说法中正确的是（）A.三角形的内角中至少有两个锐角B.三角形的内角中至少有两个钝角C.三角形的内角中至少有一个直角D.三角形的内角中至少有一个钝角【答案】A【解析】【分析】利用三角形的特征分析．【详解】根据三角形的内角和是180度可知：A、三角形的内角中至少有两个锐角，正确；B、三角形的内角中最多有1个钝角，故不对；C、三角形的内角中最多有一个直角，故不对；D、三角形的内角中最多有1个钝角．故不对；故选A．【点睛】主要考查了三角形的定义和分类．6.若ΔABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A，则此三角形（）A.一定是直角三角形B.一定是钝角三角形C.一定有一个内角为45°D.一定有一个内角为60°【答案】D【解析】【分析】本题可利用三角形内角和公式求出∠A的度数，继而可利用举反例进行排除求解本题．【详解】因为三角形内角和为180°，∠B+∠C=2∠A，故∠A+∠B+∠C=∠A+2∠A=3∠A=180°，所以∠A=60°，故D选项正确．假设△ABC为等边三角形，此时符合题干要求，故可用此特例排除A，B，C选项．【点睛】本题考查三角形内角和公式，通过角度关系判别图形性质，此类型题目作为单选题，可选用举例法快速解答．二、填空题7.锐角三角形的三个角都是 ________；直角三角形中必有一个角是______；钝角三角形中也必定有一个角是_________．【答案】 (1). 锐， (2). 直， (3). 钝．【解析】【分析】根据锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的意义直接填写即可．【详解】锐角三角形的三个角都是锐角；直角三角形中必定有一个是直角；钝角三角形中也必定有一个角是钝角．故答案为锐，直，钝．【点睛】此题考查三角形按角的大小分三类：锐角△、直角△和钝角△．8.若∠A=∠B=2∠C ，则△ABC 是_____三角形．（填“钝角”△“锐角”或“直角”△【答案】锐角【解析】【分析】根据三角形的内角和为180°和已知条件设未知数，列方程求解，再判断形状.【详解】设三角分别是∠A △a °△∵∠A △∠B △2∠C △∴∠B △a °△∠C △12a °，则a °△a °△12a °△180°，解a △72°△∴三角形是锐角三角形. 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°，正确的设出一个角并表示出其他角是解决此题的关键. 9.观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上．锐角三角形_______，直角三角形________，钝角三角形________．【答案】 (1). 3，5 (2). 1，4，6 (3). 2，7【解析】【分析】分别根据三角形的分类得出答案即可．【详解】锐角三角形3，5，直角三角形1，4，6，钝角三角形2，7．故答案为：3，5；1，4，6；2，7．【点晴】10.如图，点D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中∠C所对的边是__________；在△ACD中∠C所对的边是__________；在△ABD中边AD所对的角是__________；在△ACD中边AD所对的角是__________．【答案】(1). AB(2). AD(3). ∠B(4). ∠C【解析】【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可．【详解】在△ABC中∠C所对的边是AB；在△ACD中∠C所对的边是AD；在△ABD中边AD所对的角是∠B；在△ACD中边AD所对的角是∠C；故答案为：AB；AD；∠B；∠C．【点睛】本题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的边、三角形的角的定义．三、解答题11.如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:(1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来.(2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?(3)以AB为边的三角形有哪些?(4)以F为顶点的三角形有哪些?【答案】答案见解析【解析】试题分析：利用三角形的定义以及三角形有关的角和边概念分别得出即可．试题解析：△1△8个△△ABC，△ABF，△ABE，△ABD，△BDF，△AEF，△ACD，△BCE△△2△三个顶点△B△D△F△三条边△BD，BF，DF△△3△△ABC，△ABF，△ABD，△ABE△△4△△ABF，△BDF，△AEF△点睛：此题主要考查了三角形有关定义，正确把握相关定义是解题关键．12.△△ABC△△△△∠A△∠B△30°△∠C△4∠B△△∠A△∠B△∠C△△△△△△△△△△△△△△△△【答案】这个三角形是钝角三角形．【分析】首先根据三角形内角和定理和已知条件得到相等关系式6∠B＋30°＝180°,进而求得∠B的值;接下来根据条件即可求得∠A△∠C 的度数, 从而得到三角形的类型.【详解】解：因为∠A△△B△30°，所以∠A△△B△30°.又因为∠C△4△B△且∠A△△B△△C△180°，即6△B△30°△180°，所以∠B△25°△则∠A△55°△△C△100°，所以这个三角形是钝角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类, 得到等量关系是关键.13.满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．(1)△ABC中，∠A△30°△△C△△B△(2)三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【解析】【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.【详解】(1)△△A△30°△△C△△B△△A△△C△△B△180°△△△C△△B△75°△∴满足条件的三角形是锐角三角形．(2)∵三个内角的度数之比为1△2△3，∴可求得每个内角的度数分别为30°△60°△90°△∴满足条件的三角形是直角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的分类问题．14.在下面一组图形中：△1）各图形中分别有几个三角形？△2）说出各个图形中以B为顶点的角所对的边.【答案】△1△①3个；②6个；③8个；（2△①AC和AD△②AC△AD△AE△③AE△AD△AC△CE△CD△【解析】【分析】(1)根据三角形的定义解答即可△(2)根据交与边的关系解答即可△【详解】△△△1△①图中三角形的个数有3个；②图中三角形的个数有6个；③图中三角形的个数有8个；△2△①图中以B为顶点的角所对的边是AC和AD△②图中以B为顶点的角所对的边是AC△AD△AE△③图中以B为顶点的角所对的边是AE△AD△AC△CE△CD△【点睛】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角△。
北师大版七年级下册第三章三角形讲义
三角形 1．认识三角形1、它的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个内角分别是 。
2、分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边之和以及任意两边之差。
你发现了什么？结论：三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边例：有两根长度分别为5cm 和8cm 的木棒，用长度为2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm 的木棒呢？长度为7cm 的木棒呢？ 二、稳固练习：1、以下每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？〔单位：cm 〕 〔1〕 1， 3， 3 〔2〕 3， 4， 7 〔3〕 5， 9， 13 〔4〕 11， 12， 22 〔5〕 14， 15， 302、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 。
假设X 是奇数，则X 的值是 。
这样的三角形有 个；假设X 是偶数，则X 的值是 ， 这样的三角形又有 个3、一个等腰三角形的一边是2cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 cm夯实基础1、填空：〔1〕当0°＜α＜90°时，α是 角； 〔2〕当α＝ °时，α是直角；〔3〕当90°＜α＜180°时，α是 角； 〔4〕当α＝ °时，α是平角。
2、如右图，∵AB ∥CE ，〔已知〕 ∴∠A ＝ ，〔 〕∴∠B ＝ ，〔 〕 〔第2题〕 二、探索练习：根据知道三角形的三个内角和等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结论呢？〔提出问题，激发学生的兴趣〕结论：三角形三个内角和等于180°〔几何表示〕 练习1： 1、判断：〔1〕一个三角形的三个内角可以都小于60°； 〔 〕 〔2〕一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； 〔 〕 2、在△ABC 中，A BC a bcABCDE123〔1〕∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度； 〔2〕∠B=100°，∠A=∠C ，则∠C= 度； 〔3〕2∠A=∠B+∠C ，则∠A= 度。
《义务教育教科书》北师大版数学 七级 下册 第四章第节认识三角形教学课件(共23张PPT)
或周长； ∣ x –4∣=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.
若三角形的两边长分别为a和b, 设a≥b,则第三边c的范围是___________ （2）4cm，5cm，9cm；
40cm,50cm,60cm,
2.探索三角形三边的关系，懂得判断三条线段能否构成___;
（1）1cm，2cm，； （2）4cm，5cm，9cm；
（3）6cm , 8cm, 13cm
解:(1)∵ 1+2=3 ＜
不满足任意两边之和大于第三边
∴不能组成三角形
2、现有木棒4根,长度分别为12、 10、 8、 4, 选其中3根组成三
角形,则能组成三角形的个数是( )
C
12，10，8
12，10，4
D
解：连接BD，AC交于点M，点M即为建水厂处.
A
理由：取不同于M点的任意一点N，连接AN，BN，
CN,DN.
M
在△ACN中，AN+CN ＞AC; 在△BDN中，BN+DN ＞BD;
B
∴AN+BN+CN+DN ＞AC+BD;
即AN+BN+CN+DN ＞AM+CM+BM+DM.
所以当水厂建在AC ， BD 交于点M处时，可使MA+MB+MC+MD最小.
40cm,50cm,60cm,
已有
40cm 90cm
90cm,130cm
商 店
光头强要做一个三角 形的铁架子,现已有两条 长分别为40cm和90cm的铁 条,需要再买一根铁条,把
它们首尾焊接在一起.
北师大版数学七年级下册第四章
认识三角形(2)