山东省菏泽市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷
数学试题
本试卷共4页，共150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小,5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.不等式0>22mxx的解集为{2>1<|xxx或}，则实数m的值为
A.2 B.-3 C. -3 D.3
2.双曲线1222yx的渐进线方程为
A. xy22 B. xy2 C. xy2 D. xy21
3.已知命题0>2-3,1:2xxxp，则p为
A. 0>2-3,1<2xxx B. 02-3,1<2xxx
C. 02-3,12xxx D. 0<2-3,12xxx
4.中国是世界上最古老的文明中心之一。中国古代的世界上最重要的贡献之一就是发明了独
一无二的瓷器，中国瓷器是世界上独一无二的。它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，
陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美。现有一椭圆形明代瓷盘，经
测量得到图中数据。则该椭圆瓷盘的焦距为
A. 38 B. 32 C. 34 D.4
5.如图，已知正方体1111DCBAABCD，点E是上底面’’CA的中心，若
ADyABxAAAE'
，则yx
A. 21 B.1 C. 23 D.2
6.已知斜率为k的直线l与抛物线C: xy42交于A、B两点，线段AB的中点为M(2,1)，
则直线l的方程为
A. 032yx B. 052yx C. 02yx D.
01yx
7.甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：
第一种：在前一半路程用速度1，在后一半路程用速度为）（212，平均速度为
第二种：在前一段时间用速度1，在后一半时间用速度）（212，平均速度为'，则，
'
的大小关系为
A. ’> B. ’< C. ’ D.无法确定
8.抛物线 的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若ABF的周长为24.
则p=
A.2 B. 22 C.8 D. 4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.在下列函数中，最小值是2的是
A. xxy1 B. xxy22
C. )2,0(,sin1sinxxxy D. 322xxy
10.已知A、B两点的坐标分别是(-1,0), (1,0), 直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率
之积为m，则下列结论正确的是
A.当m=-1时.点P的轨迹圆（除去与x轴的交点〉
B.当-1
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，090BAD ,PA⊥底面ABCD，
且PA=AD=AB=2BC，M、N 分别为PC、PB的中点，则
A. CD⊥AN
B. BD⊥PC
C. PB⊥平面ANMD
D. BD与平面ANMD所在的角为30°
12.意大利著名数学家斐波那契在研宄兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1，2,3,5,…，
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{na}
称为“斐波那奘数列”,记nS为数列{na}的前n项和，则下列结论正确的是
A. 86a B. 337S
C. 20202019531...aaaaa D.
2019
2019
2222
1
2019
...aaaaa
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知)8,,2().4,3,(ybxa，且a∥b，则||a .
14. 已知数列{na}的前n项和为nnSn2， 令nnbaln,记数列{nb}的前n项的积为
nT，则99
T
.
15.已知F1、F2是双曲线C: 0)>b(19222byx的两个焦点，点0> 4,00xxM），（在双
曲线C上，21AFF的面积为20,则双曲线C的离心率e= .
16. 在棱长为6的正方体1111DCBAABCD中，M是BC的中点，点P是正方形''DCDC内
(包括边界)的动点，且满足∠APD=∠MPC，则PCPD ，当三棱锥P-BCD的体积取得最
大值时，此时PB= .
四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)
设：p实数x满足0<4-x2-x；：q实数x满足0>67-22ttxx.其中实数0>t，已知
p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围.
18. (12分)在正方体1111DCBAABCD中，棱长为1.
(1)求直线BC与直线B1D所成角的余弦值:
(2)求点A到平面B1CD的距离.
19.(12分)已知抛物线C: 0)>(22ppyx的焦点为F，点A)1,(0xA为物物线C上，且
|AF|=3.
(1)求抛物线C的方程及0x的值.
(2)设点O为坐标原点，过抛物线C的焦点F作斜率为43的直线l交物线于
）（，212211< ),(),(xxyxNyxM
两点，点Q为抛物线C上异于M,N的一点，若
ONtOMOQ
，求实数t的值.
20.(12分）已知各项均为正数的等比数列{na}的公比q>1，且41aa是方程0892xx的
两根，记{na}的前n项和为nS.
(1)若4,62aSan，依次成等差数列，求m的值：
(2)设102nabnn,数列{nb}的前n项和为nT，若nT>0,求n的极小值.
21. (12分〉在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为长方形，SB丄底面ABCD,其中BS = 2, BA =
2,BC =, 的可能取值为：①41；②21；③23④23⑤3
(1)求直线与平面ABCD所成角的正弦值;
(2)若线段CD上能找到点E，满足AE丄SE，则可能的取值有几种
情况？请说明理由；
(3)在（2)的条件下，当为所有可能情况的最大值时,线段CD上满
足AE丄SE的点有两个，分別记为E1，E2，求二面角E1-SB-E2的大
小.
22. (12分)
已知椭圆C: 0)>b>(12222abyax,且椭圆C上恰有三点在集合
{），），（，），（，），（，（10046322-33-32233}中.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，且满足0A丄0B，试探究：点 O到直线的
距离是否为定值.如果是，请求出定值；如果不是，请明说理由.
(3)在(2)的条件下，求AOB面积的最大值.
2019-2020学年山东省潍坊市高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．C．D．a3＞b32．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．（5分）如图，空间四边形OABC中，，，，点M为OA的中点，点N 在线段BC上，且CN＝2NB，则＝（）A．B．C．D．4．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（）A．75斤B．70斤C．65斤D．60斤5．（5分）已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，，则这个二面角的度数为（）A．30°B．45°C．90°D．150°6．（5分）为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C （单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（）A．4mg/L B．6mg/L C．8mg/L D．12mg/L7．（5分）已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足|AF|+|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离等于（）A．2B．3C．4D．68．（5分）已知数列{a n}满足a n a n+1＝3n，且a1＝1，则数列{a n}的前9项和S9＝（）A．160B．241C．243D．484二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2＜﹣1”B．命题“∃x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“∀x∈（﹣3，+∞），x2＞9”C．“x2＞y2”是“x＞y”的必要而不充分条件D．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件10．（5分）设数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则（）A．d＞0B．a8＝0C．S7或S8为S n的最大值D．S5＞S611．（5分）已知P是椭圆上一点，F1，F2为其左右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是（）A．P点纵坐标为3B．C．△F1PF2的周长为D．△F1PF2的内切圆半径为12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，则（）A．直线AD1与BD的夹角为60°B．平面AED⊥平面A1FD1C．点C1到平面AB1D1的距离为D．若正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量（x，y，2）与向量（1，2，4）共线，则x+y＝．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，a2，a3是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则S4＝．15．（5分）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系分别为：s甲＝v，s＝v．根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主乙要责任的可能是车，理由是．16．（5分）已知F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E 的离心率是．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知p：“实数x满足不等式”；q：“实数x满足不等式x2﹣3kx+2k2≤0，其中实数k＞0”．若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝AB＝AA1，∠CAB＝90°，M是B1C1的中点，N是AC的中点．（1）求证：MN∥平面ABB1A1；（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成的角的大小．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n，且数列是首项为1，公差为的等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．20．（12分）给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝﹣2．（1）对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；（2）过点（4，0）的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B不同两点，试探究是否总有？请说明理由．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥PD，AD∥BC，AD＝CD＝1，BC＝2，二面角P﹣CD﹣A为45°，E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：四边形ABCD为直角梯形；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值．22．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且a，b，1依次成等比数列，其离心率为．过点M （0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）当|AB|＝时，求直线l的方程；（3）在平面直角坐标系xOy中，若存在与点M不同的点G，使得|GA|•|MB|＝|MA|•|GB|成立，求点G的坐标．2019-2020学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．C．D．a3＞b3【解答】解：a＞b＞0，则c≤0时A不成立；＜，因此B不成立；＞1，因此C不成立；由y＝x3在R上单调递增，因此D成立．故选：D．2．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【解答】解：∵双曲线标准方程为﹣＝1，其渐近线方程是﹣＝0，整理得．故选：A．3．（5分）如图，空间四边形OABC中，，，，点M为OA的中点，点N 在线段BC上，且CN＝2NB，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：空间四边形OABC中，，，，所以＝++＝++＝﹣++（﹣）＝﹣++＝﹣++．故选：D．4．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（）A．75斤B．70斤C．65斤D．60斤【解答】解：设第1个孩子分到的棉花为a，根据题意可知，第1个孩子开始，以后每人分到的棉花是以a为首项，以17为公差的等差数列，S8＝＝996，解可得，a＝65．故选：C．5．（5分）已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，，则这个二面角的度数为（）A．30°B．45°C．90°D．150°【解答】解：设这个二面角的度数为α，由题意得＝，∴＝+2•cos（π﹣α），∴（5）2＝25+9+16﹣2×3×4×cosα，解得cosα＝0，∴α＝90°．∴这个二面角的度数为90°．故选：C．6．（5分）为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C （单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（）A．4mg/L B．6mg/L C．8mg/L D．12mg/L【解答】解：t＞0，则＝≤＝4，当且仅当t＝3时取等号．则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为4mg/L．故选：A．7．（5分）已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足|AF|+|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离等于（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵F是抛物线y2＝4x的焦点，∴F（1，0），准线方程x＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1＝8，∴x1+x2＝6，∴线段AB的中点横坐标为3，∴线段AB的中点到y轴的距离为3．故选：B．8．（5分）已知数列{a n}满足a n a n+1＝3n，且a1＝1，则数列{a n}的前9项和S9＝（）A．160B．241C．243D．484【解答】解：a n a n+1＝3n，且a1＝1，可得a2＝3，n≥2时，a n﹣1a n＝3n﹣1，相除可得＝3，则数列{a n}的奇数项和偶数项均为公差为3的等比数列，可得S9＝（1+3+9+27+81）+（3+9+27+81）＝+120＝241，故选：B．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2＜﹣1”B．命题“∃x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“∀x∈（﹣3，+∞），x2＞9”C．“x2＞y2”是“x＞y”的必要而不充分条件D．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件【解答】解：对于选项A：命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2≤﹣1”故A错误．对于选项B：命题“∃x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“∀x∈（﹣3，+∞），x2＞9”故B 正确．对于选项C：“x2＞y2”是“x＞y”的既不必要又不充分条件，故C错误．对于选项D：关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件是：，整理得m＜0，故D正确．故选：BD．10．（5分）设数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则（）A．d＞0B．a8＝0C．S7或S8为S n的最大值D．S5＞S6【解答】解：a1＞0且S6＝S9，∴6a1+d＝9a1+d，化为：a1+7d＝0，可得a8＝0，d＜0．S7或S8为S n的最大值，S5＜S6．故选：BC．11．（5分）已知P是椭圆上一点，F1，F2为其左右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是（）A．P点纵坐标为3B．C．△F1PF2的周长为D．△F1PF2的内切圆半径为【解答】解：∵椭圆，∴a＝2，b＝2，c＝2．又∵P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，设∠F1PF2＝θ，∴|F1P|+|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝4，∴|F1F2|2＝（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|θ＝32﹣3|F1P|•|PF2|cosθ＝16，得|F1P|•|PF2|cosθ＝．又|F1P|•|PF2|sinθ＝3，∴tan．对于A，由等面积法，得，则，故A错误；对于B，由tan＜，得∠F1PF2＜，故B错误；对于C，△F1PF2的周长为2a+2c＝，故C正确；对于D，设△F1PF2的内切圆半径为r，则，得r＝，故D正确．故选：CD．12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，则（）A．直线AD1与BD的夹角为60°B．平面AED⊥平面A1FD1C．点C1到平面AB1D1的距离为D．若正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形【解答】解：在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，根据所求的结论，建立空间直角坐标系：如图所示：对于选项A：连接B1D1和AB1，所以△AB1D1为等边三角形，所以直线AD1与BD的夹角即为直线AD1与B1D1的夹角为60°，故正确．对于选项B：根据建立的空间直角坐标系：D（0，0，0），E（1，1，），A（1，0，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），F（0，，0），在平面AED中，设该平面的法向量为，，所以，解得：，同理在平面A1FD1中，设该平面的法向量为，则：，．所以：，解得：，由于，所以平面AED⊥平面A1FD1，故正确．对于选项C：设点C 1到平面AB1D1的距离为h，利用，整理得，解得h＝．故错误．对于选项D：正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是位于8个顶点的8个等边三角形和三角形和加粗线部分的正六边形（如图所示），故正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量（x，y，2）与向量（1，2，4）共线，则x+y＝．【解答】解：∵向量＝（x，y，2），向量＝（1，2，4）共线，∴＝m，m∈R；则（1，2，4）＝m（x，y，2）＝（mx，my，2m），即，解得m＝2，x＝，y＝1；∴x+y＝1+＝．故答案为：．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，a2，a3是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则S4＝．【解答】解：由题意可知a2+a3＝4，a2•a3＝3又a2＜a3，所以a2＝1，a3＝3，故q＝3，a1＝，S4＝＝．故答案为：15．（5分）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系分别为：s甲＝v．根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主＝v，s乙要责任的可能是乙车，理由是乙车超过了限定速度．＝v＞6，解得，30＜v＜5+5＜40．【解答】解：7＞s甲s乙＝v＞10．解得：v＞50．根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是乙车，理由是乙车超过了限定速度．故答案为：乙，乙车超过了限定速度．16．（5分）已知F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E的离心率是．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，若|OF|＝|FB|，可得在直角三角形AOB中，由∠AOF＝∠BOF＝∠ABO＝30°，可得＝tan30°＝，a2＝3b2＝3（c2﹣a2），3c2＝4a2，e＝．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知p：“实数x满足不等式”；q：“实数x满足不等式x2﹣3kx+2k2≤0，其中实数k＞0”．若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【解答】解：因为，所以（x﹣6）（x﹣9）＜0，解得6＜x＜9x2﹣3kx+2k2≤0可化为（x﹣k）（x﹣2k）≤0因为k＞0，所以k≤x≤2k，设A＝|x|6＜x＜9}，B＝|x|k≤x≤2k}因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，此时有，所以．故实数k的取值范围是18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝AB＝AA1，∠CAB＝90°，M是B1C1的中点，N是AC的中点．（1）求证：MN∥平面ABB1A1；（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成的角的大小．【解答】（1）证明：取AB的中点H，连结HN、B1H，因为HN是△ABC的中位线，所以HN∥BC，且，又因为B1M∥BC，且，所以HN∥B1M且HN＝B1M所以四边形HNMB1是平行四边形，所以MN∥B1H，又因为MN⊄面ABB1A1，B1H⊂面ABB1A1，所以MN∥面ABB1A1，（2）解：连结A1M，BM，因为A1B1＝A1C1，M是B1C1中点，所以A1M⊥B1C1，又因为面A1B1C1⊥面BCC1B1，A1M⊂面A1B1C1，面A1B1C1∩面BCC1B1＝B1C1所以A1M⊥面BCC1B1，所以直线BM为A1B在面BCC1B1内的射影，所以∠A1BM为直线BA1与平面BCC1B1所成的角，设AB＝2，则在△A1MB中，∠A1MB＝90°，，，所以，所以∠A1BM＝30°，所以直线BA1与平面BCC1B1所成的角为30°．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n，且数列是首项为1，公差为的等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．【解答】解：（1）由题意，所以，当n＝1时，；当n≥2时，；又因为a1＝1适合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n﹣2（n∈N*）；（2）证明：由（1）得a n＝3n﹣2，可得，所以＝，因为，所以．20．（12分）给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝﹣2．（1）对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；（2）过点（4，0）的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B不同两点，试探究是否总有？请说明理由．【解答】解：（1）因为抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0）在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合．又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为：x＝﹣1所以条件④不适合题意．当选择条件③时，|AF|＝x A+1＝1+1＝2，此时适合题意．故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x．（2）假设总有，由题意得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝ty+4，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组，消去x，整理得y2﹣4ty﹣16＝0，所以△＞0恒成立，y1+y2＝4t，y1y2＝﹣16，则x1x2＝（ty1+4）（ty2+4）＝t2y1y2+4t（y1+y2）+16＝﹣16t2+16t2+16＝16所以所以综上所述，无论l如何变化，总有．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥PD，AD∥BC，AD＝CD＝1，BC＝2，二面角P﹣CD﹣A为45°，E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：四边形ABCD为直角梯形；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值．【解答】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊥PD，所以CD⊥AD，因为AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为直角梯形．（2）解：过点A作AD的垂线交BC于点M，则PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点，分别以AM，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（1，﹣1，0），C（1，1，0），D（0，1，0），由（1）知CD⊥AD，又CD⊥PD，则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，则∠PDA ＝45°，PA＝1，所以P（0，0，1），，所以，，，所以，，设平面AEF的法向量，则，即，令：z＝1，则y＝﹣1，x＝﹣1，所以．又平面PAD的法向量，所以，由题意知二面角F﹣AE﹣D为钝角，所以二面角F﹣AE﹣D的余弦值为．22．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且a，b，1依次成等比数列，其离心率为．过点M （0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）当|AB|＝时，求直线l的方程；（3）在平面直角坐标系xOy中，若存在与点M不同的点G，使得|GA|•|MB|＝|MA|•|GB|成立，求点G的坐标．【解答】解（1）由题意知，，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆的标准方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，，不符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+1，联立，得（2k2+1）x2+4kx﹣2＝0，其判别式△＝（4k）2+8（2k2+1）＝8（4k2+1）＞0，设A、B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，（*），所以，整理得4k4﹣5k2+1＝0，解得k2＝1或，所以k＝±1或，综上，直线l的方程为y＝±x+1或．（3）因为存在点G，使|GA|•|MB|＝|MA|•|GB|即①当直线l与x轴平行时，此时所以点G在y轴上，可设G点坐标为（0，y0）．当直线l与x轴垂直时，则A，B的坐标分别为，，由，得，解得y0＝1或y0＝2，因为G不同于点M，则G点坐标只能为（0，2）②下面证明，对任意直线l，均有G（0，2）点，使|GA|•|MB|＝|MA|•|GB|成立．当直线l斜率不存在时，由上知，结论成立．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx+1，由（2）中（*）式得，，所以．易知，点B关于y轴对称的点B'的坐标为（﹣x2，y2），又因为，所以k GA＝k GB'，即G，A，B'三点共线，所以，即|GA|•|MB|＝|MA|•|GB|成立，综上所述：G点坐标为（0，2）．第21页（共21页）。
2023-2024学年山东省菏泽市高二(上)期中数学试卷(B卷)【答案版】
2023-2024学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（B 卷）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线l 1：ax +3y +1＝0与l 2：2x +（a +1）y +1＝0互相平行，则a 的值是（ ） A ．﹣3B ．2C ．﹣3或2D ．3或﹣22．已知点A （2，1），点B 在直线x ﹣y +3＝0上，则|AB |的最小值为（ ） A ．√5B ．√26C ．2√2D ．43．抛物线y =43x 2的焦点坐标为（ ） A ．(0，13)B ．(13，0)C ．(0，316) D ．(316，0) 4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线x ＝﹣1的距离为3，则|MF |＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．75．已知直线l ：（a ﹣2）x +y ﹣3＝0，圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝5．则“a ＝0”是“l 与C 相切”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139，5645，107，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则（ ）A ．e 1＞e 3＞e 2B ．e 2＞e 3＞e 1C ．e 1＞e 2＞e 3D ．e 2＞e 1＞e 37．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点M 为C 上一动点，E （4，1）为定点，则下列结论错误的是（ ）A ．准线l 的方程是x ＝﹣1B ．|ME |﹣|MF |的最大值为2C ．|ME |+|MF |的最小值为5D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切8．已知双曲线x 29−y 216=1的右焦点为F ，点A （9，2），M 是双曲线上的一点，当|MA|+35|MF|取得最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．(−3√52，2)B ．(3√52，2)C ．(9，−8√2)D ．(9，8√2)二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知圆C ：x 2+（y +3）2＝4，则（ ） A ．点（1，﹣2）在圆C 的内部 B ．圆C 的直径为2C ．过点（2，﹣3）的切线方程为x ＝2D ．直线y ＝x 与圆C 相离10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24−y 212=1，则（ ）A ．离心率为2B ．渐近线方程为y =±√3xC ．实轴长为2D ．右焦点到渐近线的距离为2√311．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o （如图所示），设计师的灵感来源于曲线C ：|xa |n +|yb |n =1(n ＞0，n ∈R)．当n ＝4，a ＝2，b ＝1时，下列关于曲线C 的判断正确的有（ ）A ．曲线C 关于x 轴和y 轴对称B ．曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8C ．设M(√3，0)，直线x −y +√3=0交曲线C 于P 、Q 两点，则△PQM 的周长小于8D ．曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为171412．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且∠MF 1F 2=π6，双曲线C 2和椭圆C 1有相同的焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点．若∠F 1PF 2=π2，则（ ） A ．e 2e 1=√22B ．e 1e 2=3√24C ．e 12+e 22=94D ．e 22−e 12=1三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．若直线l 的一个方向向量是d →=(1，√3)，则直线l 的倾斜角是 ． 14．两圆x 2+y 2＝1，（x +4）2+（y ﹣a ）2＝25相内切，则实数a ＝ ．15．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F （1，0），过点F 作互相垂直的两条弦AB ，CD ，两条弦AB 、CD 的中点分别为M ，N ，直线MN 与x 轴交于点E ．当AB 的斜率为√2时，△MFE 的面积为 ． 16．某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为√32，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （﹣2，﹣1）、B （6，3）． （1）求线段AB 的垂直平分线的直线方程；（2）若点A 、B 到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等，求实数a 的值．18．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为2√2，离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 的斜率为1，经过点M （0，t ），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若|AB|=4√23，求t 值． 19．（12分）小徐同学在平面直角坐标系画了一系列直线x ＝t （t ≥0）和以点F （1，0）为圆心，t +1为半径的圆，如图所示，他发现这些直线和对应同一t 值的圆的交点形成的轨迹很熟悉． （1）求上述交点的轨迹M 的方程；（2）过点F 作直线交此轨迹M 于A 、B 两点，点A 在第一象限，且AF →=2FB →，轨迹M 上一点P 在直线AB 的左侧，求三角形ABP 面积的最大值．20．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1． （1）求过点A （2，4）且与圆C 相切的直线方程；（2）若P （x ，y ）为圆C 上的任意一点，求（x +3）2+（y +4）2的取值范围． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，①直线l ：x +y −√2=0过E 的右焦点F ，椭圆的长轴长是下顶点到直线l 的距离的2倍，②点A （﹣2，0），(1，√62)都在C 上，③四点P 1(√3，√62)，P 2(0，√2)，P 3(1，√62)，P 4(1，−√62)中恰有三点在椭圆C 上． 在以上三个条件中任选一个，解答下列问题． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B （2，0），M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点（其中M 在x 轴上方），若直线BN 的斜率等于直线AM 的斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，C 的两条渐近线分别与直线x =a 2c 交于A ，B 两点，且AB 的长度恰好等于点F 到渐近线距离的√3倍． （1）求双曲线的离心率；（2）已知过点F 且斜率为1的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若对于双曲线上任意一点P ，均存在实数λ，μ，使得OP →=λOM →+μON →，试确定λ，μ的等量关系式．2023-2024学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线l1：ax+3y+1＝0与l2：2x+（a+1）y+1＝0互相平行，则a的值是（）A．﹣3B．2C．﹣3或2D．3或﹣2解：直线l1：ax+3y+1＝0与l2：2x+（a+1）y+1＝0互相平行，则a（a+1）＝2×3，解得a＝2或a＝﹣3，当a＝2时，直线l1，l2重合，不符合题意，当a＝﹣3时，直线l1，l2重合，符合题意．故选：A．2．已知点A（2，1），点B在直线x﹣y+3＝0上，则|AB|的最小值为（）A．√5B．√26C．2√2D．4解：|AB|的最小值即为点A到直线x﹣y+3＝0的距离，即√1+1=√2=2√2．故选：C．3．抛物线y=43x2的焦点坐标为（）A．(0，13)B．(13，0)C．(0，316)D．(316，0)解：抛物线方程为：x2=34y，故焦点坐标为：(0，316)，故选：C．4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝﹣1的距离为3，则|MF|＝（）A．4B．5C．6D．7解：如下图所示：根据题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣2，若M到直线x＝﹣1的距离为MM2＝3，则M到抛物线的准线x＝﹣2的距离为MM1＝4，利用抛物线定义可知MF ＝MM 1＝4． 故选：A ．5．已知直线l ：（a ﹣2）x +y ﹣3＝0，圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝5．则“a ＝0”是“l 与C 相切”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：l 与C 相切，则圆心C （1，0）到直线l 的距离d =|a−2−3|√(a−2)+1=r =√5，解得a ＝0或a =52．所以“a ＝0”是“l 与C 相切”的充分不必要条件． 故选：B ．6．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139，5645，107，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则（ ）A ．e 1＞e 3＞e 2B ．e 2＞e 3＞e 1C ．e 1＞e 2＞e 3D ．e 2＞e 1＞e 3解：图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139，5645，107，图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e 1，e 2，e 3， 所以e 1=c a =√1−(b a )2=√1−(913)2=√8813e 2=c a =√1−(b a )2=√1−(4556)2=3√10156， e 3=c a =√1−(b a )2=√1−(710)2=√5110， 因为4556＞710＞913，所以e 1＞e 3＞e 2， 故选：A ．7．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点M 为C 上一动点，E （4，1）为定点，则下列结论错误的是（ ）A ．准线l 的方程是x ＝﹣1B ．|ME |﹣|MF |的最大值为2C ．|ME |+|MF |的最小值为5D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切解：对于选项A ，可知2p ＝4，p2=1，所以焦点F （1，0），准线方程为x ＝﹣1，故A 正确；对于选项B ，|ME|−|MF|≤|EF|=√(1−4)2+(0−1)2=√10，当点M 在射线EF 上时等号成立， 即|ME |﹣|MF |的最大值为√10，故B 错误；对于选项C ，过点M ，E 分别作准线的垂线，垂足分别为A ，B ，则|ME |+|MF |＝|ME |+|MA |≥|EB |＝4+1＝5，当点M 在线段EB 上时等号成立，所以|ME |+|MF |的最小值为5，故C 正确；对于选项D ，设M （x 0，y 0），线段MF 的中点为D ，则x D =x 0+12=|MF|2， 所以线段MF 为直径的圆与y 轴相切，故D 正确． 故选：B ．8．已知双曲线x 29−y 216=1的右焦点为F ，点A （9，2），M 是双曲线上的一点，当|MA|+35|MF|取得最小值时，点M 的坐标为（ ） A ．(−3√52，2) B ．(3√52，2) C ．(9，−8√2) D ．(9，8√2)解：已知双曲线的方程为x 29−y 216=1，所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，此时双曲线的右焦点F （5，0），离心率e =c a =53，右准线方程为x =95， 易知点A （9，2）在双曲线内， 不妨设点M 到右准线的距离是d ， 可得|MF |＝ed ， 所以d =|MF|e =35|MF|， 而|MA|+35|MF|=|MA|+d ，当MA 垂直于右准线时，|MA |+d 取得最小值， 此时不妨设M （x 0，2）（x 0＞0）， 因为M 是双曲线上的一点， 所以x 029−416=1，解得x 0=3√52，则点M 的坐标为(3√52，2)． 故选：B ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知圆C ：x 2+（y +3）2＝4，则（ ） A ．点（1，﹣2）在圆C 的内部B ．圆C 的直径为2 C ．过点（2，﹣3）的切线方程为x ＝2D ．直线y ＝x 与圆C 相离解：A ：将点（1，﹣2）代入圆C ：12+（﹣2+3）2＜4， 所以点（1，﹣2）在圆内，故A 正确；B ：圆C 的半径为2，所以直径为4，故B 错误； C ：将（2，﹣3）代入圆C ：22+（﹣3+3）2＝4， 所以点（2，﹣3）在圆上，过圆上的一点做圆的切线有且只有一条，当斜率k 不存在时，此时过点（2，﹣3）的直线为x ＝2，满足d ＝r ＝2， 故只有唯一的切线方程x ＝2，故C 正确；D ：圆C ：x 2+（y +3）2＝4的圆心为（0，﹣3），半径r ＝2， 所以圆心（0，﹣3）到直线y ＝x 的距离d =|−3|√1+1=3√22＞2，所以直线与圆相离，故D 正确． 故选：ACD ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24−y 212=1，则（ ）A ．离心率为2B ．渐近线方程为y =±√3xC ．实轴长为2D ．右焦点到渐近线的距离为2√3解：∵双曲线方程为x 24−y 212=1，∴a ＝2，b =2√3，c ＝4，∴实轴长为2a ＝4，离心率为ca =2，∴A 正确，C 不正确；∴渐近线方程为y =±ba x =±√3x ，∴B 正确；∵右焦点为（4，0），不妨取渐近线y =√3x ，即√3x −y =0， ∴（4，0）到渐近线y =√3x 距离为d =|43|√3+1=2√3，∴D 正确． 故选：ABD ．11．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o （如图所示），设计师的灵感来源于曲线C ：|xa |n +|yb |n =1(n ＞0，n ∈R)．当n ＝4，a ＝2，b ＝1时，下列关于曲线C 的判断正确的有（ ）A ．曲线C 关于x 轴和y 轴对称B ．曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8C ．设M(√3，0)，直线x −y +√3=0交曲线C 于P 、Q 两点，则△PQM 的周长小于8D ．曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1714解：当n ＝4，a ＝2，b ＝1时，曲线C ：x 416+y 4=1，对于A ，用﹣y 替换y ，x 不变，得x 416+(−y)4=1，即x 416+y 4=1，则曲线C 关于x 轴对称；用﹣x 替换x ，y 不变，得(−x)416+y 4=1，即x 416+y 4=1，则曲线C 关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，由x 416+y 4=1，得|x |≤2，|y |≤1，所以曲线C 在由直线x ＝±2和y ＝±1所围成的矩形内（除曲线与坐标轴的四个交点外），所以曲线C 所围成的封闭图形的面积小于该矩形的面积，该矩形的面积为4×2＝8，故B 正确；对于C ，对于曲线C ：x 416+y 4=1和椭圆x 24+y 2=1，设点（x ，y 1）在x 416+y 4=1上，点（x ，y 2）在x 24+y 2=1上，因为y 14−y 24=1−x 416−(1−x 24)2=(1−x 24)(1+x 24)−(1−x 24)2=(1−x 24)(1+x 24−1+x 24)=12x 2(1−x 24)≥0．所以y 14≥y 24，所以|y 1|≥|y 2|，设点（x 1，y ）在x 416+y 4=1上，点（x 2，y ）在x 24+y 2=1上，因为x 14−x 24=16(1−y 4)−[4(1−y 2)]2=4(1−y 2)[4(1+y 2)−4(1−y 2)]=4（1﹣y 2）•8y 2＝32y 2（1﹣y 2）≥0，所以x 14≥x 24，所以|x 1|≥|x 2|，所以椭圆x 24+y 2=1在曲线C ：x 416+y 4=1内（除四个交点外），如图：设直线x −y +√3=0交椭圆x 24+y 2=1于A ，B 两点，交x 轴于N(−√3，0)，易知，M ，N 为椭圆x 24+y 2=1的两个焦点，由椭圆的定义可知，|AN |+|AM |＝2a ＝4，|BN |+|BM |＝2a ＝4， 所以△ABM 的周长为8，由图可知，△PQM 的周长不小于8，故C 不正确；对于D ，设曲线C ：x 416+y 4=1上的点（x ，y ），则该点到原点O 的距离为√x 2+y 2， 因为x 416+y 4=1，所以设x 24=cosα，y 2=sinα，α∈[0，π2]，则x 2+y 2=4cosα+sinα=√17sin(α+φ)，其中sinφ=17cosφ=17， 所以当sin （α+φ）＝1时，x 2+y 2取得最大值√17，√x 2+y 2取得最大值1714．故D 正确；故选：ABD ． 12．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且∠MF 1F 2=π6，双曲线C 2和椭圆C 1有相同的焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点．若∠F 1PF 2=π2，则（ ） A ．e 2e 1=√22B ．e 1e 2=3√24C ．e 12+e 22=94D ．e 22−e 12=1解：设两曲线的焦距为2c ，椭圆的长轴长为2a 1，短轴长为2b 1， 双曲线的实轴长为2a 2，虚轴长为2b 2， 在Rt △MOF 1中，|OF 1||MF 1|=c a=cosπ6=√32=e 1， 根据对称性，不妨设P 在第一象限内， 则{|PF 1|+|PF 2|=2a 1|PF 1|−|PF 2|=2a 2，两式平方相加可得： |PF 1|2+|PF 2|2=2a 12+2a 22，又∠F 1PF 2=π2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，∴2a 12+2a 22=4c 2，∴1e 12+1e 22=2，又e 1=√32，解得e 2=√62， ∴e 2e 1=√2，∴A 选项错误；∴e 1e 2=3√24，∴B 选项正确；∴e 12+e 22=94，∴C 选项正确； ∴e 22−e 12=34，∴D 选项错误．故选：BC ．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．若直线l 的一个方向向量是d →=(1，√3)，则直线l 的倾斜角是π3．解：设直线l 的倾斜角是θ，可得：tan θ=√3，θ∈[0，π），解得θ=π3． 故答案为：π3．14．两圆x 2+y 2＝1，（x +4）2+（y ﹣a ）2＝25相内切，则实数a ＝ 0 ． 解：圆x 2+y 2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1；圆（x +4）2+（y ﹣a ）2＝25的圆心坐标为（﹣4，a ），半径为5． 由两圆x 2+y 2＝1，（x +4）2+（y ﹣a ）2＝25相内切， 得√16+a 2=5−1=4，解得a ＝0． 故答案为：0．15．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F （1，0），过点F 作互相垂直的两条弦AB ，CD ，两条弦AB 、CD 的中点分别为M ，N ，直线MN 与x 轴交于点E ．当AB 的斜率为√2时，△MFE 的面积为 √2 ．解：由题意，抛物线 y 2＝2px 的焦点F （1，0），可得p2=1，解得p ＝2，所以y 2＝4x ， 又由AB 的斜率为√2，可得直线AB 所在的直线方程为x =√22y +1，直线CD 所在的直线方程为x =−√2y +1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{x =√22y +1y 2=4x ，整理得y 2−2√2y −4=0，所以y 1+y 2=2√2，因为M 为AB 中点，所以M(2，√2)， 同理得N(5，−2√2)，且k MN =3√2−3=−√2， 所以直线MN 的方程为y −√2=−√2（x ﹣2）， 令y ＝0，得x ＝3，所以E （3，0）， 所以S △MFE =12×2×√2=√2． 故答案为：√2．16．某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为√32，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为 60° ．解：由题意，椭圆与圆柱的轴截面如图所示，DE ⊥BC ， 则∠CDE 为“切面”所在平面与底面所成的角，设为θ． 设圆柱的直径为2r ，则CD 为椭圆的长轴2a ，短轴为DE ＝2r ， 则椭圆的长轴长2a ＝|CD |=2r cosθ，cos θ=ra，短轴长2b ＝2r ， 则c =√a 2−b 2，所以椭圆的离心率为e =√32=c a =√1−b 2a2=√1−r 2r 2cos 2θ=sin θ，所以θ＝60°．故答案为：60°．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （﹣2，﹣1）、B （6，3）． （1）求线段AB 的垂直平分线的直线方程；（2）若点A 、B 到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等，求实数a 的值． 解：（1）线段AB 的中点为C （2，1），k AB =−1−3−2−6=12， 故线段AB 的中垂线的方程为y ﹣1＝﹣2（x ﹣2），即2x +y ﹣5＝0．（2）由条件线段AB 的中点为C （2，1）在直线上或线段AB 所在直线与直线平行， 若线段AB 的中点为C （2，1）在直线l 上，则2a +1+1＝2a +2＝0，解得a ＝﹣1； 线段AB 所在直线与直线l 平行，则−a =k AB =12，解得a =−12． 综上所述，a ＝﹣1或−12．18．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为2√2，离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 的斜率为1，经过点M （0，t ），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若|AB|=4√23，求t 值． 解：（1）不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，因为椭圆C 的长轴长为2√2，离心率为√22， 所以2a =2√2，ca =√22， 解得a =√2，c =1， 此时b =√a 2−c 2=1， 则C ：x 22+y 2=1； （2）因为直线l 的斜率为1，经过点M （0，t ）， 不妨设直线l 的方程为y ＝x +t ，联立{x 22+y 2=1y =x +t，消去y 并整理得3x 2+4tx +2（t 2﹣1）＝0，此时Δ＝﹣8t 2+24＞0， 解得t ∈(−√3，√3)，由韦达定理得x 1+x 2=−4t 3，x 1x 2=2(t 2−1)3， 所以|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2×√16t 29−8(t 2−1)3=4√23，即16t 2﹣24（t 2﹣1）＝16， 解得t ＝±1，经检验，符合题意． 故t ＝±1．19．（12分）小徐同学在平面直角坐标系画了一系列直线x ＝t （t ≥0）和以点F （1，0）为圆心，t +1为半径的圆，如图所示，他发现这些直线和对应同一t 值的圆的交点形成的轨迹很熟悉． （1）求上述交点的轨迹M 的方程；（2）过点F 作直线交此轨迹M 于A 、B 两点，点A 在第一象限，且AF →=2FB →，轨迹M 上一点P 在直线AB 的左侧，求三角形ABP 面积的最大值．解：（1）设交点为（x ，y ）， ∴{x =t(x −1)2+y 2=(t +1)2， ∴y 2＝4x ，（2）设直线AB 为y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1＞0，y 2＜0{y 2=4xy =k(x −1)，k 4y 2−y −k =0， {y 1+y 2=4k y 1y 2=−4， ∵AF →=2FB →，∴{1−x 1=2(x 2−1)0−y 1=2(y 2−0)，即y 1＝﹣2y 2 ∴−2y 22=−4， ∴y 2=−√2，y 1=2√2∴A(2，2√2)，B(12，−√2)，AB =92直线AB ：y =2√2(x −1)， 设点P （p 2，2p ），−√22＜p ＜√2， 点P 到直线AB 的距离为d =|22p 2−2p−22|√1+(2√2)2=2√2|(p−√24)2−98|3≤3√24， 所以S △ABP =12d ⋅AB ≤12×3√24×92=27√21620．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1． （1）求过点A （2，4）且与圆C 相切的直线方程；（2）若P （x ，y ）为圆C 上的任意一点，求（x +3）2+（y +4）2的取值范围． 解：（1）圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的圆心为C （1，1），半径r ＝1，当经过点A （2，4）的直线l 与x 轴垂直时，直线方程为x ＝2，此时圆心C 到直线l 的距离等于半径， 故直线l 与圆C 相切，符合题意；当经过点A （2，4）的直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为y ﹣4＝k （x ﹣2），即kx ﹣y ﹣2k +4＝0， 由圆C 到直线的距离d ＝r 得：√k 2+1=1，解得k =43，此时直线l 的方程为y −4=43(x −2)，化简得4x ﹣3y +4＝0， 综上：圆C 的切线方程为x ＝2或4x ﹣3y +4＝0；（2）（x +3）2+（y +4）2的几何意义为圆C 上动点P （x ，y ）与定点A （﹣3，﹣4）距离的平方， 设圆心C （1，1）与点A （﹣3，﹣4）的距离为a ，则a =√(1+3)2+(1+4)2=√41， 所以|P A |的最大值为a +r =√41+1，最小值为a −r =√41−1， 故（x +3）2+（y +4）2的最大值为42+2√41，最小值为42−2√41， 即（x +3）2+（y +4）2的取值范围[42−2√41，42+2√41]．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，①直线l ：x +y −√2=0过E 的右焦点F ，椭圆的长轴长是下顶点到直线l 的距离的2倍，②点A （﹣2，0），(1，√62)都在C 上，③四点P 1(√3，√62)，P 2(0，√2)，P 3(1，√62)，P 4(1，−√62)中恰有三点在椭圆C 上． 在以上三个条件中任选一个，解答下列问题． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B （2，0），M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点（其中M 在x 轴上方），若直线BN 的斜率等于直线AM 的斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．解：（1）选①设椭圆的焦距为2c ，直线l 恒过定点(√2，0)，所以c =√2． 椭圆的下顶点（0，﹣b ）到直线l 的距离d =b+22， 由题意，得{a =b+√2√2a 2=b 2+2，解得a ＝2，b =√2． 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1；选②因为A （﹣2，0），(1，√62)都在C 上，所以{a =2，1a 2+(√62)2b2=1，解得{a =2，b =√2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1；选③由对称知：P 3，P 4都在椭圆C 上，对于椭圆在第一象限的图像上的点（x ，y ）， 易知y 是x 的减函数，故P 1，P 3只有一个点符合，显然P 1不在椭圆上， 所以P 2，P 3，P 4三点在椭圆上，所以b =√2， 将P 3代入椭圆方程可得1a 2+642=1，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；（2）设直线AM 的斜率为k ，即直线AM 的方程为y ＝k （x +2）， 联立直线AM 与椭圆方程{y =k(x +2)，x 24+y 22=1，则（2k 2+1）x 2+8k 2x +8k 2﹣4＝0，所以Δ＝64k 4﹣4（2k 2+1）（8k 2﹣4）＝16＞0， 设M （x 1，y 1），由韦达定理，可得−2x 1=8k 2−42k 2+1，即x 1=2−4k22k 2+1，y 1=k(x 1+2)=4k 2k 2+1，因为直线BN 的斜率等于直线AM 的斜率的2倍， 所以直线BN 的方程为y ＝2k （x ﹣2），联立直线BN 与椭圆方程{y =2k(x −2)，x 24+y 22=1，则（8k 2+1）x 2﹣32k 2x +32k 2﹣4＝0，所以Δ＝（32k 2）2﹣4（8k 2+1）（32k 2﹣4）＝16＞0， 设N （x 2，y 2），由韦达定理可得2x 2=32k 2−48k 2+1，即x 2=16k 2−28k 2+1，y 2=2k(x 2−2)=−8k8k 2+1，由对称性，不妨设k ＞0，则四边形AMBN 的面积S =12×4×(y 1−y 2)=2(4k2k 2+1+8k 8k 2+1)=24×4k+1k(4k+1k)+2=244k+1k +24k+1k， 令t =4k +1k ，则4k +1k ≥2√1k ×4k =4，当且仅当4k =1k ，即k =12，等号成立， 则S =24t+2t ≤244+12=163，故S 的最大值为163． 22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，C 的两条渐近线分别与直线x =a 2c 交于A ，B 两点，且AB 的长度恰好等于点F 到渐近线距离的√3倍． （1）求双曲线的离心率；（2）已知过点F 且斜率为1的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若对于双曲线上任意一点P ，均存在实数λ，μ，使得OP →=λOM →+μON →，试确定λ，μ的等量关系式．解：（1）设直线x =a 2c 与x 轴交于点D ，不妨取一条渐近线l 1：y =ba x ，则tan ∠AOD =b a ，所以|AB |＝2|OD |tan ∠AOD =2abc ， 又F 到l 1：bx ﹣ay ＝0的距离d =bc√a 2+b=b ，所以|AB |=2abc =√3b ，即c =2√33a ，所以e =ca =2√33． （2）由（1）可知，c =2√33a ， 所以c 2=43a 2＝a 2+b 2，所以a 2＝3b 2， 所以双曲线C 的方程为x 23b 2−y 2b 2=1，即x 2﹣3y 2﹣3b 2＝0，则F （2b ，0），直线l ：x ＝y +2b ，由{x =y +2b x 2−3y 2−3b 2=0，消去x 可得﹣2y 2+4by +b 2＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由根与系数的关系可得y 1+y 2＝2b ，y 1y 2=b2−2，设P （x ，y ），则由OP →=λOM →+μON →，可得{x =λx 1+μx 2y =λy 1+μy 2，由点P 在双曲线上，可得（λx 1+μx 2）2﹣3（λy 1+μy 2）2﹣3b 2＝0，即λ2（x 12−3y 12）+2λμ（x 1x 2﹣3y 1y 2）+μ2（x 22−3y 22）﹣3b 2＝0，因为x 1x 2﹣3y 1y 2＝（y 1+2b ）（y 2+2b ）﹣3y 1y 2＝﹣2y 1y 2+2b （y 1+y 2）+4b 2＝9b 2，x 12−3y 12=3b 2，x 22−3y 22=3b 2，所以λ2+6λμ+μ2＝1．。
2019-2020山东潍坊市高二上学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020山东潍坊市高二上学期期末考试数学试题及答案一、单选题1．若0a b >>，则下列不等式中正确的是（）A ．ac bc>B ．11a b>C ．1b a>D ．33a b >2．已知双曲线22194x y -=，则其渐近线方程是（）A ．23y x =±B ．59y x =±C ．53y x =±D ．52y x =±3．如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 为OA 的中点，点N 在线段BC 上，且2CN NB =，则MN =（）A ．121233a b c--B ．112323a b c-++C ．211323a b c-+ D ．121233a b c-++ 4．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（）A ．75斤B ．70斤C ．65斤D ．60斤5．已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，5AB =，3AC =，4BD =，CD =面角的度数为（）A ．30°B ．45︒C ．90︒D ．150︒6．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C （单位：/mg L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2249tC t =+，则一段时间后池塘水中A ．4/mg LB ．6/mg LC ．8/mg LD ．12/mg L7．已知抛物线24y x =，F 为其焦点，抛物线上两点A 、B 满足||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离等于（）A ．2B ．3C ．4D ．68．已知数列{}n a 满足13nn n a a +=，且11a =，则数列{}n a 的前9项和9S =（）A ．160B ．241C ．243D ．484二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件10．设数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（）A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >11．已知P 是椭圆22:184x y E +=上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且12F PF ∆的面积为3，则下列说法正确的是（）A ．P 点纵坐标为3B ．122F PF π∠>C ．12F PF ∆的周长为)41+D ．12F PF ∆的内切圆半径为)312-12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1BB ，CD 的中点，则（）A ．直线1AD 与BD 的夹角为60︒B ．平面AED ⊥平面11A FDC ．点1C 到平面11ABD 的距离为32D ．若正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题13．已知向量(,,2)x y 与向量(1,2,4)共线，则x y +=_______________.14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，2a ，3a 是方程2430x x -+=的两个根，则4S =__________.15．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40/km h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲、乙两种车型的刹车距离sm 与车速/vkm h 之间的关系分别为：21110010s v v =-甲，21120020s v v =-乙.根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是_______________车，理由是__________________________.16．已知F 为双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，且交另一条渐近线于点B ，若||||OF FB =，则双曲线E 的离心率是_____________.四、解答题17．已知p ：“实数x 满足不等式906x x -<-”；q ：“实数x 满足不等式22320x kx k -+≤，其中实数0k >”.若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC AB AA ==，90CAB ∠=︒，M 是11B C 的中点，N 是AC 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求直线1A B 与平面11BCC B 所成的角的大小..19．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭是首项为1，公差为32的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <..20．给出下列条件：①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点A 到其焦点F 的距离等于2；④抛物线的准线方程是2x =-.（1）对于顶点在原点O 的抛物线C ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C 的方程是24y x =，并说明理由；（2）过点()4,0的任意一条直线l 与2:4C y x =交于A ，B 不同两点，试探究是否总有OA OB ⊥？请说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥，//AD BC ，1AD CD ==，2BC =，二面角P CD A --为45︒，E 为PD 的中点，点F 在PC上，且3PC PF=（1）求证：四边形ABCD 为直角梯形；（2）求二面角F AE D --的余弦值.22．已知椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>，O 为坐标原点，P 为椭圆上任意一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，且a ，b ，1依次成等比数列，其离心率为22.过点(0,1)M 的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）当45||3AB =时，求直线l 的方程；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若存在与点M 不同的点G ，使得||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，求点G 的坐标.数学试题参考答案一、单项选择题答案1-8DADCC ABB 二、多项选择题部分9-12BD BC CD ABD 三、非选择题部分13、3214、40315、乙乙车超过了限定速度16、23317、解：因为906x x -<-，所以(6)(9)0x x --<，解得69<<x ，22320x kx k -+≤可化为()(2)0x k x k --≤，因为0k >，所以2k x k ≤≤，设||69}A x x =<<，||2}B x k x k =≤≤，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，此时有629k k ≤⎧⎨≥⎩所以962k ≤≤.18、（1）证明：取AB 的中点H ，连结HN 、1B H ，因为HN 是ABC ∆的中位线，所以//HN BC ，且12HN BC =，又因为1//B M BC ，且112B M BC =，分所以1//HN B M 且1HN B M =所以四边形1HNMB 是平行四边形，所以1//MN B H ，又因为MN ⊄面11ABB A ，1B H ⊂面11ABB A ，所以//MN 面11ABB A ，（2）解：连结1A M ，BM ，因为1111A B A C =，M 是11B C 中点，所以111A M B C ⊥，又因为面111A B C ⊥面11BCC B ，1A M ⊂面111A B C ，面111A B C Ç面1111BCC B B C =所以1A M ⊥面11BCC B ，所以直线BM 为1A B 在面11BCC B 内的射影，所以1A BM ∠为直线1BA 与平面11BCC B 所成的角，设2AB =，则在1A MB ∆中，190A MB ∠=︒，1A M =，1A B =所以1111sin 2A M A BM AB ∠==，所以130A BM ∠=︒，所以直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为30°.19、解：（1）由题意3311(1)222n S n n n =+-=-，所以23122n S n n =-，当1n =时，1131122a S ==-=；当2n ≥时，2213131(1)(1)322222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=-----=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为11a =适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-()*n ∈N ；（2）由（1）得32n a n =-，可得111111(32)(31)33231+⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n n n b a a n n n n ，所以12111111134473231n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，因为1031n >+，所以13n T <.18、解：（1）因为抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F 在x 轴上，所以条件①适合，条件②不适合.又因为抛物线2:4C y x =的准线方程为：1x =-，所以条件④不适合题意，当选择条件③时，1112A AF x =+=+=，此时适合题意，故选择条件①③时，可得抛物线C 的方程是24y x =；（2）假设总有OA OB ⊥，由题意得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为4x ty =+，由244y xx ty ⎧=⎨=+⎩得24160y ty --=设()11,A x y ，()22,B x y 所以>0∆恒成立，124y y t +=，1216y y =-，则()()121244x x ty ty =++()21212416t y y t y y =+++2216161616t t =-++=，所以121216160OA OB x x y y ⋅=+=-=，所以OA OB ⊥ ，综上所述，无论l 如何变化，总有OA OB ⊥.21、（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥，所以CD AD⊥因为//AD BC ，且AD BC ≠，所以四边形ABCD 为直角梯形；（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，则PA AM ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0B -，()1,1,0C ，()0,1,0D，由（1）知CD AD ⊥，又CD PD ⊥，则PDA ∠为二面角P CD A --的平面角，则45PDA ∠=︒，1PA =，所以()0,0,1P ，110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(1,1,1)PC =- ，(0,0,1)AP = ，所以1111,,3333PF PC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，112,,333AF AP PF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，设平面AEF 的法向量1(,,)n x y z = ，则110n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩令：1z =，则1y =-，1x =-，所以()11,1,1n =--，又平面PAD 的法向量()21,0,0n =，所以1212123cos ,3n n n n n n ⋅<>===-⋅，由题意知二面角F AE D --为钝角，所以二面角F AE D --的余弦值为33-.22、解（1）由题意知，222222b a c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，所以椭圆的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l的斜率不存在时，||AB =当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=，其判别式()()222(4)8218410k k k ∆=++=+>，设A 、B 坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则122421k x x k +=-+，122221x x k =-+()*，所以2||213k AB k ===+，整理得424510k k -+=，解得21k =或214k =，所以1k =±或12k =±，综上，直线l 的方程为1y x =±+或112y x =±+；（3）因为存在点G ，使||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅，即||||||||GA MA GB MB =，①当直线l 与x 轴平行时，此时||||1||||MA GA MB GB ==，所以点G 在y 轴上，可设G 点坐标为()00,y ；当直线l 与x 轴垂直时，则A ，B 的坐标分别为(，(0,，由||||||||GA MA GB MB =，得=01y =或02y =，因为G 不同于点M ，则G 点坐标只能为()0,2；②下面证明，对任意直线l ，均有()0,2G 点，使||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，当直线l6斜率不存在时，由上知，结论成立；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，由（2）中()*式得，122421kx x k +=-+，122221x x k ⋅=-+，所以121212112x x k x x x x ++==⋅，易知，点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为()22,x y -，又因为11111211GA y kx k k x x x --===-，2222212111GB y kx k k k x x x x '--===-+=---，所以GA GB k k '=，即G ，A ，B '三点共线，所以12||||||||||x GA GA MA GB GB x MB ==='，即||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，所以G 点坐标为()0,2.。
山东省菏泽市2019～2020学年度高二第一学期期中考试数学B及参考答案bychun
保密★启用前2019－2020学年度第一学期期中考试高中二年级数学试题(B)(本试卷共4页满分150分)注意事项：1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I卷(选择题共52分)一、单项选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列结论正确的是A.若a＞b,c<0,则ac<bcB.若a8＞b8,则a＞bC.若ac＞bc,则a＞bD.a b<则a＞b2.不等式23xx-+<0的解集为A.{x|－2<x<3}B.{x|x<－3}C.{x|－3<x<2}D.{x|x＞2}3.己知a<0,－1<b<0,则A.－a<ab<0B.一a＞ab＞0C.a＞ab＞ab2D.ab＞a＞ab24.在下列函数中,最小值是2的函数是A.1()f x xx=+ B.1cos(0)cos2y x xxπ=+<<C.22()3f xx=+D.4()2xxf x ee=+-5.若点(n,a n)都在函数y＝3x－24图象上,则数列{a n}的前n项和最小时的n等于A.7B.7或8C.8D.8或96.给定两个命题p 、q,若p ⌝是q 的必要不充分条件,则p 是q ⌝的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要务件D.既不充分也不必要条件7.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2,则数列{a n }的通项公式为A.1,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩B.1,123,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩C.23n a n =-D.23n a n =+ 8.在数列{a n }中,a 1＝2,11n n n a a a +=+(n ∈N ＋),则a 20＝ A.121 B.239 C.223 D.1239.某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召,积极实施国家课程校本化。
2019-2020学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试卷(A卷) (解析版)
2019-2020学年山东省菏泽市高一第二学期期末数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题）.1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.45 0.45B．0.5 0.5C．0.5 0.45D．0.45 0.52．复数z＝的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣3i3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63B．69C．75D．816．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2共线，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16D．178．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12C．8D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（）A．从折线图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝D．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形11．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若点P是线段AD上的动点，且满足＝+，则λ+2μ＝1D．若△ABC所在平面内一点P满足＝λ（）（λ≥0），则点P的轨迹一定通过△ABC的内心12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省菏泽市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题(B卷)(含解析)
数学试卷（B 卷）
一、选择题（共 8 小题）.
1．若复数 z 满足 z＝1+2i，则|z|＝（ ）
A．
B．
C．3
D．5
2．数据 1，2，3，4，5，6 的 60%分位数为（ ）
A．3
B．3.5
C．3.6
D．4
3．设 D 为△ABC 所在平面内一点，
（2）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层
抽样的方法抽取 10 户居民，则月平均用电量在[240，260）的用户中应抽取多少户？
20．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BCC1B1 是矩形，平面 ACC1A1⊥平面 BCC1B1， M 是棱 CC1 的中点，CC1＝AC＝2，∠ACC1＝60°． （1）求证：AM⊥BB1； （2）若 N 是 AB 的中点，求证：CN∥平面 AB1M．
（1）若 ⊥ ，求 x；
（2）若＜ ， ＞＝30°，求 x．
19．某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），
[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直
方图如图．
（1）求直方图中 x 的值；
C．3.6
解：由 6×60%＝3.6，
所以数据 1，2，3，4，5，6 的 60%分位数是第 4 个数，为 4．
A．存在某个位置，使 DE⊥A1C
B．存在点 M，使得 BM⊥平面 A1DC 成立
C．存在点 M，使得 MB∥平面 A1DE 成立
D．四棱锥 A1﹣BCDE 体积最大值为
山东省菏泽市2019-2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)
【解析】
【分析】
由已知当 x 0 时总有 xf (x)
f (x) 0 成立，可判断函数 g(x)
f (x) x 在 (0, ) 上为减函
数，由已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，可证明 g(x) 在 (, 0) 上为减函数，不等式
f (x) 0 等价于 xg(x) 0 ，分类讨论即可得到答案．
9.下面是关于复数 z 1 i （ i 为虚数单位）的四个命题，其中正确命题的是（ ）
z 2
A.
C. z 的虚部为 i
B. z 对应的点在第一象限 D. z 的共轭复数为 1 i
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据复数的定义和几何意义以及共轭复数的概念依次判断选项即可.
【详解】因为 z 1 i ，
11.设
1,
2 1
Y~N
，
2
,
2 2
，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论
中不正确的是（ ）
A. P Y 2 P Y 1 B. P X 2 P X 1 C. 对任意正数 t ， P X t P Y t D. 对任意正数 t ， P X t P Y t
【答案】ABD
A.
线性回归直线
$y
$bx
$a
必经过点
x1,
y1
，
x2
,
y2
，…
xn
,
yn
中心点
x, y
B. 从独立性检验可知有 99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人
吃地沟油，那么他有 99%可能患胃肠癌
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于 1
D. 将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数 【答案】AC
2019-2020学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．若0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．ac bc > B ．11a b > C ．1b a >D ．33a b >【答案】D【解析】利用不等式的基本性质即可得出. 【详解】 解：A.当0c 时，ac bc =，故错误；B. 0a b >>，不等式两边同时除以ab ，得11b a>，故错误； C. 0a b >>，不等式两边同时除以a ，得1ba<，故错误； D.0a b >>，不等式两边同时取3次幂，得33a b >，故正确，故选：D. 【点睛】熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.2．已知双曲线22194x y -=，则其渐近线方程是（）A ．23y x =±B ．59y x =± C ．3y x =±D ．2y x =±【答案】A【解析】根据双曲线渐近线的公式求解. 【详解】解：由已知3,2a b ==，双曲线22194x y -=，则其渐近线方程是23b y x x a =±=±，故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线的求解，是基础题.3．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 为OA 的中点，点N 在线段BC 上，且2CN NB =，则MN =（ ）A ．121233a b c --B ．112323a b c -++C ．211323a b c -+D ．121233a b c -++【答案】D【解析】运用向量的减法和向量的数乘运算可得结果. 【详解】 解：由已知12211()23232MN ON OM OC CN OA OC CB OA OC OB OC OA=-=+-=+-=+--112123321332OA OB OC a b c =-++=-++， 故选：D. 【点睛】本题考查向量的减法运算，及共线向量的知识.4．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（ ） A ．75斤 B ．70斤 C ．65斤 D ．60斤【答案】C【解析】设第一个孩子分配到1a 斤棉花，利用等差数列前n 项和公式得：81878179962S a ⨯=+⨯=，解方程从而得到1a . 【详解】解：设第一个孩子分配到1a 斤棉花， 则由题意得：81878179962S a ⨯=+⨯=， 解得1a ＝65， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的公式的合理运用.5．已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，5AB =，3AC =，4BD =，CD =（ ） A ．30 B ．45︒ C ．90︒ D ．150︒【答案】C【解析】设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，从而得到cos α，由此能求出结果.【详解】解：设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，22222||||cos()CD CA AB BD CA BD πα∴=+++⋅-， 2(592516234cos 2α∴=++-⨯⨯⨯，解得cos 0α=， ∴90α=︒，∴这个二面角的度数为90︒， 故选：C. 【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题.6．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C （单位：/mg L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2249tC t =+，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（ ） A ．4/mg L B ．6/mg L C ．8/mg L D ．12/mg L【答案】A【解析】利用基本不等式的性质即可得出. 【详解】解：22424499t C t t t ==≤=++，当且仅当3t =时取等号， 因此经过2h 后池水中药品的浓度达到最大4/mg L . 故选：A. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质及应用，属于基础题. 7．已知抛物线24y x =，F 为其焦点，抛物线上两点A 、B 满足||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】B【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出,A B 的中点纵坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离. 【详解】解：抛物线24y x =的焦点()1,0F ,准线方程1x =-， 设()()1122,,,A x y B x y ，12||||118AF BF x x ∴+=+++=，解得126x x +=，∴线段AB 的中点横坐标为3， ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为3， 故选：B.【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，是基础题.8．已知数列{}n a 满足13n n n a a +=，且11a =，则数列{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．160 B ．241 C ．243 D ．484【答案】B【解析】由13n n n a a +=可得113n n a a +-=，利用11a =，可推出239,,a a a ，直接求和即可. 【详解】 解：13n n n a a +=，113n n n a a --∴=，两式相除得113n n a a +-=， 因为11a =，所以35793,9,27,81a a a a ====，由13n n n a a +=，得123a a =，23a ∴=，4689,27,81a a a ===， 所以912(392781)241S =+⨯+++=， 故选：B. 【点睛】本题考查数列求和问题，关键是求出113n n a a +-=，该数列隔项为等比数列，由于只求前9项和，每个都求出来更方便，是中档题.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件 【答案】BD【解析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断. 【详解】解：A.命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故错误；B.命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，正确；C.22x y x y >⇔>，x y >不能推出x y >，x y >也不能推出x y>，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件，正确， 故选：BD. 【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题.10．设数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC 【解析】将2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭看成关于(),0n n N n ∈≠的一个二次函数，利用二次函数的性质研究其最值，进而可得答案. 【详解】 解： 因为1(1)2n n n S na d -=+， 所以2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则n S 是关于(),0n n N n ∈≠的一个二次函数， 又10a >且69S S =，对称轴691522n +==，开口向下，则0d <，故A 错误，又n 为整数，所以n S 在[]1,7上单调递增，在[)8,+∞上单调递减， 所以56S S <，故D 错误，所以最靠近152的整数7n =或8n =时，n S 最大，故C 正确，所以788,0S S a =∴=，故B 正确，故选：BC. 【点睛】本题考查数列的函数特性，关键是利用n S 的二次函数特性来解决问题，是中档题.11．已知P 是椭圆22:184x y E +=上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且12F PF ∆的面积为3，则下列说法正确的是（ ） A ．P 点纵坐标为3 B ．122F PF π∠>C ．12F PF ∆的周长为)41D ．12F PF ∆的内切圆半径为)312【答案】CD【解析】设(,)P m n ，利用12122F PF Sc n =⨯⨯以及椭圆方程可求出P 点坐标，即可判断A ；求出1PF ，2PF ，利用韦达定理可判断B ；根据椭圆的定义可判断C ；根据内切圆半径和面积的关系，可判断D. 【详解】解：由已知2,2a b c ===，不妨设(,),0,0P m n m n >>，则121232F PFS c n =⨯⨯= 32n ∴=，故A 错；2232184m ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴+=，得m =322P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，2219392244PF ⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭2229392244PF ⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭22212397(2)216042PF PF c ∴+-=⨯-=>，2221212(2)cos 20L PF PF c FPF PF PF +-∴∠=⋅>，122F PF π∴∠<，故B 错；由椭圆定义，12F PF ∆的周长224a c =+=，故C 正确；设12F PF ∆的内切圆半径为r ，1(424)32r ⋅+=，3(21)2r ∴=-，故D 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算要熟练，考查学生计算能力，是中档题.12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1BB ，CD 的中点，则（ ）A ．直线1AD 与BD 的夹角为60︒B ．平面AED ⊥平面11A FDC ．点1C 到平面11ABD 的距离为32D ．若正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形 【答案】ABD【解析】对A ：通过平移使直线1AD 与BD 共面来求解；对B ：通过证明线面垂直来得到面面垂直；对C ：利用体积法求点到面的距离；对D ：作出截面可判断. 【详解】解：对A ，连结111,D B AB ，则11AD B ∠为直线1AD 与BD ，明显11AD B为等边三角形，故A 正确；对B ，易得11,D F AD D F AE ⊥⊥，所以1D F ⊥面AED ，所以平面AED ⊥平面11A FD ，故B 正确；对C ，1111111111313111322C ABCD A B C D B ABC AB D V V V ---=-=-⨯⨯⨯⨯⨯=，又1113322222AB D S=⨯⨯⨯=， 所以点1C 到平面11AB D 的距离为1111332332AB D AB D C V S-==，故C 错误；对D ，，D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查线面角，点面距离，截面问题，面面垂直，考查空间想象能力和计算能力，是中档题.三、填空题13．已知向量(,,2)x y 与向量(1,2,4)共线，则x y +=_______________.【答案】32【解析】设λ，有(,,2)(1,2,4)x y λ=，列方程组求出,x y 即可. 【详解】解：因为向量(,,2)x y 与向量(1,2,4)共线， 则存在λ，使(,,2)(1,2,4)x y λ=，224x y λλλ=⎧⎪∴=⎨⎪=⎩，解得1,12x y ==，32x y ∴+=， 故答案为：32. 【点睛】本题考查空间向量共线问题，是基础题.14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，2a ，3a 是方程2430x x -+=的两个根，则4S =__________.【答案】403【解析】解方程求出2a ，3a ，进而可求出公比，根据公比求出1a ，4a ，则4S 就可以求出来了. 【详解】解：由已知解方程得2313a a =,=，3q ∴=，141,93a a ∴==， 414013933S ∴=+++=， 故答案为：403.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，是基础题.15．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40/km h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲、乙两种车型的刹车距离sm 与车速/vkm h 之间的关系分别为：21110010s v v =-甲，21120020s v v =-乙.根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是_______________车，理由是__________________________.【答案】乙 乙车超过了限定速度【解析】根据所给函数，算出两车的车速即可得到答案. 【详解】解：对甲车：令211610010v v -=，解得30v =（负值舍去），甲车车速在限速以内；对乙车：令2111020020v v -=，解得50v =（负值舍去），乙车车速超过限速，故答案为：乙；乙车超过了限定速度. 【点睛】本题考查函数模型的应用，是基础题.16．已知F 为双曲线2222:1x y E a b -=(0,0)a b >>的右焦点，过点F向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，且交另一条渐近线于点B ，若||||OF FB =，则双曲线E 的离心率是_____________.【答案】3【解析】求得双曲线的渐近线方程，结合直角三角形的性质和渐近线的对称性，可得,a b 关系，进而可得离心率. 【详解】解：双曲线2222:1x y E a b -=的渐近线方程为b y x a =±，若||||OF FB =，可得在直角三角形OAB 中， 由30AOF BOF ABO ︒∠=∠=∠=，可得tan 30b a ︒== 2222222141133c a b b a a a +∴==+=+=，e ∴=23. 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题.四、解答题17．已知p ：“实数x 满足不等式906x x -<-”；q ：“实数x 满足不等式22320x kx k -+≤，其中实数0k >”.若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围.【答案】9|62k k ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】求出p ，q 的等价命题，然后利用p 是q 的充分不必要条件，列不等式组求解实数k 的取值范围. 【详解】解：因为906x x -<-，所以(6)(9)0x x --<， 解得69<<x ，22320x kx k -+≤可化为()(2)0x k x k --≤，因为0k >，所以2k x k ≤≤，设||69}A x x =<<，||2}B x k x k =≤≤， 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以A B ，此时有629k k ≤⎧⎨≥⎩所以962k ≤≤.故实数k 的取值范围是9|62k k ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查考查对充分性和必要性的理解，考查计算能力，是基础题.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC AB AA ==，90CAB ∠=︒，M 是11B C 的中点，N 是AC 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求直线1A B 与平面11BCC B 所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）30【解析】（1）取AB 的中点H ，连结HN 、1B H ，先证明四边形1HNMB 是平行四边形，得到1//MN B H ，利用线面平行的判定理可得结果；（2）连结1A M ，BM ，得到1A BM ∠为直线1BA 与平面11BCC B 所成的角，在1A MB ∆中求出1A BM ∠. 【详解】（1）证明：取AB 的中点H ，连结HN 、1B H ， 因为HN 是ABC ∆的中位线，所以//HN BC ，且12HN BC =， 又因为1//B M BC ，且112B M BC =， 分所以1//HN B M 且1HN B M = 所以四边形1HNMB 是平行四边形， 所以1//MN B H ，又因为MN ⊄面11ABB A ，1B H ⊂面11ABB A ， 所以//MN 面11ABB A ，（2）解：连结1A M ，BM ，因为1111A B AC =，M 是11B C 中点，所以111A M B C ⊥，又因为面111A B C ⊥面11BCC B ，1A M ⊂面111A B C ， 面111A B C 面1111BCC B B C = 所以1A M ⊥面11BCC B ，所以直线BM 为1A B 在面11BCC B 内的射影， 所以1A BM ∠为直线1BA 与平面11BCC B 所成的角， 设2AB =，则在1A MB ∆中，190A MB ∠=︒，1A M =1A B =所以1111sin 2A M A BM AB ∠===，所以130A BM ∠=︒， 所以直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为30.【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是中档题.19．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为32的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <. 【答案】（1）32n a n =-()*n ∈N （2）证明见解析【解析】（1）先利用等差数列的通项公式，求出nS n，即可得n S ，再根据1n n n a S S -=-，求出{}n a 的通项公式； （2）利用裂项相消法求nT ，然后观察可得结果.【详解】 解：（1）由题意3311(1)222n S n n n =+-=-，所以23122n S n n =-， 当1n =时，1131122a S ==-=； 当2n ≥时，2213131(1)(1)322222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=-----=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为11a =适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-()*n ∈N ；（2）由（1）得32n a n =-，可得111111(32)(31)33231+⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n n n b a a n n n n ，所以12111111134473231n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 因为1031n >+，所以13n T <.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，n S 法求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，是基础题.20．给出下列条件：①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点A 到其焦点F 的距离等于2；④抛物线的准线方程是2x =-.（1）对于顶点在原点O 的抛物线C ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C 的方程是24y x =，并说明理由；（2）过点()4,0的任意一条直线l 与2:4C y x =交于A ，B 不同两点，试探究是否总有OA OB ⊥？请说明理由.【答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有OA OB ⊥，证明见解析【解析】（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；（2）假设总有OA OB ⊥，设直线l 的方程为4x ty =+，联立244y x x ty ⎧=⎨=+⎩，利用韦达定理计算OA OB ⋅可得结果. 【详解】解：（1）因为抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F 在x 轴上，所以条件①适合，条件②不适合.又因为抛物线2:4C y x =的准线方程为：1x =-， 所以条件④不适合题意， 当选择条件③时，1112A AF x =+=+=，此时适合题意，故选择条件①③时，可得抛物线C 的方程是24y x =； （2）假设总有OA OB ⊥， 由题意得直线l 的斜率不为0， 设直线l 的方程为4x ty =+，由244y xx ty ⎧=⎨=+⎩得24160y ty --= 设()11,A x y ，()22,B x y所以>0∆恒成立，124y y t +=，1216y y =-， 则()()121244x x ty ty =++()21212416ty y t y y =+++2216161616t t =-++=，所以121216160OA OB x x y y ⋅=+=-=， 所以OA OB ⊥，综上所述，无论l 如何变化，总有OA OB ⊥. 【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥，//AD BC ， 1AD CD ==，2BC =，二面角P CD A --为45︒，E 为PD的中点，点F 在PC 上，且3PC PF =（1）求证：四边形ABCD 为直角梯形； （2）求二面角F AE D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）33-【解析】（1）通过证明//AD BC ，且AD BC ≠可得四边形ABCD 为直角梯形；（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，则PA AM ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，求出面AEF 和面PAD 的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角F AE D--的余弦值. 【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥， 所以CD AD ⊥因为//AD BC ，且AD BC ≠， 所以四边形ABCD 为直角梯形；（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，则PA AM ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0B -，()1,1,0C ，()0,1,0D ，由（1）知CD AD ⊥，又CD PD ⊥，则PDA ∠为二面角P CD A --的平面角，则45PDA ∠=︒，1PA =，所以()0,0,1P ，110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,1,1)PC =-，(0,0,1)AP =， 所以1111,,3333PF PC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 112,,333AF AP PF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，设平面AEF 的法向量1(,,)n x y z =，则110n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩令：1z =，则1y =-，1x =-，所以()11,1,1n =--， 又平面PAD 的法向量()21,0,0n =， 所以12121213cos ,33n n n n n n ⋅-<>===-⋅， 由题意知二面角F AE D --为钝角， 所以二面角F AE D --的余弦值为33-【点睛】本题考查线面垂直，线线垂直的性质，以及空间向量法求二面角，考查计算能力与空间想象能力，是基础题.22．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>，O 为坐标原点，P 为椭圆上任意一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，且a ，b ，1.过点(0,1)M 的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）当||AB =时，求直线l 的方程；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若存在与点M 不同的点G ，使得||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，求点G 的坐标.【答案】（1）22142x y +=（2）直线l 的方程为1y x =±+或112y x =±+（3）G 点坐标为()0,2【解析】（1）根据条件列关于,,a b c 的方程组，解方程组即可得结果；（2）验证当直线l 的斜率不存在时的情况，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，先利用弦长公式求出||AB ，列方程求出k ，进而可得直线l 的方程；（3）验证当直线l 与x 轴平行和垂直时的情况，直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，利用（2）中所求，利用韦达定理得到G ，A ，B '三点共线，进而可得||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，G 点坐标也可求出.【详解】解（1）由题意知，22222b a ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，所以椭圆的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l的斜率不存在时，||AB =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=，其判别式()()222(4)8218410k k k ∆=++=+>，设A 、B 坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则122421kx x k +=-+，122221x x k =-+()*， 所以||AB ===，整理得424510k k -+=，解得21k =或214k =， 所以1k =±或12k =±，综上，直线l 的方程为1y x =±+或112y x =±+； （3）因为存在点G ，使||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅，即||||||||GA MA GB MB =，①当直线l 与x 轴平行时，此时||||1||||MA GA MB GB ==，所以点G 在y 轴上，可设G 点坐标为()00,y ；当直线l 与x 轴垂直时，则A ，B的坐标分别为(，(0,，由||||||||GA MA GB MB ==，解得01y =或02y =， 因为G 不同于点M ，则G 点坐标只能为()0,2； ②下面证明，对任意直线l ，均有()0,2G 点，使||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，当直线l 斜率不存在时，由上知，结论成立； 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+， 由（2）中()*式得，122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+， 所以121212112x x k x x x x ++==⋅，易知，点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为()22,x y -， 又因为11111211GA y kx k k x x x --===-， 2222212111GB y kx k k k x x x x '--===-+=---，所以GA GB k k '=，即G ，A ，B '三点共线，所以12||||||||||x GA GA MA GB GB x MB ==='，即||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立， 所以G 点坐标为()0,2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，难度较大.。
山东省菏泽市鄄城县2019-2020学年七年级(下)期末数学试卷(含解析)
2019-2020学年山东省菏泽市鄄城县七年级（下）期末数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，危难时刻，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（）A．物体B．速度C．时间D．空气3．（3分）三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（）A．角平分线B．中位线C．高D．中线4．（3分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（）A．3B．5C．7D．95．（3分）以下计算正确的是（）A．（﹣2ab2）3＝8a3b6B．3ab+2b＝5abC．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8x5D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m36．（3分）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判断a∥b的条件是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④7．（3分）如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，上面分别标上1，3，4，5，6，7，8，9，转盘可以自由转动，转动转盘一次，指针指向的数字为偶数所在区域的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③OD＝OE；④CE+CD＝BC，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题3分，共18分）9．（3分）某颗粒物的直径是0.0000025，把0.0000025用科学记数法表示为．10．（3分）若3m＝9n＝2．则3m+2n＝．11．（3分）如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第块去配，其依据是根据定理（可以用字母简写）12．（3分）某下岗职工购进一批水果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x与售价y 的关系如表所示：数量x（千克）12 3 45售价（元）2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5则y与x的关系式是．13．（3分）计算：20082﹣2009×2007＝．14．（3分）如下图，直线a∥b，则∠A＝度．三、解答题（共78分）15．（6分）计算：（1）（）﹣2﹣23×0.125+20110+|﹣1|．（2）2（a4）3﹣a2a10+（﹣2a7）2÷a2．16．（6分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中x＝4．17．（6分）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AC＝DF，且AC∥DF．求证：∠B＝∠E．18．（8分）已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．（1）写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式；（2）6小时后池中还有多少水？（3）几小时后，池中还有200立方米的水？19．（8分）如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1+∠2＝90°．试说明CD∥AB．20．（8分）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．21．（8分）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．22．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC到D，使得CD＝CB，过点D作DE ⊥AB于点E，交BC于F．求证：AB＝DF．23．（10分）“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是多少米？（2）小明在书店停留了多少分钟？（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？24．（10分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD 延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．2019-2020学年山东省菏泽市鄄城县七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，危难时刻，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．2．（3分）从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（）A．物体B．速度C．时间D．空气【分析】根据函数的定义解答．【解答】解：因为速度随时间的变化而变化，故时间是自变量，速度是因变量，即速度是时间的函数．故选：C．3．（3分）三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（）A．角平分线B．中位线C．高D．中线【分析】三角形的角平分线与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中位线将三角形分成面积为1：3，三角形的高只有与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中线将三角形的一条边平均分成2部分，以这2部分分别为底，分别求新三角形的面积，面积相等．【解答】解：（1）三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；（2）三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：三角形面积为梯形面积的；（3）三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；（4）三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为•BD•AE，△ACD面积为•CD•AE；因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD＝CD，所以△ABD的面积等于△ACD的面积．∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．故选：D．4．（3分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（）A．3B．5C．7D．9【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x 的范围，也就可以求出x的不可能取得的值．【解答】解：5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，则x的不可能的值是9，故选：D．5．（3分）以下计算正确的是（）A．（﹣2ab2）3＝8a3b6B．3ab+2b＝5abC．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8x5D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m3【分析】利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则即可求解；【解答】解：（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，A错误；3ab+2b不能合并同类项，B错误；（﹣x2）（﹣2x）3＝8x5，C错误；故选：D．6．（3分）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判断a∥b的条件是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④【分析】根据平行线的判定方法可以一一证明①、②、③、④都能判断a∥b．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，故①正确．∵∠3＝∠6，∠3＝∠5，∴∠5＝∠6，∴a∥b，故②正确，∵∠4+∠7＝180°，∠4＝∠6，∴∠6+∠7＝180°，∴a∥b，故③正确，∵∠5+∠8＝180°，∠5＝∠3，∠8＝∠2，∴∠2+∠3＝180°，∴a∥b，故④正确，故选：D．7．（3分）如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，上面分别标上1，3，4，5，6，7，8，9，转盘可以自由转动，转动转盘一次，指针指向的数字为偶数所在区域的概率是（）A．B．C．D．【分析】先求出转盘上所有的偶数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：∵在1，3，4，5，6，7，8，9中，偶数有4，6，8，∴转动转盘一次，指针指向的数字为偶数所在区域的概率＝．故选：B．8．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③OD＝OE；④CE+CD＝BC，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】结论①错误．因为图中全等的三角形有3对；结论②正确．由全等三角形的性质可以判断；结论③正确．利用全等三角形的性质可以判断．结论④正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．【解答】解：结论①错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA＝OC＝OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD＝∠COE．在△AOD与△COE中，，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．结论②正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD＝S△COE，∴S四边形CDOE＝S△COD+S△COE＝S△COD+S△AOD＝S△AOC＝S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论③正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴OD＝OE；结论④正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE＝AD，∵AB＝AC，∴CD＝EB，∴CD+CE＝EB+CE＝BC．综上所述，正确的结论有3个．故选：C．二、填空题（每题3分，共18分）9．（3分）某颗粒物的直径是0.0000025，把0.0000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣6．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025用科学记数法表示为2.5×10﹣6，故答案为：2.5×10﹣6．10．（3分）若3m＝9n＝2．则3m+2n＝4．【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行解答即可．【解答】解：∵3m＝32n＝2，∴3m+2n＝3m•32n＝2×2＝4，故答案为：411．（3分）如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第③块去配，其依据是根据定理ASA （可以用字母简写）【分析】显然第③中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等．【解答】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块．故答案为：③；ASA．12．（3分）某下岗职工购进一批水果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x与售价y 的关系如表所示：数量x（千克）12 3 45售价（元）2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5则y与x的关系式是y＝2.1x．【分析】应先得到1千克苹果的售价，总售价＝单价×数量，把相关数值代入即可求得相关函数关系式．【解答】解：易得1千克苹果的售价是2.1元，那么x千克的苹果的售价：y＝2.1x，故答案为：y＝2.1x．13．（3分）计算：20082﹣2009×2007＝1．【分析】把2009×2007变形为（2008+1）（2008﹣1），再运用平方差公式进行计算即可．【解答】解：20082﹣2009×2007＝20082﹣（2008+1）（2008﹣1）＝20082﹣（20082﹣1）＝20082﹣20082+1＝1．故应填：1．14．（3分）如下图，直线a∥b，则∠A＝25度．【分析】本题主要利用平行线的性质以及三角形内角与外角之间的关系解题．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1＝∠ECD＝55°，∵∠1是△ABD的外角，∴∠1＝∠ABD+∠A，即55°＝30°+∠A，∠A＝55°﹣30°＝25°．故∠A＝25°．三、解答题（共78分）15．（6分）计算：（1）（）﹣2﹣23×0.125+20110+|﹣1|．（2）2（a4）3﹣a2a10+（﹣2a7）2÷a2．【分析】（1）首先利用负整数指数幂的性质、零次幂的性质、乘方的意义、绝对值的性质进行计算，再算乘法，后算加减即可；（2）先利用积的乘方计算法则、同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则进行计算，再算单项式除法，后算加减即可．【解答】解：（1）原式＝4﹣8×+1+1＝4﹣1+1+1＝5；（2）原式＝2a12﹣a12+4a14÷a2＝2a12﹣a12+4a12＝5a12．16．（6分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中x＝4．【分析】先把整式进行化简，再把x＝4代入进行计算即可．【解答】解：原式＝x2﹣9﹣x2+2x＝2x﹣9，当x＝4时，原式＝2×4﹣9＝﹣1．17．（6分）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AC＝DF，且AC∥DF．求证：∠B＝∠E．【分析】先证出BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，再证明△ACB≌△DFE，得出对应角相等即可．【解答】证明：∵BF＝CE，∴BC＝EF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ACB和△DFE中，，∴△ACB≌△DFE（SAS），∴∠B＝∠E．18．（8分）已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．（1）写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式；（2）6小时后池中还有多少水？（3）几小时后，池中还有200立方米的水？【分析】（1）根据抽水时间乘以抽水速度，可得抽水量，根据蓄水量减去抽水量，可得剩余水量；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得自变量相应的函数值；（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得函数值相应自变量的值．【解答】解：（1）Q＝800﹣50t；（2）当t＝6时，Q＝800﹣50×6＝500（立方米）．答：6小时候，池中还剩500立方米；（3）当Q＝200时，800﹣50t＝200，解得t＝12．答：12小时后，池中还有200立方米的水．19．（8分）如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1+∠2＝90°．试说明CD∥AB．【分析】先根据角平分线的性质得出∠2＝∠BAC，∠1＝∠ACD，再由∠1+∠2＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，∴∠2＝∠BAC，∠1＝∠ACD．∵∠1+∠2＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴CD∥AB．20．（8分）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．【分析】（1）用黄球的个数除以所有球的个数即可求得概率；（2）根据概率公式列出方程求得红球的个数即可．【解答】解：（1）∵共10个球，有2个黄球，∴P（黄球）＝＝；（2）设有x个红球，根据题意得：＝，解得：x＝5．故后来放入袋中的红球有5个．21．（8分）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2＝∠A＝∠1，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3＝180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，∴∠3＝25°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠3＝25°．22．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC到D，使得CD＝CB，过点D作DE ⊥AB于点E，交BC于F．求证：AB＝DF．【分析】根据余角的定义得出∠D＝∠B，再根据ASA证明△DFC和△BAC全等，最后根据全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DEA＝∠ACB，∴∠D＝∠B，在△DCF和△ACB中，，∴△DCF≌△ACB（ASA），∴AB＝DF．23．（10分）“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是多少米？（2）小明在书店停留了多少分钟？（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，克的答案；（3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；（4）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度．【解答】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米；（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从（8分）到（12分），故小明在书店停留了4分钟．（3）一共行驶的总路程＝1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝1200+600+900＝2700米；共用了14分钟．（4）由图象可知：0～6分钟时，平均速度＝＝200米/分，6～8分钟时，平均速度＝＝300米/分，12～14分钟时，平均速度＝＝450米/分，所以，12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．24．（10分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD 延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．【分析】（1）根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据三角形的外角性质求出∠BDE＝∠CDE＝60°即可．（2）连接MC，可得△MDC是等边三角形，可求证∠EMC＝∠ADC．再证明△ADC≌△EMC即可．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°﹣15°＝30°，∠ABD＝∠ABC﹣15°＝30°，∴BD＝AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC＝BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDE＝15°+45°＝60°，∴∠BDE＝∠DBA+∠BAD＝60°；∴∠CDE＝∠BDE，即DE平分∠BDC．（2）如图，连接MC．∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD．∠DMC＝∠MDC＝60°，∵∠ADC+∠MDC＝180°，∠DMC+∠EMC＝180°，∴∠EMC＝∠ADC．又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM．在△ADC与△EMC中，，∴△ADC≌△EMC（AAS），∴ME＝AD＝BD．。
山东省潍坊市2019-2020学年高二上学期期末数学试题
高二数学本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ）A. ac bc >B. 11a b >C. 1b a >D. 33a b >2.已知双曲线22194x y -=，则其渐近线方程是（ ）A. 23y x =±B. 59y x =±C. y x =D. y = 3.如图，空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =uuu r r ，OC c =u u u r r ，点M 为OA 的中点，点N 在线段BC 上，且2CN NB =，则MN =u u u u r（ ）A. 121233a b c --r r r B. 112323a b c -++r r r C. 211323a b c -+r r r D. 121233a b c -++r r r4.我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（ ）A. 75斤B. 70斤C. 65斤D. 60斤5.已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，5AB =，3AC =，4BD =，CD = ）A 30° B. 45︒ C. 90︒ D. 150︒6.为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C （单位：/mg L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2249t C t =+，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（ ） A. 4/mg LB. 6/mg LC. 8/mg LD. 12/mg L 7.已知抛物线24y x =，F 为其焦点，抛物线上两点A 、B 满足||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6 8.已知数列{}n a 满足13n n n a a +=，且11a =，则数列{}n a 的前9项和9S =（ ）A. 160B. 241C. 243D. 484二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ）A. 命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B. 命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C. “22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D. “0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件10.设数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ）.A. 0d >B. 80a =C. 7S 或8S 为n S 的最大值D. 56S S >11.已知P 是椭圆22:184x y E +=上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且12F PF ∆的面积为3，则下列说法正确的是（ ）A. P 点纵坐标为3B. 122F PF π∠>C. 12F PF ∆的周长为)41 D. 12F PF ∆的内切圆半径为)312- 12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1BB ，CD 的中点，则（ ）A. 直线1AD 与BD 的夹角为60︒B. 平面AED ⊥平面11A FDC. 点1C 到平面11AB DD. 若正方体每条棱所在直线与平面α所成角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(,,2)x y 与向量(1,2,4)共线，则x y +=_______________.14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，2a ，3a 是方程2430x x -+=的两个根，则4S =__________.15.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40/km h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲、乙两种车型的刹车距离sm 与车速/vkm h 之间的关系分别为：21110010s v v =-甲，21120020s v v =-乙.根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是_______________车，理由是__________________________.16.已知F 为双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，且交另一条渐近线于点B ，若||||OF FB =，则双曲线E 的离心率是_____________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知p ：“实数x 满足不等式906x x -<-”；q ：“实数x 满足不等式22320x kx k -+≤，其中实数0k >”.若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC AB AA ==，90CAB ∠=︒，M 是11B C 的中点，N 是AC 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求直线1A B 与平面11BCC B 所成的角的大小.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为32的等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证：13n T <. 20.给出下列条件：①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点A 到其焦点F 的距离等于2；④抛物线的准线方程是2x =-.（1）对于顶点在原点O 的抛物线C ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C 的方程是24y x =，并说明理由；（2）过点()4,0的任意一条直线l 与2:4C y x =交于A ，B 不同两点，试探究是否总有OA OB ⊥u u u r u u u r？请说明理由.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥，//AD BC ， 1AD CD ==，2BC =，二面角P CD A --为45︒，E 为PD 中点，点F 在PC 上，且3PC PF =u u u r u u u r（1）求证：四边形ABCD 为直角梯形；（2）求二面角F AE D --的余弦值.22.已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>，O 为坐标原点，P 为椭圆上任意一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，且a ，b ，1过点(0,1)M 的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）当||3AB =时，求直线l 的方程； （3）在平面直角坐标系xOy 中，若存在与点M 不同的点G ，使得||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，求点G 的坐标.。