2020年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含答案解析)
2020年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.复数，则A. iB.C. 1D.3.已知等差数列，其前n项和为，且，则A. B. C. D.4.某三棱锥的三视图如图所示单位：，则该三棱锥的表面积单位：A. 16B. 32C. 44D. 645.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的，，则输出的A. 8B. 10C. 12D. 226.设C为椭圆上任意一点，，，延长AC至点P，使得，则点P的轨迹方程为A. B.C. D.7.函数的图象可能是A. ．B. ．C. ．D. ．8.2019年4月25日日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为A. 198B. 268C. 306D. 3789.已知抛物线的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为若，则A. 2B. 4C. 6D. 810.已知数列的前n项和，设，则的值等于A. 0B. 1C. 7D. 1411.已知球的直径，A，B是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是A. 2B.C. 4D.12.已知单位向量，满足，若存在向量，使得，则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______．14.人的某一特征如单双眼皮是由他的一对基因决定的，以A表示显性基因，a表示隐性基因，则具有AA基因的人是显性纯合子表现为双眼皮，具有aa基因的人是隐性纯合子表现为单眼皮，具有Aa基因的人为杂合子，显性纯合子与杂合子都显露显性基因决定的某的一特征．孩子从父母身上各得一个基因，假定父母都是杂合子．则一对双眼皮夫妇生一个双眼皮的男孩概率是______．15.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点M，若，则双曲线的离心率为______．16.已知，，若对任意恒成立，则实数m的取值范围是______用区间表示三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛．为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩满分100分作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在内的频数为3．求n的值和估计参赛人员的平均成绩保留小数点后两位有效数字；已知抽取的n名参赛人员中，成绩在和女士人数都为2人，现从成绩在和的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为X，求X的分布列与数学期望．18.已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且．Ⅰ求角A的大小；Ⅱ设S为的面积，求的最大值．19.如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，，，二面角的大小为．Ⅰ证明：；Ⅱ求二面角的正弦值．20.已知椭圆C：的右焦点为，且经过点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设O为原点，直线l：与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x 轴交于点M，直线AQ与x轴交于点若，求证：直线l经过定点．21.已知函数，．若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围；若函数对恒成立，求实数a的取值范围．是自然对数的底数，22.已知平面直角坐标系xOy，直线l过点，且倾斜角为，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．求直线l的参数方程和圆C的标准方程；设直线l与圆C交于M、N两点，若，求直线l的倾斜角的值．23.已知a，b，c均为正实数，函数的最小值为证明：；．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查并集的求法，是基础题．先求出集合A，B，由此能求出．【解答】解：集合，，．故选A．2.答案：C解析：解：，．．故选：C．求出，再由求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：解：已知等差数列，其前n项和为，且，则，故选：D．由题意利用等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，求得结果．本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面ABC．则，所以几何体的表面积为：．故选：B．首先把三视图转换为几何体，画出直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积公式的应用，属于中档题．5.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得，，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，此时，满足条件，退出循环，输出S的值为22．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：解：如图，由椭圆方程，得，，，则，为椭圆两焦点，，，．点P的轨迹是以A为圆心，以为半径的圆，其方程为．故选：B．由已知可得，，为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点P的轨迹是以A为圆心，以为半径的圆，写出圆的标准方程得答案．本题考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．7.答案：D解析：【分析】先计算，发现，所以函数为奇函数，排除A和B选项；再代入特殊值，计算得，所以排除C选项．本题考查图象的识别，一般从函数的单调性、奇偶性和特殊值点处的函数值等方面思考，属于基础题．【解答】解：因为，所以，所以函数为奇函数，排除A、B选项；，所以排除C．故选：D．8.答案：A解析：解：分两种情况讨论：若选两个国内媒体一个国外媒体，有种不同提问方式；若选两个外国媒体一个国内媒体，有种不同提问方式，综合得：不同的提问方式的种数共有种提问方式，故选：A．由排列组合及计数问题分类讨论：若选两个国内媒体一个国外媒体，若选两个外国媒体一个国内媒体，可得解．本题考查了排列组合及计数问题，属中档题．9.答案：B解析：解：由题意，抛物线的焦点为，画出图形，可知，，设AB：与抛物线方程联立，可得可得，所以，，线段AB的中点为若，，即，解得，所以中点Q的横坐标：，，PF：，与的解得，所以．故选：B．画出图形，设出直线方程，求出Q的坐标，推出直线PF的方程，求出P的坐标，然后求解．本题考查直线与抛物线相结合，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10.答案：C解析：解：数列的前n项和，可得，两式相减可得：，又，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，，可得．．故选：C．利用已知条件求出数列是等比数列，求出通项公式，结合，转化求解即可．本题考查数列与函数相结合，数列的通项公式以及函数值的求法，是中档题．11.答案：A解析：解：如图，球的直径，A，B是该球面上的两点，，，，其中h为点A到底面BCD的距离，故当h最大时，的体积最大，即当面面BDC时，h最大，球的直径，，，，，即，此时．故选：A．由题意画出图形，可知要使的体积最大，则面面BDC，求出A到平面BCD的距离，则三棱锥的体积最大值可求．本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，是中档题．12.答案：C解析：解：根据题意，设向量，的夹角为，若，则，即，解可得，则在直角坐标系中，设，则，；则有，，，若，则有，即：，变形可得：，点C在以为圆心，半径为1的圆上，设，则，则有，则有，则的取值范围是；故选：C．根据题意，设向量，的夹角为，若，由数量积的计算公式可得，解可得，由此可以在直角坐标系中，设，则，；则有，，，又由，则有，变形可得，分析可得点C在以为圆心，半径为1的圆上，由点与圆的位置关系分析可得，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是求出向量，的夹角，进而设出向量，的坐标．13.答案：15解析：解：由二项式展开式中只有第4项的二项式系数最大，即展开式有7项，；展开式中的通项公式为；令，求得，故展开式中的常数项为．故答案为：15．根据题意求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中常数项的值．本题主要考查了二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.答案：解析：解：因为父母都是杂合子，即Aa型，可得到孩子的一对基因类型为AA，aa，Aa，概率分别为，，，孩子有显性决定的特征是具有AA，Aa，所以1个孩子有显性决定的特征的概率为．故答案为：．由父母都是杂合子，即Aa型，可得到孩子的一对基因类型为AA，aa，Aa，由随机事件的概率得到三种类型的概率，再由互斥事件的加法公式求解．本题考查随机事件的概率，考查互斥事件加法公式的应用，是基础题．15.答案：解析：解：如图：，设，则，，在中，由正弦定理得，即，，，，由余弦定理得，，．故答案为：．如图：，设，则，，然后在三角形中由正余弦定理列方程可解得离心率．本题考查了双曲线的离心率，属中档题．16.答案：解析：解：由，，若对任意恒成立，可得时，，即，则，即有；又时，，首先满足，且，即，当时，可得，，由可得恒成立，显然或，不满足，有意义，综上可得m的取值范围是．故答案为：．由题意可令，，代入不等式，结合被开方式非负，以及指数函数的单调性和一次函数的单调性，可得m的范围，检验或，即可得到所求范围．本题考查函数恒成立问题的解法，运用先由特值法，再验证是迅速解题的常用方法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．17.答案：解：由频率分布直方图可得：，，成绩在内的频率为，．参赛人员的平均成绩为．成绩在的人数为，的人数为，的可能取值为0，1，2，3，4．，，，，，的分布列为：X 0 1 23 4P．解析：计算a的值得出成绩在内的频率，从而得出n的值；计算成绩在和上的人数，利用组合数公式计算X的各种取值对应的概率，从而得出X的分布列．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ，，化简整理得，，由余弦定理知，，，．Ⅱ由Ⅰ可知，，，，，由正弦定理知，，，，，，，，故的最大值为．解析：Ⅰ先根据边角互化的思想，利用正弦定理，将已知等式中所有的角化成相应的边，变形整理后可得，再结合余弦定理，即可得cos A，进而求得角A的大小；Ⅱ根据三角形的内角和可得，结合Ⅰ中的结论与正弦定理有，，，再利用正弦的面积公式表示出目标函数，并与余弦的两角差公式结合将目标函数化简成余弦型函数，然后结合余弦函数的图象与性质即可得解，在解题的过程中需要注意B或C的范围限定．本题考查解三角形和三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、余弦定理等公式的应用是解题的关键，其中还用到了边角互化的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.答案：解：证明：是AC的中点，，，底面ABCD是菱形，，又，面PDB，又面PDB，．解：由面PDB，面PDB，，过E作于H，连接CH，则面CEH，又面CEH，则，是二面角的平面角．由知是二面角的平面角，所以，设，在中，，是等边三角形，，EH是的中位线，则，，，，，二面角的正弦值为．解析：推导出，，由此能证明．推导出，过E作于H，连接CH，则面CEH，是二面角的平面角．由此能求出二面角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，是中档题．20.答案：解：Ⅰ椭圆C：的右焦点为，且经过点，可得，，则椭圆方程为；Ⅱ证明：与椭圆方程联立，可得，设，，，，，AP的方程为，令，可得，即；AQ的方程为，令，可得即，，，即为，即有，由，解得，满足，即有直线l方程为，恒过原点．解析：本题考查椭圆的方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．Ⅰ由题意可得，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求椭圆方程；Ⅱ与椭圆方程联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线恒过定点的求法，计算可得结论．21.答案：解：，，．当时，恒成立，单调递增，，有唯一零点，即符合题意；当时，令，解得，列表如下：x最小值由表可知，，函数在上递减，在上递增．当，即时，，符合题意；当，即时，，，，故存在，使得，不符题意；当，即时，，，设，，则，单调递增，即，，，故存在，使得，不符题意；综上，a的取值范围为．，则，，．当时，恒成立，单调递增，，即符合题意；当时，恒成立，单调递增，又，，存在，使得，且当时，，即在上单调递减，，即不符题意．综上，a的取值范围为．解析：推导出由此根据，分类讨论，利用导数的性质能求出a的取值范围．推导出，由此利用、分类讨论经，利用导数的性质能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、分类讨论思想、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：因为直线l过点，且倾斜角为，所以直线l的参数方程为为参数．因为圆C的极坐标方程为，所以，所以圆C的普通方程为：，圆C的标准方程为：．直线l的参数方程为，代入圆C的标准方程得整理得设M、N两点对应的参数分别为、，则，所以，，因为，所以或．解析：本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．根据直线参数方程的几何意义得出参数方程，根据极坐标与直角坐标的关系化简得出圆的标准方程；把直线l的参数方程代入圆的标准方程，根据参数的几何意义及根与系数的关系得出．23.答案：证明：，当时，上式取得等号，则的最小值为，即有，所以，当且仅当时，等号成立；由a，b，，可得，，，三式相加可得，可得当且仅当取得等号．解析：由绝对值不等式的性质可得的最小值为，再由乘1法和三元均值不等式，即可得证；由二元均值不等式，结合累加法和不等式的性质，即可得证．本题考查绝对值不等式的性质和均值不等式的运用：证明不等式，考查化简变形能力和推理能力，属于中档题．。
四川省成都市石室中学2020届高考数学适应性试卷1(一)(含答案解析)
四川省成都市石室中学2020届高考数学适应性试卷1（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={y|y=2x}，M=A∩B，则集合M的子集个数是()A. 2B. 3C. 4D. 82.若复数z满足2z+z=3−i，其中i为虚数单位，则|z|=()A. 2B. √3C. √2D. 33.已知x>y，则下列各不等式中一定成立的是()A. x2>y2B. 1x >1yC. lgx>lgyD. 3x+3−y>24.将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，得到f(x)的图象，则f(π2)的值是()A. 1B. 2C. −1D. 05.设x，y满足约束条件{x+2y−5≥0x−2y+3≥0x−5≤0，则z=2x+y的最小值是()A. 4B. 5C. 8D. 96.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为()A. 七尺五寸B. 六尺五寸C. 五尺五寸D. 四尺五寸7.若直线y=kx−1与圆C：x2+y2−2x−2y=0相交于A，B两点，当|AB|=2时，k=()A. −1B. −12C. 34D. 328.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)).则|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=()A. 1B. √3C. 2D.与α有关9.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为()A. 2√2B. 4C. 2√3D. 2√610. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，∠MPN =60°，则双曲线的C 的渐近线方程为( ) A. y =±√22x B. y =±√32x C. y =±√2xD. y =±2√33x 11. 已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2020)=( )A. 50B. 2C. 0D. −5012. 已知曲线C 1：y =xe x (x >0)和C 2：y =x−2e x−2，若直线l 与C 1，C 2都相切，且与C 2相切于点P ，则P 的横坐标为( )A. 3−√5B. √5−1C. 3−√52D. √3−12二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若∠A =2π3，a =√3c ，则bc =______． 14. 已知点A(−1,0)，B(1,0)，过A 的直线与抛物线y 2=4x 相交于P ，Q 两点．若P 为AQ 中点，则|PB||QB|=______．15. 已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在以O 为球心的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，若三棱锥S −ABC 的体积为√26，则球O 的表面积为______．三、解答题（本大题共8小题，共87.0分） 16. 计算(lg 14−lg25)÷100−12=______．17. 2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房货款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：员工子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人人数专项老员工402203中年员工821518青年员工120121(Ⅰ)在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；(Ⅱ)从上表享受住房货款利息专项扣除的员工中随机选取2人，求选取2人都是中年员工的概率．18.如图所示，四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且AB=2AD=4，∠DAB=60°，AD⊥D1D.(Ⅰ)求证：平面D1DBB1⊥平面ABCD；(Ⅱ)若D1D=D1B=2，求三棱锥D−CC1B的体积．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−a1(n∈N∗)，数列{b n}满足b1=6，b n=S n+1a n+ 4(n∈N∗).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)记数列{1b n }的前n项和为T n，证明：T n<12．20.已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x+1)2+y2=16相切．(Ⅰ)求圆心P的轨迹C的方程；(Ⅱ)O是坐标原点，过点(0,1)的直线l与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形？21.已知函数f(x)=lnx−ax+4ax−ln2．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当f(x)存在三个不同的零点时，求实数a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =1−my =k(m −1)(m 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =ny =2+n k(n 为参数).若直线l 1，l 2的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C ．(l)求曲线C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线l 3的极坐标方程为θ=α(ρ≥0)，tanα=43(0<α<π2)，点Q 为射线l 3与曲线C 的交点，求点Q 的极径．23. 已知f(x)=|ax −1x |+|x −ax |，g(x)=|x −2a|−|x −2|(a ∈R)．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)<g(x)+3的解集； (Ⅱ)求证：f(x)≥g(x)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A ={−1,0，1，2}，B ={y|y >0}， ∴M =A ∩B ={1,2}， ∴M 的子集个数是22=4． 故选：C ．可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可求出集合M ，从而可得出M 的子集个数．本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，集合子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：设出复数z ，利用复数相等的条件求出a ，b 的值，然后由复数模的公式计算得答案． 本题考查复数相等的充要条件，考查复数的模的求法，是基础题． 解：设z =a +bi(a,b ∈R)，则z =a −bi ， ∵2z +z =3−i ，∴2(a +bi)+a −bi =3−i ， 即3a +bi =3−i ，解得a =1，b =−1， ∴复数z =1−i 的模为√2． 故选：C ．3.答案：D解析：解：∵x >y ，当x =1，y =−1时，x 2>y 2不成立，lgx >lgy 不成立，故排除A 、C ； 当x =2，y =1时，1x >1y 不成立，故排除B ； 结合所给的选项，只能选D ， 故选：D ．通过举反例，排除部分选项，从而得出结论． 本题主要考查不等式的性质应用，属于基础题．4.答案：D解析：解：函数y =sin2x 的图象向左平移π4个单位， 得到：sin[2(x +π4)]=cos2x ，再向上平移1个单位， 得到f(x)=cos2x +1的图象，所以：f(π2)=cosπ+1=0． 故选：D ．直接对函数的图象进行变换求得结果．本题考查的知识要点：三角函数的图象变换问题及相关的运算．5.答案：A解析：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分，z =2x +y 可得y =−2x +z ，则z 表示直线y =−2x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小由题意可得，当y =−2x +z 经过点A 时，z 最小 由{x +2y −5=0x −2y +3=0可得A(1,2)，此时Z =4． 故选：A ．作出不等式组表示的平面区域，由z =2x +y 可得y =−2x +z ，则z 表示直线y =−2x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值 本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．6.答案：D解析：解：从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列， 则a 5+a 6+a 7+a 8=32，S 5=73.5， 所以{2a 1+11d =165a 1+10d =73.5，解可得，a 1=272，d =−1．故a 10=272−9=4.5．故选：D ．由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及通项公式在实际问题中的应用，属于基础试题．7.答案：A解析：解：由x 2+y 2−2x −2y =0知，(x −1)2+(y −1)2=2．直线y =kx −1恒过点(0,−1)，圆(x −1)2+(y −1)2=2的圆心为C(1,1)，半径为√2， 则点C 到直线y =kx −1的距离d =√k 2+1=√k 2+1，∴|AB|=2(√22)−k 2k 2+1=2，解得k =−1(k <0)．故选：A ．判断直线恒过的定点与圆的位置关系，然后求解弦长．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式，是中档题．8.答案：B解析：解：根据题意，A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3))． 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos(α+π3),sin(α+π3))， 则有OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα+cos(α+π3),sinα+sin(α+π3))， 故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=[cosα+cos(α+π3)]2+[sinα+sin(α+π3)]2=2+2cosαcos(α+π3)+2sinαsin(α+π3)=2+2cos π3=3， 则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3； 故选：B ．根据题意，求出向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．本题考查向量模的计算，涉及向量的坐标计算以及向量模的计算，属于基础题．9.答案：C解析：解：由三视图知该几何体为棱锥S −ABD ，其中SC ⊥平面ABCD ；四面体S −ABD 的四个面中SBD 面的面积最大，三角形SBD 是边长为2√2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为√34×8=2√3．故选：C ．由三视图知该几何体为棱锥，其中SC ⊥平面ABCD ；四面体S −ABD 的四个面中SBD 面的面积最大，三角形SBD 是边长为2√2的等边三角形，即可求出四面体的四个面中面积最大的面积． 本题考查三视图，考查面积的计算，确定三视图对应直观图的形状是关键．。
2020届高三5月模拟数学(理)试卷
2022届高三下学期5月模拟考试理科数学全卷满分150分，考试用时120分钟。
第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.集合，,则A. B. C. D.2.若复数满足，其中为虚数单位，则A. B. C. 1 D. 23.已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是A. 乙班的理科综合成绩强于甲班B. 甲班的文科综合成绩强于乙班C. 两班的英语平均分分差最大D. 两班的语文平均分分差最小4.已知各项均不相等的等比数列成等差数列，设为数列的前n项和，则等于A. B. C. 3 D. 1 5.执行如图所示的程序框图，令，若，则实数a 的取值范围是A. B.C.D.6.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的表面积是A.B.C.D.7.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=， 0AC AD ⋅=， 0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的最大值是 A.12B. 2C. 4D. 8 8.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为A.B.C.D.9.已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象最新点对称，则下列判断正确的是 A. 要得到函数的图象只将的图象向右平移个单位B. 函数的图象最新直线对称C. 当时，函数的最小值为D. 函数在上单调递增10.已知函数，则的大致图象为A. B.C. D.11.已知定义在R 上的偶函数()f x （函数f (x )的导函数为()f x '）满足()1102f x f x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，e 3f (2021)＝1，若()()f x f x >'-，则最新x 的不等式()12ex f x +>的解集为A. (),3-∞B. ()3,+∞C. (),0-∞D. ()0,+∞ 12.已知函数()()()23221,2log 2log 4x x f x x g x t =+=-+-，若函数()()()1F x f g x =-在区间1,22⎡⎤⎣⎦上恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围 A. 5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.59,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 94,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.代数式的展开式的常数项是________（用数字作答）14.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若则__________．(用M 表示)15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点， O 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上，且满足122F F OP =， 21tan 4PF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为__________．16.若变量,x y 满足约束条件{6 y xx y y k≤+≤≥，且3z x y =+的最小值为8-，则k =__________．三、解答题(本大题共6小题,共70分。
成都石室中学高2020届高考适应性考试(一)理科数学简答
成都石室中学高2020届高考适应性考试（一）理科数学简答C AD C D A B D C A B C 13. 4914. 1 15.4π 16. 8 17. 解：（Ⅰ）抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人， 青年员工20804400⨯=人 ………………3分 （Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 4分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==，25285(X=2)14C P C == ……………… 10分()0122828144E X =⋅+⋅+⋅= ……………… 12分 18. 解：（Ⅰ）由12n n S a a =-，当2n ≥时，1112n n S a a --=-，两式相减得12n n a a -=，…………3分因为14n n nb S a =++，所以11164a a =++，解得11a =，……4分 所以数列{}n a 是公比为2，11a =的等比数列，{}n a 的通项公式为12n n a -=.…………6分（Ⅱ）由1221n n n S a a =-=-，得11232n n n b -=++，……7分 即()()11122121n n n n b --=++1112121n n -=-++，………………9分 所以011211111111212121212121n n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1112212n =-<+. ……………………12分19. 解：（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，得BD =分 则222AD DB AB +=，即AD DB ⊥， ……………4分而11,AD DD BD DD D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD ． ………6分（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD ⊥，由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD ．由等腰梯形可得CB DC =，则CO BD ⊥. ……………8分以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()()()()()13,2,0,3,0,0,0,1,0,3,0,0,0,0,1A B C D D ---， 则()()()1123,2,0,3,0,1,3,1,0AB BB DD BC ====-u u u r u u u u r u 设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =r ，则100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，3030x y x z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则3,3y z ==-，有()1,3,3n =-r ，所以，21cos ,7n AB n AB n AB ⋅<>==⋅r r u u u r r u u u r ， 即直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为217．……………12分 20. 解：（Ⅰ）()222144(0)a ax x a f x a x x x x-+-'=--=> 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增；……………1分当0a >时，若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()0f x '≤，()f x 在()0,∞+单调递减；……………2分 若21160a ∆=->，即104a <<时，240ax x a -+-=，2111160a x --=>，2211160a x +-=> 当10x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当12x x x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；……………4分综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+单调递增；当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减； 当104a <<时，()f x 在211160,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和21116,2a a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， ()f x 在2211161116,22a a a a ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤或14a ≥时，()f x 在()0,∞+是单调函数，不可能有三个不同的零点；……………6分当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增 ()20f =，又124x x =，有122x x <<()f x ()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >=……………7分23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a -+=-++= 令()41221h a a a =-+，()34820h a a -'=<, 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭ ()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()20f x >，221x a >……………10分 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个根，设为0x 又()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点 故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点004,2,x x ……………12分 21. 解：（Ⅰ）因为四边形1122B F B F是边长为2b c ==，所以a = 所以椭圆方程为：22184x y +=.……………4分 （Ⅱ）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ， 则直线1212:2y DB y x x +=-，2122:2y EB y x x -=+， 由11222222y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为()()()211221*********M x y x y x x y x y x y x x ++-=-++ ()()()()122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=-++-，……………6分 由()22184x y x t y n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222222280t y t ny t n +-+-=， 所以22212122228,22t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ∆=+->，…………8分 又()()2222122221282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -⨯-⨯+-++==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭()()2122123244282y y t n n n y y t -+-+=--+，……………11分 4OP OM ⋅=u u u r u u u u r ……………12分22. 解：（Ⅰ） 2y kx x y k =--=⎧⎪⎨⎪⎩(k 为参数，0k ¹)，……………… 2分 消去参数k ，得曲线C 的普通方程为()22y y x -=-……………… 4分整理得()()22110x y x +-=?……………… 5分 （Ⅱ）曲线C 的极坐标方程为2sin r q =，02<<r ……………… 8分 由4sin 5q =，得点Q 的极径85r =.……………… 10分23. 解：（Ⅰ）当1a =时，不等式为123x x -<，……………1分 平方得224489x x -+<， 则4241740x x -+<，得2144x <<，…………4分 即122x -<<-或122x <<， 所求不等式的解集112,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；……………5分 （Ⅱ）因为()()111121a a f x ax x ax x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-≥---=-+≥- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………8分 又()()()222212x g a x x x a x a ≤----==---，所以()()f x g x ≥．……………10分。
四川省成都市石室中学2020届高三数学上学期入学考试考试题 理(含解析)
四川省成都市石室中学2020届高三数学上学期入学考试考试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由，得，则，故选：A.2.己知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二次不等式的解法可得：，由指数函数的值域的求法可得：，再结合并集的运算可得：，得解.【详解】解：解不等式，解得，即，又因为，所以，即，即，故选B.【点睛】本题考查了二次不等式的解法、指数函数的值域的求法及并集的运算，属基础题.3.下列判断正确的是（）A. 命题“，”的否定是“，”B. 函数的最小值为2C. “”是“”的充要条件D. 若，则向量与夹角为钝角【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题可得：命题的否定是“，”，选项A错误，由在为增函数，即，即B错误；由根式方程的求法得“”是“”的充要条件，即C正确，由向量的夹角可得向量与夹角为钝角或平角，即D错误，得解.【详解】解：对于选项A，命题“，”的否定是“，”，即A错误；对于选项B，令，则，则，，又在为增函数，即，即B错误；对于选项C，由“”可得“”，由“”可得，解得“”，即“”是“”的充要条件，即C正确，对于选项D，若，则向量与夹角钝角或平角，即D错误，故选C.【点睛】本题考查了全称命题的否定、均值不等式的应用、根式方程的求法及向量的夹角，属基础题.4.对于函数，下列结论不正确的是（）A. 在上单调递增B. 图像关于y轴对称C. 最小正周期为D. 值域为【答案】C【解析】【分析】由，求得，再利用的性质即可得解.【详解】解：因为，则函数是在上单调递增的偶函数，且值域为，周期为，即选项正确，选项错误，故选C.【点睛】本题考察了三角恒等变换及函数的性质，属基础题.5.在如图的程序框图中，若输入m=77，n=33，则输出的n的值是A. 3B. 7C. 11D. 33【答案】C【解析】这个过程是，，故所求的最大公约数是。
2020年5月普通高等学校招生全国统一模拟考试(理科数学)试题答案
（另解：由题可知尸矿1 飞 —b27=�4,1证明：易得A(0,2),B(O, —2),cc凶汃2)'
。） . ............................................. 直线l:y=kx —2与椭圆 x2+2y2=8 联立，得(2k三l)x2— 8kx=O,
又Ace平面PAC, .'.BD_lAC. ································································································ 5分
•:PBnBD= B, :.AC上平面PBC. ··················································· 6分
2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试
理科数学试卷参考答案及评分标准(A)
一 、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1 —5 BADDA 6 — 10 CCDBC 11 — 12 CB 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
2020.5
13. VxE(O,+=),tanx:::;;;o
( 2 )解：设AC= a,由(1)知AC上平面PBC, :.AC_lBC.
如图，分别以CA,CB所在的直线为x轴，y轴，过C点作z轴／／
PB,建立空间直角坐标系，易得C(O,O,O),A(a,O,O),B(0,2,0), y P(0,2,2),D(O,l,l). ················································ 8分
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1 n+
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四川省成都市石室中学2020届高考数学适应性试卷1(二) (含答案解析)
四川省成都市石室中学2020届高考数学适应性试卷1（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在复平面内，复数21+i 对应的点与原点的距离是( )A. 1B. √2C. 2D. 2√22. 已知集合A ={x|3x −x 2>0}，B ={x|−1<x <1}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <3}B. {x|−1<x <0}C. {x|0<x <1}D. {x|1<x <3}3. 在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 命题“若a >b ，则“2a >2b ”的否命题为( )A. 若a >b 则2a ≤2bB. 若a ≤b ，则2a ≤2bC. 若a ≤b ，则2a >2bD. 若a >b ，则2a <2b5. 从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是( )A. 16B. 12C. 23D. 566. 已知cosα=1，则sin(α−π6)=( )A. 12B. √32C. −12D. −√327. 将函数y =cos(π6−2x)的图象向右平移π12个单位后所得的图象的一个对称轴是( )A. x =π6B. x =π4C. x =π3D. x =π28. 若函数f(x)={23x, x >0,g(x), x <0是奇函数，则f(−12)=( )A. −2√33B. 2√33C. −29D. 299. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段A 1D 1的中点，点F 是线段DD 1上靠近D 的三等分点，则直线CE ，BF 所成角的余弦值为( )A. 10√1957B. 5√1957C. √1919D. 3√191910. 三棱锥B −ACD 中，△ABC 与△ACD 均是等边三角形且所在平面互相垂直，AB =2，则三棱锥B −ACD 外接球的表面积为( )A.203π B. 8π C. 7π D.17π311. 已知双曲线C ：y 29−x 2b 2=1(b >0)，其焦点F 到C 的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率e 为( )A. √133B. √132 C. 23D. 3212. 已知关于x 的不等式|lnx+x−4e x|>ax 的解集中只有两个整数，则实数a 的取值范围为( )A. [ln22e 4,2−ln22e 2) B. [ln3−13e 3,2−ln22e 2) C. [ln3+13e 3,2−ln22e 2)D. (ln3+13e 3,2−ln22e 2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，函数y =f(x)的图象在点P 处的切线方程是y =kx +3，则f(4)+f′(4)=_________．14. 已知△ABC 三内角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，且B =2π3，又边长b =3c ，那么sinC =______ ．15. 已知函数f(x)={log 12x,x >0−x 2−2x,x ≤0，则不等式f(x)≤0的解集为______ ．16. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2=4x 相交于不同的A ，B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，则△OAB 的面积的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等比数列{a n }中，a 1+a 3=10,a 4+a 6=80(n ∈N ∗)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{(2n −1)⋅a n }的前n 项的和S n ．18.某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中女性中对该事件关注的占23，而男性有10人表示对该事件没有关注．关注没关注合计男55女合计(1)根据以上数据补全2×2列联表；(2)能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？(3)已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率．附表：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到四棱锥A′−BCDE，已知A′H⊥CD，垂足为H．(Ⅰ)求证：平面A′HB⊥平面BCDE；(Ⅱ)求三棱锥B−A′DE的最大体积．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 已知函数f(x)=x(lnx −ax)．(1)当a =1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x 1，x 2，其中x 1<x 2，求证：f(x 1)>−12.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C1的普通方程；②曲线C2与直线l交点的直角坐标；)，点N是曲线C1上的点，求△MON面积的最大值．(2)设点M的极坐标为(6,π323.已知：a2+b2=1，其中a，b∈R．≤1；(1)求证：|a−b||1−ab|(2)若ab>0，求(a+b)(a3+b3)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：21+i =1−i则1+i 对应的点为(1,1)，到原点的距离为√2． 故选B ． 化简21+i 即得．本题考查复数的运算，属于基础题．2.答案：C解析：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ={x|0<x <3}，B ={x|−1<x <1}， ∴A ∩B ={x|0<x <1}． 故选：C ．3.答案：A解析：本题考查平面向量的加减运算，属于基础题． 结合题意利用向量的加减法法则即可求解． 解：由AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选A ．4.答案：B解析：解：命题“若a >b ，则“2a >2b ”的条件是：a >b ，结论是：2a >2b ”， ∴命题的否命题是：若a ≤b ，则2a ≤2b 故选B ．写出命题的条件与结论，根据命题的否命题的定义写出否命题．．本题考查了命题的否命题的定义．5.答案：C解析：本题考查古典概型的概率的求法，对立事件的应用，考查计算能力，属于基础题．求出各选2人的总数，甲乙都没有被选中的方法数，然后求解概率即可．解：设4名男生为1，2，3，4，其中男生甲为1，则从4名男生中选2人参加跳绳比赛，一共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共六种选法．设6名女生为A，B，C，D，E，F，其中女乙为A，则从6名女生中选2人参加跳绳比赛，共有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)15种选法，从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，共有6×15=90种选法，甲乙都没有选中的方法数为：3×10=30种．从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是：90−30 90=23．故选：C．6.答案：C解析：解：∵cosα=1，可得：sinα=0，∴sin(α−π6)=sinαcosπ6−cosαsinπ6=−1×12=−12．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.答案：A解析：解：令f(x)=cos(π6−2x)=cos(2x −π6)， 则f(x −π12)=cos[2(x −π12)−π6]=cos(2x −π3)， 由2x −π3=kπ(k ∈Z)，得其对称轴方程为： x =kπ2+π6(k ∈Z)，当k =0时，x =π6，即为将函数y =cos(π6−2x)的图象向右平移π12个单位后所得的图象的一个对称轴， 故选：A ．利用诱导公式可得f(x)=cos(π6−2x)=cos(2x −π6)，于是有f(x −π12)=cos(2x −π3)，利用余弦函数的对称性即可得到答案．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换，考查余弦函数的对称性，属于中档题．8.答案：A解析：本题考查奇函数的性质及分段函数的函数值的求法．首先求f (12)的值，再根据f (x )为奇函数，f (−12)=−f (12)得解． 解：∵f (x )为奇函数， ∴f (−12)=−f (12)， ∵x >0时，f (x )=23x ， ∴f (12)=2312=√3=2√33， ∴f (−12)=−f (12)=−2√33． 故选A ．9.答案：B解析：本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系通过向量的数量积求异面直线所成的角是解决问题的关键，属中档题．建立空间直角坐标系，先求向量BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用向量的夹角的余弦值，可得异面直线所成角的余弦值，可得答案．解：分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，可得C(0,2，0)，E(1,0，2)，B(2,2，0)，F(0,0，23)， ∴向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,23)， ∴向量BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =103，。
四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题含解析
成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（理科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（）A.2B.C.D.32.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx=+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106B.122C.136D.1404.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.225.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（）A. B. C. D.8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A.22B.23C.4D.269.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为()A.655B.5C.455D.25510.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.22y x =±B.32y x =±C.2y =D.233y x =±11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.1623⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1623⎛-∞ ⎝12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换23x xy =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P 到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.15.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为_________.16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以,AB CD 为底边的等腰梯形，且124,60,AB AD DAB AD D D ︒==∠=⊥.（I ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点F 、E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i iA g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x my k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x nn y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（理科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（）A.2B.C.D.3【答案】C 【解析】【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，则1,1x y ==-，所以1z i =-，所以z =，故选：C.【点睛】本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.2.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低【答案】B 【解析】【分析】根据图一中甲的得分情况可判断ABC 的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值后可判断D 的正误.【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于28919-=，故A 错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C 错误；乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,20乙得分的中位数为161716.52+=，故B 正确.乙得分的平均数为914151819171620168+++++++=，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m ，其中1015m <<，故其平均数为912131520262812313316888m m ++++++++=>>，故D 错误.故选：B.3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx =+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106 B.122C.136D.140【答案】C 【解析】【分析】利用回归方程经过样本中心可求b ，故可估计这位同学每天数学学习时间约80分钟后的数学成绩.【详解】由题设可得56001120056,112100100x y ====，故1125656b =⨯+ ，故1b = ，故 56y x =+，故当80x =时，8056136y =+=，故选：C.4.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.22π【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图可知由几何概型计算出x ，y 任取（0，1）上的数时落在221x y +<内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．【详解】解:根据程序框图可知P 为频率，它趋近于在边长为1的正方形中随机取一点落在扇形内的的概率21414πππ⨯⨯=故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.5.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】联立直线方程和抛物线方程，消元后利用判别式为正可求k 的范围，故可得正确的选项.【详解】由10kx y -+=和24y x =可得()214kx x +=，整理得到：()222410k x k x +-+=，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故()22Δ2440k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，故1,0k k <≠，故命题q 成立能推出命题p 成立；反之，若1k <，取0k =，此时()222410k x k x +-+=仅有一个实数根14x =，故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，故命题p 成立不能推出命题q 成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B .6.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对,因此选D.7.已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A. B. C.4 D.【答案】B 【解析】【详解】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥-P ABC ，其中面积最大的面为：122PBC S =⨯= .本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．9.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为() A.655B.C.455D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得圆在第一象限，根据几何关系可设圆的方程为222()()x a y a a -+-=，a >0，代入()1,2即可求出a ，根据点到直线距离公式即可求出答案．【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，则半径为a ，0a >．故圆的方程为222()()x a y a a -+-=，再把点(2,1）代入，222(2)(1)a a a -+-=，解得5a =或1，故要求的圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y -+-=．故所求圆的圆心为()5,5或()1,1；故圆心到直线290x y +-=的距离655d ==或655d ==；故选：A ．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.2y x =± B.32y x =±C.y =D.233y x =±【答案】D【解析】【分析】由题可得12PF F △是直角三角形，则可得121||2OP F F c ==.又在OPN 中，由余弦定理可求得||PN b =，根据勾股定理可知PN ON ⊥，则在Rt PMN 中，利用||tan ||MN MPN PN ∠=可得3b a =，即渐近线方程为3y x =±.【详解】连接OP ，则由120PF PF ⋅=可知12PF PF ⊥，则在12Rt PF F 中，121||2OP F F c ==，在OPN 中，tan b PON a ∠=，则cos aPON c∠=，又||ON a =，则由余弦定理得：222||||||2||||cos PN OP ON OP ON PON =+-⋅⋅∠，解得||PN b =，由222||||||OP ON PN +=知PN ON ⊥，即PN MN ⊥，所以在Rt PMN 中，||tan ||MN MPN PN ∠=，即2ab =233b a =，所以所求渐近线方程为：233y x =±.故选D .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用余弦定理解三角形，属于中档题.11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.⎛-∞ ⎝【答案】C 【解析】【分析】求出函数的导数，根据原函数有两个极值点可求2a >，再根据零点的性质可得()3222448x a x a =--、()3211448x a x a =--，据此可用a 表示12()()f x f x +，利用导数可求其范围.【详解】2()24f x x ax '=-+，因为()f x 存在两个极值点1x 和2x ，故1x 和2x 为2240x ax -+=的两个不同的根，故24160a ∆=->且211240x ax -+=，222240x ax -+=，122x x a +=，故2a <-（舍）或2a >且21124x ax =-，所以()()322111111242244448x ax x a ax x a x a =-=--=--，同理()3222448x a x a =--，故()()()()2121212121()()44162843f x f x a x x a a a x x x x ⎡⎤+=-+--+-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212441622883a a a a a a a ⎡⎤=---⨯-+⎣⎦3338448833a a a a a =-+=-+，设()348,23a s a a a =-+>，故()2480s a a '=-+<，故()s a 在()2,+∞上为减函数，故()()321621633s a s <=-=，故12()()f x f x +的取值范围为：16,3⎛⎫-∞⎪⎝⎭，故选：C.12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π【答案】D 【解析】【分析】可证明正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故可判断C 的正误，利用面面平行的判定定理可判断B 的正误，利用补体法可求1B MBC -的外接球的直径后可判断A 的正误，利用向量的方法可求D到平面MNP 的距离，从而可求点Q 的轨迹长度，故可判断D 的正误.【详解】如图，设111,,A D A A BC 的中点分别为,,S R T ，连接,,,,PS SR RM MT TN .由正方体的性质可得11//A C RN ，而SP 为三角形111A D C 的中位线，故11//SP A C ，故//SP RN ，故,,,S P R N 四点共面，同理，,,,S P T N 也四点共面，故,,,,S P R N T 五点共面，同理,,,R N T M 也四点共面，故,,,,,S P R N T M 六点共面.正方体被平面MNP 截得的截面为六边形，SP PN NT TM MT RS SP =======，因为平面MNP I 平面11B BCC NT =，平面MNP I 平面1A DDA SR =，而平面11//B BCC 平面1A DDA ，故//NT SR ，而NT 为三角形1BCC 的中位线，故1//NT BC ，故1//SR BC ，但PSR ∠与11AC B ∠方向相反，故PSR ∠与11AC B ∠互补，而11A C B △为等边三角形，故1160A C B ∠=︒，故120PSR ∠=︒，同理120SRM RMT MTN TNP NPS ∠=∠=∠=∠=∠=︒，故正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故C 正确.由11//A C RN ，RN ⊄平面11A B C ，11AC ⊂平面11A B C ，故//RN 平面11A B C ，同理故//RS 平面11A B C ，而,,RN RS R RN RS =⊂ 平面MNP ，故平面11//A B C 平面MNP ，而PQ ⊂平面MNP ，故//PQ 平面11A B C ，故B 正确.对于A ，将三棱锥1B MBC -补成如图所示的长方体11MBCG HB C P -，其中,H G 分别为11A B 、DC 的中点，则其外接球的直径即为11MBCG HB C P -3=，故三棱锥1B MBC -的外接球的表面积为2π39π⨯=，故A 正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2D M N P ，故()()2,1,1,2,0,2MN MP =-=-，设平面MNP 的法向量为(),,m x y z = ，则00m MN m MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故20220x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1z y ==，故()1,1,1m = ，而()0,1,2DP =，故D 到平面MNP的距离为DP md m⋅== 而2DQ =，故点Q 的轨迹为平面MNP 与球面的截面（圆），1=，故圆的周长为2π12π⨯=，故D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：空间几何题外接球的半径的求法，可先根据几何性质确定球心的位置，然后把球的半径放置在可解的图形中求解，也可以通过补体转化为规则几何体的外接球的半径，而与球的截面的计算问题，则需计算球心到截面的距离.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a <【解析】【分析】根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.【详解】因为p ⌝是假命题，故p 为真命题，因为0x >，故2x x+≥x =时，等号成立，故a <.故答案为：a <.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x xy =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.【答案】6152【解析】【分析】通过2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，然后代入到曲线C 的方程即可得到曲线C '的方程，再设()2cos P θθ利用点到直线的距离公式、辅助角公式及三角函数的性质计算可得.【详解】由2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中得22()()143x y ''+=．即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程，设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离d ==其中（25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=），所以当sin()1θϕ+=时min d =，即点P 到直线l 的距离最小值为6152-.故答案为：615215.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为_________.【答案】ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x=，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】依题意令()()cos f x F x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xF x x'+'=，因为当ππ22x -<<时，()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以当2,ππ2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0F x '<，∴()F x 在ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭-上单调递减，则π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭ 等价于π()3πcos cos 3f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭>，即π()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴π3ππ22x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得ππ23x -<<，所以所求不等式的解集为ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．【答案】259##729【解析】【分析】根据题设条件确定P 在第一象限内，且PF QF ⊥，设2(,)4m P m 且0m >，结合0FP FQ ⋅= 得到关于m 的方程并求值，又214m PR PF ==+即可得结果.【详解】不妨令R 为过P 点垂直于准线的垂足，又PQR PQF ∠∠=，即QF 为FQR ∠角平分线，Q 是斜率为34的直线与抛物线准线的交点，则P 在第一象限内，而PR QR ⊥，且||||PR PF =，根据角平分线性质知：PF QF ⊥，如上图示，令2(,)4m P m 且0m >，则直线PQ 为23()44m y m x -=-，令=1x -，则21631216Q m m y --=，由222231*********(1,)(2,)20416216m m m m m m mFP FQ m ----⋅=-⋅-=-+= ，整理可得322381232(4)(38)0m m m m m -+-=+-=，则83m =，故225149m PR PF ==+=.故答案为：259三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1y =-（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，利用导数可得11e a -<<-，再利用导数求出函数()f x 在区间()1,e 上的最大值，结合已知最大值列式，解得2e a =-，不满足11ea -<<-，从而可得结论.【小问1详解】当1a =-时，()ln f x x x =-+，0x >，(1)1f =-，1()1f x x'=-+，()01f '=，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=，即1y =-.【小问2详解】假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，因为()ln f x ax x =+，0x >，1()f x a x '=+，若0a ≥，则()0f x '>在区间()1,e 上恒成立，()f x 在区间()1,e 上单调递增，此时()f x 在区间()1,e 上无最大值；故a<0，令()0f x '>，得10x a<<-，令()0f x '<，得1x a >-，则函数()f x 在1(0,a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，因为函数()f x 在开区间()1,e 上有最大值为3-，所以11e a <-<，即11e a -<<-，所以函数()f x 在1(1,a -上单调递增，在1(,e)a -上单调递减，所以max 1()f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11(ln a a a ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭11ln a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭3=-，得2e a =-，又11ea -<<-，所以2e a =-不成立，故不存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.【答案】（1）0.01,0.015,0.02a b c ===,（2）平均数为70.5，中位数为71.7.（3）35【解析】【分析】（1）根据频率之和为1、,,a b c 成等差数列以及成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400可得关于,,a b c 的方程，求出其解即可.（2）利用组中值可求均值，利用公式可求中位数.（3）根据频率之比可得抽取人数之比，再用列举法求出基本事件的总数和随机事件中的基本事件的个数，故可求对应的概率.【小问1详解】因为,,a b c 为等差数列，故2b a c =+，又()220.03101a b c +++⨯=，故220.07a b c ++=，因为成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400，故()4000.03101000a +⨯=，故0.01a =，故0.015,0.02b c ==.【小问2详解】由频率分布直方图可得平均数为：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前3组的频率之和为0.10.150.20.45++=，前4组的频率之和为0.10.150.20.30.75+++=，故中位数在区间[)70,80中，设该数为x ，则700.50.451100.36x --==，故57071.73x =+≈.【小问3详解】区间[)80,90、[]90,100上的频率之比为0.15:0.13:2=，故5人中在分数在[)80,90内的人数为3人，记为,,a b c ，分数在[]90,100内的人数为2人，记为,A B ，从5人中随机抽取两人进行现场知识答辩，共有10种取法：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，{}{}{}{},,,,,,,a b a c c b A B .设C 为“两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内”，则C 中的基本事件为：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，共6个，故()63105P A ==.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以,AB CD 为底边的等腰梯形，且124,60,AB AD DAB AD D D ︒==∠=⊥.（I ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）217.【解析】【分析】（Ⅰ）要证明平面11D DBB ⊥平面ABCD ，只需证明AD ⊥平面11D DBB 即可；（Ⅱ）取BD 的中点O ，易得1D O ⊥面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，计算平面1B BC 的法向量为n 与AB ，再利用公式||sin |cos ,|||||n AB n AB n AB θ⋅=<>=⋅ 计算即可.【详解】（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得222cos603BD AB AD AB AD =+-⋅= ，则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，而11,AD D D BD D D D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD .（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD =，由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥面ABCD ，故1D O ⊥面ABCD .由等腰梯形知识可得DC CB =，则CO BD ⊥，2211431D O DD DO =-=-，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，则1(3,2,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,0,1)A B C D D ---，则11(23,2,0),(3,0,1),(3,1,0)AB BB DD BC ====-设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，则1110000z n BB n BC y ⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令1x =，则y z ==n = ，所以，||sin |cos ,|7||||n AB n AB n AB θ⋅=<>===⋅ ，即直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为217.【点晴】本题考查面面垂直的证明、向量法求线面角，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点F 、E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）存在，()3,0T ，109-【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义对照折纸的方法求出,,a b c ；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理再结合斜率的两点公式求解即可.【小问1详解】如图以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知，64PF PE PA PE AE EF +=+==>=，所以P 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长26a =的椭圆，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆方程为22195x y +=；【小问2详解】由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，由题意m 必定是存在的联立两个方程得221951x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=，()22Δ100160590m m =++>得R m ∈，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）所以()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+-()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得()()222405991TM TN k k t m t -⋅=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=，29t =，又∵0t >∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-，∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式.【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x '=-+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i i g g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->，故111112311112sin 2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭,故1214627111...16222n n k k k n -⎛⎫+++>--+++ ⎪⎝⎭ 41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯ ⎪⎝⎭-771797172184726n n n n =--+⨯>->-.【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠（2）334【解析】【分析】（1）首先将直线方程化为普通方程，再联立消去k ，即可得到曲线C 的普通方程；（2）由cos x ρθ=、sin y ρθ=得到曲线C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，（π2θ≠），即可表示OA 、OB ，则1sin 2AOB S OA OB AOB =⋅∠△，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，则直线1l 的普通方程为y kx =-，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数)，则直线2l 的普通方程为2x y k -=，依题意0k ≠，由2y kx x y k =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去k 得2(2)y y x -=-，整理得22(1)1(0)x y x +-=≠，所以曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠.【小问2详解】因为曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠，cos x ρθ= ，sin y ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为()()22cos sin 11ρθρθ+-=（π2θ≠），故曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=（π2θ≠）．设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（π2θ≠），则12sin OA ρθ==，2π2sin 3OB ρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，1sin 2AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠ 1ππ2sin 2sin sin 233θθ⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭πsin 3θθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭23sin cos 22θθθ=+1cos 23sin 2222θθ-=+⨯12cos22224θθ⎫=-+⎪⎪⎝⎭π2264θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 216θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，AOB S 有最大值334．。
四川省成都石室中学2020学年度高三数学月考试卷 人教版
四川省成都石室中学2020学年度高三数学月考试卷一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共60分。
1．设集合M = {a ，b ，c }，N = {0，1}，映射f ：M →N 满足f (a ) + f (b ) = f (c )，则映射f ： M →N 的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数)1(21)(x x x f --=的最大值是 （ ）A ．49B ．94C ．47D ．743．（理科）函数x x g x f )21()()(=与的图象关于y = x 对称，则f (4x －x 2)的单调递增区间为（ ）A ．（－∞，2）B ．（0，2）C ．（2，4）D ．（2，+∞）（文科）为得到函数100lg xy =的图象，可以把函数y = lg x 的图象 （ ）A ．向上平移两个单位B ．按向量)2,0(-=平移C ．向左平移两个单位D ．按向量)0,2(=a 平移4．如果2log |3|log 2121ππ≥-x ，那么sin x 的取值范围是 （ ）A ．]21,21[-B ．]1,21[-C ．]1,21()21,21[Y -D ．]1,23()23,21[Y -5．已知yxy x y x y x 则,lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-的值为 （ ）A ．－1B ．2C ．21 D ．－1或26．设全集U 是实数集R ，}11|{},4|{2≥-=>=x x N x x M ，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．}12|{<≤-x x xB ．}22|{≤≤-x x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x7．若方程0122=--x ax 在区间（0，1）内恰有一解，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．a <－1B ．a >1C ．－1< a < 1D ．0≤a ＜18．（理科）若函数)0,(2)1(log )(223-∞++++=在x x b ax x f 上有最小值－5，（a ，b 为常数），则函数),0()(+∞在x f 上（ ）A ．有最大值5B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值9（文科）若函数f (x )的图象关于直线x =1对称，且当x >1时，x x x f -=32)(，则当x <1时，f (x )的表达式为（ ）A ．2)2(2)(3-+-=x x x fB ．x x x f --=3)2(2)(C ．1)1(2)(3-+-=x x x fD ．x x x f +=32)(9．定义在R 上的函数y = f (x + 1)的图象如图所示，且在定义域上， 是减函数，给出如下命题：①f (0) =1；②f (－1) =1；③若x >0， 则f (x ) <0；④若x <0，则f (x ) >0，其中正确的是 （ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③10．（理科）已知定义在R 上的偶函数f (x )满足)3()3(x f x f -=+，且当]4,3[∈x 时，x x f )21()(=，求当]2,3[--∈x 时，则函数f (x )的表达式为（ ）A ．6)21()(+=x x fB ．6)21()(-=x x f C ．x x f )21()(=D ．62)(+=x x f（文科）设f (x )是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知x x f x )21()(,)1,0(=∈时，则)12(log 2f 的值为（ ）A ．43 B ．43-C ．34-D ．34 11．设偶函数)0,(||log )(-∞-=在b x x f a 上递增，则)2()1(++b f a f 与的大小关系是（ ） A ．)2()1(+≥+b f a f B ．)2()1(+≤+b f a fC ．)2()1(+<+b f a fD ．)2()1(+>+b f a f12．（理科）设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=1,11,|1|1)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解x 1、x 2、x 3，则232221x x x ++等于（ ）A ．5B ．2222bb + C ．13 D ．2223c c +（文科）在正实数集上定义一种运算*，规则是：当a ≥b 时，a *b =b 3，当a ＜b 时，a *b =b 2，根据这一规则，方程a *b = b 3的解为 （ ）A ．3B ．33C ．3或33D ．3或9二、填空题：每小题4分，共16分。