高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理课件 北师大版必修5
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高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)
a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
北师大高中数学必修第二册2.6.1.3用余弦定理、正弦定理解三角形【课件】
解析：(1)因为 m∥n，所以 asin B－ 3bcos A＝0， 由正弦定理，得 sin Asin B－ 3sin Bcos A＝0. 因为 sin B≠0，所以 tan A＝ 3.因为 0<A<π，所以 A＝3π. (2)由正弦定理得 3π＝sin1 B，
sin3 得：sin B＝12. 由 a>b 知 A>B，所以 B＝π6， 所以 C＝π－π3－6π＝π2， ∴S△ABC＝21ab＝ 23.
又山高为
a，则－
CF
＝
hcos αsin β sin β－α
－
a
＝
40×
23× 1
3 2 －35＝60－35＝25.故选
B.
＝192，∴CD＝8 3海里，即灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 3海里．
方法归纳 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个或几个 三角形中，可用余弦定理或正弦定理求解．
微点 2 测量高度问题 例 4 在学校每周一举行的升旗仪式上，从坡角为 15°的看台上， 同一列的第一排和最后一排分别测得旗杆顶部的仰角为 60°和 30°.若 同一列的第一排和最后一排之间的距离为 10 6米(如图所示)，则旗杆 的高度为________米．
解析：如图所示，假设缉私船用 t(t>0)小时在 D 处追上走私船，两船 所用时间相等，则有 CD＝10 3t，BD＝10t.
由题意知 AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°. 在△ABC 中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC＝ ( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2×cos 120°＝6，所以 BC＝ 6.
解析：如图所示，记看台上的一列为 BC，旗杆为 OP，
第7节正弦定理和余弦定理--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
2= b2+c2-2bccos A
a
,
sin
b2=a2+c2-2accos B,
公式 =
= sin =2R
c2= a2+b2-2abcos C
考点一 利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量
例1(1)(2024·湖南长郡、雅礼等名校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分
别为 a,b,c,且满足(b-c)2-a2=-bc,若 a=√3,则△ABC 外接圆的半径长为( B )
A.√3
C.√2
B.1
1
D.2
解析 由(b-c) -a =-bc,得 b +c -a =bc,再由余弦定理,得 cos
是等边三角形.
,所以
b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所
2 +2 -2
A= 2
=
2
=
1
.因为
2
A∈(0,π),所
[对点训练2](2024·浙江温州十五校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边
分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC为( A )
A.钝角三角形
AD=sin60°=2,在△ACD 中,由余弦
定理,得 AC2=AD2+CD2-2AD·
CDcos∠ADC=22+32-2×2×3×cos 120°=19,所以
余弦定理课件
北师大版数学教材 必修5
D C2 N
解法1:参见教材第46页---第47页.
250 km A 300 km
40 km/h
C1 45° B
D C2 N H 40 km/h
250 km A 300 km
C1 45° B
七、拓展整合
北师大版数学教材 必修5
D C2 N 40 km/h
250 km A 300 km
九、及时巩固
1.书面作业
北师大版数学教材 必修5
(1)教材第52页习题2-1的A组第5题；
(2)教材第64页复习题二的A组第3题； (3)补充习题：
在△ABC中,已知AC＝5, BC＝8,
5 D A
∠ACB＝60 °, 且D是AB的中点,
求CD的长.
C
60° 8 B
2.课外阅读:《余弦定理的证明十法》. 欢迎登陆,免费注册后即可下载相关资料！
C1 45° B
问题6 对于解答本题的这三种解法，你有什么看法？
八、课堂小结
1.知识要点
（1）余弦定理及其推论.
北师大版数学教材 必修5
（2）余弦定理的作用.
（3）解三角形的各种类型. ① 已知两角及一边 ②已知两边及一边的对角
③ 已知两边及夹角
④已知三边
2.思想方法: 分类讨论思想；化归与转化的思想；方程的思想.
北师大版数学教材 必修5
在△ABC中,已知AC＝b, BC＝a, 以及角C, 求边AB的长c.
(2)关注各解法在求解问题3和问题4时的异同！
A
b
C
a
B
由问题4可得：c a b 2ab cos C .
2 2 2
四、余弦定理
测控设计高中数学北师大版必修5课件：2.1.2.1余弦定理及其推论
A. B.
8
5
65 24
C.
19 20
D. −
7 20
解析:cos B=
答案:A
������ 2 +������ 2 -������ 2 2������������
=
15 24
= .
8
5
【做一做 1-3】 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 c = 2, ������ = 6, ������ = 120° , 则������ = .
������ 2 +������ 2 -������ 2 3
题型一
题2】 在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sin C. 分析:已知三角形三边长,要求最大角和sin C的值,可先由大边对 大角,确定出最大的角,再由正、余弦定理求出最大角及sin C.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 在△ABC中,A=60°,且最大边长和最小边长是方 程x2-7x+11=0的两个根,则第三边的长为( ). A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由A=60°,不妨设△ABC中最大边和最小边分别为b,c,故 b+c=7,bc=11. 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos 60°=(b+c)2-3bc=72-3×11=16, 解得a=4. 答案:C
分析:本题主要考查已知两边及其夹角解三角形的问题,可通过 余弦定理先求第三边.在求出第三边后,用余弦定理的变形形式求 解即可. 解 :由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B =(2 3)2 + ( 6 + 2)2 − 2 × ( 6 + 2) × 2 3 × cos 45°=8, ∴b=2 2.
余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
2
2
5
10
(2)[2021全国卷乙]记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为
3 ， B ＝60°， a 2＋ c 2＝3 ac ，则 b ＝
1
2
[解析] 由题意得 S △ ABC ＝ ac sin B ＝
2 2
3
ac ＝
4
.
3 ，则 ac ＝4，所以 a 2＋ c 2＝3 ac ＝
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜b sinA
解的个数
无解
a＝b sinA
⑪ 一解
b sin A＜a＜b
⑫
两解
a≥b
⑬ 一解
a＞b
a≤b
一解
无解
3. 三角形中常用的面积公式
△ ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c .则：
1
(1) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高)；
(2，8) .
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
(
D )
A. 1
B. 2
C. 5
D. 3
[解析] 由余弦定理得 AC 2＝ AB 2＋ BC 2－2 AB ·BC ·cos B ，得 BC 2＋2 BC －15＝
2
5
10
(2)[2021全国卷乙]记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为
3 ， B ＝60°， a 2＋ c 2＝3 ac ，则 b ＝
1
2
[解析] 由题意得 S △ ABC ＝ ac sin B ＝
2 2
3
ac ＝
4
.
3 ，则 ac ＝4，所以 a 2＋ c 2＝3 ac ＝
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜b sinA
解的个数
无解
a＝b sinA
⑪ 一解
b sin A＜a＜b
⑫
两解
a≥b
⑬ 一解
a＞b
a≤b
一解
无解
3. 三角形中常用的面积公式
△ ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c .则：
1
(1) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高)；
(2，8) .
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
(
D )
A. 1
B. 2
C. 5
D. 3
[解析] 由余弦定理得 AC 2＝ AB 2＋ BC 2－2 AB ·BC ·cos B ，得 BC 2＋2 BC －15＝
正弦定理与余弦定理时PPT课件
第15页/共28页
• 解法二：已知等式变形为
• b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝ 2bccosB·cosC，
• ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋ 2bccosB·cosC，
• ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC • ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， • ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
得aab2＋ ＝b62－ab＝7 ⇒aab2＋ ＝b62.＝13 7 分
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4，a2＝9.9 分
所以ab＝ ＝23 或ab＝ ＝32.
故 a＋b＝5.12 分 第19页/共28页
•变式训练4．若本例题中(2)的条件不变，
试求“△ABC内切圆的半径r”．
由bcb30bcsin303由正弦定理sinccsinbc60或120c60a90c120a30abc为等腰三角形abca3b4c373743边c最大则角c最大bc2ababcsinasinbsincsinasinbsinccosc2ab9t25t49t3t5t1201203ab2cosasinbsincabc180sincsina2cosasinbsinc2cosasinbsinacosbcosasinbsina根据余弦定理上式可化为coscabc为等边三角形由2cosasinbsinc得cosa2sinb2b3ab4bsinb2bccosbcoscabcsinccsinb2bccosbcoscb2sinbsinccosbcoscsinbsincsinbsinccosbcosccosbc0cosa02bccosbcosc2bccosbcoscbcoscccosbabc2csina
形，且角C为____直__角；a2＋b2>c2⇔△ABC是
• 解法二：已知等式变形为
• b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝ 2bccosB·cosC，
• ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋ 2bccosB·cosC，
• ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC • ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， • ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
得aab2＋ ＝b62－ab＝7 ⇒aab2＋ ＝b62.＝13 7 分
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4，a2＝9.9 分
所以ab＝ ＝23 或ab＝ ＝32.
故 a＋b＝5.12 分 第19页/共28页
•变式训练4．若本例题中(2)的条件不变，
试求“△ABC内切圆的半径r”．
由bcb30bcsin303由正弦定理sinccsinbc60或120c60a90c120a30abc为等腰三角形abca3b4c373743边c最大则角c最大bc2ababcsinasinbsincsinasinbsinccosc2ab9t25t49t3t5t1201203ab2cosasinbsincabc180sincsina2cosasinbsinc2cosasinbsinacosbcosasinbsina根据余弦定理上式可化为coscabc为等边三角形由2cosasinbsinc得cosa2sinb2b3ab4bsinb2bccosbcoscabcsinccsinb2bccosbcoscb2sinbsinccosbcoscsinbsincsinbsinccosbcosccosbc0cosa02bccosbcosc2bccosbcoscbcoscccosbabc2csina
形，且角C为____直__角；a2＋b2>c2⇔△ABC是
高中数学解三角形ppt课件
证明几何定理
如勾股定理、正弦定理、余弦定理等 ，可以通过面积公式进行证明
计算三角形的内角和
利用面积公式和三角形内角和定理， 可以求出三角形的内角和
面积公式在物理问题中的应用
1 2
计算物体的受力面积
在物理学中，经常需要计算物体在某个方向上的 投影面积或受力面积，可以通过面积公式进行计 算
计算物体的体积和表面积
02 余弦定理
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
03 三角形的面积公式
S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹 角。
02
正弦定理及其应用
正弦定理的推导与证明
推导过程
通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
一些几何性质。
最值问题
通过解三角形的方法，可以求解一 些与三角形相关的最值问题，如最 大面积、最小周长等。
存在性问题
在数学竞赛中，有时需要判断满足 某些条件的三角形是否存在，这可 以通过解三角形的方法来实现。
THANKS
感谢观看
对于一些规则或不规则的物体，可以通过计算其 各个面的面积，进而求出物体的体积和表面积
3
解决光学问题
在光学中，经常需要计算光线通过某个形状的面 积或光斑的大小，可以通过面积公式进行求解
05
解三角形综合应用举例
解直角三角形问题举例
已知两边求角度
通过正弦、余弦定理求解 直角三角形中的角度。
三角形的面积
解决三角形中的边长问题
利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
正弦定理在物理问题中的应用
解决力学问题
在力学中，正弦定理可用于解决 涉及三角形的问题，如力的合成 与分解等。
新教材高中数学第2章第4课时余弦定理与正弦定理的应用课件北师大版必修第二册ppt
3 a.
2
在△ADB 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos ∠
ADB＝34a2＋(3＋4
3a)2－2·23a·3＋4
3a·23＝38a2，∴AB＝
6 4
km.
故蓝方这两支精锐部队间的距离为
6 4a
km.
测量距离的基本类型及方案
类 A，B 两点间不 A，B 两点间可视， 型 可通或不可视 但有一点不可达
(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A，B，望对岸 的标记物 C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，AB＝120 m，则河 的宽度是________m.
(1)D (2)30 3 [(1)如图所示，根据题意，在△ABC
中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理
利用方程的思想，设 AB＝h.表示出 BC＝h，BD＝tan 3h0°＝ 3h， 然后在△BCD 中利用余弦定理求解．
[解] 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝45°，若设 AB＝h，则 BC＝h. 在 Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，则 BD＝ 3h.
在△BCD 中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos ∠CBD，即 2002＝h2＋( 3h)2－
求 AB
定理求 AB
在△ABC 中用余弦定理求 AB
[跟进训练]
1．(1)海上 A，B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成
60°的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B，C 间的距
离是( )
A．10 3海里 C．5 2海里
B．103 6海里 D．5 6海里
§6 平面向量的应用 6.1 余弦定理与正弦定理 第4课时 余弦定理与正弦定理的应用
高中数学第2章解三角形22三角形中的几何计算课件北师大版必修5
第2页
1．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角 正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？
第3页
答：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的 “基本量”就可以求其面积．
第4页
2．求三角形面积的常用公式． 答：(1)S＝21aha(a 为 BC 的边长，ha 为 BC 边上的高)． (2)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)． (3)S＝2R2sinAsinBsinC(R 是三角形外接圆的半径)．
第8页
【解析】 ∵tanB＝12，∴0<B<π2 .
∴sinB＝
55，cosB＝2 5
5 .
又∵tanC＝－2，∴π2 <C<π.
∴sinC＝2
5 5，cosC＝－
5 5.
第9页
则 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 55×(－ 55)＋255×255＝35.
∵sinaA＝sibnB，∴a＝bssiinnBA＝
∴S＝12absinC＝2
3 3.
第15页
题型二 正、余弦定理的综合问题与方程思想 例 2 在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，AB＝ 14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
第16页
【思路分析】 欲求 BC，在△BCD 中，已知∠BCD，∠BDC 可求，故需再知一条边；而已知∠BDA 和 AB，AD，故可在△ABD 中，用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中，由正弦定 理可求 BC.
第31页
2．等腰三角形的周长为 8，底边为 2，则底角的余弦值等于
()
2 A. 4
B．2 2
1
1．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角 正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？
第3页
答：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的 “基本量”就可以求其面积．
第4页
2．求三角形面积的常用公式． 答：(1)S＝21aha(a 为 BC 的边长，ha 为 BC 边上的高)． (2)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)． (3)S＝2R2sinAsinBsinC(R 是三角形外接圆的半径)．
第8页
【解析】 ∵tanB＝12，∴0<B<π2 .
∴sinB＝
55，cosB＝2 5
5 .
又∵tanC＝－2，∴π2 <C<π.
∴sinC＝2
5 5，cosC＝－
5 5.
第9页
则 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 55×(－ 55)＋255×255＝35.
∵sinaA＝sibnB，∴a＝bssiinnBA＝
∴S＝12absinC＝2
3 3.
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题型二 正、余弦定理的综合问题与方程思想 例 2 在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，AB＝ 14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
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【思路分析】 欲求 BC，在△BCD 中，已知∠BCD，∠BDC 可求，故需再知一条边；而已知∠BDA 和 AB，AD，故可在△ABD 中，用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中，由正弦定 理可求 BC.
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2．等腰三角形的周长为 8，底边为 2，则底角的余弦值等于
()
2 A. 4
B．2 2
1