非惯性系动力学.

非惯性系动力学 1.问题的提出a a a e r =+在惯性系S 中F ma =成立，在动系S ’中F ma r =是否成立？F ma ma ma ma e r r ==+≠∴作加速平动的参照系为非惯性系。

2.改进的牛顿定律F ma ma F ma ma F ma F F ma e r e r g e g r=+⇒+-==-⇒+=() 引入惯性力后牛顿定律仍成立。

3.讨论？为什么选择非惯性系：方便 ？惯性力与普通力的差别惯性力只是一种记号，它无施力物体，也无反作用力功和能1.第一积分直接求解运动微分方程是研究动力学问题的基本方法，但对具体问题解出微分方程有时比较困难。

实际上许多问题并不需要把微分方程完全解出。

如可建立力与速度之间的关系，则二阶微分方程可简化为一阶微分方程，相当于对加速度作了一次积分，因此将此类解法称为第一积分。

2.问题的引出考察力对空间的累积效果，有F ma F dr m dv dtdr mv dv mvdvF dr mv mv =⇒⋅=⋅=⋅=⋅⎰=-1222121212 2.功与功率1)功力对空间的累积效果dW F dr W F dr Fds =⋅⇒=⋅⎰=⎰ 1212cos θ2)功的解析式 W F dx F dy F dz x y z =++⎰123)合功为分力功之和 W F F F dr F dr F dr F dr n n =+++⋅⎰=⋅⎰+⋅++⋅⎰⎰(...) (121211221212)4)功率P dW dtF v ==⋅3.功的计算W F t r v dr =⋅⎰ (,,)12若力只是位置的函数(力场):F F r F x y z ==()(,,)，问题可加以简化。

当F r ()满足一定条件时，W 只与两端点位置有关而与路径无关，如 1)万有引力 W GMm r GMm r =----⎡⎣⎢⎤⎦⎥()()21 2)重力 W mgy mgy =--()213)弹性力 W kx kx =--()12122212保守力：做功只与两端点位置有关而与路径无关的力。

力为保守力的条件：存在一单值有限可微的势能函数V(x,y,z) dW dV V x dx V y dy Vzdz F V V x i V y j V zk F =-=-++=-∇=-++∇⨯=()()∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂可见，只要力所做的元功可表为全微分（或力的旋度为0），则该力为保守力。

保守力做功：W dW dV V V =⎰=-⎰=--121221()非保守力、耗散力。

4.动能与势能5.动能定理与功能原理6.机械能守恒原理质点动力学的基本定理与基本守恒量 1.动量守恒定律 考察力对时间的累积效果1)动量与冲量 2)动量定理(矢量式与解析式) 3)动量守恒定律2.力矩与动量矩F d mv dt r F r d mv dt d r mv dt drdt mv r d mv dt r d mv dtr F d r mv dt M dJ dt J J Mdt=⇒⨯=⨯⨯=⨯+⨯=⨯∴⨯=⨯=-=⎰()()()()()(),,21123.动量矩守恒定律考察力矩对时间的累积效果1)动量矩定理 2)动量矩守恒定律有心力1.有心力的基本性质 1)有心力 质点受力的作用线始终通过定点（力心），一般为矢径（以力心为原点）的函数，分引力和斥力两种。

2)运动受有心力作用的质点作平面运动r F J r mv const ⨯=⇒=⨯=0质点在垂直于动量矩的平面内运动3)作用方程F F r F r r mx F r x r my F r y rm r r F r m r d dt r ==⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒-==⎧⎨⎪⎩⎪()() () ()( )()[( )]()02210θθ 显然r h mr mh v r mr r mv const 222 ( ) ()θθθθθθ===∴=⨯= 有心力问题的基本方程：m rr F r r h( )() -==⎧⎨⎪⎩⎪θθ224)功与能W F dr F dr F rd F drr r F F V F dr r r V V r r r =⋅⎰=⎰+⎰=⎰∇⨯=∴=-∇⎰=-- 1212121212210θθ,()有心力为保守力，且机械能守恒：12222m r r V r E ( )()++=θ 基本方程也可写为：122222m rr V r E r h ( )() ++==⎧⎨⎪⎩⎪θθ2.轨道微分方程r h u r hu r d d u u du d h du d r h u d u d h u d u d u F m u u 22222222222111 () , ()()θθθθθθθθθθ=⇒====-=-=-⇒+=-⇒= （比耐公式）3.行星的运动轨迹已知万有引力F GMm rmk u ==-222，求行星的运动轨道。

h u d u d u k u d u d u k hA u A k h r k h A h k u k h 2222222222220222202201() cos()cos(),cos()θθξξξθθθθθθξ+=⇒+=⇒+=⇒=-⇒=-+=+-=+合适选取坐标系使θ00=，有r p e p k h e A h k=+==12222cos ,,θ轨迹为原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点。

也可采用第二个基本方程推导：121222*********2222422242232222240m r r V r E V k m r r dr d h r dr d r h m h r dr d h r k r E dr d Er mhk r hr r h k h E mk r pe ( )(),, ( )[()]cos()cos ++==-===⇒+-=⇒=+-⇒=++-⇒=+θθθθθθθθθθ4.从开普勒到万有引力 I ：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。

II ：行星与太阳的连线在相同时间内扫过相同面积。

III ：行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。

可由开普勒定律推出万有引力定律。

II ⇒=≈∴=dA dt const A r r dA dt r ∆∆12122() θθ ⇒=⇒⨯=⇒⨯=r const r mv const r F 20 ()θθ即：行星受有心力作用且力心为太阳（满足有心力基本方程）I ⇒=+=+r p e u p ep11cos ,cos θθ 代入比耐公式⇒=-+=-=-F mh u d ud u mh u p h mpr22222222()θ 行星受力且与距离平方成反比(其中h 、p 是与行星有关的常量)III ⇒===-2220,()A r h A h t t θ 扫过全部椭圆时 222A ab hT T ab h==⇒=ππ T a b h a b a a a c a e p 232222222411==-=-=π,()() ∴==⇒T ap h const p h232224π与行星无关，令p h k F k m r 22221=⇒=-5.宇宙速度1212222222222m r r k m r E r h m r h rk m r E ( ) ( )+-==∴+-=θθ 在椭圆近日点，r a c a e per =-=-=+=(), 110，有 E mh r k m r mk p r k m r mk ap a e p hk =-⇒-=-=-=1212222212222222() 对椭圆轨道星体，122222mv k m r k m a-=-1)第一宇宙速度令a=r=地球半径，F mg GMm r k m r k gr ===⇒=22222有v gr m s 133986*********==⨯⨯=⨯../ 2)第二宇宙速度令a 为无穷远点，有v gr v m s 2122112===./ 3)第三宇宙速度脱离地球与太阳，v GMr v G M r s s2222==, 有v v M rMr m s s s==⨯234210/ 考虑地球公转速度为30km/s ，因此在地球公转轨道上发射只需达 到12km/s 。

为克服地球阻力达到该速度，需要 12121200016510322233mv k m r m v m s -=⇒=⨯()./ 考虑到其他行星的阻力，v km s 3167=./。