第八讲几何建模

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是（） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

5 几何模型的建立

第五章几何模型的建立第一节几何模型的定义和形式 1、几何模型的定义反映分析对象几何特征的求解域几何模型是网格划分的基础几何建模的时候必须对实际对象进行简化几何模型并不要求与实际结构完全相同 2、几何模型的形式 1）线框模型杆件结构轴对称薄壳 2）表面模型平面应力应变问题轴对称问题薄板弯曲及薄壳问题3）实体模型空间问题第二节形状处理方法本节主要介绍几何建模时根据形状和边界条件等特点对结构进行的简化方法 1、降维处理 2、细节简化 1）细节处的应力大小 2）计算内容 3、形式变换（做等效处理） 4、对称性的利用 1）对称的基本形式（1）反射对称（2）周期对称

2）对称性利用的注意事项（1）对称面上的载荷取1/2 （2）对称面上存在板和梁则节点必须在对称面上，且相应的刚度应取整个单元的一半，而不是1/2单元的全部（3）用对称面剖分结构的时候，应尽量使剖封面不在结构的最大应力位置第三节几何建模与模型处理方法1、实体模型建立方法 1）体素建模仿法输入简单三维形体立方体圆柱体球体锥体锥台 2）扫描变换法（1）拉伸变换（2）旋转变换 3）构造实体法（1）并运算（2）交运算（3）差运算（4）图案运算（5）平面切割运算（6）倒圆运算（）倒角运算（7）倒角运算 4）断面拟合法（1）定义断面（2）各断面按一定顺序排列5）由曲面变换成实体（1）拉伸变换（2）投影变换（3）偏置变换 6）变换生成实体（1）整体比例变换（2）表面比例变换（3）弯曲变换 2、曲面模型建立方法1）点阵拟合 2）曲线拟合 3）曲线扫描变换）由实体生成曲面 4）由实体生成曲面（1）删除部分曲面（2）提取中面3、几何模型的处理产品开发的环节：设计—分析—测试—制造几何模型处理方法 1）曲线剪断2）曲面分裂 3）实体分裂4）提取扫描面 5）提取中面6）特征处理

高中数学立体几何专题

高中课程复习专题——数学立体几何一空间几何体㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱的分类棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体

的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

(完整版)非常好高考立体几何专题复习

立体几何综合习题一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 ★ 底面为矩形底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B

1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

专题8.7 高考解答题热点题型-立体几何(解析版)

高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题8.7高考解答题热点题型---立体几何目录一、题型综述 (1) 二题型全归纳 (1) 题型一空间点、线、面的位置关系及空． (1) 题型二平面图形的折叠问题 (7) 题型三立体几何中的探索性问题 (10) 三、高效训练突破 (15) 一、题型综述立体几何是每年高考的重要内容，基本上都是一道客观题和一道解答题，客观题主要考查考生的空间想象能力及简单的计算能力．解答题主要采用证明与计算相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间线线、线面、面面的平行或垂直关系，再利用空间向量进行空间角的计算求解．重在考查考生的逻辑推理及计算能力，试题难度一般不大，属中档题，且主要有以下几种常见的热点题型．二题型全归纳题型一空间点、线、面的位置关系及空． 1证明点共面或线共面的常用方法 (1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面． (2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．． (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明空间点共线问题的方法

(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． 3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 4.求异面直线所成角的方法 (1)几何法 ①作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上． ①证：证明作出的角为所求角． ①求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角． (2)向量法建立空间直角坐标系，利用公式|cos θ|＝ |m ·n | |m ||n | 求出异面直线的方向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角．【例1】如图，AE ①平面ABCD ，CF ①AE ，AD ①BC ，AD ①AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2. (1)求证：BF ①平面ADE ； (2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； (3)若二面角E －BD －F 的余弦值为1 3 ，求线段CF 的长．【解题思路】由条件知AB ，AD ，AE 两两垂直，可以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量解决．

高考数学用补形法解立体几何题

高考数学用补形法解立体几何题 1. 正四面体补为正方体例1. 求棱长为1的正四面体的体积。图1 分析：常规的思路是直接用三棱锥的体积公式去求，但要首先求出此三棱锥的高，求高比较繁琐。如果将正四面体ABCD补形为正方体（如图1），那么此正方体的棱长为，因此，求正四面体的体积便有了新的求解思路：例2. 如图2，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长都相等，如果E、F、G分别是SC、AB、AC的中点，那么异面直线EF与BG所成角的余弦值等于__________。图2

分析：常规的思路是“平移法”，取GA的中点H，连结EH、FH，则∠EFH即为所求，但解△EFH的运算量较大。联想到正四面体可补形为正方体（如图3），相当于求与BG所成角的余弦值。在此正方体的左边补上一个大小相同的正方体，构成一个长方体（如图4），则相当于求长方体对角线BD与侧棱所成角的余弦值。设正方体边长为1，则长方体对角线BD的长为。在中， 2. 三条侧棱两两垂直的三棱锥或对棱相等的三棱锥或一条侧棱垂直于底面的三棱锥都可以考虑补形为长方体例3. 如图5，是直二面角，，，那么AB与面β所成的角等于（）图5 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

分析：由α⊥β，BD⊥CD，得BD⊥α同理得：AC⊥β因此，AC ⊥CD，BD⊥CD，AC⊥BD不妨把三棱锥A-BCD补形为长方体（如图5），易得∠ABC为所求的角。在Rt△ABC中，，选D。例4. 如图6，四面体P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，O为面ABC 上一点，且O到平面PAB、平面PAC、平面PBC的距离分别为2，3，4，求OP的长度。分析：可补一个“小”长方体（如图6），由此可得“小”长方体的长、宽、高分别为2，3，4，求OP长可转化为求该“小”长方体的对角线长，得： 3. 一般三棱锥（三棱柱）可补形为三棱柱（平行六面体）例5. 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA＝BC＝a，PA、BC的公垂线段DE＝h，求证三棱锥的体积是。分析：以ABC为底面，PA为侧棱补形为一个三棱柱ABC－，进一步补形为平行六面体ABCD－（如图7），那么

立体几何专题练习(全国通用)

立体几何专题练习 1、如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A. 8+43 B. 8+23 C. 4+43 D. 4+23 2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（） A. 822+ B. 1122+ C. 1422+ D. 15 3、某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积 A. B. C. D. 4、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（） A. 32316+3π B. 16833 π+ C. 3236π+ D. 836π+ 5、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A. 2π B. 3π C. 5π D. 7π 6、如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（） A. B. 2 C. 4 D. 7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( ) A. B. 18 C. 20 D. 24 8、如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（） A. 7 3 π B. 28 9 π C. 147π D. 4 3 π 9、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 A. B. C. D. 10、某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（） A. B. C. D.

11、如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB （1）证明：BE⊥平面BB 1C 1C; （2）求点B 1到平面EA 1C 1的距离. 12、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=,又PD ⊥平面ABCD ，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上. （1）证明：平面BEF ⊥平面PAD . （2）试探究F 在棱PC 何处时使得//PA 平面BEF .

立体几何巧思妙解之割补法

立体几何巧思妙解之割补法在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。一、求异面直线所成的角例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（） 000090604530A B C D 分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH ACB S -， 1//,EF AA ∴异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。故选C 。二、体积问题例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC ，10,PA BC PB AC PC AB ======锥子P —ABC 的体积为（）。 4080160240A B C D 分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。 PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有： 2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ?+=?+=?===??+=? ，从而知 416810468101606 P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEB V V V V V V V V --------=----=-=??-????= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ??、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（）（A ） 32 （B ）33 （C ）34 （D ）23

中考几何模型解题法

中考几何模型解题法研修课论文宋海平第一讲以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。第二讲弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。第三讲在熟悉A字型相似、8字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。第四讲中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。第五讲几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如90度角，中间夹一个45度角），用来求线段或图形的数量关系。本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，快速找到题目的突破口，提升解题的效率。第六讲本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。培养学生把几何的三大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。一、角平分线模型一、精讲精练【模型一】夹角模型 OA、OC分别是∠BAC、∠BCA的角平分线，则：∠AOC=90°+1 2 ∠B． BP、CP分别是∠ABC、∠ACD的角平分线，则：∠P= 1 2 ∠A． AD、CD分别是∠EAC、∠FCA的角平分线，

图1 F E A 则： ∠D=90°-1 2 ∠B ． 1. 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．求证：OE ＝OF ． 2. （2011黄冈）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC =40°，则∠CAP =_______________. 3. （2011年）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、CD 分别是两个外角的平分线. （1）求证：AC =AD ；（2）若∠B =60°，求证：四边形ABCD 是菱形. F E D C B A 【模型二】角平分线加垂直 AB ⊥AC ，AB =AC ，CE 是∠ACB 的平分线， BE ⊥CE ，则: BE =1 2 CF ． 4. （2011）在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝ 1 2 ∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．（1）当AB ＝AC 时（如图1），①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明； A C E F 图2 O F E C B A

ansys几何建模及显示控制

ANSYS 入门教程(14) - 几何建模的其它常用命令 2010-08-07 08:36:32| 分类：ANSYS 入门基础| 标签：建模、显示、控制、云图、矢量图、颜色、等值线|举报|字号订阅 2.4 几何建模的其它常用命令 2.4.1 图形控制命令在采用命令流方式建模与求解过程中，一般不需要对屏幕的图形进行设置，但有时命令流中也用到，考虑到学习方便，这里简单进行介绍。需要说明的是图形控制命令并不改变模型本身及其几何位置。 1. 视图显示控制 2. 编号、边界条件及面荷载显示控制 3. 显示风格设置 4. 多窗口显示技术 5. 动画 6. 注释 7. 图形设备 8. 图像输出 1. 视图显示控制主要命令如下表所示： (1) 图形平移、缩放和旋转 GUI：Utility Menu > PlotCtrls > Pan,Zoom,Rotate 该操作没有直接的对应方式，执行菜单后弹出操作工具框。 (2) 设置坐标轴方向 GUI：Utility Menu>PlotCtrls>View Setting>View Direction

命令：/VUP, WN, Label 其中Label 为方向选择，其值可取： Label = Y（缺省）表示X 轴水平向右，Y，Z 轴垂直屏幕向外。 Label = -Y 表示X 轴水平向左，Y 轴竖直向下，Z 轴垂直屏幕向外。 Label = X 表示X 轴竖直向上，Y 轴水平向左，Z 轴垂直屏幕向外。 Label = -X 表示X 轴竖直向下，Y 轴水平向右，Z 轴垂直屏幕向外。 Label = Z 表示X 轴垂直屏幕向外，Y 轴水平向右，Z 轴竖直向上。 Label = -Z 表示X 轴垂直屏幕向外，Y 轴水平向左，Z 轴竖直向下。 (3) 设置视图方向 GUI：Utility Menu > PlotCtrls > View Setting > View Direction 命令：/VIEW, WN, XV, YV, ZV 其中： WN - 窗口号（下同），即对哪个窗口进行视图设置，可为ALL，缺省为1。 XV,YV,ZV - 总体坐标系下的某点坐标，此点与总体坐标系原点组成线的方向即为视图方向。缺省时为（0,0,1）即X 轴水平向右， Y 轴竖直向上，Z轴垂直屏幕。视图方向总是垂直屏幕，如需改变视图角度可用/ANGLE 命令设置，如要改变坐标轴方向可用/VUP 命令。如果XV=WP 则视图方向垂直于当前工作平面，例如/VIEW,1,WP。 (4) 设置视图旋转角度 GUI：Utility Menu > PlotCtrls > View Setting > Angle of Rotation 命令：/ANGLE, WN, THETA, Axis, KINCR 其中： THETA - 要旋转的角度，如为负则按逆时针旋转，单位为度 Axis - 旋转轴。旋转轴有两种，一种是屏幕坐标系，其值可取XS,YS,ZS（缺省），另一种是总体直角坐标系（XM,YM,ZM）。二者不同之处是屏幕坐标系的轴旋转是改变视图方向，模型不动；而总体直角坐标系的轴旋转是视图方向不变，而模型旋转。所有轴都过焦点（屏幕中心）。 KINCR - 相对或绝对角度旋转。KINCR=0（缺省）采用绝对角度旋转；KINCR=1 采用相对角度旋转，即在上次设置的基础上旋转该角度。 2. 编号、边界条件显示控制

立体几何割补法

立体几何中的割补法解题技巧 ※ 解题钥匙例1 (2005湖南高考，理5)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AC 1D 1的距离为（） A 、21 B 、42 C 、22 D 、2 3 分析：求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局限性显然不太好做垂线，考虑O 为A 1C 1的中点，故将要求的距离与A 1到面AC 1D 1的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该图中割出一个三棱锥A 1—AC 1D 1而进行解题。解：连AC 1，可得到三棱锥A 1—AC 1D 1，我们把这个正方体的其它部分都割去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为这个三棱锥的高的一半。这个三棱锥底面为直角边为1与2的直角三角形。这个三棱维又可视为三棱锥C 1—AA 1C 1，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为2 2，故应选B 。例2 （2007湖南高考，理8）棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的8个顶点都在球O 的表面上，E ，F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A 、22 B 、1 C 、1+2 2 D 、2 分析：在该题中我们若再在正方体上加上一个球，则该图形变得复杂而烦琐，而又考虑到面A 1ADD 1截得的球的截面为圆，且EF 在截面内，故可连接球心抽出一个圆锥来。解：如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，依题O 亦为此正方体的中心，补侧面 AD 1为平面AD 1，球0截平面A D 1可得圆锥0—AD 1（如下图），其底面圆心正为线段AD 1之中点，亦为线段EF 之中点，割去正方体和球的其它部分，只看这个圆锥，容易看出球O 截直线EF 所得线段长就等于这个圆锥底面圆的直径AD 1之长，故选D 。例3 （2005全国高考I ，理5）如图，在多面体ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形。 EF ‖AB ，EF=2，则多面体的体积为（） A 、32 B 、3 3 C 、3 4 D 、23 分析：显然在该图不是我们所熟悉的棱柱或棱锥，所以我们在此可以考虑将该图分解成我们所熟悉的棱柱或棱锥，故在此可采用分割的方法。将已知图形割为一个直棱柱与两个全等的三棱维，先分别求体积，然后求要求的几何体体积。解：如下图，过AD 和BC 做分别EF 的直截面ADM 及截面BCG ，面ADM ‖面BCG ，

专题：立体几何

复习专题：立体几何空间几何体的体积 1. 了解球、棱柱、棱锥、台体积的计算公式 2. 会求一些简单的组合体、不规则几何体的体积例题1 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为（）

A. 3 B. 32 C. 1 D. 答案：C 解析：如题图，因为△ABC 是正三角形，且D 为BC 中点，则AD ⊥BC 。又因为BB 1⊥平面ABC ，AD ?平面ABC ，故BB 1⊥AD ，且BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ?平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1，所以AD 是三棱锥A －B 1DC 1的高。所以11A B DC V 三棱锥－＝1 3 1B BC s △·AD ＝ 1 3 1 总结提升：求规则几何体的体积，关键在求底面积和体高，然后代公式求解即可。斜棱柱要注意体高和斜高的区别。例题2 如图所示，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱和底面边长都是a ，截面AB 1C 和A 1BC 1 相交于DE ，求三棱锥B-B 1DE 的体积。解：∵V 三棱锥B-B1DE =V 三棱锥B1-BDE ，又在ΔA 1BC 1中，D ，E 分别是A 1B ，BC 1的中点， ∴11 1 //,2DE AC 111111 14B BDE BDE A BC B A BC V S V S -??-∴==三棱锥三棱锥。

又111111 23 1,3B A BC B A B C V V a --== ?=三棱锥三棱锥 13 ,B BDE V -∴= 三棱锥即1 348 B B DE V a -=三棱锥。总结提升：三棱锥是最简单的几何体，它的每一个顶点均可作为该三棱锥的顶点，每一个面均可作为棱锥的底面，因此要多角度观察图形，适当进行等积变换，可简化求解过程。例题3 如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5. 求此几何体的体积。解法1：如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥。则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥。由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝1 2 ×8×6×3＝72。四棱锥D －MNEF 的体积为 V 2＝ 13×S 梯形MNEF ×DN ＝1 3 ×12×（1＋2）×6×8＝24，则几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96. 解法2：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝ 12V 三棱柱＝12×S △ABC × AA ′＝12 ×24×8＝96。

初中几何模型和解法中考几何专题：等面积法

初中几何模型与解法：等面积法教学目标 1、学会寻找同一个图形两种计算面积的方法，列出等量关系； 2、学会运用等面积法建立等式求解线段长或证明线段之间的数量关系 3、学会运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积重、难点重点：运用等面积法建立等式；难点：运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积知识导图知识梳理方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！技巧归纳： 1、当图形中出现两个（或者以上）的垂直关系时，常用此法. 2、计算多边形面积的常用方法： (1)面积计算公式 (2)对于公式⑤的证明（如右图）： S= S△ABD+S△CBD = = = * (3)割补法：将不规则图形“分割或补全’为规则图形. +

= 又∵ABC= AC AB ∴该直角三角形斜边AB上的高 CD= 导学一：等面积法在直角三角形的应用知识点讲解1 在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。如图：基本公式: ①勾股定理: ②等面积法：证明②：即：, 例题 1.如图，在Rt ABC ,∠C=90°，当直角边AC =4，斜边AB =5时，求该直角三角形斜边AB上的高CD ? 【参考答案】 = 2.如图，在Rt ABC (BC AC ) ,∠C=90°，当斜边AB =10cm，斜边AB上的高CD =4.8cm 时，求该直角三角形直角边AC和BC的长度? 【参考答案】解：设AC =x, BC =y, ( y 由勾股定理：= =100 又∵ABC = AC AB ∴ x y=48 再由 . 得到解得：答：AC = 6，BC = 8

高三数学立体几何专题

立体几何专题【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．【例题解析】题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为,,m n k ， =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．

用补形法解立体几何题的常用策略

用补形法解立体几何题的常用策略罗建中一、棱锥补成棱柱例1 一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为 A. π3 B. π 4 C. π3 3 D. π 6 分析：正四面体可看作是正方体经过切割而得到，因而构造一个棱长为1的正方体ABCD1 1 1 1 D C B A -，则四面体D BC A 1 1 -就是棱长为2的正四面体，而正方体的外接球就是四面体的外接球，又正方体的对角线长就是球的直径，易知对角线长度为3，故球表面积 2 2 3 4 S?? ? ? ? ? π = π =3。评注：对棱长全相等的正四面体通常把它补成正方体。若是相对棱长相等的四面体，则可考虑把它补成长方体。例2 如图1，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S-中，∠ABC=? 90，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=2 1 。（1）求四棱锥ABCD S-的体积；（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。解：（1）解答略。（2）以SA为棱，构造正方体AECB-SFGH，如图2，分别取棱SF、HG中点M、N，连结DM、MN、SN、ND，设ND与SC相交于O，连接MO。则有面MDN∥面SAB，且SM⊥面MDN，所以所求的二面角等于二面角S-DN-M。在正方体AECB-SFGH中，△NSD与△NMD都是等腰三角形，所以SO⊥DN， MO⊥DN，所以∠SOM是二面角S-DN-M的平面角。又MO2 1 = SB=2 2 ，SM=2 1 ，所以2 2 MO SM SOM tan= = ∠ ，故所求二面角的正切值是2 2 。

评注：从一顶点出发的三条棱互相垂直的锥体通常可考虑把它补成长方体或正方体。二、三棱柱可补成四棱柱例3 已知斜三棱柱的侧面11ACC A 与平面ABC 垂直，∠ABC=?90，BC=2，AC=32，且C A AA 11⊥，C A AA 11=，求点C 到侧面11ABB A 的距离。解：把斜三棱柱ABC 111C B A -补成如图3所示的平行六面体，设所求的距离为d ，则d 也是平面11A ABB 与平面 11C CMM 间距离，作AC D A 1⊥于点D ，作AB E A 1⊥于点F ，因为C A AA 11=，32AC =，C A AA 11⊥，所以 3 D A 1=，又∠ABC=?90，BC=2，所以22AB =，因侧面11ACC A 与底面ABC 垂直，AC D A 1⊥于点D ，所以 AB D A 1⊥，又AB E A 1⊥，知AB ⊥面ED A 1，因而AB ⊥ED ，又∠ABC=?90，所以DE ∥BC ，D 为AC 中点，且 1BC 21 DE == ，故 2 DE D A E A 2211=+=，而 d S D A S V 11ABB A 1ABMC ?=?=平行六面体。所以 3 2 3 2S D A S d 11ABB A 1ABMC ==?= 。评注：本例通过斜三棱柱补成四棱柱，从而达到把线面距离转化为面面距离，再通过等积变换达到简化解题之目的。三、棱台补成棱锥例4 如图4，三棱柱ABC 111C B A -中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面F C EB 11将三棱柱分成体积为1V 、2 V 的两部分，那么21V :V 等于多少？

立体几何中的常见模型化方法

立体几何中的常见模型化方法建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与特殊几何体建立关联，二是数量关系有明显特征的几何背景. 例题一个多面体的三视图如图1所示，则该多面体的体积是 A. 23/3 B. 47/6 C.6 D.7 分析该几何体的三视图为3个正方形，所以可建构正方体模型辅助解答. 解图2为一个棱长为2的正方体. 由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2×1/3×1/2×1×1×1=23/3选A. 解后反思大部分几何体可通过对正方体或长方体分割得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究，能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关系明显，计算简便. 变式1 已知正三棱锥P-A BC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为____ 分析由于在正三凌锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互

相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造正方体模型. 解构造如图3所示的正方体. 此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点O，且EP⊥平面ABC，EP与平面ABC相交于点F.由于FP为正方体体对角线长度的1/3，所以又OP为球的半径，所以OP=.故球心O到截面ABC的距离解后反思从正方体的8个顶点之中选取不共面的点，可构造出多种几何体，这些几何体可以分享正方体的结构特征. 变式2-个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A.3π B.4π C.3π D.6π 分析将一个正方体切掉四个大的“角”，就可得到一个正四面体. 解如图4所示，构造一个棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，连接AB1，AD1，AC，CD1，CB1，B1D1，?t 四面体B1-ACD1为符合题意的四面体，它的外接球的直径AC1=，所以此正方体外接球的表面积S=4πR2=3π.选A. 解后反思正四面体的体积也可通过这种切割的方法求得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的}.若正四面体的棱长为a，则其体积为

高三数学立体几何的难点突破3常见的补形法

1 几种常见的补形法 1 四面体的补形法【例1】在四面体ABCD 中，设AB = 1，CD =3，直线AB 与CD 的距离为 2，夹角为3 π ，则四面体的体积等于______．【解析】法1：如图，将四面体ABCD 补成四棱锥A – BDCE ，且BE ∥CD ，BE = CD ，则∠ABE = 3π或3 2π，BE =3，CD ∥面ABE ，∴CD 与AB 的距离即为CD 到平面ABE 的距离，亦即C 到平面ABE 的距离就是三棱锥C – ABE 的高h = 2，∴V A – BCD = V A – BEC = V C – ABE =?h 3 1 S △ABE 3sin 21231π???? ?BE AB =2 1. 法2：如图，把四面体ABCD 补成三棱柱ABE – FCD ，则面ABE ∥面CDF ，AB ∥CF ，且CF = 1，则AB 与CD 的距离就是平面ABE 与平面FCD 的距离，即三棱柱的高h = 2，且∠DCF = 3π或3 2π. ∴V 柱 = S △FCD · h = 23 23sin 21=????πCF CD ，故四面体的体积为2 1 31=柱V . 法3：如图，把四面体ABCD 补成平行六面体，则四面体的体积是平行六面体体积的 31,V 平行六面体 = S 底· h =2323sin 3121=????π，故四面体的体积为2 1 . 【评注】三棱锥补成四棱锥、三棱柱或正方体可以简化求体积，本题将两异面的直线段构成的四面体用三种不同的补形探究出. 结论：在四面体ABCD 中，设AB = a ，CD = b ，直线AB 与CD 的距离为h ，夹角为θ，则四面体的体积为V = θsin 6 1 abh . 2.三侧棱两两垂直的三棱锥补形成长方体【例2】已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ， PC 两两相互垂直，则正三棱锥P －ABC 球心到截面ABC 的距离为________．【解析】正三棱锥补成正方体如图，可知球心O 为体对角线PD 的中点，且PO ＝3，又P 到平面ABC 的距离为h ，则13×34×(22)2 ·h ＝13×12×2×2×2.∴h ＝233 . 【评注】如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体;如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2 ＝ a 2＋ b 2＋ c 24 ＝l 2 4 (l 为长方体的体对角线长)．【变式1】利用四个面为直角三角形的三棱锥补成长方体求外接球的面积在三棱锥V A B C -中，VA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=?，若 A B F E C D A B V C A B E D C