椭圆知识点总结

椭圆知识点

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ；ﻫ 若2121F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形．

知识点二:椭圆的简单几何性质ﻫ 椭圆:12222=+b y a x )0(>>b a 与 122

22=+b

x a y )0(>>b a 的

标准方程

122

22=+b y a x )0(>>b a 12

2

22=+b x a y )0(>>b a 图形

性质

焦点 )0,(1c F -,)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F

焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤

b x ≤,a y ≤

对称性

关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 )0,(a ±,),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±

轴长

长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长＝a ,短半轴长=b （注意看清题目）

离心率

)10(<<=

e a

c

e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；

(p 是椭圆上一点)(不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）

注意:①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质,如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等;②与坐标系有关的性质,如：顶点坐标、焦点坐标等

知识点三：椭圆相关计算

1.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222

c b a

+=

2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a

b

2

2

焦点弦:椭圆过焦点的弦。

3.最大角:p 是椭圆上一点,当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。

4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。 焦点三角形的面积2tan

221θ

b S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ（注意公式的推导)

5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法)．

(1）作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上.

（2)设方程:

①依据上述判断设方程为2222b y a x +=1)0(>>b a 或22

22a

y b x +=1)0(>>b a

②在不能确定焦点位置的情况下也可设m ｘ2＋ny 2＝1(m >0,n ＞0且m ≠n ).

(3）找关系,根据已知条件,建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． （４)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系:

2222b y a x +<１,点在椭圆内；2222b y a x +＝1，点在椭圆上;22

22b

y a x +>1， 点在椭圆外。 7．直线与椭圆的位置关系

设直线方程ｙ=kx ＋m ,若直线与椭圆方程联立，消去ｙ得关于x 的一元二次方程:ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0).

(1)Δ>0,直线与椭圆有两个公共点; (2)Δ＝0,直线与椭圆有一个公共点; (3）Δ<0,直线与椭圆无公共点. 8．弦长公式:(注意推导和理解）

若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长

221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=

2122124)(1x x x x k -++=＝

9.点差法：

就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差。求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.

步骤:①设直线和圆锥曲线交点为 ,

，其中点坐标为

,则得到关系

式:

，

..

②把

,

分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进行

因式分解.其结果为0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m

③利用 求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 ．

中点弦的重要结论（不要死记会推导)

10．参数方程cos sin x a y b θ

θ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)θ几何意义：离心角

1１、椭圆切线的求法

１）切点（00x y ）已知时,22221(0)x y a b a b +=>> 切线00221x x y y

a b

+=

22221(0)y x a b a b +=>> 切线00221y y x x

a b +=

2)切线斜率k 已知时， 22

221(0)x y a b a b +=>> 切线222y kx a k b =+

22

221(0)y x a b a b

+=>> 切线222y kx b k a =+

12、焦半径:椭圆上点到焦点的距离

22

221(0)x y a b a b +=>> 0r a ex =±(加减由长短决定）

22

221(0)y a a b a b

+=>> 0r a ey =±（加减由长短决定)

1３．离心率的求法