多重网格法求解三维静电场分布
电子学报000228
电子学报
ACTA ELECTRONICA SINCA 2000 Vol.28 No.2 P.94-96
多重网格法求解三维静电场分布
张璟璟 周立伟 金伟其 张智诠
摘 要：本文将一种高效率的数值计算方法——多重网格法引入三维静电场分布的计算，多重网格
法利用限制和延拓可迅速求得满足精度要求的场分布.研究了求解各种静电透镜电子光学系统三维场
分布的多重网格法程序，验算了静电同心球模型的三维场分布.通过与目前在场计算中常用的有限差
分法进行比较，可以看出多重网格法的计算效率和计算精度优于有限差分法.本文表明利用多重网格
法计算三维场大大提高了场分布的计算效率，缩短了计算时间，因此为后续计算打下了良好的基础.
关键词：电子光学；电子光学系统CAD；三维静电场计算；多重网格法
分类号：TN201 文献标识码：A
文章编号：0372-2112 (2000) 02-0094-03
Multi-Grid Method Applied to Solve Three
Dimensional Electrostatic Field Distribution
ZHANG Jing-jing,ZHOU Li-wei,JIN Wei-qi,
（Dept.of Photo-electronics Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China；）
ZHANG Zhi-quan
（Armoured Force Engineering Institute,Beijing 100072,China）
Abstract：A highly efficient numerical algorithm by using Multi-grid Method (MGM) is introduced to solve the
three dimensional field distribution in the present paper.Formulae of the restriction and prolongation in MGM
computation is deduced,and a 3D program of MGM is accomplished,which can solve the field distributions in
electron optical systems for various electrostatic lenses.The 3D field distribution in an electrostatic concentric
spherical model is tested with MGM algorithm and an algorithm based on Finite Difference Method (FDM)
respectively.Comparing these two results in view of computational efficiency and computational accuracy,it
appears that MGM is superior to FDM in solving electrostatic field distribution for the electron optics problem.
This paper shows that the 3D field computation using MGM greatly improves the computational efficiency of
field distributions in electron optical systems and shortens the computational time.
Key words：electron optics;electron optical system CAD;3D electrostatic field computation;multi-grid
method▲
1 引言
到目前为止，大多数电子光学系统CAD程序只能计算二维场.虽然出现了一些专门的三维电子光
学系统设计程序，但是其中多数只适用于特殊情况［1～4］.利用绝缘表面与网格臂相交情况下改进的
有限差分方程，J.Rouse研制了能够处理三维电磁场的通用电子光学设计软件包［5］，然而其计算效
率受到三维场的复杂性和需处理数据的海量限制.一种应用于工程边值问题的高效算法——多重网格
法(Multi-grid Method)在近些年迅速发展起来［6］.二维场的计算［7］表明，多重网格法大大减少了场
分布的计算时间，提高了计算效率，因而是一种高效、实用的计算方法.本文首次将多重网格法引入
求解三维电子光学系统场分布的计算中.
传统的迭代方法能够处理具有封闭边界、区域形状任意的边值问题，收敛速度随迭代次数的增
加而减小，这种现象称为光滑效应.考虑到上述问题，多重网格法将传统的迭代方法与一种粗网格校
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正技术结合起来.其实质是在粗网格层上对场值的误差进行迭代，因为场值的误差在粗网格层上是
不“光滑”的，从而使迭代迅速收敛.将迭代后的场值误差加回到细网格层的对应点上，最后就得到
满足精度要求的电位分布.
2 用多重网格法计算三维场的原理
本文所研究的多重网格法求解三维静电场分布就是求解第一类边界条件下的泊松方程或拉普拉
斯方程.这一过程与用多重网格法求解二维轴对称静电场相似［7］，但是需要在三维空间中进行，处
理的数据和进行的计算都大大增加，因而问题要复杂得多.首先需要进行三维笛卡尔坐标系中泊松方
程或拉普拉斯方程的推导.然后在光滑迭代过程中使用Gauss-Seidel迭代.在每一次迭代前对场值的误差
进行限制，之后对其进行延拓.重复上述过程直到迭代误差足够小为止，于是获得正确的场分布.
2.1 三维笛卡尔坐标系中的差分方程 在三维笛卡尔坐标系中，泊松方程给出如下
(1)其中x轴是电子光学系统的主轴，y和z分别是y和z方向到x轴的距离，是静电电位，ρ=ρ(x,y,z)是
空间电荷，ε0是真空中的介电常数.若ρ=0，则泊松方程成为拉普拉斯方程.由于本文研究静电透镜
的弱流电子光学系统，不考虑空间电荷的影响，因此下面讨论拉普拉斯方程的三维解.
假设在点P0(x0,y0,z0)有x=x0+l,y=y0+m,z=z0+n，电位(x,y,z)可在点P0展开为泰勒级数， 近似到二次项可得差分方程如下
(2)其中 因为电位(x,y,z)满足(1)，在式(2)中对x,y和z分别求导并代入方程(1)中可得
(3)
将与P0相邻六点P1，P2，…，P6的值依次代入方程(2)(见图1)，得到相应的电位1，2，…,6
如下
file:///E|/qk/dianzixb/dian2000/0002/000228.htm（第 2／8 页）2010-3-22 16:57:31万方数据电子学报000228图1 三维场计算的七点结构示意图
(4) 利用式(3)和(4)消去0(1,0,0)，0(2,0,0)，0(0,1,0)，0(0,2,0)，0(0,0,1)，0(0,0,2)，整理得到所求的三维笛卡尔坐标系中不等间距的七点差分方程
(5)
其中c1=2/(h1(h1+h2)),c2=2/(h2(h1+h2)),c3=2/(h3.(h3+h4)),c4=2/(h4(h3+h4)),c5=2/(h5(h5
+h6)),c6=2/(h6(h5+h6)),c0=(2/(h1h2))+(2/(h3h4))+(2/(h5h6))=c1+c2+c3+c4+c5+c6.
2.2 Gauss-Seidel迭代作为光滑迭代
在计算区域中划分三维网格.网格点表示包括x轴上点在内的所有区域内网格节点.在每一网格点
应用差分方程，就得到需要进行迭代的巨大的差分方程组，因此选择合适的迭代方法对于后续计算
有重要影响.
虽然超松弛迭代法(Successive Over-relaxation Method)是目前最成熟的迭代方法，但是由于其误差
的光滑性差使其不适于多重网格法.我们选择Gauss-Seidel迭代作为多重网格法的光滑迭代方法，详细
过程见文献［8］.
2.3 限制和延拓公式
与传统计算方法不同，多重网格法采用了一系列不同步长的网格层.因为场值的误差在粗网格层
上摆动剧烈，因此在粗网格层上对误差进行迭代将加快收敛速度.误差从细网格层到粗网格层的变换
过程称为限制，即将细网格层上与某一网格点相邻的26个网格点的信息通过一定的权重浓缩到粗网
格层上的该点.我们给出的限制公式如下
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(6)其中km对应于某一网格点上场值的误差，其上标k(k=1,…,n)表示该点位于的网格层数，下标m表示该点的位置(见图2).
图2 限制和延拓
在粗网格层上对场值的误差进行迭代后，必须将粗网格层上的误差通过插值补充出细网格层上的函数值.这一插值的过程称为延拓.可以看出，限制和延拓是互逆的.导出的延拓公式如下
(7)
file:///E|/qk/dianzixb/dian2000/0002/000228.htm（第 4／8 页）2010-3-22 16:57:31万方数据电子学报000228 多重网格法的数学描述请参阅文献[7].图3给出了多重网格法求解三维场的基本过程的原理图.
图3 多重网格法解三维静电场的基本原理
2.4 程序设计
根据前述原理，编制多重网格法求解三维静电场的程序.该程序在Windows环境下用Borland C+
+4.5开发.图4给出了其流程图.
file:///E|/qk/dianzixb/dian2000/0002/000228.htm（第 5／8 页）2010-3-22 16:57:31万方数据
静电场分布规律
静电场分布规律
静电场是由静止电荷在空间中产生的电场。静电场的分布规律可以通过电场强度分布、电势分布、电荷分布和介电常数分布等方面来描述。
1、电场强度分布
静电场中某一点的电场强度E是由该点的电荷密度ρ和介电常数ε所决定的。电场强度分布可以通过对电荷密度和介电常数的空间分布进行积分来计算。在二维平面上，电场强度分布可以用公式Ex=∫ρ(x,y)z dz，Ey=∫ρ(x,y)x dx来计算，其中Ex和Ey分别表示x和y方向上的电场强度分量。
2、电势分布
静电场中某一点的电势Φ是由该点的电荷密度ρ和介电常数ε所决定的。电势分布可以通过对电荷密度和介电常数的空间分布进行积分来计算。在二维平面上，电势分布可以用公式Φ=∫ρ(x,y)z dz来计算。
3、电荷分布
静电场中的电荷分布可以影响电场强度和电势的分布。在大多数情况下，电荷分布是不均匀的，因此需要通过实验或测量来确定电荷分布。电荷分布也可以通过对物体进行充电或放电来改变。
4、介电常数分布
介电常数分布可以影响静电场的分布。在某些情况下，介电常数分布可能是不均匀的，这将对电场强度和电势的分布产生影响。介电常数分布也可以通过对物体进行掺杂或其他处理来改变。 总之，静电场的分布规律可以通过电场强度分布、电势分布、电荷分布和介电常数分布等方面来描述。这些分布规律可以通过实验或测量来确定，也可以通过对物体进行充电或放电、掺杂等处理来改变。
4模拟静电场
4.模拟静电场
模拟静电场是一种通过使用物理模型或数学方法来模拟和理解电场的技术。电场是由电荷产生的，而电荷会对其周围的电场产生影响。通过模拟静电场，我们可以更好地理解电荷如何在空间中产生和传播能量，以及这种能量如何影响物体和材料。
静电场的特点是没有电流，只有电荷分布和电场线。由于没有电流，因此没有磁场，只有电场。静电场的另一个特点是它不会随着时间变化，它是静态的。
模拟静电场的常用方法有：
1. 有限差分法（Finite Difference Method，FDM）：这是一种常见的数值方法，通过将连续的空间离散化成小的网格，然后计算每个网格上的电荷产生的电场，从而得到整个空间的电场分布。
2. 有限元素法（Finite Element Method，FEM）：这是一种广泛使用的数值方法，通过将连续的区域分解成小的元素或网格，然后在每个元素上计算电荷产生的电场，从而得到整个区域的电场分布。
3. 边界元法（Boundary Element Method，BEM）：这种方法基于电荷在边界上产生的电场等于边界外部的电场这一假设。这种方法通常用于计算具有复杂形状的物体上的电荷分布和电场分布。
4. 矩量法（Method of Moments，MoM）：这种方法通过将电荷分布表示为一系列的基函数之和，然后计算每个基函数产生的电场，从而得到整个区域的电场分布。
静电场的模拟通常在计算机上进行，使用的软件包括ANSYS Maxwell、COMSOL
Multiphysics、FEMM等。这些软件使用不同的算法和技术来模拟静电场，并提供了可视化工具来显示电场分布、电流密度、电荷密度等数据。
静电场的模拟对于各种应用和领域都有重要意义。例如： 1. 电子工程：静电场模拟可用于设计微电子设备和集成电路，预测它们在不同条件下的性能和行为。
2. 物理学：静电场模拟可用于研究物质和电荷之间的相互作用，了解材料的物理性质和行为。
python有限差分法求解点电荷静电场问题
一、介绍
Python是一种高级编程语言，可以用于解决各种科学计算和工程问题。有限差分法是一种常见的数值计算方法，可用于求解偏微分方程。在本文中，我们将介绍如何使用Python编程和有限差分法来求解点电荷的静电场问题。
二、点电荷静电场问题
静电场是指在没有电荷移动的情况下产生的电场。点电荷是一个理想化的电荷模型，它在空间中产生静电场。点电荷的静电场分布可以通过求解泊松方程来得到，而泊松方程可用有限差分法进行数值求解。
三、有限差分法介绍
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的常用方法。它基于偏微分方程在空间上的离散化，通过将偏微分方程中的导数用有限差分的形式进行逼近，从而转化为一个代数方程组。然后使用迭代或直接求解方法来解这个代数方程组，得到偏微分方程的数值解。
四、Python编程
Python提供了丰富的科学计算库，如NumPy、SciPy等，这些库提供了丰富的数学函数和数值计算工具，非常适合用于求解偏微分方程和实现有限差分法。
五、求解点电荷静电场问题的步骤
1. 定义空间网格：首先需要在空间中定义一个网格，将泊松方程离散化为代数方程组。可以选择规则的正交网格或非规则的三角形网格，具体选择取决于具体的求解问题。
2. 离散化泊松方程：将泊松方程中的二阶导数使用中心差分表达，得到代数方程组。在一维情况下，泊松方程可以表示为：$f''(x) =
\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$。
3. 边界条件处理：在求解泊松方程时，需要给出边界条件。对于点电荷问题，可以假设空间的远处为零电势，即$f(\infty) = 0$。或者可以选择其他边界条件，比如给定一个有限大小的空间边界。
4. 求解代数方程组：得到了代数方程组后，可以使用迭代方法，如雅可比、高斯-赛德尔或CG方法，也可以直接求解线性方程组的解。
六、实例
二维静电场的有限差分法计算实验注意事项
二维静电场的有限差分法计算实验注意事项
以二维静电场的有限差分法计算实验注意事项
引言：
二维静电场的有限差分法是一种常用的数值计算方法，用于求解电荷分布在二维空间中的静电场。通过将空间离散化为网格，电场的微分方程可以转化为差分方程，从而得到电场的数值解。本文将介绍进行二维静电场有限差分法计算实验时需要注意的一些事项。
一、选择合适的离散化网格
在进行有限差分法计算实验时，首先需要选择合适的离散化网格。网格的大小和密度会直接影响计算的精度和效率。通常情况下，应该尽量选择较小的网格尺寸，以增加计算的精度。然而，过小的网格尺寸可能会导致计算量过大，影响计算效率。因此，需要在计算精度和效率之间做出权衡，选择适当的网格尺寸。
二、确定边界条件
在二维静电场的有限差分法计算中，边界条件起着关键的作用。边界条件决定了电荷分布在空间中的限制条件。在确定边界条件时，需要考虑问题的实际情况，并根据具体情况选择适当的边界条件。常见的边界条件包括电势固定、电场固定、电势梯度为零等。
三、迭代求解差分方程
有限差分法的核心是迭代求解差分方程。在进行迭代求解时，需要确定迭代的终止条件，并选择合适的迭代方法。常见的迭代方法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、超松弛迭代法等。在选择迭代方法时，需要综合考虑计算精度和迭代速度。
四、验证计算结果的准确性
在进行二维静电场的有限差分法计算实验后，需要验证计算结果的准确性。可以通过与解析解进行对比，或者进行数值实验验证。如果计算结果与解析解或实验结果相符，说明计算结果是准确的。否则，需要进一步检查计算过程中是否存在错误。
五、注意计算过程中的数值稳定性
在进行二维静电场的有限差分法计算实验时，需要注意计算过程中的数值稳定性。数值计算中常常会出现舍入误差、截断误差等问题，这些误差可能会影响计算结果的准确性。为了提高数值稳定性，可以采用稳定的数值算法，或者增加计算精度。
结论：
二维静电场的有限差分法是一种常用的数值计算方法，用于求解电荷分布在二维空间中的静电场。在进行有限差分法计算实验时，需要注意选择合适的离散化网格、确定边界条件、迭代求解差分方程、验证计算结果的准确性以及注意计算过程中的数值稳定性。只有在注意这些事项的前提下，才能得到准确可靠的计算结果。
5.2 三维静电场的有限元分析
5.2 三维静电场的有限元分析
对于三维静电场边值问题
0212sosnV
取的近似解~，它满足边界条件，带入控制方程，有余量方程
~)~(AR
其中 2A
5.2.1伽辽金有限元法
将场域V剖分为0Z个单元，0N个节点。区权函数Wp，按加权余量法
oeZeVpVppdVRWdVRWRW1)~()~(~,
在e号单元上的插值函数
oNkkkeTeTenkkkNNNN11~
其中：)(mljiNNNNNTmljie若0000
TN021
取 021NpNWpp,,，则
VepppedVNRNRW)~()~(,)~(,2
∴ 0221NpdVNdVNpVepVpe,,,~
由矢量恒等式
~~)~(pppNNN2
∴ pVeVepVeppdvNdvNdvN)~(~
01210NpdSnNdVNdVNNppSVepkpVeNkke,,,~ 考虑到边值问题中的第二类齐次边界条件，则处在第二类边界上的单元，有0dsnNeSp~；若为内部单元，相邻单元共边，n的量值相等而符号相反，各单元的贡献累加起来，在总体上，内部单元0eSpdsnN，此处可以不必理会它(或者处理为误差)，于是上述方程组可以用矩阵表示为：
eeepk][][][][
静电场的求解方法
静电场的求解方法的讨论
摘要 我们求电场时,一般是运用叠加原理求电强度,这也是最基本的平面场的求解方法。对于复杂的求解电场强度问题,它不适用。因此,我们必须掌握多种求电场问题的方法。本文主要介绍分离变量法和电像法来求解电场问题。电荷静止，相应的电场不随时间变化，在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体的分布情况下求解静电场。
关键词：静电场求解[1]， 分离变量法， 镜像法， 格林函数法
Abstract
Still, the corresponding electric charge not changes with time, and in
any given free charge distribution and surrounding space distribution of the
medium and conductors under electrostatic field.
Key Words :Electrostatic field solving; Method of separation of variables;
Mirror image method; Green's function method
引言
求解静电场问题的几种方法-----分离变量法，镜像法，格林函数法。我们计算在局部范围内的电荷分布所激发的电场在远处的展开式，引入电多极矩的概念。电多极矩在原子物理，原子核物理以及电磁辐射问题都有重要的应用。
1 静电场的唯一性定理
根据这个定理，对给定的电荷分布及边界条件，只存在一种可能的电场。这个定理在实际应用中的重要性在于：无论我们用什么方法，只要求出一个既满足方程又符合边界条件的电位)(r，我们就确定它是正确的电位。
2 分离变量法[2]
在求满足边界条件下拉普拉斯方程的解时，一般采用分离变量法。下面给出三种坐标系中拉普拉斯方程的通解形式。
三维静电场线性插值边界元中的解析积分方法
第２４卷第１期 ２００７年１月 计 算 物 理 ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＯＭＰＵＴＡＴＩＯＮＡＬ ＰＨＹＳＩＣＳ Ｖｏ１，２４，Ｎｏ．１ Ｊａｎ．．２００７
［文章编号］１００１．２４６Ｘ（２００７）０１．００５９．０６
三维静电场线性插值边界元中的解析积分方法
李亚莎 ， 王泽忠 ， 卢斌先
（１．华北电力大学电力系统保护与动态安全监控教育部重点实验室，北京 １０２２０６； ２．华北电力大学高电压与电磁兼容北京市重点实验室，北京 １０２２０６）
［摘要】 提出求解三维静电场的三角形线性插值边界元解析积分方法．针对含ＩｌＲ和１／Ｒ 的积分项，将单
元形状函数分解为常数项、含 的线性项和含Ｙ的线性项，从而将边界单元积分简化为６个基本积分组合，并导
出其解析计算公式，避免了因形状函数改变而导致的重复计算．该方法不仅可以准确计算远离奇异情况下的边
界元积分，而且可以准确计算一阶和二阶接近奇异积分以及一阶奇异积分．计算结果表明，在接近奇异积分和
奇异积分比较突出的问题中，当数值积分方法不能给出正确结果时，用同样的边界元网格，解析积分方法可以
给出正确的结果，提高了三维静电场线性插值边界元法的计算精度．
［关键词］ 静电场计算；边界元法；解析积分方法；奇异积分
［中圈分类号］ＴＭ １５１ ［文献标识码］ Ａ
Ｏ 引言
应用边界元法进行电磁场工程计算遇到的最大困难之一是接近奇异积分和奇异积分的计算精度问题．
数值积分方法计算接近奇异积分和奇异积分通常采用单元内部细分的方法…，文［２，３］提出了ＰＡＲＴ数值方
法计算接近奇异积分．但在接近奇异积分比较突出的问题中，如两个边界面距离很近时，数值积分的方法难
以满足工程计算的要求．为了准确计算奇异积分和接近奇异积分，解析积分方法是最理想的计算方法．文［４］
在非正交坐标系中用解析的方法讨论了三维温度场线性三角形单元的奇异积分和接近奇异积分问题．文中
运用多重网格方法求解波动方程
运用多重网格方法求解波动方程
叶强;方大纲;王朝甫;陈如山
【期刊名称】《微波学报》
【年(卷),期】1994()3
【摘 要】在众多的数值计算方法中,有限差分方法大概算是最早提出的方法之一.其简便、灵活、易于实现的特点使该方法在大型科学计算中仍然占有一席之地.完全多重网格方法(FMG方法)能够有效地解决有限差分方法中存在的收敛速度慢的缺陷.本文运用完全多重网格方法结合有限差分法和共形映射法求解Helmholtz波动方程,计算了几个实际电磁问题并取得了良好的结果.具体算例说明这种方法是一种在现代数值计算领域中十分实用、简单、高效的新方法,在现代科技计算领域中有着广泛的应用前景和发展潜力.
【总页数】6页(P16-21)
【关键词】多重网格法;波动方程;数值计算
【作 者】叶强;方大纲;王朝甫;陈如山
【作者单位】南京理工大学电子工程与光电技术学院
【正文语种】中 文
【中图分类】O241.84
【相关文献】
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4.利用多重网格方法研究波动方程正反演问题进展 [J], 高彦伟;郭华;周伟
5.求解KDV方程的多重网格波形松弛方法 [J], 王爽; 陈丽
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电弧喷射器流场模拟中电场计算的多重网格法
电弧喷射器流场模拟中电场计算的多重网格法
摘要
本文提出了一种多重网格法来模拟电弧喷射器的流场。该方法基于椭圆型分片算法，采用了圆形和椭圆形的网格对电场进行计算。通过在椭圆网格上实施内部处理，从而避免了分区技术中的不均匀性，并可以更准确地估计场中的电势。此外，本文的方法还优化了接触点相对位置以及流场源的信息，从而更好地确定流场。通过引入了一个精确的电场计算方法，可以更精确地模拟电弧喷射器的流场，并比以往的方法更快地计算出准确的结果。
关键词：电弧喷射器，流场模拟，多重网格法，椭圆型分片算法，电场计算本文提出的多重网格法可用于模拟电弧喷射器的流场。该方法可以准确估计场中的电势，同时还可以有效地确定流场的源和相对位置。因此，多重网格法可以用于模拟电弧喷射器的流场，这有利于更深入地了解流场的变化规律，促进仿真和控制技术的发展。
此外，由于使用多重网格法可以避免分区技术的不均匀性，且可以更快地得到准确的计算结果，因此该方法也有助于探究电弧喷射器的电磁特性和研究不同材料的不同电磁特性。最后，由于具有准确、高效、可编程等优点，多重网格法可以应用于电子电路仿真、金属加工技术、生物医学等领域，为科学研究提供了可能的支持和帮助。除了应用于模拟电弧喷射器的流场，多重网格法还有助于研究更多类型的流体动力学问题。例如，可以使用该方法来模拟各种不同形状、规模和材料的金属加工过程，以便对金属加工的过程进行仿真和模拟。此外，这种方法也可以用于研究高温/高压化学反应中的电场分布特性，从而帮助精确估计反应物的比例、反应时间和反应温度。
此外，多重网格法在生物医学等相关研究中也有重要作用。可以使用多重网格法来模拟人体内的电场分布，以便对器官的电磁特性进行实时测量和研究。这可以有效改善医疗保健质量，减少因疾病而引发的损失。此外，多重网格法还可以用于模拟神经元的电磁成像，并且可以有效地跟踪神经系统的运作机理，从而有助于解决认知科学相关的问题。多重网格法还可以应用于电子工程领域，以便模拟各种复杂的电子电路。通过使用多重网格法，可以更准确地分析和预测电子系统的行为，并可以有效规划和编写程序，以便满足实际应用的需要。此外，该方法可以用于解决复杂的信号处理问题，并可以估计电子系统中各种模块之间的信号传输损耗。
多重网格算法综述
多重网格算法综述
邹静文 102071406
摘要 本文总结了多重网格算法的基础理论，剖析了多重网格方法的一种并行模式以及总结了已取得的成果和待扩充的领域。对多重网格方法的基本思想有一个较详细的概述，比较分析了单一网格和多重网格的计算结果，并对多重网格的并行模式进行了探索和分析。
关键词 多重网格算法，套迭代，粗网格校正，并行模式，交错多重网格，区域分解
一、引言
多重网格法(Multiple Grid Method)，简称M—G方法是近年来求解偏微分方程边值问题的快速方法之一，本文参考前人的文献资料，并结合所学知识，总结多重网格法的基础理论，包括多重网格的应用原则、具体实现步骤以及计算结果的分析和比较。其计算结果表明：多重网格方法具有收敛速度快的优点，当多重网格方法所用层数越多，收效速度就越快；而且撞制粗、细网格层之间自适应转换的撞制参数在选取上有很大的灵活性；可以看出随着剖分的加密，单一网格方法达到收敛所需的迭代次数显著增加，而多重网格方法所需迭代次数基本上不随网格的疏密和层数而变化，这表明多重网格方法具有与网格参数无关的收敛性。
二、多重网格方法的基础理论
多重网格方法的最初被提出是由于在网格方程迭代求解时，误差的各个Fourier分量的衰减程度不同。认识到高频振荡误差是局部行为，来源于附近几个网格点之间的相互藕合，与边界或距离较远的网格点信息无关；而低频光滑误差是全局行为，主要来源于边界信息。传统的点或块松弛都是局部性较强的方法，因此它们能迅速抹平局部性的高频振荡误差，但对全局性的低频光滑误差却衰减缓慢。实际上，经过初始几次迭代后，误差将呈现光滑性。所以，习惯上称能迅速抹平高频振荡误差，使误差趋于光滑的松驰方法为有效光滑方法，并用松驰因子来刻画它们的光滑效应。
2.1多重网格方法思想的引入
考虑在简单区域上泊松方程的第一类边值问题(狄立克雷边值问题)：
(,)(,),(,)(,)0,(,)uxyfxyxyuxyxy