2018高考数学(文)(人教版)一轮复习构想检测：第七章 立体几何 课时作业(四十四).
课时作业(四十四) 直线、平面垂直的判定和性质 一、选择题 1．(2016·浙江，2)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C. 答案：C 2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( ) A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交 C．a⊥b D．a与b不一定垂直 解析：∵b∥α，∴b平行于α内的某一条直线，设为b′， ∵a⊥α，且b′⊂α，∴a⊥b′， ∴a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面． 答案：C 3．(2016·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题： ①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD； ②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD； ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD； ④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD. 其中为真命题的是( ) A．①② B．②③ C．②④ D．①④
解析：①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AC.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC. 答案：D 4．(2017·福建宁德二模，6)设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n C．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β 解析：对于A，条件为m∥α，n∥β且α∥β，其对m、n之间的位置关系没有限制，即该位置关系可以是平行、相交或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，知m与n一定不平行(否则有α∥β，与α⊥β矛盾)，不妨令m与n相交(若其不相交，可通过平移使得相交)，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角的平面角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确；对于C，α与β可以平行，故C不正确；对于D，少了条件m与n相交，所以D不成立．故选B. 答案：B 5．(2017·贵阳二模)在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列四个结论中不成立的是( ) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 解析：
如图，∵D、F分别为AB、CA的中点，∴DF∥BC.∴BC∥平面PDF，故A正确． ∵四面体P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥DF.又E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．∵PO⊂平面PAE，PO⊥平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C. 答案：C 6．在直角梯形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC，∠BCD＝45°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则下列命题正确的是( ) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 解析：∵AB＝AD，∠BCD＝45°，∴BD⊥CD；∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD. 又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC. 答案：D 二、填空题 7．(2017·青岛一模)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析：如图，连接AC，∵四边形ABCD的各边都相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平 面PCD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)(不唯一) 8.
(2017·山东菏泽一模，13)如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：
①AB与DE所在角的正切值是2；②AB∥CE；③VB－ACE＝16a3；④平面ABC⊥平面ADC. 其中正确的有________．(填写你认为正确的序号) 解析：作出折叠后的几何体直观图如图所示：
∵AB＝3BC＝3a，BE＝a，∴AE＝2a. ∴AD＝AE2－DE2＝a.∴AC＝CD2＋AD2＝2a.在△ABC中，cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22AB×BC＝3a2＋a2－2a2
23a2＝33.
∴sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝63. ∴tan∠ABC＝sin∠ABCcos∠ABC＝2. ∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确．连接BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，∴CE⊥AB.故②错误．VB－ACE
＝VA－BCE＝13S△BCE·AD＝13×12×a2×a＝a36，故③正确．∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，
∴BC⊥AD，又BC⊥CD，CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD，故④正确． 答案：①③④ 9．(2017·河北五个一名校联考，15)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P的轨迹的周长等于________． 解析：
分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE、EF、FD，则BN⊥平面AEFD，设M在平面 ABB1A1中的射影为O，过MO且与平面AEFD平行的平面为α，所以能使MP与BN垂直的点P的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋5. 答案：2＋5 三、解答题 10.
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
11．如图所示的几何体由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2. (1)证明：平面PAD⊥平面ABFE； (2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P－ABF体积的4倍． 解析：(1)证明：直三棱柱ADE－BCF中， AB⊥平面ADE， 因为AD⊂平面ADE， 所以AB⊥AD，又AD⊥AF，AF∩AB＝A， 所以AD⊥平面ABFE，又AD⊂平面PAD， 所以平面PAD⊥平面ABFE. (2)由题意得P到平面ABF的距离d＝1，
所以VP－ABF＝13S△ABFd＝13×12×2×2×1＝23， 所以VP－ABCD＝13S正方形ABCDh＝13×2×2h＝4VP－ABF＝83，所以h＝2. 12．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1. (1)求证：平面DAF⊥平面CBF； (2)求直线AB与平面CBF所成角的大小； (3)当AD的长为何值时，二面角D－FE－B的大小为60°. 解析：(1)证明：因为平面ABCD⊥平在ABEF，CB⊥AB， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB， 所以CB⊥平面ABEF. 因为AF⊂平面ABEF，所以AF⊥CB， 又因为AB为圆O的直径，所以AF⊥BF， 所以AF⊥平面CBF.因为AF⊂平面ADF，所以平面DAF⊥平面CBF. (2)根据(1)的证明，有AF⊥平面CBF， 所以FB为AB在平面CBF上的射影， 所以∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角， 因为AB∥EF，所以四边形ABEF为等腰梯形， 过点F作FH⊥AB，交AB于H.
已知AB＝2，EF＝1，则AH＝AB－EF2＝12.
在Rt△AFB中，根据射影定理AF2＝AH·AB，得AF＝1.sin∠ABF＝AFAB＝12，所以∠ABF＝30°. 所以直线AB与平面CBF所成角的大小为30°. (3)过A作AG⊥EF于G，连线DG，则∠AGD是二面角D－FE－B的平面角．所以∠AGD＝60°. 由AG⊥EF和AB∥EF知，AG⊥AB.所以∠FAG＝∠ABF＝30°.
在Rt△AFG中，AF＝1，则AG＝AFcos30°＝32.
在Rt△AGD中，AG＝32，则AD＝AGtan60°＝32·3＝32. 因此，当AD的长为32时，二面角D－FE－B的大小为60°.
2018版大一轮全国人教数学文科配套作业 第7单元 立体
课时作业(三十八)基础热身1．将如图K381所示的直角三角形ABC (∠C ＝90°)绕斜边AB 旋转一周，所得到的几何体的正视图是( )图K381图K3822．[2016·珠海二检] 某几何体的三视图如图K383所示，则该几何体的最短的棱的长度是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2图K3833．[2016·成都二诊] 已知某几何体的三视图如图K384所示，则该几何体的体积为( )图K384A.12 B ．1 C.32 D ．3 4．[2016·山东济宁模拟] 若一个几何体的三视图如图K385所示，则该几何体的表面积为( )图K385A ．75＋210B ．75＋410C ．48＋410D ．48＋210 5．[2016·湖南师大附中二模] 如图K386所示，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起得到一个三棱锥C -ABD ，已知该三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________．图K386能力提升6．[2016·福建漳州二模] 某四面体的三视图如图K387所示，则该四面体四个面的最大面积是( )图K387A ．8B ．6 2C ．10D ．8 2图K3887．[2016·河北枣强中学月考] 一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图是一个直角梯形(如图K388所示)，其中∠A ′B ′C ′＝45°，A ′B ′＝A ′D ′＝1，D ′C ′⊥B ′C ′，则平面图形ABCD 的面积为( )A.14＋24 B ．2＋22 C.14＋22 D.12＋ 2图K389 8．[2016·成都一诊] 如图K389为一个半球被挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则该几何体与挖去的圆锥的体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．1∶1D ．1∶29．[2016·湖南四县一模] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点(如图K3810所示)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )图K3810图K381110．[2016·河北邯郸模拟] 一个空间几何体的三视图如图K3812所示，则该几何体的体积为( )图K3812A ．2 3B ．2 5 C.433 D.53311．[2016·南昌模拟] 如图K3813所示，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )图K3813A ．1∶1B ．2∶1C ．2∶3D ．3∶2 12．[2016·长春质检] 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如果在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与三视图为图K3814所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π图K381413．[2016·玉溪三模] 某几何体的三视图如图K3815所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值是( )图K3815A ．2 B.92C.32 D ．3 14．[2016·福建泉州质检] 已知A ，B ，C 在球O 的球面上，AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60°，且点O 到平面ABC 的距离为2，则球O 的表面积为________．15．[2016·大连一模] 已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在半径为1的球面上，当正三棱柱的体积最大时，该正三棱柱的高为________．难点突破16．(1)(6分)[2016·河南中原名校一联] 如图K3816所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方体，S -ABCD 是高为1的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C 1，D 1在同一个球面上，则该球的表面积为( )图K3816A.916πB.2516πC.4916πD.8116π (2)(6分)[2016·山西阳泉模拟] 点 A ，B ，C ，D 在同一个球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若球的表面积为25π4，则四面体ABCD 体积的最大值为________．课时作业(三十九)基础热身1．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列说法正确的是()A．若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1∥l3B．若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3C．若l1∥l2∥l3，则l1，l2，l3共面D．若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面2．[2016·江西七校联考] 已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面3．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直4．[2016·长春一模] 一个正方体的展开图如图K391所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°图K391图K3925．[2016·海南文昌中学期末] 如图K392所示，已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的大小为________．能力提升6．如图K393所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是()图K393A．A，M，O三点共线B．M，O，A1，A四点共面C．A，O，C，M四点共面D．B，B1，O，M四点共面7．已知命题“直线l与平面α有公共点”是真命题，给出下列命题：①直线l上的点都在平面α内；②直线l上有些点不在平面α内；③平面α内任意一条直线都不与直线l 平行． 其中真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 8．[2016·广州调研] 用a ，b ，c 表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； ②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④图K3949．[2016·衡水中学六调] 如图K394所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成的角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.4510．已知异面直线a ，b 均与平面α相交，给出下列命题： ①存在直线m ⊂α，使得m ⊥a 或m ⊥b ； ②存在直线m ⊂α，使得m ⊥a 且m ⊥b ；③存在直线m ⊂α，使得m 与a 和b 所成的角相等． 其中，假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 11．[2016·浙江五校二联] 如图K395所示，在边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60° ，沿BD 将△ABD 翻折，得到三棱锥A -BCD ，则当三棱锥A -BCD 的体积最大时，异面直线AD与BC 所成的角的余弦值为( )图K395A.58B.14C.1316D.23 12．[2016·哈尔滨六中模拟] 如图K396所示，在四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为( )A ．90°B ．75°C ．60°D ．45°图K396图K39713．如图K397所示，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，过EF 任作一个平面α分别与直线BC ，AD 相交于点G ，H ，则下列结论中正确的是________(填序号)．①对于任意的平面α，都有直线GF ，EH ，BD 相交于同一点； ②存在一个平面α0，使得GF ∥EH ∥BD ；③存在一个平面α0，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上．14．(10分)如图K398所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？图K39815．(13分)[2016·冀州中学模拟] 如图K399所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．图K399难点突破16．(12分)[2016·湖南十三校二联] 如图K3910所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求异面直线AB 与MD 所成角的大小； (2)求点B 到平面OCD 的距离．图K3910课时作业(四十)基础热身1．[2016·山西重点中学二模] 已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是()A．若l∥α，m∥α，则l∥mB．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥mD．若l⊥m，l⊥α，则m∥α2．[2016·河南实验中学质检] 已知直线m，n和平面α，则m∥n的一个必要条件是() A．m∥α，n∥αB．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n⊂αD．m，n与α所成的角相等3．[2016·成都二诊] 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β4．如图K401所示，P为平行四边形ABCD所在平面外的一点，过BC的平面与平面P AD交于EF，E，F分别在PD，P A上，则四边形EFBC是()A．空间四边形B．平行四边形C．梯形D．以上都有可能图K401图K4025．[2016·泉州一模] 如图K402所示，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面P AD的位置关系为________．能力提升6．[2016·长春质检] 已知直线m，n与平面α，β，则下列说法中错误的是()A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若m⊥β，n∥β，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若m∥n，n⊂α，则m∥α7．[2016·广东七校联考] 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α8．已知直线l ，平面α，β，γ，则下列能推出α∥β的条件是( ) A ．l ⊥α，l ∥β B ．l ∥α，l ∥β C ．α⊥γ，γ⊥β D ．α∥γ，β∥γ 9．如图K403所示，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，则在平面ADD 1A 1内与平面D 1EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条图K403图K40410．如图K404所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1＝( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶3D ．1∶111．如图K405所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 的长度的取值范围是( )图K405A.⎣⎡⎦⎤1，52 B.⎣⎡⎦⎤324，52 C.⎣⎡⎦⎤52，2 D.[]2，3 12．[2016·郑州模拟] 设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ.则可以填入的条件有( )A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．①或②或③ 13．[2016·枣强中学模拟] 如图K406所示，在正四棱柱A 1C 中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上一个你认为正确的条件，不必考虑全部可能的情况)图K40614．(10分)[2016·冀州中学模拟] 如图K407所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.图K40715．(13分)[2016·西安模拟] 如图K408所示，在梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB＝BC＝AD＝DF＝2CE＝2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD.(1)证明：AC∥平面BEF；(2)求三棱锥D-BEF的体积．图K408难点突破16．(12分)[2016·淄博诊断] 如图K409所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2AD ＝2DC＝2CB＝2，四边形ACFE是矩形，AE＝1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．(1)求证：CG∥平面ADF；(2)求三棱锥E-AFB的体积．图K409课时作业(四十一)基础热身1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直2．[2016·山东枣庄模拟] 给出下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④图K4113．[2016·九江模拟] 如图K411所示，在四面体D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E 是AC的中点，则下列结论正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE4．[2017·成都模拟] 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论中一定正确的是()A．m⊥nB．m∥nC．m与n相交D．m与n异面5．[2016·上海十二校联考] 设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①若m∥α，则l∥m；②若α∥β，则l⊥m；③若l⊥m，则α∥β；④若α⊥β，则l∥m.其中真命题的序号是________．能力提升6．[2016·广州六校一联] 设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，则下列说法中正确的个数是()①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.A．1 B．2C．3 D．47．[2016·云南玉溪模拟] 已知m，n为异面直线，α，β为两个不同平面，且α∥m，α∥n，直线l满足l⊥m，l⊥n，l∥β，则()A．α∥β且l∥αB．α∥β且l⊥αC．α⊥β且l∥αD．α⊥β且l⊥α8．[2016·陕西镇安中学月考] 关于直线l，m及平面α，β，下列说法中正确的是() A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥mB．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，l∥m，则m⊥α9．[2016·成都一诊] 已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m∥α，m∥n，则n∥αD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β10．[2016·江西上饶中学模拟] 在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC()A．为锐角三角形B．为直角三角形C．为钝角三角形D．形状不能确定11．如图K412所示，在三棱锥P -ABC中，已知P A⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是()图K412A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形12．如图K413所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.图K41-3图K41413．如图K414所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________． 14．(10分)[2016·河南中原名校联考] 如图K415所示，在四棱锥S -ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△SAD 是等边三角形，且SD ＝2，BD ＝23，AB ＝2CD ＝4.(1)证明：平面SBD ⊥平面SAD .(2)若E 是SC 上的一点，当E 点位于线段SC 上什么位置时，SA ∥平面EBD ？请证明你的结论．(3)求四棱锥S -ABCD 的体积．图K41515．(13分)[2016·赣州模拟] 如图K416所示，在底面为梯形的四棱锥P - ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝2，BC ＝4.(1)求证：AC ⊥PB ；(2)若P A ＝PB ，且三棱锥D -P AC 的体积为23，求AP 的长．图K416难点突破 16．(12分)如图K417(1)所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1BCD ，如图K417(2)所示．(1)若M 是FC 的中点，求证：直线DM ∥平面A 1EF . (2)求证：BD ⊥A 1F .(3)若平面A 1BD ⊥平面BCD ，试判断直线A 1B 与直线CD 能否垂直？并说明理由．图K417。
2018届高考数学文大一轮复习检测：第七章第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图 含答案 精品
第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图, [学生用书P119])1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． 3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．1．辨明三个易误点(1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行． (2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．(3)几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系． 2．由三视图还原几何体的方法3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.1.教材习题改编 如图，长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中被截去一部分，其中EH ∥A ′D ′，则剩下的几何体是( )A ．棱台B ．四棱柱C ．五棱柱D ．简单组合体 [答案] C2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体 D ．三棱柱 A [解析] 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.3.教材习题改编 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()B [解析] 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.4.教材习题改编 用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为( )A ．12B ．22C ．23D ．24D [解析] 设原矩形的长为a ，宽为b ，则其直观图是长为a ，高为b 2sin 45°＝24b的平行四边形，所以S 直观S 矩形＝24abab ＝24.故选D.5.教材习题改编 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体为________．[答案] 四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体空间几何体的结构特征[学生用书P120][典例引领]给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3【解析】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．【答案】 B判定与空间几何体结构特征有关命题的方法(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．[解析] 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．[答案] ①②③④空间几何体的三视图(高频考点)[学生用书P121]空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，属于中档题．高考对三视图的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据几何体的结构特征确认其三视图．(2)根据三视图还原直观图．(3)由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图．[典例引领](1)(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤(2) (2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()【解析】(1)正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是相邻两边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.(2)由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.【答案】(1)B(2)B三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．[题点通关]角度一根据几何体的结构特征确认其三视图1．(2017·济宁模拟)点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1所示，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的()A．①②③B．②③④C．①③④D．②④③B[解析] 由正视图的定义可知：点A，B，B1在后面的投影点分别是D，C，C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②；同理可得侧视图为③，俯视图为④.角度二根据三视图还原直观图2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1B． 2C． 3 D．2C[解析] 根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V-ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD ，易知BD ＝2，在Rt △VBD 中，VD ＝VB 2＋BD 2＝ 3.角度三 由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图 3．(2017·安徽黄山模拟)已知一个正方体被一平面所截后的几何体如图所示，则它的侧视图是( )A [解析] 由题意可知侧视图为.空间几何体的直观图[学生用书P122][典例引领]已知△ABC 是边长为a 的正三角形，求直观图△A ′B ′C ′的面积． 【解】 如图所示的实物图和直观图．由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .在图中作C ′D ′⊥A ′B ′交x ′轴于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S 与直观图面积S ′之间的关系S ′＝24S ，能更快捷地进行相关问题的计算．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析] 直观图的面积S ′＝12×(1＋1＋2)×22＝2＋12.故原平面图形的面积S ＝S ′24＝2＋ 2.[答案] 2＋ 2, [学生用书P122])——三视图中的易误辨析将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()【解析】侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.【答案】 B(1)因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项A和B，而易误选A；(2)因对三视图的画法要求不明而误选C或D.在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图，在复习时要明确三视图的含义，掌握“长对正、高平齐、宽相等”的要求．(2017·云南玉溪一中月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()D[解析] 根据几何体的结构特征进行分析即可．,[学生用书P333(独立成册)])1．下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点B[解析] A错，如图(1)；B正确，如图(2)，其中底面ABCD是矩形，可证明∠P AB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图(3)；D错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点．2. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()A[解析] 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 2.3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()D[解析] A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.4．(2017·山西省高三年级四校联考)如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为()A ．2B ．3C ．4D ．5 A [解析] 根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，所以几何体的体积V ＝3×2×1＋13×3×2×x ＝10，解得x ＝2.5．(2017·山西省考前质量检测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A ．152B ．6＋ 3C ．32＋3 3 D ．4 3A [解析] 侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为3，高为3，其面积为12×3×3＝32，所以侧视图的面积为6＋32＝152.6．(2017·河北石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )D [解析] 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD ，故选D.7．如图所示的Rt △ABC 绕着它的斜边AB 旋转一周得到的图形是________．[解析] 过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．[答案] 两个圆锥的组合体8．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．[解析] 由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．[答案] 29. 已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．[解析] 由正三棱柱的特征及侧(左)视图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为2 3.[答案] 2 310．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大面的面积是________．[解析] 由三视图可知该四面体为D -BD 1C 1，由直观图可知，面积最大的面为△BDC 1.在正三角形BDC 1中，BD ＝22，所以面积S ＝12×(22)2×32＝2 3.[答案] 2 311. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求P A .[解] (1) 该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2 cm. 由正视图可知AD ＝6 cm ， 且AD ⊥PD ，所以在Rt △APD 中，P A ＝PD 2＋AD 2＝ （62）2＋62＝6 3 cm.12．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )C[解析] 当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线P A形成的投影，应为虚线，故答案为C.13．(2017·湖南株洲二中月考)如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()A．4 B．5C．3 2 D．3 3D[解析] 作出直观图如图所示，通过计算可知AF最长且AF＝BF2＋AB2＝3 3.14．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是()A．2 5 B．2 6C．27 D．4 2C[解析] 由三视图可知该四面体的直观图如图所示．其中AC＝2，P A＝2，△ABC 中，边AC上的高为23，所以BC＝42＋（23）2＝27，而PB＝P A2＋AB2＝22＋42＝25，PC＝P A2＋AC2＝22，因此在四面体的六条棱中，长度最长的是BC，其长为27，选C.15．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．[解] (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．。
2018版高考一轮总复习数学(文)模拟演练第7章立体几何7-3含答案
（时间：40分钟）1．已知命题p：a,b为异面直线，命题q:直线a，b不相交，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a，b不相交，则a,b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件,故选A。
2．设A，B，C，D是空间四个不同的点,在下列命题中，不正确的是（）A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案D解析ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形,故D不成立．3．设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( )A．存在唯一直线l,使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α,且b⊥α答案C解析a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由l∥a,且l⊥b，可得a⊥b，与题设矛盾，故B不正确；由a⊂α,且b⊥α，可得a⊥b，与题设矛盾,故D不正确,故选C。
4．如图所示的是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是（)答案D解析A中PS∥QR，故共面；B中PS与QR相交,故共面;C中四边形PQRS是平行四边形，故共面．5．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABB1A1＝n，则m,n所成角的正弦值为（)A。
错误!B。
错误! C.错误! D.错误!答案A解析如图，延长B1A1至A2，使A2A1＝B1A1，延长D1A1至A3，使A3A1＝D1A1，连接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D。
易证AA2∥A1B ∥D1C，AA3∥A1D∥B1C.∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3，直线AA2即为直线n。
2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何7.4直线平面平行的判定及性质模拟演练文
2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何 7.4 直线、平面平行的判定及性质模拟演练文[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2015·北京高考]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．2．[2017·福建联考]设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对①，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故①正确；对②，直线l可能在平面α内，故②错误；对③，三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故③错误；对④，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确．综上，①④正确，故选B.3．[2017·南开模拟]下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错；故选项C正确．4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过Β点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线 答案 A解析 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，若A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1. ∵AD 1∥BC 1，∴PN ∥BC 1. ∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面BB 1C 1C . ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .6．设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．可以填入的条件有( )①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ. A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③答案 C解析 由面面平行的性质定理可知①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．7．[2017·云南统考]设a ，b 为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a ⊂α，b ⊄α，a ，b 是异面直线，那么b ∥α； ②若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊂α，b ∥α，a ，b 共面，那么a ∥b ； ④若α∥β，a ⊂α， 则a ∥β.上面命题中，所有真命题的序号是________． 答案 ③④解析 ①中的直线b 与平面α也可能相交，故不正确；②中的直线a ，b 可能平行、相交或异面，故不正确；由线面平行的性质得③正确；由面面平行的性质可得④正确．8．如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 、平面ABD解析连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABC 且MN∥平面ABD .9．[2017·沈阳模拟]如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD ＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1.(1)求证：BC∥EF；(2)求三棱锥B－DEF的体积．解(1)证明：∵AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，∴BC∥平面ADEF.又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF.(2)过点B作BH⊥AD于点H.∵DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴DE⊥BH.∵AD⊂平面ADEF，DE⊂平面ADEF，AD∩DE＝D，∴BH⊥平面ADEF.∴BH是三棱锥B－DEF的高．在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，AB＝2，故BH＝ 3.∵DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴DE ⊥AD .由(1)知BC ∥EF ，且AD ∥BC ， ∴AD ∥EF ，∴DE ⊥EF . ∴三棱锥B －DEF 的体积V ＝13×S △DEF ×BH ＝13×12×1×1×3＝36. 10．如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝2，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1C ∥平面AB 1D ； (2)求点A 1到平面AB 1D 的距离．解 (1)证明：连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD .∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴四边形ABB 1A 1是平行四边形， ∴O 是A 1B 的中点． 又D 是BC 的中点， ∴OD ∥A 1C ，∵OD ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ， ∴A 1C ∥平面AB 1D .(2)由(1)知O 是A 1B 的中点，∴点A 1到平面AB 1D 的距离等于点B 到平面AB 1D 的距离． ∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴BB 1⊥平面ABC ， ∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC .∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BCC 1B 1，∴AD ⊥B 1D . 设点B 到平面AB 1D 的距离为d ， ∵VB 1－ABD ＝VB －AB 1D ， ∴S △ABD ·BB 1＝S △AB 1D ·d ， ∴d ＝S △ABD ·BB 1S △AB 1D ＝AD ·BD ·BB 1AD ·B 1D ＝BD ·BB 1B 1D＝255， ∴点A 1到平面AB 1D 的距离为255.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·兰州调研]设α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α内的两条不同的直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．l 1∥α且l 2∥αC ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥l 1且n ∥l 2答案 D解析 m ∥l 1，且n ∥l 2⇒α∥β，但α∥β⇒/m ∥l 1且n ∥l 2，∴“m ∥l 1，且n ∥l 2”是“α∥β”的一个充分不必要条件．12．[2015·安徽高考]已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 答案 D解析 A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A 错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B 错误；C 中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C 错误；D 中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D 正确．13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2.答案64解析 如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点， ∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．14．如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝π3，AB ＝1，CD ＝3，M为PC 上一点，且MC ＝2PM .(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若AD ＝2，PD ＝3，求点D 到平面PBC 的距离．解(1)证明：如上图，过点M 作ME ∥CD ，交PD 于点E ，连接AE .因为AB ∥CD ，故AB ∥EM .又因为MC ＝2PM ，CD ＝3，且△PEM ∽△PDC ，故EM DC ＝PM PC ＝13，解得EM ＝1. 由已知AB ＝1，得EM 綊AB ，故四边形ABME 为平行四边形，因此BM ∥AE ， 又AE ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ， 所以BM ∥平面PAD .(2)连接BD ，由已知AD ＝2，AB ＝1，∠BAD ＝π3，可得DB 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos∠BAD ＝3， 即DB ＝ 3.因为DB 2＋AB 2＝AD 2，故△ABD 为直角三角形， 且∠ABD ＝π2.因为AB ∥CD ，故∠BDC ＝∠ABD ＝π2.又DC ＝3，故BC ＝DC 2＋DB 2＝2 3. 由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥DB ，PD ⊥DC ， 故PB ＝PD 2＋DB 2＝23，PC ＝PD 2＋DC 2＝32， 则BC ＝PB ，故△PBC 为等腰三角形， 其面积为S △PBC ＝12·PC ·BC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12PC 2＝12×32×12－92＝3152.设点D 到平面PBC 的距离为h ，则三棱锥D －PBC 的体积为V 三棱锥D －PBC ＝13·S △PBC ·h ＝152h .而直角三角形BDC 的面积为S △BDC ＝12·DC ·DB ＝12×3×3＝332，三棱锥P －BDC 的体积为V 三棱锥P －BDC ＝13·S △BCD ·PD ＝13×332×3＝332.因为V 三棱锥D －PBC ＝V 三棱锥P －BDC ，即152h ＝332，故h ＝355. 所以点D 到平面PBC 的距离为355.。
2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练：《第七章 立体几何》7-3 Word版含解析
课时规范训练A组基础演练1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件答案：D2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a成90°角解析：选A.若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确．又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．3．已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC．a⊥α，b∥α，则a⊥bD．当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b解析：选C.A选项是易错项，由a∥b，b⊂α，也可能推出a⊂α；B中的直线a，b不一定相交，平面α，β也可能相交；C正确；D中的直线a，b也可能异面．4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0 B．1C ．2D ．3解析：选A.对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②不正确；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．5．已知直线a 与平面α、β，α∥β，a ⊂α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线解析：选D.设直线a 和点B 所确定的平面为γ，则α∩γ＝a ，记β∩γ＝b ，∵α∥β，∴a ∥b ，故存在唯一一条直线b 与a 平行．6．如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________. 解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点， AP ＝a 3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a . 答案：223a7．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．解析：根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD 的长分别为245或24. 答案：24或2458．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面P AO . 解析：假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥P A .连接DB ，因为P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，所以D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO ，故Q 满足Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面P AO . 答案：Q 为CC 1的中点9．如图E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：s(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ， 由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD∥B1D1.如图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E在线段B1C1上，B1E＝3EC1，试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1？若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．解：法一：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.证明如下：在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.∵B1E＝3EC1，∴EG＝34A1C1，又AF∥A1C1且AF＝34A1C1，∴AF∥EG且AF＝EG，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，又EF⊄平面A1ABB1，AG⊂平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.法二：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.证明如下：在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G，∵EG∥BB1，EG⊄平面A1ABB1，BB1⊂平面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1，∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，∴FG∥AB，又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1.又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面A1ABB1.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.B组能力突破1．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合解析：选C.如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是()A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F解析：选D.由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A、E、G、C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC 1F 是正方形错误；由于AE ∥C 1F ，由线面平行的判定定理，可得AE ∥平面BC 1F .3．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.易知①正确；②错误，l 与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明，④正确，可以以三棱柱为例证明．4．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________．解析：设DH DA ＝GHAC ＝k ， ∴AH DA ＝EHBD ＝1－k ， ∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )， ∴周长＝8＋2k . 又∵0＜k ＜1，∴周长的取值范围为(8,10)． 答案：(8,10)5．如图，几何体E -ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：DM∥平面BEC.(3)在(2)的条件下，在线段AD上是否存在一点N，使得BN∥面DEC，并说明理由．证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以∠BDN＝∠CBD，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°. 因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝∠ABD＝60°，所以∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.(3)存在点N为AD的中点取AD的中点N，连接BN，O为BD的中点由(2)可知∠DCO＝60°，∴∠BDC＝30°，又∵DBN＝30°，∴BN∥DC.DC⊂面DEC，∴BN∥面DEC.。
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课时分层提升练四十四(B卷)7.6平行、垂直的综合问题含解析
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课时分层提升练四十四平行、垂直的综合问题（B卷)（25分钟50分）一、选择题(每小题5分，共15分）1。
已知a，b是两条不重合的直线，α,β,γ是三个两两不重合的平面,则下列命题成立的是（）A。
若a⊥α,a⊥β,则α∥βB.若α⊥γ，γ⊥β,则α∥βC。
若m∥α,m∥β，则α∥βD。
若α∩β=l,a⊂α,b⊂β，a⊥l,则a⊥b【解析】选A。
垂直于同一条直线的两个平面平行。
2。
（2017·荆州模拟）若直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β=直线b，则( ）A.a∥b或a与b异面B.a∥bC.a与b异面D.a与b相交【解析】选B。
a∥b.理由如下：如图，过a作平面γ交平面α于c,因为a∥α，所以a∥c。
过a作平面ε交平面β于d,因为a∥β，所以a∥d。
所以c∥d。
又c⊄β,d⊂β，所以c∥β又c⊂α，α∩β=b,所以c∥b,所以a∥b.3.已知矩形ABCD,AB=1，BC=√2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A。
存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D。
对任意位置,三对直线“AC与BD"“AB与CD"“AD与BC”均不垂直【解析】选B。
A错误。
理由如下：过A作AE⊥BD，垂足为E,若直线AC与直线BD垂直，则可得BD⊥平面ACE，于是BD⊥CE，而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直。
所以直线AC与直线BD不垂直。
B正确。
理由：翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC⊥平面BCD，此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC，于是有AB⊥CD。
故B正确.C错误.理由如下:若直线AD与直线BC垂直，则由BC⊥CD可知BC ⊥平面ACD,于是BC⊥AC,但是AB〈BC,在△ABC中∠ACB不可能是直角.故直线AD与直线BC不垂直。
2018年大一轮数学理高考复习人教规范训练第七章 立体
课时规范训练A组基础演练1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10解析：选D.如图，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：选D.球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥OABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.3．如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图．在主视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的左视图是( )解析：选B.由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面PAD ，且EC 投影在面PAD 上，故B 正确．4．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：选C.注意到在三视图中，俯视图的宽度应与左视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽度为32，与题中所给的左视图的宽度不相等，C 不可能． 5．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )解析：选B.还原正方体，如图所示，由题意可知，该几何体的主视图是选项B.6．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为( ) A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C.依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC 、AD 相等，高为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.7．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A.22B.12C.24D.14解析：选D.由正视图与俯视图可得三棱锥A BCD 的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为22，所以侧视图的面积为S ＝12×22×22＝14，选D. 8．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( ) A.32 B ．1C.2＋12D. 2解析：选D.由题意可知该正方体的放置如图所示，侧视图的方向垂直于面BDD 1B 1，正视图的方向垂直于面A 1C 1CA ，且正视图是长为2，宽为1的矩形，故正视图的面积为2，因此选D.9．如图，E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1中AD1、B1C上的动点(不含端点)，则四边形B1FDE 的俯视图可能是( )解析：选B.由画几何体的三视图的要求可知，点E在底面的正投影应落在线段A1D1上(不含端点)，点F在底面的正投影应落在线段B1C1上(不含端点)，而B1与D在底面的正投影分别为B1和D1，故四边形B1FDE在底面ABCD上的正投影为四边形，结合选项知选B.10．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C.还原正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.B组能力突破1．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为( )A ．2 3 B. 3 C ．2 2D ．4解析：选A.观察三视图可知，该几何体是正三棱柱，底面边长、高均为2，所以，其左视图是一个矩形，边长分别为2,2sin 60°＝3，其面积为2 3. 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：选C.由三视图还原几何体知，该几何体如图所示，其体积V ＝VB 1ABC ＋VB 1A 1ACC 1＝13×12×3×4×2＋13×3×5×4＝24.3．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为2 3. 答案：2 34．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为________．解析：由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′， ∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2. 答案：24 25．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P ABC 的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为________．解析：如题图所示，设正方体的棱长为a ，则三棱锥P ABC 的正(主)视图与侧(左)视图都是三角形，且面积都是12a 2，所以所求面积的比值为1.答案：16．如图，三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝BC ＝CD ＝2，则该三棱锥的侧视图(投影线平行于BD )的面积为________．解析：∵AB ⊥平面BCD ，投影线平行于BD ，∴三棱锥A BCD 的侧视图是一个以△BCD 的BD 边上的高为底，棱锥的高为高的三角形，∵BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝CD ＝2，∴△BCD 中BD 边上的高为2，故该三棱锥的侧视图(投影线平行于BD )的面积S ＝12×2×2＝ 2. 答案： 2。
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课时分层提升练四十四(A卷)7-6平行、垂直的综合问题Word版含解析
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课时分层提升练四十四平行、垂直的综合问题(A卷)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017·运城模拟)已知α,β表示平面,m,n表示直线,m⊥β,α⊥β,给出下列四个结论:①∀n⊂α,n⊥β;②∀n⊂β,m⊥n;③∀n⊂α,m∥n;④∃n⊂α,m⊥n.则上述结论中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.由于m⊥β,α⊥β,所以m⊂α或m∥α,∀n⊂α,n⊥β或n,β斜交或n∥β,①不正确;∀n⊂β,m⊥n,②正确;∀n⊂α,m∥n或m,n相交或互为异面直线,③不正确;④正确.2.在下列说法中,错误的是( )A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线,则α⊥βB.若平面α内任一直线平行于平面β,则α∥βC.若平面α⊥平面β,任取直线l⊂α,则必有l⊥βD.若平面α∥平面β,任取直线l⊂α,则必有l∥β【解析】选C.C中,l可能与β相交也可能与β平行.3.(2017·成都模拟)已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是( )A.l⊂α,m⊂β,且l⊥mB.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥mD.l⊂α,l∥m,且m⊥β【解析】选D.对于A,若l⊂α,m⊂β,且l⊥m.如图①所示虽满足条件,但α与β不垂直.对于B,当m∥n时,也得不到平面α与平面β垂直.对于C,如图②所示条件满足但平面α与平面β不垂直.对于D,由l∥m,m⊥β得l⊥β,又l⊂α,因此有α⊥β.4.(2017·株洲模拟)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( )A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④【解析】选B.由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.5.(2017·洛阳模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直于底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E【解析】选C.A不正确,因为CC1与B1E在同一个侧面中,故不是异面直线;B不正确,由题意知,上底面三角形ABC是一个正三角形,故不可能存在AC⊥平面ABB1A1;C正确,因为AE,B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线,E为BC中点,△ABC是正三角形,所以AE⊥BC,B1C1∥BC,所以AE⊥B1C1;D不正确,因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故A1C1∥平面AB1E不正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n,l为三条不同的直线,给出下列四个命题:①若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则m⊥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β;③若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β;④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β.其中假命题为________.(写出所有假命题的序号)【解析】对于①,若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则当m⊂α时,m⊥β.当m⊄α时,可能m⊂β,或m与β相交,故①不正确;对于②,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能平行或相交,故②不正确;对于③,若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,l⊥m,不能推出l⊥β,故③不正确;对于④,若n⊥α,n⊥β,则α∥β,因为m⊥α,所以m⊥β,故④正确.答案:①②③7.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,M分别是AB,AD,AA1的中点,又P,Q分别在线段A1B1,A1D1上,且A1P=A1Q=x(0<x<1).设平面MEF∩平面MPQ=l,现有下列结论:①l∥平面ABCD;②l⊥AC;③直线l与平面BCC1B1不垂直;④当x变化时,l不是定直线.其中不成立的结论是______.(写出所有不成立结论)【解析】连接BD,B1D1,因为A1P=A1Q=x,所以PQ∥B1D1∥BD∥EF,易证PQ∥平面MEF,又平面MEF∩平面MPQ=l,所以PQ∥l,l∥EF,所以l∥平面ABCD,故①成立;又EF⊥AC,所以l⊥AC,故②成立;因为l∥EF∥BD,所以易知直线l与平面BCC1B1不垂直,故③成立;当x变化时,l是过点M且与直线EF平行的定直线,故④不成立.答案:④8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN ≠.有以下四个结论:①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN∥平面A1B1C1D1;④MN与A1C1是异面直线.其中正确结论的序号是________.(注:把你认为正确结论的序号都填上)【解析】过N作NP⊥BB1于点P,连接MP,可证AA1⊥平面MNP,所以AA1⊥MN,①正确.过M,N分别作MR⊥A1B1,NS⊥B1C1于点R,S,连接RS,则当M不是AB1的中点,N不是BC1的中点时,直线A1C1与直线RS相交;当M,N分别是AB1,BC1的中点时,A1C1∥RS,所以A1C1与MN可以异面,也可以平行,故②④错误.由①正确知,AA1⊥平面MNP,而AA1⊥平面A1B1C1D1,所以平面MNP∥平面A1B1C1D1,故③正确.综上所述,正确结论的序号是①③.答案:①③三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,且DA=1,AB ∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P,Q,M分别为AE,BD,EF的中点.(1)求证:PQ∥平面BCE.(2)求证:AM⊥平面ADF.(3)求三棱锥F-ADE的体积.【解析】(1)连接AC,因为四边形ABCD是矩形,Q为BD的中点,所以Q 为AC的中点,又在△AEC中,P为AE的中点,所以PQ∥EC.因为EC⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE,所以PQ∥平面BCE.(2)因为M为EF的中点,所以EM=AB=2,又EF∥AB,所以四边形ABEM是平行四边形,所以AM∥BE,AM=BE=2.又AF=2,MF=2,所以△MAF是直角三角形且∠MAF=90°,所以MA⊥AF.又DA⊥平面ABEF,MA⊂平面ABEF,所以MA⊥DA,又DA∩AF=A,所以AM⊥平面ADF.(3)由(2)知,AM⊥AF,所以S△AMF=×AM×AF=×2×2=2,因为M为EF的中点,所以S△AEF=2S△AMF=4,因为AD⊥平面ABEF,且AD=1,所以V F-ADE=V D-AEF=S△AEF×AD=×4×1=.10.如图(1)所示,在平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD,如图(2)所示.(1)求证:AB⊥DE.(2)求三棱锥E-ABD的侧面积和体积.【解析】(1)在△ABD中,因为AB=2,AD=4,∠DAB=60°,所以BD==2.所以AB2+BD2=AD2.所以AB⊥BD.因为平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB⊂平面ABD, 所以AB⊥平面EBD.又DE⊂平面EBD,所以AB⊥DE.(2)由(1)知AB⊥BD.因为CD∥AB,所以CD⊥BD,从而DE⊥BD.在Rt△DBE中,因为BD=2,DE=DC=AB=2,所以S△EDB=BD×DE=2.因为AB⊥平面EBD,BE⊂平面EBD,所以AB⊥BE.因为BE=AD=4,所以S△EAB=AB×BE=×2×4=4.因为DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD,所以ED⊥平面ABD,而AD⊂平面ABD,所以ED⊥AD.所以S△EAD=AD×DE=×4×2=4.综上,三棱锥E-ABD的侧面积S=S△EDB+S△EAB+S△EAD=8+2.因为DE⊥平面ABD,且S△ABD=S△EDB=2,DE=2,所以V三棱锥E-ABD=S△ABD×DE=×2×2=.(20分钟40分)1.(5分)(2017·深圳模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,点P,Q 分别在侧棱AA1,CC1上运动,如图所示,AP=C1Q,则四棱锥B-APQC的体积为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意可知,在点P,Q的运动过程中,四边形APQC的边AP,QC的长度是变化的,但始终有AP+QC=C1Q+QC=CC1=AA1,且点B到平面AA1C1C的距离不变,不妨取P,Q分别为AA1,CC1的中点,设矩形AA1C1C 的面积为S,点B到平面AA1C1C的距离为h,则V=S△ABC·AA1=AC·h·AA1=Sh,所以V B-APQC=··h==.2.(5分)(2017·郑州模拟)已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则( )A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直【解析】选C.如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m 与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当α⊥β时才存在.3.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是______.(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC;②不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE;③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB;④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.【解析】由已知,在未折叠的原梯形中,AB∥DE,BE∥AD,所以四边形ABED 为平行四边形,所以BE=AD,折叠后如图所示.①过点M作MP∥DE,交AE 于点P,连接NP.因为M,N分别是AD,BE的中点,所以点P为AE的中点,故NP∥EC.又MP∩NP=P,DE∩CE=E,所以平面MNP∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正确;②由已知,AE⊥ED,AE⊥EC,所以AE⊥MP,AE⊥NP,又MP∩NP=P,所以AE⊥平面MNP,又MN⊂平面MNP,所以MN⊥AE,②正确;③假设MN∥AB,则MN与AB确定平面MNBA,从而BE⊂平面MNBA,AD⊂平面MNBA,与BE和AD是异面直线矛盾,③错误;④当EC⊥ED时,EC⊥AD.因为EC⊥EA,EC⊥ED,EA∩ED=E,所以EC⊥平面AED,AD⊂平面AED,所以EC⊥AD,④正确.答案:①②④4.(12分)(2017·成都模拟)如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA=a,E为BC中点.(1)求证:平面PBC⊥平面PDE.(2)线段PC上是否存在一点F,使PA∥平面BDF?若存在,请找出具体位置,并进行证明;若不存在,请分析说明理由.【解析】(1)连接BD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=a,DA=a,所以BD=DC=2a.又因为E为BC中点,所以BC⊥DE,又因为PD⊥平面ABCD,所以BC⊥PD,因为DE∩PD=D,所以BC⊥平面PDE,因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDE.(2)当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)时,PA∥平面BDF,连接AC,与BD交于O点,因为AB∥CD,所以△AOB∽△COD,又因为AB=DC,所以AO=OC,从而在△CPA中,AO=AC,而PF=PC,所以OF∥PA,而OF⊂平面BDF,PA⊄平面BDF,所以PA∥平面BDF.5.(13分)(2017·黄冈模拟)如图(1),在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD,四边形ABEF是矩形,将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1⊥平面ABCD,M为AF1的中点,如图(2).(1)求证:BE1⊥DC.(2)求证:DM∥平面BCE1.(3)判断直线CD与ME1的位置关系,并说明理由.【解析】(1)因为四边形ABE1F1为矩形,所以BE1⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE1F1,且平面ABCD∩平面ABE1F1=AB,BE1⊂平面ABE1F1,所以BE1⊥平面ABCD.因为DC⊂平面ABCD,所以BE1⊥DC.(2)因为四边形ABE1F1为矩形,所以AM∥BE1.因为AD∥BC,AD∩AM=A,BC∩BE1=B,所以平面ADM∥平面BCE1.因为DM⊂平面ADM,所以DM∥平面BCE1.(3)直线CD与ME1相交,理由如下:取BC的中点P,CE1的中点Q,连接AP,PQ,QM,所以PQ∥BE1,且PQ=BE1.在矩形ABE1F1中,M为AF1的中点,所以AM∥BE1,且AM=BE1,所以PQ∥AM,且PQ=AM.所以四边形APQM为平行四边形,所以MQ∥AP,MQ=AP.因为四边形ABCD为梯形,P为BC的中点,BC=2AD,所以AD∥PC,AD=PC,所以四边形ADCP为平行四边形.所以CD∥AP,且CD=AP.所以CD∥MQ且CD=MQ.所以四边形CDMQ是平行四边形.所以DM∥CQ,即DM∥CE1.因为DM≠CE1,所以四边形DME1C是以DM,CE1为底边的梯形,所以直线CD与ME1相交.关闭Word文档返回原板块。
2018年大一轮数学理高考复习人教规范训练第七章 立体
课时规范训练 A 组 基础演练1．如图，四棱锥P ABCD 中， PD ⊥平面ABCD ，PA 与平面ABD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B ，P 的坐标； (2)求异面直线PA 与BC 所成的角的余弦值．解：(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ∵∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A (2,0,0)，C (0,1,0)，B (2,4,0)．由PD ⊥平面ABCD ，得∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PAD ＝60°.在Rt △PAD 中，由AD ＝2，得PD ＝23，∴P (0,0,23)．(2)∵PA →＝(2,0，－23)，BC →＝(－2，－3,0)， ∴cos 〈PA →，BC →〉 ＝－＋－＋－23413＝－1313， ∴异面直线PA 与BC 所成的角的余弦值为1313. 2．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)求二面角P BD A 的大小．解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)． ∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC . 又∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC . (2)设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)， 平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝12.∴二面角P BD A 的大小为60°.3．如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC ＝22，PA ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A PB C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．解：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则C (22，0,0)，P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫423，0，23，设D (2，b,0)，其中b ＞0， 则B (2，－b,0)．于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，b ，23，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫23，－b ，23.从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE . 又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BED . (2)AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量，则m ·AP →＝0，m ·AB →＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC →＝0，n ·BE →＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0， 令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－2b，2.因为二面角A PB C 为90°，所以面PAB ⊥面PBC ， 故m·n ＝0，即b －2b＝0，故b ＝2，于是n ＝(1，－1，2)，DP →＝(－2，－2，2)， 所以cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，所以〈n ，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP →〉互余， 故PD 与平面PBC 所成的角为30°.4．如图，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，AD ⊥平面SCD ，AD ＝DC ＝2，BC ＝1，SD ＝2，∠SDC ＝120°.(1)求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；(2)求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．解：如图，在平面SCD 中，过点D 作DC 的垂线交SC 于点E ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．则有D (0,0,0)，S (0，－1，3)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (1,2,0)．(1)设平面SAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵AB →＝(－1,2,0)，AS →＝(－2，－1， 3)， 则AB →·n ＝0，AS →·n ＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，－2x －y ＋3z ＝0，取y ＝3，得n ＝(23，3，5)． 又SC →＝(0,3，－3)，设SC 与平面SAB 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈SC →，n 〉|＝2323×210＝1020， 故SC 与平面SAB 所成角的正弦值为1020. (2)设平面SAD 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， ∵DA →＝(2,0,0)，DS →＝(0，－1，3)，则有⎩⎨⎧2a ＝0，－b ＋3c ＝0，取b ＝3，得m ＝(0，3，1)．∴cos 〈n ，m 〉＝n·m |n ||m |＝8210×2＝105，故平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为105. B 组 能力突破1．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝π3.(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；(2)设CE →＝λCC 1→(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．解：(1)证明：因为AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC 1⊂侧面BB 1C 1C ，故AB ⊥BC 1.在△BCC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝π3，BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos∠BCC 1＝12＋22－2×1×2×cosπ3＝3. 所以BC 1＝3，故BC 2＋BC 21＝CC 21，所以BC ⊥BC 1，而BC ∩AB ＝B ，所以C 1B ⊥平面ABC .(2)由(1)可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则B (0,0,0)，A (0,1,0)，B 1(－1,0，3)，C (1,0,0)，C 1(0,0，3)．所以CC 1→＝(－1,0，3)，所以CE →＝(－λ，0，3λ)，则E (1－λ，0，3λ)． 则AE →＝(1－λ，－1，3λ)，AB 1→＝(－1，－1，3)． 设平面AB 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AE →，n ⊥AB 1→，即⎩⎨⎧－λx －y ＋3λz ＝0，－x －y ＋3z ＝0.令z ＝3，则x ＝3－3λ2－λ，y ＝32－λ，故n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ，32－λ，3是平面AB 1E 的一个法向量．因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以BA →＝(0,1,0)是平面BB 1E 的一个法向量， 所以|cos 〈n ，BA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BA→|n ||BA →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－λ1× ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－λ2＋32＝32. 两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝32(舍去)．2．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值． 解：(1)证明：在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴AA 1⊥平面ABC .(2)在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2＝AC 2＋AB 2，AB ⊥AC∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A xyz .A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)，B 1C 1→＝(4，－3,0)，BB 1→＝(0,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ A 1C 1→·n 1＝0，A 1B →·n 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＝03y 1－4z 1＝0∴取向量n 1＝(0,4,3) 由⎩⎪⎨⎪⎧B 1C 1→·n 2＝0，BB 1→·n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－3y 2＝0，4z 2＝0.取向量n 2＝(3,4,0)∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝165×5＝1625.由题意知二面角A 1BC 1B 1为锐角， 所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为1625.(3)证明：设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→. ∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)， 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. ∴AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0 则λ＝925，因此BD BC 1＝925.。
2018高考数学(文理通用版)一轮复习检测第七章 立体几何 第7讲 Word版含答案
第七章第七讲组基础巩固一、选择题．(·福州质检)在棱长为的正方体－中，是底面的中心，，分别是，的中点，则异面直线和所成的角的余弦值等于( )．．．．－[解析]以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，∴()，()，()，()．∴＝(－)，＝(－)．∴〈，〉＝＝.．若正三棱柱－的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )．．．．[解析]间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知⊥平面，∴⊥，故△为直角三角形．设棱长为，则有＝，＝，＝，∴△＝××＝.设到平面的距离为，则有－＝－，∴××△＝××△．∴××＝××，∴＝.设直线与平面所成的角为θ，则θ＝＝.向量法：如图，取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系．设各棱长为，则有(，－)，()，()，(，)．设＝(，，)为平面的法向量，则有(\\(·(,\(→))＝，·(,\(→))＝))⇒(\\(－＋＝，,()－＋＝))⇒＝()．∴〈，〉＝＝.．(·皖南八校联考)四棱锥－中，底面是边长为的正方形，其他四个侧面的腰长为的等腰三角形，则二面角－－的余弦值的大小为( )．．．．[解析]如图所示，取中点，过作底面的垂线，垂足为，连接，根据题意可知，∠是二面角－－的平面角．因为＝，＝＝，所以∠＝＝＝，故选．．如图所示，正方体－的棱长为，若，分别是，的中点，则到平面的距离为( )．．．．二、填空题．直三棱柱－中，∠＝°，，分别是，的中点，＝＝，则与所成角的余弦值为[解析]解法一：取的中点，连接，，易知∥，则∠即为所求，。