北京市各区2019-2020学年九年级上学期期末数学试卷精选汇编：选择压轴题(含答案)
1
选择压轴题
西城区
8．如图， AB=5，O 是AB的中点， P是以点O为圆心，AB为直径
的半圆上的一个动点（点P与点A，B可以重合），连接PA，过P
作
PM⊥AB于点M．设AP=x，APAMy，则下列图象中，能表
示y与x的函数关系的图象大致是
（A） （B） （C） （D）
答案：(A)
海淀区
8. 在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数||3yx的
图象上的“好
点”共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
朝阳区
8．如图，抛物线2119yx与x轴交于A，B两点，D是以
点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段
AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是
（A）2 （B）322
（C）52 （D）3
答案：A
通州区
8. 如图，在平面直角坐标系中，点是关于的二次函
数，抛物线经过点.抛物线经过点抛物线经过点抛物
线经过点则下列判断：
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当时，四条抛物线表达式中的均随的增大而增大；
③抛物线的顶点在抛物线顶点的上方；
④抛物线与轴交点在点的上方.
其中正确的是
2
A. ①②④ B. ①③④
C. ①②③ D. ②③④
答案：A
丰台区
8．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除
了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等
边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围
成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.
C
B
A
图1 图
2
有如下四个结论：
① 勒洛三角形是中心对称图形
② 图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等
③ 图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
④ 使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
答案：B
房山区
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，以 0) (3，为圆心作⊙P，⊙
P
与x轴交于A、B，与y轴交于点C 2) (0，，Q为⊙P上不同于A、
B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB
于F．设点Q的横坐标为x，yPFPE=+22．当Q点在⊙P上顺
时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函
数关系的部分．．图象是（ ）
⌒
3
A B C D
答案：A
海淀区
8. 在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数||3yx的
图象上的“好
点”共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
东城区
8． 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，
点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
○1 AC=AD ○2 AB⊥EB ○3BC=EC ○4∠A=∠EBC
其中一定正确的是
A．○1○2 B．○2○3 C．○3○4 D．○2○3○4
4
大兴区
8．矩形ABCD中，AB＝10，24BC，点P在边AB上，且BP:AP=4:1，如果⊙P是以点
P 为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（ ）
A.点B、C均在⊙P外 B. 点B在⊙P外，点C在⊙P内
C. 点B在⊙P内，点C在⊙P外 D. 点B、C均在⊙P内
答案：A
顺义区
8．抛物线2yaxbxc经过点（1，0），且对称轴为
直线1x，其部分图象如图所示．对于此抛物线
有如下四个结论：①abc＜0； ②20ab；
③9a-3b+c=0；④若0mn，则1xm时的函
数值小于1xn时的函数值．其中正确结论的序号
是
（A）①③ （B）②④
（C）②③ （D）③④
答案：D
门头沟区
5
答案：B
昌平区
8．如图，抛物线22yxxm交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线
的顶点为D，下列四个结论：
①点C的坐标为（0，m）；
②当m=0时，△ABD是等腰直角三角形；
③若a＝－1，则b＝4；
④抛物线上有两点P(1x，1y)和Q(2x，2y)，若1x＜1＜2x，且1x＋2x＞2，则1y＞2y．
其中结论正确的序号是
（A）①② （B）①②③ （C）①②④ （D）②③④
ODCBA
x
y
6
答案：C
石景山区
8．某市为了解旅游人数的变化情况，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间
的月接待旅游量（单位：万人次）的数据并绘制了统计图如下：
根据统计图提供的信息，下列推断不合理
．．．
的是
A．2017年至2019年，年接待旅游量逐年增加
B．2017年至2019年，各年的月接待旅游量高峰期大致在7,8月份
C．2019年的月接待旅游量的平均值超过300万人次
D．2017年至2019年，各年下半年（7月至12月）的月接待旅游量相对于
上半年（1月至6月）波动性更小，变化比较平稳
答案：D
密云区
8.如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点
P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3=30，则
S2的值为（ ）．
A．6 B．8
C．10 D．12
答案：D
燕山地区
8．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一
圈，她离地面的高度y(米)与旋转时间x(分)之间的关系可以近似
地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：
x
(分) … 13.5 14.7 16.0 …
y
(米) … 156.25 159.85 158.33 …
根据上述函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是
5 6 7 8 9 10 11 125 6 7 8 9 10 11 129 10 11 125 6 7 8 0月份月接待旅游量/万人次5004003002001002019年2018年2017年1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
7
A．32分 B．30分
C．15分 D．13分
平谷区
8．二次函数y=kx2+2x+1的部分图象如图所示，则k的取值范围是 答案：D
（A）k≤1 （B）k≥1 （C）k<1 （D）
0
2019-2020学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱2．（2分）已知∠A是锐角，tan A＝1，那么∠A的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．（2分）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°5．（2分）在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（1，0），（3，2），连接AB，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A的对应点A'坐标为（2，1），则点B'坐标为（）A．（4，2）B．（4，3）C．（6，2）D．（6，3）6．（2分）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定7．（2分）如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'所在的区域在1区∼4区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区8．（2分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）已知抛物线y＝x2+c，过点（0，2），则c＝．10．（2分）如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（2，2），C（0，2），若反比例函数y ＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值．11．（2分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为．12．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝20，请用含α的式子表示BC的长．13．（2分）如图，P A，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，P A＝6，则BC 的长为．14．（2分）平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为．15．（2分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．16．（2分）如图，抛物线y＝x2+2x+2和抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点分别为点M和点N，线段MN经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是，MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积是．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．（5分）计算：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°．18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝2，求AB的长．19．（5分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．20．（5分）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线P A和直线PB，使P A切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线P A和直线PB．所以直线P A和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝°（）（填推理的依据）．∴P A⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴P A，PB是⊙O的切线．21．（5分）如图，A，B，C是⊙O上的点，sin A＝，半径为5，求BC的长．22．（5分）课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，分别为Rt△ABC和Rt △DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm．当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：（1）如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；（2）求BF的长．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．（6分）材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m；为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如图4：甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；乙同学：如图5，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB 延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．25．（6分）如图1，是直径AB所对的半圆弧，点P是与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB＝8cm，点C是上一动点，连接PC交AB于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AD，CD，PD，进行了研究，设A，D两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为y1cm，P，D两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 3.20 4.00 5.00 6.00 6.507.008.00y1/cm0.00 1.04 2.09 3.11 3.30 4.00 4.41 3.46 2.50 1.530.00y2/cm 6.24 5.29 4.35 3.46 3.30 2.64 2.00m 1.80 2.00 2.65补充表格；（说明：补全表格时，相关数值保留两位小数）（2）如图2，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y2的图象：（3）结合函数图象解决问题：当AD＝2PD时，AD的长度约为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．（7分）已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当P A＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．（1）①如图1，在点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．2019-2020学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱，故选：D．2．【解答】解：∵∠A是锐角，tan A＝1，∴∠A的度数是：45°．故选：C．3．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．4．【解答】解：∵弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝∠BOC＝2∠A＝2×20°＝40°，∴∠COD＝40°+40°＝80°．故选：C．5．【解答】解：∵A（1，0）平移后得到点A′的坐标为（2，1），∴向右平移1个单位，向上平移了1个单位，∴B（3，2）的对应点坐标为（4，3），故选：B．6．【解答】解：点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在抛物线对称轴x＝﹣2的两侧，且点A比点B离对称轴要远，因此y1＞y2，故选：A．7．【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点P即为旋转中心，由图可知，线段AB和点C绕着P点逆时针旋转90°，∴点C逆时针旋转90°后所得对应点C′落在4区，故选：D．8．【解答】解：①∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，m），∴C（0，m），故①正确；②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0），对称轴方程为x＝1，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；③当a＝﹣1时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∵对称轴x＝1，∴另一个交点坐标为（3，0），∴b＝﹣3，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．故④正确．故选：C．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．【解答】解：∵抛物线y＝x2+c，过点（0，2），∴0+c＝2，∴c＝2，故答案为：2．10．【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，∴把B（2，2）代入y＝得，k＝4，∴满足条件的k值的范围是0＜k≤4，故k＝1（答案不唯一），故答案为：k＝1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）．11．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝6，∠BOC＝90°，∴的弧长为π×6＝3π，故答案为3π．12．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，所以BC＝AC tan A＝20tanα．故答案为20tanα．13．【解答】解：连接AB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∵∠P＝60°，∴△P AB为等边三角形，∴AB＝P A＝6，∠P AB＝60°，∵P A是⊙O的切线，∴∠P AC＝90°，∴∠CAB＝30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝AB•tan∠CAB＝6×＝2，故答案为：2．14．【解答】解：以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，A（2，4），∴A的对应点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．15．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．故答案为：25．16．【解答】解：如图，连接PM，QN，MQ、PN．由y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，知M（﹣1，1），N（1，﹣3）．∵点Q的横坐标是3，点Q在抛物线y＝x2﹣2x﹣2上，∴y＝32﹣2×3﹣2＝1．∴Q（3，1）．∴线段MN先向上平移4个单位，然后向右平移2个单位得到线段PQ．∴点P的坐标是（1，5），∴PN⊥MQ，且PN与MQ相互平分，∴平行四边形PMNQ是菱形．根据平移的性质知，S阴影部分＝S菱形PMNQ＝PN•MQ＝×4×8＝16．故答案是：（1，5）；16．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．【解答】解：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°＝，＝．18．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tan A＝＝．∵BC＝2，∴＝，AC＝6．∵AB2＝AC2+BC2＝40，∴AB＝．19．【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）＝﹣（x+1）2+4；（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）；如图，（3）﹣3＜x＜1．20．【解答】解：（1）补全图形如图．（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴P A⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴P A，PB是⊙O的切线．故答案为90，直径所对的圆周角是直角．21．【解答】证明：方法Ⅰ：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，如图1∵OB＝OC，且OD⊥BC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A，sin A＝sin∠BOD＝，∵在Rt△BOD中，∴sin∠BOD＝＝，∵OB＝5，∴＝，BD＝4，∵BD＝CD，∴BC＝8．方法Ⅱ：作射线BO，交⊙O于点D，连接DC，如图2．∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠A，∴sin A＝sin∠BDC＝，∵在Rt△BDC中，∴sin∠BDC＝＝．∵OB＝5，BD＝10，∴＝，∴BC＝8．22．【解答】解：（1）补全图形如图：（2）情况Ⅰ，如图1：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°，∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝（+2）cm．情况Ⅱ，如图2：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°，∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝（﹣2）cm．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．【解答】解：当选择甲同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，0），设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），由题意可知，C点坐标为（16，0），P点坐标为（0，﹣8），，解得，∴主索抛物线的表达式为y＝x2﹣8；（2）x＝4时，y＝×42﹣8＝，此时吊索的长度为10﹣＝（m），由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝×82﹣8＝﹣6，此时吊索的长度为10﹣6＝4（m），x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．当选择乙同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，10），设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），由题意可知，C点坐标为（16，10），P点坐标为（0，2），解得．∴主索抛物线的表达式为y＝x2+2；（2）x＝4时，y＝×42+2＝，此时吊索的长度为m，由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝x2+2＝4，此时吊索的长度为4m，x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．当选择丙同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，8），设抛物线的表达式为y＝ax2（a≠0）162×a＝8，解得a＝，∴主索抛物线的表达式为y＝x2；（2）x＝4时，y＝×42＝，此时吊索的长度为（m），由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝×82＝2，此时吊索的长度为2+2＝4（m），x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．24．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵点D是半圆的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵tan A＝，∴在Rt△ABC中，＝，∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴＝＝＝．∴AF＝10，∴CF2＝BF•AF．∴BF＝．∴AO＝＝．25．【解答】解：（1）通过取点、画图、测量，可得m＝1.73，（2）如图（3）∵当AD＝2PD，∴PD＝AD，在（2）中图象中作出y＝x的图象，并测量两个函数图象交点得：AD＝4.54，故答案为：4.54．26．【解答】解：（1）①∵A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴为直线x＝1，故答案为直线x＝1；②∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，∴A（0，c）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，c），∵点B在抛物线上，∴4a+2b+c＝c，∴b＝﹣2a．（2）方法一：如图1，若a＞0，∵A（0，c），B（2，c），∴区域内（不含边界）恰有1个整点D的坐标为（1，c﹣1），则理另一个整点E（1，c﹣2）不在区域内，∵把x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+c得y＝a+b+c＝﹣a+c，∴根据题意得，解得1＜a≤2，如图2，若a＜0，同理可得，解得﹣2≤a＜﹣1综上，符合题意的a的取值范围为﹣2≤a＜﹣1或1＜a≤2．方法二：∵AB＝2，点A是整点，∴点C到AB的距离大于1并且小于等于2．∵点C到AB的距离表示为c﹣a，减去c的差的绝对值，∴1＜|c﹣a﹣c|≤2，即1＜|a≤2，∴﹣2≤a＜﹣1或1＜a≤2．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．【解答】（1）补全图形图1，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE．∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°；（2）补全图形图2，，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，∴AF＝AD，∠DAF＝120°．∵∠APE＝60°，∴∠APE+∠DAP＝180°．∴AF∥BE，∴∠1＝∠F，∵△ABD≌△BEC，∴AD＝BE．∴AF＝BE．在△AQF和△EQB中，△AQF≌△EQB（AAS），∴AQ＝QE，∴，∵AE＝AC﹣CE，CD＝BC﹣BD，且AE＝BC，CD＝BD．∴AE＝CD，∴．28．【解答】解：（1）①如图1，以AB为直径作圆G，则点P在圆上，则∠APB＝90°，若点P在圆内，则∠APB ＞90°，以C（，）为圆心，AC为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；以D（，﹣）为圆心，AD为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P在优弧内，圆G 外时，45°＜∠APB＜90°；∵点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）∴P1C＝＞＝AC，则点P1在圆C外，则∠AP1B＜45°，P2D＝＝AC，则点P2在圆D上，则∠AP2B＝45°，P3G＝＝BG，点P3在圆G上，则∠AP3B＝90°，∴线段AB的可视点是P2，P3，故答案为：P2，P3；②由图1可得，点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一，纵坐标y p范围：≤y p≤6）．（2）如图2，设直线y＝x+b与圆C相切于点H，交x轴于点N，连接BH，∵∠HNB＝∠HBN＝45°，∴NH＝BH，∠NHB＝90°，且NH是切线，∴BH是直径，∴BH＝5，∴BN＝10，∴ON＝7，∴点N（﹣7，0）∴0＝﹣7+b，∴b＝7，当直线y＝x+b与圆D相切同理可求：b＝﹣8∴﹣8≤b≤7（3）如图3，作AB的中垂线，交⊙C于点Q，交⊙D于点W，∵直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，∴线段CQ和线段DW上的点为线段AB的正可视点．∵点C（，），点D（，﹣），点Q（，+），点W（，﹣﹣）分别代入解析式可得：∴m＝3，m＝+3，m＝﹣2，m＝﹣2﹣，∴m的取值范围：或．。
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末检测九年级数学试卷及答案
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末检测九年级数学试卷（选用） 2020.1（考试时间120分钟 满分100分）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．下列事件中，随机事件是（A ）通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰 （B ）随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 （C ）明天太阳从东方升起 （D ）三角形的内角和是360° 2．抛物线2(2)+1y x =−的顶点坐标是（A ）(2，1) （B ）(-2，1) （C ）(-2，-1) （D ）(1，2) 3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数， 我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 （A ）17 （B ）15 （C ）13（D ）1 4．把Rt △ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（A ）不变 （B ）缩小为原来的13（C ）扩大为原来的3倍 （D ）扩大为原来的9倍 5．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ． 若AD =1，BD =2，则△ADE 与△ABC 的面积之比为 （A ）1:2（B ）1:3（C ）1:4（D ）1:96．如图，在正方形网格中，△MPN 绕某一点旋转某一角度得到△M´P´N´，则旋转中心可能是（A ）点A（B ）点B （C ）点C（D ）点DCEBA D7．已知⊙O 1, ⊙O 2, ⊙O 3是等圆，△ABP 内接于⊙O 1,点C ， E 分别在⊙O 2, ⊙O 3上．如图，①以C 为圆心，AP 长为半径作弧交⊙O 2于点D ,连接CD ；②以E 为圆心，BP 长为半径作弧交⊙O 3于点F ,连接EF ； 下面有四个结论： ①CD EF AB += ②CD EF AB +=③∠CO 2D +∠EO 3F =∠AO 1B ④∠CDO 2+∠EFO 3 =∠P 所有正确结论的序号是（A ）①②③④ （B ）①②③ （C ）②④ （D ）②③④ 8．如图，抛物线2119y x =−与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C （0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段 AD 的中点，连接OE ，BD ，则线段OE 的最小值是 （A ）2 （B ）322（C ）52（D ）3 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（-1，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的端点为（0，1），l ∥x 轴，请写出一个图象与射线l 有公共点的反比例函数的表达式：_____．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数512−（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD 为黄金矩形，宽AD =51−，则长AB 为_____．12．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝1，∠A ＝45°，则CD 的长度为_____．第10题图第11题图第12题图第13题图13．如图，在正方形网格中，点A ，B ，C 在⊙O 上，并且都是小正方形的顶点，P 是ACB 上任意一点，则∠P 的正切值为_____．14．抛物线223y ax ax 与x 轴交于两点，分别是是（m ，0），（n ，0），则m +n 的值为_____．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A 地进行销售. 由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A 地.村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表： 柑橘总质量n /kg 100150 200 250 300 350 400 450 500完好柑橘质量m /kg 92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50柑橘完好的频率m n0.924 0.923 0.919 0.918 0.921 0.922 0.918 0.921 0.919①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为 （结果保留小数点后三位）； ②若从该村运到A 地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A 地柑橘完好的概率为 .16．如图，分别过第二象限内的点P 作x ，y 轴的平行线，与y ，x 轴分别交于点A ，B ，与双曲线6y x=分别交于点C ，D . 下面三个结论，①存在无数个点P 使AOC BOD S S =△△； ②存在无数个点P 使POA POB S S =△△； ③存在无数个点P 使ACD OAPB S S =△四边形. 所有正确结论的序号是 .三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17．计算：sin60cos30tan45−+.18．如图，在△ABC 中，∠B =30°，tan C =43，AD ⊥BC 于点D . 若AB =8，求BC 的长．19. 如图，△ABC 为等边三角形，将BC 边绕点B 顺时针旋转30°，得到线段BD ，连接AD ，CD ，求∠ADC 的度数.20.已知一次函数1(0)y kx m k ≠和二次函数22(0)y ax bx c a ≠部分自变量和对应的函数值如下表：（1）求2y 的表达式；（2）关于x 的不等式2ax bx c ＞kx m 的解集是 ．21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．x … -2 -1 0 1 2 … y 1 … 0 1 2 3 4 … y 2…-138…图1图222．在平面内， O 为线段AB 的中点，所有到点O 的距离等于OA 的点组成图形W .取OA的中点C ，过点C 作CD ⊥AB 交图形W 于的点D ，D 在直线AB 的上方，连接AD ，BD . （1）求∠ABD 的度数；（2）若点E 在线段CA 的延长线上，且∠ADE =∠ABD ，求直线DE 与图形W 的公共点个数.23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB =AC ， P 是△ABC 内一点， ∠P AC =∠PCB =∠PBA .若∠ACB =45°，AP =1，求BP 的长.小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP ∽△CBP ，进一步推理可得BP 的长. 请回答：∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠ACB . ∵∠PCB =∠PBA ， ∴∠PCA = . ∵∠P AC =∠PCB ， ∴△ACP ∽△CBP .∴AP PC ACPC PB CB==. ∵∠ACB =45°， ∴∠BAC =90°. ∴=AC CB.∵AP =1， ∴PC =2. ∴PB = .参考小军的思路，解决问题：如图1，在△ABC 中，AB =AC ，P 是△ABC 内一点，∠P AC =∠PCB =∠PBA .若∠ACB =30°，求APBP的值； 图1 备用图 图1图224．点A是反比例函数1(0)y xx=＞的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数3(0)y xx=＞的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．(1)若点A(1，1)，求线段AB和CD的长度；(2)对于任意的点A(a，b)，判断线段AB和CD的大小关系，并证明．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究.下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 BM/cm 0.00 0.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79. 4.00 DF/cm 0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.14 0.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00 在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF=2cm时，DM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(3，3) .(1)用含a 的式子表示b ；(2)直线4+4y x a =+与直线4y =交于点B ，求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； (3)在(2)的条件下，已知点A (1，4)，若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，直接写出 a (a ＜0)的取值范围.27．已知∠MON =120°，点A ，B 分别在ON ，OM 边上，且OA =OB ，点C 在线段OB 上（不与点O ，B 重合），连接CA . 将射线CA 绕点C 逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO 绕点B 逆时针旋转150°与射线CA´交于点D . (1)根据题意补全图1； (2)求证：①∠OAC =∠DCB ；②CD =CA （提示：可以在OA 上截取OE =OC ，连接CE ）；(3)点H 在线段AO 的延长线上，当线段OH ，OC ，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点C 都有∠DCH =2∠DAH ，写出你的猜想并证明.备用图图128．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，2)，点B 在x 轴上，以AB 为直径作⊙C ，点P在y 轴上，且在点A 上方，过点P 作⊙C 的切线PQ ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q 为点P 的离点.例如，图1中的Q 为点P 的一个离点.(1)已知点P (0，3)，Q 为P 的离点.①如图2，若B (0，0)，则圆心C 的坐标为 ，线段PQ 的长为 ； ②若B (2，0)，求线段PQ 的长；(2)已知1≤P A ≤2, 直线l ：3y kx k =++（k ≠0）.①当k =1时，若直线l 上存在P 的离点Q ，则点Q 纵坐标t 的最大值为 ； ②记直线l ：3y kx k =++（k ≠0）在11x -≤≤的部分为图形G ，如果图形G 上存在P 的离点，直接写出k 的取值范围.图2图1北京市朝阳区2019～2020学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17．解：原式=122−+ =1．18．解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°． 在Rt △ADB 中，∵∠B =30°，AB =8，∴AD =4，BD =34． 在Rt △ADC 中， ∵tan C =43， ∴4tan CD C=． ∴CD =3．∴BC=334+．19．解：∵△ABC 为等边三角形，∴AB=BC ，∠ABC=60°．根据题意可知BD =BC ，∠DBC=30°． ∴AB=BD ．∴∠ABD=90°，∠BDC=75°．∴∠BDA=45°． ∴∠ADC=30°．20．解：（1）根据题意设y 2的表达式为:22(1)1y a x ．把（0，0）代入得a =1． ∴22+2y x x ． （2）x ＜-2或x ＞1．21．解：作OD ⊥AB 于E ，交⊙O 于点D ，∴AE =21AB ． ∵AB =8， ∴AE =4．在Rt △AEO 中，AO =5， ∴OE =22OA AE −=3．∴ED =2．∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m .22．解：（1）根据题意，图形W 为以O 为圆心，OA 为直径的圆.连接OD ， ∴OA =OD .∵点C 为OA 的中点，CD ⊥AB ， ∴AD =OD . ∴OA =OD =AD .∴△OAD 是等边三角形. ∴∠AOD =60°.∴∠ABD =30°.（2）∵∠ADE =∠ABD ，∴∠ADE =30°.∵∠ADO =60°.∴∠ODE =90°.∴OD ⊥DE .∴DE 是⊙O 的切线.∴直线DE 与图形W 的公共点个数为1.23．解： ∠PBC ；22；2． ∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠ACB ．∵∠PCB =∠PBA ，∴∠PCA =∠PBC ．∵∠P AC =∠PCB ，∴△ACP ∽△CBP ．∴AP PC AC PC PB BC==． ∵∠ACB =30°，∴33AP PC AC PC PB BC ===． 设AP =a ，则PC =3a ，∴PB =3a ．∴13AP BP =．24．解：（1）∵AB ∥x 轴，A (1，1)，B 在反比例函数3(0)y x x =＞ 的图象上， ∴B (3，1) ．同理可求：C (1，3)，D (31，3) ．∴AB =2，CD =32． （2）AB ＞CD ．证明：∵A (a ，b )，A 在反比例函数1(0)y x x =＞ 的图象上， ∴A (a ，a1)． ∵AB ∥x 轴，B 在反比例函数3(0)y x x =＞ 的图象上， ∴B (3a ，a1)． 同理可求：C (a ，a 3)，D(3a ，a 3)． ∴AB =2a ，CD =a 32． ∵0＞a ，∴2a ＞a 32． ∴AB ＞CD ．25．解：答案不唯一．（1）BM ，DF ，DM ．（2）如图所示．（3）2.98，1.35．26．解：（1）将点（3，3）代入2+=y ax bx ，得9a +3b =3.∴3+1=-b a .（2）令4+4=4+x a ，得=4-x a .∴B 4,4)(-a .（3）312=-或＜-a a .27．（1）解：补全图形，如图.（2）证明：①根据题意∠ACD =120°.∴∠DCB +∠ACO =60°.∵∠MON =120°，∴∠OAC +∠ACO =60°.∴∠OAC =∠DCB .②在OA 上截取OE =OC ，连接CE .∴∠OEC =30°.∴∠AEC =150°.∴∠AEC =∠CBD .∵OA =OB ，∴AE =BC .∴△AEC ≌△CBD .∴CD =AC .(3) OH-OC= OA.证明：在OH上截取OF=OC，连接CF，∴△OFC 是等边三角形，FH=OA.∴CF=OC，∠CFH=∠COA=120°.∴△CFH≌△COA.∴∠H=∠OAC.∴∠BCH=60°+∠H =60°+∠OAC.∴∠DCH=60°+∠H +∠DCB=60°+2∠OAC.∵CA=CD，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°.∴∠DCH=2∠DAH.28．解：（1）①（0，1）；3.②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ.∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）.∴M（0，1）.在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA=2.∴CQ=2.∵P（0，3），M（0，1），∴PM=2.在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC=5.在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ=22-PC CQ=3.（2）①6.②21222-＜≤-k或21222k≤＜+.说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.祝各位老师寒假愉快！。
2019-2020学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷
6.如图， 交 于点 ， 切 于点 ，点 在 上．若 ＝ ，则 为（）
A. B. C. D.
7.在同一平面直角坐标系 中，函数 ＝ 与 的图象可能是（）
A. B.
C. D.
8.在平面直角坐标系 中，将横纵坐标之积为 的点称为“好点”，则函数 ＝ 的图象上的“好点”共有（）
A. 个B. 个C. 个D. 个
①若点 在直线 上，则点 的 倍相关圆的半径为________．
②点 在直线 上，点 的 倍相关圆的半径为 ，若点 在运动过程中，以点 为圆心， 为半径的圆与反比例函数 的图象最多有两个公共点，直接写出 的最大值．
参考答案与试题解析
2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
如图，在 与 中， ，且 ＝ ．求证： ．
某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 的平均速度用 到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度 与时间 有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过 ，那么返程时的平均速度不能小于多少？
如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ．
（1）求证： ＝ ；
（1）在点 ， 中，存在 倍相关圆的点是________，该点的 倍相关圆半径为________．
（2）如图 ，若 是 轴正半轴上的动点，点 在第一象限内，且满足 ＝ ，判断直线 与点 的 倍相关圆的位置关系，并证明．
（3）如图 ，已知点 的 ， ，反比例函数 的图象经过点 ，直线 与直线 关于 轴对称．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
反比例函数 的图象经过 ， 两点，则 ．（填“ ”，“＝”或“ ”）
如果关于 的一元二次方程 ＝ 的一个解是 ＝ ，则 ＝________．
北京市各区2019-2020学年九年级上学期期末数学试卷精选汇编：现场学习类专题(含答案)
现场学习类专题（西城） 25．下边给出六个函数分析式：y= 1x 2， y= 3x21 ， yx 21x ，22y=2x 23 x 1，y= 2，y 24．x 2 x 1 3x x 小明依据学习二次函数的经验，剖析了上边这些函数分析式的特色，研究了它们的图象和性质．下边是小明的剖析和研究过程，请增补完好：（1）察看上边这些函数分析式，它们都拥有共同的特色，能够表示为形如y= ，此中 x 为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数 y=x 2 2 x 1的部分图象， 用描点法将这个函数的图象增补完好；（3）对于上边这些 函数，以下四个结论：① 函数图象对于 y 轴对称② 有些函数既有最大值，同时也有最小值③ 存在某个函数，当x ＞ m （ m 为正数）时， y 随 x 的增大而增大，当 x ＜ - m 时， y随x 的增大而减小④ 函数图象与 轴公共点的个数只可能是 0个或 2个或 4个全部正确结论的序号是；（4）联合函数图象，解决问题：若对于 x 的方程 x 2 2 x 1 xk 有一个实数根为 3，则该方程其余的实数根为．25．解：（ 1）① y ax 2b xc ，（ a ，b ， c 是常数， a 0 ）．（ 2）图象如图 1 所示．图1图2（3）①③．（4）如图 2， - 1， 0．············································6 分（东城） 25．如图， P 是直径 AB 上的一点， AB=6，CP⊥ AB 交半圆于点C，以BC为直角边结构等腰Rt△ BCD ，∠ BCD=90°，连结 OD ．DCA P O B小明依据学习函数的经验，对线段AP， BC， OD的长度之间的关系进行了研究．下边是小明的研究过程，请增补完好：（ 1）对于点 P 在 AB 上的不一样地点，绘图、丈量，获得了线段AP， BC，OD 的长度的几组值，以下表：地点 1地点 2地点 3地点 4地点 5地点6地点AP0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00BC 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.45OD 6.717.247.07 6.71 6.16 5.33在 AP， BC， OD 的长度这三个量中，确立 ________的长度是自变量， ________的长度和 ________的长度都是这个自变量的函数；（ 2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（ 1）中所确立的函数的图象；（ 3）联合函数图象，解决问题：当OD=2BC 时，线段AP 的长度约为 ________．（石景山） 25．如图，C是AmB上的必定点， D 是弦 AB 上的必定点，P 是弦CB上的一动点，连接DP ，将线段PD绕点P顺时针旋转获得线段PD，射线PD与 AmB 交于90°点Q ．已知BC6cm，设P，两点间的距离为x cm，，两点间的距离为 y cm ，C P D1P ，Q两点间的距离为y2 cm ．mCPQD'BA D小石依据学习函数的经验，分别对函数y1， y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了研究，下边是小石的研究过程，请增补完好：（ 1）依据下表中自变量x 的值进行取点、绘图、丈量，分别获得了y1， y2与 x 的几组对应值：x / cm0123456y1 / cm 4.29 3.33 1.65 1.22 1.50 2.24y2 / cm0.88 2.84 3.57 4.04 4.17 3.200.982xOy( x, y1 ) ( x, y2 )y1 y2y/cm5y24321O123456x/cm 3DQ DPQ PCcm251 2.4412y/cm5y2432y11O12345 6 x/cm43 1.3 5.7624小聪和小明经过例题的学习，领会到利用函数图象能够求出方程的近似解. 于是他们试试利用图象法研究方程x32x210 的近似解，做法以下：小聪的做法：小明的做法：32 x21由于x0 ，因此先将方程 x32x2 1 0令函数y x，的两边同时除以x，变形得到方程列表并画出函数的图象，借助1x22x，再令函数y1x22x 和图象获得方程x32x210x的近似解 .y21x ，列表并画出这两个函数的图象，借助图象获得方程x32x21 0的近似解 .请你选择小聪或小明的做法，求出方程x3 2 x210 的近似解(精准到0.1). 24.解法 1 ：选择小聪的作法，列表并作出函数y x3 2 x2 1 的图象：（列表略） 2 分y321y= x3-2x2+1-3 -2 -1 O123x-1-2-3依据函数图象，得近似解为x10.6 ， x2 1.0， x3 1.6 ．.... 5 分解法 2 ：选择小明的作法，列表并作出函数y 1 x22x 和 y 21的图象：（列表略） 2 分xy312 y 1= x 2-2xy 2= -x1-3 -2 -1O 12 3 4x-1-2 -3依据函数图象，得近似解为 x 1 0.6 ， x 2 1.0， x 3 1.6..5分（大兴） 24．如图， O 是所在圆的圆心， C 是上一动点，连结O C 交弦 AB 于点D ．已知 AB=9.35cm ，设 A ， D 两点间的距离为x cm ， O,D 两点间的距离为y 1 cm ，C ，D 两点间的距离为 y 2 cm. 小腾依据学习函数的经验，分别对函数y 1 , y 2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了研究. 下边是小腾的研究过程，请增补完好:(1) 依据下表中自变量 x 的值进行取点、 绘图、丈量，分别获得了 y 1 ,y 2 与 x 的几组对应值：/cm0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.10 8.00 9.35 xy 1 /cm 4.933.99m2.281.701.592.042.883.674.93y 2 /cm0.00 0.94 1.832.653.23 3.34 2.89 2.05 1.26 0.00(2) ①在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出表中各组数值所对应的点 （ x , y 1 ）, （ x , y 2 ）,并画出（ 1）中所确立的函数y 1 , y 2 的图象；北京市各区2019-2020学年九年级上学期期末数学试卷精选汇编：现场学习类专题(含答案)y1mcm()3 OD=C D AD ______ cm24.23 3.14(3) 625AB AB P AB ABAB=8cm C x cm C D AB PC AB D AD CD PD A D y1cm P D y2cmy1y2x1x y1y2xx/cm0.00 1.00 2.00 3.00 3.20 4.00 5.00 6.00 6.507 008.00 y1/cm0.00 1.04 2.09 3.11 3.30 4.00 4.41 3.46 2.50 1 530.00 y2/cm 6.24 5.29 4.35 3.46 3.30 2.64 2.00m 1.80 2.00 2.652 xOy y23AD 2PD AD___________25. 1 m 1.73 2243.4.54 .6（房山） 25.如图，在正方形ABCD 中， AB=5cm，点 E 在正方形边上沿 B→ C→ D 运动（含端点），连结 AE，以 AE 为边，在G线段右边作正方形AEFG ，连结 DF 、 DG .DA小颖依据学习函数的经验，在点 E 运动过程中，对线段AE 、DF 、DG 的长度之间的关系进行了研究 .F下边是小颖的研究过程，请增补完好：B CE（1）对于点 E 在 BC、CD 边上的不一样地点，绘图、丈量，得到了线段 AE 、 DF、 DG 的长度的几组值，以下表：地点 1地点 2地点 3地点 4地点 5地点 6地点 7AE /cm 5.00 5.50 6.007.07 5.99 5.50 5.00DF /cm 5.00 3.55 3.72 5.00 3.71 3.55 5.00DG/cm0.00 2.30 3.31 5.00 5.28 5.697.07在 AE、DF 和 DG 的长度这三个量中，确立 __________的长度是自变量， __________的长度和__________ 的长度都是这个自变量的函数 .(2)在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（ 1）中所确立的函数的图象：y987654321O123456789x 10（3）联合函数图像，解决问题：当△ GDF 为等腰三角形时，AE 的长约为 ______________（2）如图5分（ 3） 7.07 或 5.00 或 5.65 6 分（顺义） 24．如图， A 是BC上一动点， D 是弦 BC 上必定点，连结AB ，AC， AD．设线段AB 的长是 xcm，线段 AC 的长是 y1cm，线段 AD 的长是 y2cm．小腾依据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x 的变化的关系进行了研究．下边是小腾的研究过程，请增补完好：（1）对于点 A 在BC上的不一样地点，绘图、丈量，获得了y1，y2的长度与x 的几组值：地点 1地点 2地点 3地点 4地点 5地点 6地点 7地点 8 x/cm0.000.99 2.01 3.46 4.98 5.847.078.00 y1/cm8.007.46 6.81 5.69 4.26 3.29 1.620.00 y2/cm 2.50 2.08 1.88 2.15 2.99 3.61 4.62m 请直接写出上表中的m 值是______；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后表中各组数据所对应的点（x， y1），（ x， y2），并画出函数y1，y2的图象；11（3）联合函数图象，解决问题：当 AC =AD 时， AB 的长度约为______ cm；当 AC =2 AD 时， AB 的长度约为______ cm．24．解：（ 1）表中的 m 值是 5.5； 1 分（2）3 分（ 3）联合函数图象，解决问题：当 AC = AD 时， AB 的长度约为 5.7cm；当 AC =2 AD 时， AB 的长度约为 4.2cm．5 分（旭日） 25．如图，在矩形ABCD 中， E 是 BA 延伸线上的定点，M 为 BC 边上的一个动点，连结ME，将射线ME 绕点 M 顺时针旋转76o，交射线CD 于点 F，连结 MD ．小东依据学习函数的经验，对线段BM ， DF ， DM 的长度之间的关系进行了研究 .下边是小东研究的过程，请增补完好：（ 1）对于点 M 在 BC 上的不一样地点，绘图、丈量，获得了线段BM，DF ，DM 的长度的几组值，以下表：地点 1地点地点 3地点地点 5地点 6地点 7地点 8地点 9 24BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79. 4.00 DF /cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM /cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在 BM ， DF ， DM 的长度这三个量中，确立的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（ 2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确立的函数的图象；（ 3）联合画出的函数图象，解决问题：当DF= 2cm 时， DM 的长度约为cm．23．阅读下边资料：小军碰到这样一个问题：如图1，在△ABC 中， AB=AC， P 是△ ABC 内一点，∠PAC=∠ PCB=∠ PBA. 若∠ ACB =45°， AP=1 ，求 BP 的长 .图 1图 2小军的思路是：依据已知条件能够证明△ ACP∽△ CBP，进一步推理可得BP的长.请回答：∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ ACB.∵∠ PCB=∠ PBA，∴∠ PCA=.∵∠ PAC=∠ PCB，∴△ ACP∽△ CBP.∴AP PC AC. PC PB CB∵∠ ACB=45°，∴∠ BAC=90° .∴AC=. CB∵AP=1，∴PC= 2.∴PB=.参照小军的思路，解决问题：如图 1，在△ ABC 中， AB=AC， P 是△ABC 内一点，∠ PAC=∠ PCB =∠ PBA . 若∠ ACB=30°，求AP的值；BP（平谷）24．如图，点 P 是AB上一动点，连结 AP，作∠ APC=45°，交弦 AB 于点 C．AB=6cm ．小元依据学习函数的经验，分别对线段AP ，PC，AC 的长度进行了丈量．下边是小元的研究过程，请增补完好：（1）下表是点 P 是AB上的不一样地点，绘图、丈量，获得线段 AP，PC，AC 长度的几组值，以下表：AP/cm0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00PC/cm0 1.21 2.09 2.69m 2.820AC/cm00.87 1.57 2.20 2.83 3.61 6.00①经丈量m 的值是（保存一位小数）．②在 AP， PC， AC 的长度这三个量中，确立______的长度是自变量，______的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（ 1）中所确立的函数图象；（3）联合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP 的长度约为cm（保留一位小数）．24．解：（ 1）① 3.0； (1)②AP 的长度是自变量， PC 的长度和 AC 的长度都是这个自变量的函数；（答案不独一） ······································3（2）如图（答案不独一，和（ 1）问相对应）； (5)（ 3） 2.3 或 4.2 (7)（门头沟）??25．如图，AB是直径 AB 所对的半圆弧，点 C 在AB上，且∠ CAB =30°， D 为 AB 边上的动点（点 D 与点 B 不重合），连结 CD，过点 D 作 DE⊥ CD交直线 AC于点 E．CEA D O B小明依据学习函数的经验，对线段AE， AD 长度之间的关系进行了研究．下边是小明的研究过程，请增补完好：（ 1）对于点 D 在 AB 上的不一样地点，绘图、丈量，获得线段AE，AD 长度的几组值，如下表：地点 1地点 2地点 3地点 4地点 5地点 6地点 7地点 8地点 9AE/ cm0.000.410.77 1.00 1.15 1.000.00 1.00 4.04AD/ cm0.000.50 1.00 1.41 2.00 2.45 3.00 3.21 3.50在 AE，AD 的长度这两个量中，确立 ________的长度是自变量， _________的长度是这个自变量的函数；（2）在下边的平面直角坐标系xOy中，画出（ 1）中所确立的函数的图象；y/cm54321O1234 5 x/cm（ 3）联合画出的函数图象，解决问题：当AE= 1AD 时， AD 的长度约为 _________cm2(结果精准到0.1)．（密云） 25．如图，点 E 是矩形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点（点 E 能够与点 A 和点C 重合），连结 BE．已知 AB=3cm，BC=4cm．设A、E 两点间的距离为xcm， BE 的长度为 ycm．某同学依据学习函数的经验，对函数y 随自变量x的变化而变化的规律进行研究．下边是该同学的研究过程，请增补完好：（1）经过取点、绘图、丈量及剖析，获得了x 与y的几组值，以下表：x(cm)01 1.52 2.53 3.545y(cm) 3.00 2.68 2.94 3.26 4.00（说明：补全表格时有关数值保存一位小数）．．．．．．（2）成立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．y4321O12345x（3）联合画出的函数图象，解决问题：当BE=2AE时，AE的长度约为cm．（结果保存一位小数）．．．．．．．．25. 解：（1） 2.5； 2 分（2 ）绘图象5 分（3） 1.2（ 1.1—1.3 均可） 6 分（燕山） 25．阅读下边资料：学习函数知识后，对于一些特别的不等式，我们能够借助函数图象来求出它的解集，比如求不等式 x34y1＝ x－3 与函数的解集，我们能够在同一坐标系中，画出直线4x1），察看图象可知：它们交于点A(－ 1，－ 4)，B(4， 1)．当－ 1＜y2的图象（如图x4x＜ 0，或 x＞ 4 时， y1＞ y2，即不等式x3的解集为－ 1＜ x＜0，或 x＞4．xy4yy2=x5443y1=x －332B 211-4 -3-2 -1O1 2 3 4x-5 -4-3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x - 1- 1- 2- 2- 3- 3A- 4- 4- 5九年级数学期末试卷第5页（共 8页）图 1图 2小东依据学习以上知识的经验，对求不等式x33x2x 3 0的解集进行了研究．下边是小东的研究过程，请增补完好：(1)将不等式按条件进行转变当 x＝ 0 时，原不等式不可立；当 x＞ 0 时，原不等式转变为x23x 13；x当 x＜ 0 时，原不等式转变为；(2) 结构函数，画出图象设 y3 x23x 1 ，y43，在同一坐标系 ( 图 2) 中分别画出这两个函数的图象．x(3)借助图象，写出解集察看所画两个函数的图象，确立两个函数图象交点的横坐标，联合(1)的议论结果，可知：不等式 x33x2x 3 0的解集为．26. 解：（1） 2.5； 2 分（2 ）绘图象5 分（3） 1.2（ 1.1—1.3 均可） 6 分。
2019-2020学年北京市房山区九年级上册期末数学试卷(有答案)【优质版】
2019-2020学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN=1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．54．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．66．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．67．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京?房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB 的长是．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于m．12．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为．14．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为．15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=，x2=，则此二次函数图象的对称轴为．16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正方形．作法：如图．（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点；（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；（3）连接AB、BC、CD、DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是（写出两条）．三、解答题（本题共68分）．17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值：x…﹣1﹣0123…y…m﹣1﹣﹣2﹣﹣12…（1）二次函数图象的顶点坐标是；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围：．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．23．（5分）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A（1，n）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x的取值范围为．24．（5分）中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c=（用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围；（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD 上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m=；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x 相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为．2019-2020学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣【分析】把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于a的方程，可求得a的值．【解答】解：∵点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，∴2=a×（﹣1）2，解得a=2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN=1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由M、N分别为AC、BC的中点可得出MN∥AB、AB=2MN，进而可得出△ABC ∽△MNC，根据相似三角形的性质结合S△CMN=1，即可求出S△ABC的值．【解答】解：∵M、N分别为AC、BC的中点，∴MN∥AB，且AB=2MN，∴△ABC∽△MNC，∴=（）2=4，∴S△ABC=4S△CMN=4．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC∽△MNC是解题的关键．4．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC）．在△ABC中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AC的长，进而求得地毯的长度．【解答】解：如图，由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC），在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°．∵tanA=，∴AC=BC÷tan30°=2．∴AC+BC=2+2．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角△ABC的直角边的和．5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．6【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积=|k|，再根据图象所在象限求出k的值既可．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积=|k|，即|k|=2，解得，k=±4，由于函数图象位于第一、三象限，故k=4，故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．6．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．6【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB?AD，将数值代入计算即可求出AC的长．【解答】解：在△ADC和△ACB中，∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）；∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB?A D，∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5，∴AC2=5×2=10，∴AC=．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；②相似三角形的对应边成比例．7．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京?房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3【分析】首先由y=2x2﹣4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，所以CD=14﹣6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），∵AB=4，∴B点的横坐标为x=3，把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，∴CD=14﹣6=8，∴CE=CD+DE=8+3=11．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式y=﹣x2+1（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．【解答】解：抛物线解析式为y=﹣x2+1（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2+1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB 的长是8．【分析】如图，连接OA；首先求出OE的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA；OE=OC﹣CE=5﹣2=3；∵OC⊥AB，∴AE=BE；由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，∵OA=5，OE=3，∴AE=4，AB=2AE=8．故答案为8．【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题；作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于6m．【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=2m，CE=1m，CD=3m，∴，解得：AB=6故答案为：6；【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．12．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为5π．【分析】根据扇形的面积公式代入，再求出即可．【解答】解：由扇形面积公式得：S=π，故答案为：5π；【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S=．14．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为．【分析】首先利用勾股定理计算出AB2，BC2，AC2，再根据勾股定理逆定理可证明∠BCA=90°，然后得到∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数可得∠ABC的正弦值．【解答】解：AB2=32+12=10，BC2=22+12=5，AC2=22+12=5，∴AC=CB，BC2+AC2=AB2，∴∠BCA=90°，∴∠ABC=45°，∴∠ABC的正弦值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数．15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=，x2=，则此二次函数图象的对称轴为直线x=﹣2．【分析】，根据两交点的横坐标和抛物线关于对称轴对称得出二次函数图象的对称轴是直线x=（x1+x2），代入求出即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=，x2=，∴此二次函数图象的对称轴是直线x=（x1+x2）=﹣2，故答案为：直线x=﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：两交点关于对称轴对称．16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正方形．作法：如图．（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点；（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；（3）连接AB、BC、CD、DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角（写出两条）．【分析】由AC、BD为直径且AC⊥BD知AB=BC=CD=DA，其依据为相等的圆周角所对的弦相等；再由AC为直径可知∠ABC=90°，其依据为“直径所对圆周角为直角”，由正方形的判定即可得．【解答】解：过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点，则AC为⊙O的直径，过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点，∴BD也是⊙O的直径，且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，∴AB=BC=CD=DA（相等的圆周角所对的弦相等），由AC为直径可知∠ABC=90°（直径所对圆周角为直角），则四边形ABCD为正方形（有一内角为直角的菱形是正方形），故答案为：相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆心角定理、圆周角定理及正方形的判定．三、解答题（本题共68分）．17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=×﹣+=+．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算．18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值：x…﹣1﹣0123…y…m﹣1﹣﹣2﹣﹣12…（1）二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣2）；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是n＞﹣3．【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的顶点坐标．（2）在y=x+n中，令x=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．【解答】解：（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得，解得，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），（2）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，故答案为：（1）（1，﹣2），（2）n＞﹣3【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围：x＜﹣1或x＞3．【分析】（1）根据顶点坐标设y=a（x﹣1）2﹣4，利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图象写出图象在x轴上方的图象的自变量的取值范围即可；【解答】解：（1）∵顶点坐标（1，﹣4）∴设y=a（x﹣1）2﹣4，将（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2﹣4，得4a﹣4=0解得，a=1，∴二次函数表达式y=（x﹣1）2﹣4，（2）观察图象可知当y＞0时，的取值范围x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．【分析】由在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC=6cm，利用勾股定理，即可求得BC的长，又由∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得AD、BD的长；【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵AB=10cm，AC=6cm，∴BC==8（cm），∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，∴=，∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=AB?cos45°=10×=5（cm）．【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S，则S△BDC=S△ABC，即CD?BE=?AC?BC，于是可计算出BE=，然后在Rt △ADC△BDE中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD?BE=?AC?BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．23．（5分）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A（1，n）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x的取值范围为x ＜0或1＜x＜4．【分析】（1）将A（1，n）代入y=﹣x+5，求出n=4．将A（1，4）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，即一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围．【解答】解：（1）将A（1，n）代入y=﹣x+5，得，n=﹣1+5=4．将A（1，4）代入y=中，得，k=1×4=4，故反比例函数的表达式为y=；（2）当x＜0或1＜x＜4时，反比例函数的值大于一次函数的值．故答案为x＜0或1＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求反比例函数的解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．24．（5分）中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵，∴，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，∵BC=45∴MN=3000，答：直线隧道MN长为3000米．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c=2b﹣4（用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围﹣1＜b≤0；（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①只要证明△＞0即可；②构建不等式即可解决问题；（3）利用配方法求出顶点坐标，再代入直线的解析式，转化为方程即可解决问题；【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）∴0=4﹣2b+c，∴c=2b﹣4，故答案为2b﹣4（2）当b＜4时①△=b2﹣4?1?c=b2﹣4（2b﹣4）=（b﹣4）2，∵b＜4∴（b﹣4）2＞0即△＞0，∴当b＜4时，抛物线与x轴有两个交点．②由题意：﹣＜﹣≤﹣4或0≤﹣＜，解得：8≤b＜9或﹣1＜b≤0，∵b＜4，∴﹣1＜b≤0，故答案为﹣1＜b≤0．（3）由y=x2+bx+c=x2+bx+2b﹣4=（x+）2﹣（﹣2）2，∴顶点P[﹣，﹣（﹣2）2]．将其代入y=x﹣4中，得，﹣（﹣2）2=﹣﹣4解得，b=0或10．∴抛物线的表达式为y=x2﹣4或y=x2+10x+16．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上；（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线；（3）根据∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再结合三角形相似就可求出圆的半径的长．【解答】解：（1）如图所示，…2′（2）连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，…3′∴∠ODB=∠C=90°，又∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线．…4′（3）∵AC=3，tanB=，∴BC=4，∴AB=5，…5′，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，BO=5﹣r，∵OD∥AC，∴，即，…6′，解得，r=，…7′∴⊙O的半径为．【点评】本题综合考查了切线的判定，解直角三角形和相似三角形的性质的应用，还考查了学生运用基本作图的知识作复杂图的能力，本题中作图的理论依据是垂径定理．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD 上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，且∠CBP=∠ABE，∠BCP=∠BAE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∠BAE的度数为定值，∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形，∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°，∴，且∠CBP=∠ABE，∴∠BCP=∠BAE，∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCP=45°，∴∠BAE=∠BCP=45°；（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AD=AB=2，∵∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=2，∴DE的最小值是2．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为2；②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为4；（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m=﹣c；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x 相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为1+2．【分析】（1）①②根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；（2）因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，推出c=1﹣b，因为二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，可得=﹣1，解得b=3，由此即可解决问题；（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．【解答】解：（1）①点A（1，3）的“坐标差”为=3﹣1=2，故答案为2；②设P（x，y）为抛物线y=﹣x2+3x+3上一点，坐标差=﹣x2+2x+3，=﹣（x﹣1）2+4，最大值为4，所以抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为4故答案为4．（2）①由题意：0﹣m=c﹣0，可得m=﹣c．②∵C（0，c），又∵点B与点C的“坐标差”相等，∴B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，∴c=1﹣b，∵二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，∴=﹣1，解得b=3，∴c=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣2．故答案为﹣c．（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．作TF⊥x轴于E交MJ于F．易知△TMF是等腰直角三角形，∵TF=FM=，EF=KM=3，EK=FK=M=，∴OE=OK﹣EK=2﹣，TE=3+，半径为2的圆的“特征值”为3+﹣（2﹣）=1+2．故答案为1+2．【点评】本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．。
2019-2020年北京市怀柔区九年级上册期末考试数学试题(有答案)【免费下载】
北京市怀柔区九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．北京电影学院落户，怀柔一期工程建设进展顺利，一期工程建筑面积为178800平方米，建设内容有教学行政办公、图书馆、各类实习用房、学生及教工宿舍、食堂用房等，预计将于2019年投入使用．将178800用科学记数法表示应为（）A．1.788×104B．1.788×105C．1.788×106D．1.788×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：178800用科学记数法表示应为1.788×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．若将抛物线y=﹣2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y=﹣（+3）2﹣2B．y=﹣（﹣3）2﹣2C．y=（+3）2﹣2D．y=﹣（+3）2+2【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=﹣2的顶点坐标为（0，0），先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣2），所以，平移后的抛物线的解析式为y=﹣（+3）2﹣2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA的值为（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正切等于对边比邻边解答．【解答】解：如图，tanA==．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．4．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴=，∴EC=4，故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得∠BOC=2∠A，进而可得答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，∴∠A=∠B0C=50°．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是准确把握圆周角定理即可．6．网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）．中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方．在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（）A．1.65米B．1.75米C．1.85米D．1.95米【分析】根据AB∥DE知△ABC∽△EDC，据此可得=，将有关数据代入计算即可．【解答】解：由题意知AB∥DE，则△ABC∽△EDC，∴=，即=，解得：ED=1.95，故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．7．某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=4分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度．小明计算橡胶棒CD的长度为（）A．2分米B．2分米C．3分米D．3分米【分析】连接OC．根据垂径定理和勾股定理求解即可．【解答】解：连接OC，作OE⊥CD，如图3，∵AB=4分米，∴OC=2分米，∵将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，∴OE=分米，在Rt△OCE中，CE=分米，∴CD=2分米；故选：B．【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．8．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB【分析】结合图1分别画出A、B、C、D四种函数图象，即可判断．【解答】解：根据画出的函数的图象，C符合，故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别画出函数的图象是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．分解因式：33﹣62+3= 3（﹣1）2．【分析】此题是分解因式中综合性题目，应从提出3这个公因式后，再利用完全平方公式进一步因式分解．【解答】解：33﹣62+3，=3•2﹣3•2+3，=3（2﹣2+1），=3（﹣1）2．【点评】本题考查了提取公因式法与公式法因式分解，应注意找准公因式，提取公因式后因注意能否继续因式分解，此题容易分解因式不彻底．10．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比等于1：9 ．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是1：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于12：32=1：9．故答案为1：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．11．有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是（写出一个即可）：y=﹣．【分析】首先根据反比例函数的性质可得＜0，再写一个符合条件的数即可．【解答】解：∵反比例函数y=（是常数，≠0），在其图象所在的每一个象限内，y 的值随着的值的增大而增大，∴＜0，∴y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数y=（是常数，≠0），当＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量的增大而减小；当＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量增大而增大．12．抛物线y=2（+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3）．【分析】抛物线y=a（﹣h）2+，顶点坐标是（h，），直接根据抛物线y=2（+1）2+3写出顶点坐标则可．【解答】解：顶点坐标是（﹣1，3）．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．13．将y=2﹣4+5化成y=a（﹣h）2+的形式y=（﹣2）2+1 ．【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：∵y=2﹣4+5，∴y=2﹣4+4+1，∴y=（﹣2）2+1．故答案为y=（﹣2）2+1．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=a2+b+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（﹣h）2+；（3）交点式（与轴）：y=a（﹣1）（﹣2）．14．数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小泽同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米．则旗杆AB= （5+5）米．【分析】根据题意直接得出AN的长，进而得出BN的长，即可得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得，EN=BF=5m，∵α为45°，∴AN=EN=5m，tan60°==，解得：BN=5，则旗杆AB=AN+BN=（5+5）m．故答案为：（5+5）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．15．在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮．草皮种植面积为米2．【分析】根据等边三角形的性质和弧长公式即可得到结论．【解答】解：草皮种植面积==πm2，故答案为：π．【点评】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，正确的识别图形是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：如图1，△OAB．求作：⊙O，使⊙O与△OAB的边AB相切．小明的作法如下：如图2，①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，与边AB交于点C；②以O为圆心，OC为半径作⊙O；所以，⊙O就是所求作的圆．请回答：这样做的依据是圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】由作图步骤，根据“圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得答案．【解答】解：①取线段OB的中点M；以M为圆心，MO为半径作⊙M，则根据圆的定义知OB为⊙M的直径；由直径所对圆周角为直角知OC⊥AB；②以O为圆心，OC为半径作⊙O；由经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线知⊙O就是所求作的圆；综上，这样做的依据是：圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．故答案为：圆的定义、直径所对的圆周角为90°，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质及切线的判定和性质．三、解答题（本题共68分，第20、21题每小题5分，第26-28题每小题5分，其余每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：4sin45°﹣+（﹣1）0+|﹣2|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×﹣2+1+2=2﹣2+3=3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC=4，AC=8，CD=2．求证：△BCD ∽△ACB．【分析】根据两边成比例夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】证明：∵BC=4，AC=8，CD=2，∴=，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用数形结合的思想思考问题；19．（5分）如图，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14．求BC的长．【分析】作CD⊥AB于D，如图，先在Rt△CDA中利用tanA的定义可计算．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，∵在Rt△CDA中，tanA=，设CD=3，AD=4，∵在Rt△CDB中，∠B=45°∴tanB==1，sinB=，∵CD=3．∴BD=3，BC=•3=3．又∵AB=AD+BD=14，∴4+3=14，解得=2，∴BC=6．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解决此类问题的关键．20．（6分）在平面直角坐标系Oy中，直线y=+3与双曲线y=相交于点A（m，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）画出直线和双曲线的示意图；（3）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA．直接写出点P的坐标．【分析】（1）理由待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）图中P、P′即为满足条件的点P，写出坐标即可；【解答】解：（1）∵直线y=+3与双曲线y=相交于点A（m，2）．∴A（﹣1，2），y=﹣．（2）函数图象如图所示．（3）观察图象可知满足条件的点P坐标为（0，4）或（﹣2，0）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．21．（6分）一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标y的对应值如下表：（2）求m的值；（3）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（4）根据图象，写出当y＜0时，的取值范围．【分析】（1）先确定出顶点坐标，再设顶点式解析式为y=a（+1）2+2，然后将点（1，0）代入求出a的值，从而得解；（2）将=2代入函数解析式计算即可得解；（3）根据二次函数图象的画法作出图象即可；（4）根据函数图象，写出轴上方部分的的取值范围即可．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），所以，设这个二次函数的表达式为y=a（+1）2+2，∵图象过点（1，0），∴a（1+1）2+2=0，∴a=﹣，∴这个二次函数的表达式为y=﹣（+1）2+2；（2）=2时，m=﹣（2+1）2+2=﹣；（3）函数图象如图所示；（4）y＜0时，＜﹣3或＞1．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，从表格中判断出顶点坐标是解题的关键．22．（5分）如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．（1）求证：AB=BN；（2）若⊙O半径的长为3，cosB=，求MA的长．【分析】（1）本题可连接OD，由MD切⊙O于点D，得到OD⊥MD，由于BN⊥MC，得到OD∥BN，得出∠ADO=∠N，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由（1）知，OD∥BN，得到∠MOD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．【解答】（1）证明：连接OD，∵MD切⊙O于点D，∴OD⊥MD，∵BN⊥MC，∴OD∥BN，∴∠ADO=∠N，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠N，∴AB=BN；（2）由（1）OD∥BN，∴∠MOD=∠B，∴cos∠MOD=cosB=，在Rt△MOD中，cos∠MOD═，∵OD=OA，MO=MA+OA=3+MA，∴，∴MA=4.5．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．23．（5分）数学课上老师提出了下面的问题：在正方形ABCD对角线BD上取一点F，使．小明的作法如下：如图①应用尺规作图作出边AD的中点M；②应用尺规作图作出MD的中点E；③连接EC，交BD于点F．所以F点就是所求作的点．请你判断小明的作法是否正确，并说明理由．【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：正确．理由如下：由做法可知M为AD的中点， E为MD的中点，∴∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，ED∥BC，∴△DEF∽△BFC∴∵AD=BC∴∴．【点评】此题考查作图问题，关键是根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质解答．24．（5分）已知：如图，在四边形ABCD中，BD是一条对角线，∠DBC=30°，∠DBA=45°，∠C=70°．若DC=a，AB=b，请写出求tan∠ADB的思路．（不用写出计算结果）【分析】作DE⊥BC于点E、AF⊥BD于点F，Rt△CDF中可得DE=CDsinC=asin70°，Rt△BDE中可得BD=2DE=2asin30°，在由AF=BF=AB=b，据此得出DF、AF的长，从而得出答案．【解答】解：如图，（1）过D点作DE⊥BC于点E，可知△CDE和△DEB都是直角三角形；（2）由∠C=70°，可知sin∠C的值，在Rt△CDE中，由sin∠C和DC=a，可求DE 的长；（3）在Rt△DEB中，由∠DBC=30°，DE的长，可求BD的长；（4）过A点作AF⊥BD于点F，可知△DFA和△AFB都是直角三角形；（5）在Rt△AFB中，由∠DBA=45°，AB=b，可求AF和BF的长；（6）由DB、BF的长，可知DF的长；（7）在Rt△DFA中，由可求tan∠ADB．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建直角三角形、熟练掌握三角函数的运用．25．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，点E是BC边上一动点，联结AE，过点E作AE的垂线交直线CD于点F．已知AD=4cm，CD=2cm，BC=5cm，设BE的长为cm，CF的长为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量的变化而变化的规律进行探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与y的几组值，如下表：（2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=CF时，BE的长度约为0.6～0.8 cm．【分析】根据题意作图测量即可，第（3）问构造直线y=与所画图象求交点即可．【解答】解：（1）根据题意作图测量可得y=1.5故答案为：1.5（2）根据题意作图得（3）根据题意，所画图象于直线y=交点即为所求数值．故测量数据在0.6～0.8之间．故答案为：0.6～0.8【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象的画法和将数据条件转化为函数图象的思想．解答关键是标准作图、数形结合．26．（7分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：y=﹣2+n与抛物线y=m2﹣4m﹣2m﹣3相交于点A（﹣2，7）．（1）求m、n的值；（2）过点A作AB∥轴交抛物线于点B，设抛物线与轴交于点C、D（点C在点D的左侧），求△BCD的面积；（3）点E（t，0）为轴上一个动点，过点E作平行于y轴的直线与直线l和抛物线分别交于点P、Q．当点P在点Q上方时，求线段PQ的最大值．【分析】（1）把点A的坐标分别代入直线和抛物线解析式求得m、n的值即可；（2）利用抛物线解析式求得点C、D的坐标，结合抛物线的对称性和三角形的面积公式解答；（3）P（t，﹣2t+3），Q（ t，t2﹣4t﹣5），由2﹣4﹣5=﹣2+3得直线y=﹣2+3与抛物线y=2﹣4﹣5的两个交点坐标分别为（﹣2，7）和（4，﹣5），由两点间的距离公式和二次函数最值的求法解答．【解答】解：（1）把A（﹣2，7）代入y=﹣2+n，得7=4+n，解得n=3．把把A（﹣2，7）代入y=m2﹣4m﹣2m﹣3，得7=4m+8m﹣2m﹣3，解得m=1．综上所述，m=1，n=3；（2）由（1）知抛物线表达式为y=2﹣4﹣5令y=0得，2﹣4﹣5=0．解得1=﹣1，2=5，∴抛物线y=2﹣4﹣5与轴得两个交点C、D的坐标分别为C（﹣1，0），D（5，0）∴CD=6．∵A（﹣2，7），AB∥轴交抛物线于点B，根据抛物线的轴对称性，可知B（6，7）∵S△BCD=21；（3）据题意，可知P（t，﹣2t+3），Q（ t，t2﹣4t﹣5），由2﹣4﹣5=﹣2+3得直线y=﹣2+3与抛物线y=2﹣4﹣5的两个交点坐标分别为（﹣2，7）和（4，﹣5）∵点P在点Q上方∴﹣2＜t＜5，∴PQ=﹣t2+2t+8=﹣（ t﹣1）2+9∵a=﹣1∴PQ的最大值为9．【点评】考查了二次函数综合题，利用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及三角形的面积公式等知识点进行解答，另外注意二次函数图象的性质在解题过程中的应用，难度不是很大．27．（7分）在等腰△ABC中，AB=AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC 于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC=2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．【分析】（1）依据将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P，进行作图；（2）依据∠BAC=2α，∠AHB=90°，可得∠ABH=90°﹣2α，依据BA=BD，即可得到∠BDA=45°+α；（3）依据D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，可得DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，再判定△ABC≌△BDE，可得BC=DE，进而得到∠DPB=∠ADB﹣∠DBP=45°+α﹣α=45°，据此可得BC=DP．【解答】解：（1）如图：（2）∵∠BAC=2α，∠AHB=90°，∴∠ABH=90°﹣2α，∵BA=BD，∴∠BDA=45°+α；（3）补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG=GE，∠DBP=∠EBP，BD=BE，∵AB=AC，∠BAC=2α，∴∠ABC=90°﹣α，由（2）知∠ABH=90°﹣2α，∠DBP=90°﹣α﹣（90°﹣2α）=α，∴∠DBP=∠EBP=α，∴∠BDE=2α，∵AB=BD，∴△ABC≌△BDE，∴BC=DE，∴∠DPB=∠ADB﹣∠DBP=45°+α﹣α=45°，∴=，∴=，∴=，∴BC=DP．【点评】本题主要考查了利用旋转变换以及轴对称变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．28．（7分）在平面直角坐标系Oy中，点P的横坐标为，纵坐标为2，满足这样条件的点称为“关系点”．（1）在点A（1，2）、B（2，1）、M（，1）、N（1，）中，是“关系点”的A，M ；（2）⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；（3）点C的坐标为（3，0），若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P 的横坐标满足﹣2≤≤2．请直接写出⊙C的半径r的取值范围．【分析】（1）先判断出直线y=2上的点是“关系点”，再将点A，B，M，N的坐标代入判断即可得出结论；（2）构造直角三角形，即可得出结论；（3）先判断出满足条件的点的特点，再利用三角函数和平面坐标系中两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：（1）设点P的纵坐标为y，则y=2，∴点P在直线y=2上，即：直线y=2上的点称为“关系点”，当=1时，y=2×1=1，∴点A是“关系点”，当=2时，y=2×2=4≠1，∴点B不是“关系点”，当=时，y=2×=1，∴点M是“关系点”，∴点A，M是“关系点”，故答案为：A，M；（2）如图1，过点P作PG⊥轴于点G，设P（，2）∵OG2+PG2=OP2∴2+42=1∴52=1∴2=∴=∴P（，）或P（﹣，﹣）；（3）如图2，由（1）知，点P在直线y=2上，∵﹣2≤≤2，即：点（2，4）为B，（﹣2，﹣4）为A，过B作BE⊥轴于E，∴OE=2，BE=4，在Rt△BOE中，根据勾股定理得，OB==2，∴sin∠BOE===，①当⊙C与线段AB相切时，切点记作D，连接CD，∵C（3，0），∴OC=3，在Rt△COD中，sin∠COD=，∴，∴CD=，②当以点C为圆心的圆刚好过点B时，与线段的另一个交点记作F，⊙C的半径BC==，当以点C为圆心的圆刚好过点A时，⊙C的半径AC==，∵在⊙C上有且只有一个“关系点”P，∴点P和点D重合时，满足条件，点P在线段AF上时，满足条件（包括点A，不包括点F），∴t=或＜r≤．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了新定义“关系点”的理解掌握，直线解析式的确定，圆的切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，理解和应用新定义是解本题的关键．。
2019-2020学年北京市西城区九年级上册期末考试数学试题有答案【精美本】
北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A .35B . 45C . 34D . 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）．A .12y y >B .12y y =C .12y y <D .不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. A .(4,5)-，开口向上 B .(4,5)-，开口向下 C .(4,5)--，开口向上 D .(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A .48πB .24πC .4πD .2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）． A ．34° B ．46° C ．56° D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A .m ≤4B .<4mC . m ≥4-D .>4m - 7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB ACBP CB=8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ， 如果3=AD ，AC =10，那么EC = .xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的 取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2019-20209月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论： ①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1（21212 回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ． （1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 h （m ）0 8.75 （1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线ky x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图 形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠． （1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个 新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式； （2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ． （1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ； （2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段 AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．11。
2019-2020年北京市西城区九年级上册期末考试数学试题有答案-精华版
北京市西城区第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A.35 B. 45 C. 34 D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x =-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（）．A.12y y >B.12y y =C.12y y <D.不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A.m ≤4B.<4mC. m ≥4-D.>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）．A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．ABACBP CB =8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系Oy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系Oy 中，双曲线k y x =（≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（，b 为常数，≠0）中，= ，b= ．26．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系Oy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。
2019-2020学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．14．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：96．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P 是上任意一点，则∠P 的正切值为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为，线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°【分析】根据随机事件的意义，这个选项进行判断即可．解：“通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰”是必然事件；“随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数”因此选项B符合题意；“明天太阳从东方升起”是必然事件，不符合题意；“三角形的内角和是180°”因此“三角形的内角和是360°”是确定事件中的不可能事件，不符合题意；故选：B．2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】抛物线的顶点式为：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）．故选：A．3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据概率＝所求情况数与总情况数之比解答即可．解：∵共3个素数，分别是5，7，11，∴抽到的数是7的概率是；故选：C．4．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍【分析】根据相似三角形的性质解答．解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：D．6．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．解：如图，∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，∴连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，∵AP+BP＞AB，∴CD+EF＞AB；∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，∴＝，＝，∵+＝，∴+＝；∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，∴正确结论的序号是②③④，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3【分析】根据抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小．解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（1，3）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．故答案为：（1，3）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．【分析】直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式．解：∵射线l的端点为（0，1），l∥x轴，∴写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．故答案为：答案不唯一，如y＝．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为2．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．解：∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD＝，∴，，∴AB＝2，故答案为2．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝1，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝1，∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝π，故答案为：．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为．【分析】：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD＝∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD＝，从而得到tan∠P的值．解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠APB＝∠AOB，∴∠AOD＝∠APB，在Rt△AOD中，tan∠AOD＝＝，∴tan∠P＝．故答案为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为2．【分析】根据根与系数的关系解答即可．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），∴m+n＝﹣＝2．故答案是：2．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为0.920（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；（2）根据完好的概率进行列方程求解即可．解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920，故答案为：0.920；（2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得，m×0.920×x＝m×0.880，解得，x＝，故答案为：．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是①②③．【分析】如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC＝3，S△BOD＝3，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算S四边形OAPB和S△ACD得到m与n的关系可对对③进行判断．解：如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），∵S△AOC＝3，S△BOD＝3，∴S△AOC＝S△BOD；所以①正确；∵S△POA＝﹣n×＝﹣，S△POB＝﹣n×＝﹣，∴S△POA＝S△POB；所以②正确；∵S四边形OAPB＝﹣n×＝﹣，S△ACD＝×m×（﹣）＝3﹣，∴当﹣＝3﹣，即m2﹣mn﹣2n2＝0，所以m＝2n（舍去）或m＝﹣n，此时P点为无数个，所以③正确．故答案为①②③．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式＝＝1．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tan C＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC 的长，本题得以解决．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝4，BD＝，∵在Rt△ADC中，tan C＝，AD＝4，∴，∴CD＝3．∴BC＝BD+CD＝．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．【分析】首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°．根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．∴AB＝BD．∴∠ABD＝90°，∠BDC＝75°．∴∠BDA＝45°．∴∠ADC＝30°．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）根据题意设出y2的表达式，再把（0，0）代入，求出a的值，即可得出y2的表达式；（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，从而得出不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集．解：（1）根据题意设y2的表达式为：y2＝a（x+1）2﹣1，把（0，0）代入得a＝1，∴y2＝x2+2x；（2）当x＝﹣2时，y1＝y2＝0；当x＝1时，y1＝y2＝3；∴直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），而x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．故答案为：x＜﹣2或x＞1．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴OA＝OD．∵点C为OA的中点，CD⊥AB，∴AD＝OD．∴OA＝OD＝AD．∴△OAD是等边三角形．∴∠AOD＝60°．∴∠ABD＝30°．（2）如图2，∵∠ADE＝∠ABD，∴∠ADE＝30°．∵∠ADO＝60°．∴∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝2．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；【分析】阅读材料：证明△ACP∽△CBP．得出．由等腰直角三角形的性质得出CB＝AC得出＝．PC＝AP＝．得出PB＝PC＝2．解决问题：证明△ACP∽△CBP．得出＝，设AP＝a，则PC＝，得出PB＝3a．即可得出．【解答】阅读材料：解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴CB＝AC，∴＝．∵AP＝1，∴PC＝AP＝．∴PB＝PC＝2．故答案为：∠PBC；；2；解决问题：解：作AD⊥BC于D，如图2所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝BC，∴AD＝AC，CD＝AD，∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2AD，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴＝＝，设AP＝a，则PC＝，∴PB＝3a．∴．24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD 的长度；（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB＝2a，CD＝．即可求得AB＞CD．解：（1）∵AB∥x轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，∴B（3，1）．同理可求：C（1，3），D（，3）．∴AB＝2，CD＝．（2）AB＞CD．证明：∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，∴A（a，）．∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，∴B（3a，）．同理可求：C（a，），D（，）．∴AB＝2a，CD＝．∵a＞0，∴2a＞．∴AB＞CD．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为 2.98和1.35 cm．【分析】（1）由函数的定义可得；（2）描点即可；（3）结合图象，即可求解．解：（1）由函数的定义可得：BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数，故答案为：BM，DF，DM；（2）如图所示．（3）由图象得到：当DF＝2cm时，DM的长度约为2.98cm和1.35cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．【分析】（1）将点（3，3）代入解析式即可求得；（2）把y＝4代入y＝x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求得；（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况讨论，即可得结论．解：（1）将点（3，3）代入y＝ax2+bx，得9a+3b＝3．∴b＝﹣3a+1．（2）令x+4a+4＝4，得x＝﹣4a．∴B（﹣4a，4）．（3）∵a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∵A（1，4），B（﹣4a，4）∴点A、B所在的直线为y＝4，由（1）得b＝1﹣3a，则抛物线可化为：y＝ax2+（1﹣3a）x，分两种情况讨论：①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点时，且抛物线的顶点在点A、B之间，则1≤≤﹣4a或﹣4a≤≤1，方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，即（1﹣3a）2+16a＝0，解得a1＝﹣，a2＝﹣1，当a1＝﹣时，＝6（不符合题意），当a2＝﹣1时，＝2，则1≤≤﹣4a成立．②当抛物线经过点A时，即当x＝1，y＝4时，a+1﹣3a＝4，解得a＝﹣；∴a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，综上：a的取值为：a＝﹣1或a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB 上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）①由旋转得∠ACD＝120°，由三角形内角和得出∠DCB+∠ACO＝60°，∠OAC+∠ACO＝60°，即可得出结论；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝30°，∠AEC＝150°，得出∠AEC＝∠CBD，易证AE＝BC，由ASA证得△AEC≌△CBD，即可得出结论；（3）猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝60°，得出△OFC是等边三角形，则CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，由SAS证得△CFH≌△COA，得出∠H＝∠OAC，由三角形外角性质得出∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，则∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，由CA＝CD，∠ACD＝120°，得出∠CAD＝30°，即可得出∠DCH＝2∠DAH．【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∵∠MON＝120°，∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∴∠OAC＝∠DCB；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，由旋转得：∠CBD＝150°，∴∠AEC＝∠CBD，∵OA＝OB，OE＝OC，∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，，∴△AEC≌△CBD（ASA），∴CD＝CA；（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，∴△OFC是等边三角形，∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，在△CFH和△COA中，，∴△CFH≌△COA（SAS），∴∠H＝∠OAC，∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，∵CA＝CD，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为（0，1），线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为6；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ，M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝，CQ＝．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①当k＝1时，y＝x+4，Q（t﹣4，t），P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B （m，0），则圆心为C（，1），由CQ⊥PQ，可求CQ的解析式为y＝﹣x++1，Q 点横坐标为﹣＝t﹣4，则C（2t﹣5，1），再由CQ＝AC，得到t＝6或t＝2；②y ＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），PQ是圆的切线，AO是圆的弦，则有PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以1﹣2＜k≤﹣；当k ＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以≤k＜1+2．解：（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，∴PQ＝，故答案为（0，1）；；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）．∴M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．∴CQ＝．∵P（0，3），M（0，1），∴PM＝2．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，∴Q（t﹣4，t），∵1≤PA≤2，∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B（m，0），∴C（，1），∵CQ⊥PQ，∴CQ的解析式为y＝﹣x++1，∴Q点横坐标为﹣，∴﹣＝t﹣4，∴m＝4t﹣10，∴C（2t﹣5，1），∵CQ＝AC，∴（2t﹣5）2+1＝2（t﹣1）2，∴t＝6或t＝2，∴t的最大值为6；故答案为6．②∵﹣1≤x≤1，∵y＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，∴PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝﹣，∴1﹣2＜k≤﹣；当k＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝，∴≤k＜1+2．。
北京市顺义区2019-2020学年九年级上期末数学试卷(word版,(有答案))
2017-2020 学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8 道小题，每题 2 分，共 16 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个是切合题意的．1．实数 a、b、c、d 在数轴上的对应点的地点如下图，在这四个数中，绝对值最小的数是（）A．a B．b C． c D． dAB=12，AC=5，则cosC的值为（）2．如图，在△ABC中，∠A=90°．若A．B．C．D．3．如图是百度地图中截取的一部分，图中比率尺为1：60000，则卧龙公园到顺义地铁站的实际距离约为（注：比率尺等于图上距离与实质距离的比）（）A．1.5 公里B．1.8 公里C． 15 公里D． 18 公里4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位： A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如下图．则用电阻R 表示电流I 的函数表达式为（）A．B．C．D．5．二次函数的部分图象如下图，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y=﹣x2+2x+3B．y=x2+2x+3C． y=﹣x2+2x﹣3D． y=﹣x2﹣ 2x+36．如图，已知⊙ O 的半径为 6，弦 AB 的长为 8，则圆心 O 到 AB 的距离为（）A．B．C．D． 107．已知△ ABC，D，E 分别在 AB，AC边上，且 DE∥BC，AD=2，DB=3，△ ADE面积是 4，则四边形 DBCE的面积是（）A．6B．9C．21D．258．如图 1，点 P 从△ ABC的极点 A 出发，沿 A﹣B﹣C 匀速运动，到点 C 停止运动．点 P 运动时，线段 AP 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示，此中 D 为曲线部分的最低点，则△ ABC的面积是（）A．10B．12C． 20D． 24二、填空题（共8 道小题，每题 2 分，共 16 分）9．分解因式： a2b﹣2ab+b=．10．如图，利用成直角的墙角（墙足够长），用 10m 长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积 S（m2）与它一边长 a（m）的函数关系式是，面积S的最大值是．11．已知∠ α，∠ β如下图，则 tan∠α与 tan∠β的大小关系是．12．如图标志了△ ABC与△ DEF边、角的一些数据，假如再增添一个条件使△ABC∽△ DEF，那么这个条件能够是．（只填一个即可）13．已知矩形 ABCD中， AB=4，BC=3，以点 B 为圆心 r 为半径作圆，且⊙ B 与边 CD 有独一公共点，则 r 的取值范围是．14．已知 y 与 x 的函数知足以下条件：①它的图象经过（1，1）点；②当 x＞1 时， y 随 x 的增大而减小．写出一个切合条件的函数：．15．在△ ABC中，∠ A=45°，，BC=2，则AC的长为．16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y1=x2+2x+2 能够看作是抛物线y2=﹣x2﹣2x﹣ 1 经过若干次图形的变化（平移、翻折、旋转）获得的，写出一种由抛物线y2获得抛物线y1的过程：．三、解答题（共12 道小题，共 68 分）17．（5 分）解不等式组：．18．（5 分）计算： |﹣1|+ 2sin45﹣°+tan260°．19．（ 5 分）如图， E 是□ ABCD的边 BC延伸线上一点， AE交 CD于点 F，FG∥AD 交 AB 于点 G．（1）填空：图中与△ CEF相像的三角形有；（写出图中与△ CEF相像的全部三角形）（2）从（ 1）中选出一个三角形，并证明它与△ CEF相像．20．（5 分）制造弯形管道时，常常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．以下图是一段管道，此中直管道部分 AB 的长为 3 000mm，弯形管道部分 BC，CD 弧的半径都是 1 000mm，∠O= ∠ O’=90，°计算图中中心虚线的长度．（π取 3.14）21．（5 分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）在网格中，画出该函数的图象．（2）（ 1）中图象与 x 轴的交点记为 A， B，若该图象上存在一点C，且△ ABC的面积为 3，求点 C 的坐标．22．（5 分）已知：如图，在△ ABC的中， AD 是角均分线， E 是 AD 上一点，且 AB：AC=AE：AD．求证： BE=BD．23．（5 分）如下图，某小组同学为了丈量对面楼AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为 40 米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端 A 的仰角为 30°，底端 B 的俯角为 10°，请你依据以上数据，求出楼AB 的高度．（精准到 0.1 米）（参照数据： sin10 °≈0.17， cos10°≈ 0.98，tan10 °≈0.18，≈ 1.41，≈1.73）24．（6 分）已知：如图， AB 为⊙ O 的直径， CE⊥AB 于 E，BF∥OC，连结 BC，CF．求证：∠ OCF=∠ECB．25．（6 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 y=x﹣2 与双曲线 y= （k≠0）订交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标是 3．（1）求 k 的值；（2）过点 P（0，n）作直线，使直线与 x 轴平行，直线与直线 y=x﹣ 2 交于点 M ，与双曲线 y= （ k≠ 0）交于点 N，若点 M 在 N 右侧，求 n 的取值范围．26．（7 分）已知：如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AC为直径作⊙ O 交 BC于点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 AB 于点 E，交 AC 的延伸线于点 F．（1）求证： DE⊥ AB；（2）若 tan∠ BDE= ， CF=3，求 DF 的长．27．（7 分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（全部横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的极点恰好在横线上，发现这样能求出三角形的边长．（1）如图 1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，同学们经过结构直角三角形的方法求出三角形三边的长，则AB=；（2）如图 2，已知直角三角形纸片△DEF，∠ DEF=90°，EF=2DE，求出 DF的长；（3）在（ 2）的条件下，若橫格纸上过点 E 的横线与 DF 订交于点 G，直接写出 EG的长．28．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点A（﹣ 3，4）．（1）求 b 的值；（2）过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB 上任取一点P，作点 A 对于直线OP 的对称点 C；①当点 C 恰好落在 x 轴时，求直线 OP的表达式；②连结 BC，求 BC的最小值．2017-2020 学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（共8 道小题，每题 2 分，共 16 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个是切合题意的．1．实数 a、b、c、d 在数轴上的对应点的地点如下图，在这四个数中，绝对值最小的数是（）A．a B．b C． c D． d【剖析】依据数轴上某个数与原点的距离的大小确立结论．【解答】解：由图可知： c 到原点 O 的距离最短，因此在这四个数中，绝对值最小的数是c；应选： C．【评论】本题考察了绝对值的定义、实数大小比较问题，娴熟掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数．2．如图，在△ ABC中，∠ A=90°．若AB=12，AC=5，则cosC的值为（）A．B．C．D．【剖析】利用勾股定理列式求出BC，再依据锐角的余弦等于邻边比斜边解答．【解答】解：依据勾股定理得，BC===13，因此， cosC= =．应选： A．【评论】本题考察锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图是百度地图中截取的一部分，图中比率尺为1：60000，则卧龙公园到顺义地铁站的实际距离约为（注：比率尺等于图上距离与实质距离的比）（）A．1.5 公里B．1.8 公里C． 15 公里D． 18 公里【剖析】先量出卧龙公园到顺义地铁站的图上距离，再依据比率尺的定义即可求解．【解答】解：丈量可知，卧龙公园到顺义地铁站的图上距离约3cm，3× 60000=180000cm=1.8km．应选： B．【评论】考察了比率尺的定义，比率尺=图上距离：实质距离．4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位： A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如下图．则用电阻R 表示电流 I 的函数表达式为（）A．B．C．D．【剖析】依据函数图象可用电阻R 表示电流 I 的函数分析式为I=，再把（2，3）代入可得k 的值，从而可得函数分析式．【解答】解：设用电阻 R 表示电流 I 的函数分析式为I=，∵过（ 2， 3），∴k=3×2=6，∴I= ，应选： D．【评论】本题主要考察了待定系数法求反比率函数分析式，重点是掌握凡是函数图象经过的点必能知足分析式．5．二次函数的部分图象如下图，对称轴是 x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）A ．y=﹣x 2+2x+3B ．y=x 2+2x+3C ． y=﹣x 2+2x ﹣3D ． y=﹣x 2﹣ 2x+3【剖析】 由抛物线的对称轴为直线x=﹣1设分析式为y=a （ x 1） 2k ，将（﹣ 3， 0）、（0，3）++代入求出 a 、k 的值即可得．【解答】 解：由图象知抛物线的对称轴为直线 x=﹣ 1，过点（﹣ 3，0）、（0，3），设抛物线分析式为 y=a （ x 1）2 k ，++将（﹣ 3， 0）、（0，3）代入，得： ，解得：，则抛物线分析式为 y=﹣（ x+1） 2+4=﹣x 2﹣ 2x+3，应选： D ．【评论】本题主要考察待定系数法求函数分析式，解题的重点是依据题意设出适合的二次函数分析式．6．如图，已知⊙ O 的半径为 6，弦 AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离为（）A ．B ．C ．D ． 10【剖析】连结 OA ，作 OE ⊥AB 于 E ．依据垂径定理可得 AE=4，利用勾股定理能够求出 OE 的长度．【解答】 解：如图，连结 OA ，作 OE ⊥ AB 于 E ．∵OE ⊥ AB ， AB=8∴AE=EB= AB=4，在 Rt△ AOC中，∵∠ AEO=90°，OA=6． AE=4，∴OE===2．应选： B．【评论】本题考察垂径定理、勾股定理等知识，解题的重点是学会增添协助线，结构直角三角形解决问题，属于中考常考题型．7．已知△ ABC，D，E 分别在 AB，AC边上，且 DE∥BC，AD=2，DB=3，△ ADE面积是 4，则四边形 DBCE的面积是（）A．6B．9C．21D．25【剖析】先判断△ ADE∽△ ABC，再依据相像三角形的面积之比=相像比的平方即可获得结论．【解答】解：∵ DE∥ BC，∴△ ADE∽△ ABC，∴= ，∵AD=2，DB=3，∴= = ，∴=（）2= ，∵△ ADE的面积是 4，∴△ ABC的面积是 25，∴四边形 DBCE的面积是 25﹣ 4=21，应选： C．【评论】本题考察的是相像三角形的判断和性质，掌握相像三角形的面积的比等于相像比的平方是解题的重点．8．如图 1，点 P 从△ ABC的极点 A 出发，沿 A﹣B﹣C 匀速运动，到点 C 停止运动．点 P 运动时，线段 AP 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示，此中 D 为曲线部分的最低点，则△ ABC的面积是（）A．10B．12C． 20D． 24【剖析】依据图象可知点P 在 AB 上运动时，此时 AP 不停增大，而从 B 向 C 运动时， AP 先变小后变大，从而可求出BC与 BC上的高．【解答】解：依据图象可知，点P 在 AB 上运动时，此时AP 不停增大，由图象可知：点P 从 A 向 B 运动时， AP 的最大值为 5，即 AB=5，点 P 从 B 向 C运动时， AP的最小值为 4，即 BC边上的高为 4，∴当 AP⊥BC，AP=4，此时，由勾股定理可知：BP=3，因为图象的曲线部分是轴对称图形，∴PC=3，∴BC=6，∴△ ABC的面积为：× 4× 6=12，应选： B．【评论】本题考察动点问题的函数图象，解题的重点是注意联合图象求出BC与 AB 的长度．二、填空题（共8 道小题，每题 2 分，共 16 分）9．分解因式： a2b﹣2ab+b= b（ a﹣ 1）2．【剖析】先提取公因式 b，再利用完整平方公式行二次分解．【解答】解： a2b 2ab+b，=b（a22a+1），⋯（提取公因式）=b（a 1）2．⋯（完整平方公式）【点】本考了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完整平方公式行二次分解，注意要分解底．10．如，利用成直角的角（足），用 10m 的成一个矩形的小花园，花园的面 S（m2）与它一 a（m）的函数关系式是S= a2+10a，面S的最大是25．【剖析】由一 am 知另一的度（ 10 a）m，再依据矩形的面公式得出函数分析式，将其配方成点式可得面最大．【解答】解：当矩形的一 am ，另一的度（ 10 a）m，矩形的面 S=a（10 a）= a2 +10a=（ a 5）2+25，∴当 a=5 ，矩形的面获得最大，最大 25m2，故答案： S=a2 +10a， 25．【点】本主要考二次函数的用，解的关是矩形的面公式及二次函数的性．11．已知∠ α，∠ β如所示， tan∠α与 tan∠β的大小关系是tan∠α＜tan∠β ．【剖析】利用三角形外角的性得出∠ β＞∠α，而利用角三角函数增减性得出答案．【解答】解：由形可得：∠ β＞∠ α，tan∠α＜tan∠β．故答案： tan ∠α＜tan∠β．【点】此主要考了角三角函数关系，正确掌握有关定是解关．12．如了△ ABC与△ DEF、角的一些数据，假如再增添一个条件使△ABC∽△ DEF，那么个条件能够是DF=6．（只填一个即可）【剖析】依据相像三角形的判断定理：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相像或有两组角对应相等的两个三角形相像，增添条件可得．【解答】解：∵∠ A=∠D=80°，= =，∴当=，即=，DF=6时，△ ABC∽△ DEF；或当∠ C=∠F=60°时，△ ABC∽△ DEF，故答案为： DF=6．【评论】本题主要考察相像三角形的判断，解题的重点是娴熟掌握相像三角形的判断定理．13．已知矩形 ABCD中， AB=4，BC=3，以点 B 为圆心 r 为半径作圆，且⊙ B 与边 CD 有独一公共点，则 r 的取值范围是 3≤r≤ 5 ．【剖析】因为 BD＞ AB＞BC，依据点与圆的地点关系获得3≤r ≤5．【解答】解：∵矩形 ABCD中， AB=4，BC=3，∴BD=AC==5，AD=BC=3，CD=AB=4，∵以点 B 为圆心作圆，⊙ B 与边 CD有独一公共点，∴⊙ B 的半径 r 的取值范围是： 3≤r ≤5；故答案为： 3≤r≤5【评论】本题考察了点与圆的地点关系以及矩形的性质．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当 d＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上，当d＜r 时，点在圆内．14．已知 y 与 x 的函数知足以下条件：①它的图象经过（1，1）点；②当 x＞1 时， y 随 x 的增大而减小．写出一个切合条件的函数：y=﹣（ x﹣ 1）2+1．【剖析】可考虑一次函数、二次函数的分析式，本题答案不独一，只需切合条件即可．【解答】解：切合条件的函数能够是一次函数、二次函数，如y=﹣x， y=﹣（ x﹣ 1）2+1 等．故答案为：y=﹣（ x﹣1）2+1．【评论】本题主要考察一次函数的性质，是开放性题目，答案不独一，只需知足条件即可．15．在△ ABC中，∠ A=45°，，BC=2，则AC的长为+1 或﹣1．【剖析】过点 B 作 BD⊥AC 于 D，判断出△ ADB 是等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质求出 AD、BD，在 Rt△BCD中，利用勾股定理列式求出CD，进一步求出 AC即可．【解答】解：过点 B 作 BD⊥AC于 D，∵∠ A=45°，∴△ ADB 是等腰直角三角形，∵，∴AD=BD=，CD==1，如图 1， AC=+1；如图 2， AC=﹣ 1．故 AC的长为+1 或﹣ 1．故答案为：+ 1 或﹣1．【评论】本题主要考察了勾股定理，等腰直角三角形的判断与性质，作协助线，结构出两个直角三角形是解题的重点．1 22x 2能够看作是抛物线y22﹣2x﹣ 1经过若干16．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y =x + +=﹣x 次图形的变化（平移、翻折、旋转）获得的，写出一种由抛物线y2获得抛物线 y1的过程：将抛物线 y2绕极点（﹣ 1， 0）顺时针方向旋转180 度，而后沿 y 轴向上挪动 1 个单位，即可获得抛物线 y1．【剖析】依据抛物线的极点坐标和张口方向的变化进行解答．【解答】解：抛物线 y1=x2+2x+2=（ x+1）2+1，极点坐标是（﹣ 1，1），张口方向向上，抛物线 y2=﹣x2﹣2x﹣ 1=﹣（ x+1）2，极点坐标是（﹣ 1， 0），张口方向向下，因此，将抛物线y2绕极点（﹣ 1，0）顺时针方向旋转180 度，而后沿 y 轴向上挪动 1 个单位，即可获得抛物线y1．故答案是：将抛物线y2绕极点（﹣ 1， 0）顺时针方向旋转180 度，而后沿 y 轴向上挪动 1 个单位，即可获得抛物线y1．【评论】主要考察了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求娴熟掌握平移的规律：左加右减，上加下减．三、解答题（共12 道小题，共 68 分）17．（5 分）解不等式组：．【剖析】第一解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：由不等式①得 x≤ 8．由不等式②得 x＞﹣ 1；∴不等式组的解集为﹣ 1＜ x≤ 8．【评论】本题考察的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应按照以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．18．（5 分）计算：|1|+2sin45﹣°tan260°．﹣+【剖析】本题波及绝对值、特别角的三角函数值、平方、二次根式化简 4 个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，而后依据实数的运算法例求得计算结果．【解答】解：===2．【评论】本题主要考察了实数的综合运算能力，是各地中考题中常有的计算题型．解决此类题目的重点是娴熟掌握绝对值、特别角的三角函数值、平方、二次根式等考点的运算．19．（ 5 分）如图， E 是□ ABCD的边 BC延伸线上一点， AE交 CD于点 F，FG∥AD 交 AB 于点G．（1）填空：图中与△ CEF相像的三角形有△ADF，△ EBA，△ FGA ；（写出图中与△ CEF相似的全部三角形）（2）从（ 1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF相像．【剖析】（ 1）依据已知及相像三角形的判断方法进行剖析，从而获得图中与△CEF相像的三角形；（2）依据已知及相像三角形的判断方法进行剖析，从而获得答案．【解答】（ 1）解：与△ CEF相像的三角形有：△ ADF，△ EBA，△FGA；故答案为：△ ADF，△ EBA，△ FGA；（2）证明：△ ADF∽△ ECF∵四边形 ABCD为平行四边形，∴BE∥ AD，∴∠1=∠E，∠2=∠D，∴△ ADF∽△ ECF．【评论】本题考察的是相像三角形的判断，熟知有两组角对应相等的两个三角形相像是解答此题的重点．20．（5 分）制造弯形管道时，常常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．以下图是一段管道，此中直管道部分 AB 的长为 3 000mm，弯形管道部分 BC，CD 弧的半径都是 1 000mm，∠O= ∠ O’=90，°计算图中中心虚线的长度．（π取 3.14）【剖析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度3000 即可．【解答】解：，中心虚线的长度为3000 500π× 2=3000 1000π=30001000×3.14=6140．+++【评论】本题主要考察了扇形的弧长公式，这个公式要切记．弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R）．21．（5 分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）在网格中，画出该函数的图象．（2）（ 1）中图象与 x 轴的交点记为 A， B，若该图象上存在一点C，且△ ABC的面积为 3，求点 C 的坐标．【剖析】（ 1）把函数分析式整理成极点式形式，而后写出极点坐标和对称轴即可，而后令y=0解方程求出 x 的值，即可获得与x 轴的坐标即可；（2）先去的 A、B 的坐标，而后依据三角形的面积求得高，从而求得 C 的坐标．【解答】解：（1）（2）令 y=0，代入 y=x2﹣4x+3，则 x=1，3，∴A（0，1）， B（ 0， 3），∴ AB=2，∵△ ABC的面积为 3，∴AB 为底的高为 3，令 y=3，代入 y=x2﹣4x+3，则 x=0， 4，∴C（0，3）或（ 4， 3）．【评论】本题考察了二次函数图象以及二次函数的性质，主要考察了极点坐标的求解和与 x 轴的交点的求解方法，利用数形联合的思想求解是解题的重点．22．（5 分）已知：如图，在△ ABC的中， AD 是角均分线， E 是 AD 上一点，且 AB：AC=AE：AD．求证： BE=BD．【剖析】由 AD 为角均分线获得一对角相等，再依据已知比率式，利用两边对应成比率且夹角相等获得三角形ABE与三角形 ACD相像，利用相像三角形的对应角相等及等角平等边即可得证．【解答】证明：∵ AD 是角均分线，∴∠1=∠2，又∵ AB：AC=AE：AD，∴△ ABE∽△ ACD，∴∠3=∠4，∴∠ BED=∠BDE，∴BE=BD．【评论】本题考察了相像三角形的判断与性质，娴熟掌握相像三角形的判断与性质是解本题的重点．23．（5 分）如下图，某小组同学为了丈量对面楼AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为 40 米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端 A 的仰角为 30°，底端 B 的俯角为 10°，请你依据以上数据，求出楼AB 的高度．（精准到 0.1 米）（参照数据： sin10 °≈0.17， cos10°≈ 0.98，tan10 °≈0.18，≈ 1.41，≈1.73）【剖析】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，在 Rt△ADE中 tan∠1=，∠ 1=30°，可得AE=DE× tan∠ 1，代入相应数据可得AE 长，在 Rt△ DEB中，tan∠ 2=，代入相应数据可得EB长，从而可得AB=AE+BE的长，【解答】解：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，在 Rt△ ADE中，∠ AED=90°，tan∠1=，∠ 1=30°，∴AE=DE× tan∠1=40× tan30 °=40×≈ 40×1.73×≈23.1在 Rt△ DEB中，∠ DEB=90°，tan∠2=，∠ 2=10°，∴BE=DE× tan∠ 2=40× tan10 °≈ 40×0.18=7.2，∴AB=AE+BE≈ 23.1+7.2=30.3 米．【评论】本题主要考察认识直角三角形的应用，重点是读懂题意，把实质问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．24．（6 分）已知：如图， AB 为⊙ O 的直径， CE⊥AB 于 E，BF∥OC，连结 BC，CF．求证：∠ OCF=∠ECB．【剖析】延伸 CE交⊙ O 于点 G，利用圆周角的性质进行解答即可．【解答】证明：延伸 CE交⊙ O 于点 G．∵AB 为⊙ O 的直径， CE⊥AB 于 E，∴BC=BG，∴∠ G=∠2，∵BF∥ OC，∴∠1=∠F，又∵∠ G=∠F，∴∠1=∠2．即∠ OCF=∠ECB．【评论】本题考察圆周角定理，重点是依据圆周角定理解答．25．（6 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 y=x﹣2 与双曲线 y= （k≠0）订交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标是 3．（1）求 k 的值；（2）过点 P（0，n）作直线，使直线与 x 轴平行，直线与直线 y=x﹣ 2 交于点 M ，与双曲线 y= （ k≠ 0）交于点 N，若点 M 在 N 右侧，求 n 的取值范围．【剖析】（ 1）把 A 横坐标代入一次函数分析式求出纵坐标，确立出 A 坐标，代入反比率分析式求出 k 的值即可；（2）依据题意画出直线，依据图象确立出点M 在 N 右侧时 n 的取值范围即可．【解答】解：（1）令 x=3，代入 y=x﹣2，则 y=1，∴A（3，1），∵点 A（ 3， 1）在双曲线 y=（k≠ 0）上，∴k=3；（2）联立得：，解得：或，即B（﹣ 1，﹣ 3），如下图：当点 M 在 N 右侧时， n 的取值范围是 n＞1 或﹣ 3＜n＜0．【评论】本题考察了一次函数与反比率函数的交点问题，利用了数形联合的思想，娴熟掌握待定系数法是解本题的重点．26．（7 分）已知：如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AC为直径作⊙ O 交 BC于点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 AB 于点 E，交 AC 的延伸线于点 F．（1）求证： DE⊥ AB；（2）若 tan∠ BDE= ， CF=3，求 DF 的长．【剖析】（1）连结 OD，由 EF为圆 O 的切线，利用切线的性质获得OD 与 EF垂直，又 OD=OC，利用等边平等角获得一对角相等，再由AB=AC，依据等边平等角获得另一对角相等，等量代换可得出一对同位角相等，依据同位角相等两直线平行可得出OD 与 AB 平行，由与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，即可得证；（2）连结 AD，依据相像三角形的判断和性质解答即可．【解答】证明：（1）连结 OD，∵EF切⊙O 于点 D，∴OD⊥EF，又∵OD=OC，∴∠ODC=∠ OCD，∵AB=AC，∴∠ ABC=∠OCD，∴∠ ABC=∠ODC，∴AB∥ OD，∴DE⊥ AB；（2）连结 AD，∵AC 为⊙ O 的直径，∴∠ ADB=90°，∴∠ B+∠BDE=90°，∠ B+∠1=90°，∴∠ BDE=∠1，∵AB=AC，∴∠1=∠2．又∵∠ BDE=∠ 3，∴∠2=∠3．∴△ FCD∽△ FDA，∴，∵t an ∠BDE= ，∴t an ∠2= ，∴，∴，∵CF=3，∴FD=6．【评论】本题考察了切线的性质，娴熟掌握性质及定理是解本题的重点．27．（7 分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（全部横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的极点恰好在横线上，发现这样能求出三角形的边长．（1）如图 1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，同学们经过结构直角三角形的方法求出三角形三边的长，则AB=；（2）如图 2，已知直角三角形纸片△DEF，∠ DEF=90°，EF=2DE，求出 DF的长；（3）在（ 2）的条件下，若橫格纸上过点 E 的横线与 DF 订交于点 G，直接写出 EG的长．【剖析】（ 1）依据全等三角形的判断和性质得出AD=CE=3， BE=DC=2，从而利用勾股定理解答即可；（2）过点 E 作横线的垂线，交l1， l2于点 M，N，依据相像三角形的判断和性质解答即可；（3）利用梯形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）如图 1，∵∠ DAC+∠ACD=90°，∠ ACD+∠ECB=90°，∴∠ DAC=∠ECB，在△ ADC与△ BCE中，，∴△ ADC≌△ BCE，∴AD=CE=3，BE=DC=2，∴，∴AB==；故答案为：（2）过点 E 作横线的垂线，交l1，l2于点 M， N，∴∠ DME=∠EDF=90°，∵∠ DEF=90°，∴∠ 2+∠3=90°，∵∠ 1+∠3=90°，∴∠1=∠2，∴△ DME∽△ ENF，∴，∵EF=2DE，∴，∵ME=2，EN=3，∴NF=4，DM=1.5，依据勾股定理得DE=2.5，EF=5，（3）依据（ 2）可得：，，即，解得： EG=2.5．【评论】本题考察三角形综合题，重点是依据全等三角形的判断和性质、相像三角形的判断和性质进行解答．28．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线（1）求 b 的值；（2）过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点OP C B，在直线经过点 A（﹣ 3，4）．AB 上任取一点 P，作点 A 对于直线①当点 C 恰好落在 x 轴时，求直线 OP的表达式；②连结 BC，求 BC的最小值．【剖析】（ 1）将点 A 的坐标代入二次函数分析式求得 b 的值；（2）①依据对称的性质，联合点 A 的坐标求得点 P 的坐标，而后利用待定系数法求得直线解析式；③以 O 为圆心， OA 长为半径作⊙ O，连结 BO，交⊙ O 于点 C，联合点与坐标的性质，点与圆的地点关系求 BC的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣3，4）令 x=﹣3，代入，则，∴b=﹣ 1；（2）①如图：由对称性可知 OA=OC，AP=CP，∵AP∥ OC，∴∠1=∠2，又∵∠ AOP=∠2，∴∠ AOP=∠ 1，∴AP=AO，∵A（﹣ 3，4），∴AO=5，∴AP=5，∴P1（2，4），同理可得 P2（﹣ 8，4），∴OP 的表达式为 y=2x 或．②如图：以 O 为圆心， OA 长为半径作⊙ O，连结 BO，交⊙ O 于点C ∵B（12， 4），∴OB=，∴BC的最小值为．【评论】考察了二次函数综合题．掌握待定系数法求二次函数、一次函数分析式，对称是性质的应用，点的坐标与图形的性质以及点与圆的地点关系等知识点，综合性比较强，难度较大．。