高中数学选修2-3(人教A版)配套课件：1.2.1第二课时 排列及排列数公式
【解】 (1)先考虑甲站在中间有 1 种方法,再在余下的 6 个 位置排另外 6 位同学,共 A6 6＝ 720(种 )排法． (2)先考虑甲、乙站在两端的排法有 A2 2种 ,再在余下的 5 个
2 5 位置排另外 5 位同学的排法有 A5 5种 ,共 A2A 5＝ 240(种 )排法．
(3)法一:先考虑在除两端外的 5 个位置选 2 个安排甲、 乙有 5 A2 种 , 再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学的排法有 A 5 5种 ,
【名师点评】
(1)某些元素要求不相邻时,可以先安排
其他元素,再将这些不相邻元素插入空位,这种方法称为 “插空法”,即“不相邻元素插空法”． (2)对于某些元素“相邻”的排列问题,一般采用“捆绑法”, 即先把相邻的若干个元素 “捆绑 ”为一个大元素与其余 元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列．
第一章
计数原理
第二课时
排列的应用
学习导航
新知初探思维启动
排列应用题最基本的解法 特殊 元素的要求, (1)直接法:以元素为考察对象,先满足_____ 一般 元素 ( 又称为元素分析法 ); 若以位置为考 再考虑 ______ 特殊 位置的要求 , 再考虑 ______ 一般 位置 ( 察对象 , 先满足 ______ 又称位置分析法)． (2) 间接法 : 先不考虑附加条件 , 计算出总排列数 , 再减去 不合要求 的排列数． ___________
做一做
1.4人站成一排照相,甲、乙两人站两端,有________种不
同站法．
答案:4
2．由 0,1,2,3可以组成 ________个没有重复数字的三位
数．
答案:18
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 无限制条件的排列
例1 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直 的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面,并且
跟踪训练 2．某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌、3个 舞蹈、 3 个曲艺节目 , 求分别满足下列条件的节目编排
方法有多少种？
(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;
(2)2个唱歌节目互不相邻;
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
6 解 :(1)先排唱歌节目有 A2 种排法 , 再排其他节目有 A 2 6种排
5 共 A2 A 5 5＝ 2 400(种)排法． 法二:考虑特殊位置优先法 ,即两端的排法有 A2 5种 ,中间 5 个 2 5 位置有 A5 5种 ,共 A5A5＝ 2 400(种 )排法．
【名师点评】 “ 在 ” 与 “不在 ” 的有限制条件的排列问 题,既可以从元素入手,也可以从位置入手,原则是谁“特 殊”谁优先． 从元素入手时,先给特殊元素安排位置,再把其他元素安 排在剩余位置上 ; 从位置入手时 , 先安排特殊位置 , 再安 排其他位置．注意:无论从元素考虑还是从位置考虑,都 要贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置．
法 ,所以共有 A2 A6 2· 6＝ 1 440(种 )排法． (2)先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A6 6种排法 ,再从其 中 7 个空 (包括两端 )中选 2 个排唱歌节目 ,有 A2 7种插入方法 ,
2 所以共有 A6 · A 6 7＝ 30 240(种 )排法．
(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素 ,与 3 个曲艺节目排
1 1 ②个位是 2 或 4 时 ,有 A1 · A · A 2 2 2＝ 8(个)．
∴满足条件的偶数共有 6＋ 8＝14(个 )．
题型三
“邻”与“不邻”问题
例3 3 名男生、 4 名女生按照不同的要求排队 , 求不同 的排队方法的种数． (1)全体站成一排,男、女各站在一起; (2)全体站成一排,男生必须站在一起;
3 列共 A4 种排法 , 再将 3 个舞蹈节目插入 , 共有 A 4 5种插入方法 ,
(3)全体站成一排,男生不能站在一起;
(4)全体站成一排,男、女各不相邻．
【解】 (1)男生必须站在一起是男生的全排列 ,有 A3 3种排法 ; 女生必须站在一起是女生的全排列 ,有 A4 4种排法 ; 全体男生、女生各视为一个元素 ,有 A2 2种排法．由分步计数 原理知 ,共有 A3 A4 A2 3· 4· 2＝ 288 种排队方法． (2)三个男生全排列有 A3 3种方法 ,把所有男生视为一个元素 , 3 5 与 4 名女生组成 5 个元素全排列 ,有 A5 种排法． 故有 A A 5＝ 5 3· 720 种排队方法． (3)先安排女生 ,共有 A4 4种排法 ;男生在 4 个女生隔成的五个空 中安排 ,共有 A3 5种排法 , 故共有 A4 A3 4· 5＝1 440 种排法． (4)排好男生后让女生插空 , 4 共有 A3 · A 3 4＝ 144 种排法．
跟踪训练 1．由四个不同数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数．
(1)若x＝5,其中能被5整除的共有多少个？
(2)若x＝0,其中的偶数共有多少个？
解 :(1)5 必在个位 ,所以能被 5 整除的三位数共有 A2 3 ＝ 6(个 )． (2)偶数数字有 3 个 ,个位数必是一偶数 ,同时 0 不能在百位 , 可分两类考虑: ① 0 在个位 ,有 A2 3＝ 6(个 )．
【答案】
15
【名师点评】
没有限制的排列问题,即对所排列的元
素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即Fra bibliotek．题型二
“在”与“不在”的问题
例2 7位同学站成一排． (1)其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示________ 种不同信号．
【解析】
如果把3面旗看作3个元素,那么“表示信号”
这件事则是从 3个元素中每次取出 1 个、 2个或 3 个元素 的排列问题,分3类完成．
第1类,挂1面旗表示信号,有A种不同方法;
第2类,挂2面旗表示信号,有A种不同方法; 第3类,挂3面旗表示信号,有A种不同方法． 根据分类加法计数原理,可以表示的信号共有A＋A＋A ＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．
2 5 位置排另外 5 位同学的排法有 A5 5种 ,共 A2A 5＝ 240(种 )排法．
(3)法一:先考虑在除两端外的 5 个位置选 2 个安排甲、 乙有 5 A2 种 , 再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学的排法有 A 5 5种 ,
【名师点评】
(1)某些元素要求不相邻时,可以先安排
其他元素,再将这些不相邻元素插入空位,这种方法称为 “插空法”,即“不相邻元素插空法”． (2)对于某些元素“相邻”的排列问题,一般采用“捆绑法”, 即先把相邻的若干个元素 “捆绑 ”为一个大元素与其余 元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列．
第一章
计数原理
第二课时
排列的应用
学习导航
新知初探思维启动
排列应用题最基本的解法 特殊 元素的要求, (1)直接法:以元素为考察对象,先满足_____ 一般 元素 ( 又称为元素分析法 ); 若以位置为考 再考虑 ______ 特殊 位置的要求 , 再考虑 ______ 一般 位置 ( 察对象 , 先满足 ______ 又称位置分析法)． (2) 间接法 : 先不考虑附加条件 , 计算出总排列数 , 再减去 不合要求 的排列数． ___________
做一做
1.4人站成一排照相,甲、乙两人站两端,有________种不
同站法．
答案:4
2．由 0,1,2,3可以组成 ________个没有重复数字的三位
数．
答案:18
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 无限制条件的排列
例1 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直 的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面,并且
跟踪训练 2．某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌、3个 舞蹈、 3 个曲艺节目 , 求分别满足下列条件的节目编排
方法有多少种？
(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;
(2)2个唱歌节目互不相邻;
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
6 解 :(1)先排唱歌节目有 A2 种排法 , 再排其他节目有 A 2 6种排
5 共 A2 A 5 5＝ 2 400(种)排法． 法二:考虑特殊位置优先法 ,即两端的排法有 A2 5种 ,中间 5 个 2 5 位置有 A5 5种 ,共 A5A5＝ 2 400(种 )排法．
【名师点评】 “ 在 ” 与 “不在 ” 的有限制条件的排列问 题,既可以从元素入手,也可以从位置入手,原则是谁“特 殊”谁优先． 从元素入手时,先给特殊元素安排位置,再把其他元素安 排在剩余位置上 ; 从位置入手时 , 先安排特殊位置 , 再安 排其他位置．注意:无论从元素考虑还是从位置考虑,都 要贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置．
法 ,所以共有 A2 A6 2· 6＝ 1 440(种 )排法． (2)先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A6 6种排法 ,再从其 中 7 个空 (包括两端 )中选 2 个排唱歌节目 ,有 A2 7种插入方法 ,
2 所以共有 A6 · A 6 7＝ 30 240(种 )排法．
(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素 ,与 3 个曲艺节目排
1 1 ②个位是 2 或 4 时 ,有 A1 · A · A 2 2 2＝ 8(个)．
∴满足条件的偶数共有 6＋ 8＝14(个 )．
题型三
“邻”与“不邻”问题
例3 3 名男生、 4 名女生按照不同的要求排队 , 求不同 的排队方法的种数． (1)全体站成一排,男、女各站在一起; (2)全体站成一排,男生必须站在一起;
3 列共 A4 种排法 , 再将 3 个舞蹈节目插入 , 共有 A 4 5种插入方法 ,
(3)全体站成一排,男生不能站在一起;
(4)全体站成一排,男、女各不相邻．
【解】 (1)男生必须站在一起是男生的全排列 ,有 A3 3种排法 ; 女生必须站在一起是女生的全排列 ,有 A4 4种排法 ; 全体男生、女生各视为一个元素 ,有 A2 2种排法．由分步计数 原理知 ,共有 A3 A4 A2 3· 4· 2＝ 288 种排队方法． (2)三个男生全排列有 A3 3种方法 ,把所有男生视为一个元素 , 3 5 与 4 名女生组成 5 个元素全排列 ,有 A5 种排法． 故有 A A 5＝ 5 3· 720 种排队方法． (3)先安排女生 ,共有 A4 4种排法 ;男生在 4 个女生隔成的五个空 中安排 ,共有 A3 5种排法 , 故共有 A4 A3 4· 5＝1 440 种排法． (4)排好男生后让女生插空 , 4 共有 A3 · A 3 4＝ 144 种排法．
跟踪训练 1．由四个不同数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数．
(1)若x＝5,其中能被5整除的共有多少个？
(2)若x＝0,其中的偶数共有多少个？
解 :(1)5 必在个位 ,所以能被 5 整除的三位数共有 A2 3 ＝ 6(个 )． (2)偶数数字有 3 个 ,个位数必是一偶数 ,同时 0 不能在百位 , 可分两类考虑: ① 0 在个位 ,有 A2 3＝ 6(个 )．
【答案】
15
【名师点评】
没有限制的排列问题,即对所排列的元
素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即Fra bibliotek．题型二
“在”与“不在”的问题
例2 7位同学站成一排． (1)其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示________ 种不同信号．
【解析】
如果把3面旗看作3个元素,那么“表示信号”
这件事则是从 3个元素中每次取出 1 个、 2个或 3 个元素 的排列问题,分3类完成．
第1类,挂1面旗表示信号,有A种不同方法;
第2类,挂2面旗表示信号,有A种不同方法; 第3类,挂3面旗表示信号,有A种不同方法． 根据分类加法计数原理,可以表示的信号共有A＋A＋A ＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．
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人教A版高中数学选择性必修第三册《排列与组合》知识探究课件
多少张?
思路 解决本题需要先把实际问题抽象成数学问题,根据对排列与组合定义的理解,辨
别一个简单问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,
若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是
组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺
序无关.
! − !
(1)计算, 较大时的组合数.
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明,特别地,当 >
性质 = − 转化,减少计算量.
时计算 ,用
典型例题
分析计算能力、概括理解能力
典例4
+ + ⋯ +
式子
!
A.
+
解析
可表示为( D )
取元素的个数.(2)解决本题是根据排列数的第二个公式
=
!
,应用排列数
− !
公式的阶乘情势时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算.
典型例题
分析计算能力
典例2 (1)用排列数表示 − ൫ − ሻ ⋯ − ൫ ∈ ∗ 且 < ሻ;
= − .
探究点4 组合数、组合数公式及其性质
1.组合数:从个不同元素中取出 ⩽ 个元素的所有不同组合的个数,
叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号 表示.
2.组合数公式及其性质
(1)公式:连乘表示:
阶乘表示:
=
=
=
=
− − ⋯ −+
元素中进行次不放回地取出.
2.取出的个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组
思路 解决本题需要先把实际问题抽象成数学问题,根据对排列与组合定义的理解,辨
别一个简单问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,
若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是
组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺
序无关.
! − !
(1)计算, 较大时的组合数.
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明,特别地,当 >
性质 = − 转化,减少计算量.
时计算 ,用
典型例题
分析计算能力、概括理解能力
典例4
+ + ⋯ +
式子
!
A.
+
解析
可表示为( D )
取元素的个数.(2)解决本题是根据排列数的第二个公式
=
!
,应用排列数
− !
公式的阶乘情势时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算.
典型例题
分析计算能力
典例2 (1)用排列数表示 − ൫ − ሻ ⋯ − ൫ ∈ ∗ 且 < ሻ;
= − .
探究点4 组合数、组合数公式及其性质
1.组合数:从个不同元素中取出 ⩽ 个元素的所有不同组合的个数,
叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号 表示.
2.组合数公式及其性质
(1)公式:连乘表示:
阶乘表示:
=
=
=
=
− − ⋯ −+
元素中进行次不放回地取出.
2.取出的个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式课件新人教A版选修23
跟踪训练2 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的 所有可能站法. 解 由题意作“树状图”，如下，
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB， CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
解答
类型三 排列数公式及应用 例3 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)； 解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－ (55－n)＋1＝15(个)元素， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1659－n.
证明
反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式， 若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对 含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.
跟踪训练3 不等式 Ax8<6A8x－2 的解集为
A.[2,8]
第一章 1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列能应用排列知识解决简单的实际 问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 排列的定义
从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午 的活动，另1名同学参加下午的活动. 思考 让你安排这项活动需要分几步？ 答案 分两步.第1步确定上午的同学； 第2步确定下午的同学.
B.[2,6] C.(7,12)
D√.{8}
解析 由 Ax8<6Ax8－2，得8－8！x！<6×108－！x！，
化简得x2－19x＋84<0，
解得7<x<12，
①
数学人教A版高中选修2-3排列与排列数公式
定义：一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素 中取出m个元素的一个排列.
1、排列：
基本概念
从n个不同元素中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列.
说明： 1、元素不能重复. （互异性）
（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最
多可确定多少条射线？可确定多少条直线？
是排列
不是排列
（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？ 是排列
（从中归纳这几类问题的区别）
练习2.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、
副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能 的选举结果． 分析：先画“树形图”，再由此写出所有的排列．
小结：
【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定
的顺序排成一列.
【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)
2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)
【排列数】所有排列总数
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
Anm
=
n! (n- m)!
几种阶乘变形.
n!+n n!=(n+1)! 1- 1 = n n! (n+1)! (n+1)!
问题1
问题2
现有甲、乙、丙3个足球队， 从1，2，3，4这4个数
进行主客场双循环比赛，共 中，每次取出3个排成一
需比赛多少场？
个三位数，共可得到多少
个不同的三位数？
实质是：从3个不同的元素 中,任取2个,按一定的顺序 排成一列,有哪些不同的排 法？
实质是：从4个不同的元素 中, 任取3个,按照一定的顺 序排成一列,写出所有不同 的排法.
人教A版数学选修2-3全册课件：第一章 1.2 1.2.1 第一课时 排列与排列数公式
[导入新知]
排列的个数 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n！
1
排列的有关概念
用列举法解决排列问题
答案：B
排列数公
1.2
1.2.1
第 第一 一 课时 章
排列 与排 列数 公式
1 理解教 材新知
2 突破常 考题型
3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验
知识点一 知识点二 题型一 题型二
题型三
随堂即时演练 课时达标检测
[提出问题]
排列的定义
问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？ 提示：不是． 问题2：有几种排法？ 提示：2种，男—师—女，女—师—男． 2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动， 其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动 ．
[化解疑难] 排列定义的理解 (1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素 中取出元素；二是按一定顺序排列． (2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列 顺序相同.
[提出问题]
排列数及排列数公式
问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复 数字的三位数？ 提示：4×3×2＝24个无重复数字的三位数． 问题3：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一 列，共有多少种不同的排法？ 提示：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种不同的排法．
问题1：让你安排这项活动需分几步？它们是什么？ 提示：分两步：第1步，确定上午的同学；第2步，确 定下午的同学． 问题2：有几种排法？ 提示：上午有3种，下午有2种， 因此共有3×2＝6种排法． 问题3：甲乙和乙甲是相同的排法吗？ 提示：不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、 甲下午．
[导入新知] 顺序
最新-2021版高中数学人教A版浙江选修23课件：121 第2课时排列的综合应用 精品
解 (1)分三步： ①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法； ②十位数字有5种选法； ③个位数字有4种选法. 由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个). (2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个 位数字有6种选法. 故所求三位数共有5×6×6＝180(个).
(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共 A44种排法，男生在 4 个女 生隔成的 5 个空中安排有 A35种排法， 故 N＝A44·A35＝1 440(种). (8)对比(7)让女生插空：N＝A33·A44＝144(种). (9)(捆绑法)任取 2 人与甲、乙组成一个整体，与余下 3 个元素全 排，故 N＝(A25·A22)·A44＝960(种).
(2)间接法 符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差.故求符合条件 的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即 “间接法”.
2.用1，2，3，4，5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中 奇数共有( )
A.30个 B.36个 C.40个
D.60个
解析 分2步完成：个位必为奇数，有 A13种选法；从余下的4个数
(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)； ②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝ 48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时， 共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个.故所求四位数 共120＋48＋6＋1＝175(个).
中任选2个排在三位数的百位、十位上，有 A24种选法.由分步乘法 计数原理，共有 A13× A24＝36(个)无重复数字的三位奇数.
答案 B
3.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为
1[1].2.1排列第1课时 排列与排列数公式 课件(人教A版选修2-3)
![1[1].2.1排列第1课时 排列与排列数公式 课件(人教A版选修2-3)](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/c0a71706844769eae009ed7a.webp)
1.2
排列与组合
1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
【课标要求】 1．了解排列、排列数的定义． 2．掌握排列数公式的推导方法． 3．能用排列数公式解决简单的排列问题．
【核心扫描】
1． 排列概念的理解．(难点) 2． 排列的简单应用．(重点) 3． 排列与排列数的区别．(易混点)
自学导引
1．排列的定义
【题后反思】
(1)题属于求排列数问题；(2)题不属于求
排列数问题，应注意它们的区别，区分的关键看“事件”是 否符合排列定义，排列的特点是先取后排，特点是序性．
【变式4】 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个 三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的数？ (3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
题型四
排列的简单应用
【例4】 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(3)班
的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少
种不同的安排方法？ (2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组 报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？ 审题指导 根据排列和计数原理的概念解题．
1 (3)性质：An＝n！规定 A0＝__，0！＝1. n n
试 一 试 ： 如 果 A m ＝ 17×16×15×…×5×4 ， 则 n ＝ n ________，m＝________．
提示
因为最大数为17，是17－4＋1＝14个数的积，
∴n＝17，m＝14.
名师点睛
1．对排列定义的理解 (1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”， 二是“按一定的顺序排列”． (2)排列的一个重要特征是每一个排列不仅与选取的元素 有关，而且与这些元素的排列顺序有关，选取的元素不同
排列与组合
1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
【课标要求】 1．了解排列、排列数的定义． 2．掌握排列数公式的推导方法． 3．能用排列数公式解决简单的排列问题．
【核心扫描】
1． 排列概念的理解．(难点) 2． 排列的简单应用．(重点) 3． 排列与排列数的区别．(易混点)
自学导引
1．排列的定义
【题后反思】
(1)题属于求排列数问题；(2)题不属于求
排列数问题，应注意它们的区别，区分的关键看“事件”是 否符合排列定义，排列的特点是先取后排，特点是序性．
【变式4】 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个 三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的数？ (3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
题型四
排列的简单应用
【例4】 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(3)班
的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少
种不同的安排方法？ (2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组 报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？ 审题指导 根据排列和计数原理的概念解题．
1 (3)性质：An＝n！规定 A0＝__，0！＝1. n n
试 一 试 ： 如 果 A m ＝ 17×16×15×…×5×4 ， 则 n ＝ n ________，m＝________．
提示
因为最大数为17，是17－4＋1＝14个数的积，
∴n＝17，m＝14.
名师点睛
1．对排列定义的理解 (1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”， 二是“按一定的顺序排列”． (2)排列的一个重要特征是每一个排列不仅与选取的元素 有关，而且与这些元素的排列顺序有关，选取的元素不同
【高中数学】排列 排列数课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
解：根据排列数公式可得
（1） =7 x 6 x 5 = 210
（2） =7 x 6 x 5 x 4 = 840
!
（3） =!=7 x 6 x 5 = 210
（4） × =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720
A66
A77 7!
x2 y2
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程 2＋ 2＝1 表示焦点在
a b
x2 y2
x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系一定；在双曲线 2－ 2＝1 中，不管
a b
x2 y2
a>b 还是 a<b，方程 2－ 2＝1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，
a b
有 种取法；
第二类：个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在
十位和百位，有 种取法；
第三类：十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在
个位和百位，有 种取法；
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为：
+ + = × × + × + × =
5 4 3 60 .
m
*
A
n
(
n
1)(
n
2)
(
n
m
1).
(
m
,
n
N
且m n )
排列数公式： n
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
高中数学选修2-3精品课件13：1.2.1 排列(一)
名师点评 (1)排列数的第一个公式 Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于 具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等 式，在运用该公式时要注意它的特点；
(2)排列数的第二个公式 Amn ＝n－n！m！适用于与排列数有 关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意 先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n 且 n∈N*，m∈N*”的运用．
(4)从集合 M＝{x|1≤x≤9，x∈N}中任取相异的两 个元素作为 a，b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的 椭圆ax22＋by22＝1?
解：(1)是．选出的2人，担任正、副班长，职务不同， 与顺序有关，所以是排列问题； (2)是．对数值与底数和真数的取值的不同有关系， 与顺序有关； (3)是．起点站或终点站不同，则车票就不同，与顺序有关． (4)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a，b必须a>b，a， b的大小一定，选出的两数较大的只能作a，较小的只能作 b，与顺序无关，所以不是排列问题．
变式 将典例中③的“互发短信”改为“互通电话”，则 此问题是排列问题吗？
解：不是，互通电话与互发短信不同，与顺序无关， 故不是排列问题．
名师点评 判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练 判断下列问题是否为排列问题： (1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一 人，共有多少种可能的选举结果？ (2)从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数分别作为对数的底 数和真数，有多少个不同的对数值？ (3)有12个车站，共需准备多少种车票？
故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有 12 个．
解法二：从 4 个数字中任取 2 个， 其排列个数为 A42＝4×3＝12. (2)由题意作树形图，如下．
高中数学选修2(新课标)课件1.2.1.1排列
全相同时，才是同一个排列．元素不完全相同或元素完全相同而排 列的顺序不同的排列，都不是同一个排列．
(4)在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题 中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定， 这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．
[小试身手]
1．下列问题属于排列问题的是( ) ①从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地； ②从 10 个人中选 2 人去扫地； ③从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队； A．① B．①② C．③ D．①③
解析：由排列的定义知，①为排列问题． 答案：A
2．A，B，C 三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排 列的方法种数为( )
A．3 种 B．4 种 C．6 种 D．12 种
解析：所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A， C—A—B，C—B—A，共 6 种．
答案：C
3．由 1,2,3,4 这四个数字组成的首位数字是 1，且恰有三个相 同数字的四位数的个数有( )
【答案】 ①③⑤
方法归纳 判断一个具体问题是否为排列问题的方法
跟踪训练 1 下列说法中： (1)选 2 个小组分别去种树和种菜． (2)选 2 个小组分别去种菜． (3)选 10 人组成一个学习小组． (4)从 5 个人中选取两个人担任正、副组长． 其中是排列问题的为( ) A．(1)(4) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(2)(4)
1.2.1 排列
知识导图
学法指导 1.排列的基础是分步乘法计数原理，注意区分“排列数”与 “一个排列”两个概念． 2．排列数公式的推导过程是分步乘法计数原理的一个重要应 用，能利用排列数公式进行排列数的运算及排列数恒等式的简单证 明． 3．对于排列的应用题，其解法没有明显的规律，解题时往往 可以从多种途径考虑，因此，要重视排列问题解题策略的累积．
(4)在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题 中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定， 这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．
[小试身手]
1．下列问题属于排列问题的是( ) ①从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地； ②从 10 个人中选 2 人去扫地； ③从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队； A．① B．①② C．③ D．①③
解析：由排列的定义知，①为排列问题． 答案：A
2．A，B，C 三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排 列的方法种数为( )
A．3 种 B．4 种 C．6 种 D．12 种
解析：所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A， C—A—B，C—B—A，共 6 种．
答案：C
3．由 1,2,3,4 这四个数字组成的首位数字是 1，且恰有三个相 同数字的四位数的个数有( )
【答案】 ①③⑤
方法归纳 判断一个具体问题是否为排列问题的方法
跟踪训练 1 下列说法中： (1)选 2 个小组分别去种树和种菜． (2)选 2 个小组分别去种菜． (3)选 10 人组成一个学习小组． (4)从 5 个人中选取两个人担任正、副组长． 其中是排列问题的为( ) A．(1)(4) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(2)(4)
1.2.1 排列
知识导图
学法指导 1.排列的基础是分步乘法计数原理，注意区分“排列数”与 “一个排列”两个概念． 2．排列数公式的推导过程是分步乘法计数原理的一个重要应 用，能利用排列数公式进行排列数的运算及排列数恒等式的简单证 明． 3．对于排列的应用题，其解法没有明显的规律，解题时往往 可以从多种途径考虑，因此，要重视排列问题解题策略的累积．
人教A版高中数学选修2-3课件 1.2.2.1组合与组合数公式课件
5!
6!
10 7!
化简得 m (7－m)(6－m),
6
60
即m2-23m+42=0，
解得m=2或m=21，
又因为0≤m≤5且m∈N*，
所以m=2.
答案：2
【常见误区】
错解
错因剖析
2或 忽视阴影处组合数中m的限制条件0≤m≤5且 21 m∈N*，而导致错误
【防范措施】 1.限制条件的挖掘 对题目中涉及组合数的参数，要认真分析，找出 其限制条件，如本例中0≤m≤5且m∈N*的限制. 2.公式与性质的灵活运用 对组合数公式的两种形式及两个性质的灵活运用， 在解题过程中往往起到关键的作用，如本例选用 阶乘式比选用乘积式要简单多.
同选法种数是
______.(2)
C18 20
=______.(3) C399 C929
＝______.
【解析】(1)由组合数公式知
C36
65 4 20. 3 2 1
答案：20
(2)
C18 20
C220
20 19 21
190.
答案：190
(3)
C399 C929＝C1300
1009998 161 700. 3 2 1
1.2.2 组合 第1课时 组合与组合数公式
问 1.组合的概念是什么？ 题 2.什么是组合数？组合数公式是怎样的？如何 引 推导？ 航 3.组合数有怎样的性质？
1.组合的定义 从n个不同的元素中取出m(n≥m)个元素 _合__成__一__组__，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.组合数的概念、公式、性质
在解题中要注意灵活运用.
2.组合数的两个性质及其关注点
性质1：Cmn