4.复数的乘法与除法
复数公式及运算法则
复数公式及运算法则
复数公式：复数是由实部和虚部组成的数。
复数通常写成a + bi 的形式，其中a和b都是实数，而i是一个虚数单位，满足i² = -1。
复数的运算法则：
1.复数的加法和减法：将实部与实部、虚部与虚部分别相加或相减。
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
2.复数的乘法：使用分配律将两个复数相乘。
(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi²
因为i²=-1，所以可以将上式简化为：
(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
3.复数的除法：用分子分母都乘以分母的共轭复数（实部保持不变，虚部取负数），然后将分母变为实数。
(a + bi) / (c + di) = (a + bi) * (c - di) / (c² + d²)
因为乘法和除法都需要分别计算实部和虚部，所以计算复数的乘
法和除法时需要注意分配律和运用恒等式。
拓展：复数在物理学、工程学、数学等多个领域都有广泛应用，
如在电路分析、信号处理、量子力学等方面。
由于虚部可以表示位移、相位差等概念，复数可以用来表示波形、振动、旋转等物理量。
同时，复数的数学理论也非常丰富，包括复数拓扑学、复变函数论等多个分支。
.2.2 复数的乘、除运算
=[(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+
a1b2+a1b3)i，∴z1 (z2+z3)=z1z2+z1z3.
课典文 型精例讲题
例1:计算1-2i)(3+4i)(-2+i).
1.（重点） 解: (1-2i)(3+4i)(-2+i)
(利用复数的乘法法 则先把前两项相乘)
=(11-2i)(-2+i)
(再与第三个相乘)
=-20+15i.
(积为复数)
课典文 型精例讲题
例2:计算： 1(.1（)(重2+点3i)）(2-3i);
(2)(1+i)2.
分析:本例可以用复数的乘法法则计算，也可 以用乘法公式计算.
课典文 型精例讲题
例2:计算： 1(.1（)(重2+点3i)）(2-3i);
(2)(1+i)2.
解:(1) (2+3i)(2-3i) =22-(3i)2 =4-(-9) =13;
复数，那么它们的积
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i.
课文精讲
➢ 复数的乘法运算 1.（重点）
1.复数的乘法法则 很明显，两个复数的积是一个确定的复数.
复数的代数运算乘除ppt课件
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
ห้องสมุดไป่ตู้
2a
2bi
a2 b2
另外不难证明:
引例：化简 1 2 (1 2)(2 3) 2 3 (2 3)(2 3)
复数除法的法则:
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
复数的乘法与多项式的乘法是类似的.
例3设 Z 1 2 3i, Z 2 3 2i, 计算：
（1）Z 1
•
Z
; ( 2)
2
2
Z1
练习．计算：
（1） (1 4i) (1 4i)
（2） (1 4i) (7 2i) (1 4i)
（3） (3 2i)2
共轭复数：两复数 a bi与a bi 叫做互为共轭复数，当 b 0时
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1 , (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ), z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3.
例 2．计算：
（1） (1 4i)(7 2i)
（2）(7 2i)(1 4i)
（3）[(3 2i)(4 3i)](5 i) （4）(3 2i)[(4 3i)(5 i)]
(a+bi)÷(c+di)=
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
2.共轭复数
两复数 a bi与a bi 叫做互为共轭复数；两复数互为共轭 复数，则它们的乘积为实数。
四、正本作业：课本 68 页习题 1（3）（4）（5）（6）
1 i2 i
补充：（1）
i3
（2） i i2 i3 i4 i5
复数的运算。
m
n
mn n n z1 z2
(z1 z2 )
例1. ABCD是复平面内的平行四边 形, A、B、C三点对应的复数分别是 1+3i, −i, 2+i, 求点D对应的复数.
3. 复数z满足 z 1 i z 2i , 那么 z在复平面内对应的点所 表示的图形是 什么? 此时 z i 的最小值是多少 ?
6+2i
虚部为2，且z1 z2 是实数，求复数z2 .
5 例3 已知z 是实数，且z 3的实部与虚部互 z 为相反数的虚数z是否存在，若存在，求出虚数z， 若不存在，说明理由.
-1-2i
-2-i
课堂练习
1 1 已知z是虚数，且z 是实数， z z 1 求证 纯虚数. z 1
a -i 2 已知z (a 0, a R), 复数ω z(z i) 1- i 3 的虚部减虚部减去它的得的差是 ， 求复数ω. 2 3 + 3i 2
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
复数的四则运算
1.复数加减法的运算法则：
复数 z1=a+bi, z2=c+di,（a,b,c,d是实数）
z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部 分别相加(减).
ห้องสมุดไป่ตู้
复数的四则运算
2.复数乘法的运算法则：
( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( bc + ad )i. 注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律
高中数学复数的乘法与除法运算技巧解析
高中数学复数的乘法与除法运算技巧解析一、复数的乘法运算技巧复数的乘法是高中数学中的重要内容之一。
在进行复数的乘法运算时，我们需要注意以下几个技巧。
1. 乘法公式：复数的乘法运算可以通过乘法公式进行简化。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d为实数，则它们的乘积为：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位i的定义，i^2 = -1，可以将上式进一步化简为：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i这个乘法公式可以帮助我们快速计算复数的乘积。
2. 实部和虚部的运算：在进行复数的乘法运算时，我们可以先计算实部的乘积，再计算虚部的乘积，最后将它们相加。
这样可以简化计算过程，减少出错的可能性。
举例说明：计算复数(2+3i)(4+5i)的乘积。
根据乘法公式，我们有：(2+3i)(4+5i) = (2*4-3*5) + (2*5+3*4)i= (8-15) + (10+12)i= -7 + 22i因此，复数(2+3i)(4+5i)的乘积为-7+22i。
3. 共轭复数的运算：复数的共轭是指将复数的虚部取负。
对于复数a+bi，它的共轭为a-bi。
在进行复数的乘法运算时，我们可以利用共轭的性质简化计算。
举例说明：计算复数(2+3i)(2-3i)的乘积。
根据乘法公式，我们有：(2+3i)(2-3i) = (2*2-3*(-3)) + (2*(-3)+3*2)i= 4 + 9 + (-6 + 6)i= 13因此，复数(2+3i)(2-3i)的乘积为13。
二、复数的除法运算技巧复数的除法运算也是高中数学中的重要内容。
在进行复数的除法运算时，我们需要注意以下几个技巧。
1. 除法公式：复数的除法可以通过除法公式进行简化。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d为实数，并且c+di不等于0，则它们的商为：(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]根据乘法公式，我们有：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd) + (bc-ad)i]/(c^2+d^2)这个除法公式可以帮助我们快速计算复数的商。
复数的乘除运算
2.应用举例
计算
(3+4i)(-2-3i) 解：原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i
分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1
3.探究：
复数的乘法是否满足交换律，结合律 以及乘法对加法的分配律？ 对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni 则z1·2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 z =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 z =(ac-bd)+(ad+bc)i ∴z1·2=z2·1 (交换律) z z
提示：这里分子分母都乘以分母 的“实数化因式”（共轭复数）从而使分母“实数化”。 a bi (a bi )(c di ) 即： bi ) ( c di ) (a (c di )(c di ) c di
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
5 10i 25 1 2 i 5 5
结果化简成 代数形式
9.沙场练兵
计算:
⑴ (1-2i)(3+4i)(-2+i)
解: (7 + i)(3 - 4i) 2)(-2+i) (2)原式 = ⑴ 原式= (3+4i-6i-8i (3 + 4i)(3 - 4i) = (11-2i)(-2+i) 2 21 - 25i - 4i2 = -22+11i+4i-2i = = -20+15i 32 + 4 2 25 - 25i = 25
复数代数形式的乘除运算 课件
也就是说,“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的
必要不充分条件.
2.如何理解共轭复数?
剖析:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,这是判断一个数是否为实
数的一个法则.
(2)几何特征:两个共轭复数的对应点关于实轴对称;
代数特征:两个共轭复数的虚部互为相反数,实部相等.
(3)一个重要性质.
两个共轭复数z, 的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的
复数集中不一定成立.如:
(1)当z∈R时,|z|2=z2;当z∈C时,|z|2∈R而z2∈C,所以|z|2=z2不一定
成立,
但是|z|2=z·.
(2)当z1,z2∈R时, 12 + 22 = 0⇔z1=0,且z2=0;
当z1,z2∈C时, 12 + 22 = 0
1 = 0, 且z2=0,但z1=0,z2=0⇒ 12 + 22 = 0.
+
+
1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则?
剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除
法法则一致.
(2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复
数集中仍成立.
(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.
温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在
∴B=z1·z1 + z2 · z2 = ( + bi)( − bi) + ( c +
di)·(c-di)=a2+b2+c2+d2,
∴B∈R.
又A = z1 ·z2 + z2 ·z1 = z1 ·z2 + z2 ·z1
复数的基本运算及几何意义
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
复数的乘法与除法
复数的乘法与除法教学目标（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地实行乘、除法的运算；（2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地实行解题；（3）让学生领悟到“转化”这个重要数学思想方法；（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的水平。
教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的相关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，能够按多项式的乘法实行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远能够实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，能够写成分式，若分母含有理式时，要实行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数．三、教学建议1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则实行．设是任意两个复数，那么它们的积：也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．2．复数的乘法不但满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．因为我们尚未对复数的分数指数幂实行定义，所以如果把上述法则扩展到分数指数幂内使用，就会得到荒谬的结果。
如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。
3．讲解复数的除法，能够按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：，由此，于是得出商以后，还理应着重向学生指出：如果根据除法的定义，每次都按上述做来法逆运算的办法来求商，这将是很麻烦的．分析一下商的结构，从形式上能够得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．4．这道例题的目的之一是训练我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作，要求我们做到熟练和准确。
《复数——复数的四则运算》数学教学PPT课件(4篇)
＝(1－i)(1＋i)－12＋
3
2
i
＝(1－i2)－12＋
3
2
i
＝2－12＋ 23i＝－1＋ 3i.
第七章 复 数
栏目 导引
第七章 复 数
(2)选 D.因为 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数， 所以 a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi， 由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等 的条件知，a2＋a－2bb＝＝43，，解得 a＝2，b＝1， 所以 z＝2＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
栏目 导引
第七章 复 数
复数的乘法运算
(1)(1－i)－12＋ 23i(1＋i)＝(
)
A．1＋ 3i
B．－1＋ 3i
C． 3＋i
(2)
1＋i 1－i
2
019
＝
（1＋i）（1＋i） （1－i）（1＋i）
2
9
＝
2i
2
2
019
＝
i2
019 ＝
(i4)504·i3＝1504·(－i)＝－i.
【答案】 (1)B (2)－i
栏目 导引
第七章 复 数
(1)i 的周期性要记熟，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． (2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. ②11－ ＋ii＝－i，11＋ －ii＝i. ③1i ＝－i.
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交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1·z2＝_z2_·_z1_ (z1·z2)·z3＝z_1_·(_z_2_·z_3_) z1(z2＋z3)＝_z1_z_2＋__z_1_z_3
思考 写出下列各题的计算结果. (1)(a±b)2＝_a_2_±__2_a_b_＋__b_2； (2)(3a＋2b)(3a－2b)＝__9_a_2－___4_b；2 (3)(3a＋2b)(－a－3b)＝_－__3_a__2－__1_1_a_b_－___6_b.2
第五章 §2 复数的四则运算
2.2 复数的乘法与除法
学习 目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.
知识点一 复数的乘法 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有
跟踪训练1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； 解 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i； (2)(3＋4i)(3－4i)； 解 (3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2. 解 (1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
(4)若干个复数进行加减运算后的共轭复数等于这些复数的共轭复数进行相 同的加减运算.
跟踪训练 3 已知 z∈C，解方程 z·z －3i z ＝1＋3i.
解 将 z·z －3i z ＝1＋3i，
①
两边取共轭复数，得 z ·z＋3iz＝1－3i，
②
②－①得 z ＝－2－z，代入①得 z2＋(2－3i)z＋1－3i＝0， 即(z＋1)(z＋1－3i)＝0， ∴z＝－1或z＝－1＋3i.
6 ＝－1＋i.
反思与感悟
复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时 乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).
7＋i 跟踪训练 2 计算：(1)3＋4i；
7＋i 7＋i3－4i 25－25i 解 3＋4i＝3＋4i3－4i＝ 25 ＝1－i；
－1＋i2＋i
(2)
例2 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)； 1＋2i 1＋2i3＋4i
解 (1＋2i)÷(3－4i)＝3－4i＝3－4i3＋4i ＝－52＋5 10i＝－15＋25i；
(2)11－＋ii6＋
2＋ 3－
3i 2i.
解
原式＝1＋i26＋ 2
2＋ 3i 3＋ 32＋ 22
2i
＝i6＋
6＋2i＋3i－ 5
知识点二 共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数 时，这两个复数叫作互为共轭复 数，复数z的共轭复数用 z 表示.即z＝a＋bi，则 z＝ a－bi . 思考 判断. (1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( × ) (2)若z1，z2∈C，且 z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.( × ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数.(√ ) (4)在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.( √ )
思维拓展 复数运算的应用 复数的运算在复数开平方运算和分解因式中有广泛应用，下面通过具体的实 例加以说明. 1.求复数的平方根 复数z＝a＋bi开平方，只要令其平方根为x＋yi，利用平方根的定义，以及复 数相等的充要条件，即可求出未知量，从而得到复数z的平方根. 例4 求8－6i的平方根.
解 设8－6i的平方根为x＋yi(x，y∈R)， 则(x＋yi)2＝8－6i，即(x2－y2)＋2xyi＝8－6i， 由复数相等的充要条件， 得2x2x－y＝y2－＝68，， 解得xy＝ ＝3－，1 或yx＝＝1－，3， 则8－6i的平方根为3－i或－3＋i.
知识点三 复数的除法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2－ ＋ad2di. 思考 写出下列各题的计算结果. (1)1i ＝_－__i_.
1＋1－ ＋ii＝_－__i__.
共轭复数有如下几个性质： (1)若复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z·z ＝|z|2＝| z |2＝a2＋b2.
反思与感悟
(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝ ，z利用此性质可以证明一个复数 是实数. (3)若z≠0，且z＋ z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可以证明一个复数是纯虚
数.
题型一 复数乘、除法的运算 例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)； 解 (2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2. 解 (1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
反思与感悟
(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进 行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等. (2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫作互为共轭复数，其形态特征为a＋bi和a －bi，其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.
2.分解因式 由于a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，则很多在实数集内不能分解的因式在复数集内可 分解因式. 例5 分解因式：(1)x2＋2xy＋y2＋z2； 解 x2＋2xy＋y2＋z2＝(x＋y)2＋z2 ＝(x＋y＋zi)(x＋y－zi)； (2)x4－81. 解 x4－81＝(x2＋9)(x2－9) ＝(x＋3i)(x－3i)(x＋3)(x－3).
－i
.
－1＋i2＋i －3＋i －3＋i·i
解
－i
＝ －i ＝ －i·i ＝－1－3i.
题型二 共轭复数及应用 例 3 若 f(z)＝2z＋ z －3i，f( z ＋i)＝6－3i，求 f(－z). 解 因为 f(z)＝2z＋ z －3i，所以 f( z ＋i)＝2( z ＋i)＋(z i)－3i ＝2 z ＋2i＋z－i－3i＝2 z ＋z－2i. 又 f( z ＋i)＝6－3i，所以 2 z ＋z－2i＝6－3i. 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi， 所以2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i，即3a－bi＝6－i. 由复数相等的定义，得－3ab＝＝6－，1， 解得ab＝ ＝21， ， 所以z＝2＋i， 故f(－z)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.