第八讲：空间向量及其应用

第八讲 空间向量及其应用 用空间向量处理立体几何问题是二期课改教材的重点内容之一，也是近几年高考中的热点，向量将几何问题简单化、明朗化，一些看起来较为复杂的线面位置关系，通过向量这一工具，可以转化为代数运算问题，其解决问题的过程充分体现了等价转化和数形结合等数学思想。 【高考热点】异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角；点到平面的距离；线面平行与垂直的证明。 【范例精讲】 例1．如图，在长方体1111ABCDABCD中，,EP分别是11,BCAD的中点，,MN分别是1,AECD的中点，1,2ADAAaABa。 求证：//MN面11ADDA； 解：以D为原点，1,,DADCDD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则11,0,0,,2,0,0,2,0,,0,,0,0,AaBaaCaAaaDa 因为,,,EPMN分别是111,,,BCADAECD的中点，

所以3,2,0,,0,,,,0,0,,,2242aaaaEaPaMaNa

所以直线MN的一个方向向量为3,0,42aMNa 取0,1,0n，显然n面11ADDA， 0MNn， 又MN不在平面11ADDA内，所以//MN面11ADDA。

变式1：如果,EF分别是111,ADBD上的点，且1111111,33AEADBFBD，求证：直线//EF平行11CCDD。证明：略

变式2:求证：平面11ABE//平面DCP。证明：略。 例2． 在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别为11BA、11DA的中 点，G、H分别为BC、11DB的中点， （1）求异面直线GH与DF的所成角的大小； （2）指出直线GH与平面EFDB的位置关系。 解：（1）建系如图， 2,1,1,0,1,2,2,1,0,0,2,0HGFD

2,0,1,2,1,0GHDF，

44cos555DFGHDFGH





，

所以54arccos，所以异面直线GH与DF的所成角 的大小为54arccos。 （2）设平面EFDB的一个法向量为wvun,,， 2,1,0,0,1,1,2,1,0,2,0,1DFEFFE，由00EFnDFn

得020wvvu，令2,2,1uvw，得1,2,2n， 因为2,0,1GH 所以022GHn，即平面EFDB的法向量n与GH垂直，又GH不在平面EFDB 内，所以GH∥平面EFDB。 例3．如图，四棱锥ABCDP中，底面是矩形且AD=2，2PAAB，PA⊥底面ABCD， E是AD的中点，F在PC上。 （1）求F在何处时，EF⊥平面PBC； （2）在条件（1）下，EF是否为PC与AD的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度；若 不是，说明理由； （3）在条件（1）下，求直线BD与平面BEF所成的角． 解：（1）以A为坐标原点，分别以射线AD、AB、AP为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0, 0, 0), P(0, 0,)2, B(0,2, 0), C(2,2, 0),D(2, 0, 0), E(1, 0, 0)， 因为F在PC上，所以不妨令PCPF， 设),,(zyxF，BC(2, 0, 0)，PC(2, 2, )2, 1(xEF, y, z)， 因为EF⊥平面PBC，所以0BCEF，0PCEF

又PCPF，所以21，x=1，22zy， 故F为PC的中点。 （2）由(1)可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD，所以EF是PC与AD的公垂线段，

因为21，x=1，22zy，所以0(EF, 22, )22，即1||EF。 （3）由(1)可知PC(2, 2, )2，且2BCPB，F为PC的中点，所以PC⊥BF，又EF⊥PC，所以PC为平面BEF的一个法向量，而2(BD, 2, 0)，设BD与平面BEF所成角为，向量,BDPC的夹角为，

则3sin|cos|6||||BDPCBDPC



，

所以63arcsin，故直线BD与平面BEF所成的角为63arcsin。

例4．如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为2的正方形，CDPDBCPB,，

且2PA，E为PD中点.。 （1）求证：PA平面ABCD； （2）求二面角DACE的大小；

（3）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为552？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由。 解：（1）证明：因为底面ABCD为正方形， 所以ABBC，又PBBC，

所以BC平面PAB， 所以PABC。 同理PACD， 且BCCDC， 所以PA平面ABCD。 （2）建立如图所示的空间直角坐标系 xyzA， 则，，，)000(A，，，)022(C)110(，，E.

设m),,(zyx为平面AEC的一个法向量， 则mAE，mAC。 又),1,1,0(AE),0,2,2(AC

所以0,220.yzxy 取,1x则,1,1zy 得m)1,1,1(。 又)2,0,0(AP是平面ACD的一个法向量，设二面角DACE的大小为 ，向量,mAP的夹角为

则23cos332APAPmm，又从图中可以看出，为锐角，

P A B C D E

P A B C D E

F y

x

z 所以二面角DACE的大小为33arccos。 （3）解：设),20()02(ttF，，n),,(cba为平面PAF的一个法向量， 则nAP，nAF。 又)2,0,0(AP，),0,,2(tAF所以20,20.catb 取,ta则,0,2cb得n)0,2,(t。 又),1,1,0(AE所以点E到平面PAF的距离224AEtnn，

所以422t552，解得1t，即 )012(，，F。 所以在线段BC上存在点F，使得点E到平面PAF的距离为552，且F为BC中点。 【巩固提高】 一、填空题： 1．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为_________。

2．已知kji,,为空间两两垂直的单位向量，且32,2,53aijkbijkab则与的数量积为___________。 3．已知(1,2,3)OA，(2,1,2)OB，(1,1,2)OP，点Q在直线OP上运动，则当QAQB

取得最小值时，点Q的坐标为____________。 4．正方体1111ABCDABCD中，M是1DD的中点，O为底面正方形ABCD的中心，P为棱11AB上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角为___________。 5．正三棱锥VABC中，1AB，侧棱,,VAVBVC两两互相垂直，则底面中心到侧面 的距离为________________。

6．已知直线l的一个方向向量2,5,3d，平面的一个法向

量4,,nmn，若l，则mn______________。 7．如图，在正方体1111ABCDABCD中，若E为11AC与11BD的 交点，F为1DD的中点，则直线EF与直线BC所成角的大小 为 （用反三角函数值表示）。

A

BC

D

EF1

A

1B1C

1D8．已知向量(3,0,1),(1,1,2),,//OAOBOCOABCOA，ODOCOA，则_________OD

。

二、选择题： 9．在平行六面体1111ABCDABCD中，向量1DA、1DC、11CA是 （ ） （A）有相同起点的向量 （B）等长向量 （C）共面向量 （D）不共面向量

10．若点P是棱长为1的正方体1111ABCDABCD中异于A的一个顶点，则APAB的

所有可能值的个数是 （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 11．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E是11AB的中点，则E到平面11ABCD的距离为（ ）

（A）23 （B）22 （C）21 （D）33 12．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，正方形11BCCB所在平面内的动点P到直线11,DCDC的距离之和为22。则1PCPC（ ）

（A）有最大值1，最小值0 （B）有最大值12，最小值0

（C）有最大值7，最小值72 （D）有最大值72，最小值0 三、解答题： 13．如图，在长方体1111ABCDABCD中，ABBC，E是 侧棱1CC上的任意一点，在线段11AC上是否存在一个定点P，使得1DP都垂直于AE，证明你的结论。

14． 在长方体ABCD－1111ABCD中（如图），11AAAD，3AB，点E是棱AB上的点，

当EBAE2时，求异面直线1AD与EC所成角的大小，并求此时点C到平面DED1的距离。

A B

C D E

A1

B1

C1

D1

A B

C D E A1 B

1

C1

D

1