高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》专项训练及解析答案

数学《计数原理与概率统计》复习资料

一、选择题

1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）

4

2

3

5

销售额

（万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程???y

bx a =+中的?b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

A ．63.6万元

B ．65.5万元

C ．67.7万元

D ．72.0万元

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：4235492639543.5,4244

x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，

回归方程???y

bx a =+中的?b 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，

∴?a

=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，

∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程

2．若1()n

x x

+的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．252 B ．70

C ．256x

D ．256x -

【答案】B 【解析】

由题意可得26

n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即

44445881

()70T C x C x

===，故选B.

3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种

【答案】C 【解析】 【分析】

给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】

甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区，

则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1

3

43C C ?；

第2社区2个、第3社区安排2个，共22

42C C ?；

第2社区3个，第3社区安排1个，共11

41C C ?；

故所有安排总数为132211

4342413()42C C C C C C ??+?+?=.

故选：C. 【点睛】

本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

4．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A ．2

2

67A A B ．32

47A A

C ．322

367A A A

D ．362

467A A A

【答案】D 【解析】 【分析】

采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是3

4A 种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可. 【详解】

采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是3

4A 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A 种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是2

7A 种．综上所述，不同的排法共有3

6

2

467A A A 种. 故选D. 【点睛】

解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．

5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．

112

B ．

115

C ．

118

D ．

114

【答案】D 【解析】 【分析】

先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】

由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，

随机选取两个不同的数，共有2

828C =种，

其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种， 所以概率为212814

P ==. 故选：D . 【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

6．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ．

78

B ．

34

C ．

12

D ．

14

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】

解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤，

家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，

要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥， 则相当于56

5.5

6.5

x y ≤≤??

≤≤?，即求y x ≥的概率，

如图所示：

约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228

-

??=， 所以对应的概率为：7

7818

=，

即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78

. 故选：A.

【点睛】

本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.

7．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．

14

B ．

13

C ．

12

D ．

23

【答案】D 【解析】 【分析】

先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】

三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有23

3()27C =种不

同

结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有221

33218C C C ??=种，故由古典概型的概率计

算公式可得所求概率为182273

=. 故选：D 【点睛】

不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.

8．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 A ．96种 B ．124种 C ．130种 D ．150种

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案． 【详解】

根据题意，分2步进行分析：

①、五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有C 53=10种分组方法；

当按照1、2、2来分时共有22

5322

15C C A = 种分组方法；

则一共有101525+= 种分组方法；

②、将分好的三组对应三家酒店，有3

36A = 种对应方法；

则安排方法共有256150?= 种； 故选D ． 【点睛】

本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．

9．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数

(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为

?0.8585.71y

x =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系

B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg

C ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个

D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】 【分析】

根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】

因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确； 回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据， 故D 正确；C 错误. 故选：C ． 【点睛】

本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.

10．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC 的BC ，AB 和AC ．若10BC =，8AB =，6AC =，

ABC V 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）

A ．92524π

π+

B ．

16

2524

π+

C ．

252425π

π

+

D ．

48

4825π

+

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.

【详解】

由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为11

86242

S =??=， Ⅱ所对应的面积29252482422

S πππ=++

-=，

整个图形所对应的面积9252482422

S πππ=++=+， 所以，此点取自Ⅱ的概率为484825P π

=+.

故选：D. 【点睛】

本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.

11．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（ ） A ．

12

B ．

310

C ．

14

D ．

15

【答案】D 【解析】 【分析】

先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率． 【详解】

由题可得基本事件总数33

6320n C C == ，

第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数213

2434m C C C ==

所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是41205

m P n === 故选D. 【点睛】

本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．

12．若随机变量X 的分布列为（ ）

且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．

13

B ．0

C ．1

D ．

23

【答案】D 【解析】

分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .

详解：由题得1

113

,,13021

3

a b a b a b ?++=??∴==?

??++=?? 所以2

2

2

1112()(01)(11)(21).3

3

33

D X =-?+-?+-?= 故答案为D.

点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值

的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-?＋2

22()x E p ξ-?＋…＋

2()n n x E p ξ-?,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期

望．

13．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144

【答案】D 【解析】 【分析】

按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生

的情况去掉，录取方案数为22

63C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为

24C 、2

2C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。

【详解】

根据题意，分3步进行分析：

①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，

③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有1

2

2C =种情况， 则有1262144??=种不同的录取方案； 故选：D ． 【点睛】

本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。

14．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形

BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边

形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（ ）

A ．

16

B ．

15

C ．

14

D ．

13

【答案】B 【解析】 【分析】

五边形ABEFD 的面积5

2S =，阴影Ω的面积为12

，得到概率. 【详解】

不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222

S =

+=，阴影Ω的面积为1

2，

故所求概率为112

1

5

22

P =

=

+， 故选：B ． 【点睛】

本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15．2020(1)(1)i i +--的值为（ ） A ．0 B ．1024

C ．1024-

D ．10241-

【答案】A 【解析】 【分析】

利用二项式定理展开再化简即得解. 【详解】 由题得原式

=

112233191920112233191920

20202020202020201++i )1i )C i C i C i C i C i C i C i C i ++++--+-+-+L L （（ =11

33

55

1919

202020202()C i C i C i C i ++++L

=11

33

55

53

31

1

3

2020202020202(++)C i C i C i C i C i C i ++++L =11

33

55

5

5

33

1

2020202020202(C )C i C i C i i C i C i +++---L =0. 故选:A

【点睛】

本题主要考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

16．下列命题：

①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．

其中正确命题的个数是()

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．

【详解】

由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－

P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.

【点睛】

本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．

17．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（）

A ．

110

B ．

15

C ．

25

D ．

12

【答案】C 【解析】 【分析】

从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数

11221

52222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：11221

22222()8,m C C C C C =+=，由此能求出这3个数字的属性互不

相克的条件下，取到属性为土的数字的概率． 【详解】

由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水， 2，7属性为火，5，10属性为土，

从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，

包含的基本事件个数11221

52222()20n C C C C C =+=，

这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：

11221

22222()8,m C C C C C =+=，

∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82

205

m p n ===． 故选：C ． 【点睛】

此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.

18．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设

22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）

A ．

413

B 213

C ．

926

D 313

【答案】A 【解析】 【分析】

根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】

在ABD ?中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=?，由余弦定理，得

222cos12013AB AD BD AD BD =+-??

所以

13

DF AB =. 所以所求概率为2

4=1313DEF ABC S S ??=

. 故选A. 【点睛】

本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．

19．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．96 B ．84 C ．120 D ．360

【答案】B 【解析】 【分析】

先求得所有不以0开头的排列数，再由以1，0相邻，且1在左边时所对应的排列数有一半是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案. 【详解】

由题意，2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数为

444A 96=，其中以1，0相邻，且1在左边时，含有2个10的排列个数为4

4A 24=，有一

半是重复的，故产生的不同的6位数的个数为961284-=. 故选：B.

【点睛】

本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.

20．设*N n ∈，n a 为()()41n

n

x x +-+的展开式的各项系数之和，7c t =-，R t ∈，

1222555n n n na a a b ??????

=+++????????????

L （[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.则

()()

22

n n t b c -++的最小值为( ) A ．

12

B

C

．D

．【答案】A 【解析】 【分析】

令1x =可得，52n n n a =-，求出n b ，则22()()n n t b c -++的几何意义为点(n ，

2)(*)2

n n

n N -∈到点(,7)t t -的距离的平方，最小值即(3,3)到7y t =-的距离d 的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案． 【详解】

令1x =可得，52n

n

n a =-，2[][]55

n

n n n na n n =-g ，

设25n n n n c =g ，所以1+11(1)22223

()()055555

n n n n n n n n n c c n +++-=

-=-

n

n n n -g 是单调递增数列，(增函数+增函数=增函数）

当n →+∞时，20,5n n n →g 且20,5n

n n >g 所以2[][]155n n n n na n n n =-=-g .

21222[][][]12(1)5552

n n n na a a n n

b n -=++?+=++?+-=，

则2

2

()()n n t b c -++的几何意义为点(n ，2)(*)2

n n

n N -∈到点(,7)t t -的距离的平方， 即求点(n ，2)(*)2

n n

n N -∈到7y t =-的距离d 的最小值，

所以222|7|

157|14||()|4424n n n d n n n -+-==+-=+-， 当1n =

时，957||=4444d =-； 当2n =

时，2557||=4444

d =

-

当3n =时，4957||=2=

44442d =-；

当4n =时，8157||=6=

44442

d =

-；

由函数的图象可知当5,6,7,n =L 时，d >

所以点(n ，2)(*)2

n n

n N -∈为(3,3)时，它到7y t =-的距离d 最小，

d =

=Q ，

∴．

∴()()2

2

n n t b c -++的最小值为12

. 故选：A ． 【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．