宁夏回族自治区银川市兴庆区银川一中2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)
MF1 |2
MF2
|2 | F1F2
|2 ，即 ( MF1
MF2
)2
2 | MF1
MF2
F1F2
|2
；所以
4 2 MF1
MF2
12, MF1 MF2
4,
则 M 到 x 轴的距离
MF1 MF2 4 2 3 .
F1F2
2 3 3 故选 C
9.已知抛物线 C
的方程为
x2
1 2
y
，过点
A(0, 1)
f e 的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
x2
8.已知双曲线
y2 2
1
的焦点为 F1、F2，
点 M 在双曲线上且 MF1 MF 2 0, 则点 M 到 x
轴的距离为( )
4 A. 3
5 B. 3
23 C. 3
D. 3
【答案】C
【解析】
不妨 MF1 MF2 , MF1 MF2 2, F1F2 2 3; 又 MF1 MF2; 所以
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求函数的导数，并且判断函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值.
f x ex xex ex 1 x
【详解】
当 f x 0 时， x 1 ，
当
x
1 时，
f
x
0
，函数单调递减，
当
x
1时，
f
x
0
，函数单调递增，
当 x 1 时，函数取得最大值，没有最小值.
【详解】A.
y
e x
，当
x
0
时，
f
0 1 ，故不正确；
B.
y
1
2x
，当
x
0
时，
f
0
1
，故不正确；
C. y 2x ，当 x 0 时， f 0 0 ，故正确；
D. y 3x2 ex
，当
x
0
时，
f
0
1
，故不正确.
故选：C
【点睛】本题考查基本函数的导数，意在考查基本计算公式，属于简单题型.
2.一质点的运动方程为 s cos t ，则 t 1时质点的瞬时速度为( )
3,1, 22
2
，平面
的 一个法向量为
n
0,
1 2
,
2
，
则直线 PA 与平面 所成的角为______．
【答案】 60
【解析】
【分析】
sin
cos
PA,
n
PA
n
首先设线面角为 ，利用公式
PA n 求 的值.
【详解】设直线 PA 与平面 所成的角为 ，
sin
cos
PA,
n
PA PA
， x1 x2
x12 16 x22 16
y12 9 y22 9
1 1
x12 x22 ，两式相减可得 16
y12 y22 9
0
，
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0
变形为：
16
9
，
由条件可知 x1 x2 2 ， y1 y2 4
x1 x2 4 y1 y2 0
12.已知 O(0, 0, 0) ， A(2,1,1) ， B(1,1, 1) ，点 P(,1,3) 在平面 OAB 内，则 （ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B 【解析】
试题分析： OA 2,1,1,OB 1,1, 1, OP ,1,3.
因为 O,
A,
B,
P
四点共面,则存在
【答案】 (,1]
【解析】
g x f x 1 x2
令
2
g x g x 0 g x
，所以
，则
为奇函数
.
x0
时，
gx f x x 0
g x
，由奇函数性质知： 在 R 上上递增
.
f 2 a f a 2 2a g 2 a g a 2 a a a 1
则实数 a 的取值范围是 ,1
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，P 是
C 上的点， PF2 ⊥
F1 F2 ， ∠ PF1F2 = 30 ，则 C 的离心率为（ ）
3 A. 6
【答案】D
【解析】
1 B. 3
1 C. 2
3 D. 3
由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ 3 m，
代入可得： 8
9
，
即
y1 x1
y2 x2
9 32
k
，即直线的斜率
9 32
y 2 9 x 1
故直线方程是
32
，
即 9x 32 y 73 0 .
故答案为： 9x 32 y 73 0
【点睛】本题考查点差法求中点弦所在方程的问题，意在考查基本方法，属于基础题型.
15.已知 A , P , PA
x,
y 使
OP
xOA
yOB
,
即 ,1,3 x 2,1,1 y 1,1, 1,
2x y
{1 x y 3
3 x y
.故 B 正确.
考点：四点共面问题.
二、填空题
1 1 x2 dx
13. 0
__________．
【答案】 4
【解析】
根据积分的几何意义，原积分的值即为单元圆在第一象限的面积
17.函数
f
x
a ln
x
bx2
上一点
P 2,
f
2 处的切线方程为
y
3x
2 ln
2
2 ，求
a,b 的值.
a 2 【答案】 b 1
【解析】
【分析】
当 x 2 时，代入切
2
4
2 ln
2
，并且
f
2
a x
2bx
3
，联立方程求
a, b
求得
x ，令 x e ，解得
e ，得到
e
，即可求解
f e 的值，得到答案.
【详解】由题意，函数
f
x
2xf
(e)
lnx
，则
f
x
2
f
(e)
1 x
，
令
x
e
，则
f
e
2
f
(e)
1 e
，解得
f
(e)
1 e
，即
f
x
2 e
x
lnx
，
令
x
e
，则
f
e
2 e
e
ln
e
1
，故选
C.
【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得
和点
B(t，3)
的直线与抛物线 C
没有公共点，
则实数 t 的取值范围是（ ）
A. (, 1) (1, ) C. (, 2 2) (2 2, )
【答案】D 【解析】
(, 2 ) ( 2 , )
B.
2
2
D. (, 2) ( 2, )
y 4 x 1
试题分析：据已知可得直线 AB 的方程为 t
式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 【此处有视频，请去附件查看】
11. 下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ③④
【答案】D
【解析】
试题分析：：（1）假设过原点的图象是函数的图象，另一条是导函数的图象，导数小于 0，
基础知识，考查了运算求解能力，化归与转化思想．
5.在平行六面体 ABCD ABCD 中，若 AC¢= x AB +2 yBC +3zCC¢，则 x y z 等于
2 A. 3
5 B. 6
7 C. 6
11 D. 6
【答案】D
【解析】
AC AC CC AB BC CC
3.以(0, 2 3 ),(0,- 2 3 )为焦点，长半轴长为 4 的椭圆方程为
x2 y2 1 A. 64 52
x2 y2 1 B. 16 12
x2 y2 1
C. 16 4
D.
x2 y2 1 4 16
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件可求 a, b, c ，并且判断焦点的位置，求椭圆方程.
【详解】由条件可知，焦点在 y 轴，并且 c 2 3 ， a 4 ，
1 1 x2 dx
则0
4
x2 y2 1 14.椭圆 16 9 中，以 M(－1，2)为中点的弦所在直线的方程为_____________.
【答案】 9x 32 y 73 0
【解析】
【分析】
利用点差法求直线的斜率，再求中点弦所在直线方程.
【详解】设直线与椭圆交于
A
x1
,
y1
，
B
x2
,
y2
【详解】由空间向量基本定理得
，
x 1, 2 y 1,3z 1 y 1 , z 1
所以
23
x y z 11 6
考点：空间向量基本定理
6.关于函数 f ( x) xex 的说法正确的是( )
A. 有最小值，有最大值
B. 有最小值，没有最大值
2019-2020学年宁夏银川一中高二(上)开学数学试卷(8月份)
2019-2020学年宁夏银川一中高二（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题（每题5分，共60分）1. 若sin α=−513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B.−125C.512D.−5122. 已知a >b >0，则下列不等式成立的是( ) A.a 2<b 2 B.1a>1bC.|a|<|b|D.2a >2b3. 有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ） A.2，4，6，8 B.2，6，10，14 C.5，8，11，14 D.5，10，15，204. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差5. 在下列函数中，同时满足“①在区间(0, π2)上递增，②以2π为周期，③是奇函数”的是（ ） A.y ＝|tan x| B.y ＝cos xC.y ＝tan x2D.y ＝−tan x6. 在如图的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM →=2MA →，CN →=2NA →，则BC →⋅OM →的值为( )A.−15B.−9C.−6D.07. 函数y=1+x+sin xx2的部分图象大致为()A. B.C. D.8. 已知a，b∈R，且a−3b+6＝0，则2a+18b的最小值为（）A.1 4B.4C.52D.39. 执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A.52 B.32C.12D.110. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为a 2+b 2−c 24，则C =( ) A.π2 B.π3C.π4D.π611. 已知数列{a n }为等差数列，若a11a 10<−1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为（ ） A.21 B.20 C.19 D.1812. 设函数f(x)是定义在(0, +∞)上的单调函数，且对于任意正数x ，y 有f(xy)＝f(x)+f(y)，已知f(12)=−1，若一个各项均为正数的数列{a n }满足f(S n )=f(a n )+f(a n +1)−1(n ∈N ∗)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }中第18项a 18＝（ ） A.136B.9C.18D.36二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知向量a →=(1, 2)，b →=(2, −2)，c →=(1, λ)．若c → // (2a →+b →)，则λ＝________．14. 已知tan (α−5π4)=15，则tan α＝________．15. 若x ，y 满足约束条件{x +2y −5≥0x −2y +3≥0x −5≤0，则z =x +y 的最大值为________．16. 数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n+2＝a n+1+a n ，它的通项公式为a n =√5[(1+√52)n−(1−√52)n ]，根据上述结论，可以知道不超过实数√5(1+√52)14的最大整数为________． 三、解答题：17. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (−35,−45)．(1)求sin (α+π)的值；(2)若角β满足sin (α+β)=513，求cos β的值．18. 已知向量a →=(m, cos 2x)，b →=(sin 2x, n)，设函数f(x)=a →⋅b →，且y =f(x)的图象过点(π12, √3)和点(2π3, −2)． (1)求m ，n 的值；(2)将y =f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y =g(x)的图象．若y =g(x)的图象上各最高点到点(0, 3)的距离的最小值为1，求函数y =g(x)的单调增区间．19. 解关于x 的不等式：ax 2−(a +1)x +1<0(a <1)．20. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin (A +C)=8sin 2B2． (1)求cos B ；(2)若a +c =6，△ABC 的面积为2，求b ．21. 设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)；{b n }是等比数列，公比q >0，其前n 项和为T n (n ∈N ∗)．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． (1)求S n 和T n ；(2)若S n +(T 1+T 2+……+T n )=a n +4b n ，求正整数n 的值．22. 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为θ(0<θ<π2)的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP ＝α，（1）请用θ，α来表示矩形ABCD的面积．，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积（2）若θ=π3参考答案与试题解析2019-2020学年宁夏银川一中高二（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题（每题5分，共60分）1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】C二、填空题（每题5分，共20分）13.【答案】 12 14. 【答案】 32 15. 【答案】 9 16.【答案】 377三、解答题： 17.【答案】解：(1)由角α的终边过点P (−35,−45)得sin α=−45， 所以sin (α+π)=−sin α=45．(2)由角α的终边过点P (−35,−45)得cos α=−35， 由sin (α+β)=513， 得cos (α+β)=±1213．由β=(α+β)−α，得cos β=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α， 所以cos β=−5665或cos β=1665． 18. 【答案】解：(1)已知：a →=(m,cos 2x)，b →=(sin 2x,n)， 则：f(x)=a →⋅b →=m sin 2x +n cos 2x ， y =f(x)的图象过点(π12, √3)和点(2π3, −2)，则：{12m +√32n =√3−√32m −12n =−2解得：{m =√3n =1，即：m =√3，n =1(2)由(1)得：f(x)=√3sin 2x +cos 2x =2sin (2x +π6)， f(x)向左平移φ个单位得到：g(x)=2sin(2x+2φ+π6)，设g(x)的对称轴x=x0，最高点的坐标为：(x0, 2)因为到点(0, 3)的距离的最小值为1，则√1+x02=1，解得：x0=0，则g(0)=2，解得：φ=π6，所以g(x)=2sin(2x+π2)=2cos2x．令：−π+2kπ≤2x≤2kπ(k∈Z)则单调递增区间为：[−π2+kπ,kπ](k∈Z)19.【答案】（1）当a＝0时原不等式为：−x+1<0，所以x>1；（2）当a≠0时，不等式为：(ax−1)(x−1)=a(x−1a)(x−1)<0，当a<0时，不等式两边同除以a得(x−1a )(x−1)>0，此时不等式的解为x<1ax>1；当0<a<1时，不等式两边同除以a得(x−1a)(x−1)<0，此时不等式的解为1<x<1a；综上所述：当a<0不等式的解集为(−∞,1a)∪(1,+∞)；当a＝0时原不等式解集为(1, +∞)；当0<a<1时原不等式解集为(1,1a)．20.【答案】解：(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2B2，故sin B=4(1−cos B)．上式两边平方，整理得17cos2B−32cos B+15=0，解得cos B=1（舍去），cos B=1517．(2)由cos B=1517得sin B=817，故S△ABC=12ac sin B=417ac．又S△ABC=2，则ac=172．由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2−2ac cos B =(a+c)2−2ac(1+cos B)=36−2×172×(1+1517)=4．所以b=2．21.【答案】解：(1)设等比数列{b n}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2−q−2=0．∵q>0，可得q=2．故b n=2n−1，T n=1−2n1−2=2n−1；设等差数列{a n}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，∴a1=d=1．故a n=n，S n=n(n+1)2；(2)由(1)，可得T1+T2+……+T n=(21+22+⋯+2n)−n=2×(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2．由S n+(T1+T2+⋯+T n)=a n+4b n，可得n(n+1)2+2n+1−n−2=n+2n+1，整理得：n2−3n−4=0，解得n=−1（舍）或n=4．∴n的值为4．22.【答案】在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα在Rt△OAD中，OA=DAtanθ=BCtanθ=sinαtanθ，AB=OB−OA=cosα−sinαtanθ，设矩形ABCD的面积为S，则S=AB⋅BC=sinα(cosα−sinαtanθ)=12sin2α−1tanθsin2α，注意：化简得S=12√1+1tan2θsin(2α+ϕ)−12tanθ，（其中tanϕ=1tanθ）（没有化简到这步不扣分）因为0<θ<π2,0<2α<π，所以tanθ>0，即ϕ为锐角．由（1）知当2α+ϕ=π2时，面积S取得最大值，此时2α=π2−ϕ．所以tan2α=tan(π2−ϕ)=1tanϕ=tanθ，所以2α＝θ．也就是说当α=θ2时面积S取得最大值．第二问题中给出θ=π3，所以α=π6时S max=12√1+1323=√36．。
宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理
宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2019—2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．“0,0a x >>”是“0x a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.方程x 2+2y 2=4所表示的曲线是( ）A.焦点在x 轴的椭圆B.焦点在y 轴的椭圆 C 。
抛物线 D.圆3。
中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋18＝0上的等轴双曲线的方程为( ）A ．x 2－y 2＝6 B ．x 2－y 2＝－6 C ．x 2－y 2＝18 D ．x 2－y 2＝－18的周长为（），则经过焦点，弦且的两个焦点为已知椭圆2121212228,,)5(125.4ABF F AB F F F F a y a x ∆=>=+A ．10B ．20C ．2错误!D ．4错误! 5。
给出如下四个命题：①均为真命题；”为真命题，则若“q p q p ,∨②;122,122,”则”的否命题为“若则“若-≤≤->>b a b a b a b a ③;1,1,02002””的否定是““≤+∈∃≥+∈∀x x R x x x R x ④.210”的充要条件”是““≥+>xx x 其中不正确的命题是 ( )A 。
①② B.②③C.①③D.③④6。
已知抛物线C ：y 2=8x 焦点为F ,点P 是C 上一点,O 为坐标原点,若△POF 的面积为2，则｜PF ｜等于( ) A.25B 。
3C 。
27 D 。
4的取值范围是（）轴上的椭圆，则实数表示焦点在如果方程a x a y a x 16.7222=++3.>a A 2.-<a B 23.-<>a a C 或 263.-<<->a a D 或的取值范围是（）”是真命题，则对“k kx kx R x 01,.82<--∈∀04-.≤≤k A 04-.<≤k B 04-.≤<k C 04.<<-k D （）两点，则于的直线交抛物线且倾斜角为的焦点，过为抛物线设==︒AB B A C F x y C F ,303:.92A 。
2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二(上)期末数学(理科)试卷 (解析版)
2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．i是虚数单位，复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣2i2．，则f′（x0）等于（）A．2B．1C．D．03．若实数a＝+，b＝2，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．不确定4．函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）5．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A．①﹣分析法，②﹣综合法B．①﹣综合法，②﹣分析法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法6．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣47．若f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有（）①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个B．3个C．2个D．1个9．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．204811．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）12．袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b＝log23，c＝e ln4，则下面结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（c）＜f（b）二、填空题（共4小题）.14．在复平面内，复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为．15．（+x）dx＝．16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q （单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q＝8300﹣170P﹣P2．问该商品零售价定为元时毛利润最大（毛利润＝销售收入﹣进货支出）．17．已知a，b为正实数，直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则+的最小值为．三、解答题（共7小题，共70分）18．求函数f（x）＝x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）＝x2围成的图形的面积．19．设x＞0，y＞0，且x+y＝1，求证（1+）（1+）≥9．20．已知函数f（x）＝x3﹣12x（1）求函数f（x）的极值；（2）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的最值．21．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求+++…+的值．22．设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．23．已知函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．24．已知函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．（1）求a，b的值．（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．i是虚数单位，复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣2i 解：复数＝＝2﹣i，故它的共轭复数为2+i，故选：A．2．，则f′（x0）等于（）A．2B．1C．D．0解：∵，∴＝f′（x0）＝故选：C．3．若实数a＝+，b＝2，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．不确定解：∵＝10+2，＝20又2＜10，∴10+2＜20，即＜∴+＜2，即a＜b故选：A．4．函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）解：函数f（x）＝（x﹣3）e x，∴f′（x）＝e x+（x﹣3）e x＝（x﹣2）e x，令f′（x）＝0，解得x＝2；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，∴f（x）的单调增区间是（2，+∞）．故选：C．5．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A．①﹣分析法，②﹣综合法B．①﹣综合法，②﹣分析法C．①﹣综合法，②﹣反证法D．①﹣分析法，②﹣反证法解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法，故选：B．6．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4解：∵f′（x）＝2f′（1）+2x∴f′（1）＝2f′（1）+2∴f′（1）＝﹣2∴f′（x）＝﹣4+2x∴f′（0）＝﹣4故选：D．7．若f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有（）①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个B．3个C．2个D．1个解：∵两个球体的形状相同，大小不一定相同，故两个球体一定属于相似体；∵两个长方体的形状不一定相同，故两个长方体不一定属于相似体；∵两个正四面体的形状，一定相同，故两个正四面体一定属于相似体；∵两个正三棱柱的形状不一定相同，故两个正三棱柱不一定属于相似体；∵两个正四棱锥的形状不一定相同，故两个正四棱锥不一定属于相似体；故一定属于相似体的个数是2个，故选：C．9．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示，下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．解：由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选：C．10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072B．2026C．4096D．2048解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n＝＝2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n＝，可得当n＝12，去除两端的“1”可得78﹣23＝55，则此数列前55项的和为S12﹣23＝212﹣1﹣23＝4072．故选：A．11．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．12．袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球解：因为2+3＝5，2+4＝6，2+5＝7，2+6＝8，3+4＝7，3+5＝8，3+6＝9，4+5＝9，4+6＝10，5+6＝11，则甲可以得出为2，6或3，5或3，6或4，5或2，5或3，4其中的一组因为2×3＝6，2×4＝8，2×5＝10，2×6＝12，3×4＝12，3×5＝15，3×6＝18，4×5＝20，4×6＝24，5×6＝30，则乙可以得出为2，6，或3，4其中的一组，根据甲乙的所说的可得这个两个求球为2，6或3，4，故A，B，C错误，D正确，故选：D．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b＝log23，c＝e ln4，则下面结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（c）＜f（b）解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），则函数f（x）关于直线x＝3对称，c＝e ln4＝4，f（c）＝f（4）＝f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若＝，b＝log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14．在复平面内，复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．解：因为复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，可得：，解得：m∈（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．15．（+x）dx＝．解：（+x）dx＝dx+xdx，其中dx表示个单位圆，其面积为×π×12＝，xdx＝（x2）＝0，∴（+x）dx＝，故答案为：．16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q （单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q＝8300﹣170P﹣P2．问该商品零售价定为30元时毛利润最大（毛利润＝销售收入﹣进货支出）．解：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即L（p）＝pQ﹣20Q＝Q（p﹣20）＝（8300﹣170p﹣p2）（p﹣20）＝﹣p3﹣150p2+11700p﹣166000，所以L′（p）＝﹣3p2﹣300p+11700．令L′（p）＝0，解得p＝30或p﹣﹣130（舍去）．此时，L（30）＝23000．因为在p＝30附近的左侧L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，故答案为：3017．已知a，b为正实数，直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则+的最小值为5+2．解：y＝ln（x+b）的导数为y′＝，由切线的方程y＝x﹣a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y＝x﹣a，得a+b＝1，∵a、b为正实数，则+＝（a+b）（+）＝2+3++≥5+2＝5+2．当且仅当a＝b，即a＝，b＝3﹣时，取得最小值5+2．故答案为：5+2．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．求函数f（x）＝x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）＝x2围成的图形的面积．解：∵（1，2）为曲线f（x）＝x3﹣x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k＝f′（1）＝（3x2﹣2x+1）|x＝1＝2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x．∴y＝2x与函数g（x）＝x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），又S△AOB＝×2×4＝4，g（x）＝x2围与直线x＝2，x轴围成的区域的面积S＝x2dx＝x3＝，∴y＝2x与函数g（x）＝x2围成的图形的面积为：S′＝S△AOB﹣S＝4﹣＝．19．设x＞0，y＞0，且x+y＝1，求证（1+）（1+）≥9．【解答】证明：要证（1+）（1+）≥9成立，﹣﹣﹣﹣﹣（1分）因为x＞0，y＞0，且x+y＝1，所以y＝1﹣x＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）只需证明（1+）（1+）≥9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）即证（1+x）（2﹣x）≥9x（1﹣x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即证2+x﹣x2≥9x﹣9x2，即证4x2﹣4x+1≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）即证（2x﹣1）2≥0，此式显然成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）20．已知函数f（x）＝x3﹣12x（1）求函数f（x）的极值；（2）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的最值．解：（1）f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），令f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）＝0，解得x＝2，x＝﹣2，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增16单调递减﹣16单调递增∴f（x）极大值为f（﹣2）＝16，f（x）极小值为f（2）＝﹣16；（2）由（1）知，f（﹣2）＝16，f（2）＝﹣16，又f（﹣3）＝9，f（3）＝﹣9∴f（x）最大值为f（﹣2）＝16，f（x）最小值为f（2）＝﹣16．21．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求+++…+的值．解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝1+4＝5，f（3）＝1+4+8＝13，f（4）＝1+4+8+12＝25，∴f（5）＝1+4+8+12+16＝41．（2）∵f（2）﹣f（1）＝4＝4×1，f（3）﹣f（2）＝8＝4×2，f（4）﹣f（3）＝12＝4×3，f（5）﹣f（4）＝16＝4×4，由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）＝4n．∴f（n）﹣f（n﹣1）＝4（n﹣1），f（n﹣1）﹣f（n﹣2）＝4•（n﹣2），f（n﹣2）﹣f（n﹣3）＝4•（n﹣3），…f（2）﹣f（1）＝4×1，∴f（n）﹣f（1）＝4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]＝2（n﹣1）•n，∴f（n）＝2n2﹣2n+1．（3）当n≥2时，＝＝（﹣），∴+++…+＝1+（1﹣+﹣+…+﹣）＝1+（1﹣）＝﹣．22．设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x＝﹣处取得极小值，且为﹣，由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）．23．已知函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．【解答】（I）解：函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）＝f′（x）＝2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）＝＝，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）＝2（x﹣1﹣lnx﹣a）＝0，解得a＝x﹣1﹣lnx，令u（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2＝（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）＝1＞0，u（e）＝2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）＝0，令a0＝x0﹣1﹣lnx0＝v（x0），其中v（x）＝x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）＝1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0＝v（1）＜a0＝v（x0）＜v（e）＝e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a＝a0时，有f′（x0）＝0，f（x0）＝u（x0）＝0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）＝0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）＝0；又当x∈（0，1]，f（x）＝﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，+∞）内有唯一解．24．已知函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．（1）求a，b的值．（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【解答】解；（1）f′（x）＝3ax2+b，∵函数f（x）＝ax3+bx+c在点x＝2处取得极值c﹣16．∴f′（2）＝12a+b＝0，f（2）＝8a+2b+c＝c﹣16．解得a＝1，b＝﹣12．（2）由（1）可得：f（x）＝x3﹣12x+c，f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），∴x＝﹣2时，f（x）有极大值28，∴（﹣2）3﹣12×（﹣2）+c＝28，解得c＝12．∴f（x）＝x3﹣12x+12，列出表格：x[﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，2） 2 （2，3] f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：在x＝2处取得极小值12﹣16＝﹣4．又f（﹣3）＝21．∴f（x）在[﹣3，3]上的最小值是﹣4．。
宁夏银川一中2019_2020学年高二数学上学期期中试题理
宁夏银川一中2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理一、选择题(每小题5分,共60分)1．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝是（ ）A ．:p x R ⌝∀∈，210x x ++≥B ．:p x R ⌝∃∈，210x x ++≠C ． :p x R ⌝∀∈，210x x ++>D ．:p x R ⌝∃∈，210x x ++< 2．为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革。
学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性 ( ) A ．都相等，且为181 B ．不全相等 C ．都相等，且为92350 D ．都不相等 3．“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的 ( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某同学10次数学检测成绩统计如下：95,97,94,93,95,97, 97,96,94,93，设这组数的平均数为a ，中位数为b ，众 数为c ，则有( )A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>5．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4, 则输出s 的值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．106．若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1422=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．127．已知双曲线12222=-by a x 的离心率为513，则它的渐近线为（ ）A ．513y x =±B ．135y x =±C ．125y x =±D ．512y x =±8．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示 的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分 且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均 成绩的概率为（ ） A ．53 B ．95C ．52D ．439．已知曲线122=+by a x 和直线01=++by ax （b a ,为非零实数）在同一坐标系中，它们的图象可能为（ ）10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(3,2)A，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．D ．11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对),(y x ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对),(y x 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.假如统计结果是56=m ，那么可以估计π≈（ ） A ．2578 B ．1756C ．722D ．928 12．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．12B 1C ．12D ．1 二、填空题（每小题5分，共20分）13．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是__________.14．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是8，标准差是2，则=xy __________.15．已知点F 1、F 2分别是椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 2作倾斜角为π4的直线交椭圆于A 、B 两点，则△F 1AB 的面积为__________.16．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线与抛物线交于B A ,两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦AB 中点的轨迹方程为__________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（10分）在平面直角坐标系中,记满足3,3≤≤q p 的点()q p ,形成区域A .(1)若点()q p ,的横、纵坐标均在集合{}5,4,3,2,1中随机选择，求点()q p ,落在区域A 内的概率(2)点()q p ,落在区域A 内均匀出现，求方程022=+-q x x 有两个不相等实数根的概率18.（12分）已知命题p ：方程2212x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：R x ∈∀,不等式22230x mx m +++>恒成立.（1）若“q ⌝”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 19．（12分）某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（x 元）试销1天，得到如表单价x （元）与销量y （册）数据：(1)根据表中数据，请建立y 关于x 的回归直线方程：(2)预计今后的销售中，销量y （册）与单价x （元）服从（l ）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，515160i ii x y==∑，5212010i i x ==∑20．(12分)2018年年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有680人．(1)求频率分布于直方图中a 的值，及评分等级不满意的人数；(2)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由. ⎪⎭⎫ ⎝⎛=100: 满意程度的平均分满意率注21．(12分)抛物线x y 42=的焦点为F ，斜率为正的直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点，满足FB AF 2=．(1)求直线l 的斜率；(2)过焦点F 与l 垂直的直线交抛物线于D C 、两点，求四边形ABCD 的面积． 22．(12分)已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.高二期中考试理科数学参考答案一、选择题：(每小题5分，共60分)13.7 14. 60 15. 34 16. )1(22-=x y 三、解答题：17．试题解析：（1）根据题意，点（p ，q ），在|p|≤3，|q|≤3中，即如图所在正方形区域， 其中p 、q 都是整数的点有6×6=36个，点M （x ，y ）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x 、y 都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3， 点M （x ，y ）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点， 所以点M （x ，y ）落在上述区域的概率416691=⨯=p （2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36； 若方程022=+-q x x 有两个实数根，则有△=4-4q>0， 解可得q<1，表示q=1下方的部分，其面积为24，即方程022=+-q x x 有两个实数根的概率，3236242==P 18．解：（Ⅰ）因为对任意实数x 不等式22230x mx m +++>恒成立， 所以0)32(442<+-=∆m m ，解得 31<<-m ，．…………2分 又“q ”是真命题等价于“q ”是假命题，．…………3分所以所求实数m 的取值范围是(][)∞+-∞-，31, ．…………4分 （Ⅱ）201222<<=+m x my x 轴上的椭圆，所以表示焦点在因为方程，……6分恰有一真一假”为真命题，等价于”为假命题，““q p q p q p ,∨∧，………7分⎩⎨⎧≥-≤<<3120m m m q p 或假时，真当，无解…………9分32,01312,0<≤≤<-⎩⎨⎧<<-≥≤m m m m m q p 或，则或真时，假当，…………11分 (][)3,20,1 -的取值范围是综上所述，实数m ．…………12分19.解：（1）1819202122205x ++++==，6156504845525y ++++==515160i ii x y==∑，5212010i i x ==∑1221ˆni ii nii x y nx ybxnx =-=-=-∑∑2516052052404201052010-⨯⨯-===--⨯，ˆˆ52(4)20132ay bx =-=--⨯= 所以y 对x 的回归直线方程为：ˆˆ4132yx =-+． （2）设获得的利润为W ，2(12)41801584W x y x x =-=-+-，因为二次函数241801584W x x =-+-的开口向下， 所以当22.5x =时，W 取最大值，所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．20（1）由频率分布直方图知，0.0350.0200.0140.0040.0020.075,++++= 由100.075)1a ⨯+=（解得0.025a =， 设总共调查了N 个人，则基本满意的为10(0.0140.020)680N ⨯⨯+=，解得2000N =人. 不满意的频率为10(0.0020.004)0.06⨯+=，所以共有20000.06120⨯=人，即不满意的人数为120人..（2）所选样本满意程度的平均得分为：450.02550.04650.14750.2850.35950.2580.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，估计市民满意程度的平均得分为80.7，所以市民满意指数为80.70.8070.8100=>， 故该项目能通过验收.21.（1）依题意知F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．设()11,A x y ， ()22,B x y ，所以124y y m +=，124y y =-．①因为2AF FB =，所以122y y =-．②联立①和②，消去12,y y ，得．812=m与又 42,0=∴>m m 所以直线AB 的斜率是22=AB k ． (2)CD AB ⊥∴直线CD 的斜率42-=CD k 直线CD 的方程)1(42--=x y ，将直线CD 的方程与抛物线的方程联立,消去y 得：01342=+-x x 设()),(,,4433y x D y x C3443=+x x 3623443=+=++=∴p x x CD由（1）知 2421==+m y y 2522422)(2121=+⨯=++=+∴y y m x x 2922521=+=++=p x x AB 8136292121=⨯⨯=∙=CD AB S ABCD22.设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+ 故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32。
宁夏回族自治区银川市兴庆区宁一中2019-2020学年高二上学期期中数学试题
绝密★启用前 宁夏回族自治区银川市兴庆区宁一中2019-2020学年高二上学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．“0x >”是“0x ≠”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 （ ） A ． x R ∀∈，0x > B ． x R ∃∈，0x > C ．x R ∀∈，0x ≤ D ．x R ∃∈，0x ≤ 3．椭圆22143x y +=的离心率为（ ） A ．12 B ．14 C D 4．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）．………○…………线…………○……※※题※※………○…………线…………○……A．3B．4C．5D．65．命题“当AB AC=时，ABC∆为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．06．椭圆221169x y+=的焦距是（）A．8 B．6 C．10 D．7．袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为( )A．710B．37C．110D．3108．双曲线221169x y-=上P点到左焦点的距离是6，则P到右焦点的距离是（）A．12 B．14 C．16 D．189．集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A．23B．12C．13D．1610．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( )A．10组B．9组C．8组D．7组11．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部○………………○……学校:___○………………○…… A ．14 B ．8π C ．12 D ．4π 12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)F c -，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，直线EF 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．5 C D 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为_____. 14．已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+<，命题0:R q x ∃∈，00sin cos x x +=p q ∨，p q ∧，p ⌝，q ⌝中是真命题的有________． 15．椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________ 16．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ． 三、解答题 17．已知命题:p m R ∈且10m +≤，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>恒成立，若p q ∧为假命题且p q ∨为真命题，求m 的取值范围. 18．某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n 人，回答问题“本……○…………在※※装※※订※※线※※内……○…………省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示.（1）分别求出,,,a b x y的值；（2）从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2、3、4组每组各抽取多少人？（3）指出直方图中，这组数据的中位数是多少（取整数值）？19．某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如表所示:装…………○…_姓名：___________班级：装…………○…可能用到的计算结果：4152.5i i i x y ==∑, 3.5, 3.5x y ==,42154i i x ==∑. 线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中1221ˆˆˆ,n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx ==-⋅==--∑∑ （1）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+; （2）试预测加工10个零件需要多少时间？20．已知抛物线2y x =-与直线()1y k x =+相交于A,B 两点，O 为坐标原点. （1）求证：OA OB ⊥; （2）当2k =时，求AB 的弦长. 21．已知2:8200p x x -->,()22:2100q x x a a -+->>,若p 是q 的充分而不必要．．．．．．条件．．，求实数a 的取值范围. 22．已知中心在原点O ，焦点在x 2 （1）求椭圆的方程； （2）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P Q ，两点，满足直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列，求OPQ ∆面积的取值范围．参考答案1．A【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。
宁夏银川市长庆高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题(wd无答案)
宁夏银川市长庆高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 是虚数单位，复数的共轭复数是( )A．2－i B．2＋i C．－1＋2i D．－1－2i(★★) 2. ，则等于A．B．C．D．(★★) 3. 若实数，则与的大小关系是A．B．C．D．不确定(★★) 4. 函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．(★) 5. 下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是A．①综合法，②反证法B．①分析法，②反证法C．①综合法，②分析法D．①分析法，②综合法(★★) 6. 若，则等于（）A．2B．0C．-2D．-4(★) 7. 若，则的解集为A．B．C．D．(★★★) 8. 我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（）A．4B．2C．3D．1(★★) 9. 已知函数的图象如图所示，下面四个图象中的图象大致是A．B．C．D．(★★★) 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为A．4072B．2026C．4096D．2048(★★★) 11. 若函数的图像和直线有四个不同的公共点，则实数的取值范围是A．B．C．D．(★★★) 12. 袋子里有编号为的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号.甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.”根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球(★★★) 13. 已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 14. 在复平面内，复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围是 ________ ．(★★) 15. ________ ．(★★★) 16. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．(★★★) 17. 已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为__________ .三、解答题(★★) 18. 已知函数 f( x)＝ x 3－ x 2＋ x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数 g( x)＝ x 2围成的图形的面积．(★★) 19. 设为正实数，且，求证：(★★★) 20. 已知函数.(1)求函数的极值；(2)当时，求函数的最值．(★★★★) 21. 中国民间十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图案包含个小正方形．（1）求出的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式猜测出的表达式；（3）求 ( )的值．(★★★) 22. 已知函数在点处取得极值.(1)求的值；(2)若有极大值，求在上的最小值．(★★★) 23. 设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围(★★★) 24. 已知函数f（x）＝－2xlnx＋x 2－2ax＋a 2，其中a>0.（Ⅰ）设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，＋∞）内有唯一解.。
2019-2020学年宁夏银川市兴庆区长庆高级中学高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版
宁夏长庆高级中学2019---2020学年第一学期高二数学期中试卷（理科）命题人：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，)1. 已知椭圆221259x y +=，1F ，2F 分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，则||ON 的长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42. 已知)3,1,2(-=，),2,4(x -=，)2,,1(x -=,若c b a ⊥+)(，则x 等于( )A ．4B ．－4 C.12 D ．－63.抛物线28=y x 的焦点到直线=0x -的距离是( )A ．B ．2C D ．14. 下列说法错误的是（ ）A ．对于命题01,:2>++∈∀x x R x p ，则01,:020≤++∈∃⌝x x R x p B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件 C ．若命题q p ∧为假命题，则q p ,都是假命题D ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则0232≠+-x x ” 5. 如图三棱锥O ABC -中，P 是棱BC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===，则AP 可以表示为（ ）A. 111222a b c -++B.1122a b c -++C.1122a b c ++D. 111222a b c ++6. 已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率为,则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±7. 已知点()3,4A ，F 是抛物线28y x =的焦点，M 是抛物线上的动点，当||||AM MF +最小时，M 点坐标是（ ） A ．(0,0)B．(3, C．(3,- D ．(2,4)8. 已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( ) A ．OM ++=B ．OM --=2C ．3121++=D ．613121++=9.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y += 10. 如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1=1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 11. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．812. 设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF = ，则C 的离心率为（ ）C.2二、填空题: (本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝______．14. 已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线的方程是__________．15. 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围_________.16. 已知椭圆)04(116:222>>=+b b y x C 的左右焦点为21,F F ，离心率为23，若P 为椭圆上一点，且︒=∠9021PF F ，则面积为21PF F ∆___________三、解答题: (本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. （本小题10分）已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设==,.(1)求和的夹角θ的余弦值；(2)若向量k +与k 2-互相垂直，求k 的值． 18. （本小题12分）已知曲线22981x y += （1）求其长轴长，焦点坐标，离心率；（2的双曲线方程；19. （本小题12分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的一点.(I)求证:平面 PAC ⊥平面PBC(II)若2AB AC PA ===，1， 求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 20. （本小题12分）已知抛物线C:y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，|MF |＝5． （1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则求|AB |+|DE |的最小值.21. （本小题12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，，求三棱锥E-ACD 的体积.22. （本小题12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆的方程（2）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.13. 4 14. y 4－x 12＝1. 15. [12，1)∪(52，＋∞) 16. 417. 解：a ＝AB →＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，.....(1分)b ＝AC →＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．.......（2分） (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，..............（5分）所以a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)ka ＋b＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，.....（6分）ka －2b ＝(k ，k ，0)－(－2，0，4)＝(k ＋2，k ，－4)，......（7分）所以(k －1，k ，2)·(k＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0....（9分） 即2k 2＋k －10＝0，所以k ＝－52或k ＝2.....（10分）18. (1)由题意易得：长轴长2a=18，....（2分）焦点坐标(0,±......（4分）离心率e 3c a ==．.....（6分） (2)设双曲线方程为：()222210,0y x m n n m-=>>∴2272{m n n+==，解得：6{, 6m n ==∴双曲线方程为：2236y x -=.....（12分） 19. (Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥, 又PAAC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PACBC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .....（6分）(Ⅱ)如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)B,()0,1,1P .故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 1110,0,y z =∴+=⎪⎩ 不妨令11y =，则()10,1,1=-n ......（9分）()0,0,1AP =,2221,cos sin 1=-=><=n θ....（12分） 20. 【答案】（1）y 2＝4x ；【解析】（1）由题意得|MF |＝4＋2p＝5，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ．.....（5分）（2）.....（12分） 21. 解：（I ）连接BD 交AC 于点O,连结EO 。
2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二(上)期末数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共13小题，共65.0分）1.i是虚数单位，复数1−3i的共轭复数为()1−iA. 2+iB. 2−iC. −1+iD. −1−2i2.，则f′(x0)等于()A. 2B. 1C.D. 03.若实数a=√3+√7，b=2√5，则a与b的大小关系是()A. a<bB. a=bC. a>bD. 不确定4.函数f(x)=(x−3)e x的单调递增区间是()A. (0,3)B. (1,4)C. (2,+∞)D. (−∞,2)5.如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是()A. ①−分析法，②−综合法B. ①−综合法，②−分析法C. ①−综合法，②−反证法D. ①−分析法，②−反证法6.若f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(0)等于()A. 2B. 0C. −2D. −47.若f(x)=x2−2x−4lnx，则f′(x)>0的解集为()A. (0,+∞)B. (−1,0)∪(2,+∞)C. (2,+∞)D. (−1,0)8.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是()A.B.C.D.10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5⋯，则此数列的前55项和为()A. 4072B. 2026C. 4096D. 204811.若函数f(x)={2x 2lnx x>0−x3−4x2x≤0的图象和直线y=ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是()A. (−2e ,4) B. (0,4) C. (−2e,0) D. (−2e,0)∪(0,4)12.袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中A. 一定有3号球B. 一定没有3号球C. 可能有5号球D. 可能有6号球13.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3−x)=f(3+x)，且对任意x1，x2∈(0,3)都有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，若a=2−√3，b=log23，c=e ln4，则下面结论正确的是()A. f(a)<f(b)<f(c)B. f(c)<f(a)<f(b)C. f(c)<f(b)<f(a)D. f(a)<f(c)<f(b)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）14.在复平面内，复数z=(m+2)+(m2−m−2)i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为______ ．15.∫(1−1√1−x2+x)dx=______ ．16.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q=8300−170P−P2.问该商品零售价定为______元时毛利润最大(毛利润=销售收入−进货支出)．17.已知a，b为正实数，直线y=x−a与曲线y=ln(x+b)相切，则2a +3b的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）18.求函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积．19.设x>0，y>0，且x+y=1，求证(1+1x )(1+1y)≥9．20.已知函数f(x)=x3−12x(1)求函数f(x)的极值；(2)当x∈[−3,3]时，求f(x)的最值．21.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式；(3)求1f(1)+1f(2)−1+1f(3)−1+⋯+1f(n)−1的值．22.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)设a=b=4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围．23.已知函数f(x)=−2xlnx+x2−2ax+a2，其中a>0．(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(Ⅱ)证明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解．24.已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c−16．(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[−3,3]上的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数1−3i1−i =(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=2−i，故它的共轭复数为2+i，故选：A．根据两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，求出复数1−3i1−i，可得它的共轭复数．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了导数的概念，同时考查了导数的意义，属于基础题．根据=f′(x0)，将已知条件代入即可求出所求．【解答】解：∵，∴=f′(x0)=．故选C．3.【答案】A【解析】解：∵(√3+√7) 2=10+2√21，(2√5)2=20又2√21<10，∴10+2√21<20，即(√3+√7)2<(2√5)2∴√3+√7<2√5，即a<b故选A由题设条件知，此两数都是无理数，且形式不利于直接比较大小，由于两数皆为正数，故可以根据不等式的性质比较两数的平方的大小，从而得出两数的大小，选出正确答案本题考查不等式与不等关系，解答本题关键是将比较两个正无理数大小的问题转化它们平方的大小比较的问题，这是无理数比较大小时常用的思路，转化为有理数比较大小，要注意此转化所依据的不等式的性质，从理论上体会这一转化的合理性．4.【答案】C【解析】解：函数f(x)=(x−3)e x，∴f′(x)=e x+(x−3)e x=(x−2)e x，令f′(x)=0，解得x=2；当x>2时，f′(x)>0，f(x)是单调增函数，∴f(x)的单调增区间是(2,+∞)．故选：C．求函数f(x)的导数，利用导数f′(x)>0求出f(x)的单调增区间．本题考查了利用函数的导数判断单调性问题，是基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题以结构图为载体，考查了证明方法的定义，正确理解综合法和分析法的定义，是解答的关键，属于基础题．根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配的是①−综合法，②−分析法，故选B．6.【答案】D【解析】解：∵f′(x)=2f′(1)+2x∴f′(1)=2f′(1)+2∴f′(1)=−2∴f′(x)=−4+2x∴f′(0)=−4故选：D．利用导数的运算法则求出f′(x)，令x=1得到关于f′(1)的方程，解方程求出f′(1)，求出f′(x)；令x=0求出f′(0)．在求导函数值时，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再求导函数值．7.【答案】C【解析】解：由题，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2−4，x>0，整理得x2−x−2>0，解得x>2或x<−1，令2x−2−4x结合函数的定义域知，f′(x)>0的解集为(2,+∞)．故选：C．由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′(x)>0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．本题考查导数的加法与减法法则，一元二次不等式的解法，计算题，基本题型，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似图形，属于中档题．相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．根据形状相同，大小不一定相同的几何体为相似体，逐一判断，可得结论．【解答】解：∵两个球体的形状相同，大小不一定相同，故两个球体一定属于相似体；∵两个长方体的形状不一定相同，故两个长方体不一定属于相似体；∵两个正四面体的形状相同，大小不一定相同，故两个正四面体一定属于相似体；∵两个正三棱柱的形状不一定相同，故两个正三棱柱不一定属于相似体；∵两个正四棱锥的形状不一定相同，故两个正四棱锥不一定属于相似体；故一定属于相似体的个数是2个，故答案选C．9.【答案】C【解析】解：由函数y=xf′(x)的图象可知：当x<−1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，此时f(x)增当−1<x<0时，xf′(x)>0，f′(x)<0，此时f(x)减当0<x<1时，xf′(x)<0，f′(x)<0，此时f(x)减当x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)增．故选C．根据函数y=xf′(x)的图象，依次判断f(x)在区间(−∞,−1)，(−1,0)，(0,1)，(1,+∞)上的单调性即可本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．本题有一定的代表性，是一道好题．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查数列的求和，结合杨辉三角形的系数公式以及等比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键，属于中档题．利用第n 行的所有数字之和为2n−1，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【解答】解：第1行的和为20，第2行的和为21，第3行的和为22，以此类推， 即每一行数字的和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前n 项和为S n =1−2n 1−2=2n −1，每一行的数字个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n =n(n+1)2，可得当n =12，去除所有的“1”的数字个数为78−23=55， 则此数列前55项的和为S 12−23=212−1−23=4072． 故选：A ．11.【答案】D【解析】解：当x >0时，由f(x)=ax 得2x 2lnx =ax ， 得a =2xlnx ，当x ≤0时，由f(x)=ax 得−x 3−4x 2=ax ，此时x =0时方程的一个根， 当x ≠0时，a =−x −4x ， 设ℎ(x)={2xlnx,x >0−x 2−4x,x <0，当x >0时，ℎ′(x)=2lnx +2x ⋅1x =2lnx +2 =2(1+lnx)，由ℎ′(x)>0得1+lnx >0得lnx >−1， 得x >1e 此时函数为增函数，由ℎ′(x)<0得1+lnx <0得lnx <−1， 得0<x <1e ，此时函数为减函数，即当x =1e 时，ℎ(x)取得极小值ℎ(1e )=2×1e ln 1e =−2e ， 当x <0时，ℎ(x)=−x 2−4x =−(x +2)2+4，作出ℎ(x)的图象如图：要使f(x)与直线y=ax有四个不同的公共点，等价为ℎ(x)与y=a有3个不同的交点，<a<0或0<a<4，则a满足−2e,0)∪(0,4)，即实数a的取值范围是(−2e故选：D．根据分段函数的表达式，先得到x=0是f(x)与y=ax的一个根，利用参数分离法构造函数ℎ(x)，得到ℎ(x)与y=a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据参数分离法，结合函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．12.【答案】D【解析】解：因为2+3=5，2+4=6，2+5=7，2+6=8，3+4=7，3+5=8，3+6=9，4+5=9，4+6=10，5+6=11，则甲可以得出为2，6或3，5或3，6或4，5或2，5或3，4其中的一组因为2×3=6，2×4=8，2×5=10，2×6=12，3×4=12，3×5=15，3×6=18，4×5=20，4×6=24，5×6=30，则乙可以得出为2，6，或3，4其中的一组，根据甲乙的所说的可得这个两个求球为2，6或3，4，故A，B，C错误，D正确，故选：D先计算任意2个球的和，和任意两个球的积，再根据甲乙的说法，判断即可．本题考查了合情推理的问题，属于基础题．13.【答案】C【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f(x)满足f(3−x)=f(3+x)，则函数f(x)关于直线x=3对称，c=e ln4=4，f(c)=f(4)=f(2)，<0，则函数f(x)在(0,3)上为减函数，又由对任意x1，x2∈(0,3)都有f(x2)−f(x1)x2−x1若a=2−√3=，b=log23，则有0<a<1<b<2，2√3则f(c)<f(b)<f(a)， 故选：C ．根据题意，由f(3−x)=f(3+x)分析可得函数f(x)关于直线x =3对称，据此可得f(c)=f(4)=f(2)；由函数单调性的定义可得函数f(x)在(0,3)上为减函数，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意结合函数的单调性进行分析，属于基础题．14.【答案】(−2,−1)∪(2,+∞)【解析】解：因为复数z =(m +2)+(m 2−m −2)i 对应的点在第一象限， 可得：{m +2>0m 2−m −2>0，解得：m ∈(−2,−1)∪(2,+∞)． 故答案为：(−2,−1)∪(2,+∞)．利用复数的对应点所在象限列出不等式组，求解即可．本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．15.【答案】π2【解析】解：∫(1−1√1−x 2+x)dx =∫√1−x 21−1dx +∫x 1−1dx ， 其中∫√1−x 21−1dx 表示12个单位圆，其面积为12×π×12=π2， ∫x 1−1dx =(12x 2)|−11=0， ∴∫(1−1√1−x 2+x)dx =π2，故答案为：π2．∫(1−1√1−x 2+x)dx =∫√1−x 21−1dx +∫x 1−1dx ，再根据定积分的几何意义与运算法则分别对两部分积分，即可．本题考查定积分的几何意义与运算性质，将原式分开积分，并理解定积分的几何意义是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．16.【答案】30【解析】解：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，设毛利润为L，即L(P)=PQ−20Q=Q(P−20)=(8300−170P−P2)(P−20)=−P3−150P2+11700P−166000，所以L′(P)=−3P2−300P+11700．令L′(P)=0，解得P=30或P=130(舍去)．此时，L(30)=23000．因为在P=30附近的左侧L′(P)>0，右侧L′(P)<0．所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，故答案为：30毛利润等于销售额减去成本，可建立函数关系式，利用导数可求函数的极值点，利用极值就是最值，可得结论．本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查利用导数求函数的最值，由于函数为单峰函数，故极值就为函数的最值．17.【答案】5+2√6【解析】解：y=ln(x+b)的导数为y′=1x+b，由切线的方程y=x−a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1−b，切点为(1−b,0)，代入y=x−a，得a+b=1，∵a、b为正实数，则2a +3b=(a+b)(2a+3b)=2+3+2ba+3ab≥5+2√2ba⋅3ab=5+2√6．当且仅当a=√63b，即a=3−√63，b=3−√6时，取得最小值5+2√6．故答案为：5+2√6．求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．18.【答案】解：∵(1,2)为曲线f(x)=x 3−x 2+x +1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ， 则k =f′(1)=(3x 2−2x +1)|x=1=2， ∴过点(1,2)处的切线方程为：y −2=2(x −1)，即y =2x ．∴y =2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图： 由{y =2x y =x 2得二曲线交点A(2,4)， 又S △AOB =12×2×4=4，g(x)=x 2围与直线x =2，x 轴围成的区域的面积S =∫x 220dx =13x 3|02=83， ∴y =2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为：S′=S △AOB −S =4−83=43．【解析】由题意利用导数可求得过点(1,2)处的切线方程，利用定积分即可求得切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积．本题考查导数的几何意义，考查定积分在求面积中的应用，求得题意中过点(1,2)处的切线方程是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：要证(1+1x )(1+1y )≥9成立，-----(1分)因为x >0，y >0，且x +y =1，所以y =1−x >0.---------------(1分) 只需证明(1+1x )(1+11−x )≥9，--------------------(1分) 即证(1+x)(2−x)≥9x(1−x)，-------------------------(2分) 即证2+x −x 2≥9x −9x 2，即证4x 2−4x +1≥0.---------------(1分) 即证(2x −1)2≥0，此式显然成立，----------------------(2分) 所以原不等式成立．----------------------------------(1分)【解析】分析法是从求证的不等式出发，找到使不等式成立的充分条件，把证明不等式的问题转化为判定这些充分条件是否具有的问题本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．20.【答案】解：(1)f/(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，令f/(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)=0，解得x=2，x=−2，x，f′(x)，f(x)的变化如下表：∴f(x)极大值为f(−2)=16，f(x)极小值为f(2)=−16；(2)由(1)知，f(−2)=16，f(2)=−16，又f(−3)=9，f(3)=−9∴f(x)最大值为f(−2)=16，f(x)最小值为f(2)=−16．【解析】(1)先求出函数f(x)的导数，令f′(x)=0，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值，(2)由(1)得x=−2时，函数取最大值，x=2时，函数取最小值．本题考察了利用导数求函数的单调性，求函数的最值问题，本题是一道基础题．21.【答案】解：(1)∵f(1)=1，f(2)=1+4=5，f(3)=1+4+8=13，f(4)=1+ 4+8+12=25，∴f(5)=1+4+8+12+16=41．(2)∵f(2)−f(1)=4=4×1，f(3)−f(2)=8=4×2，f(4)−f(3)=12=4×3，f(5)−f(4)=16=4×4，由上式规律得出f(n+1)−f(n)=4n．∴f(n)−f(n−1)=4(n−1)，f(n−1)−f(n−2)=4⋅(n−2)，f(n−2)−f(n−3)=4⋅(n−3)，…f(2)−f(1)=4×1，∴f(n)−f(1)=4[(n−1)+(n−2)+⋯+2+1]=2(n −1)⋅n ， ∴f(n)=2n 2−2n +1．(3)当n ≥2时，1f(n)−1=12n 2−2n+1−1=12(1n−1−1n )， ∴1f(1)+1f(2)−1+1f(3)−1+⋯+1f(n)−1=1+12(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)=1+12(1−1n)=32−12n．【解析】(1)先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f(5)； (2)总结一般性的规律，可知f(n +1)−f(n)=4n ，利用叠加法，可求f(n)的表达式； (3)根据通项特点，利用裂项法求和，即可得到解决．本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，(3)问考查了裂项法求数列的和，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 的导数为f′(x)=3x 2+2ax +b ，可得y =f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k =f′(0)=b ， 切点为(0,c)，可得切线的方程为y =bx +c ； (2)设a =b =4，即有f(x)=x 3+4x 2+4x +c ， 由f(x)=0，可得−c =x 3+4x 2+4x ，由g(x)=x 3+4x 2+4x 的导数g′(x)=3x 2+8x +4=(x +2)(3x +2)， 当x >−23或x <−2时，g′(x)>0，g(x)递增； 当−2<x <−23时，g′(x)<0，g(x)递减． 即有g(x)在x =−2处取得极大值，且为0； g(x)在x =−23处取得极小值，且为−3227，由函数f(x)有三个不同零点，可得−3227<−c <0， 解得0<c <3227， 则c 的取值范围是(0,3227).【解析】(1)求出f(x)的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程； (2)由f(x)=0，可得−c =x 3+4x 2+4x ，由g(x)=x 3+4x 2+4x ，求得导数，单调区间和极值，由−c 介于极值之间，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题．23.【答案】(I)解：函数f(x)=−2xlnx+x2−2ax+a2，其中a>0．可得：x>0．g(x)=f′(x)=2(x−1−lnx−a)，∴g′(x)=2−2x =2(x−1)x，当0<x<1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当1<x时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．(II)证明：由f′(x)=2(x−1−lnx−a)=0，解得a=x−1−lnx，令u(x)=−2xlnx+x2−2(x−1−lnx)x+(x−1−lnx)2=(1+lnx)2−2xlnx，则u(1)=1>0，u(e)=2(2−e)<0，∴存在x0∈(1,e)，使得u(x0)=0，令a0=x0−1−lnx0=v(x0)，其中v(x)=x−1−lnx(x≥1)，由v′(x)=1−1x≥0，可得：函数v(x)在区间(1,+∞)上单调递增．∴0=v(1)<a0=v(x0)<v(e)=e−2<1，即a0∈(0,1)，当a=a0时，有f′(x0)=0，f(x0)=u(x0)=0．再由(I)可知：f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增，当x∈(1,x0)时，f′(x)<0，∴f(x)>f(x0)=0；当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，∴f(x)>f(x0)=0；又当x∈(0,1]，f(x)=(x−a0)2−2xlnx>0．故当x∈(0,+∞)时，f(x)≥0恒成立．综上所述：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解．【解析】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．(I)函数f(x)=−2xlnx+x2−2ax+a2，其中a>0.可得：x>0.g(x)=f′(x)=2(x−1−lnx−a)，可得g′(x)=2−2x =2(x−1)x，分别解出g′(x)<0，g′(x)>0，即可得出单调性．(II)由f′(x)=2(x−1−lnx−a)=0，可得a=x−1−lnx，代入f(x)可得：u(x)=(1+ lnx)2−2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈(1,e)，使得u(x0)=0，令a0= x0−1−lnx0=v(x0)，再利用导数研究其单调性即可得出．24.【答案】解；(1)f′(x)=3ax2+b，∵函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c−16．∴f′(2)=12a+b=0，f(2)=8a+2b+c=c−16．解得a=1，b=−12．(2)由(1)可得：f(x)=x3−12x+c，f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，∴x=−2时，f(x)有极大值28，∴(−2)3−12×(−2)+c=28，解得c=12．∴f(x)=x3−12x+12，列出表格：由表格可知：在x=2处取得极小值12−16=−4.又f(−3)=21．∴f(x)在[−3,3]上的最小值是−4．【解析】(1)f′(x)=3ax2+b，由函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c−16.可得f′(2)=12a+b=0，f(2)=8a+2b+c=c−16.联立解出．(2)由(1)可得：f(x)=x3−12x+c，f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，可得x=−2时，f(x)有极大值28，解得c.列出表格，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。