2021年河北中考数学一轮复习 第二章 方程(组)与不等式(组)
解法思路 ⑥ 消元 ,即将二元一次方程组转化为一元一次方程.
⑦ 代入 消元法:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一 个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个 二元一次方程组的解.
解法
⑧ 加减 消元法:当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数是 相反数或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个 未知数,得到一个一元一次方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程 组的解.
方法
命题角度1 一次方程(组)的解法
例1 [2020江苏南京]已知x,y满足方程组
则x+y的值为__1__.
【思路分析】方法一:解方程组求得x,y的值,再求出x+y的值.
方法二:
②×2+①可得5x+5y的值,从而求得x+y的值.
命题角度1 一次方程(组)的解法
提分技法
二元一次方程组的一般解法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数是相反数或相等时,可用加 减消元法;当系数既不是相反数也不相等时,可通过找系数的最小公倍数将系 数变成相等或相反数,再用加减消元法求解. 注意:若涉及求方程组中两个未知数的代数式的值时,可以先考虑将方程组的 两个方程相加或相减,再比较所得式子与所求代数式的异同,从而求解.
命题角度2 一次方程(组)的实际应用
例2 [2019江苏盐城]体育器材室有A,B两种型号的实心球,1只A型球与1只B型球的质 量共7千克,3只A型球与1只B型球的质量共13千克. (1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克? (2)现有A型球、B型球的质量共17千克,则A型球、B型球各有多少只?
12
增长率问题
增长率=增长量÷原有量×100%,现产量=原产量×(1+增长率).如原产量 为a,产量提高10%后为a(1+10%).
数字问题
两位数的表示方法:一个两位数个位上的数是a,十位上的数是b,那么这个 两位数是⑨ 10b+a .如89可表示为8×10+9.
Байду номын сангаас
工程问题 工作总量=工作效率×工作时间,各部分工作量之和为1.
(2)设A型球a只,B型球b只,根据题意,得3a+4b=17.
∵a,b都是正整数,∴a=3,b=2.
答:A型球有3只,B型球有2只.
命题角度2 一次方程(组)的实际应用
提分技法
一次方程(组)实际应用题的解题思路
1.设元的方法. (1)直接设元法:直接设要求的量为未知数; (2)间接设元法:当问题较复杂时,有时设与要求的未知量相关的一些量为未知 数,即为间接设元.无论怎样设元,设几个未知数,就要列几个方程. 2.用一次方程组求解的应用题,一般有两个相等关系,若列一元一次方程求解, 则这两个相等关系一个用来设出未知数后表示另一个未知数,另一个相等关系 用来列方程;若列二元一次方程组,则这两个相等关系均用来列方程.
考点
考点1 一元一次方程及其解法 1.等式的基本性质
等式两边加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍是等式,即若a=b,则 性质1
a±c=① b±c .
等式两边乘以同一个数或除以同一个不为0的数,结果仍是等式,即若
性质2
a=b,则acb=c②
;若a=b,c≠0,则 =③
.
考点1 一元一次方程及其解法
【思路分析】(1)根据1只A型球与1只B型球的质量共7千克,3只A型球与1只B型球的 质量共13千克得出方程组,求解即可;(2)利用分类讨论得出方程的解即可.
命题角度2 一次方程(组)的实际应用
【自主解答】 解：(1)设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克,
根据题意,得
解得
答:每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克.
2.一元一次方程 只含有④ 一 个未知数(元),未知数的次数是⑤ 1 ,且等号两边都是整式的方程叫 做一元一次方程,一般形式:ax+b=0(a≠0).
3.解一元一次方程的一般步骤
考点2 二元一次方程(组)及其解法
定义
含有两个未知数,且含有未知数的项的次数都是1的整式方程,称为二元 一次方程,一般形式:ax+by=c(a≠0,b≠0);把具有相同未知数的两个二 元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.
第一部分 河北中考考点过关
第二章 方程(组)与不等式(组)
第二节 分式方程及其应用
目录（河北·中考 ）
考点
• 考点1 分式方程及其解法 • 考点2 分式方程的实际应用
方法
• 命题角度1 解分式方程 • 命题角度2 分式方程的实际应用
考点
考点1 分式方程及其解法
1.分式方程的概念 分母中含有①__未__知__数__的方程叫做分式方程.
销售问题
利润=售价-进价(不考虑其他费用),总利润=单件的利润×销售量 ,利润率=利润÷进价×100%,总价=单价×数量.
考点3 一次方程(组)的实际应用
常见类型
基本关系
利率问题
利息=本金×利率×期数,本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本 金×(1+利率×期数),年利率=月利率×12,月利率=年利率× 1 .
第一部分 河北中考考点过关
第二章 方程(组)与不等式(组)
第一节 一次方程(组)及其应用
目录（河北·中考 ）
考点
• 考点1 一元一次方程及其解法 • 考点2 二元一次方程(组)及其解法 • 考点3 一次方程(组)的实际应用 • 考点4 一次方程(组)的实际应用
方法
• 命题角度1 一次方程(组)的解法 • 命题角度2 一次方程(组)的实际应用
考点3 一次方程(组)的实际应用
1.列一次方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审:审清题意,分清题中的已知量和未知量,明确各数量之间的关系; (2)设:设出关键未知数(可设直接或间接未知数); (3)列:根据题中的等量关系,列方程(组); (4)解:解方程(组); (5)验:检验所解答案是否正确,是否符合题意和实际情况; (6)答:规范作答,注意单位名称.
考点3 一次方程(组)的实际应用 2.几种常见的方程类型、基本数量关系
常见类型
基本关系
相遇问题 甲走的路程+乙走的路程=全路程.
行
程 问
追及问题
同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程.同时不同地出发: 前者走的路程+两地距离=追者走的路程.
题
航行问题 顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度.
中考数学第一轮考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组)第8讲一元一次不等式(组)及其应用(练本)课
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场最多能购买50个甲种奖品.
(2)学校计划购买甲、乙两种奖品共100个，且此次购买奖品的费用不超过2 000元.正逢商场促销，所有商品一律八折销售，求学校在商场最多能购买 多少个甲种奖品.
解：设学校在商场购买m个甲种奖品，则购买(100－m)个乙种奖品. 根据题意，得30×0.8m＋20×0.8(100－m)≤2 000， 解得m≤50. 答：学校在商场最多能购买50个甲种奖品.
解：设购进电视机x台，则购进洗衣机(100－x)台.
根据题意，得
x
1 (100 x)， 2
1800x 1500(100 x) 161800，
解得 33 1 x 39 1 .
3
3
∵x为整数，
∴x可以取34，35，36，37，38，39，
∴商店共有6种进货方案.
11.学校准备为“趣味数学”比赛购买奖品.已知在商场购买3个甲种奖品和2 个乙种奖品共需130元，购买6个甲种奖品和5个乙种奖品共需280元.
3倍，购进A，B两种风扇的总金额不超过1 170元.根据以上信息，小丹共
有哪些进货方案？ 解：设购进A型风扇m台，则购进B型风扇(100－m)台.
根据题意，得
m 3(100 m),
10m
16(100
m)
解得71 2
1170，
3
m 75.
∵m为正整数，∴m可以取72，73，74，75，∴小丹共有4种进货方案：
12.(2020·德州)若关于x的不等式组
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第二节 一元二次方程及其应用
解：设参加交流会的茶叶制作商有 m 人．依题意得 m(m－1)＝380，解得 m1＝20，m2＝－19(舍去)． 答：参加交流会的茶叶制作商有 20 人．
4．(2022·荆州第 7 题 3 分)关于 x 的方程 x2－3kx－2＝0 实数根的情况，
下列判断中正确的是
(B)
A．有两个相等实数根
B．有两个不等实数根
C．没有实数根
D．有一个实数根
5．(2020·荆州第 9 题 3 分)定义新运算“a*b”：对于任意实数 a，b，都
有 a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运
解：设小路宽为 x m， 由题意，得(16－2x)(9－x)＝112. 整理，得 x2－17x＋16＝0. 解得 x1＝1，x2＝16＞9(不合题意，舍去)．∴x＝1. 答：小路的宽应为 1m.
17．(数学文化)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作， 其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长 多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的 长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意，长比宽多__112__步．
100.8
解：设后两次采购价格的平均增长率为 x，依题意得 480(1＋x)2＝480＋100.8，解得 x1＝0.1，x2＝－2.1(舍)． 答：后两次采购价格的平均增长率为 10%.
解：设售价为 y 元/袋时，每周的销售额为 32 400 元．依题意可列方程
y－260
为 y100－
10
＝32 400，解得 y1＝360，y2＝900.
第二节 一元二次方程及 其应用
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.选择合适的方法解一元二次方程， 常在压轴题中涉及考查；2.用一元二次方程根的判别式判断方程根的情 况或者根据根的情况求字母系数的取值范围，根与系数的关系的应用； 3.一元二次方程的应用主要以选择题的形式考查列方程，常在解答题中 与不等式、函数的实际应用结合考查，难度较大，分值一般 3－10 分．
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
∴原方程组的解为y＝1，将y＝1 代入 2kx－3y＜5 得 2×k×2－3＜5，解得 k＜2.
命题点 2：一次方程(组)的应用(近 3 年考查 15 次)
7．(数学文化)(2021·武汉第 7 题 3 分)我国古代数学名著《九章算术》
中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价
32 人.2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1
艘小船一次共可以满载游客的人数为
( B)
A．30
B．26
C．24
D．22
11．★(2022·武汉第 10 题 3 分)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛 书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要 求每一横行、 每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图① 就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 ( D ) A．9 B．10 C．11 D．12
14．(2020·仙桃第 12 题 3 分)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每 队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 14 场比赛得到 23 分，则该队胜 了__99__场．
15．(2020·黄冈第 19 题 6 分)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组 织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买 6 盒 羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉，共需 960 元，如果购买 1 盒羊角春牌 绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需 300 元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔 牌藕粉分别需要多少元？
【分层分析】设购进创意文具袋 x 个，由题干信息①得购进笔记本为
((2x2＋x＋10)个，由题干信息②可列方程为 xx＋＋(2(x2＋x1＋0)1＝0)190.
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 分式方程及其应用
③若分式方程的解为正数，则 a 的取值范围为 aa＞＞－－4 且4且a a≠≠11；
yy－－33≠≠00，，
【 分 层 分 析 】 若 分 式 方 程 的 解 为 正 数 ， 则 yy＞＞00 ， 即
3533aaa＋5＋＋5513112a22－＋－＞3130≠2≠00，，
， ＞0
解得 aa＞＞－－4 且4且a a≠≠1.1
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2022·普宁月考)若分式方程2xx－－1a－4＝－x2＋x＋1 a的解为整数，则整
数 a 的值为
(D )
A．±2
B．±1 或±2
C．1 或 2
D．±1
4．(2022·富川县模拟)关于 x 的分式方程2m－＋xx＋x－3 2＝1 有解，则实数
m 应满足的条件是 A．m＝－1
1．(2022·鼓楼区期末)关于 x 的分式方程x＋m 3＝1，下列说法中正确的
是
( B)
A．方程的解是 x＝m－3
B．当 m＞3 时，方程的解是正数
C．当 m＜3 时，方程的解为负数
D．当 m＝3 时，方程无解
2．(2022·荷塘区模拟)分式方程2x＋x－a 1＝2 的解为 x＝2，则 a 的值为 ( A)
④若分式方程有负分数解，则 a 的值可以为 －－5(5答(答案不案唯不一唯) ；
【分层分析】若分式方程有负分数解，则 3a＋一12)＝－－1，1，－2－，－2，3，－－34，，
4－，6 －…，解得 6…
a＝3－133，－134，－153，－136或－6…－，∴a
的值可以为
－55.
⑤若分式方程有非负整数解，则 a 的值可以为 －－44(答(答案不案唯不唯一) . 【解分得层a＝分3－析4】，若－分73式，方－程23，1有383非，负133整或数…解，则，3a∴＋5a一1的2＝)值00或可，，1以…，1为2，，－－42，，454.4或，…5，
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第二节 一元二次方程及其应用
3．(2022·龙东)2022 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单 循环比赛，单循环比赛共进行了 45 场，则共有多少支队伍参加比赛（ B ） A．8 支 B.10 支 C.7 支 D.9 支
4．(2022·河南)一元二次方程 x2＋x－1＝0 的根的情况是 A．有两个不等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
D.8(1＋x2)＝11.52
8．(2021·龙东)有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有 144 人 患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 （ B ） A．14 人 B.11 人
C.10 人 D.9 人
9．方程 x2－6x＋5＝0 的解为 11或或55. 10. (2022·连云港)若关于 x 的一元二次方程 mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一 个解是 x＝1，则 m＋n 的值是 11 . 11. (2022·宿迁) 若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋k＝0 有实数根，则 实数 k 的取值范围是 kk≤≤11.
第二节 一元二次方程及 其应用
1．(2022·临沂)方程 x2－2x－24＝0 的根是 A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝－4 C．x1＝－6，x2＝4 D．x1＝－6，x2＝－4
（B ）
2．(2022·武威)用配方法解方程 x2－2x＝2 时，配方后正确的是（ C ） A．(x＋1)2＝3 B．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝3 D．(x－1)2＝6
18．(2022·嘉兴)设 a5是一个两位数，其中 a 是十位上的数字(1≤a≤
9)．例如，当 a＝4 时， a5 表示的两位数是 45.
(1)尝试： ①当 a＝1 时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当 a＝2 时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当 a＝3 时，352＝1 225＝33××4×41×0010＋025；
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
2021年中考数学 一轮专题训练：一元一次不等式(组)(含答案)
2021中考数学 一轮专题训练：一元一次不等式（组）一、选择题（本大题共10道小题）1. 若x ＋5>0，则( )A. x ＋1<0B. x －1<0C. x5<－1 D. －2x <122. 一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图，则下列符合条件的不等式组为( )A.B.2,1x x <⎧⎨>-⎩C.2,1x x <⎧⎨≥-⎩D.2,1x x <⎧⎨≤-⎩3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是 ( )4. 红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完.若所获利润大于750元，则该店进货方案有 ( )A .3种B .4种C .5种D .6种5. 直线l 1：y ＝k 1x ＋b与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图X2－2－3，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为( )A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞－2D ．x ＜－26. 已知点M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是()7. （2019·聊城）若不等式组11324x xx m +⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则m 的取值范围为A ．2m ≤B ．2m <C ．2m ≥D ．2m >8. 不等式组24339x x x x <+⎧⎨+≥+⎩的解集在数轴上用阴影表示正确的是A ．B ．C ．D ．9. 若不等式25123x x +-≤-的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3(1)552()x x m x +>++﹣成立，则m 的取值范围是A ．35m >-B ．15m <-C ．35m <-D ．15m >-10. （2019•呼和浩特）若不等式253x+-1≤2-x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x-1）+5>5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是A．m>-35B．m<-15C．m<-35D．m>-15二、填空题（本大题共7道小题）11. 不等式组的最小整数解是.12. 若关于x的不等式组2,xx m⎧⎨⎩＞＞的解集是x＞2，则m的取值范围是________．13. （2019•甘肃）不等式组2021xx x-≥⎧⎨>-⎩的最小整数解是__________．14. （2019•鄂州）若关于x、y的二元一次方程组34355x y mx y-=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y≤0，则m的取值范围是__________．15. 已知不等式组29611x xx k+>-+⎧⎨->⎩的解集为1x>-，则k的取值范围是__________．16. （2019•荆州）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n-0.5≤x<n+0.5，则（x）=n．如（1.34）=1，（4.86）=5．若（0.5x-1）=6，则实数x的取值范围是__________．17. 已知关于x的方程2x＝m的解满足⎩⎨⎧x－y＝3－nx＋2y＝5n(0<n<3)，若y>1，则m的取值范围是________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 试确定实数a的取值范围，使不等式组123544(1)33x xax x a+⎧+>⎪⎪⎨+⎪+>++⎪⎩恰有两个整数解．19. 某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量3 0人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A 型客车和4辆B型客车共需费用10300元．(1)求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；(2)为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？20. 某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过2 30元，求可能的购买方案？21. 为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出，有甲、乙两种票，已知甲、乙两种票的单价比为4∶3，单价和为42元．(1)甲乙两种票的单价分别是多少元？(2)学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多于15张，有哪几种购买方案？2021中考数学一轮专题训练：一元一次不等式（组）-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D【解析】，若x＋5>0，则x>－5.逐项分析如下：A∵x ＋1>－4，∴x ＋1<0不能确定×B ∵x －1>－6，∴x －1<0不能确定×C ∵x>－5，∴x5>－1 × D∵x>－5，－2x<10<12√2. 【答案】C3. 【答案】B[解析]解不等式2x -6<3x ，得x>-6，解不等式≥0，得x ≤13，故选B .4. 【答案】C[解析]设该店购进甲种商品x 件，则购进乙种商品(50-x )件，根据题意，得:解得20≤x<25.∵x 为正整数，∴x=20，21，22，23，24， ∴该店进货方案有5种，故选C .5. 【答案】B6. 【答案】A解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m ，1－m )．又∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m >0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m <12，m <1.在数轴上表示为.故选A.7. 【答案】A【解析】解不等式1132x x+<--，得：x>8，∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2，故选A ．8. 【答案】C【解析】不等式组整理得：43x x <⎧⎨≤-⎩，∴不等式组的解集为3x ≤-，故选C ．9. 【答案】C【解析】解不等式25123x x +-≤-得：45x ≤， ∵不等式25123x x +-≤-的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3(1)552()x x m x -+>++成立，∴12mx -<，故选C．10. 【答案】C【解析】解不等式253x+-1≤2-x得：x≤45，∵不等式253x+-1≤2-x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x-1）+5>5x+2（m+x）成立，∴x<12m-，∴12m->45，解得：m<-35，故选C．二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】x=012. 【答案】m≤213. 【答案】0【解析】不等式组整理得：21xx≤⎧⎨>-⎩，∴不等式组的解集为-1<x≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0．14. 【答案】m≤-2【解析】34355x y m x y -=+⎧⎨+=⎩①②，①+②得2x+2y=4m+8，则x+y=2m+4，根据题意得2m+4≤0，解得m≤-2． 故答案为：m≤-2．15. 【答案】2k ≤-【解析】29611x x x k +>-+⎧⎨->⎩①②，由①得1x >-； 由②得1x k >+．∵不等式组29611x x x k +>-+⎧⎨->⎩的解集为1x >-，∴11k +≤-， 解得2k ≤-． 故答案为：2k ≤-．16. 【答案】13≤x<15【解析】依题意得：6-0.5≤0.5x -1<6+0.5，解得13≤x<15．故答案为：13≤x<15．17. 【答案】25＜m ＜23 【解析】解原方程组，得⎩⎨⎧x ＝n ＋2y ＝2n －1.∵y ＞1，∴2n －1＞1，即n ＞1.∵0＜n ＜3，∴1＜n ＜3，∴3＜x ＜5.当x ＝3时，m ＝2x ＝23；当x ＝5时，m ＝2x ＝25.∵当x ＞0时，m 随x 的增大而减小，∴25＜m ＜23.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋13>0， ①x ＋5a ＋43>43x ＋1＋a . ②解不等式①，得x >－25. 解不等式②，得x <2a .由该不等式有实数解，得该不等式组的解集为－25<x <2a . 又由该不等式恰有两个整数解，得1<2a ≤2. 解得12<a ≤1.∴实数a 的取值范围为12<a ≤1.19. 【答案】(1)设租用A ，B 两型客车，每辆费用分别是x 元、y 元，43107003410300x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得，17001300x y =⎧⎨=⎩，答：租用A ，B 两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元． (2)设租用A 型客车a 辆，租用B 型客车b 辆，45302401700130010000a b a b +≥⎧⎨+≤⎩，解得，25a b =⎧⎨=⎩，42a b =⎧⎨=⎩，51a b =⎧⎨=⎩， ∴共有三种租车方案，方案一：租用A 型客车2辆，B 型客车5辆，费用为9900元， 方案二：租用A 型客车4辆，B 型客车2辆，费用为9400元， 方案三：租用A 型客车5辆，B 型客车1辆，费用为9800元， 由上可得，方案二：租用A 型客车4辆，B 型客车2辆最省钱．20. 【答案】(1)设购买甲种树苗x 棵，购买乙种树苗(240)x -棵， 由题意可得，3020(240)9000x x +-=，509800x =，196x =，∴购买甲种树苗196棵，乙种树苗352棵．(2)设购买甲树苗y 棵，乙树苗(10)y -棵， 根据题意可得，3020(10)230y y +-≤，1030y ≤， ∴3y ≤，∵y 为自然数，∴y=3、2、1、0，有四种购买方案，购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵； 购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵．21. 【答案】解：(1)设甲票价为4x 元，则乙为3x 元．∴3x ＋4x ＝42，解得x ＝6.∴4x ＝24，3x ＝18.∴甲、乙两种票的单价分别是24元、18元．(2)设甲票有y 张，根据题意，得⎩⎨⎧ 24y ＋1836－y ≤750，y ＞15.解得15＜y ≤17.∵x 为整数，∴y ＝16或17.∴有两种购买方案：甲种票16张，乙种票20张；甲种票17张，乙种票19张．。
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第二节 一元二次方程及其应用
11.(2021·海淀区校级模拟)如图，某小区规划在一 个长 30 m、宽 20 m 的长方形 ABCD 土地上修建三条 同样宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积 都为 78 m2，那么通道的宽应设计成多少 m？设通道 的宽为 x m，由题意列得方程 x2－35x＋66＝0.
解：设降低 x 元，超市每天可获得销售利润 3 640 元，由题意，得 (38－x－22)160＋x3×120＝3 640， 整理得 x2－12x＋27＝0，∴x＝3 或 x＝9.
∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x＝9， ∴售价为 38－9＝29(元/千克)． 答：水果的销售价为每千克 29 元时，超市每天可获得销售利润 3 640 元．
B．x2＋3x＋2＝0
C．x2－2x＋1＝0
D．x2＋2x＋3＝0
( D)
5．(2021·湘潭)为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药
品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 64 元，求平均每次降价的百
分率．设平均每次降价的百分率为 x，可列方程为
( A)
A．100(1－x)2＝64
12．(2021·济宁)设 m，n 是方程 x2＋x－2 021＝0 的两个实数根，则 m2
＋2m＋n 的值为 2200220 .
0
a b
2 1
13．对于实数 a，b，c，d，我们定义运算c d＝ad－bc，例如：3 5
x x－2
＝2×5－1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若6 x
＝4，则 x
17．(2021·内江)若关于 x 的一元二次方程 ax2＋4x－2＝0 有实数根，则
a 的取值范围为 a≥－2且
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
x＋y＝40， x＋y＝12， C.3x＋4y＝12 D.3x＋4y＝40
6．(2019·岳阳第 15 题 4 分)我国古代的数学名著《九章算术》中有下 列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”其意思 为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺．问每日各织 多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布335115 尺．
8. (2019·娄底第 23 题 9 分)某商场用 14 500 元购进甲、乙两种矿泉水
共 500 箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：
类别
成本价(元/箱)
销售价(元/箱)
甲
25
35
乙
35
48
求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
解：设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱，依题意，得
x＋y＝500， 25x＋35y＝14 500，
2 次，2020 年考查 2 次)
2x－y＝5， 1．(2021·郴州第 6 题 3 分)已知二元一次方程组x－2y＝1，则 x－y 的
值为
（ A）
A．2
B．6
C．－2
D．－6
2．(2021·株洲第 2 题 4 分)方程x2－1＝2 的解是 A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6
（ D）
3．(2019·湘潭第 6 题 4 分)若关于 x 的方程 3x－kx＋2＝0 的解为 2，则 k 的值为 44 .
m＝8，m＝5， m＝2， ∴n＝2，n＝6，或n＝10， ∴共有 3 种运输方案，
方案 1：安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆， 所需费用：500×8＋400×2＝4 800(元)； 方案 2：安排 A 型车 5 辆，B 型车 6 辆， 所需费用：500×5＋400×6＝4 900(元)； 方案 3：安排 A 型车 2 辆，B 型车 10 辆， 所需费用：500×2＋400×10＝5 000(元)． ∵4 800＜4 900＜5 000， ∴安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆最省钱，最省钱的运输费用为 4 800 元．
2021年春人教版数学中考第一轮知识点训练 《不等式(组)》导学案
《不等式(组)》导学案考点1 不等式的性质性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．即：如果a >b ，那么a ＋c ________b ＋c ，a －c ________b －c ； 性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 即：如果a >b ，c >0，那么a ·c ________b ·c ，a c ________b c ； 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 即：如果a >b ，c <0，那么a ·c ________b ·c ，a c ________b c . 考点2 一元一次不等式及其解法 1．解一元一次不等式的一般步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(系数化为1时，注意不等号方向是否改变)．2．一元一次不等式的解集在数轴上的表示1．解一元一次不等式组的步骤 (1)分别解每一个不等式；(2)确定公共部分即不等式组的解集． 2．一元一次不等式组的解集的四种类型设a <b ，a ，b 是常数，关于x 的不等式组的解集的四种情况如下表：1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥1，2x －6≤0的解集为________．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2>1，－2x ≤4的解集为________．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－2x <5，2(x －2)≤1的解集为________．考点4 一元一次不等式(组)的实际应用解决不等式的实际应用问题时，常见的关键词与不等号的对比表：研究1 不等式的性质1．若m >n ，则下列不等式正确的是 ( ) A ．m －2<n －2B ．m 4>n4C ．6m <6nD ．－8m >－8n研究2 一元一次不等式及其解法 2．不等式－3x >2的解集是________． 3．不等式1－x 3＋2≤x ＋12的解集是________． 研究3 不等式(组)的解法及数轴表示4．[2020威海模拟]解不等式组⎩⎨⎧2x ＋5≤3(x ＋2)，1－2x 3＋15>0，并把解集在数轴上表示出来．研究4 不等式组的特殊解及根据不等式(组)的解集确定字母的值或范围■命题角度1：不等式组的整数解5．[2020扬州模拟]解不等式组⎩⎨⎧2－x ≤2(x ＋4)，x <x －13＋1，并写出该不等式组的最大整数解．6．[上题变式]上题中的不等式组不变，求出它的所有非负整数解．■命题角度2：根据不等式组的解集，确定字母系数的值(或取值范围)7．[2020宿迁模拟]关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>3，a －x >1的解集为1<x <3，则a 的值为________．研究5 列一元一次不等式(组)解应用题8．[2020济宁模拟]“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A ，B 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102 000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？9．[变式训练] [2020宁波模拟]某商场销售A ，B 两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：售后可获毛利润9万元．(毛利润＝(售价－进价)×销售量)(1)该商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备各多少套？ (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A 种设备的购进数量，增加B 种设备的购进数量，已知B 种设备增加的数量是A 种设备减少的数量的1.5倍，若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A 种设备购进数量至多减少多少套？训练点1 不等式(组)1．[2020永州模拟]若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >m －1恰有两个整数A ．－1≤m <0B ．－1<m ≤0C ．－1≤m ≤0D ．－1<m <02．[2020乐山模拟]下列说法不一定成立的是( ) A ．若a >b ，则a ＋c >b ＋c B ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若ac 2>bc 2，则a >b3．[2020恩施州模拟]关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)>4，a －x <0的解集为x ＞3，那么a 的取值范围为( )A ．a ＞3B ．a ＜3C ．a ≥3D ．a ≤34．[2020泸州模拟]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －b ≥0，x ＋a ≤0的解集为3≤x ≤4，则关于x 的不等式ax ＋b <0的解集为________．5．[2020贵阳模拟]已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ≥－1，a －x <0无解，则a 的取值范围是________．6．[2020德州模拟]先化简，再求值：x －3x 2－1÷x －3x 2＋2x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1，其中x 是不等式组⎩⎨⎧5x －3>3(x ＋1)，12x －1<9－32x的整数解．训练点2 不等式(组)的应用1．[2020日照模拟]某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有( )A ．29人B ．30人C ．31人D ．32人2．[2020张家界模拟]阅读下面的材料：对于实数a ，b ，我们定义符号min{a ，b }的意义为：当a <b 时，min{a ，b }＝a ；当a >b 时，min{a ，b }＝b ，如：min{4，－2}＝－2，min{15,5}＝5.根据上面的材料回答下列问题： (1)min{－1,3}＝________；(2)当min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x －32，x ＋23＝x ＋23时，求x 的取值范围．《不等式(组)》导学案考点1 不等式的性质性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．即：如果a >b ，那么a ＋c ________b ＋c ，a －c ________b －c ； 性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 即：如果a >b ，c >0，那么a ·c ________b ·c ，a c ________b c ； 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 即：如果a >b ，c <0，那么a ·c ________b ·c ，a c ________b c . 答案：> > > > < < 考点2 一元一次不等式及其解法 1．解一元一次不等式的一般步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(系数化为1时，注意不等号方向是否改变)．2．一元一次不等式的解集在数轴上的表示1．解一元一次不等式组的步骤 (1)分别解每一个不等式；(2)确定公共部分即不等式组的解集． 2．一元一次不等式组的解集的四种类型设a <b ，a ，b 是常数，关于x 的不等式组的解集的四种情况如下表：[练习学知]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥1，2x －6≤0的解集为________．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2>1，－2x ≤4的解集为________．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－2x <5，2(x －2)≤1的解集为________．答案：1.x ≤0 2.x >3 3.－1<x ≤52 考点4 一元一次不等式(组)的实际应用解决不等式的实际应用问题时，常见的关键词与不等号的对比表：[题型研究]研究1 不等式的性质1．若m >n ，则下列不等式正确的是 ( ) A ．m －2<n －2 B ．m 4>n 4 C ．6m <6n D ．－8m >－8n答案：B研究2 一元一次不等式及其解法 2．不等式－3x >2的解集是________． 答案：x <－233．不等式1－x 3＋2≤x ＋12的解集是________． 答案：x ≥115研究3 不等式(组)的解法及数轴表示4．[2020威海模拟]解不等式组⎩⎨⎧2x ＋5≤3(x ＋2)，1－2x 3＋15>0，并把解集在数轴上表示出来．[解]⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3(x ＋2)，①1－2x 3＋15>0，②解不等式①，得x ≥－1，解不等式②，得x <45. ∴原不等式组的解集为－1≤x <45. 在数轴上表示如图所示．研究4 不等式组的特殊解及根据不等式(组)的解集确定字母的值或范围■命题角度1：不等式组的整数解5．[2020扬州模拟]解不等式组⎩⎨⎧2－x ≤2(x ＋4)，x <x －13＋1，并写出该不等式组的最大整数解．[解]⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≤2(x ＋4)，①x <x －13＋1，②解不等式①，得x ≥－2， 解不等式②，得x <1.∴不等式组的解集为－2≤x <1， ∴最大整数解为x ＝0.6．[上题变式]上题中的不等式组不变，求出它的所有非负整数解．答案：0■命题角度2：根据不等式组的解集，确定字母系数的值(或取值范围)7．[2020宿迁模拟]关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>3，a －x >1的解集为1<x <3，则a 的值为________．答案：4研究5 列一元一次不等式(组)解应用题8．[2020济宁模拟]“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A ，B 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102 000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？[解] (1)设清理养鱼网箱的人均支出费用为x 元，清理捕鱼网箱的人均支出费用为y 元，根据题意，得⎩⎨⎧15x ＋9y ＝57 000，10x ＋16y ＝68 000，解得⎩⎨⎧x ＝2 000，y ＝3 000.答：清理养鱼网箱的人均支出费用为2 000元，清理捕鱼网箱的人均支出费用为3 000元．(2)设m 人清理养鱼网箱，则(40－m )人清理捕鱼网箱，根据题意，得⎩⎨⎧2 000 m ＋3 000(40－m )≤102 000，m <40－m ，解得18≤m ＜20，∵m 为整数，∴m ＝18或m ＝19，则分配清理人员方案有两种： 方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱； 方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．9．[变式训练] [2020宁波模拟]某商场销售A ，B 两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：售后可获毛利润9万元．(毛利润＝(售价－进价)×销售量)(1)该商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备各多少套？ (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A 种设备的购进数量，增加B 种设备的购进数量，已知B 种设备增加的数量是A 种设备减少的数量的1.5倍，若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A 种设备购进数量至多减少多少套？解：(1)设该商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备分别为x 套、y 套，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋1.2y ＝66，(1.65－1.5)x ＋(1.4－1.2)y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝30.答：该商场计划购进A 种设备20套，B 种设备30套． (2)设A 种设备购进数量减少a 套，则B 种设备购进数量增加1.5a 套，由已知，得1．5(20－a )＋1.2(30＋1.5a )≤69，解得a ≤10. 答：A 种设备购进数量至多减少10套．训练点1 不等式(组)1．[2020永州模拟]若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >m －1恰有两个整数A ．－1≤m <0B ．－1<m ≤0C ．－1≤m ≤0D ．－1<m <0答案：A2．[2020乐山模拟]下列说法不一定成立的是( ) A ．若a >b ，则a ＋c >b ＋c B ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：C3．[2020恩施州模拟]关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)>4，a －x <0的解集为x ＞3，那么a 的取值范围为( )A ．a ＞3B ．a ＜3C ．a ≥3D ．a ≤3答案：D4．[2020泸州模拟]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －b ≥0，x ＋a ≤0的解集为3≤x ≤4，则关于x 的不等式ax ＋b <0的解集为________．答案：x >325．[2020贵阳模拟]已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ≥－1，a －x <0无解，则a 的取值范围是________．答案：a ≥26．[2020德州模拟]先化简，再求值：x －3x 2－1÷x －3x 2＋2x ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1，其中x 是不等式组⎩⎨⎧5x －3>3(x ＋1)，12x －1<9－32x的整数解．解：原式＝x －3(x ＋1)(x －1)·(x ＋1)2x －3－1＋x －1x －1＝x ＋1x －1－x x －1＝1x －1， 解不等式组⎩⎨⎧5x －3>3(x ＋1)，12x －1<9－32x ，得3＜x ＜5，即整数解x ＝4，则原式＝13.训练点2 不等式(组)的应用1．[2020日照模拟]某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有( )A ．29人B ．30人C ．31人D ．32人答案：B2．[2020张家界模拟]阅读下面的材料：对于实数a ，b ，我们定义符号min{a ，b }的意义为：当a <b 时，min{a ，b }＝a ；当a >b 时，min{a ，b }＝b ，如：min{4，－2}＝－2，min{15,5}＝5.根据上面的材料回答下列问题： (1)min{－1,3}＝________；(2)当min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x －32，x ＋23＝x ＋23时，求x 的取值范围． 解：(1)由题意，得min{－1,3}＝－1. 故答案为－1.(2)由题意，得2x －32≥x ＋23， 3(2x －3)≥2(x ＋2)， 6x －9≥2x ＋4， 4x ≥13，x ≥134. ∴x 的取值范围为x ≥134.。