高中数学 人教A版必修4 第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(一)
其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . (3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b
|a|cos θ ， |b|cos θ 方向的投影是_______ 向量 b 在 a 方向上的投影是_______.
3．数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方
|b|cos θ 的乘积． 向上的投影_______
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（一）
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
平面向量数量积的含义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所
∴a· b＝|a|· |b|cos 180° ＝4×5×(－1)＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30°
2.4.1（一）
【学法指导】 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的 区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习 本 课 时必须透彻理解数量积概念的内涵． 时 栏 目 2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰 开 关 富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中 已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式也要严 格区分，a· b 中的“· ”不能省略.
|F||s|cos θ ＝___ F· s. 做的功 W＝_________
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2.4.1（一）
问题 2
本 课 时 栏 目 开 关
ห้องสมุดไป่ตู้
向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量 a 与 b. π 0， 2 时，a· 当 θ∈_________ b>0； π θ＝2 当_________ 时，a· b＝0，即 a⊥b； π ，π 当 θ∈_________ b<0. 2 时，a·
符号取决于夹角 θ 的范围.
本 课 时 栏 目 开 关
θ 范围
θ 是锐角
θ 是直角
θ 是钝角
图形
符号
|b|cos θ > 0
|b|cos θ＝ 0
|b|cos θ < 0
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2.4.1（一）
探究点三
平面向量数量积的性质
根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质． 设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角．
本 课 时 栏 目 开 关
(1)当〈a，b〉＝0 时，a· b＝ |a||b| ； 当〈a，b〉＝π 时，a· b＝ －|a||b| ； π 当〈a，b〉＝ 时，a· b＝ 0 ； 2
2 | a | (2)a· a＝ 或|a|＝ a· a＝ a2； a· b (3)cos θ＝ |a||b| ；
(4)|a· b| ≤ |a||b|.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.4.1（一）
1．两个向量的夹角
本 课 时 栏 目 开 关
→ → (1)已知两个非零向量 a，b，作OA＝a，OB＝ b，则 ∠AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角， 记作 〈a，b〉 ，并规定它的范围是 0≤〈a，b〉≤π . 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a， b〉＝〈b，a〉 ． π 〈a，b〉＝2 (2)当 时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直，记作
a· b a· b |a|cos θ＝ |b| ；|b|cos θ＝ |a| .
例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120° ，则 a 在 b 方
1 －2 － 1 向上的投影为 ，b 在 a 方向上的投影为 .
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2.4.1（一）
问题 2
向量 b 在 a 方向上的投影不是向量，而是数量，它的
a⊥b
.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.4.1（一）
2．平面向量的数量积
|a||b|cos θ (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量_________
|a||b|cos θ ， 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)， 记作 a· b， 即 a· b＝_________
本 课 时 栏 目 开 关
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2.4.1（一）
【典型例题】 例 1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹 角为 30° 时，分别求 a 与 b 的数量积．
本 课 时 栏 目 开 关
解 (1)a∥b， 若 a 与 b 同向， 则 θ＝0° ， a· b＝|a|· |b|· cos 0° ＝4×5 ＝20；若 a 与 b 反向，则 θ＝180° ，
本 课 时 栏 目 开 关
2.4.1（一）
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)
【学习要求】
本 课 1．了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生 时 栏 位移 s 所做的功． 目 开 2．掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义． 关
3．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是 否垂直．
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2.4.1（一）
探究点二 问题 1
本 课 时 栏 目 开 关
投影
我们把|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影， |b|cos θ
叫做向量 b 在 a 方向上的投影，其中 θ 为向量 a 与 b 的夹 角．由数量积的定义 a· b＝|a||b|cos θ 可得：
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2.4.1（一）
并证明第(4)条性质．
证明
本 课 时 栏 目 开 关
|a· b|≤|a||b|.
设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a· b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得：|a· b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝± 1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a· b|≤|a||b|.
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人教版A版高中数学必修4：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
bB
θ
O
A
a B1
向量的数量积是一个数量，不是一个 向量，那么它什么时候为正，什么时候 为负？
当0°≤θ ＜ 90°时a b· 为正；
当90°＜θ ≤180°时a b· 为负。 当θ =90°时a ·b为零。
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
解： a b a b cos
5 4cos120 5 4( 1)
2 10
设 a、b 是非零向量，则
(1)a
b
a
b
0.
(2)当a与b同向时，
a
b
|
a
||
b
|;
当ห้องสมุดไป่ตู้与b反向时，
a
b
|
a
||
b
|;
特别地
a
a
|
a
|2
b|;
|| b |;
a
a|
a
|2
或
|
a
|
a a
a
2
| a b || a || b |
(3)a
b等于a的长度
a
与b在a的方向上的投影
b
cos的乘积。
作业：
P106 练习1、2、3 P108 A组2、10
(√)
6)若a b a b ,则 a ∥b
(√)
7)对任意向量a有a2 a 2
(√)
小结：(1)a b a b cos
当0°≤θ ＜ 90°时a b· 为正；
2.4.1平面向量数量积的物理背景及几何意义-人教A版高中数学必修四课件(共15张PPT)
(a )b (a b ) a (b )
分配律： (a+b)c=ab+bc 消去律: ab=bc(b≠0) a=c
(ab)cacbc
向量数量积运算不能使用 消去律
证明运算律(3)
b
向量a、b、a + b
2
在c上的射影的数量分
a a+b
别是OM、MN、 ON, 1
证明 O ： N O 因 M M ,所 为 N O a 以 Mb 在 c 方 N 向 c 上 等 a 在 于 c 方向上 b 在 的 c 方投 向影 .上加 的
a bcosa co 1 sbco s2
两边同c时 ,得乘以
a bccosa cco 1 sbcco s2
即a （ b） ca cbc 得证！
典型例题 例1.已知向量a，b,求证下列各式
（ 1） (a rb r)2a r22a rb rb r2 r r r r r2 r2
(2)(ab)(ab)ab
解：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
（2）(a＋b)·(a＝－(ba)＋＝b(a)＋·ab＋)·(aa－＋(ab＋)·bb)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
＝a·a ＋a b2· a＋b 2a·b＋b·b 向量的数量积运算类＝似于a2多＋项2式a运·算b＋b2.
r r rr 例 2 . 已 知 |a | 6 ,|b | 4 ,a 与 b 夹 角 为 6 0 o ,
r r rr 例 3 .已 知 |a | 3 ,|b | 4 ,且 a 与 b 不 共 线 .
rr rr k 为 何 值 时 ,(a k b ) (a k b )？
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）·（a-kb）=0
分配律： (a+b)c=ab+bc 消去律: ab=bc(b≠0) a=c
(ab)cacbc
向量数量积运算不能使用 消去律
证明运算律(3)
b
向量a、b、a + b
2
在c上的射影的数量分
a a+b
别是OM、MN、 ON, 1
证明 O ： N O 因 M M ,所 为 N O a 以 Mb 在 c 方 N 向 c 上 等 a 在 于 c 方向上 b 在 的 c 方投 向影 .上加 的
a bcosa co 1 sbco s2
两边同c时 ,得乘以
a bccosa cco 1 sbcco s2
即a （ b） ca cbc 得证！
典型例题 例1.已知向量a，b,求证下列各式
（ 1） (a rb r)2a r22a rb rb r2 r r r r r2 r2
(2)(ab)(ab)ab
解：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
（2）(a＋b)·(a＝－(ba)＋＝b(a)＋·ab＋)·(aa－＋(ab＋)·bb)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
＝a·a ＋a b2· a＋b 2a·b＋b·b 向量的数量积运算类＝似于a2多＋项2式a运·算b＋b2.
r r rr 例 2 . 已 知 |a | 6 ,|b | 4 ,a 与 b 夹 角 为 6 0 o ,
r r rr 例 3 .已 知 |a | 3 ,|b | 4 ,且 a 与 b 不 共 线 .
rr rr k 为 何 值 时 ,(a k b ) (a k b )？
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）·（a-kb）=0
人教A版高中数学必修四课件：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义.pptx.pptx
高中数学课件
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2.4 平面向量的数量积
-2-
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
-3-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义. 3.掌握平面向量数量积的重要性质及其运算律,并能运用这些性 质与运算律解决有关问题.
a·b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量
积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不
能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的
写法我们就非常熟悉了.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
量b方向上的投影等于( )
A.2 B.120°
C.-1 D.由向量b的长度确定
解析:|a|cos120°=2cos120°=-1.
答案:C
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
123
2.运算律
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
123
【做一做 3-1】在 Rt△ABC 中,A=90°,则������������ ·������������ =
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2.4 平面向量的数量积
-2-
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
-3-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义. 3.掌握平面向量数量积的重要性质及其运算律,并能运用这些性 质与运算律解决有关问题.
a·b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量
积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不
能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的
写法我们就非常熟悉了.
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
量b方向上的投影等于( )
A.2 B.120°
C.-1 D.由向量b的长度确定
解析:|a|cos120°=2cos120°=-1.
答案:C
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
123
2.运算律
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
123
【做一做 3-1】在 Rt△ABC 中,A=90°,则������������ ·������������ =
人教A高中数学必修4 精选优课课件 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1
03:40
例1:已知 a 5，b 4，a与b的夹角为120 o，求
ab
注意：向量的 数量积是一个 数量。
03:40
9
向量的数量积是一个数量，那么它 什么时候为正，什么时候为负？
a b a b cos
当0°＜θ＜90°时 a b为正； 当90°＜θ＜180°时a b 为负.
03:40
10
03:40
a0 0
7
二、数量积的几何意义
（r1）投影的r 概念：
| b | cos (或 | a | cos ) 叫做向量 b在 a 8
方向上（或向量 a在 b 方向上）的
投影.
（a2）b等数于量a积O的的长|几bθ|度co何bs|θa意B|1与B义ab：A在 a 方向上
的投影 | b | cos 的乘积.
03:40
16
已知|a|＝|b|＝2，a b ＝2，
则|a－b|＝____
1.向量的数量积：a b a b cos 2.向量数量积的几何意义，投影概念. 3.几个重要结论. 4.数量积的运算律.
1.已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角
为120°，求：
(1)a在b方向上的投影；
(2)(a－2b)·(a＋b)；
问题2:一个物体在力F的作用下发生了位移s， 那么该力对此物体所做的功为多少？
F
┓
s
03:40
4
F θ
O
位移S
F
θ S
A
一个物体在力 F的作用下产生位移 S
那么力 F 所做的功 W= F S F S cos
03:40
5
我们将功的运算类比到两个向量的一 种运算，得到向量“数量积”的概念。
例1:已知 a 5，b 4，a与b的夹角为120 o，求
ab
注意：向量的 数量积是一个 数量。
03:40
9
向量的数量积是一个数量，那么它 什么时候为正，什么时候为负？
a b a b cos
当0°＜θ＜90°时 a b为正； 当90°＜θ＜180°时a b 为负.
03:40
10
03:40
a0 0
7
二、数量积的几何意义
（r1）投影的r 概念：
| b | cos (或 | a | cos ) 叫做向量 b在 a 8
方向上（或向量 a在 b 方向上）的
投影.
（a2）b等数于量a积O的的长|几bθ|度co何bs|θa意B|1与B义ab：A在 a 方向上
的投影 | b | cos 的乘积.
03:40
16
已知|a|＝|b|＝2，a b ＝2，
则|a－b|＝____
1.向量的数量积：a b a b cos 2.向量数量积的几何意义，投影概念. 3.几个重要结论. 4.数量积的运算律.
1.已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角
为120°，求：
(1)a在b方向上的投影；
(2)(a－2b)·(a＋b)；
问题2:一个物体在力F的作用下发生了位移s， 那么该力对此物体所做的功为多少？
F
┓
s
03:40
4
F θ
O
位移S
F
θ S
A
一个物体在力 F的作用下产生位移 S
那么力 F 所做的功 W= F S F S cos
03:40
5
我们将功的运算类比到两个向量的一 种运算，得到向量“数量积”的概念。
高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教
A1
叫做向量 b 在 a
方向上的投影.
B
B
B
b
O
a
B1 A
当为锐角时
投影为正值;
b
B1 O a A 当为钝角时
投影为负值;
b
O(B1) a A
当为直角时
投影为0;
投影与数量积的结果都是数量.
什么时候为正，
什么时候为负？
a a b 例1、计算a • b 以及 在 b 上的投影。（ 为 和 的夹角）
人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修4
2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义
问题：物理中力对物体所做的功是 什么？
F
θ S
F W S | F || S | cos
2.4 平面向量的数量积
第一课时
平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标：
（1）理解平面向量数量积和投影的概念 及数量积的几何意义；
数量积性质与运 算律
1. (a b)c 与 a(b c)相等吗？
2. 若 a b 0, 则 a 0 或 b 0，对吗？ 或 a b.
3.若a c b c, c 0, 则 a b ，对吗？
（注意不能等号两边约去 c ）
(a b) c 0.
自主探究：
类似？
例2. (1)(a b)2
a 5
a b
0°
5 4
投影
2
30°
23
90° 120° 180°
0 -2 -4
b 4 数量积 20 10 3 0
-10 -20
0° 60° 90° 150° 180°
a 3 投影
6
3
0
数量积 18 9
数学人教A版必修四 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 上课课件
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 已 知 |a| ＝ 1 ， |b| ＝ 2 ， a 与 b 的 夹 角 θ ＝ 120° ， 则 a·b ＝ ________，a在b方向上的投影为________．
1 解析 a· b＝|a||b|cos θ＝1×2×(－2)＝－1， 1 1 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝1× (－2)＝－2．
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．( 提示 但180°不是钝角． )
)
)
(2)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．(
(1)×，当a与b 的夹角是180°时，a·b＝－|a||b|<0 ，
(2)√，若|a·b|＝|a||b|，则|cos θ|＝1，cos θ＝±1，θ＝180°
或0°，则a∥b． (3)√，由a⊥b⇔a·b＝0知其正确性．
|a|2 或______________ |a|＝ a· a 3．a·a＝______ ． a· b 4．cos θ＝__________ ． |a||b| ≤ 5．|a·b|_______ |a||b|．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角．(
运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角， 条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向 量符合以上条件． (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方 向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练 1】 在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，∠BAD → → ＝60° ，E 是 CD 的中点，求AE· BD．
人教版A版高中数学必修4：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
ab
42
| b | = | a | cos = 4 cos 450 =2
4 典例分析
×
×
×
×
√
√
×
×
6 归纳小结
知 1. 向量数量积的物理背景，定义及几何意义. 识 2. 向量数量积公式的应用及重要性质.
技 1. 灵活应用数量积公式解决求值问题. 能 2. 解决判断题时，考虑问题要全面.
思 想 方 法
高一数学 必修4 第二章 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 莆田华侨中学 林芸
1 预习内容
F θ O
位移S
F2
F
θ F1 S
A
1 预习内容
1 预习内容
向
向
F S | F || S | cos
| F | cos
数
F与S的夹角
1 预习内容
1 预习内容
ab
b在a方向的投影
1. 转化化归（将物理知识转化为数学知识） 2. 数形结合（灵活应用数量积的投影） 3. 分类讨论（讨论投影、数量积的正负等）
5 巩固训练
下节课： 平面向量数量积的运算律
| a || b | cos a b | a || b | cos
0
1 预习内容
1 预习内容
b在a方向的投影 | b | cos 乘积
Hale Waihona Puke 1 预习内容两个向量的夹角
两个非零向量 a和 b ，作OA a, OB b，
则 AOB 叫做向量 a和 b 的夹角．(0 180 )
a
b
a
O
B
A
0
a与b同向
B
b
b
高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件
【知识点拨】 1.对数量积概念的理解 (1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量， 其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角. (2)从运算上看：两向量a，b的数量积称作内积，写成a·b， 其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，也不 可省略. (3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意 掌握.
二、向量数量积的性质和运算律
1.向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ,
(1)a⊥b⇔_a_·__b_=_0_.
(2)当a∥b时，a·b=
__a__b__,当a，b同向时， __｜__a_|_b___,当a，b反向时.
(3)a·a=_|_a_|_2 或_a____a__a.
ab
(4)cos θ=__a_b__.
上的投影|b|cos θ与θ取值的关系如表.
θ的 取值
0
π
(0, )
( ,)
2
2
2
投影 的值
|b|
-|b|
正值
负值
零
图示
3.实数中成立，向量中不成立的结论
(1)a·b=0可推出a=0或b=0；但是a·b=0推不出a=0或b=0.
(2)a·b=c·b，b≠0可推出a=c；
但是a·b=c·b，b≠0推不出a=c.
22
2
2
3. 2
【互动探究】在题2的条件下求 AB BC. 【解析】如图，作 AE B向C量， 与向AB量 的夹B角C是∠ABC 的补角.
规定
零向量与任一向量的数在b方向上的投影:___|_a_|_c_o_s_θ 向量b在a方向上的投影:___|_b_|_c__o_sθ
意 义
几何意义