运筹学7-9网络计划技术图论方法马尔科分析讲义
运筹学课件第11章网络计划
概述
网络计划是一种项目管理工具，用于计划和控制项目中的活动和关键路径， 提高项目管理的效率和准确性。
网络表示法
网络计划可以使用不同的表示法，包括有向图表示法、AOE网络和AON网络， 每种表示法都有其独特的优势和应用场景。
网络计划的要素
网络计划包括活动事件，时间与时刻，活动之间的时间关系，网络路径与关 键路径，以及网络计划的表示方法。
网络计划的分析方法
网络计划的分析方法包括构造活动关系图，计算活动的最早开始时间和最晚 开始时间，活动的最早完成时间和最晚完成时间，以及活动的时差和自由时 差。
网络项目成本管理，并 且有多种软件可以支持网络计划的制定和执行过程。
案例分析
通过实际案例，我们可以了解网络计划在项目管理中的实践，以及网络计划 在工程管理中的应用，并从中学习和总结经验教训。
总结
网络计划具有明显的优势和应用前景，但也存在一些缺点。我们需要综合考 虑，在实际应用中灵活运用网络计划，并不断总结和改进。
运筹学第六章图与网络分析
30 40 20 15 35 25 50
人数
= [1325 1030 880 1035 910 865 1485]T
解：
§6.4 中国邮路问题
问题：一名邮递员从邮局出发，试选择一条最短的投 递路线？
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v8
v7
v9
⑷ 流：加在网络每条弧上的一组负载量，以fij表示。
⑸ 可行流：能够通过网络的负载量，通常应满足两个条件： ① 容量限制条件：对所有的弧，0 fijcij ② 中间点平衡条件：对任何一个中间点，流入量=流出量
⑹ 发点、收点、中间点：流的起源点称发点，终到点称收点，其余的点称中间点。
（11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
人
04
例：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所示，打“√”的项目是各运动员报名参加比赛的项目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做到使每名运动员不连续地参加两项比赛？
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条链，称这样的图为连通图。
（10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。
图的基本概念与数学模型Biblioteka 树图和图的最小部分树最短路问题
中国邮路问题
网络最大流问题
运筹学Ch7网络计划
运筹学Ch7网络计划运筹学是一门研究如何在资源有限的条件下完成任务的学科，其中网络计划是运筹学中的重要内容之一。
网络计划是一种用图形表示工程和项目具体工作内容、工作时间、工作前后关系以及完成整个工程和项目所需要的时间的管理工具。
本文将重点介绍运筹学中的第七章网络计划。
网络计划是通过刻画工程的各项工作之间的逻辑关系，构建项目工期的基本工具。
通过网络计划，可以清晰地了解到项目中哪些活动需要在何时开始、结束，以及项目中各个关键节点的时间限制和关键路径。
在项目实施中，网络计划能够帮助项目经理更好地组织和调度资源，合理地安排工作顺序，从而提高项目的执行效率。
网络计划有两种常用的表示方法，即箭线图法和节点图法。
箭线图法以箭线表示工程的活动，用节点表示表示工程的开始和结束时间；节点图法以节点表示工程的活动，用箭线表示工程活动之间的逻辑关系，即先后关系。
网络计划中的常用术语包括：活动(Activity)、事件(Event)、持续时间(Duration)、紧前活动(Predecessor Activity)、紧后活动(Successor Activity)、最早开始时间(Earliest Start Time)、最早结束时间(Earliest Finish Time)、最晚开始时间(Latest Start Time)、最晚结束时间(Latest Finish Time)、总时差(Slack Time)等。
其中，事件是工程执行中标志着工程任务的开始和结束的点；活动是工程活动的基本单元，代表工程执行中一个连续性的部分；持续时间是指活动完成所需的时间；紧前活动是指在某个活动之前必须完成的活动；紧后活动是指在某个活动之后才能开始的活动；最早开始时间是指一个活动开始的最早时间；最早结束时间是指一个活动结束的最早时间；最晚开始时间是指一个活动开始的最晚时间；最晚结束时间是指一个活动结束的最晚时间；总时差是指一个活动的最晚开始时间减去最早开始时间的差值。
运筹第7章
㈢ 网络图时间参数的计算
⒈ 工序时间t(i,j)
它是为完成一道工序所需要的时间。确定工序时间 有两种方法：
●
单一时间估算法——根据现有资料直接确定工序
时间。
三种时间估算法——根据现有资料难以准确估算 工序时间，可用下式计算工序时间：
●
a 4m b t (i, j ) 6 a—最乐观估计时间；m—最可能估计时间；b—最悲观估
网络计划
概述 网络图 网络计划的优化
第一节
概述
网络计划模型主要用于生产过程的组织和大
型工程进度计划的安排。通过它监督和控制计划
进度，以期在预估的时间和成本内完成预定的计 划目标。
例如，神州数码研发基地进度计划图
它的基本原理是： 运用网络技术，将某一计划任务的进度安排及 其组成的各项工作（或工序）之间的相互关系绘制 成一张简明的网络图；在此基础上进行网络分析，
1
a(10) b(5) 3 图4-8
2
c
4
平行作业
⑹ 对需要较长时间完成的相邻几道工序，可以不必
等待紧前工序全部完工后再转入后一道工序，而是分批分 期地将紧前工序完成的部分转入下一道工序，这种方式称 为交叉作业。
a 1 2
b
1 3
a1
2 4
a2
3 5 b2 6
b1 (b)
(a) 图4-9 交叉作业
计时间。
⒉ 工序最早可能开工时间tES(i,j) 就是该工序的最早可能开工时间，它等于它的紧前 工序的最早可能完工时间。
⒊ 工序最早可能完工时间tEF(i,j)
它是工序从最早可能开工时间开工，所能达到的完 工时间。
tEF(i,j)=tES(i,j)+ t(i,j)
运筹学 070网络计划方法
第7章网络计划方法PERT：计划评审方法CPM：关键路线法用于大型项目的进度管理。
第1节PERT网络图一、PERT网络图的基本概念PERT网络图由节点和弧构成，与上一章所讲的网络图的概念一致。
作业：需消耗一定时间的一项活动，也称工序。
作业对应于网络中的弧，弧也称箭线。
事件：标志作业的开始或结束，本身不消耗时间。
事件对应于网络中的节点。
如：通过某一节点前后相邻的两个作业相互称为紧前作业和紧后作业。
每项作业都有一个起点事件（箭尾事件）和一个终点事件（箭头事件）。
一个事件可作为多项作业的终点事件并可同时作为另外多项作业的起点事件。
若一项作业的起点事件为i，终点事件为j，则将该项作业标记为(i, j )。
如“概念设计”作业可标记为(1, 2)。
整个PERT网络图开始的事件称为最初事件，整个PERT网络图结束的事件称为最终事件。
如下图中的1和6。
路线：网络图中从最初事件到最终事件的一条路。
在PERT网络图中每项作业都具有一定的持续时间，称为计划时间。
路线的长度：路中各项作业的计划时间之和。
网络中通常存在多条不同的路线。
关键路线：所有路线中计划时间之和最长的那条路。
如上图中1—3—5—6即为关键路路线，其时间长度为11小时。
二、建立PERT 网络图的准则1. 一项作业用一条箭线表示；每项作业的终点事件编号应大于起点事件编号。
2. 两个事件之间只能有一条箭线，若存在两项或更多项作业，则需引入虚作业进行表示，如下图。
3. 作业之间的几种典型关系在网络图中的表示：4. PERT 网络图有唯一的最初事件和唯一的最终事件。
5. PERT 网络图中不允许出现回路。
6. PERT 网络图的绘制应进行适当的布局：尽量避免箭线之间出现交叉；使各条箭线尽量按从左到右的方向展开。
7. 在实际应用中，对大型项目，可绘制多个层次的网络图。
高层次网络图中的一项或几项作业，可展开绘制成一张低层次的网络图。
三、PERT网络图的绘制例1(1)某项工程由11项作业组成，各项作业之间的先后展开关系如下：解：绘制网络图的步骤：(1) 由最初节点画出所有无紧前作业的作业；(2) 逐条绘制紧前作业已全部画出的作业：将全部紧前作业指向同一个终点事件，再从该终点事件画出当前作业。
运筹学06图与网络分析PPT演示文稿
v4
v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 1 1 0 0
起 v2 1 0 0 1 1
点 v3 1 0 0 0 1
v5
v4 0 1 0 0 1
v5 0 1 1 1 0
19
❖ 赋权无向图的邻接矩阵表示
▪ 两顶点之间有边相连的，写上其权数，无 边相连的记为∞，对角线上的数字为0。赋 权无向图对应的矩阵也是对称的。
1 图的基本概念
❖ 案例导引 ❖ 图论中的图 ❖ 图的矩阵描述
2
案例导引
❖ 图论是运筹学的一个重要分支，对其最早的 研究可以追溯到著名的哥尼斯堡七桥问题 (Konigsberg Bridges Problem)。18世纪，欧洲 的哥尼斯堡城有一条流经全城的普雷戈尔河， 河的两岸与河中两个小岛及两岛之间有七座 桥彼此相通(如左图)。
22
树及其性质
❖ 树在现实中随处可见，如电话线架设、比赛 程序、组织结构等。
❖ 树：连通的无圈的无向图称为树。
23
❖ 树的性质 ❖ 图G=(V,E)，p个点、q条边，下列说法是等价
的 ▪ (1)G是一个树 ▪ (2)G连通，且恰有p-1条边 ▪ (3)G无圈，且恰有p-1条边 ▪ (4)G连通，但每舍去一边就不连通 ▪ (5)G无圈，但每增加一边即得唯一一个圈 ▪ (6)G中任意两点之间恰有一条链(简单链)
30
❖在根树中，若每个顶点的出次小于或等 于M，称这棵树为M叉树。
❖若每个顶点的出次恰好等于M或者零， 则称这棵树为完全M叉树。
❖当M=2时，称为二叉树、完全二叉树。
31
❖ 如图所示的树是根树。其 中根、分枝点、叶；各点 层次都标注在树上。
❖ 这是一棵三叉树
三叉树
根
运筹(第七章PERT网络图和关键路线法)公开课教案课件
虚箭线表示虚活动，不 消耗资源，不占用时间
2
1
5
1
5
2022/3/3
7
3、各项作业间的几种关系及图上表示方法
（1）作业 a 结束后可以开始 b, c ；
b3 1 a2
（2）作业 c 在 a,b 结束后才可以开始；
c4
(1)
（3）作业 a,b 结束后可以开始 c,d ；
（4）作业 c 在 a 结束后即可以开始， d 在 a,b 结束后才
2022/3/3
26
B(1，3)的最迟结束,最迟开始时间：
tLF (1,3) mintLS (3,5),tLS (3,4) 10
作业最早开始时间 tES (i, j) mkaxtEF (k,i)
作业最早结束时间 tEF (i, j) tES (i, j) t(i, j)
作业最迟结束时间 tLF (i, j) mkintLS ( j, k)
作业最迟开始时间 tLS (i, j) tLF (i, j) t(i, j)
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15
E(2,5)的最早开始和最早结束时间： tES (2,5) tEF (1,2) 5 tEF (2,5) tES (2,5) t(2,5) 5 4 9
D(3,4)的最早开始和最早结束时间：
tES (3,4) tEF (1,3) 10 tEF (3,4) tES (3,4) t(3,4) 10 4 14
可以开始。
1a
c
4
1a
b
3c 4
b
2
3
d
5
(3)
2
(2)
1
a
3c
5
2
b
4d
6
运筹学课件-第六章图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
运筹学(第7章 计划评审方法和关键路线法)
tij
tES
tEF
tLS
tLF
紧前工序 -- -- A
B
B
C、 C、 DD
E、 F
G
工序时间 4 6 6 7 5 9 7 4 8
C,6 G,7
A,4
I,8
D,7
B,6
F,9 H,4
E,5
2 4
7.2 PERT网络图的计算
一、网络计划时间参数
• 最早开始时间ES • 最早结束时间EF • 最迟开始时间LS • 最迟结束时间LF
项以上作业，要
引进虚事件和虚
作业。
正确画法
c
3
不正确画法
a
c
1
3
4
虚工序
b
2
虚工序。
为了用来表达相邻工序之间的衔接关系，而实 际上并不存在而虚设的工序。
虚工序不需要人力、物力等资源和时间。只表
示某工序必须在另外一个工序结束后才能开始。用 虚箭线┄→表示，表示工时为0。
a
i
3
j
5b
0
7
k
1
2
3.不允许回路
• 总时差TF • 自由时差FF
2 5
最早时间 参数计算
• 最早开始时间ES＝MAX{紧前工作的EF} • 最早结束时间EF＝ES＋工作延续时间t
1、作业的最早开始时间tES (i，j) 任何一个工序都必须在其紧前工序结束后才能开始。紧前工
序最早结束时间即为工序最早可能开始时间，简称为工序最早开始
a
c
b
d
a
c
b
d
例2 已知
A
B
C
运筹学第十一章 网络计划与图解评审法_OK
执行单位进度计划表
工序 预计时间 实际时间 能否按 是否关 修正 修正 名称 开始完成成本 开始完成成本 期完成 键工序开始完成成本说明
78
(2)、管理部门的及时调整 例：开工后六天检查，发现：(1,2)已完工
(2,3)完成1/5，还需4天 (2,4)没开始，还需3天 (2,5)完成1/3，还需3天
1
2
§4.1 网络图画法
(一)、结构
工序：人、财、物、工时 事项：不需人、财、物、工时
1
a 5
2
(1, 2)
3
(二)、画法注意事项： (1)、始(1)，终(1)。从左→右
3
3
1 4 224 1
3
5
7
2
61 8
4
(2)、两事项间只有一个 I 序
a
3
i
7 j
5 b
5
(3)、不允许回路
1
2
3
6
(4)、虚工序的运用 1
79
6 -1
10 -1
5
9
(-1)
b (-1) 3 1
11 -1
10
6
4
3(-1)
a
63
(0) 2 13 -1
9
c
(3)
12(-1)
5
15 -2 13
8
T=17 9 17 -2
3
1
2
15
4(-1) 4
(-2)
(-2)
d (-2) 4 2 7
3
(-2)
6 -2 9 -2
11 -2
4
7
9
80
开始
方
任务的分析与分解
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第七章网络计划技术复习建议本章在历年考试中，处于相当重要的地位，建议学员全面掌握,重点复习。
从题型来讲包括单项选择题、填空题、名词解释和计算题题型都要加以练习。
重要考点：网络图；关键路线；网络时间与时差的计算等。
7.1 网络图计划评核术：简称PERT，是对计划项目进行核算、评价，然后选定最优计划方案的一种技术。
关键路线法：简称CPM,是在错综复杂的工作中，抓住其中的关键路线进行计划安排的一种方法。
一、网络图的分类1、箭线式网络图：箭线代表活动，结点代表活动的开始或完成。
2、结点式网络图：结点代表活动，箭线表示各活动之间的先后承接关系。
二、箭线式网络图的构成1、活动：指作业或工序，用箭线表示，箭线的方向表示前进的方向。
虚活动：即虚设的活动，不消耗资源，不占用时间。
2、结点：起点或终点、两个活动的交接点，用圆圈表示。
只有一个始点和一个终点。
3、线路：从始点出发，顺着箭线的方向，经过互相连接的结点和箭线，直到终点的一条连线。
（1）总作业时间：在一条线路上，把各个活动的作业时间加起来就是该线路的总作业时间，也叫路长。
（2）关键线路：总作业时间最长的线路就是关键线路。
三、箭线式网络图的编绘【例题·计算题】某工程工序活动明细如下表所示:【答案】【解析】当然若只要求编绘网络图，去掉图中的结点时间即可。
注意虚活动没有严格意义上的限制，在表达不出现歧义的基础上，能省则省即可。
工序紧前工序 工作时间（天） A无 20 B无 15 CA,B 15 D A 15 E A,B 10 F D,E 10 G C,F 25 HD,E151 0 09 35 453 20 205 20 257 35 3511 45 4513 70 70A 20D 15H 15G 25B 15C 15F10E 107.2 网络时间的计算一、符号表示： ESi:结点的最早开始时间 EFi:结点的最早完成时间 LSi:结点的最迟开始时间 LFi:结点的最迟完成时间 ESij:活动的最早开始时间 EFij:活动的最早完成时间 LSij:活动的最迟开始时间 LFij:活动的最迟完成时间 Tij:作业时间:结点符号：活动的最早开始或最早完成符号：活动的最迟开始或最迟完成符号二、网络时间计算★EFij 10LFijiESi LFijESj LFjESij10LSijTij（1）作业时间：三种时间估计法Tij=（a+4m+b）/6其中：a——最乐观时间，即最短时间b——最保守时间，即最长时间m——最可能时间（2）结点时间：ESj=max{ESi+Tij}LFi=min{LFj-Tij}（3）活动时间：ESij= ESi；LFij= LFj；EFij=ESij+Tij; LSij=LFij-Tij。
【例题·计算题】下图是截取网络图的一部分，在图中空白处填入有关活动和结点的网络时间（单位：天）。
【答案】E11D10719517 37E11D10771717781819718517 17 37 7【解析】考察基本公式的计算，这里尽可能用数形结合的方法记忆。
记住口诀：（1）最早时间：从前往后挨个加，遇到分叉选大的；（2）最迟时间：从后往前挨个减，遇到分叉选小的。
7.3 时差和关键线路一、结点时差Si=LFi-ESi结点时差为0的结点叫做关键结点。
二、活动时差总时差： Sij 总=LFij-Tij-ESij 专用时差：Sij 专=EFij-Tij-LSij 局部时差1：Sij 局1=EFij-Tij-ESij 局部时差2：Sij 局2=LFij-Tij-LSij上述公式可根据图中相等关系替代，可利用数轴方便记忆。
总时差等于0的活动称为关键活动。
三、线段时差线段：两个关键结点之间的一个活动，或两个关键结点之间的几个活动连续相接的连线称为线段。
注意：2个关键结点之间没有第3个关键结点算一个线段；2个关键结点之间还EFij 10LFijiESi LFijESj LFjESij10LSijTij有第3个结点算2个线段。
线段时差等于线段中各个活动的总时差的最长者。
四、线路时差线路：从始点出发，经过连续相接的活动，直到终点的一条连线。
线路时差等于各线段时差之和。
关键线路的线路时差等于0。
五、小结：关键线路1、总作业时间最长的线路就是关键线路。
2、关键线路的线路时差等于0。
3、把所有关键结点按照顺序串联起来的线路叫关键线路。
7.4 最优方案的选择优化：所谓优化，就是要制定出最优的计划方案，即该计划方案能最合理地、最有效地利用人力物力财力，达到周期最短，成本最低的目的。
网络计划优化的内容主要有：1、时间优化：在人力物力财力等基本上有保证的条件下，寻求最短的工程周期。
2、时间与资源优化：合理利用资源的条件下，寻求最短的工程周期。
3、时间与成本优化：（1）在保证工期最短的情况下，寻求成本较低的方案；（2）在成本最低的情况下，寻求合理的工程周期。
直接费用增长率=（极限费用-正常费用）/（正常时间-极限时间）本章总结：本章内容选择、填空和名词解释都会涉及（关键结点、关键活动和关键路线需特殊注意）；计算题考察主要有三个知识点：1、网络图的编绘；2、网络时间的计算（记住口诀）；3、7个时差的计算（注意线路与线段的区别）。
第八章图论方法复习建议本章在历年考试中，处于相当重要的地位，建议学员全面掌握,重点复习。
从题型来讲包括单项选择题、填空题、名词解释和计算题题型都要加以练习。
重要考点：树、最小枝杈树、最短路线、最大流量等。
8.1图的基本概念1、图的基本要素：结点、边。
2、有向图：所有边都带方向。
3、无向图：所有边都没有方向。
4、连通图：所有结点都连接起来，没有孤立点的图。
5、不连通图：有孤立点的图。
6、权：赋给结点或边的信息。
7、回路（圈）：从一点出发，还能回到原点的一条路。
8.2 树和树的逐步生成法1、树：连通且不含圈（回路）的图称为树。
2、树的边数=结点数-1。
8.3 最小枝杈树问题1、最小枝杈树问题是关于在一个网络中，从一个起点出发到所有点，找出一条或几条路线，以使在这样一些线路中所采用的全部支线的总长度是最小的。
2、常用方法：普莱姆法或克鲁斯喀尔法。
教材中介绍的是普莱姆法，在做题过程中不如克鲁斯喀尔法简单，因此我们重点讲解克鲁斯喀尔法。
3、最小枝杈树问题主要应用于管道、电话线、电线、网线等线路铺设中。
4、克鲁斯喀尔法（又称避圈法）（1）每次选择剩余边中长度最小的（2）后选的边与已经选好的边不能构成回路，若构成则舍弃（3）重复（1）（2），直到把所有边选完。
【例题·计算题】某自来水公司欲在某地区各高层住宅楼间敷设自来水管道并与主管道相连。
其位置如下图，节点代表各住宅楼和主管道位置，线上数字代表两节点间距离（单位：百米）。
如何敷设才能使所用管道最少？【答案】3 26514510947 3.56238326514543.523【解析】按照克鲁斯喀尔的算法很轻松得出答案。
8.4 最短路线问题最短路线问题为当通过网络的各边所需要的时间、距离或费用已知时，寻求两点间的距离最短或费用最少的路性问题。
采用的方法为逆向推算法。
【例题·计算题】某城市东到西的交通道路如下图所示，线上标注的数字为两点间距离(单位：千米)。
某公司现需从市东紧急运送一批货物到市西。
假设各条线路的交通状况相同，请为该公司寻求一条最佳路线。
【答案】147西东 258363 4323446 7735 77东-1-4-7-西121-4-7-西10147西东258363432344677735 777-西34-7-西72-5-7-西155-7-西103-6-8-西146-8-西118-西7【解析】从终点逆向标到起点即可说明：方框中的数字代表改点到终点最短距离；方框上的标示从改点到终点最短路线的走法。
8.5 最大流量问题最大流量问题，就是在一定条件下，要求流过网络的流量为最大的问题。
【例题·计算题】某网络如图，线上标注的数字是单位时间通过两节点的流量。
试求单位时间由网络始点到网络终点的最大流量（单位：吨）。
【答案】第一条路：1—2—4—6 流量为5吨 第二条路：1—3—4—6 流量为2吨 第三条路：1—3—5—6 流量为6吨所以最大流量为5+2+6=13吨。
【解析】路线的选择顺序不唯一，但不管哪种选择最终的总流量是相等的。
小结：三种求解问题方法在实际中的应用★1、最小枝杈树问题主要应用于管道、电话线、电线、网线等线路铺设中（总路线最短）。
2、短路线问题为当通过网络的各边所需要的时间、距离或费用已知时，寻求两点间的距离最短或费用最少的路性问题（两点间距离最短）。
3、最大流量问题，就是在一定条件下，要求流过网络的流量为最大的问题。
本章总结：本章内容选择、填空和名词解释都会涉及（图和树中关于边数和点数的关系需特殊注意）；计算题考察主要有三个知识点：1、最小枝杈树；2、最短路径；3、最大流量，考试从中选一个。
4213 65第九章马尔科夫分析9.1 马尔科夫分析的数学原理在20世纪初（1907年）俄国数学家马尔科夫发现：在某些事物的概率转换过程中，第N次试验的结果，常常由第N-1次的试验结果所决定。
1、概率向量★：任意一个向量u=(u1,u2,…,un),如果它内部的各个元素为非负数，且总和等于1，则称此向量为概率向量。
2、概率矩阵★：一方阵每一行都是概率向量，则称为概率矩阵。
3、平衡概率矩阵（或固定概率矩阵）：设有概率矩阵111212122212.....................nnn n nnp p pp p pPp p p⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，当n→∞，必有：121212.....................nnnnz z zz z zPz z z⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，称作平衡（固定）概率矩阵。
9.2 马尔科夫分析问题的要求1、马尔科夫问题的阶：一阶马尔科夫过程在确定事件周期的选择概率时，只考虑前一周期的选择情况，二阶马尔科夫过程在确定事件周期的选择概率时，考虑前两周期的选择情况。
2、转移概率：某个销售者保持、获得或失去消费者的概率。
3、转移概率矩阵：把转移概率排列成矩阵。
4、未来市场份额的确定★设第一周期的市场份额为T1,转移概率矩阵为P,则第二周期的市场份额为T2=T1*P,以此类推可以得出任意周期的市场份额。
【例题·计算题】甲、乙两家啤酒厂同时向市场投放一种啤酒，初时，它们所占市场份额相等。
第二年，两啤酒厂为吸引顾客，都改换了各自的产品包装，其结果是：甲保持其顾客的70%，丧失30%给乙；乙保持其顾客的60%，丧失40%给甲。
第三年，假设顾客的购买倾向与第二年末相同，但甲、乙都为自己的产品大做广告，其结果是：甲保持其顾客的90%，丧失10%给乙；乙保持其顾客的80%，丧失20%给甲。