图形的认识-第8讲：圆的有关性质

第八节圆的有关性质

【知识梳理】

【方法技巧】

1、根据垂径定理及其推论可知，对于一个圆和一条直径来说，如果具备了以下五个条件中的任何两个，都可以推出其他三个：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧。

2、圆周角定理及其推论与弧、弦、圆心角的关系类似，其前提都是在同圆或者等圆中，运用圆周角定理及其推论，可以将圆周角相等转化成弧相等、弦相等及线段相等。在圆的计算与证明中，经常要用到圆周角定理及其推论。

【考点突破】

考点一：垂径定理及其推论

例1、如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB=8，CD=2，则⊙O的半径长为（）

A．B．3 C．4 D．5

变式1、如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，若AB=10cm，CE：ED=1：5，则⊙O的半径是（）

A．cm B．cm C．cm D．cm

变式2、赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，求桥弧AB所在圆的半径．

变式3、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．

（1）求证：∠BCO=∠D；

（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．

例2、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是（）

A．cm B．cm C．cm D．cm

变式1、如图，已知⊙O的半径为10，弦AB长为16，则点O到AB的距离是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

变式2、如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，AB=12，⊙O半径为10．

（1）求OC的长；

（2）点E，F在⊙O上，EF∥AB．若EF=16，直接写出EF与AB之间的距离．

例3、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B=60°，AC=3，则CD的长为（）

A．6 B．C．D．3

变式1、如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为．

变式2、如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，∠BCD=15°，⊙O的半径为10，则AB= ．

例4、如图，点P是⊙O的弦AB上任一点（与A，B均不重合），点C在⊙O上，PC⊥OP，已知AB=8，设BP=x，PC2=y，y与x之间的函数图象大致是（）

A． B．C．D．

变式1、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD 为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（）

A．2 B．C．D．3

变式2、如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）

A．22 B．24 C．10D．12

考点二：圆周角定理及其推论

例1、如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠BAC=30°，那么∠BOC的度数是（）

A．60° B．45° C．30° D．15°

变式1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB，且点C、O在弦AB的同侧，若∠ABO=50°，则∠ACB的度数为（）

A．50° B．45° C．30° D．40°

变式2、已知如图，在⊙O中，弦BC平行于半径OA，AC交BO于M，∠C=25°．求∠AMB的度数．

例2、如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC 等于（）

A．30°B．60°C．90°D．45°

变式1、如图，∠ABD的三个顶点在∠O上，AB是直径，点C在∠O上，且∠ABD=52°，则∠BCD 等于（）

A．32°B．38°C．52°D．66°

变式2、如图，AB是∠O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD=60°∠ADC=50°，∠CAD=70°，则∠ABD的度数为（）

A．50°B．60°C．70°D．90°

例3、如图，四边形ABCD是∠O的内接四边形，若∠DAB=64°，则∠BCD的度数是（）

A．64°B．90°C．136°D．116°

变式1、在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数之比可能是（）

A．1：2：3：4B．4：2：1：3C．4：2：3：1D．1：3：2：4

变式2、如图，四边形ABCD是∠O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为．

考点三：弧、弦、圆心角的关系

例1、如图所示，在∠ABC中，∠A=70°，∠O截∠ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC的度

数为（）

A．125°B．130°C．135°D．160°

变式1、如图，AB是∠O的直径，C、D是弧BE的两个等分点，∠COD=35°，则∠AOE的度数为度．

变式2、如图所示，在∠O中，AB=BC，且：=3：4，则∠AOC=．

例2、∠O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）

A．AB＞2AM B．AB=2AM

C．AB＜2AM D．AB与2AM的大小不能确定

变式1、在∠O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（）

A．AC+CB=AD+DB

B．AC+CB＜AD+DB

C．AC+CB＞AD+DB

D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定

1．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（）

A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE

2．如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交

AB于点D，则BD

的长为．

3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为m．

4．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是．

5．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．

【分层训练】

（1）求的长．

（2）求弦BD的长．

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．

（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；

（2）求证：∠1=∠2．

1．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）

A．B．C．D．2

2．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）

A．120°B．135°C．150°D．165°

3．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）

A．45° B．30° C．75° D．60°

4．如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为cm．

5．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．

6．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．

7．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．

8．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点

E．

（1）如图1，求证：EA?EC=EB?ED；

（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD?AC=2BD?BC；

（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．

参考答案

【考点突破】

考点一：垂径定理及其推论

例1、解：∵⊙O的弦AB=8，半径OD⊥AB，

∴AC=AB=×8=4，

设⊙O的半径为r，则OC=r﹣CD=r﹣2，连接OA，

在Rt△OAC中，

OA2=OC2+AC2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5．

故选D．

变式1、解：连接OA，

∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10cm，

∴AE=AB=×10=5cm，

∵CE：ED=1：5，

∴设CE=x，则OA=3x，OE=2x，

在Rt△AOE中，

∵AE2+OE2=OA2，即52+（2x）2=（3x）2，解得x=cm，∴OA=3x=3cm．

故选C．

变式2、解：根据垂径定理，得AD=AB=20米．

设圆的半径是R，根据勾股定理，

得R2=202+（R﹣10）2，

解得R=25（米）．

答：桥弧AB所在圆的半25 米．

变式3、（1）证明：如图．

∵OC=OB，

∴∠BCO=∠B．

∵∠B=∠D，

∴∠BCO=∠D；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，

∴CE=CD=×4=2，

在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，

设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，

∴r2=（2）2+（r﹣2）2，

解得：r=3，

∴⊙O的半径为3．

例2、解：以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，则OA=OD，△AOD是等腰直角三角形．易证△ABO≌△OCD，则OB=CD=4cm．

在直角△ABO中，根据勾股定理得到OA2=20；

在等腰直角△OAD中，过圆心O作弦AD的垂线OP．

则OP=OA?sin45°=cm．

故选：B．

变式1、解：过圆心O作OF⊥AB于点F，则AF=AB=8，

Rt△OAF中，AF=8，OA=10，由勾股定理得，

OF===6，

即点O到弦AB的距离是6，

故选D．

变式2、解：（1）∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，AB=12，∴AC=BC=6，∠ACO=90°，

由勾股定理得：OC===8；

（2）如图1，

此时EF与AB之间的距离是14，

理由是：连接OE，

∵EF∥AB，OC⊥AB，

∴OC⊥EF，

∴ED=DF=×16=8，

在RtODE中，OD==6，

即EF与AB之间的距离是8+6=14；

如图2，

此时EF与AB之间的距离是2，

理由是：连接OE，

∵EF∥AB，OC⊥AB，

∴OC⊥EF，

∴ED=DF=×16=8，

在RtODE中，OD==6，

即EF与AB之间的距离是8﹣6=2；

即EF与AB之间的距离是14或2．

例3、解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠B=60°，AC=3，

∴BC==，

∵AB⊥CD，

∴CE=BC?sin60°=×=，

∴CD=2CE=3．

故选D．

变式1、解：∵CE=2，DE=8，

∴OB=5，

∴OE=3，

∵AB⊥CD，

∴在△OBE中，得BE=4，

∴AB=2BE=8．

故答案为：8．

变式2、解：连接OB，

∵∠BCD与∠BOD是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠BOD=2∠BCD=2×15°=30°，

∵点E是弦AB的中点，

∴AB⊥CD，=，

∴AB=2AE，∠AOD=∠BOD=30°，

∴∠AOB=60°，

∵AO=BO，

∴△AOB是等边三角形，

∵⊙O的半径为10，

∴OA=AB=BO=10．

故答案为：10．

例4、解：延长CP交⊙O于点D，

∵PC⊥OP，

∴PC=PD，

∵PC?PD=PA?PB，

∴PC2=PA?PB，

∵AB=8，BP=x，PC2=y，

∴AP=8﹣x，

则y=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．

故该函数图象为开口向下的抛物线，且顶点为（4，16）．

故选A．

变式1、解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，

∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，

由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，

∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=，

∴EF=2EH=．

故选C．

变式2、解：对于直线y=kx﹣3k+4，当x=3时，y=4，

故直线y=kx﹣3k+4恒经过点（3，4），记为点D．

过点D作DH⊥x轴于点H，

则有OH=3，DH=4，OD==5．

∵点A（13，0），

∴OA=13，

∴OB=OA=13．

由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，

因此运用垂径定理及勾股定理可得：

BC的最小值为2BD=2=2×=2×12=24．

故选：B．

考点二：圆周角定理及其推论

例1、解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°．故选A．

变式1、解：∵OA=OB，

∴∠BAO=∠ABO=50°，

∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°．

∴∠ACB=∠AOB=40°．

故选D．

变式2、解：∵BC∥OA，∠C=25°，

∴∠A=∠C=25°，

在⊙O中，

∵∠O=2∠C，

∴∠O=50°，

又∵∠AMB=∠A+∠O，

∴∠AMB=75°．

例2、解：∠∠ABC正三角形，

∠∠A=60°，

∠∠BPC=60°．

故选B．

变式1、解：∠AB是∠O的直径，

∠∠ADB=90°，

∠∠ABD=52°，

∠∠A=90°﹣∠ABD=38°；

∠∠BCD=∠A=38°．

故选：B．

变式2、解：∠∠ABD、∠ACD是同弧所对的圆周角，∠∠ABD=∠ACD=60°．

故选B．

例3、解：∠四边形ABCD是∠O的内接四边形，

∠∠DAB+∠BCD=180°，又∠DAB=64°，

∠∠BCD=116°，

故选：D．

变式1、解：∠圆的内接四边形对角互补，

∠∠A+∠C=∠B+∠D=180°，

∠∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：2：1：3．

故选：B．

变式2、解：∠四边形ABCD是∠O的内接四边形，

∠∠D=180°﹣∠B=45°，

由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=90°，

故答案为：90°．

考点三：弧、弦、圆心角的关系

例1、解：连接OB，OC．

∠∠ABC中∠A=70°，∠O截∠ABC的三条边所得的弦长相等，

∠O到三角形三条边的距离相等，即O是∠ABC的内心，

∠∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°﹣∠A）=（180°﹣70°）=55°，

∠∠BOC=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣55°=125°．

故选A．

变式1、解：由C、D是BE的两个等分点，∠COD=35°知，∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，∠∠EOB=105°，

∠∠EOB+∠EOA=180°，

∠∠AOE=75°．

变式2、解：∠在∠O中，AB=BC，且：=3：4，

∠设=3x，则=3x，=4x，

∠∠AOC=×360°=144°．

故答案为：144°．

例2、解：连接BM．

∠M为的中点，

∠AM=BM，

∠AM+BM＞AB，

∠AB＜2AM．

故选C．

变式1、解：如图；

以C为圆心，AC为半径作圆，交BD的延长线于E，连接AE、CE；∠CB=CE，

∠∠CBE=∠CEB；

∠∠DAC=∠CBE，

∠∠DAC=∠CEB；

∠AC=CE，

∠∠CAE=∠CEA，

∠∠CAE﹣∠DAC=∠CEA﹣∠CED，即∠DAE=∠DEA；

∠AD=DE；

∠EC+BC＞BE，EC=AC，BE=BD+DE=AD+BD，

∠AC+BC＞BD+AD；

故选C．