2020年上海市中考数学试卷(含答案和解析)
2020年上海市长宁区中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市长宁区中考数学二模试卷一．选择题（共6小题）1．下列实数中，无理数是（）A．0B．C．﹣3D．2．下列单项式中，与xy2是同类项的是（）A．x2y B．x2y2C．2xy2D．3xy3．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．它的图象关于原点中心对称D．y的值随着x的值的增大而减小4．如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．8、9B．8、8.5C．16、8.5D．16、145．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切6．▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 二．填空题（共12小题）7．计算：（x3）2÷（﹣x）2＝．8．方程＝2的根是．9．不等式组的解集是．10．已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为．11．如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是．12．如果关于x的多项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，那么k的取值范围是．13．从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是．14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文是“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”大致意思是：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问人数、物品的价格各是多少？”如果设共有x人，物品的价格为y元，那么根据题意可列出方程组为．15．甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中的成绩较稳定．16．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，AD＝2DC，＝，＝，那么＝．（用含向量，的式子表示）17．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是．18．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为．三．解答题（共5小题）19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，∠BAC＝45°，cos∠ACB＝（1）求线段AC的长；（2）联结BD，交对角线AC于点O，求∠ADO的余切值．20．如图，反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x（小时）之间关系的部分图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，求A、B两地之间的距离．21．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连结BD，交EF于点Q，求证：DQ⋅BC＝CE⋅DF．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（2，﹣2），对称轴是直线x＝1，顶点为点B，抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点D，求△BCD 的面积；（3）如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA于点Q，＝，求点P的坐标．23．已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD ＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：AB＝BC；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列实数中，无理数是（）A．0B．C．﹣3D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．0是整数，属于有理数；B.是无理数；C．﹣3是整数，属于有理数；D.，是整数，属于有理数．故选：B．2．下列单项式中，与xy2是同类项的是（）A．x2y B．x2y2C．2xy2D．3xy【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．【解答】解：A．x2y与xy2所含字母的指数不同，所以不是同类项；B．x2y2与xy2所含字母的指数不尽相同，所以不是同类项；C.2xy2与xy2所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项；D.3xy与xy2所含字母的指数不尽相同，所以不是同类项．故选：C．3．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．它的图象关于原点中心对称D．y的值随着x的值的增大而减小【分析】根据反比例函数y＝和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵反比例函数y＝，∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，即点（﹣2，﹣1）在它的图象上，故选项A正确；它的图象在第一、三象限，故选项B正确；它的图象关于原点中心对称，故选项C正确；在每个象限内，y的值随着x的值的增大而减小，故选项D不正确；故选：D．4．如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．8、9B．8、8.5C．16、8.5D．16、14【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；故选：A．5．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【分析】求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，确定两圆位置关系．根据两圆的位置关系得到其数量关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：设圆心距为d，因为5﹣3＝2，3+5＝8，圆心距为7cm，所以，2＜d＜8，根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，所以两圆相交．故选：C．6．▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；故选：B．二．填空题（共12小题）7．计算：（x3）2÷（﹣x）2＝x4．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（x3）2÷（﹣x）2＝x6÷x2＝x4．故答案为：x4．8．方程＝2的根是x＝﹣1．【分析】此题需把方程两边平方去根号后求解，然后把求得的值进行检验即可．【解答】解：两边平方得：3﹣x＝4，x＝﹣1．检验：当x＝﹣1时，原方程的左边＝2，右边＝2，∴x＝﹣1是原方程的根．故答案为：x＝﹣1．9．不等式组的解集是﹣≤x≤6．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3x+4≥0，得：x≥﹣，解不等式x﹣2≤1，得：x≤6，则不等式组的解集为﹣≤x≤6，故答案为：﹣≤x≤6．10．已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为2．【分析】根据题意，画出图形作AD⊥BC，BE⊥AC于点D和E，点O即为△ABC的外心，根据特殊角30度即可求出BD的值，进而可得三角形的边长．【解答】解：根据题意，画出图形，∵△ABC是正三角形，作AD⊥BC，BE⊥AC于点D和E，∴点O即为△ABC的外心，∴OD＝1，∠DBO＝30°，∴BD＝，∴BC＝2BD＝2．故答案为：2．11．如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是a ＜1．【分析】根据抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，且该抛物线与y 轴交于负半轴，∴a﹣1＜0，解得：a＜1．故答案为：a＜1．12．如果关于x的多项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，那么k的取值范围是k≤1．【分析】本题实际上求一元二次方程x2﹣2x+k在实数范围内有实数根时，k的取值范围．所以根据一元二次方程的根的判别式解答即可．【解答】解：∵二次三项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，∴一元二次方程x2﹣2x+k在实数范围内有实数根，∴△＝4﹣4k≥0，解得，k≤1．故答案为：k≤1．13．从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是．【分析】列举出所有情况，看和为偶数的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共12种情况，和为偶数的情况数有4种，所以概率为．故答案为．14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文是“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”大致意思是：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问人数、物品的价格各是多少？”如果设共有x人，物品的价格为y元，那么根据题意可列出方程组为．【分析】根据“8×人数﹣多出的钱数＝物品的价格和7×人数+差的钱数＝物品的价格”列方程即可得．【解答】解：设共有x人，物品的价格为y元，根据题意，可列方程组为，故答案为：．15．甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中甲的成绩较稳定．【分析】利用方差的公式求得乙的方差，与甲的方差比较，方差较小的成绩稳定．【解答】解：乙的平均成绩为（7+8+10+6+9）÷5＝8，方差为：[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2]＝2，∵甲的方差为1.6，∴甲的方差较小，∴成绩较稳定的是甲，故答案为：甲．16．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，AD＝2DC，＝，＝，那么＝﹣+．（用含向量，的式子表示）【分析】利用三角形法则可知：＝+，求出即可解决问题．【解答】解：∵AD＝2DC，∴AD＝AC，∴＝＝，∴＝+，∴＝﹣+，故答案为﹣+．17．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1．【分析】先根据题意画出图形，连接BD、OD，设AM＝x，根据AD2﹣AM2＝OD2﹣OM2，列出方程，求出x，再根据OC＝OA﹣AM﹣CM计算即可．【解答】解：根据题意画图如下：连接BD，与AC交与点M，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AMD＝∠DMC＝90°，∠ACD＝∠ACB，CD＝CD，AM＝CM，∴DM2＝AD2﹣AM2，设AM＝x，则DM2＝（2）2﹣x2，连接OD、OB，在△OCD和△OCB中，，∴△OCD≌OCB（SSS），∴∠OCD＝∠OCB，∴∠ACD+∠OCD＝∠ACB+∠OCB＝180°，∴OC与AC在一条直线上，∴△OMD是一个直角三角形，OM＝OA﹣AM＝5﹣x，∴DM2＝OD2﹣OM2，＝52﹣（5﹣x）2，∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，x＝2，∴AM＝CM＝2，∴OC＝OA﹣AM﹣CM＝5﹣2﹣2＝1．故答案为：1．18．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为．【分析】证△ABC∽△DAC，得出AC2＝BC×CD＝2，AC＝，由勾股定理得出AD＝，由折叠的性质得ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，得出BD＝ED，作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，证△BDF∽△DAC，求出BF＝，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵BC＝2，点D是边BC的中点，∴BD＝CD＝1，∵∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴AC：CD＝BC：AC，∴AC2＝BC×CD＝2×1＝2，∴AC＝，∴AD＝＝＝，由折叠的性质得：ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，∴BD＝ED，作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，∴∠BDF+∠ADC＝×180°＝90°，∵∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BDF＝∠DAC，又∵∠DFB＝∠C＝90°，∴△BDF∽△DAC，∴＝，即＝，∴BF＝，∴BE＝2BF＝；故答案为：．三．解答题（共5小题）19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，∠BAC＝45°，cos∠ACB＝（1）求线段AC的长；（2）联结BD，交对角线AC于点O，求∠ADO的余切值．【分析】（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，根据已知条件和cos∠ACB＝可得，CE ＝3，AE＝BE＝4，进而可求AC的长；（2）结合（1）和AD∥BC，可得＝，得AO和OC的长，从而可求OE的长，进而得∠ADO的余切值即为∠BOE的余切值．【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，∴∠AEB＝90°，∵∠BAC＝45°，∴AE＝BE，∵cos∠ACB＝，即＝，∵BC＝5，∴CE＝3，∴BE＝＝4，∴AE＝BE＝4，∴AC＝AE+EC＝4+3＝7．答：线段AC的长为7；（2）∵AD∥BC，∴＝，∴＝，解得AO＝2，∴OC＝5，∴OE＝OC﹣CE＝5﹣3＝2，∴＝＝，∵∠ADO＝∠BOE，∴cot∠ADO＝cot∠BOE＝．∴∠ADO的余切值即为∠BOE的余切值为．20．如图，反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x（小时）之间关系的部分图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，求A、B两地之间的距离．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式；（2）根据函数图象中的数据，可以分别求得甲的速度和乙开始的速度，然后设出A、B 两地之间的距离，再根据甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，可以列出相应的方程，从而可以得到A、B两地之间的距离．【解答】解：（1）设乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式为y＝kx+b，，解得，，即乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式是y＝10x+20；（2）设A、B两地之间的距离为S千米，甲的速度为60÷3＝20（千米/时），乙开始的速度为30÷1＝30（千米/时），，解得，S＝80，答：A、B两地之间的距离是80千米．21．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连结BD，交EF于点Q，求证：DQ⋅BC＝CE⋅DF．【分析】（1）作EM⊥BC于点M，可证EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的数量关系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可证AB＝BC，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△FDQ，可得，可得结论．【解答】证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形；（2）如图，∵∠BEF+∠BCF+∠EFC+∠EBC＝360°，∴∠EBC+∠EFC＝180°，且∠EFC+∠QFD＝180°，∴∠DFQ＝∠EBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BDC＝45°，∴△BCE∽△FDQ，∴，∴BC•DQ＝CE•DF．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（2，﹣2），对称轴是直线x＝1，顶点为点B，抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点D，求△BCD 的面积；（3）如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA于点Q，＝，求点P的坐标．【分析】（1）先根据对称轴求出m，再将点A坐标代入抛物线解析式中求出能，得出抛物线解析式，最后配成顶点式，即可得出结论；（2）先求出点D坐标，进而求出直线CD解析式，得出点E坐标，再用面积公式求解即可得出结论；（3）设出点P坐标，构造出△PMQ∽△PNB，得出＝，表示出QM＝（a2﹣2a+1），PM＝（a﹣1），进而表示出Q（a+，a2﹣a﹣），代入直线OA中，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+n的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴m＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+n，∵抛物线过点（2，﹣2），∴4﹣2×2+n＝﹣2，∴n＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴顶点B的坐标为（1，﹣3）；（2）如图1，由平移知，平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∵点D在x正半轴上，∴D（3，0），针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，记直线CD与直线x＝1的交点为E，则E（1，﹣），∴S△BCD＝BE•|x D﹣x C|＝×|﹣﹣（﹣3）|×3＝；（3）如图2，设P（a，a2﹣2a﹣2），过点P作PN垂直于直线x＝1于点N过点Q作QM⊥PN于M，∴QM∥NN，∴△PMQ∽△PNB，∴＝，∵，∴＝，∵PN＝a﹣1，BN＝a2﹣2a﹣2+3＝a2﹣2a+1，∴，∴QM＝（a2﹣2a+1），PM＝（a﹣1），∴MN＝PN﹣PM＝（a﹣1），点Q与点B的纵坐标之差的绝对值为（a2﹣2a+1），∴Q（a+，a2﹣a﹣），∵A（2，﹣2），∴直线OA的解析式为y＝﹣x，∵点Q在线段OA上，∴a++a2﹣a﹣＝0，∴a＝﹣3（舍）或a＝4，∴P（4，6）．23．已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD ＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：AB＝BC；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．【分析】（1）证明△OBA≌△OBC即可解决问题．（2）如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．首先证明∠CDB＝∠CBD ＝75°，解直角三角形求出AD，BD（用a表示）即可解决问题．（3）因为∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，推出OE≠OB，分两种情形：如图3﹣1中，当BO＝BE时，如图3﹣2中，当EO＝EB时，分别求解即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵OB＝OA＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠OBC，∴∠A＝∠C，∵OB＝OB，∴△OBA≌△OBC（AAS），∴AB＝BC．（2）解：如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．∵OA⊥OB，∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°，∴四边形DMON是矩形，∴DN＝OM＝a，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠ABO＝45°，∵OC＝OB，CD＝CB，∴∠C＝∠OBC，∠CDB＝∠CBD，∵∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，∴∠C＝30°，∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∵∠DMB＝90°，∴∠MDB＝∠DBM＝45°，∴DM＝BM，∠ODM＝30°，∴DM＝OM＝a，DN＝DM＝a，AD＝DN＝a，∴＝＝．（3）解：如图3﹣1中，当BO＝BE时，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠A+∠AOD＝∠OBA+∠OBC，∵∠A＝∠ABO，∴∠AOD＝∠OBC＝∠C，∵AOD＝∠COE，∴∠C＝∠COE＝∠CBO，∵∠C＝∠C，∴△OCE∽△BCO，∴＝，∴＝，解得EC＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴BC＝+1．如图3﹣2中，当EO＝EB时，同法可证△OEB是等腰直角三角形，∴EO＝EB＝EC＝OB＝，∴BC＝2，∵∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，∴OE≠OB，综上所述，BC的值为+1或2．。
2020年上海市金山区中考数学二模试卷-解析版
2020年上海市金山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 在下列各数中，无理数是( ) A. 207 B. π3 C. √4 D. 0.1010012. 计算(a 3)2的结果是( )A. aB. a 5C. a 6D. a 93. 一次函数y =2x −3的图象在y 轴的截距是( )A. 2B. −2C. 3D. −34. 某区对创建全国文明城区的满意程度进行随机调查，结果如图所示，据此可估计全区75万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为( )A. 1.2万B. 1.5万C. 7.5万D. 66万5. 已知在△ABC 中，AD 是中线，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么向量BC⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 表示为( )A. 2m ⃗⃗⃗ −2n ⃗B. 2m ⃗⃗⃗ +2n ⃗C. 2n ⃗ −2m ⃗⃗⃗D. n⃗ −m ⃗⃗⃗ 6. 如图，∠MON =30°，OP 是∠MON 的角平分线，PQ//ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆与ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与⊙P 相交，那么r 的取值范围是( )A. 4<r <12B. 2<r <12C. 4<r <8D. r >4二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 分解因式：a 2−4=______．8. 某种冠状病毒的直径大约是0.00011毫米，数据0.00011用科学记数法表示为______．9. 方程√2−x =x 的根是______ ．10. 已知关于x 的方程x 2−mx +2=0有两个相等的实数根，那么m 的值是______．11. 函数y =13−x 的定义域是______．12. 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是______．13. 某学校九年级共有350名学生，在一次九年级全体学生参加的数学测试中，随机抽取50名学生的测试成绩进行抽样调查，绘制频率分布直方图如图所示，如果成绩不低于80分算优良，那么估计九年级全体学生在这次测试中成绩优良学生人数约是______．14.年用气量(立方米)每立方米价格(元)第一档0---310 3.00第二档310(含)---520(含) 3.30第三档520以上 4.20某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费y(元)与年用气量x(立方米)的函数关系式是______．15.四边形ABCD中，对角线AC、BD相互垂直，AC=4，BD=6，顺次联结这个四边形中点所得的四边形的面积等于______．16.我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为______．17.如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于______米(保留根号)．18.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把△ABC绕C点旋转得到△A′B′C，其中点A′在线段AB上，那么∠A′B′B的正切值等于______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）)13+cos30°．19.计算：√12+(√3−1)−1−(1820. 解方程组：{x −y =2x 2−xy −y 2=1．21. 在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知函数y =2x 的图象和反比例函数的在第一象限交于A 点，其中点A 的横坐标是1．(1)求反比例函数的解析式；(2)把直线y =2x 平移后与y 轴相交于点B ，且AB =OB ，求平移后直线的解析式．22. 如图，已知在四边形ABCD 中∠A =∠ABC =90°，点E是CD 的中点，△ABD 与△EBD 关于直线BD 对称，AD =1，AB =√3．(1)求点A 和点E 之间的距离；(2)联结AC 交BE 于点F ，求AFAC 的值．23.如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和正方形CBGF，点F在CD上，联结AF、BD，BD与FG交于点M，点N 是边AC上的一点，联结EN交AF与点H．(1)求证：AF=BD；(2)如果ANAC =GMGF，求证：AF⊥EN．24.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A(3,0)和B(0,3)，其顶点为C．(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)我们把坐标为(n,m)的点叫做坐标为(m,n)的点的反射点，已知点M在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M的坐标；(3)点P是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA=∠ACB，求点P的坐标．25.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P是线段BC上任意一点，以点P为圆心PB为半径的圆与线段AB相交于点Q(点Q与点A、B不重合)，∠CPQ的角平分线与AC相交于点D．(1)如果DQ=PB，求证：四边形BQDP是平行四边形；(2)设PB=x，△DPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)如果△ADQ是以DQ为腰的等腰三角形，求PB的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ．207是分数，属于有理数；B .π3是无理数；C .√4=2，是整数，属于有理数；D .0.101001是有限小数，属于有理数．故选：B ．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.【答案】C【解析】解：(a 3)2=a 3×2=a 6．故选：C ．根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．(a m )n =a mn (m,n 是正整数)计算即可． 本题考查了幂的乘方，注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．3.【答案】D【解析】解：当x =0时，y =2x −3=−3，∴一次函数y =2x −3的图象在y 轴的截距是−3．故选：D ．代入x =0，求出y 值，此题得解．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象，代入x =0，求出y 值是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：估计全区75万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为75×2%=1.5(万人)，故选：B ．用总人数乘以样本中对创建全国文明城区工作不满意的居民人数所对应的百分比可得． 本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．5.【答案】C【解析】解：∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ −m ⃗⃗⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ ，故选：C ．根据向量运算法则即可求出答案．本题考查向量，解题的关键是熟练运用运用向量运算法则，本题属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：如图，过点P作PA⊥OM于点A．∵圆P与ON相切，设切点为B，连接PB．∴PB⊥ON．∵OP是∠MON的角平分线，∴PA=PB．∴PA是半径，∴OM是圆P的切线．∵∠MON=30°，OP是∠MON的角平分线，∴∠1=∠2=15°．∵PQ//ON，∴∠3=∠2=15°．∴∠4=∠1+∠3=30°．∵PA=4，∴PQ=2PA=8．∴r最小值=8−4=4，r最大值=8+4=12．∴r的取值范围是4<r<12．故选：A．如图，过点P作PA⊥OM于点A.根据题意首先判定OM是切线，根据切线的性质得到PA=4.由角平分线的性质和平行线的性质判定直角△APQ中含有30度角，则由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到PQ的长度；然后根据圆与圆的位置关系求得r的取值范围．考查了圆与圆的位置关系，切线的判定与性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.【答案】(a+2)(a−2)【解析】解：a2−4=(a+2)(a−2)．有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．8.【答案】1.1×10−4【解析】解：数据0.00011用科学记数法表示为1.1×10−4，故答案为：1.1×10−4．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9.【答案】x=1【解析】解：两边平方得：2−x=x2，整理得：x2+x−2=0，解得：x=1或−2．经检验：x=1是方程的解，x=−2不是方程的解．把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后进行检验即可．在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．10.【答案】±2√2【解析】解：∵关于x的方程x2−mx+2=0有两个相等的实数根，∴△=(−m)2−4×2=0，即m2=8，∴m=±2√2故本题答案为：±2√2．若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2−4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根11.【答案】x≠3，【解析】解：∵函数y=13−x∴3−x≠0，解得，x≠3，故答案为：x≠3．，可知3−x≠0，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．根据函数y=13−x本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．12.【答案】310【解析】【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事.从该组数据中找出3的倍数，根据概件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn率公式解答即可．【解答】解：3的倍数有3，6，9，．则十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是310．故答案为31013.【答案】154【解析】解：根据题意得：350×50−3−5−8−12=154(人)，50答：九年级全体学生在这次测试中成绩优良学生人数约是154人；利用总人数乘以在这次测试中成绩优良学生人数所占的百分比即可．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 14.【答案】y =3x(0≤x <310)【解析】解：根据题意得第一档燃气收费标准为3.00(元/立方米)，∴该用户每年燃气费y(元)与年用气量x(立方米)的函数关系式是y =3x(0≤x <310)． 故答案为：y =3x(0≤x <310)．根据该居民用户用气量在第一档，利用“总价=单价×数量．”即可求出该用户每年燃气费y(元)与年用气量x(立方米)的函数关系式．本题考查一次函数的应用、理清题意，利用“总价=单价×数量”求出函数关系式是解答本题的关键．15.【答案】6【解析】解：如图，∵E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，∴EF//AC ，GH//AC ，EH//BD ，FG//BD ，EF =12AC =2，EH =12BD =3， ∴四边形EFGH 是平行四边形，∵对角线AC 、BD 相互垂直，∴∠EMO =∠ENO =90°，∴四边形EMON 是矩形，∴∠MEN =90°，∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积为：2×3=6．故答案为：6．由E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，根据三角形的中位线定理可得EF//AC ，GH//AC ，EH//BD ，FG//BD ，EF =12AC =2，EH =12BD =3，从而可得四边形EFGH 是平行四边形，再由对角线AC 、BD 相互垂直，可证得四边形EMON 是矩形，然后证明四边形EFGH 是矩形，利用矩形的面积计算公式可得答案．本题考查了三角形的中位线定理、矩形的判定定理及矩形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．16.【答案】8【解析】解：设正多边形的边数为n ，根据题意得，(n−2)⋅180°n ：360°n =3，解得：n =8，答：内外比为3的正多边形的边数为8，故答案为：8．根据正多边形的内角和和正多边形的外角和列方程即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，正多边形的内角和，正确的理解题意是解题的关键．17.【答案】(20√3−25)【解析】解：如图，延长CB交水平面于点D，根据题意可知：CD⊥AD，∴∠ADC=90°，在Rt△ADB中，AB=65，∵BD：AD=1：2.4，∴AD=2.4BD，根据勾股定理，得AD2+BD2=AB2，即BD2+(2.4BD)2=652，解得BD=25，∴AD=60，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴tan30°=CDAD，即√33=CB+2560，解得CB=20√3−25(米)．答：树高BC等于(20√3−25)米．故答案为：(20√3−25)．延长CB交水平面于点D，根据题意可得CD⊥AD，再根据坡度可得BD：AD=1：2.4，根据勾股定理可得BD=25，AD=60，最后根据锐角三角函数即可求出CB的长．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题、解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义和坡度坡角定义．18.【答案】724【解析】解：把△ABC 绕C 点旋转得到△A′B′C ，点A′在线段AB 上，∴∠ACA′=∠BCB′，CA =CA′，CB =CB′，∴∠A =∠CA′A ，∠CBB′=∠CB′B ，∴∠A =∠CBB′，∴△CAA′∽△CBB′，∴CA CB =AA′BB′，∵∠C =90°，AC =3，BC =4，∴AB =√AC 2+BC 2=√32+42=5，∠A +∠CBA =90°，∴∠CBB′+∠CBA =90°，∴∠A′BB′=90°，设A′B =a ，则AA′=5−a ，BB′=√25−a 2，∴34=2，解得，a =75(a =5舍去)，∴A′B =75，∴BB′=√25−(75)2=245，∴tan∠A′B′B =A′B BB′=75245=724．故答案为：724． 证明△CAA′∽△CBB′，得出CA CB =AA′BB′，设A′B =a ，则AA′=5−a ，BB′=√25−a 2，得出34=√25−a 2，解方程求出A′B ，则BB′可求出，则答案可得出．本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．19.【答案】解：原式=2√33−1−12+√32 =2√3+√3+12−12+√32 =3√3．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、分数指数幂的性质的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：{x −y =2 ①x 2−xy −y 2=1 ②， 由①得：x =y +2…③，把③代入②并整理得：y 2−2y −3=0，解这个方程得，y 1=3，y 2=−1，把y 的值分别代入③，得x 1=5，x 2=1． ∴原方程组的解为{x 1=5y 1=3,{x 2=1y 2=−1．【解析】由①得：x =y +2，代入②并整理得：y 2−2y −3=0，解这个一元二次方程并代入求值即可．考查了高次方程，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．21.【答案】解：(1)当x =1时，y =2x =2，则A(1,2)，设反比例函数解析式为y =k x 把A(1,2)代入得k =1×2=2，∴反比例函数解析式为y =2x ；(2)设B(0,t)，∵OB =AB ，∴t 2=12+(2−t)2，解得t =54，∴B(0,54)， 设平移后的直线解析式为y =2x +b ，把B(0,54)代入得b =54，∴平移后的直线解析式为y =2x +54．【解析】(1)利用正比例函数解析式确定A(1,2)，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；(2)设B(0,t)，利用两点间的距离公式得到t 2=12+(2−t)2，解方程得到B(0,54)，再利用两直线平移的问题，设平移后的直线解析式为y =2x +b ，然后把B 点坐标代入求出b 即可．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．22.【答案】解：(1)如图，连接AE 交BD 于G ，∵△ABD 与△EBD 关于直线BD 对称，∴BD 垂直平分AE ，∵∠BAD =90°，AD =1，AB =√3，∴BD =2，∵12AB×AD=12BD×AG，∴AG=AB×ADBD =√3×12=√32，∴点A和点E之间的距离=AE=2AG=√3；(2)如图，连接AC交BE于点F，延长BE交AD的延长线于H，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴∠BED=∠BAD=90°，∵点E是CD的中点，∴BE垂直平分CD，∴BC=BD=2，∵∠BAD=∠ABC=90°，∴AH//BC，∴∠H=∠CBE，又∵∠DEH=∠CEB，DE=CE，∴△DEH≌△CEB(ASA)，∴DH=BC=2，∴AH=1+2=3，∵AH//BC，∴△AFH∽△CFB，∴AFCF =AHCB=32，∴AFAC =35．【解析】(1)连接AE交BD于G，由轴对称的性质即可得到BD垂直平分AE，再根据面积法即可得到AG的长，进而得出AE的长；(2)连接AC交BE于点F，延长BE交AD的延长线于H，由BE垂直平分CD，可得BC= BD=2，再根据△DEH≌△CEB(ASA)，即可得出DH=BC=2，依据△AFH∽△CFB，即可得到AFAC的值．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及轴对称的性质的综合运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．23.【答案】解：(1)∵四边形ACDE和四边形BCFG都为正方形，∴AC=DC，∠ACD=∠BCD=90°，BC=CF，在△AFC和△DBC中，{AC=DC∠ACF=∠DCB CF=CB，∴△AFC≌△DBC(SAS)．∴AF=BD．(2)∵△AFC≌△DBC，∴∠CAF=∠CDB，∵CD//BG，∴∠CDB=∠MBG，∴∠CAF=∠MBG，∵∠ACF =∠BGM =90°，∴△BGM∽△ACF ，∴GM BG =CF AC ，∵BG =GF =FC ，∴GM GF =FC AC ， ∵AN AC =GM GF， ∴AN =FC ，在△AEN 和△CAF 中，{AN =CF ∠EAN =∠ACF =90°AE =AC∴△AEN≌△CAF(SAS)，∴∠ENA =∠AFC ，∵∠FAC +∠AFC =90°，∴∠FAC +∠ENA =90°，∴∠AHN =90°，∴AF ⊥EN ．【解析】(1)依题意易证△AFC≌△DBC ，从而求出AF =BD ；(2)由△AFC≌△DBC 可得∠CAF =∠CDB ，从而证得△BGM∽△ACF ，根据相似三角形的性质和已知AN AC =GM GF ，求得AN =CF ，即可证得△AEN≌△CAF ，得到∠ENA =∠AFC ，从而证得∠FAC +∠ENA =90°，即∠AHN =90°，即可证得结论．本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过点A(3,0)和B(0,3)，∴{c =3−9+3b +c =0， 解得{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3，∴顶点C(1,4)．(2)设M(m,−m 2+2m +3)，∴M 的反射点为(−m 2+2m +3,m)，∵M 点的反射点在抛物线的对称轴上，∴−m 2+2m +3=1，∴m 2−2m −2=0，解得m =1±√3，∴M(1+√3,1)或(1−√3,1)．(3)如图，设P(a,−a 2+2a +3)．∵A(3,0)，B(0,3)，C(1,4)，∴BC =√2，AB =3√2，AC =2√5，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴∠ABC =90°，∴tan∠ACB =AB BC =√2√2=3，∵∠POA =∠ACB ，∴tan∠POA =3，∴−a 2+2a+3a =3，整理得：a 2+a −3=0解得a =−1+√132或−1−√132(舍弃)，∴P(−1+√132,−3+3√132).【解析】(1)把A ，B 两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组解决问题即可．(2)设M(m,−m 2+2m +3)，则M 的反射点为(−m 2+2m +3,m)，根据M 点的反射点在抛物线的对称轴上，构建方程求出m 即可．(3)如图，设P(a,−a 2+2a +3).利用勾股定理的逆定理证明∠ABC =90°，推出tan∠POA =tan∠ACB =3，由此构建方程即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一元二次方程，解直角三角形，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】证明：(1)∵BP =PQ ，∴∠PBQ =∠PQB ，∵DP 平分∠CPQ ，∴∠CPD =∠QPD ，∵∠CPQ =∠PBQ +∠PQB =2∠PBQ ，∴∠CPD =∠PBQ =∠DPQ =∠PQB ，∴DP//BQ ，∵DQ =PB ，PQ =PB ，∴DQ =QP ，∴∠QDP =∠QPD =∠PQB =∠PBQ ，又∵PB =DQ ，∴△DPQ≌△BQP(AAS)∴DP =BQ ，∴四边形BPDQ 是平行四边形；(2)如图，设BC 与⊙P 的交点为E ，连接DE ，∵EP=PQ，∠DPE=∠DPQ，DP=DP，∴△DPE≌△DPQ(SAS)，∴S△DPE=S△DPQ=y，DQ=DE，∵BP=x，∴PC=8−x，∵DP//AB，∴△DCP∽△ACB，∴DCAC =CPBC，∴CD6=8−x8，∴CD=34(8−x)，∴S△DPQ=y=12×EP×CD=12×x×34(8−x)=−38x2+3x；(3)当DQ=AD时，∵AD=AC−CD，∴AD=6−34(8−x)=34x，∴DQ=DE=AD=34x，∵DE2=DC2+CE2，∴(34x)2=(6−34x)2+(8−2x)2，∴x1=4，x2=254(不合题意舍去)，当AQ=DQ时，过点P作PF⊥AB于F，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√36+64=10，∵cos∠B=BFPB =BCAB，∴BFx =810，∴BF=45x，∵PB=PQ，PF⊥AB，∴BQ=2BF=85x，∴AQ=10−85x，∴AQ=DQ=DE=10−85x，∵DE2=DC2+CE2，∴(10−85x)2=(6−34x)2+(8−2x)2，∴x3=0(不合题意舍去)，x4=40089，综上所述：BP的长为4和40089．【解析】(1)由等腰三角形的性质和角平分线的性质可得∠CPD=∠PBQ=∠DPQ=∠PQB，由“AAS”可证△DPQ≌△BQP，可得DP=BQ，可得结论；(2)由“SAS”可证△DPE≌△DPQ，可得S△DPE=S△DPQ=y，通过证明△DCP∽△ACB，可求CD=34(8−x)，即可求解；(3)分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．。
2020年上海市普陀区中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市普陀区中考数学二模试卷一．选择题（共6小题）1．下列计算中，正确的是（）A．﹣22＝4B．16＝8C．3﹣1＝﹣3D．（）﹣2＝4 2．下列二次根式中，与（a＞0）属同类二次根式的是（）A．B．C．D．3．关于函数y＝﹣，下列说法中错误的是（）A．函数的图象在第二、四象限B．y的值随x的值增大而增大C．函数的图象与坐标轴没有交点D．函数的图象关于原点对称4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（）A．8B．16C．8D．165．一个事件的概率不可能是（）A．1.5B．1C．0.5D．06．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共12小题）7．计算：a•（3a）2＝．8．函数的定义域是．9．方程＝﹣x的解是．10．已知一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，那么x＝．11．如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是．12．已知一件商品的进价为a元，超市标价b元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利元．（用含有a、b的代数式表示）13．如果关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是．14．已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是．15．今年3月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示．如果锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，那么锻炼时间在4﹣6小时的学生的频率是．16．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是．17．将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cot B＝，点P为边AB上一点，将△BPC沿着PC翻折得到△B′PC，B′C与边AB的交于点D，如果△B′PD恰好为直角三角形，那么BP＝．三．解答题（共7小题）19．先化简，再求值：﹣÷，其中x＝+1．20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+n的图象都经过点A（﹣2，0），且分别与y轴交于点B和点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）设点D在直线y＝﹣x+n上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D 的坐标．22．一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面MD的正侧面示意图，其中AB表示显示屏的宽，AB与墙面MD的夹角α的正切值为，在地面C处测得显示屏顶部A的仰角为45°，屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处与墙面之间的水平距离CD为3.4米，求显示屏的宽AB的长．（结果保留根号）23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．25．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC 于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列计算中，正确的是（）A．﹣22＝4B．16＝8C．3﹣1＝﹣3D．（）﹣2＝4【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂计算，判断即可．【解答】解：A、﹣22＝﹣4，本选项计算错误；B、16＝＝4，本选项计算错误；C、3﹣1＝，本选项计算错误；D、（）﹣2＝＝4，本选项计算正确；故选：D．2．下列二次根式中，与（a＞0）属同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答．【解答】解：A.，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；B.，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；C.，与的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确；D.与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意．故选：C．3．关于函数y＝﹣，下列说法中错误的是（）A．函数的图象在第二、四象限B．y的值随x的值增大而增大C．函数的图象与坐标轴没有交点D．函数的图象关于原点对称【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵函数y＝﹣，∴该函数的图象在第二、四象限，故选项A正确；在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B错误；函数的图象与坐标轴没有交点，故选项C正确；函数的图象关于原点对称，故选项D正确；故选：B．4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（）A．8B．16C．8D．16【分析】由矩形的性质得出OA＝BO，证△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝90°，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AC＝BD＝2OB＝8，∴OA＝BO，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4，∴AD＝＝＝4，∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝4×4＝16；故选：D．5．一个事件的概率不可能是（）A．1.5B．1C．0.5D．0【分析】根据概率的知识，可以得到概率的最大与最小值，从而可以解答本题．【解答】解：一个事件的概率最大是1，最小是0，故选项A错误，故选：A．6．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，∴，，∴＝2，故①正确；AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；OC⊥BD，故③正确；∠AOD＝3∠BOC，故④正确；故选：C．二．填空题（共12小题）7．计算：a•（3a）2＝9a3．【分析】先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算．【解答】解：原式＝a•9a2＝9a3，故答案为：9a3．8．函数的定义域是x≠﹣1．【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．故答案为x≠﹣1．9．方程＝﹣x的解是x＝0．【分析】先两边平方得到x2﹣5x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣5）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣5＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝5，检验原方程的解为x＝0．【解答】解：把方程＝﹣x两边平方，得5x＝x2，∴x2﹣5x＝0，∴x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，∴x1＝0，x2＝5．检验：把x1＝0，x2＝5代入方程＝﹣x，可知x1＝0是原方程的根，x2＝5是原方程的增根，所以原方程的解为x＝0．故答案为：x＝0．10．已知一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，那么x＝4．【分析】根据一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，可以求得x的值，本题得以解决．【解答】解：∵一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，∴（1+3+2+5+x）÷5＝3，解得，x＝4，故答案为：4．11．如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是x ﹣2y＝0或x+y＝0．【分析】由于二元二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0进行因式分解可以变为（x﹣2y）（x+y）＝0，即可解决问题．【解答】解：∵x2﹣xy﹣2y2＝0，∴（x﹣2y）（x+y）＝0，∴x﹣2y＝0或x+y＝0．故答案为：x﹣2y＝0或x+y＝012．已知一件商品的进价为a元，超市标价b元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利（0.8b﹣a）元．（用含有a、b的代数式表示）【分析】根据“标价×＝售价”用代数式表示出售价，再根据“售价﹣进价＝利润”用代数式表示盈利．【解答】解：根据题意得，每件商品盈利（0.8b﹣a）元，故答案为：（0.8b﹣a）．13．如果关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是m＜1．【分析】根据直接开平方法定义即可求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，∴m﹣1＜0，解得m＜1，所以m的取值范围是m＜1．故答案为：m＜1．14．已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是2．【分析】正方形的边心距就是正方形的中心到正方形的边的距离，利用边长的一半和边心距、半径围成直角三角形求解即可．【解答】解：如图，根据正方形的性质知：△BOC是等腰直角三角形，过O作OE⊥BC于E，∵正方形的半径是4，∴BO＝4，∴OE＝BE＝BO＝2，故答案为：2．15．今年3月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示．如果锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，那么锻炼时间在4﹣6小时的学生的频率是0.25．【分析】先由锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，人数为8求出被调查的总人数，再根据频率＝频数÷总人数可得答案．【解答】解：∵锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，人数为8，∴被调查的总人数为8÷20%＝40（人），则锻炼时间在4﹣6小时的学生的频率是10÷40＝0.25，故答案为：0.25．16．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是﹣+．【分析】利用平行线分线段成比例定理求出，根据三角形法则求出，证明DO＝DC 即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，∵＝，∴＝3，∵△DOE∽△COB，∴＝＝，∴OD＝OC＝CD，∵＝+，∴＝﹣+3，∴＝﹣+，故答案为：﹣+．17．将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是y＝10x．【分析】分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为5，求出k的值即可．【解答】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，∴k＞0，∴当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向上平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx+k，∴与x轴的交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，k），∵它的坐标轴三角形的面积为5，∴＝5，∴k＝10，∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，∵当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向下平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx﹣k，∴与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣k），∵它的坐标轴三角形的面积为5，∴＝5，∴k＝10，∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，故答案为：y＝10x．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cot B＝，点P为边AB上一点，将△BPC沿着PC翻折得到△B′PC，B′C与边AB的交于点D，如果△B′PD恰好为直角三角形，那么BP＝4或．【分析】分两种情形：如图1中，当∠DPB′＝90°时，过点C作CH⊥AB于H．如图2中，当∠PDB′＝90°时，设BP＝PB′＝x．分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，当∠DPB′＝90°时，过点C作CH⊥AB于H．∵cot B＝＝，AC＝6，∴BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵•BC•AC＝•AB•CH，∴CH＝，∵∠B+∠A＝90°，∠B′+∠PDB′＝90°，∠B＝∠B′，∠PDB′＝∠ADC，∴∠ADC＝∠A，∴AC＝CD＝6，∵CH⊥AD，∴AH＝DH＝＝＝，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣＝，DB′＝CB′﹣CD＝CB﹣CA＝2，设PB＝x，在Rt△PDB′中，则有x2+（﹣x）2＝22，解得x＝或（舍弃），如图2中，当∠PDB′＝90°时，设BP＝PB′＝x．在Rt△PDB′中，则有x2＝（﹣x）2+（）2，解得x＝4，综上所述，满足条件的PB的值为或4．故答案为4或．三．解答题（共7小题）19．先化简，再求值：﹣÷，其中x＝+1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝﹣•＝﹣＝，当x＝+1时，原式＝＝＝2﹣3．20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣1，将不等式解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．21．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+n的图象都经过点A（﹣2，0），且分别与y轴交于点B和点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）设点D在直线y＝﹣x+n上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D 的坐标．【分析】（1）依据一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+n的图象都经过点A（﹣2，0），即可得到m和n的值，进而得出B、C两点的坐标；（2）依据S△ABC+S△BCD＝15，即可得到点D的横坐标，进而得出点D的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝2x+m，解得m＝4，∴y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，即B（0，4），将A（﹣2，0）代入y＝﹣x+n，解得n＝﹣1，∴y＝﹣x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，即C（0，﹣1），（2）如图，过D作DE⊥BC于E，当△ABD的面积为15时，S△ABC+S△BCD＝15，即AO×BC+DE×BC＝15，∴×2×5+×DE×5＝15，∴DE＝4，y＝﹣x﹣1中，令x＝4，则y＝﹣3，∴D（4，﹣3）．22．一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面MD的正侧面示意图，其中AB表示显示屏的宽，AB与墙面MD的夹角α的正切值为，在地面C处测得显示屏顶部A的仰角为45°，屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处与墙面之间的水平距离CD为3.4米，求显示屏的宽AB的长．（结果保留根号）【分析】过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，设AP＝BN＝2x，AN＝PB＝5x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，∵tan∠ABM＝，∴设AP＝BN＝2x，AN＝PB＝5x，∵BD＝2，CD＝3.4，∴HN＝2，CH＝3.4﹣2x，∴AH＝5x+2，∵∠ACD＝45°，∴AH＝CH，∴3.4﹣2x＝5x+2，解得：x＝0.2，∴PB＝1，AP＝0.4，∴AB＝＝＝（米），答：显示屏的宽AB的长为米．23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC，结合EA＝EC知EO⊥AC，从而得证；（2）先由∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形得∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，据此可证△FCD∽△F AE得＝，结合CD＝AD，AE＝CE可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，∴△FCD∽△F AE，∴＝，∵CD＝AD，AE＝CE，∴＝，即EC•CF＝AF•AD．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．【解答】解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，∴A（3，0），把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，∴a＝1，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）；（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，由题意得：D（2+，1），∵B（0，1），C（2，﹣1），∴BC＝＝2，BD＝2+，∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，只能△CBP∽△DBC，∴，即，∴BP＝8﹣4，∴P（0，4﹣7）；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，由旋转得：∠CBD＝∠ABE，∴∠EBD＝∠ABC，∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，∴E（2m，m+1），∵点E在抛物线上，∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，4m2﹣9m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝（舍），∴E（4，3）．25．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．【分析】（1）证OF为梯形ABCD的中位线，得出r＝OF＝（AD+BC）＝3即可；（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，则CM＝BC﹣BM＝4，由勾股定理得出DC＝2，由四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，进而得出答案；（3）证OG是梯形ABCD的中位线，得出OG∥AD，OG＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得OD＝，分三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）∵OF∥BC，OA＝OB，∴OF为梯形ABCD的中位线，∴OF＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，即⊙O的半径长为3；（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：则BM＝AD＝1，∴CM＝BC﹣BM＝4，∴DC＝＝＝2，∵四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，∴（1+5）×2r＝×2×y+×r×1+×r×5，整理得：y＝；（3）△ODG能成为等腰三角形，理由如下：∵点G为DC的中点，OA＝OB，∴OG是梯形ABCD的中位线，∴OG∥AD，OG＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得：OD＝＝，分三种情况：①DG＝DO时，则＝，无解；②OD＝OG时，如图2所示：＝3，解得：r＝2；③GD＝GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：∠GOD＝∠GDO，∵OG∥AD，∴∠ADO＝∠GOD，∴∠ADO＝∠GDO，在△ADO和△HDO中，，∴△ADO≌△HDO（AAS），∴OA＝OH，则此时圆O和CD相切，不合题意；综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r＝2．。
2018-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类(二)——《圆》(含解析)
2018-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类（二）——《圆》一．选择题1．（2019•芦淞区一模）如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小是（）A．8°B．15°C．18°D．28°2．（2019•虹口区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan B＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2019•虹口区二模）正六边形的半径与边心距之比为（）A．B．C．D．4．（2019•金山区二模）已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1O2＝3，那么O2A的长等于（）A．2 B．3 C．8 D．2或8 5．（2019•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定（）A．与x轴和y轴都相交B．与x轴和y轴都相切C．与x轴相交、与y轴相切D．与x轴相切、与y轴相交6．（2019•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部7．（2019•崇明区一模）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r＞1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含B．内切C．外离D．相交8．（2019•金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是（）A．点B、点C都在⊙A内B．点C在⊙A内，点B在⊙A外C．点B在⊙A内，点C在⊙A外D．点B、点C都在⊙A外9．（2019•长宁区一模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B 中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5 B．4 C．3 D．2 10．（2019•崇明区二模）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＝﹣1时，点B在圆A上B．当a＜1时，点B在圆A内C．当a＜﹣1时，点B在圆A外D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内11．（2019•嘉定区二模）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是（）A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补12．（2018•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切13．（2018•松江区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7 14．（2018•长宁区一模）已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相离、相切、相交都有可能15．（2018•奉贤区二模）直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上（点P与点O不重合），如果以点P为圆心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定二．填空题16．（2020•嘉定区一模）如果正多边形的边数是n（n≥3），它的中心角是α°，那么α关于n的函数解析式为．17．（2020•崇明区一模）两圆的半径之比为3：1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为．18．（2020•闵行区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB 相切，那么⊙C的半径为．19．（2020•嘉定区一模）如图，⊙O的半径长为5cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC的内部．如果AB ＝AC ，BC ＝8cm ，那么△ABC 的面积为 cm 2．20．（2020•闵行区一模）半径分别为3cm 与cm 的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB ＝4cm ，那么圆心距O 1O 2的长为 cm ．21．（2020•奉贤区一模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计⊙O 的面积，那么⊙O 的面积约是 ．22．（2020•闵行区一模）正五边形的边长与边心距的比值为 ．（用含三角比的代数式表示）23．（2020•崇明区一模）正五边形的中心角的度数是 ．24．（2019•青浦区二模）如图，在⊙O 中，OA 、OB 为半径，连接AB ，已知AB ＝6，∠AOB ＝120°，那么圆心O 到AB 的距离为 ．25．（2019•杨浦区二模）如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD ＝5，AE ＝2，AF ＝4．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ．三．解答题26．（2020•静安区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，sin∠BAC＝．点D在边AB上（不与点A、B重合），以AD为半径的⊙A与射线AC相交于点E，射线DE与射线BC相交于点F，射线AF与⊙A交于点G．（1）如图，设AD＝x，用x的代数式表示DE的长；（2）如果点E是的中点，求∠DFA的余切值；（3）如果△AFD为直角三角形，求DE的长．27．（2020•长宁区二模）已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：＝；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．28．（2020•青浦区二模）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；（2）设OD＝x，＝y，求y与x的函数关系式；（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．29．（2020•浦东新区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．（1）求EF的长；（2）求∠COE的正弦值．30．（2020•闵行区二模）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE＝8，点G、H 分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH＝60°，设CG＝x，EH＝y．（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．参考答案一．选择题1．解：∵正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，又∵正方形的内角是90°，∴∠1＝108°﹣90°＝18°；故选：C．2．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，连接CD交AF于点G，∵AB＝AC，BC＝4，∴BF＝CF＝2，∵tan B＝2，∴，即AF＝4，∴AB＝，∵D为AB的中点，∴BD＝，G是△ABC的重心，∴GF＝AF＝，∴CG＝，∴CD＝CG＝，∵点B在⊙D内，点C在⊙D外，∴＜r＜，故选：B．3．解：∵正六边形的半径为R，∴边心距r＝R，∴R：r＝1：＝2：，故选：D．4．解：设⊙O2的半径为r，∵⊙O1与⊙O2内切于点A，∴O2A＝r，O1A＝5，∴r﹣5＝3或5﹣r＝3，∴r＝8或r＝2，即O2A的长等于2或8．故选：D．5．解：∵点（3，4），∴点到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，∴在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定与x轴相切，与y 轴相交，故选：D．6．解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；∵过点B、C的圆记作为圆O2，∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；∵过点C、A的圆记作为圆O3，∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．故选：B．7．解：∵r＞1，∴2＜3+r，∴这两个圆的位置关系不可能外离．故选：C．8．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，∵⊙A的半径为3，4＞3，2＞3，∴点B、点C都在⊙A外．故选：D．9．解：∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA＝＝，OB＝＝5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴＜r＜5，∴r＝4符合要求．故选：B．10．解：如图：∵A（1，0），⊙A的半径是2，∴AC＝AE＝2，∴OE＝1，OC＝3，A、当a＝﹣1时，点B在E上，即B在⊙A上，正确，故本选项不合题意；B、当a＝﹣3时，B在⊙A外，即说当a＜1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；C、当a＜﹣1时，AB＞2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；D、当﹣1＜a＜3时，B在⊙A内正确，故本选项不合题意；故选：B．11．解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项错误；B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．12．解：如图所示：连接MN，可得M是AD的中点，N是BE的中点，则MN是梯形ABED的中位线，则MN＝（AB+DE）＝4.5，∵EC＝3，BC＝AD＝4，∴BE＝5，则⊙N的半径为2.5，⊙M的半径为2，则2+2.5＝4.5．故⊙M与⊙N的位置关系是：外切．故选：B．13．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵⊙A、⊙B没有公共点，∴⊙A与⊙B外离或内含，∵⊙B的半径为1，∴若外离，则⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜5﹣1＝4，若内含，则⊙A半径r的取值范围为r＞1+5＝6，∴⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜4或r＞6．故选：D．14．解：∵点P的坐标为（﹣2，3），∴点P到x轴的距离是3，∵2＜3，∴以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是相离，15．解：如图所示；∵OM平分∠AOD，以点P为圆心的圆与直线AB相离，∴以点P为圆心的圆与直线CD相离，故选：A．二．填空题（共10小题）16．解：由题意可得：边数为360°÷α＝n，则α＝．故答案为α＝．17．解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有r：R＝1：3；又R+r＝4，解，得R＝3，r＝1，∴当它们内切时，圆心距＝3﹣1＝2．故答案为：2．18．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．19．解：作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝4，∴AD垂直平分BC，∴圆心O在AD上，连接OB，在Rt△OBC中，∵BD＝4，OB＝5，∴OD＝＝＝3，如图，AD＝OA+OD＝5+3＝8，此时S△ABC＝×8×8＝32；故答案为：32．20．解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；又∵AB＝4厘米，∴AD＝2厘米，∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．故答案是：4或2；21．解：设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，如图所示：∴∠AOB＝＝30°，∵AD⊥OB，∴AD＝OA＝，∴△AOB的面积＝OB×AD＝×1×＝∴正十二边形的面积＝12×＝3，∴⊙O的面积≈正十二边形的面积＝3，故答案为：3．22．解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，设这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝R sin36°，a＝2R sin36°；a＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，∴＝2tan36°，故正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°，故答案为：2tan36°．23．解：正五边形的中心角为：＝72°．故答案为：72°．24．解：过O作OC⊥AB交AB于C点，如右图所示：由垂径定理可知，OC垂直平分AB，则AC＝AB＝3，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝30°，∴tan∠OAB＝tan30°＝，∴OC＝AC•tan30°＝3×＝，即圆心O到AB的距离为；故答案为：．25．解：如图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC＝90°，则EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，则点G是AF的中点，∴GF＝AF＝2，∴OG是△AEF的中位线，∴OG＝AE＝1，∴OF＝＝，OD＝＝，∵圆D与圆O有两个公共点，∴﹣＜r＜+，故答案为：﹣＜r＜+．三．解答题（共5小题）26．解：（1）如图，过点D作DH⊥AC，垂足为H．在Rt△AEH中，，．在⊙A中，AE＝AD＝x，∴，∴；（2）∵，∴可设BC＝4k（k＞0），AB＝5k，则AC＝＝3k．∵AC＝15，∴3k＝15，∴k＝5．∴BC＝20，AB＝25．∵点E是的中点，由题意可知此时点E在边AC上，点F在BC的延长线上，∴∠FAC＝∠BAC．∵∠FCA＝∠BCA＝90°，AC＝AC，∴△FCA≌△BCA（ASA），∴FC＝BC＝20．∵，又∵∠AED＝∠FEC，且∠AED、∠FEC都为锐角，∴tan∠FEC＝2．∴．∴AE＝AC﹣EC＝20﹣10＝5．过点A作AM⊥DE，垂足为M，则．∵，∴．在Rt△EFC中，．∴在Rt△AFM中，．答：∠DFA的余切值为；（3）当点E在AC上时，只有可能∠FAD＝90°．∵FC＝CE•tan∠FEC＝2（15﹣x），∴．∴．∵，又∵∠AED＝∠ADE，且∠AED、∠ADE都为锐角，∴．∴．∴AD＝x＝．∴．当点E在AC的延长线上时，只有可能∠AFD＝90°，此时∠AFC＝∠AEF．∵∠AFC、∠AEF都为锐角，∴tan∠AEF＝tan∠AFC＝2．∵CE＝AE﹣AC＝x﹣15，∴CF＝CE•tan∠AEF＝2（x﹣15）．∴．∴AD＝x＝．∴．综上所述，△AFD为直角三角形时，DE的长为或．27．（1）证明：如图1中，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵OB＝OA＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠OBC，∴∠A＝∠C，∵OB＝OB，∴△OBA≌△OBC（AAS），∴AB＝BC，∴＝．（2）解：如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．∵OA⊥OB，∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°，∴四边形DMON是矩形，∴DN＝OM＝a，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠ABO＝45°，∵OC＝OB，CD＝CB，∴∠C＝∠OBC，∠CDB＝∠CBD，∵∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，∴3∠C+90°＝180°，∴∠C＝30°，∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∵∠DMB＝90°，∴∠MDB＝∠DBM＝45°，∴DM＝BM，∠ODM＝30°，∴DM＝OM＝a，DN＝DM＝a，AD＝DN＝a，∴＝＝．（3）解：如图3﹣1中，当BO＝BE时，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠A+∠AOD＝∠OBA+∠OBC，∵∠A＝∠ABO，∴∠AOD＝∠OBC＝∠C，∵AOD＝∠COE，∴∠C＝∠COE＝∠CBO，∵∠C＝∠C，∴△OCE∽△BCO，∴＝，∴＝，∴EC2+2EC﹣4＝0，解得EC＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴BC＝+1．如图3﹣2中，当EO＝EB时，同法可证△OEB是等腰直角三角形，∴EO＝EB＝EC＝OB＝，∴BC＝2，∵∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，∴OE≠OB，综上所述，BC的值为+1或2．28．解：（1）如图1，联结OF，交BC于点H．∵F是中点，∴OF⊥BC，BC＝2BH．∴∠BOF＝∠COF．∵OA＝OF，OC⊥AF，∴∠AOC＝∠COF，∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝＝，∵AB＝6，∴OB＝3，∴BH＝，∴BC＝2BH＝3；（2）如图2，联结BF．∵AF⊥OC，垂足为点＝D，∴AD＝DF．又∵OA＝OB，∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．∴，∴，即，∴，∴y＝．（3）△AOD∽△CDE，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去．②当∠DCE＝∠DAO时，联结OF．∵OA＝OF，OB＝OC，∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．∵∠DCE＝∠DAO，∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，∴∠OAF＝30°，∴OD＝．即线段OD的长为．29．解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM，∵∠ACB＝90°，∴OM⊥BC，∴OM＝AC＝×8＝4，在Rt△OEM中，EM＝＝3，∴EF＝2EM＝6；（2）CM＝BC＝8，∴CE＝8﹣3＝5，∴CE＝OE，∴∠OEC＝∠OCE，在Rt△OCM中，OC＝＝4，∴sin∠OCM＝＝＝，∴∠COE的正弦值为．30．解：（1）连接OQ，如图①所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC＝DE，∠ABC＝120°，BE∥CD，∴＝，∠EBC＝∠ABC＝60°，∵点Q是的中点，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠BOQ＝∠EOQ，∵∠BOQ+∠EOQ＝180°，∴∠BOQ＝∠EOQ＝90°．∵BO＝OQ，∴∠OBQ＝∠BQO＝45°，∴∠CBG＝∠EBC﹣∠OBQ＝60°﹣45°＝15°；（2）在BE上截取EM＝HE，连接HM，如图②所示：∵正六边形ABCDEF，直径BE＝8，∴BO＝OE＝BC＝4，∠BCD＝∠FED＝120°，∴∠FEB＝∠FED＝60°，∵EM＝HE，∴△HEM是等边三角形，∴EM＝HE＝HM＝y，∠HME＝60°，∴∠BCD＝∠HMB＝120°，∵∠EBC＝∠GBH＝60°，∴∠EBC﹣∠GBE＝∠GBH﹣∠GBE，即∠GBC＝∠HBE，∴△BCG∽△BMH，∴．又∵CG＝x，BE＝8，CD＝BC＝4，∴，∴y与x的函数关系式为（0＜x＜4）．（3）如图③，当点G在边CD上时．由于△AFH∽△EDG，且∠CDE＝∠AFE＝120°，①当．∵AF＝ED，∴FH＝DG，∴CG＝EH，即：，解分式方程得：x＝4．经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．②当．即：，解分式方程得：x＝12．经检验x＝12是原方程的解，但不符合题意舍去．如图④，当点G在CD的延长线上时．由于△AFH∽△EDG，且∠EDG＝∠AFH＝60°，①当．∵AF＝ED，∴FH＝DG，∴CG＝EH，即：，解分式方程得：x＝4．经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．②当．即：，解分式方程得：x＝12．经检验x＝12是原方程的解，且符合题意．综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．。
2020年上海市浦东新区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题（共6个小题）1．下列各数是无理数的是（）A．B．C．D．0.2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3．一次函数y＝﹣2x+3的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限4．如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°5．在梯形ABCD中，AD∥BC，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（）A．AB＝DC B．∠DAB＝∠ABC C．∠ABC＝∠DCB D．AC＝DB6．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且点D在圆C 内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是（）A．5＜r＜12B．18＜r＜25C．1＜r＜8D．5＜r＜8二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．函数的定义域是．8．方程＝x的根是．9．不等式组的解集是．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为．11．一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，分别标号为1、2、3、4、5，从中随机抽取一个小球，其标号是素数的概率是．12．如果点A（3，y1）、B（4，y2）在反比例函数y＝的图象上，那么y1y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）13．某校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目．为了了解全校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计该学校1500名学生中选择篮球项目的学生约为名．14．已知向量与单位向量的方向相反，||＝3，那么向量用单位向量表示为．15．如图，AB∥CD，如果∠B＝50°，∠D＝20°，那么∠E＝．16．在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为α，如果测角仪的高为1.5，那么旗杆的高位米．（用含α的三角比表示）17．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上．如果D为AB中点，且＝，那么AE的长度为．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC＝，D是BC边上一点，沿直线AD翻折△ABD，点B落在点E处，如果∠ABE＝45°，那么BD的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：（﹣1）0+|1﹣|+（）﹣1+8．20．先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．（1）求EF的长；（2）求∠COE的正弦值．22．学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB•AM＝AE•AC．求证：（1）四边形ABCD是矩形；（2）DE2＝EF•EM．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）直线MN平行于x轴，与抛物线交于M、N两点（点M在点N的左侧），且MN ＝AB，点C关于直线MN的对称点为E，求线段OE的长；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP、EP，EP交线段BC于点F，当S△CPF：S△CEF＝1：2时，求点P的坐标．25．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE＝x，EG＝y．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各数是无理数的是（）A．B．C．D．0.【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：A.是无理数；B.，是整数，属于有理数；C.是分数，属于有理数；D.是循环小数，属于有理数．故选：A．2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．解：与是同类二次根式的是，故选：C．3．一次函数y＝﹣2x+3的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限【分析】根据一次函数的性质即可求得．解：∵一次函数y＝﹣2x+3中，k＝﹣2＜0，b＝3＞0，∴一次函数y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限．故选：D．4．如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可求得边数，然后代入内角和公式求解即可．解：这个多边形的边数是360÷72＝5，所以内角和为（5﹣2）×180°＝540°故选：B．5．在梯形ABCD中，AD∥BC，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（）A．AB＝DC B．∠DAB＝∠ABC C．∠ABC＝∠DCB D．AC＝DB【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．解：A、∵AD∥BC，AB＝DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠DAB＝∠ABC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；C、∵∠ABC＝∠DCB，∴BD＝BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；D、∵AC＝BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选：B．6．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且点D在圆C 内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是（）A．5＜r＜12B．18＜r＜25C．1＜r＜8D．5＜r＜8【分析】首先根据点D在⊙C内，点B在⊙C外，求得⊙C的半径是大于5而小于12；再根据勾股定理求得AC＝13，最后根据两圆外切的位置关系得到其数量关系．解：∵在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，∴AC＝＝13，∵点D在⊙C内，点B在⊙C外，∴⊙C的半径R的取值范围为：5＜R＜12，当⊙A和⊙C外切时，圆心距等于两圆半径之和是13，设⊙C的半径是R c，即R c+r＝13，又∵5＜R c＜12，则r的取值范围是1＜r＜8．故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．函数的定义域是x≠1．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x﹣1≠0，解可得自变量x的取值范围．解：根据题意，有x﹣1≠0，解可得x≠1．故答案为x≠1．8．方程＝x的根是1．【分析】此题需把方程两边平方去根号后求解，然后把求得的值进行检验即可得出答案．解：两边平方得：3﹣2x＝x2，整理得：x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝﹣3，x＝1，检验：当x＝﹣3时，原方程的左边≠右边，当x＝1时，原方程的左边＝右边，则x＝1是原方程的根．故答案为：1．9．不等式组的解集是﹣6≤x＜．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式x+5≥﹣1，得：x≥﹣6，解不等式2x＜5，得：x＜，则不等式组的解集为﹣6≤x＜，故答案为：﹣6≤x＜．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为3．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4k＝0，然后解关于k的一元一次方程即可．解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝3．故答案为：3．11．一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，分别标号为1、2、3、4、5，从中随机抽取一个小球，其标号是素数的概率是．【分析】从袋子中随机抽取1个小球共有5种等可能结果，其中抽出的标号是素数的有2、3、5这3种结果，再利用概率公式可得．解：从标号为1、2、3、4、5的5个小球中随机抽取1个小球共有5种等可能结果，其中抽出的标号是素数的有2、3、5这3种结果，所以从中随机抽取一个小球，其标号是素数的概率是，故答案为：．12．如果点A（3，y1）、B（4，y2）在反比例函数y＝的图象上，那么y1＞y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】反比例函数y＝的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．解：∵k＝2＞0，∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，∵A（3，y1）、B（4，y2）同在第一象限，且3＜4，∴y1＞y2，故答案为＞．13．某校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目．为了了解全校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计该学校1500名学生中选择篮球项目的学生约为300名．【分析】用整体1减去乒乓球、羽毛球、足球所占的百分比，求出篮球所占的百分比，再用该学校1500名学生乘以篮球所占的百分比即可得出答案．解：根据题意得：1500×（1﹣16%﹣28%﹣36%）＝300（名），答：该学校1500名学生中选择篮球项目的学生约为300名；故答案为：300．14．已知向量与单位向量的方向相反，||＝3，那么向量用单位向量表示为﹣3．【分析】根据向量的定义，确定模的大小，以及方向即可．解：∵向量与单位向量的方向相反，||＝3，∴＝﹣3，故答案为﹣3．15．如图，AB∥CD，如果∠B＝50°，∠D＝20°，那么∠E＝30°．【分析】根据平行线的性质得出∠BCD＝50°，利用三角形外角性质解答即可．解：∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝50°，∵∠D＝20°，∴∠E＝∠BCD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．16．在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为α，如果测角仪的高为1.5，那么旗杆的高位（1.5+15tanα）米．（用含α的三角比表示）【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．解：根据题意可得：旗杆比仪器高15tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+15tanα）米．故答案为：（1.5+15tanα）17．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上．如果D为AB中点，且＝，那么AE的长度为5或．【分析】先求出DE的长，分两种情况讨论，利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵D为AB中点，∴AD＝4，∵，∴∴DE＝3，如图，∠ADE＝∠ABC＝90°时，∴△ADE∽△ABC，∴∴AE＝5，如图，∠ADE≠∠ABC时，取AC中点H，连接DH，过点D作DF⊥AC于F，∵点D是AB中点，点H是AC的中点，∴DH＝BC＝3，AH＝HC＝5，DH∥BC，∴∠ADH＝∠ABC＝90°，∵S△ADH＝×AH×DF＝×AD×DH，∴5×DF＝12，∴DF＝，∴FH＝＝＝，∵DE＝DH，DF⊥AC，∴EF＝FH＝，∴AE＝AH﹣﹣＝，故答案为：5或．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC＝，D是BC边上一点，沿直线AD翻折△ABD，点B落在点E处，如果∠ABE＝45°，那么BD的长为2．【分析】过D作DF⊥AB于F，根据折叠可得∠ADF＝∠DAF＝45°，设DF＝AF＝x，则BF＝x，BD＝2x，根据AB＝2，即可得到x的值，进而得出BD的长．解：如图所示，过D作DF⊥AB于F，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC＝，∴AB＝2，∠ABC＝30°，由折叠可得，AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴∠BAE＝90°，∴∠BAD＝∠BAE＝45°，∴∠ADF＝∠DAF＝45°，∴AF＝DF，设DF＝AF＝x，则BF＝x，BD＝2x，∵AB＝AF+BF，∴2＝x+x，解得x＝﹣1，∴BD＝2x＝2，故答案为：2．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：（﹣1）0+|1﹣|+（）﹣1+8．【分析】直接利用绝对值的性质、负整数指数幂的性质、分数指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝1+﹣1+3+2＝5．20．先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．解：原式＝•﹣＝﹣＝，当a＝+2时，原式＝＝＝．21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．（1）求EF的长；（2）求∠COE的正弦值．【分析】（1）作OM⊥EF于M，如图，根据垂径定理得到EM＝FM，利用三角形中位线性质得到OM＝AC＝4，然后利用勾股定理计算出EM，从而得到EF的长；（2）利用CE＝OE＝5得到∠OEC＝∠OCE，在利用勾股定理计算出OC＝4，然后利用正弦的定义求出sin∠OCM，从而得到∠COE的正弦值．解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM，∵∠ACB＝90°，∴OM⊥BC，∴OM＝AC＝×8＝4，在Rt△OEM中，EM＝＝3，∴EF＝2EM＝6；（2）CM＝BC＝8，∴CE＝8﹣3＝5，∴CE＝OE，∴∠OEC＝∠OCE，在Rt△OCM中，OC＝＝4，∴sin∠OCM＝＝＝，∴∠COE的正弦值为．22．学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？【分析】根据题意表示出科普类图书和文学类图书的平均价格，再利用购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本得出等式求出答案．解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则文学类图书平均每本的价格为（x﹣5）元，根据题意可得：＝﹣100，解得：x＝20，经检验得：x＝20是原方程的根，答：科普类图书平均每本的价格是20元．23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB•AM＝AE•AC．求证：（1）四边形ABCD是矩形；（2）DE2＝EF•EM．【分析】（1）根据相似三角形的性质与判定可知∠AME＝∠ACB，从而可得∠ACB+∠BAC＝90°，所以▱ABCD是矩形．（2）由（1）可知：DE＝EC，AE＝EC，易证∠CME＝∠AME＝∠ECB，所以△CEF∽△MEC，所以，从而得证．解：（1）∵AB•AM＝AE•AC，∴＝，∵∠CAB＝∠CAB，∴△ACB∽△AME，∴∠AME＝∠ACB，由于∠AME+∠BAC＝90°，则∠ACB+∠BAC＝90°，∴▱ABCD是矩形．（2）由（1）可知：DE＝EC，AE＝EC，∵ME⊥AC，∴ME平分∠AMC，∴∠CME＝∠AME＝∠ECB，∵∠MEC＝∠FEC＝90°，∴△CEF∽△MEC，∴，∴EC2＝EF•EM，即DE2＝EF•EM24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）直线MN平行于x轴，与抛物线交于M、N两点（点M在点N的左侧），且MN ＝AB，点C关于直线MN的对称点为E，求线段OE的长；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP、EP，EP交线段BC于点F，当S△CPF：S△CEF＝1：2时，求点P的坐标．【分析】（1）根据对称轴为直线x＝1求出b＝2，即可求解；（2）由抛物线的对称性知，QM＝QN＝MN＝，则点N（，），即MN在直线y＝上，即可求解；（3）S△CPF：S△CEF＝1：2，即＝，而△PP′F∽△ECF，则，即，即可求解．解：（1）由题意得：﹣，解得：b＝2，∵抛物线与y轴交于点C（0，3），故c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），则AB＝4，MN＝AB＝3，如图1，作抛物线的对称轴交MN于点Q，由抛物线的对称性知，QM＝QN＝MN＝，则点N的横坐标为1+＝，故点N（，），即MN在直线y＝上，则点C关于MN的对称点E的坐标为：（0，），即OE＝；（3）过点P作PP′∥OC交BC于点P′，设直线BC的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点P（a，﹣a2+2a+3），则点P′（a，﹣a+3），则PP′＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，∵S△CPF：S△CEF＝1：2，即＝，∵PP′∥CE，∴△PP′F∽△ECF，∴，即，解得：a＝或，故点P的坐标为：（，）或（，）．25．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE＝x，EG＝y．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值．【分析】（1）根据菱形的性质得AB＝BC，而∠B＝60°，则可判定△ABC为等边三角形，得到∠BAC＝60°，AC＝AB，易得∠ACF＝60°，∠BAE＝∠CAF，然后利用“ASA”可证明△AEB≌△AFC，得出AE＝AF，则结论可得出；（2）过点A作AH⊥BC于点H，求出AE，证明△BAE∽△CEG，得出，则可得出答案；（3）证明△COE∽△CEA，由比例线段可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACF＝60°，∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形；（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝EF＝，∠AEF＝60°，∵∠ABH＝60°，∴，BH＝HC＝1，∴EH＝|x﹣HC|＝|x﹣1|，∴EF＝＝，∵∠AEF＝∠B＝60°，∴∠CEG+∠AEB＝∠AEB+∠BAE＝120°，∴∠CEG＝∠BAE，∵∠B＝∠ACE＝60°，∴△BAE∽△CEG，∴，∴，∴y＝EG＝（0＜x＜2），（3）解：∵AB＝2，△ABC是等边三角形，∴AC＝2，∴OA＝OC＝1，∵EG＝EO，∴∠EOG＝∠EGO，∵∠EGO＝∠ECG+∠CEG＝60°+∠CEG，∠CEA＝∠CEG+∠AEF＝60°+∠CEG，∴∠EGO＝∠CEA，∴∠EOG＝∠CEA，∵∠ECA＝∠OCE，∴△COE∽△CEA，∴，∴CE2＝CO•CA，∴x2＝1×2，∴x＝（x＝﹣舍去），即x＝．。
上海市长宁区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
4.如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼时间
的众数、中位数分别是（ ）
A. 8 、 9
B. 8 、 8.5
C. 16 、 8.5
D. 16 、14
【答案】A
【解析】
【分析】
根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．
【详解】众数即出现次数最多的数据，由图中数据知道众数是 8，
由图中知道共有 40 个数据，中位数是从小到大排列，位于中间的两个数的平均数即为中位
数，由图中数据知道是 9；
Байду номын сангаас
故此题选：A．
【点睛】此题考查数据收集，主要是众数，中位数和条形统计图，难度一般．
5.如果两圆的半径长分别为 5 和 3 ，圆心距为 7 ，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A. 内切
B. 外离
∴ BP BO ， BQ BC
即 5 5 ， BQ 2 5
∴BQ=2， ∵BQ>BO， ∴此情况不符合题意，舍去；
2，如图，同理可得 OP= 2 5 ，
在△BOP 与△BQC 中，
OBP QBC OPB BQC ， ∴△BOP ~ △BQC， ∴ BP BO ，
BQ BC 即 5 5 ，
BQ 2 5
C. 相交
D. 外切
【答案】C
【解析】
【分析】
求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，根据得出的数量关系判断位置关系．
【详解】由题意得：∵5-3=2，5+3=8，圆心距为 7，
∴2<7<8，
根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间得：两圆相交，
故此题选：C．
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系，本题利用两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径
上海市金山区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市金山区中考数学二模试卷答案解析版一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在下列各数中，无理数是（）A.207 B.3π C. D.0.101001【答案】B【解析】【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理数定义解答.【详解】A.207是分数，是有理数，故不是无理数；B.3π是无理数；C.=2是整数，故不是无理数；D.0.101001是有理数，故不是无理数，故选：B.【点睛】此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键.2.计算（a 3）2的结果是（）A.aB.a 5C.a 6D.a 9【答案】C【解析】（a 3）2=a 3×2=a 6．故选C ．3.一次函数23y x =-的图像在y 轴的截距是（）A.2B.-2C.3D.-3【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式得到b=-3，即可得到截距.【详解】∵23y x =-，即b=-3，∴图像与y 轴的截距为-3，故选：D.【点睛】此题考查一次函数的图象与坐标轴的截距，与y 轴的截距即为b 的值，注意有正负.4.某区对创建全国文明城区的满意程度进行随机调查，结果如图所示，据此可估计全区75万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为（）A.1.2万B.1.5万C.7.5万D.66万【答案】B【解析】【分析】用总人数75万乘以（1-10%-88%）即可得到答案.【详解】75万⨯（1-10%-88%）=1.5万，故选：B.【点睛】此题考查根据百分比求部分的数量.5.已知在△ABC 中，AD 是中线，设,AB m AD n == ，那么向量BC 用向量,m n 表示为（）A.22m n -B.22m n +C.22n m -D.n m- 【答案】C【解析】【分析】根据向量的三角形法则求出BD ，即可得到BC.【详解】∵,AB m AD n == ，∴ AD AB B n D m =-=- ，∵AD 是△ABC 中线，∴2 22BC BD n m =-=，故选：C.【点睛】此题考查平面向量，掌握三角形的向量法则是解题的关键.6.如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Θ相交，那么r 的取值范围是（）A.4<r <12B.2<r <12C.4<r <8D.r >4【答案】A【解析】【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【详解】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON=30°，∴OQ=2QA=8，∵OP平分∠MON，PQ∥ON，∴∠QOP=∠PON=∠QPO，∴PQ=OQ=8，Θ相外切时，r=8-4=4，当以Q为圆心半径为r的圆与PΘ相内切时，r=8+4=12，当以Q为圆心半径为r的圆与PΘ相交，4<r<12，∴以Q为圆心半径为r的圆与P故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）-▲．7.分解因式：2a4=a+2a2-．【答案】()()【解析】【分析】先把式子写成a2-22，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．【详解】a2-4=a2-22=（a+2）（a-2）．a+2a2-.故答案为()()【点睛】此题考查的是利用公式法因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．8.某种冠状病毒的直径大约是0.00011毫米，数据0.00011用科学计数法表示为_________【答案】-41.110⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】0.00011=-41.110⨯，故答案为：-41.110⨯.【点睛】此题考察科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时n 是负整数，n 的绝对值等于原数的左边第一个非0的数前0的个数，按此方法即可正确求解.9.x =的解是_________【答案】1x =【解析】【分析】左右两边同时乘方得到22x x -=，解一元二次方程并验根即可.【详解】x =，22x x -=，220x x +-=，（x+2）（x-1）=0，解得：12x =-，21x =，∵20x -≥，∴2x ≤，∴x=1，故答案为：x=1.【点睛】此题考查解无理方程，需将方程两边同时平方，把它化为有理方程求出方程的解，注意验根.10.如果关于x 的方程220x mx -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是_______【答案】±【解析】【分析】根据方程220x mx -+=有两个相等的实数根，列得280m -=，即可求出m.【详解】∵方程220x mx -+=有两个相等的实数根，∴∆=280m -=，解得m=±，故答案为：±.【点睛】此题考查一元二次方程的根的情况，熟记一元二次方程根的三种情况是解题的关键.11.函数13y x=-的定义域是_________【答案】3x ≠【解析】【分析】分式有意义即分母3-x 0≠，由此求出答案.【详解】由题意得3-x 0≠，∴3x ≠，故答案为：3x ≠.【点睛】此题考查函数的自变量的取值范围，正确理解分式有意义的条件的解题的关键.12.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是_____．【答案】310【解析】分析：让是3的倍数的数的个数除以数的总个数即为所求的概率．详解：：∵1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中，3的倍数的有3、6、9共3个数，∴取出的数是3的倍数的概率是：310．故答案为310.点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n．13.某学校九年级共有350名学生，在一次九年级全体学生参加的数学测试中，随机抽取50名学生的测试成绩进行抽样调查，绘制频率分布直方图如图所示，如果成绩不低于80分算优良，那么估计九年级全体学生在这次测试中成绩优良学生人数约是______【答案】161【解析】【分析】用50人中不低于80分的人数除以50再乘以350即可得到答案.【详解】∵成绩不低于80分的有15+8=23（人），∴在这次测试中成绩优良学生人数约是158********+⨯=（人），故答案为：161.【点睛】此题考查利用部分估计总体的方法，正确掌握计算方法是解题的关键.14.上海市居民用户燃气收费标准如下表：某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费y （元）与年用气量x （立方米）的函数关系式是______________【答案】3(0310)y x x =≤<【解析】【分析】根据第一档的收费单价乘以用气量即可列出函数关系式.【详解】∵第一档每立方米3.00元，∴用气量在第一档，函数关系式是3(0310)y x x =≤<，故答案为：3(0310)y x x =≤<.【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解题意是解题的关键.15.四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相互垂直，AC =4，BD =6，顺次联结这个四边形中点所得的四边形的面积等于________【答案】6【解析】【分析】根据E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，得到EF ∥AC ，GH ∥AC ，EH ∥BD ，FG ∥BD ，EF=12AC=2，EH=12BD=3，证得四边形EFGH 是平行四边形，根据AC ⊥BD ，EF ∥AC ，EH ∥BD ，求出∠EMO=∠ENO=90°，证得四边形EMON 是矩形，得到∠MEN=90°，由此证得四边形EFGH 是矩形，再利用面积公式计算即可.【详解】如图：∵E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，EH ∥BD ，FG ∥BD ，EF=12AC=2，EH=12BD=3，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，EH ∥BD ，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON 是矩形，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积=236⨯=，故答案为：6.【点睛】此题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，矩形的判定定理.16.我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为__________【答案】8【解析】【分析】设正多边形的边数为n，内角和为(2)180n-⨯ ，根据定义列方程求解.【详解】设正多边形的边数为n，∵内角和为(2)180n-⨯ ，外角和为360°，∴一个内角度数为(2)180nn-⨯ ，一个外角度数为360n，∴(2)180nn-⨯ =3603n⨯，解得n=8，经检验n=8是方程的解且符合题意，故答案为：8.【点睛】此题考查正多边形的内角和公式，外角和度数，正确理解题意列分式方程解决问题.17.如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于________米（保留根号）【答案】203-25【解析】【分析】延长CB 交水平面于点D ，则∠D=90°，根据坡度设BD=x 米，则AD=2.4x 米，利用勾股定理求出x 得到BD=25米，AD=60米，根据∠CAD=30°，求出CD 即可求出BC.【详解】延长CB 交水平面于点D ，则∠D=90°，∵坡度为1：2.4，∴设BD=x 米，则AD=2.4x 米，在Rt △ABD 中，AB=65米，222AB AD BD =+，∴22265(2.4)x x =+，解得x=25（负值舍去），∴BD=25米，AD=60米，∵∠CAD=30°，∴tan 30CD AD =⋅o =203∴BC=CD-BD=203-25米，故答案为：203-25.【点睛】此题考查三角函数的实际应用，正确理解坡度的定义，将题中的已知条件转化为直角三角形的边或角利用锐角三角函数解题是关键.18.如图，在ABC ∆中，∠C =90°，AC =3，BC =4，把ABC ∆绕C 点旋转得到A B C '''∆，其中点A '在线段AB 上，那么A B B ''∠的正切值等于_________【答案】724【解析】【分析】根据题意画出图形，先根据勾股定理求出AB=5，利用旋转的性质得到AC A C '=，BC B C '=，A B AB ''==5，ACA B CB ''∠=∠，推出∠A BB ''=90°，过点C 作CE ⊥AB 于E ，根据△ACE ∽△ABC 解得95AE =，根据△ACA '∽△BCB '解得245BB '=，由此即可得到答案.【详解】∵∠C =90°，AC =3，BC =4，∴AB=5，由旋转得：AC A C '=，BC B C '=，A B AB ''==5，ACA B CB ''∠=∠,∴∠2=∠A ，∵∠A+∠1=90°，∴∠2+∠1=90°，即∠A BB ''=90°，过点C 作CE ⊥AB 于E ，∴△ACE ∽△ABC ，∴2AC AE AB =⋅，∴235AE =，解得95AE =，∴185AA '=，∴75A B AB AA ''=-=，∵AC A C '=，BC B C '=，ACA B CB ''∠=∠,∴△ACA '∽△BCB ',∴AC AA BC BB '=',∴18354BB ='，解得245BB '=，∴tan A B B ''∠=A B BB ''=724，故答案为：724.【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，锐角三角函数.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.13-111)+cos308⎛⎫-- ⎪⎝⎭o ．【答案】【解析】【分析】根据算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值分别化简后再计算加减法.【详解】13-111)+cos308⎛⎫-- ⎪⎝⎭o 111)22=-+，=【点睛】此题考查计算能力，掌握算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键.20.解方程组：222; 1.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】121251,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩【解析】【分析】用代入法解方程.【详解】，由①得x=2+y ③，将③代入②得22(2(2))1y y y y -+-=+，解得13y =，21y =-，将13y =、21y =-分别代入③，得15=x ，21x =，∴原方程组的解是121251,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩.【点睛】此题考查解二元二次方程组，根据方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键.21.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知函数2y x =的图像和反比例函数的在第一象限交于A 点，其中点A 的横坐标是1．（1）求反比例函数的解析式；（2）把直线2y x =平移后与y 轴相交于点B ，且AB OB =，求平移后直线的解析式．【答案】（1）2y x =；（2）524y x =+【解析】【分析】（1）将点A 的横坐标代入y=2x 中，得到点A 的纵坐标，设反比例函数解析式为k y x =，再将点A 的坐标代入解答；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于C ，则AC=1，OC=2，根据AB=OB ，得到直线y=2x 向上平移，设平移后的直线解析式为2y x =+b ，则OB=b ，根据勾股定理得到2221(2)b b +-=，求出54b =，即可得到函数解析式.【详解】（1）将点A 的横坐标1代入y=2x 中，得y=2，∴点A 的坐标为（1,2），设反比例函数解析式为k y x =，将点A 的坐标代入，得到k=2，∴反比例函数解析式为2y x=；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于C ，则AC=1，OC=2，∵AB=OB ，∴直线y=2x 向上平移，设平移后的直线解析式为2y x =+b ，则OB=b ，∵222AC BC AB +=，∴2221(2)b b +-=，解得54b =，∴平移后的解析式为：524y x =+.【点睛】此题考查一次函数的性质，点坐标与直线解析式，直线平移的性质.22.如图，已知在四边形ABCD 中∠A=∠ABC=90°，点E 是CD 的中点，△ABD 与△EBD关于直线BD 对称，1AD =，AB =（1）求点A 和点E 之间的距离；（2）联结AC 交BE 于点F ，求AF AC 的值．【答案】（1）AE ；（2）35AF AC =【解析】【分析】（1）连接AE 交BD 于H ，根据△ABD 与△EBD 关于直线BD 对称，得AE ⊥BD ，AH=HE ，利用勾股定理求出BD=2，利用1122ABD S AB AD BD AH =⋅=⋅ 求出2AH =即可得到答案；（2）根据∠A=90°，1AD=，BD=2求出∠ABD=30°，由△ABD与△EBD关于直线BD 对称，得到∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，由点E是CD的中点，求出BC=BD=2，∠CBE=∠DBE=30°，求出∠M=30°，AM=3，利用AM∥BC，3 2AF AMCF BC==，即可求出35 AFAC=.【详解】（1）连接AE交BD于H，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴AE⊥BD，AH=HE，∵∠A=90°，1AD=，AB=，∴BD=2，∵1122ABDS AB AD BD AH =⋅=⋅,∴AB AD BD AH⋅=⋅，∴2AH=，∴AE=2AH=；（2）延长AD、BE交于点M，∵∠A=90°，1AD=，BD=2，∴sin∠ABD=12 ADBD=，∴∠ABD=30°，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，∵点E是CD的中点，∴BE垂直平分CD，∴BC=BD=2，∴∠CBE=∠DBE=30°，∵∠A=∠ABC=90°，∴AD ∥BC ，∴∠M=∠CBE=30°，∴AM=3tan 30AB =，∵AM ∥BC ，∴32AF AM CF BC ==，∴35AF AC =.【点睛】此题考查轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定及性质.23.如图，已知C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作正方形ACDE 和正方形CBGF ，点F 在CD 上，联结AF 、BD ，BD 与FG 交于点M ，点N 是边AC 上的一点，联结EN 交AF 与点H ．（1）求证：AF=BD ；（2）如果AN GM AC GF=，求证：AF EN ⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据SAS 证明△ACF ≌△DCB 即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到AE=AC ，GF=GB ，由AN GM AC GF=证得AN GM AE GB =得到△EAN ∽△BGM ，再证明△MBG ∽△BDC ，由△BDC ≌△FAC ，得到△EAN ∽△ACF ，推出∠CAF+∠ANE=90°，即可得到结论.【详解】（1）在正方形ACDE 和正方形CBGF 中，AC=CD ，CF=CB ，∠ACD=∠BCD=90°，∴△ACF ≌△DCB ，∴AF=BD ；（2）在正方形ACDE 和正方形CBGF 中，AE=AC ，GF=GB ，∵AN GM AC GF=，∴AN GM AE GB =，∵∠EAN=∠G=90°，∴△EAN ∽△BGM ，∵CD ∥BG ，∴∠CDB=∠MBG ，∵∠DCB=∠G=90°，∴△MBG ∽△BDC ，∵△BDC ≌△FAC ，∴△EAN ∽△ACF ，∴∠AEN=∠CAF ，∵∠AEN+∠ANE=90°，∴∠CAF+∠ANE=90°，∴∠AHN=90°，∴AF EN ⊥.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质.24.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c =-++经过点3,0A （）和()0,3B ，其顶点为C ．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）我们把坐标为（n ，m ）的点叫做坐标为（m ，n ）的点的反射点，已知点M 在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M 的坐标；（3）点P 是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA=∠ACB ，求点P 的坐标．【答案】（1）2y x 2x 3=-++，顶点C 的坐标为：（1,4）；（2）点M 的坐标为（13+1）或（131）；（3）点P 的坐标为（51336+，513318+）.【解析】【分析】（1）将点3,0A （）和()0,3B 代入2y x bx c =-++即可求出；（2）设点M 的坐标为（n ，m ），则其反射点的坐标为（m ，n ），根据点M 的反射点在抛物线的对称轴上得到m=1，即M(n ，1)，将点M 坐标代入解析式求出n 即可得到坐标；（3）根据点3,0A （）和()0,3B 求出AB=32C 作CM ⊥y 轴与M ，根据C(1，4)，求出CM=BM=1，推出∠ABC=90°，2BC =，设点P 的坐标为（x ，223x x -++），过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则∠OFP=∠ABC=90°，证明△POF ∽△CAB ，列关系式求出x 即可得到点P 的坐标.【详解】（1）将点3,0A （）和()0,3B 代入2y x bx c =-++得9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴2y x 2x 3=-++=2(1)4x --+，∴顶点C 的坐标为：（1,4）；（2）设点M 的坐标为（n ，m ），则其反射点的坐标为（m ，n ），∵点M 的反射点在抛物线的对称轴上，∴m=1，即M(n ，1)，代入2y x 2x 3=-++中，得2231n n -++=，∴1n =±，∴点M 的坐标为（11）或（11）；（3）∵点3,0A （）和()0,3B ，∴OA=OB=3，∴AB=∴∠ABO=∠BAO=45°，过点C 作CM ⊥y 轴与M ，∵C(1，4)，∴CM=BM=1，∴∠CBM=∠BCM=45°，∴∠ABC=90°，∴BC =设点P 的坐标为（x ，223x x -++），过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则∠OFP=∠ABC=90°，∵∠POA=∠ACB ，∴△POF ∽△CAB ，∴OF AB PF BC=,2=解得x=56或x=56（不合题意，舍去），∴223x x -++=518+，∴点P 的坐标为（51336+，513318+）.【点睛】此题考查待定系数法，求函数的顶点坐标，根据解析式求出点的坐标，相似三角形的性质及判定，勾股定理，是一道二次函数的综合题.25.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC =6，BC =8，P 是线段BC 上任意一点，以点P 为圆心PB 为半径的圆与线段AB 相交于点Q （点Q 与点A 、B 不重合），∠CPQ 的角平分线与AC 相交于点D ．（1）如果DQ =PB ，求证：四边形BQDP 是平行四边形；（2）设PB =x ，△DPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如果△ADQ 是以DQ 为腰的等腰三角形，求PB 的长．【答案】（1）见解析；（2）23253(0)84y x x x =-+<<；（3）4或40089或20047【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠CPD=∠QPD ，由DQ=PB=PQ 得到∠QDP=∠QPD 推出DQ ∥BP ，再根据DQ=BP 推出四边形BQDP 是平行四边形；（2）先根据勾股定理求出AB=10，过点P 作PH ⊥AB 于H ，证明△BHP ∽△BCA ，求出BH=45x ，HP=35x ，根据同位角相等证明PD ∥AB 得到CD=3(8)4x -，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，利用三角函数求出QE=4832(10)85525x x -=-，再根据ABC ADQ PCD BPD y S S S S =--- 即可求出函数解析式，根据图形中各边都大于0得到不等式组求出x 的取值范围；（3）设PB=a ，过点P 作PH ⊥AB ，由（2）可知BQ=85a ，则AQ=10-85a ，分三种情况：①当AD=DQ 时，②当AQ=DQ 时，③当AD=AQ=10-85a 时，分别求出a 即可.【详解】（1）∵∠CPQ 的角平分线与AC 相交于点D ，∴∠CPD=∠QPD ，∵DQ=PB=PQ ，∴∠QDP=∠QPD ，∴∠QDP=∠CPD ，∴DQ ∥BP ，∵DQ=BP ，∴四边形BQDP 是平行四边形；（2）∵∠C=90°，AC =6，BC =8，∴AB=10，过点P 作PH ⊥AB 于H ，∴∠BHP=∠C=90°，∵∠B=∠B ，∴△BHP ∽△BCA ，∴BP BH HP AB BC AC ==，∴1086x BH HP ==，∴BH=45x ，HP=35x ，∴BQ=2BH=85x ，∵PB=PQ ，∴∠B=∠BQP ，∵∠CPQ=2∠CPD=∠B+∠BQP ，∴∠CPQ=∠B ，∴PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =，∴886x CD -=，∴CD=3(8)4x -，∴336(8)44AD x x =--=，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，∵AQ=10-85x ，∴QE=4832(10)85525x x -=-，∴ABC ADQ PCD BPDy S S S S =--- =113321318368(8)(8)(8)2242524255x x x x x x ⨯⨯-⨯---⨯--⨯⨯=2338x x -+∵3(8)043280250x x x ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪>⎪⎪⎩，解得2504x <<，∴23253(0)84y x x x =-+<<；（3）设PB=a ，过点P 作PH ⊥AB ，由（2）可知BQ=85a ，∴AQ=10-85a ，①当AD=DQ 时，如图，过点D 作DF ⊥AB 于F ，则AF=15245AQ a =-，∴5(54254)5333a AD a =--=，∴CD=254476()3333a a --=-，∵PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =,∴4783386a a --=，解得a=4，②当AQ=DQ 时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，∴AM=35AQ =3(10)585a -=24625a -，∴AD=2AM=481225a -，∴CD=6-AD=48625a -,∵PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =,∴48682586a a --=,解得a=40089；③当AD=AQ=10-85a 时，则CD=6-AD=85a -4，∵PD ∥AB ，∴PC CD BC CA =,∴848586a a --=，解得a=20047.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，是一道较难的综合题，解题中注意分类讨论的解题方法的运用.。
海市长宁区2020年中考数学一模试卷含答案
上海市长宁区中考数学一模试卷一、选择题．（本题共6个小题，每题4分，共24分）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：12．如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（）A．AD：AB=2：3 B．AE：AC=2：5 C．AD：DB=2：3 D．CE：AE=3：23．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（）A．B．C．D．24．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形5．已知⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（）A．相交 B．内含 C．内切 D．外切6．抛物线y=（x+2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移得到，下列平移方法中正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位二、填空题．（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．抛物线y=x2+1的顶点坐标是．8．已知抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，则实数b的值为．9．已知二次函数y=ax2+bx，阅读下面表格信息，由此可知y与x的函数关系式是．x ﹣1 1y 0 210．已知二次函数y=（x﹣3）2图象上的两点A（3，a）和B（x，b），则a和b的大小关系是a b．11．圆是轴对称图形，它的对称轴是．12．在⊙O中，弦AB=8cm，弦心距OC=3cm，则该圆的半径为cm．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，已知AC=1，BC=2，那么sin∠ACD的值是．14．王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西60°方向走10m到B处，再从B处向正南方走20m到C处，此时遥控汽车离A处m．15．已知△ABC中，AD是中线，G是重心，设=，那么用表示=．16．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=．17．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为20cm的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是cm．18．如图，ABCD为正方形，E是BC边上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN．如果tan∠AEN=，DC+CE=10，那么△ANE的面积为．三、解答题．（本大题共7个小题，满分78分）19．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点，如果=3﹣，求作并写出的模（不用写作法，只要所求作向量）．20．计算：tan230°﹣（cos75°﹣cot10°）0+2cos60°﹣2tan45°．21．已知△ABC中，∠CAB=60°，P为△ABC内一点且∠APB=∠APC=120°，求证：AP2=BP•CP．22．如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．（1）求角C的正切值：（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．23．靠校园一侧围墙的体育场看台侧面，如图阴影部分所示，看台的三级台阶高度相等，宽度相同，现要用钢管做护栏扶手ACG及三根与水平地面PQ垂直的护栏支架CD、EF和GH（底端D、F、H 分别在每级台阶的中点处）．已知看台高为1.2米，护栏支架CD=GH=0.8米，∠DCG=66.5°．（参考数据：sin66.5°=0.92，cos66.5°=0.40，tan66.5°=2.30）（1）点D与点H的高度差是米：（2）试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度l，即AC+CG+CD+EF+GH的长度．（结果精确到0.1米）24．如图，直角坐标平面内的梯形OABC，OA在x轴上，OC在y轴上，OA∥BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知OE=2EB，CB=3，OA=6，BA=3，OD=5．（1）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；（2）求证：△ODE∽△OBC；（3）在y轴上找一点G，使得△OFG∽△ODE，直接写出点G的坐标．25．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，sin∠B=，E点为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）当△ABE恰为直角三角形时，求BF：CG的值：（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和是否是常数，请说明理由：（3）设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．上海市长宁区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题．（本题共6个小题，每题4分，共24分）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：1【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴（1：2）2=1：4．故选B．【点评】本题是一道考查相似三角形性质的基本题目，比较简单．2．如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（）A．AD：AB=2：3 B．AE：AC=2：5 C．AD：DB=2：3 D．CE：AE=3：2【考点】平行线分线段成比例．【分析】由在△ABC中，∠ADE=∠B，∠A是公共角，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC=2：3．故选A．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似图形中的对应关系．3．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（）A．B．C．D．2【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据三角函数的定义解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，∴sinB==．故选A．【点评】本题考查了在三角形中角的正弦值等于对边比斜边的概念．4．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出三角形的形状．【解答】解：∵cosA=，tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°，则这个三角形一定是锐角三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．5．已知⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（）A．相交 B．内含 C．内切 D．外切【考点】圆与圆的位置关系．【分析】根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．【解答】解：∵⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，4﹣3=1，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．故选：C．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P，外离：P＞R+r；外切：P=R+r；相交：R﹣r＜P＜R+r；内切：P=R﹣r；内含：P＜R﹣r．6．抛物线y=（x+2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移得到，下列平移方法中正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】函数思想．【分析】因为函数y=x2的图象沿y轴向下平移1个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数y=x2﹣1；然后再沿x轴向左平移2个单位长度，可得新函数y=（x+2）2﹣1．【解答】解：∵函数y=x2的图象沿沿x轴向左平移2个单位长度，得，y=（x+2）2；然后y轴向下平移1个单位长度，得，y=（x+2）2﹣1；故可以得到函数y=（x+2）2﹣1的图象．故选B．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．二、填空题．（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．抛物线y=x2+1的顶点坐标是（0，1）．【考点】二次函数的性质．【分析】依据二次函数的顶点坐标公式求解即可．【解答】解：∵a=1，b=0，c=1．∴x=﹣=﹣=0．将x=0代入得到y=1．∴抛物线的顶点坐标为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握抛物线的顶点坐标公式是解题的关键．8．已知抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，则实数b的值为﹣2．【考点】二次函数的性质．【分析】根据公式法可求对称轴，可得关于b的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，∴对称轴x=﹣=1，解得：b=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握利用公式法求对称轴是解决问题的关键．9．已知二次函数y=ax2+bx，阅读下面表格信息，由此可知y与x的函数关系式是y=x2+x．x ﹣1 1y 0 2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】把表中的两组对应值代入y=ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a和b 的值，从而得到y与x的函数关系式．【解答】解：把x=﹣1，y=0和x=1，y=2代入y=ax2+bx得，解得a=1，b=1，所以y与x的函数关系式为y=x2+x．故答案为y=x2+x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．10．已知二次函数y=（x﹣3）2图象上的两点A（3，a）和B（x，b），则a和b的大小关系是a＜b．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】由二次函数的性质得x=3时函数值有最小值为0，于是可判断b＞a．【解答】解：∵x=3时，y=0，即a=0，而y=（x﹣3）2≥0，∴b＞0，∴a＜b．故答案为a＜b．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是确定A点为顶点．11．圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线/直径所在的直线．【考点】轴对称的性质；圆的认识．【分析】根据对称轴的概念，知圆的对称轴是过圆心的一条直线．【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线．【点评】注意：（1）对称轴应是直线．（2）圆有无数条对称轴．12．在⊙O中，弦AB=8cm，弦心距OC=3cm，则该圆的半径为5cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】首先根据题意画出图形，然后根据垂径定理的性质，即可求得AC的长，再利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图：连接OA，∵OC是弦心距，∴OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4（cm），∴OA==5（cm）．∴该圆的半径为5cm．故答案为：5．【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，已知AC=1，BC=2，那么sin∠ACD的值是．【考点】圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到∠B=∠ACD，∠ACB=90°，由勾股定理得到AB==3，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，∴，∴∠B=∠ACD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3，∴sin∠ACD=sin∠B==，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形及垂径定理，属于基础题，关键是掌握圆周角定理和锐角三角函数的定义．14．王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西60°方向走10m到B处，再从B处向正南方走20m到C处，此时遥控汽车离A处10m．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】首先根据题意画出图形，在Rt△ABD中，利用三角函数的知识即可求得AD与BD的长，继而求得CD的长，然后由勾股定理求得答案．【解答】解：如图所示：根据题意得：∠B=60°，AB=10m，BC=20m，∴在Rt△ABD中，AD=AB•sin60°=5（m），BD=AB•cos60°=5（m），∴CD=BC﹣BD=15（m）．∴在Rt△CDA中，AC==10（m）．故答案为：10．【点评】此题考查了方向角问题．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．15．已知△ABC中，AD是中线，G是重心，设=，那么用表示=．【考点】*平面向量．【分析】由△ABC中，AD是中线，G是重心，根据三角形重心的性质，可得=，继而求得答案．【解答】解：∵△ABC中，AD是中线，G是重心，∴==．故答案为：．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质．注意掌握三角形重心的性质是解此题的关键．16．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB= 4．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°∴∠A=∠ECD∴△ABC∽△CDE∴∴AB=4．【点评】本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识．17．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为20cm的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是15﹣5cm．【考点】黄金分割．【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据长方形的周长公式列出算式求出x的值，再根据黄金分割的定义即可得出这个黄金矩形较短的边长．【解答】解：设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得：2（x+x）=20，解得：x=5﹣5，则这个黄金矩形较短的边长是×（5﹣5）=（15﹣5）cm．故答案为：15﹣5．【点评】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．同时考查了矩形的周长公式．18．如图，ABCD为正方形，E是BC边上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN．如果tan∠AEN=，DC+CE=10，那么△ANE的面积为．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【分析】由翻折变换的性质得出∠AEN=∠EAN，然后先由tan∠AEN=，可得出BE=AB，然后DC+CE=10可知BE=2，从而得到AB=6，然后再Rt△ABE中，由勾股定理可求得BN的长，最后依据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEN=∠EAN．∵tan∠AEN=，∴tan∠BAE=．∴AB=3BE．∵EC+CD=10，∴6BE﹣BE=10．解得：BE=2．∴AB=6．∴=6．设AN=EN=x，则BN=6﹣x．在Rt△NBE中，由勾股定理可知：BE2+BN2=NE2，即（6﹣x）2=x2+22．解得：x=．∴BN=．∴=．∴S△ANE=S△ABE﹣S△BNE=6﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．三、解答题．（本大题共7个小题，满分78分）19．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点，如果=3﹣，求作并写出的模（不用写作法，只要所求作向量）．【考点】*平面向量．【分析】首先作=，=3，则为所求；然后利用模的定义，求得的模．【解答】解：如图，=，=3，则=﹣=3﹣，∴=；即为所求；∴||==．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握模的定义与向量的作法．20．计算：tan230°﹣（cos75°﹣cot10°）0+2cos60°﹣2tan45°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式=（）2﹣1+2×﹣2×1=﹣1+1﹣2=﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．21．已知△ABC中，∠CAB=60°，P为△ABC内一点且∠APB=∠APC=120°，求证：AP2=BP•CP．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据三角形的内角和得到∠CAP+∠ACP=60°，求得∠ACP=60°﹣∠CAP，由∠BAP=60°﹣∠CAP，得到∠BAP=∠ACP，证得△ABP∽△ACP，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵∠APB=∠APC=120°，∴∠CAP+∠ACP=60°，∴∠ACP=60°﹣∠CAP，∵∠BAC=60°，∴∠BAP=60°﹣∠CAP，∴∠BAP=∠ACP，∴△ABP∽△ACP，∴，∴AP2=BP•CP．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内角和，熟练正确相似三角形的判定定理是解题的关键．22．如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．（1）求角C的正切值：（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．【考点】切线的性质．【分析】（1）根据CD切⊙O于点D，得出CD⊥OD，再根据AB=2CA，求出∠C=30°，即可得出答案；（2）连接AD，证得△DAO是等边三角形，求出DA=r=2，再根据勾股定理可求得BD的长．【解答】解：（1）∵CD切⊙O于点D，∴CD⊥OD，又∵AB=2AC，∴OD=AO=AC=CO∴∠C=30°∴tan∠C=；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠DOA=90°﹣30°=60°，又∵OD=OA，∴△DAO是等边三角形．∴DA=r=2，∴DB==2．【点评】此题考查了切线的性质，用到的知识点是切线的性质、三角函数的定义、勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，得出直角三角形．23．靠校园一侧围墙的体育场看台侧面，如图阴影部分所示，看台的三级台阶高度相等，宽度相同，现要用钢管做护栏扶手ACG及三根与水平地面PQ垂直的护栏支架CD、EF和GH（底端D、F、H 分别在每级台阶的中点处）．已知看台高为1.2米，护栏支架CD=GH=0.8米，∠DCG=66.5°．（参考数据：sin66.5°=0.92，cos66.5°=0.40，tan66.5°=2.30）（1）点D与点H的高度差是0.8米：（2）试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度l，即AC+CG+CD+EF+GH的长度．（结果精确到0.1米）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）已知看台由四个台阶组成，由图可看出DH由三个台阶组成，看台的总高度已知，则点D与点H的高度差不难求得；（2）连接DG，证得DG∥PQ，得出△CDG是直角三角形，根据正弦函数和正切函数求得CG=2，DG=1.84，进一步求得AC=1，84÷4=0.46m，EF=0.8，即可求得制作护栏扶手和支架的钢管总长度．【解答】解：（1）∵看台高为1.2米，看台的三级台阶高度相等，宽度相同，∴两级台阶高度为0.8米，∴点D与点H的高度差是0.8米，故答案为0.8；（2）连接DG，∵点D与点H的高度差是0.8米，GH=0.8m，∴DG∥PQ，∴∠CDG=90°，∴cos∠DCG=，tan∠DCG=，∴CG===2（m），DG=tan66.5°×0.8=2.3×0.8=1.84（m），∴AC=1，84÷4=0.46（m），∵CE=EG，∴ER=CD=0.4m，∵RF=0.4m，∴EF=0.8m，∴AC+CG+CD+EF+GH=0.46+2+0.8×3=4.9（m）．【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，难度一般，主要要求学生能将实际问题转化为数学模型，然后利用解直角三角形的知识进行解答．24．如图，直角坐标平面内的梯形OABC，OA在x轴上，OC在y轴上，OA∥BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知OE=2EB，CB=3，OA=6，BA=3，OD=5．（1）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；（2）求证：△ODE∽△OBC；（3）在y轴上找一点G，使得△OFG∽△ODE，直接写出点G的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据矩形的性质，可得BG与OC的关系，OG与BC的关系，根据勾股定理，可得BG的长，可得B，C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据勾股定理，可得OB的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；（3）根据相似三角形的性质，可得EH，OH的长，根据待定系数法，可得DE的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标，根据相似三角形的性质，可得OG的长，可得G点坐标．【解答】解：（1）如图1，作BG⊥OA于G点，四边形OCBG是矩形，BG=OC，OG=BC=3．AG=OA﹣OG=6﹣3=3．由勾股定理，得BG===6．OC=BG=6，即C（0，6）；BC=3，BG=6，即B（3，6）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C点坐标代入函数解析式，得，解得抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6；（2）证明：由勾股定理，得OB===3．由OE=2OB，得OE=OB=2．由比的性质，得==，且∠DOE=∠BOC，∴△ODE∽△OBC．（3）如图2，作EH⊥OG于G点，==，EH=×6=4，==，OH=×3=2，即E（2，4），D（0，5），设DE的解析式为y=kx+b，将D，E点坐标代入，得，解得．DE的解析式为y=﹣x+5，当y=0时，x=10，即F（10，0）．OF=10．由△ODE∽△OBC，得∠OED=90°．由勾股定理，得DE===．由△OFG∽△ODE，得=，即OG===20，点G的坐标为（0，20）、（0，﹣20）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用相似三角形的判定：两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；利用相似三角形的性质得出=是解题关键．25．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，sin∠B=，E点为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）当△ABE恰为直角三角形时，求BF：CG的值：（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和是否是常数，请说明理由：（3）设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用平行四边形的性质和相似三角形的判定即可解决问题．（2）设BE=x，易证△BEF∽△BAM，根据相似三角形的性质可得BF=x，EF=x．易证△CEG∽△BAM，根据相似三角形的性质可得CG=6﹣x，EG=8﹣x，从而可得C△BEF+C△CEG=24．（3）由（2）得：EF=x，DG=11﹣x，就可求出y和x之间的函数关系式．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，即BF∥CG，∴△BEF∽△CEG．当△ABE恰为直角三角形时，如图1：∴BF：CG=BE：EC=3：7，当△ABE恰为直角三角形时，如图2：∴BF：CG=BE：EC=5；（2）△BEF和△CEG的周长之和等于24，是常数．如图3：理由：设BE=x，∵AM⊥BC，AB=5，AM=4，∴BM==3．∵AM⊥BC，EF⊥AB，∴∠AMB=∠EFB=90°．∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BAM，∴，∴，∴BF=x，EF=x．∵△BEF∽△CEG，△BEF∽△BAM，∴△CEG∽△BAM，∴，∴，∴CG=6﹣x，EG=8﹣x，∴C△BEF+C△CEG=x+x+x+6﹣x+8﹣x+10﹣x=24．（3）由（2）得：EF=x，FG=DG=DC+CG=5+6﹣x=11﹣x，∴y=EF•DG=×x•（11﹣x）=﹣x2+x（0＜x＜10）．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，运用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键．。
上海市崇明区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市崇明区中考数学二模试卷答案解析版一、选择题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列二次根式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；B 、被开方数30.310=，含分母，故B 不符合题意；C 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C 不符合题意；D 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D 符合题意.故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.如果a b >，那么下列结论中一定成立的是（）A.22a b->- B.22a b +>+ C.2ab b > D.22a b >【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】A 、∵a ＞b ，∴2-a ＜2-b ，故本选项错误，不符合题意；B 、∵a ＞b ，∴2+a ＞2+b ，故本选项正确，符合题意；C 、∵a ＞b ，∴当b ＞0时，ab ＞b 2，当b ＜0时，ab ＜b 2，不能判断ab 和b 2的大小，故本选项错误，不符合题意；D 、∵a ＞b ，不能判断a 2和b 2的大小，故本选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，能熟记不等式的性质是解此题的关键．3.已知一次函数(3)62y m x m =-++，如果y 随自变量x 的增大而减小，那么m 的取值范围为（）A.3m < B.3m > C.3m <- D.3m >-【答案】A【解析】【分析】根据一次函数的性质得到关于m 的不等式，求解集即可．【详解】根据题意，得：m-3＜0，解得：m ＜3，故选：A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，解决此类问题的关键是灵活运用一次函数的图象与k 的关系是解题的关键．4.下列说法正确的是（）A.了解我区居民知晓“创建文明城区”的情况，适合全面调查；B.甲乙两人跳高成绩的方差分别为2234S S ==甲乙，，说明乙的距离成绩比甲稳定；C.一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5；D.可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生．【答案】C【解析】【分析】直接利用方差的意义以及概率的意义、全面调查和抽样调查分别分析得出答案．【详解】A 、了解我区居民知晓“创建文明城区”的情况，适合抽样调查，故错误；B 、甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S 甲2=3，S 乙2=4，说明甲的跳高成绩比乙稳定，故错误；C、一组数据2、2、3、4的众数是2，中位数是2.5，正确；D、可能性是1%的事件在一次试验中也有可能发生，故原说法错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了方差的意义以及概率的意义、全面调查和抽样调查，正确掌握相关定义是解题关键．5.如果一个正多边形的外角为锐角，且它的余弦值是32，那么它是（）A.等边三角形B.正六边形C.正八边形D.正十二边形【答案】D【解析】【分析】先根据一个外角的余弦值是2，求出一个外角的度数，再利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【详解】∵一个外角为锐角，且其余弦值为3 2，∴这个一个外角=30°，∴360÷30=12．故它是正十二边形．故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形的外角和及特殊角的三角函数值，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．6.下列命题是真命题的是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定定理进行判断即可.【详解】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以“对角线相等的四边形是平行四边形”是假命题；B.对角线相等的平行四边形是矩形，所以“对角线相等的四边形是矩形”是假命题；C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题；D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以“对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是假命题.故选C.【点睛】本题考查了平行四边形和特殊平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.第Ⅱ卷（共126分）二、填空题（每题4分，满分48分，将答案填在答题纸上）7.计算：()233x =____________.【答案】69x 【解析】【分析】根据积的乘方公式和幂的乘方公式计算即可【详解】()23266=339x x x =；故答案为69x .【点睛】本题考查了积的乘方公式和幂的乘方公式，解题的关键是理解积的乘方公式和幂的乘方公式.8.因式分解：39a a -=______.【答案】a(a+3)(a-3)【解析】【分析】先提取公因式a ，再用平方差公式分解即可.【详解】原式=a(a 2-9)=a(a+3)(a-3).故答案为a(a+3)(a-3).【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.9.x =的解为__________．【答案】2x =【解析】【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x+2=x 2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【详解】原方程变形为：x+2=x 2即x 2-x-2=0∴（x-2）（x+1）=0∴x=2或x=-1∵x=-1时不满足题意．∴x=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．10.如果方程260x x m -+=没有实数根，那么m 的取值范围是__________．【答案】9m >【解析】【分析】利用判别式的意义得到△=（-6）2-4m ＜0，然后解不等式即可．【详解】根据题意得△=（-6）2-4m ＜0，解得m ＞9；故答案为：9m >.【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．11.分别写有数字1103π-、、、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是_______．【答案】25【解析】【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】：∵1103π-、、、π这2个，∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是25，故答案为：25．【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．12.将抛物线22y x =+向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，那么所得新抛物线的解析式为_________．【答案】2(3)4y x =-+【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x 2+2向右平移3个单位后的解析式为：y=（x-3）2+2．再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为：y=（x-3）2+2+2，即2(3)4y x =-+．故答案是：2(3)4y x =-+．【点睛】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．13.已知点G 是ABC ∆的重心，如果,AB a AC b == ，那么向量AG 用向量、a b表示为_____．【答案】1133a b + 【解析】【分析】如图，延长AE 到H ，使得EH=AE ，连接BH ，CH ．求出AH ，证明13AG AH =即可解决问题．【详解】如图，延长AE 到H ，使得EH=AE ，连接BH ，CH ．∵AE=EH ，BE=EC ，∴四边形ABHC 是平行四边形，∴AC=BH ，AC ∥BH ，∵AH AB BH a b =+=+ ，∵G 是重心，∴23AG AE =，∵AE=EH ，∴13AG AH =，∴1133a AG b += .【点睛】本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14.为了解某九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A B C D 、、、四个等级，绘制成如下不完整的统计图表，根据图表信息，那么扇形图中表示C 的圆心角的度数为____度．【答案】36【解析】【分析】先由B等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据各等级人数之和等于总人数求出C等级人数x，最后用360°乘以C等级人数所占比例即可得．【详解】∵被调查的总人数为10÷25%=40（人），∴C等级人数x=40-（24+10+2）=4（人），则扇形图中表示C的圆心角的度数为4 3603640︒⨯=︒，故答案为：36．【点睛】本题主要考查扇形统计图，解题的关键是结合扇形统计图与频数分布表得出被调查的总人数．15.某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.【答案】2000，【解析】【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可.【详解】设这种商品的进价是x元，由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，解得：x＝2000，故答案为2000.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.16.如图，在ABC ∆中，,30AB AC A =∠=︒，直线//a b ，点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果1145∠=︒，那么2∠的度数是_____．【答案】40°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB=75°，由三角形外角的性质可得∠AED 的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．【详解】∵AB=AC ，且∠A=30°，∴∠ACB=75°，在△ADE 中，∵∠1=∠A+∠AED=145°，∴∠AED=145°-30°=115°，∵a ∥b ，∴∠AED=∠2+∠ACB ，∴∠2=115°-75°=40°．故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．17.如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到'''A B C ∆的位置，已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，如果'1AA =，那么'A D 的长为_____．【答案】3【解析】【分析】先证明△DA′E ∽△DAB ，再利用相似三角形的性质求得A'D 便可．【详解】如图，∵S △ABC =16、S △A′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴1 4.52A DE A EF S S ''== ，182ABD ABC S S == ，∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A'B'C'，∴A′E ∥AB ，∴△DA′E ∽△DAB ，则2A DE ADB S A D AD S '⎛⎫ ⎝⎭'⎪ ＝，2 4.518A D A D '⎛⎫ ⎪'+⎝⎭＝解得A′D=3或37A D ¢=-（舍），故答案为3．【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．18.如图，平面直角坐标系中，(8,0),(8,4),(0,4)A B C ，反比例函数k y x=在第一象限内的图象分别与线段AB BC 、交于点F E 、，连接EF ，如果点B 关于EF 的对称点恰好落在OA 边上，那么k 的值为______．【答案】12【解析】【分析】根据A（8，0），B（8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点F的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点F的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AD的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【详解】过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于EF的对称点为D，连接DF、ED、BD，如图所示：则△BEF≌△DEF，∴BD=DF，BE=DE，∠FDE=∠FBE=90°，∴∠EDG+∠ADF=∠ADF+∠AFD，∴∠EDG=∠AFD，∵∠EGD=∠DAF，∴△ADF∽△GED，∴AD DF EG DE，∴AD：EG=BD：BE，∵A（8，0），B（8，4），C（0，4），∴AB=OC=EG=4，OA=BC=8，∵E 、F 在反比例函数k y x=的图象上，∴4848k k E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，，∴4k OG EC ==，8k AF =，∴4884k k BF BE =-=-，，∴418284k DF AD k BF BE DE EG -====-，∴122AD EG ==，在Rt △ADF 中，由勾股定理：AD 2+AF 2=DF 2即：2222488k k ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：k=12，故答案为12．【点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD 与BE 的比是1：2是解题的关键．三、解答题：共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.计算：12012()122tan 601)3π-+--+︒-（【答案】【解析】【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，分数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】原式)1=2121-+-3=-3=-=4【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，分数指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+=的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=．原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．21.如图，已知⊙O 经过A B 、两点，6AB =，点C 是弧AB 的中点，连接OC 交弦AB 于点D ，1CD =．（1）求⊙O 的半径；（2）过点B O 、分别作AO AB 、的平行线，交于点,G E 是⊙O 上一点，连接EG 交⊙O 于点F ，且EF AB =时，求sin OGE ∠的值．【答案】（1）⊙O 的半径为5；（2）2sin 3OGH ∠=【解析】【分析】（1）根据题意和垂径定理，可知∠ODA=90°，AD=3，设OA=x ，则OD=x-1，然后根据勾股定理即可得到x 的长；（2）根据AB=EF ，可知OD=OH ，然后平行四边形的判定和性质，可以得到OG 的长，从而可以求得sin ∠OGE 的值．【详解】（1）∵在⊙O 中，6AB =，点C 是弧AB 的中点，1CD =，OC AB ∴⊥且OC 平分AB ，∴AD=3，∠ODA=90°，设⊙O 的半径为x ，1CD = ，1OA x OD x ∴==-，，90ODA ∴∠=︒，222OD AD OA ∴+=，22(1)8x x ∴-+=，解得5x =，∴⊙O 的半径为5．（2）过点O 作OH EF ⊥于点H ，∵AB=EF ，OD=r-1=4，∴OH=OD=4，∠OHG=90°，∵//,//BG OA OG AB ，∴四边形OABG 是平行四边形．6OG AB ∴==，∵在⊙O 中，,OH EF OD AB ⊥⊥，OH OD ∴、分别是弦EF AB 、的弦心距，EF AB = ，4OH OD ∴==，90OHG ∠=︒ ，42sin 63OH OGH OG ∴∠===．【点睛】本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.如图，是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程x （千米）的函数图象．（1）根据函数图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时汽车已经行驶的路程为____千米．当0150x ≤≤时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为_____千米．（2）当15020x ≤≤时，求y 关于x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．【答案】（1）150，6；（2）11102y x =-+，30【解析】【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y 关于x 的函数表达式，再把x=160代入即可求出当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．【详解】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15060635=-（千米），故答案为：150；6．（2）设当150200x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式为：(0)y kx b k =+≠，由图可知，函数图象过点()()1503520010，，，，得3503520010k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，12110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，11102y x ∴=-+，当160x =进，8011030y =-+=【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．23.如图，已知四边形ABCD 菱形，对角线AC BD 、相交于点O ，DH AB ⊥，垂足为点H ，交AC 于点E ，连接HO 并延长交CD 于点G ．（1）求证：12DHO BCD ∠=∠；（2）求证：2HG AE DE CG = ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）（1）先根据菱形的性质得OD=OB ，AB ∥CD ，BD ⊥AC ，则利用DH ⊥AB 得到DH ⊥CD ，∠DHB=90°，所以OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，得到OH=OD=OB ，利用等腰三角形的性质得∠1=∠DHO ，然后利用等角的余角相等证明结论；（2）根据//AB CD ，推出12OH OG HG ==，再证AED CGO ∆∆∽，即可推出••OG AE CG DE =，即可证出结论.【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，//,,,AB CD AB CD AC BD DO BO ∴=⊥=，12ACD BCD ∠=∠，DH AB ⊥ ，90DHA DHB ∴∠=∠=︒，//AB CD ，90DHA HDC ∴∠=∠=︒，90BDH BDC ∴∠+∠=︒，90COD ∠=︒ ，90ACD BDC ∴∠+∠=︒，90,DHB DO BO ∴∠=︒=，OD OH ∴=，BDH DHO ∴∠=∠，12DHO BCD ∴∠=∠．（2）//AB CD ，1HO OB OG OD ∴==，12OH OG HG ∴==， AD CD =，DCA DAC ∴∠=∠，,AED HDC DCA HGC HDC DHG ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，又DHO DCA ∠=∠ ，AED HGC ∴∠=∠，AED ∴∆∽CGO ∆，OG CG DE AE∴=，••OG AE CG DE ∴=，1••2HG AE DE CG ∴=，∴2HG AE DE CG = ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟记个性质定理是解题的关键．24.已知抛物线24y ax bx =+-经过点(1,0),(4,0)A B -，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接AC BC CD BD 、、、．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当4BCD AOC S S ∆∆=时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E 是x 轴上一点，点F 是抛物线上一点，当以点A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E 的坐标．【答案】（1）234y x x =--，对称轴为直线32x =；（2）(2,6)D -；（3）点E 的坐标为(2,0)-或00（，）或(1,0)或(8,0)．【解析】【分析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可写出对称轴；（2）连接OD ，求出C 点坐标，根据A 、B 、C 点坐标求出8BCD S ∆=，设2(,34)D x x x --，根据=16OCD OBD OBC BCD OCDB S S S S S ∆∆∆∆=++=四边形，列出关于x 的方程，解方程即可求出D 点坐标；（3）分两种情形：如图2中，当AE 为平行四边形的边时，根据DF=AE=1，求解即可．如图3中，当AE ，DF 是平行四边形的对角线时，根据点F 的纵坐标为6，求出点F 的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．【详解】（1）∵24y ax bx =+-经过点(1,0),(4,0)A B -，4016440a b a b --=⎧∴⎨+-=⎩，13a b =⎧∴⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为234y x x =--，对称轴为直线32x =．（2）连接OD ，∵抛物线234y x x =--经过点C ，(0,4)C ∴-，(10),(4,0)A B - ，，1,4OA OB OC ∴===，又90AOC BOC ∠=∠=︒ ，11142,44822AOC BOC S S ∆∆∴=⨯⨯==⨯⨯=，4BCD AOC S S ∆∆= ，8BCD S ∆∴=，设2(,34)D x x x --，∵点D 在第四象限，20340x x x ∴>--<，，OCD OBD OCDB S S S ∆∆∴=+四边形=21144(34)22x x x ⨯+⨯-++=2288x x -++，88=16OBC BCD OCDB S S S ∆∆=+=+ 四边形，228816x x ∴-++=，122x x ∴==，(2,6)∴-．D（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，∵DF∥AE，D（2，-6）∴F（1，-6），∴DF=1，∴AE=1，∴E（0，0），或E′（-2，0）．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，∵点D与点F到x轴的距离相等，∴点F的纵坐标为6，当y=6时，6=x 2-3x-4，解得x=-2或5，∴F （-2，6）或（5，6），设E （n ，0），则有12222n -+-+=或21522n -++=，解得n=1或8，∴E （1，0）或（8，0），综上所述，满足条件的点E 的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（-2，0）．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25.如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）y x=（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====，根据勾股定理得到OF ===段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠，即HOD EOA ∠=∠，HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====，∵BF=x ，∴AF=4-x ，∴FN=2-x ，∴OF ===，∴EF y =-，∵AM ⊥AC ，∴AE ∥OB ，∴BF OF AF EF，∴4x x =-，∴()04y x x≤＝＜；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ，∵∠EAO=90°，∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ，则AP ∥OE ，∴∠PAE=∠AEO ，∴△APE ∽△EAO ，∴PE AE OA OE =，∵AE=AG ，∴212x PE y ==，)4x AE x-==，)24448448x x x x-=，解得：x=2，②当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO ，∵GE=OE ，∴△EGQ ≌△OEA （AAS ），∴EQ AO ==，∴42)x AE E xQ -===，∴43x =，∴BF=2或43．【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
2020年上海市长宁区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年中考数学二模试卷一、选择题（共6个小题）1．下列实数中，无理数是（）A．0B．C．﹣3D．2．下列单项式中，与xy2是同类项的是（）A．x2y B．x2y2C．2xy2D．3xy3．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．它的图象关于原点中心对称D．y的值随着x的值的增大而减小4．如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．8、9B．8、8.5C．16、8.5D．16、145．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切6．▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 二、填空题7．计算：（x3）2÷（﹣x）2＝．8．方程＝2的根是．9．不等式组的解集是．10．已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为．11．如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是．12．如果关于x的多项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，那么k的取值范围是．13．从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是．14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文是“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”大致意思是：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问人数、物品的价格各是多少？”如果设共有x人，物品的价格为y元，那么根据题意可列出方程组为．15．甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中的成绩较稳定．16．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，AD＝2DC，＝，＝，那么＝．（用含向量，的式子表示）17．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是．18．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为．三、解答题19.计算：20.解方程：19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，∠BAC＝45°，cos∠ACB＝（1）求线段AC的长；（2）联结BD，交对角线AC于点O，求∠ADO的余切值．20．如图，反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x（小时）之间关系的部分图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，求A、B两地之间的距离．21．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连结BD，交EF于点Q，求证：DQ⋅BC＝CE⋅DF．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（2，﹣2），对称轴是直线x＝1，顶点为点B，抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点D，求△BCD的面积；（3）如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA于点Q，＝，求点P的坐标．23．已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD ＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：AB＝BC；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．参考答案一、选择题1．下列实数中，无理数是（）A．0B．C．﹣3D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：A．0是整数，属于有理数；B.是无理数；C．﹣3是整数，属于有理数；D.，是整数，属于有理数．故选：B．2．下列单项式中，与xy2是同类项的是（）A．x2y B．x2y2C．2xy2D．3xy【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．解：A．x2y与xy2所含字母的指数不同，所以不是同类项；B．x2y2与xy2所含字母的指数不尽相同，所以不是同类项；C.2xy2与xy2所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项；D.3xy与xy2所含字母的指数不尽相同，所以不是同类项．故选：C．3．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．它的图象关于原点中心对称D．y的值随着x的值的增大而减小【分析】根据反比例函数y＝和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵反比例函数y＝，∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，即点（﹣2，﹣1）在它的图象上，故选项A正确；它的图象在第一、三象限，故选项B正确；它的图象关于原点中心对称，故选项C正确；在每个象限内，y的值随着x的值的增大而减小，故选项D不正确；故选：D．4．如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．8、9B．8、8.5C．16、8.5D．16、14【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；故选：A．5．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【分析】求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，确定两圆位置关系．根据两圆的位置关系得到其数量关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．解：设圆心距为d，因为5﹣3＝2，3+5＝8，圆心距为7cm，所以，2＜d＜8，根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，所以两圆相交．故选：C．6．▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．解：如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；故选：B．二、填空题7．计算：（x3）2÷（﹣x）2＝x4．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案．解：（x3）2÷（﹣x）2＝x6÷x2＝x4．故答案为：x4．8．方程＝2的根是x＝﹣1．【分析】此题需把方程两边平方去根号后求解，然后把求得的值进行检验即可．解：两边平方得：3﹣x＝4，x＝﹣1．检验：当x＝﹣1时，原方程的左边＝2，右边＝2，∴x＝﹣1是原方程的根．故答案为：x＝﹣1．9．不等式组的解集是﹣≤x≤6．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式3x+4≥0，得：x≥﹣，解不等式x﹣2≤1，得：x≤6，则不等式组的解集为﹣≤x≤6，故答案为：﹣≤x≤6．10．已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为2．【分析】根据题意，画出图形作AD⊥BC，BE⊥AC于点D和E，点O即为△ABC的外心，根据特殊角30度即可求出BD的值，进而可得三角形的边长．解：根据题意，画出图形，∵△ABC是正三角形，作AD⊥BC，BE⊥AC于点D和E，∴点O即为△ABC的外心，∴OD＝1，∠DBO＝30°，∴BD＝，∴BC＝2BD＝2．故答案为：2．11．如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是a ＜1．【分析】根据抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，且该抛物线与y轴交于负半轴，∴a﹣1＜0，解得：a＜1．故答案为：a＜1．12．如果关于x的多项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，那么k的取值范围是k≤1．【分析】本题实际上求一元二次方程x2﹣2x+k在实数范围内有实数根时，k的取值范围．所以根据一元二次方程的根的判别式解答即可．解：∵二次三项式x2﹣2x+k在实数范围内能分解因式，∴一元二次方程x2﹣2x+k在实数范围内有实数根，∴△＝4﹣4k≥0，解得，k≤1．故答案为：k≤1．13．从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是．【分析】列举出所有情况，看和为偶数的情况数占总情况数的多少即可．解：共12种情况，和为偶数的情况数有4种，所以概率为．故答案为．14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文是“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”大致意思是：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问人数、物品的价格各是多少？”如果设共有x人，物品的价格为y元，那么根据题意可列出方程组为．【分析】根据“8×人数﹣多出的钱数＝物品的价格和7×人数+差的钱数＝物品的价格”列方程即可得．解：设共有x人，物品的价格为y元，根据题意，可列方程组为，故答案为：．15．甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中甲的成绩较稳定．【分析】利用方差的公式求得乙的方差，与甲的方差比较，方差较小的成绩稳定．解：乙的平均成绩为（7+8+10+6+9）÷5＝8，方差为：[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2]＝2，∵甲的方差为1.6，∴甲的方差较小，∴成绩较稳定的是甲，故答案为：甲．16．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，AD＝2DC，＝，＝，那么＝﹣+．（用含向量，的式子表示）【分析】利用三角形法则可知：＝+，求出即可解决问题．解：∵AD＝2DC，∴AD＝AC，∴＝＝，∴＝+，∴＝﹣+，故答案为﹣+．17．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1．【分析】先根据题意画出图形，连接BD、OD，设AM＝x，根据AD2﹣AM2＝OD2﹣OM2，列出方程，求出x，再根据OC＝OA﹣AM﹣CM计算即可．解：根据题意画图如下：连接BD，与AC交与点M，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AMD＝∠DMC＝90°，∠ACD＝∠ACB，CD＝CD，AM＝CM，∴DM2＝AD2﹣AM2，设AM＝x，则DM2＝（2）2﹣x2，连接OD、OB，在△OCD和△OCB中，，∴△OCD≌OCB（SSS），∴∠OCD＝∠OCB，∴∠ACD+∠OCD＝∠ACB+∠OCB＝180°，∴OC与AC在一条直线上，∴△OMD是一个直角三角形，OM＝OA﹣AM＝5﹣x，∴DM2＝OD2﹣OM2，＝52﹣（5﹣x）2，∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，x＝2，∴AM＝CM＝2，∴OC＝OA﹣AM﹣CM＝5﹣2﹣2＝1．故答案为：1．18．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为．【分析】证△ABC∽△DAC，得出AC2＝BC×CD＝2，AC＝，由勾股定理得出AD ＝，由折叠的性质得ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，得出BD＝ED，作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，证△BDF∽△DAC，求出BF＝，即可得出答案．解：如图所示：∵BC＝2，点D是边BC的中点，∴BD＝CD＝1，∵∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴AC：CD＝BC：AC，∴AC2＝BC×CD＝2×1＝2，∴AC＝，∴AD＝＝＝，由折叠的性质得：ED＝CD＝1，∠ADE＝∠ADC，∴BD＝ED，作DF⊥BE于F，则BF＝EF，∠BDF＝∠EDF，∴∠BDF+∠ADC＝×180°＝90°，∵∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BDF＝∠DAC，又∵∠DFB＝∠C＝90°，∴△BDF∽△DAC，∴＝，即＝，∴BF＝，∴BE＝2BF＝；故答案为：．三、解答题19.计算：20.解方程：19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，∠BAC＝45°，cos∠ACB＝（1）求线段AC的长；（2）联结BD，交对角线AC于点O，求∠ADO的余切值．【分析】（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，根据已知条件和cos∠ACB＝可得，CE＝3，AE＝BE＝4，进而可求AC的长；（2）结合（1）和AD∥BC，可得＝，得AO和OC的长，从而可求OE的长，进而得∠ADO的余切值即为∠BOE的余切值．解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，∴∠AEB＝90°，∵∠BAC＝45°，∴AE＝BE，∵cos∠ACB＝，即＝，∵BC＝5，∴CE＝3，∴BE＝＝4，∴AE＝BE＝4，∴AC＝AE+EC＝4+3＝7．答：线段AC的长为7；（2）∵AD∥BC，∴＝，∴＝，解得AO＝2，∴OC＝5，∴OE＝OC﹣CE＝5﹣3＝2，∴＝＝，∵∠ADO＝∠BOE，∴cot∠ADO＝cot∠BOE＝．∴∠ADO的余切值即为∠BOE的余切值为．20．如图，反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x（小时）之间关系的部分图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式；（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，求A、B两地之间的距离．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x ≤3）之间的函数解析式；（2）根据函数图象中的数据，可以分别求得甲的速度和乙开始的速度，然后设出A、B 两地之间的距离，再根据甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B地，可以列出相应的方程，从而可以得到A、B两地之间的距离．解：（1）设乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式为y＝kx+b，，解得，，即乙的行驶路程y和行驶时间x（1≤x≤3）之间的函数解析式是y＝10x+20；（2）设A、B两地之间的距离为S千米，甲的速度为60÷3＝20（千米/时），乙开始的速度为30÷1＝30（千米/时），，解得，S＝80，答：A、B两地之间的距离是80千米．21．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连结BD，交EF于点Q，求证：DQ⋅BC＝CE⋅DF．【分析】（1）作EM⊥BC于点M，可证EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的数量关系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可证AB＝BC，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△FDQ，可得，可得结论．【解答】证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形；（2）如图，∵∠BEF+∠BCF+∠EFC+∠EBC＝360°，∴∠EBC+∠EFC＝180°，且∠EFC+∠QFD＝180°，∴∠DFQ＝∠EBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BDC＝45°，∴△BCE∽△FDQ，∴，∴BC•DQ＝CE•DF．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（2，﹣2），对称轴是直线x＝1，顶点为点B，抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点D，求△BCD的面积；（3）如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA于点Q，＝，求点P的坐标．【分析】（1）先根据对称轴求出m，再将点A坐标代入抛物线解析式中求出能，得出抛物线解析式，最后配成顶点式，即可得出结论；（2）先求出点D坐标，进而求出直线CD解析式，得出点E坐标，再用面积公式求解即可得出结论；（3）设出点P坐标，构造出△PMQ∽△PNB，得出＝，表示出QM＝（a2﹣2a+1），PM＝（a﹣1），进而表示出Q（a+，a2﹣a﹣），代入直线OA 中，即可得出结论．解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+n的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴m＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+n，∵抛物线过点（2，﹣2），∴4﹣2×2+n＝﹣2，∴n＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴顶点B的坐标为（1，﹣3）；（2）如图1，由平移知，平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∵点D在x正半轴上，∴D（3，0），针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，记直线CD与直线x＝1的交点为E，则E（1，﹣），∴S△BCD＝BE•|x D﹣x C|＝×|﹣﹣（﹣3）|×3＝；（3）如图2，设P（a，a2﹣2a﹣2），过点P作PN垂直于直线x＝1于点N过点Q作QM⊥PN于M，∴QM∥NN，∴△PMQ∽△PNB，∴＝，∵，∴＝，∵PN＝a﹣1，BN＝a2﹣2a﹣2+3＝a2﹣2a+1，∴，∴QM＝（a2﹣2a+1），PM＝（a﹣1），∴MN＝PN﹣PM＝（a﹣1），点Q与点B的纵坐标之差的绝对值为（a2﹣2a+1），∴Q（a+，a2﹣a﹣），∵A（2，﹣2），∴直线OA的解析式为y＝﹣x，∵点Q在线段OA上，∴a++a2﹣a﹣＝0，∴a＝﹣3（舍）或a＝4，∴P（4，6）．23．已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD ＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：AB＝BC；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．【分析】（1）证明△OBA≌△OBC即可解决问题．（2）如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．首先证明∠CDB＝∠CBD＝75°，解直角三角形求出AD，BD（用a表示）即可解决问题．（3）因为∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，推出OE≠OB，分两种情形：如图3﹣1中，当BO＝BE时，如图3﹣2中，当EO＝EB时，分别求解即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵OB＝OA＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠OBC，∴∠A＝∠C，∵OB＝OB，∴△OBA≌△OBC（AAS），∴AB＝BC．（2）解：如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．∵OA⊥OB，∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°，∴四边形DMON是矩形，∴DN＝OM＝a，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠ABO＝45°，∵OC＝OB，CD＝CB，∴∠C＝∠OBC，∠CDB＝∠CBD，∵∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，∴∠C＝30°，∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∵∠DMB＝90°，∴∠MDB＝∠DBM＝45°，∴DM＝BM，∠ODM＝30°，∴DM＝OM＝a，DN＝DM＝a，AD＝DN＝a，∴＝＝．（3）解：如图3﹣1中，当BO＝BE时，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠A+∠AOD＝∠OBA+∠OBC，∵∠A＝∠ABO，∴∠AOD＝∠OBC＝∠C，∵AOD＝∠COE，∴∠C＝∠COE＝∠CBO，∵∠C＝∠C，∴△OCE∽△BCO，∴＝，∴＝，解得EC＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴BC＝+1．如图3﹣2中，当EO＝EB时，同法可证△OEB是等腰直角三角形，∴EO＝EB＝EC＝OB＝，∴BC＝2，∵∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，∴OE≠OB，综上所述，BC的值为+1或2．。