辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)
2019－2020学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高二试题答案
数 学
一、选择题：
BCADB DBADC AD
二、填空题：
13. -1 14.
6
6 15. 221-+n (*∈N n )(没写*∈N n 同样给分) 16.316 三、解答题：
17．（本小题满分10分）
【解析】
（Ⅰ）因为()()211740+++--=m x m y m 可化为(27)(4)0+-++-=m x y x y ， 由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得：31
x y =⎧⎨=⎩，
即直线()()():211740+++--=∈l m x m y m m R 恒过点()3,1设为M ； …………………………2分 又22125310+=<，所以点M ()3,1在圆22
:25C x y +=内； …………………………4分 所以直线l 与圆恒交于两点； …………………………5分 （Ⅱ）由几何知识可知当直线CM l ⊥时，AB 取得最小值，此时10==CM d ………8分 ∴AB 的最小值为15210252=- …………………………10分
18．（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）在直角梯形ABCD
中，AC =
取AB 中点E ，连接CE ，
则四边形AECD 为正方形，
∴2AE CE ==,又122
BE AB ==， 则ABC ∆为等腰直角三角形，
∴AC BC ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
∴PA BC ⊥，由AC PA A ⋂=得BC ⊥平面PAC ，
∵PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥. （利用空间向量证明同样给分）…………………6分 （Ⅱ）以A 为坐标原点，,,AD AB AP 分别,,x y z 为轴建立如图所示的坐标系，
则()()()0,0,20,4,02,2,0P B C ，，，()()0,4,22,2,0BP BC =-=-，
. 由（Ⅰ）知BC 即为平面PAC 的一个法向量， …………………8分 •10cos ,BC BP
BC BP BC BP 〈〉==，
…………………10分 即PB 与平面PAC . …………………12分 19．（本小题满分12分）
【解析】
解：（Ⅰ）已知抛物线22(0)y px p =>过点()02,A y ，且||4AF =则242
p +=，…………2分 ∴4p =，故抛物线的方程为28y x =； ……………………………4分 （Ⅱ）设()11,P x y ，()22,Q x y ，
联立28y x m y x
=+⎧⎨=⎩，得22(28)0x m x m +-+=，22(28)40m m ∆=-->，得2m <， 1282x x m ∴+=-，212x x m =， ………………………………………6分 又OP OQ ⊥，则12120OP OQ x x y y ⋅=+=， ………………………………………7分 ()()()22212121212121222(82)0x x y y x x x m x m x x m x m m m x m m ∴+=+++=+++=+-+=， 8m ∴=-或0m =， ……………………………………………………10分 经检验，当0m =时，直线过坐标原点，不合题意，
又82m =-<，综上：m 的值为-8． ……………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）因为等比数列{}n a 的公比1q >，12314++=a a a ，21a +是13,a a 的等差中项，
所以12321314221a a a a a a q ++=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，即2111211114221a a q a q a q a a q q ⎧++=⎪+=+⎨⎪>⎩
， ………………………2分
解得122
a q =⎧⎨=⎩，因此2n n a =，*n N ∈； ……………………………4分 （Ⅱ）因为数列{}n n
b a ⋅的前n 项和为n n S n
+='2， 所以()()()[]
n n n n n S S b a n n n n 211221=-+--+='-'=⋅-，（2n ≥） 又21
11='=⋅S b a 也满足上式，所以2⋅=n n a b n ，*n N ∈； ……………………………6分 由（Ⅰ），1
222-==n n n n b n ； 所以其前n 项和21231...222-=+
+++n n n T ① 因此231123 (22222)
=++++n n n T ② ①式减去②式可得：
2311
111111221...212222222212--
+=++++-=-=--n n n n n n n n n T ， ……………………………10分 因此1
242n n n T -+=-. ……………………………12分 21．（本小题满分12分）
【解析】
证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．
∵底面ABCD 是正方形，∴AC 与BD 互相平分．
又∵F 是BD 中点，∴F 是AC 中点．
在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点，
∴EF ∥PC ．又∵⊄EF 平面PBC ，⊂PC 平面PBC ，
∴EF ∥平面PBC ． （利用空间向量证明同样给分） ……………………………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，∵PA =PD ，∴AD PO ⊥．
∵面⊥PAD 底面ABCD ，且面⋂PAD 面ABCD=AD ，∴⊥PO 面ABCD ．
∵⊂OF 平面ABCD ∴OF PO ⊥．又∵F 是AC 中点，∴AD OF ⊥．
如图，以O 为原点，OA,OF,OP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系．
∵PA =PD =AD =2，∴3=OP ，则()()()()()0,0,1,0,2,1,0,2,1,0,0,1,0,0,0--D C B A O ,
()
()0,1,0,23,0,21,3,0,0F E P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛． 于是()()0,1,1,23,0,23,0,2,0=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==． ∵⊥PO 面ABCD ，∴()
3,0,0=OP 是平面FAD 的一个法向量．……………………………5分 设平面EFD 的一个法向量是()z y x ,,=．则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅023230z x y x 令1=x 则()3,1,1--=n ． ……………………………6分
所以5155
33,cos -=⋅-=<． ……………………………7分 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A 的余弦值为
515． ……………8分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使⊥GF 面EDF ．设()λλλλ3,2,-=
=CP CG ， 则()
λλλ3,21,1-+-=+=CG FC FG ． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是()3,1,1--=．则n FG // ………………………10分 ∴3
312111-=--=+-λλλ，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使⊥GF 面EDF ． ………………………12分
22．（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以EB ED =，
故EA EB EA ED AD +=+==， ………………………2分 由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：
()2
2105
x y y +=≠. ………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，
设直线l 的方程为y kx m =+，
因为直线l 与圆O
1=，∴221m k =+， ………………………………5分 由2
21,5,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得()2221510550k x kmx m +++-=.
设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理知：
()1212122210221515km m x x y y k x x m k k
+=-+=++=++，. ………………………………6分 所以PQ 中点N 的坐标为225,1515km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
， 所以弦PQ 的垂直平分线方程为22151515m km y x k k k ⎛⎫-
=-+ ⎪++⎝⎭， 即 24015km x ky k ++=+.
所以MN =. ………………………………8分
将m =
MN =
55251245145142=⋅≤
+=+=k k k k k k MN
（当且仅当k =
，即m =. ………………………………10分 所以三角形MON
的面积为11122S OM MN =⨯⨯⨯≤， 综上所述，三角形MON
. ………………………………12分。
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二(上)理
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的.）1.是虚数单位，复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：.考点：复数的四则运算.2.在上可导，则是函数在点处有极值的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x0）＝0外，还要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立．【详解】若函数在x0取得极值，由定义可知f′（x0）＝0反之如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数的极值点．所以f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的必要不充分条件故选B．【点睛】本题主要考查充分必要条件，极值的定义，注意函数取得极值的条件：函数在x0处取得极值⇔f′（x0）＝0，且f′（x＜x0）•f′（x＞x0）＜0，是基础题3. 有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【答案】C【解析】∵大前提“有些有理数是真分数”与小前提“整数是有理数”都正确，∴该推理形式错误，故选C4.已知曲线，其中，则该曲线与坐标轴围成面积等于（）A. 1B. 2C.D. 3【答案】D【解析】【分析】根据图形对称性,只需求出上的定积分,再乘以3即可得到答案.【详解】解：根据图形的对称性，可得曲线，，与坐标轴围成的面积. 的故选:D.【点睛】本题考查了定积分的计算,属于基础题.5.如果是的共轭复数，则对应的向量的模是（）A. 1B.C.D. 5【答案】D【解析】【分析】求出复数对应的向量的坐标后,利用模长公式计算可得答案.【详解】解：由题意，，∴对应的向量的坐标为，其模为.故选:D.【点睛】本题考查了求复数的共轭复数以及其对应的向量的模长的计算,属于基础题.6.若函数y＝a(x3－x)的递减区间为，则a的取值范围是( )A. a＞0B. －1＜a＜0C. a＞1D. 0＜a＜1【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，由函数的递减区间为，可得y′＜0的范围为，即可得a的范围．【详解】函数y=a（x3﹣x），求导可得，y′=a（3x2﹣1）=3a（x﹣）（x+），由函数的递减区间为，可得y′=a（3x2﹣1）=3a（x﹣）（x+）＜0的范围为，所以a＞0，故选A．【点睛】本题主要考查了有函数的单调性求参数的范围问题，利用了函数的单调性与函数的导数关系，属于基础题．7.定义，，，的运算分别对应右图中的（1），（2），（3），（4），则图中，，对应的运算是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：不同的运算形式与其对应的图形之间都有共同之处，比如都有运算，而图形都有正方形，故运算对应作正方形，对应作横线，对应作竖线，其余类似处理. 详解：都有运算，而图形都有正方形，故运算对应作正方形，对应作横线，对应作竖线；都有运算，而图形都有圆，故运算对应作圆.所以对应运算是，对应的运算是，故选A.点睛：本题考察类比推理，此类问题往往是两类对象在某些方面有相似的特点，所以它们也应该有相似的性质，注意类比推理得到的结果不一定正确.8.函数的定义域为，其导函数在的图象如图所示，则函数在内的极小值点共有( )A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据极小值点存在的条件，可以判断出函数的极小值的个数．【详解】根据极小值点存在的条件，①②在的左侧，在的右侧，可以判断出函数的极小值点共有1个，故选C．【点睛】本题主要考查函数图象的应用以及利用导数判断极值点．9.给出下列四个命题：（1）任意两个复数都不能比较大小；（2）为实数为实数；（3）虚轴上的点对应的复数都是纯虚数；（4）复数集与复平面内的所有点所成的集合是一一对应的.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据虚数不能比较大小可知(1)不正确;根据两个共轭虚数的积为实数可知(2)不正确;根据原点在虚轴上可知(3)不正确;(4)正确.【详解】解：（1）因为两个复数都是实数时，可以比较大小.所以（1）不正确；（2）举反例,当，，，所以（2）不正确；（3）坐标原点在虚轴上,但原点对应的复数是实数，所以（3）不正确；（4）复数集与复平面内的所有点所成的集合是一一对应的.正确.所以正确命题的个数是：1个.故选:A【点睛】本题考查了复数的有关概念,属于基础题.10.已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为函数，所以．令f′（x）=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f （3）=3m-．不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥-9恒成立，所以3m-≥-9，解得m≥考点：函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值11.用数学归纳法证明：，由到，不等式左端变化的是（）A. 增加一项B. 增加和两项C. 增加和两项，同时减少一项D. 增加一项，同时减少一项【答案】C【解析】【分析】写出和时,不等式左端的式子,比较可知,选项正确.【详解】解：当时，左端，那么当时，左端，故第二步由到时不等式左端的变化是增加了增加和两项，同时减少一项，故选:C.【点睛】本题考查了数学归纳法,属于基础题.12.已知函数f(x)=,下列结论中错误的是A. , f()=0B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形C. 若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,）单调递减D. 若是f（x）的极值点，则()=0【答案】C【解析】试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.考点：函数的零点、对称性、单调性、极值．二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上）13.设复数满足(为虚数单位)，则等于___ _____．【答案】【解析】试题分析：由复数满足，故可知答案为1+3i考点：复数的代数乘除法运算点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．14.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】本题首先可通过函数的解析式得出函数的导函数，然后对、以及三种情况进行分类讨论，通过函数的单调性即可判断出函数的极值，最后得出结果．【详解】因为，所以，①当时，，函数恒为增函数，无极值点；②当时，，函数恒为增函数，无极值点；③当时，，解得或，为增函数；，解得，为减函数，此时函数有两个极值点，综上所述，实数的取值范围是．【点睛】本题考查了导数的相关性质，通过函数的单调性确定函数的极值是解决本题的关键，考查通过导数确定函数单调性，考查推理能力，是简单题．15.已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是 .【答案】【解析】试题分析：，因为，所以，所以h（x）在区间，因为，所以h（1）=0.令h（x）>0，因为x>0,所以，得x>1．等价于，因为函数是定义在上的奇函数，所以-1<x<0或x>1. 考点：奇函数、导函数与单调性、不等式与函数图像的关系16.一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●……,若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为______.【答案】61【解析】【分析】将这些圆分段处理, 第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆,……,然后利用等差数列的前项和公式计算前段和前段的和,可知答案.【详解】解：将这些圆分段处理，第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆，……，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2006个圆中实心圆的个数，因此找到第2006个圆所在的段数很重要，因为，而，因此,前2006个圆中共有61个实心圆，故答案为:61.【点睛】本题考查了等差数列的前项和的公式,属于基础题.三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）17.已知复数，则当实数为何值时，复数是：（1）实数；（2）；（3）对应的点在第三象限.【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】(1)令虚部为0,可解得答案;(2)令实部为4,虚部为6,解方程组可得答案;(3)令实部,虚部都小于0,解不等式组可得答案.【详解】解：因为复数,(1)令,解得或，即或时，为实数；(2)令,解得；所以时,.(3)若所对应点在第三象限,则,解得,所以当时,复数对应的点在第三象限.【点睛】本题考查了复数的有关概念,一元二次不等式的解法,属于基础题.18.已知函数，当时,取得极值5，且,求的单调区间和极小值.【答案】函数的单调增区间为和；单调减区间为，【解析】【分析】求导后,根据,三个方程解方程组可得,可得和解析式,根据导数的符号得单调区间,从而可得极小值. 的.【详解】解：∵函数,所以，因为当时,取得极值5，则有且，即有①且②，又因为，所以可得：③由①②③解得，，即，，∴由,得或；由,得.∴所以函数的单调增区间为和；单调减区间为.故函数在处取得极小值，且.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值,属于基础题.19.已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线平行于直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,⑴求P0的坐标;⑵若直线, 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【详解】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论．解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4．又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为（-1，-4）；（2）∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为-1/ 4 ，∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）∴直线l的方程为y+4=（x+1）即x+4y+17=0．20.已知x＝1是函数f（x）＝mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（1）求m与n的关系表达式；（2）求f（x）的单调区间；（3）当x∈[﹣1，1]时，函数y＝f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．【答案】（1）n＝3m+6．（2）f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（3）m＜0．【解析】【分析】（1）求出f′（x），因为x＝1是函数的极值点，所以得到f'（1）＝0求出m与n的关系式；（2）令f′（x）＝0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（3）由题意知f′（x）＞3m，分x＝1和x≠1，当x≠1时g（t）＝t，求出g（t）的最小值．要使（x﹣1）恒成立即要g（t）的最小值，解出不等式的解集求出m的范围．【详解】（1）f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x＝1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）＝0，即3m﹣6（m+1）+n＝0．所以n＝3m+6．（2）由（1）知f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+3m+6＝3m（x﹣1）[x﹣（1）]当m＜0时，有1＞1，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：（﹣∞，1）1（1，1）由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（3）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1）]＜1．（*）①x＝1时．（*）式化为0＜1恒成立．∴m＜0．②x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为（x﹣1）．令t＝x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）＝t，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min＝g（﹣2）＝﹣2．由（*）式恒成立，必有⇒m，又m＜0．∴m＜0．综上①②知m＜0．【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式的方法及导数的几何意义，利用导数研究函数极值和单调性的方法，考查了利用导数研究不等式恒成立的条件，属于中档题．21.求由抛物线与它在点A（0，－3）和点B(3，0)的切线所围成的区域的面积。
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．抛物线22y x =的准线方程是（ ） A ．12x =B ．12x =-C ．18y =D ．18y =-【答案】D【解析】抛物线22y x =可化为212x y =，焦点在y 轴上，112,,228p p =∴=∴抛物线22y x =的准线方程是18y =-，故选D.2．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为12，18，则输出的a 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．12【答案】C【解析】根据程序框图所示代入a ,b 分别为12,18运行即可. 【详解】输入a ,b ,运行到判断框“a b ¹”处结果为“是”, 进而运行到判断框“a b >”处结果为“否”. 执行“18126b =-=”.此时12,6a b ==. 运行到判断框“a b ¹”处结果为“是”, 进而运行到判断框“a b >”处结果为“是”. 执行“1266a =-=”.此时6,6a b == 运行到判断框“a b ¹”处结果为“否”, 输出 “6a =”. 故选：C本题主要考查了程序框图的运用,属于基础题型. 3．有下列说法：①一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12人；②在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，1）内取值的概率为0.4，则X 在（0，2）内取值的概率为0.8．③废品率x %和每吨生铁成本y （元）之间的回归直线方程为y $=2x +256，这表明废品率每增加1%，生铁成本大约增加258元；④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防作用”，利用2×2列联表计算得K 2的观测值k ≈3.918，经查对临界值表知P （K 2≥3841）≈0.05，由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防的作用”， 正确的有（ ） A ．①②④ B ．①②③ C ．①③ D ．③④【答案】A【解析】根据统计与案例的方法逐个选项判断即可. 【详解】①∵田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人, ∴这支田径队有女运动员98-56=42人,用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本, ∴每个个体被抽到的概率是282987= , ∵田径队有女运动员42人, ∴女运动员要抽取242127⨯=. 故①正确；②根据正态分布的规律,测量结果X 服从正态分布N （1,σ2）（σ＞0）,若X 在（0,1）内取值的概率为0.4,则X 在（0,2）内取值的概率为20.40.8⨯=. 故②正确；③废品率00x 和每吨生铁成本y （元）之间的回归直线方程为2256y x =+$这表明废品率每增加001,生铁成本每吨大约增加2元, 故③不正确；④根据独立性检验的方法与结论可知,④正确．【点睛】本题主要考查了分层抽样,正态分布与线性回归方程和独立性检验的基础知识,属于基础题型. 4．下列命题中正确的是（ ） A ．若（x ﹣3）（x ﹣7）≠0，则x ≠3或x ≠7B ．以y 轴为对称轴的等腰三角形，这个三角形底边的中线方程是x ＝0C ．“若|x |+y 2＝0，则x ，y 全为0”的逆否命题是“若x ，y 全不为0，则|x |+y 2≠0”D ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，2x ≤0” 【答案】A【解析】根据对应知识点逐个选项判断即可. 【详解】对A,“若(3)(7)0x x --≠,则3x ≠或7x ≠”的逆否命题为“若3x =且7x =,则(3)(7)0x x --=”正确.故原命题正确.对B, 三角形底边的中线为线段,纵坐标有取值范围,故B 错误.对C, “若20x y +=,则,x y 全为0”的逆否命题是“若,x y 不全为0,则20x y +≠”,故C 错误.对D, 命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“00,20x x R ∃∈≤”,故D 错误.故选：A 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断,属于基础题型.5．设1F ，2F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12F PF ∆的面积等于（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．1【答案】B【解析】依题意可设丨PF 2丨＝x ，则丨PF 1丨＝2x ，利用椭圆的定义与其标准方程可求得x 的值，从而可知丨PF 1丨与丨PF 2丨，并能判断△PF 1F 2的形状，从而可求得△PF 1F 2的面积． 【详解】设丨PF 2丨＝x ，则丨PF 1丨＝2x ，依题意，丨PF 1丨+丨PF 2丨＝x +2x ＝3x ＝2a ＝6， ∴x ＝2，2x ＝4，即丨PF 2丨＝2，丨PF 1丨＝4，又|F 1F 2丨＝94-=5 ∴2221212PF PF F F +=，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴△PF 1F 2的面积为S 12=丨PF 1丨丨PF 2丨12=⨯2×4＝4． 故选：B ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义与其标准方程，判断△PF 1F 2为直角三角形是关键，属于中档题． 6．两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A ＝{至少有一枚骰子6点向上}，B ＝{两枚骰子都是6点向上}，则P （B |A ）＝（ ） A ．16B ．136C ．112D ．111【答案】D【解析】根据条件概率的方法,求出基本事件的总数与满足条件的基本事件数再求解即可. 【详解】由题,事件A 所有的基本事件一共有665511⨯-⨯=个,其中满足“两枚骰子都是6点向上”的基本事件一共只有两枚骰子均为6点一种情况.故()1(|)()11n AB P B A n A == 故选：D 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算,属于基础题型.7．已知一组数据1，3，5，7的方差为n ，则在二项式（2x 3xn 的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（ ） A ．16B ．112C ．13D ．57【答案】C【解析】求出方差n 再代入 32⎛⎝nx x ,求得展开式中的项数,再求有理项的个数即可. 【详解】1,3,5,7的平均数1(1357)44x =+++= ，故方差 22221[(14)(34)(54)(74)]54n =-+-+-+-=.故二项式532x x ⎛⎝的展开项共6项.其中通项公式155331552()2(1)r rrrr rrr TC x C x----+=⋅-=⋅-⋅.()5,r r N ≤∈其中有理项满足3r-为整数,即0,3r =满足. 故展开式所有项中任取一项,取到有理项的概率为2163= 故选：C 【点睛】本题主要考查了方差的运算以及二项式展开式的应用,需要根据题意列出通项公式中某项满足的条件再求解即可.属于中等题型.8．过抛物线y 2＝﹣8x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝1的距离之和等于5，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在【答案】D【解析】抛物线28y x =-焦点为(2,0)-,再设1122(,),(,)A x y B x y ,则可得它们到直线x ＝1的距离之和为122()x x -+,再联立方程利用韦达定理求是否有12x x +满足即可.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ,焦点(2,0)F -.则A ,B 两点到直线x ＝1的距离之和为122()5x x -+=,即123x x +=-. 当直线AB 垂直于x 轴时, (2,4),(2,4)A B ---显然不满足123x x +=-.设:(2)ABl y k x =+,联立22222(2)(48)408y k x k x k x k y x =+⎧⇒+++=⎨=-⎩. 故2122248843k x x k k++=-=--<-.即123x x +=-无解. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,需要设直线联立方程进行求解分析,属于中等题型.9．已知F 是双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，点E 在以AB 为直径的圆外，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞）C ．（1，12+）D ．（1，2）【答案】D【解析】点E 在以AB 为直径的圆外可知E 到AB 的距离大于通经长的一半,再列式求解不等式即可.【详解】由题得AB 为通经,故22b AB a=,又点E 在以AB 为直径的圆外可知E 到AB 的距离大于通经长的一半,即2222222220b a c a ac b a ac c a c ac a a->⇒->⇒->-⇒+-<故220(2)(1)012e e e e e +-<⇒-+<⇒-<<,又1e >,故12e <<. 故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的问题,需要根据题意找出对应的不等式关系再求解即可.属于中等题型.10．设A ，B 是椭圆C ：224x y k+=1长轴的两个端点，若C 上存在点P 满足∠APB ＝120°，则k 的取值范围是（ ） A ．（0，43]∪[12，+∞） B ．（0，23]∪[6，+∞） C ．（4,43）∪(4,12） D ．（0，43]∪[6，+∞）【答案】A【解析】分焦点在x 轴与y 轴上两种情况进行讨论,再根据在短轴顶点处APB ∠取得最大值进行分析即可. 【详解】若C 上存在点P 满足∠APB ＝120°,则只需当点P 在短轴顶点时120APB ∠≥︒. 故分析长半轴与短半轴的关系即可.当焦点在x 轴时,若120APB ∠≥︒则4230304kk k ⎧≥⎪<≤⎨<<⎪⎩ 当焦点在y 轴时,若120APB ∠≥︒则23124k k k ⎧≥⎪≥⎨>⎪⎩.故[)40,12,3k ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆中的角度最值问题,需要根据考虑当角度最大时的点P 位置,同时根据题意找到对应的不等式关系,属于中等题型.11．设椭圆的方程为2222x y a b+=1，直线AB 不经过原点，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点．若直线AB 的斜率为1，则直线OM 的斜率不可能是（ ） A ．43-B ．916-C ．14-D ．﹣1【答案】D【解析】先求得AB OM k k ⋅为定值,再表达出OM k 的表达式分析即可. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ,则1212(,)22x x y y M ++,又2211222222121222222222101x y x x y y a ba b x y a b ⎧+=⎪--⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩ , 即2221222212y y bx x a-=--.故12121222122212221222AB OMy y y y k k x x y y b x x x x a -=--+-⋅=⋅=+-.即22AB OM k k b a =-⋅ 又1AB k =,故22OM ak b =-,因为a b ¹,故221OM k b a =-≠-.故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆相交的定值问题,需要根据22AB OMk k b a=-⋅进行求解,属于中等题型.12．点P 为双曲线22916x y -=1上一点，且点P 在第一象限．记点P 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，若d 1∈[61255，]，则d 2的取值范围（ ）A ．（0，125）B ．[125，+∞） C ．[122455，] D ．[245，+∞） 【答案】C【解析】先证明12d d ⋅为定值,再根据161255d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求2d 的范围即可.【详解】设00(,)P x y ,则222200001169144916x y x y -=⇒-=.又渐近线为43y x =±,即430x y ±=.故22000000122222434316914425254343x y x y x y d d +--⋅===++.即1214425d d ⋅=又161255d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,故21144122425,55d d ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线中的定值问题,属于中等题型.二、填空题13．已知双曲线22216x y b-=1（b ＞0）的一条渐近线方程为3x +2y ＝0，则b ＝_____．【答案】6【解析】根据渐近线方程求解即可. 【详解】222116x y b-=的渐近线方程为4b y x =±,又320x y +=斜率为32-,故3642b b =⇒=.故答案为：6 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程,属于基础题型.14．由命题“存在x ∈R ，使x 2+4x +m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为_____． 【答案】(4,)+∞【解析】先求得否命题为真,再根据恒成立问题求解即可. 【详解】由命题“存在x ∈R ,使x 2+4x +m ≤0”是假命题知“对于任意的x ∈R ,240x x m ++>”,故判别式16404m m -<⇒>.故实数m 的取值范围为(4,)+∞. 故答案为：(4,)+∞ 【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于基础题型.15．小明在书写英文单词“banana ”时，只记得该单词由3个a ，2个n ，1个b 组成，则小明书写正确的概率为_____． 【答案】160【解析】根据排列组合的方法求得所有可能的情况总数即可. 【详解】所有组合的可能情况：先排3个a ,再排2个n ,再排1个b . 故共有32163120360C C C ⋅⋅=⨯=.故小明书写正确的概率为160故答案为：160【点睛】本题主要考查了排列组合的基本问题,属于基础问题.16．已知F 为抛物线28x y =的焦点， O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为__________． 【答案】13【解析】试题分析：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A 到准线的距离为4，即A 点的横坐标为-2，又点A 在抛物线上，∴从而点A 的坐标A （-2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B （4，0）,则|PA|+|PO|的最小值为：22(42)(04)213-+-=故答案13【考点】抛物线的简单性质.三、解答题17．设命题p ：实数m 满足使方程223x y a m a m+=--1，其中a ＞0为双曲线：命题q ：实数m 满足302m m -≤-． （1）若a ＝1且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2＜m ＜3（2）{a |1＜a ≤2}【解析】(1)分别求得命题,p q 对应的范围,再求交集即可.(2)求出,p q ⌝⌝对应的范围,再根据充分不必要条件的列出区间端点满足的关系求解不等式即可. 【详解】（1）由方程223x y a m a m+=--1,其中a ＞0为双曲线,得（3a ﹣m ）（a ﹣m ）＜0,又a ＞0,所以a ＜m ＜3a , 当a ＝1时,1＜m ＜3,即p 为真时,实数m 的取值范围是1＜m ＜3； q 为真时实数m 满足302m m -≤-． 即q 为真时实数m 的取值范围是2＜m ≤3；若p ∧q 为真,则p 真且q 真,所以实数m 的取值范围是2＜m ＜3． （2）若￢p 是￢q 的的充分不必要条件,即q 是p 的的充分不必要条件, 即等价于q ⇒p ,p 推不出q ；设A ＝{m |a ＜m ＜3a },B ＝{m |2＜m ≤3},则B ⫋A ； 则a ≤2,且3a ＞3,所以实数a 的取值范围是：{a |1＜a ≤2}． 【点睛】本题主要考查了命题的真假与双曲线的标准方程和分式不等式的求解与集合间的基本关系等.属于中等题型 18．某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是10分．按成绩共分成五组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10），得到的频率分布直方图如图所示：（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该学校在第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6名同学．①已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率②若在这6名同学中随机抽取2名，设第4组中有X名同学，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）第三组的频率是0.3，第四组的频率是0.2，第五组的频率是0.1（2）①1145②详见解析【解析】(1)根据频率等于对应的矩形面积求解即可.(2)用分层抽样的方法求得在第三,四,五组中对应的人数,再利用排列组合的方法求解概率与分布列即可. 【详解】（1）第三组的频率是0.150×2＝0.3,第四组的频率是0.100×2＝0.2,第五组的频率是0.050×2＝0.1,（2）①由（I）可知,第三,四,五组所占的比例为3：2：1,在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5＝3个, 而第三组共有100×0.3＝30个,所以甲乙两名同学同时被选中的概率为1283301145CPC==,②第四组共有X名同学,所以X的取值为0,1,2P（X＝0）242625CC==；P（X＝1）112426815C CC==；P（X＝2）2226115CC==；所以X的分布列为X 0 1 2P 25 815 115E （X ）＝0281212515153⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图中概率的求法以及分布列与数学期望的求法,属于中等题型.19．“新车嗨翻天!首付3000元起开新车”这就是毛豆新车网打出来的广告语．某人看到广告，兴奋不已，计划于2019年1月在该网站购买一辆某品牌汽车，他从当地了解到近五个月该品牌汽车实际销量如表： 月份 2018.08 2018.09 2018.10 2018.11 2018.12 月份编号t 12345销量y （万辆） 0.5 0.6 1 1.4 1.7（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌汽车实际销量y （万辆）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+$$$，并估计2019年1月份该品牌汽车的销量：（2）为了增加销量，厂家和毛豆新车网联合推出对购该品牌车进行补贴．已知某地拟购买该品牌汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表： 补贴金额预期值区间（万元） [1，2）[2，3）[3，4）[4，5）[5，6）[6，7）频数 206060302010将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买该品牌汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E （ξ）参考公式及数据：①回归方程y b x a =+$$$，其中()()()1122211n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$；②5118.8i ii x y==∑．【答案】（1）y 关于t 的线性回归方程为y ＝0.32t +0.08，2019年1月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆（2）详见解析【解析】(1)分别求得,t y ,进而求得b $,再代入样本中心点求a $即可. (2)根据二项分布定理求解分布列与数学期望即可. 【详解】 （1）1234535t ++++==,0.50.61 1.4 1.71.045y ++++==,218.853 1.040.325553b -⨯⨯==-⨯$,1.040.3230.08a =-⨯=$, 则y 关于t 的线性回归方程为y ＝0.32t +0.08, 当t ＝6时,y ＝2.00,即2019年1月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆．（2）根据给定的频数表可知,任意抽取1名拟购买该品牌汽车的消费者,对补贴金额的心理预期值 不低于3万元的概率为12032005==0.6, 由题意可知ξ～（3,0.6）,P （ξ＝0）00330604C ==．．0.064, P （ξ＝1）11230604C ==．．0.288, P （ξ＝2）22130604C ==．．0.432, P （ξ＝3）33030604C ==．．0.216, 分布列为： ξ 0 1 2 3 P 0.0640.2880.4320.216E （ξ）＝3×0.6＝1.8． 【点睛】本题主要考查了线性回归方程与二项分布的分布列与数学期望,属于中等题型.20．已知动圆M 经过点F （1，0），且与直线l ：x ＝﹣1相切，动圆圆心M 的轨迹记为曲线C （1）求曲线C 的轨迹方程（2）若点P 在y 轴左侧（不含y 轴）一点，曲线C 上存在不同的两点A 、B ，满足PA ，PB 的中点都在曲线C 上，设AB 中点为E ，证明：PE 垂直于y 轴．【答案】（1）y 2＝4x （2）证明见解析【解析】(1)利用圆的半径相等列式化简方程即可.(2)设A （214y ,y 1）,B （224y ,y 2）,再求得中点,代入抛物线方程,再利用方程的根方法求解即可.【详解】（1）设圆心M 的坐标（x ,y ）,由题意得：|MF |等于到直线l 的距离,22(1)x y -+=|x +1|整理得：y 2＝4x ,所以曲线C 的轨迹方程为：y 2＝4x ；（2）设P （x 0,y 0）,由（1）设A （214y ,y 1）,B （224y ,y 2）, AB 的中点E （x E ,y E ）,则y E 122y y +=, 因为P A 的中点在抛物线上,所以（102y y +）2＝4•21042y x +,即：y 12﹣2y 0y 1+8x 0﹣y 02＝0；同理可得PB 的中点也在抛物线上可得：y 22﹣2y 0y 2+8x 0﹣y 02＝0, 所以y 1,y 2是方程：y 2﹣2y 0y +8x 0﹣y 02＝0两个不同的根, ∴y 1+y 2＝2y 0, 所以y E ＝y 0,∴P 与E 的纵坐标相同, 所以PE 垂直于y 轴． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及抛物线中的综合问题,需要设抛物线上的点,利用方程化简求解,属于中等题型. 21．已知点E （﹣4，0）和F （4，0），过点E 的直线l 与过点F 的直线m 相交于点M ，设直线l 的斜率为k 1，直线m 的斜率为k 2，如果k 1•k 234=-． （1）记点M 形成的轨迹为曲线C ，求曲线C 的轨迹方程．（2）已知P （2，m ）、Q （2，﹣m ）（m ＞0）是曲线C 上的两点，A ，B 是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=（x ≠±4）（2）直线AB 的斜率为定值12，详见解析 【解析】(1)设点(,)A x y ,再利用k 1•k 234=-求得关于,x y 的方程即可. (2)由∠APQ ＝∠BPQ 可知设直线P A 的斜率为k ,则PB 的斜率为﹣k ,再设直线P A 的直线方程与椭圆联立,求得A 的坐标,再同理求得B 的坐标,再表达直线AB 的斜率进行化简求解即可. 【详解】（1）设所求动点A （x ,y ）,由14y k x =+,24y k x =-,得21224416y y y k k x x x =⋅=+--, 又1234k k =-,∴223164y x =--,即2211612x y +=（x ≠±4）． 即点A 的轨迹方程为2211612x y +=（x ≠±4）； （2）当∠APQ ＝∠BPQ ,则P A 、PB 的斜率之和为0,设直线P A 的斜率为k , 则PB 的斜率为﹣k ,直线P A 的直线方程为y ﹣3＝k （x ﹣2）,由()223211612y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩,整理得（3+4k 2）x 2+8（3﹣2k ）kx +4（3﹣2k ）2﹣48＝0, ∴()12823234k k x k-+=+,同理直线PB 的直线方程为y ﹣3＝﹣k （x ﹣2）, 可得()()22282382323434k k k k x kk---++==++．∴2122161234k x x k-+=+,1224834k x x k --=+, ∴()()()1212121212122323412AB k x k x k x x k y y k x x x x x x -++--+--====---,∴直线AB 的斜率为定值12． 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法以及直线与椭圆的位置关系中的定值问题,需要根据题意设直线联立方程,将条件转化为斜率的关系,再求交点的坐标与斜率代入韦达定理等证明,属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将C 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C 1．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求C 1的极坐标方程（2）设M ，N 为C 1上两点，若OM ⊥ON ，求2211||||OM ON +的值．【答案】（1）22918cos ρθ=+（2）109【解析】(1)根据线性变换求出曲线1C 的参数方程,再化简成极坐标方程即可. (2)利用极坐标的几何意义, 设M （ρ1,θ）,N （22πρθ+，）,再代入求2211||||OM ON +的值即可.【详解】（1）曲线C 的参数方程为x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数）,将C 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的3倍,得曲线C 1．转化为3x cos y sin αα=⎧⎨=⎩,整理为2219y x +=,转换为极坐标方程为22918cos ρθ=+． （2）M ,N 为C 1上两点,若OM ⊥ON , 设M （ρ1,θ）,N （22πρθ+，）,所以2211189cos θρ+=,22218129cos πθρ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=, 所以2222181118102||||999cos cos OM ON πθθ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭+=+=． 【点睛】本题主要考查了极坐标与参数方程和直角坐标的互化,同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.。
2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足z（1﹣i）＝1+3i，则z的模等于（）A．B．C．D．32．已知集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，B＝{x|x≥3}，则A∪∁R B＝（）A．[1，+∞）B．[1，3）C．（﹣∞，5]D．（3，5]3．命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为（）A．∀x≥0，都有e x＜﹣x+1B．∀x＜0，都有e x≥﹣x+1C．∃x0≥0，e＜﹣x0+1D．∃x0＜0，e＜﹣x0+14．复数，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．D．5．下列函数中，与函数y＝x表示同一函数的是（）A．y＝（）2B．y＝（）3C．y＝D．y＝6．函数的值域为（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（0，2]D．[1，2]7．已知a∈R，则“a＝﹣2”是“（4x﹣）4展开式各项系数和为0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知f（+1）＝x+3，则f（x+1）的解析式为（）A．x+4（x≥0）B．x2+3（x≥0）C．x2﹣2x+4（x≥1）D．x2+3（x≥1）9．直线＝1（a＞0，b＞0）经过点（3，2），则2a+3b的最小值为（）A．12B．36C．24D．4810．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．11．若函数f（x）对∀a，b∈R，同时满足：（1）当a+b＝0时有f（a）+f（b）＝0；（2）当a+b＞0时有f（a）+f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中：①f（x）＝x﹣sin x，②f（x）＝e x﹣e﹣x，③f（x）＝e x+e﹣x，④是Ω函数的为（）A．①②B．②③C．③④D．①④12．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）+x•f′（x）＜0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）二、填空题（共4小题）.13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2+ax+a﹣1，则f（﹣1）＝．14．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物、英语5门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则不同的安排方法共有种．15．定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足对于任意正实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，如果对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则不等式f（x）+f（x﹣8）＜2的解集是．16．已知函数f（x）＝x3+2x+1，若对于∀x∈R不等式f（ax﹣e x+2a）≤1恒成立，则实数a 的取值范围为．三、解答题：（满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置）17．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球，从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X，求X的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．18．已知函数f（x）＝x2﹣8lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）在区间上的最值．19．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗．（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；（2）填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关．优质花苗非优质花苗合计甲培育法20乙培育法10合计（参考公式：，其中n＝a+b+c+d．）P（K2＞k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82820．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程＝x中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：＝，＝﹣，参考数据：x i y i＝4195，x i2＝453.75．21．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）的极大值恒大于0．22．已知函数f（x）＝e x﹣．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，求证：对任意m∈[﹣2，2]，函数f（x）的图象均在x轴上方．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z满足z（1﹣i）＝1+3i，则z的模等于（）A．B．C．D．3【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：∵z（1﹣i）＝1+3i，∴z＝，∴．故选：C．2．已知集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，B＝{x|x≥3}，则A∪∁R B＝（）A．[1，+∞）B．[1，3）C．（﹣∞，5]D．（3，5]【分析】求出集合A，B，∁U B，由此能求出A∪∁R B．解：∵集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|x≥3}，∴∁U B＝{x|x＜3}，∴A∪∁R B＝（﹣∞，5]．故选：C．3．命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为（）A．∀x≥0，都有e x＜﹣x+1B．∀x＜0，都有e x≥﹣x+1C．∃x0≥0，e＜﹣x0+1D．∃x0＜0，e＜﹣x0+1【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出对应的命题即可．解：命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为：“∃x0≥0，都有＜﹣x0+1”．故选：C．4．复数，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得z对应的点的坐标，则答案可求．解：由＝＝＝i；则在复平面内，z对应的点的坐标是：（0，1）．故选：B．5．下列函数中，与函数y＝x表示同一函数的是（）A．y＝（）2B．y＝（）3C．y＝D．y＝【分析】分别判断函数的定义域和对应法则是否和y＝x一致即可．解：A．函数y＝（）2＝x的定义域为{x|x≥0}，和y＝x定义域不相同．不是同一函数．B．函数y＝（）3＝x的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则相同．是同一函数．C．函数y＝的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则不相同．不是同一函数．D．函数y＝＝x的定义域{x|x≠0}，和y＝x的定义域不相同，对应法则相同．不是同一函数．故选：B．6．函数的值域为（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（0，2]D．[1，2]【分析】对分式的分母进行配方即可得解．解：函数的定义域为R，＝，且f（x）＞0，所以其值域为（0，2]．故选：C．7．已知a∈R，则“a＝﹣2”是“（4x﹣）4展开式各项系数和为0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由a＝﹣2，可得展开式各项系数和为0，反之，由展开式各项系数和为0，得到a＝±2，再由充分必要条件的判定得答案．解：当a＝﹣2时，化为，取x＝1，可得展开式各项系数和为0；反之，由展开式各项系数和为0，得4﹣a2＝0，即a＝±2．∴“a＝﹣2”是“展开式各项系数和为0”的充分不必要条件．故选：B．8．已知f（+1）＝x+3，则f（x+1）的解析式为（）A．x+4（x≥0）B．x2+3（x≥0）C．x2﹣2x+4（x≥1）D．x2+3（x≥1）【分析】利用换元法求函数的解析式即可．设t＝，求出f（x）的表达式，然后求f（x+1）即可．解：设t＝，t≥1，则，所以f（t）＝（t﹣1）2+3，即f（x）＝（x﹣1）2+3，所以f（x+1）＝（x+1﹣1）2+3＝x2+3，由x+1≥1，得x≥0，所以f（x+1）＝（x+1﹣1）2+3＝x2+3，（x≥0）．故选：B．9．直线＝1（a＞0，b＞0）经过点（3，2），则2a+3b的最小值为（）A．12B．36C．24D．48【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：由题意可得，，∴2a+3b＝（2a+3b）（）＝12+＝12+12＝24，当且仅当且，即a＝6，b＝4时取等号．故选：C．10．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过x＞1函数的导数判断函数的单调性，即可得到结果．解：函数是偶函数，排除C、D；当x≥1时，函数＝x﹣，f′（x）＝1﹣，因为x＞1时，g（x）＝1﹣2lnx是减函数，g（x）＜1，所以＜1，所以f′（x）＝1﹣＞0，当x≥1时，函数f（x）＝x﹣是增函数，排除B．故选：A．11．若函数f（x）对∀a，b∈R，同时满足：（1）当a+b＝0时有f（a）+f（b）＝0；（2）当a+b＞0时有f（a）+f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中：①f（x）＝x﹣sin x，②f（x）＝e x﹣e﹣x，③f（x）＝e x+e﹣x，④是Ω函数的为（）A．①②B．②③C．③④D．①④【分析】由题意可得f（x）满足是R上的奇函数，且为增函数，称为Ω函数，由函数的奇偶性和单调性的定义，分别判断①、②、③、④的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论．解：由（1）当a+b＝0时有f（a）+f（b）＝0，即为f（﹣a）＝﹣f（a），则f（x）为R上的奇函数；由（2）当a+b＞0时有f（a）+f（b）＞0，即为a＞﹣b，f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b），可得f（x）为R上的增函数，则函数f（x）为R上的奇函数，且为增函数．由①f（x）＝x﹣sin x，定义域为R，f（﹣x）＝﹣x﹣sin（﹣x）＝﹣x+sin x＝﹣f（x），即有f（x）为奇函数；又f′（x）＝1﹣cos x≥0，可得f（x）为R上的增函数，故①是Ω函数；②f（x）＝e x﹣e﹣x，定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣f（x），即有f（x）为奇函数，又f′（x）＝e x+e﹣x＞0，可得f（x）为R上的增函数，故②是Ω函数；③f（x）＝e x+e﹣x，定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x+e x＝f（x），可得f（x）为偶函数，故③不是Ω函数；④定义域为R，x≠0时，f（﹣x）＝＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增，但在R上不为增函数，比如f（﹣1）＞f （1），故④不是Ω函数．故选：A．12．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）+x•f′（x）＜0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【分析】构造函数g（x）＝xf（x），易推出g（x）在（﹣∞，0）上单调递减；由f（x）是定义在R上的奇函数，可知g（x）为偶函数，从而得g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（3）＝g（﹣3）＝0．在f（x）＜0的情形下，再分x＞0和x＜0，讨论g（x）与0的关系，从而得解．解：令g（x）＝xf（x），则g'（x）＝f（x）+x•f′（x），当x＜0时，g'（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即函数g（x）为偶函数，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（﹣3）＝0，∴g（3）＝g（﹣3）＝﹣3×f（﹣3）＝0，当x＞0时，若f（x）＜0，则g（x）＜0，∴0＜x＜3；当x＜0时，若f（x）＜0，则g （x）＞0，∴x＜﹣3．∴不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把等案填在答题纸上）13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2+ax+a﹣1，则f（﹣1）＝﹣2．【分析】根据奇函数的性质，利用f（0）＝0，求出a的值，结合奇函数的性质，进行转化求解即可．解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2+ax+a﹣1，∴f（0）＝0，即a﹣1＝0，得a＝1，此时f（x）＝x2+x，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1+1）＝﹣2，故答案为：﹣214．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物、英语5门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则不同的安排方法共有150种．【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5门学科分为3组，②将分好的三组分配给甲、乙、丙3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将5门学科分为3组，若分为3、1、1的三组，有C53＝10种分组分法，若分为2、2、1的三组，有＝15种分组分法，则有10+15＝25种分组分法；②将分好的三组分配给甲、乙、丙3名志愿者，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种安排分法；故答案为：15015．定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足对于任意正实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，如果对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则不等式f（x）+f（x﹣8）＜2的解集是（8，9）．【分析】由“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f （x2）]＞0”可知该函数是单调增函数，再结合“定义域、f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1”，将f（x）+f（x﹣8）＜2转化为两函数值的大小比较问题，最终列出关于x的不等式求解．解：因为对于任意正实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，f（x）+f（x﹣8）＜2可化为：f[x（x﹣8）]＜f（3）+f（3）＝f（9）．因为对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以，解得8＜x＜9．故不等式的解集为：（8，9）．16．已知函数f（x）＝x3+2x+1，若对于∀x∈R不等式f（ax﹣e x+2a）≤1恒成立，则实数a 的取值范围为[0，]．【分析】令t＝ax﹣e x+2a，由f（t）≤1恒成立，可得t≤0，再令ax﹣e x+2a≤0对任意的x∈R恒成立，通过分离参数，构造函数，即可求出a的范围．解：令t＝ax﹣e x+2a，由f（t）＝t3+2t+1≤1，得t（t2+2）≤0，故t≤0，即ax﹣e x+2a≤0对任意的x∈R恒成立．整理得a（x+2）≤e x①对任意的x∈R恒成立．（i）当x+2≤0时，要使①式恒成立，只需a≥0即可；（ii）当x+2＞0时，①式可化为：，令g（x）＝，则，易知x∈（﹣2，﹣1）时，g′（x）＜0；x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，故此时g（x）min＝g（﹣1）＝，要使①恒成立，只需．综合（i），（ii）可知，所求a的范围是．即a．三、解答题：（满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置）17．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球，从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X，求X的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【分析】（1）从这10个球中任取3个．取出的3个球中红球的个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望．（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为P（A）＝P（A1）+P（A2）+P（A3），由此能求出结果．解：（1）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球，从这10个球中任取3个．取出的3个球中红球的个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的数学期望E（X）＝＝．（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝＝，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：P（A）＝P（A1）+P（A2）+P（A3）＝＝．18．已知函数f（x）＝x2﹣8lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）在区间上的最值．【分析】（1）求出导函数，通过导函数的符号判断函数的单调性，然后求解函数的极值．（2）由（1）函数的单调性，求出函数的端点值，以及函数的极值，判断函数的最值即可．解：（1），当0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x＝2时，f（x）取得极小值，且极小值为f（2）＝4﹣8ln2，f（x）无极大值．（2）由（1）得f（x）在上单调递减，在（2，e]上单调递增，所以f（x）在区间上的最小值为f（2）＝4﹣8ln2．因为，，所以f（x）在区间上的最大值为．19．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗．（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；（2）填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关．优质花苗非优质花苗合计甲培育法20乙培育法10合计（参考公式：，其中n＝a+b+c+d．）P（K2＞k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）由频率分布直方图可知，优质花苗的频率为（0.04+0.02）×10＝0.6，即概率为0.6．设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X，则X～B（），然后依据二项分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，由二项分布的性质可直接求出数学期望；（2）先补充完整2×2列联表，然后根据K2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断．解：（1）由频率分布直方图可知，优质花苗的频率为（0.04+0.02）×10＝0.6，即概率为0.6．设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X，则X～B（），于是；；；．其分布列为：X0123P所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望．（2）由（1）可知，优质花苗的频率为（0.04+0.02）×10＝0.6，则样本中优质花苗的株数为0.6×100＝60株，列联表如下表所示：优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100可得．所以，有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．20．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程＝x中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：＝，＝﹣，参考数据：x i y i＝4195，x i2＝453.75．【分析】（Ⅰ）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求；（Ⅱ）写出利润关于售价的函数，再由二次函数求最值．解：（Ⅰ）由表格中的数据可得，．＝＝，＝﹣＝90+32×9.5＝394，∴y关于x的线性回归方程为；（Ⅱ）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣32x+394）（x﹣8），（x≥8）．∴y＝﹣32x2+650x﹣3152．则当x＝（元）时，销售的利润最大为148元．21．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）的极大值恒大于0．【分析】（Ⅰ）求导，代入a＝0，求出在x＝1处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；（Ⅱ）分类讨论得出极大值即可判断．解：（Ⅰ）＝，当a＝0时，，则f（x）在（1，f（1））的切线方程为；（Ⅱ）证明：令f′（x）＝0，解得x＝2或x＝﹣a，①当a＝﹣2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在R上单调递减，∴函数f（x）无极值；②当a＞﹣2时，令f′（x）＞0，解得﹣a＜x＜2，令f′（x）＜0，解得x＜﹣a或x＞2，∴函数f（x）在（﹣a，2）上单调递增，在（﹣∞，﹣a），（2，+∞）上单调递减，∴；③当a＜﹣2时，令f′（x）＞0，解得2＜x＜﹣a，令f′（x）＜0，解得x＜2或x＞﹣a，∴函数f（x）在（2，﹣a）上单调递增，在（﹣∞，2），（﹣a，+∞）上单调递减，∴，综上，函数f（x）的极大值恒大于0．22．已知函数f（x）＝e x﹣．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，求证：对任意m∈[﹣2，2]，函数f（x）的图象均在x轴上方．【分析】（Ⅰ）根据已知条件将问题转化为f′（x）≤0恒成立，从而转化为求函数的最值即可，（Ⅱ）运用分离参数法，转化为函数的最值问题，即可证明．解：（Ⅰ）根据题意得f′（x）＝e x﹣（x＞0），∵函数f（x）在[1，2]递减，∴f′（x）≤0在x∈[1，2]恒成立，即≥xe x恒成立，故只需≥（xe x）max，（1≤x≤2），令m（x）＝xe x，则m′（x）＝e x（1+x），当x∈[1，2]时，m′（x）＞0，m（x）在[1，2]递增，故m（x）max＝m（2）＝2e2，∴≥2e2，解得：0＜a≤，故实数a的范围是（0，]；（Ⅱ）证明：a＝1时，f（x）＝e x﹣lnx﹣（x＞0），则f′（x）＝e x﹣，要使对任意m∈[﹣2，2]，函数f（x）的图象均在x轴上方，只需f（x）＞0对任意m∈[﹣2，2]恒成立⇔e x﹣lnx＞对任意m∈[﹣2，2]恒成立，又m∈[﹣2，2]时，∈[0，2]，则原不等式等价于e x﹣lnx＞2恒成立，令h（x）＝e x﹣lnx，则h′（x）＝，令t（x）＝xe x﹣1（x＞0），则t′（x）＝（1+x）e x＞0恒成立，故t（x）在（0，+∞）递增，又x＝0时，t（x）＝﹣1＜0，x＝1时，t（x）＝e﹣1＞0，故∃x0∈（0，1）使得t（x0）＝0，∴x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴h（x）min＝h（x0）＝﹣lnx0，由t（x0）＝0，得＝，故x0＝﹣lnx0，故h（x0）＝+x0，（0＜x0＜1），∴h（x0）＝+x0＞2，∴h（x）≥h（x）min＝h（x0）＞2，即e x﹣lnx＞2恒成立，故原不等式得证，∴对任意m∈[﹣2，2]，函数f（x）的图象均在x轴上方．。
辽宁省沈阳市城郊联合体2019-2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
C. 7
D. -7
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，可以求出 a5 a8 的值，连同已知 a5 a8 2 ，可以求出
a5 , a8 的值，进而求出首项和公比，分类求出 a2 a11 的值。
【详解】等比数列
an
有
a5·a8
a6·a7
8
，而 a5
a8
2，
联立组成方程组，
aa55
a8
a8
8 2
A. S16
【答案】C
B. S17
C. S8
D. S9
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的求和公式可得，a1+a16＝a8+a9＜0，a1+a17＝2a9＞0，从而可得
a8＜0，a9＞0，即可判断．
【详解】∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且
16
S16 S16＜0，S17＞0，
a1 a16 2
2y 3x 5 2 2y 3x
xy
x y =5 2 6 ，
2y 3x 当且仅当 x y 且 x+y=1，当且仅当 x=3 6 ，y= 6 2 时取等号，
23 x y ≥ 5 2 6 = 3 2 ，即最小值是 3 2 ．
故选：A． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，基本不等式的性质，考查转化思想，“1”代换的应用， 考查计算能力，属于基础题． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a5•a6=27，则 log3a1+log3a2+…+log3a10=______． 【答案】15 【解析】 【分析】 由等比数列及对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1•a2•…•a10） ＝log3（3）15＝15． 【详解】由等比数列{an}的性质可得：a1•a10=a2•a9=…=a5•a6， 由对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1•a2•…•a10）=log3（27） 5=log3（3）15=15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查对数的运算性质，等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二上学期期末考试理数试题
④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防作用”，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3841）≈0.05，由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防的作用”，
A．2B．4C．6D．12
3．有下列说法：
①一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12人；
②在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为0.8．
三、解答题
17．设命题p：实数m满足使方程 1，其中a＞0为双曲线：命题q：实数m满足 ．
（1）若a＝1且p∧q为真，求实数m的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是10分．按成绩共分成五组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10），得到的频率分布直方图如图所示：
A． B． C． D．﹣1
12．点P为双曲线 1上一点，且点P在第一象限．记点P到两条渐近线的距离分别为d1和d2，若d1∈[ ]，则d2的取值范围（）
A．（0， ）B．[ ，+∞）C．[ ]D．[ ，+∞）
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学（文）试题一、单选题 1．复数12i2i+=-（ ）． A ．i B ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.2．命题3:2,80p x x ∀≤->的否命题为 A ．32,80x x ∀≤-≤ B ．32,80x x ∃≤-≤ C ．32,80x x ∀>-≤ D ．32,80x x ∃>-≤ 【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，将∀改为∃，并将结论加以否定，因此原命题的否定为32,80x x ∃>-≤ 【考点】全称命题与特称命题3．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立．所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．4．若椭圆222516x y +=1与双曲线2225x y a -1有共同的焦点，且a ＞0，则a 为（ ） A ．2 B ．14C ．46D ．6【答案】A【解析】由椭圆标准方程中222a b c =+与双曲线标准方程中222c a b =+即可求解. 【详解】椭圆与双曲线有相同的焦点， 则225165a -=+，解得2a =±， 又0a >，所以2a =. 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线标准方程中,,a b c 之间的关系，需熟记椭圆中222a b c =+，双曲线中222c a b =+，属于基础题5．设M 为椭圆221259x y +=上的一个点， 1F ,2F 为焦点, 1260F MF ∠=o ，则12MF F ∆的周长和面积分别为 （ ） A ．16， 3 B ．18， 3 C ．16， 33 D ．18， 33【答案】D【解析】试题分析：，，所以12MF F ∆的周长为,根据余弦定理：,即,所以，故选D.【考点】椭圆的几何性质 6223+=223338+=3384415+=415…7a t +=7t（a ，t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则t ﹣a ＝（ ） A ．41 B ．51C ．55D ．71【答案】A【解析】观察所给的等式，得出规律，写出结果即可. 【详解】223+=23338+=384415+=415…， 照此规律，第6个等式中：7a =，2148t a =-= 41t a ∴-=故选：A 【点睛】本题主要考查类比推理，解题的关键是观察出前几项的规律，属于基础题.7． 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( ) A ．13B ．12 C ．23D ．34【答案】B【解析】试题分析：不妨设直线:1x yl c b+=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 的距2224b bc =+12c e a ⇒==，故选B. 【考点】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线:1x yl c b+=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 的距离222142b c e a b c =⇒==+，利用方程思想和数形结合思想建立方程2224b b c =+是本题的关键节点.8．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x =>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】试题分析：由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 【考点】1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.9．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）A ．7B ．12C ．17D ．34【答案】C【解析】第一次循环： ；第二次循环：；第三次循环：；结束循环，输出，选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．双曲线221y x m-=2的充分必要条件是（ ） （A ）12m >（B ）1m ≥ （C ）1m >（D ）2m >【答案】C【解析】由双曲线的方程可知，21,,1a b m c m ===+12m +>1m >.【考点定位】本小题考查了双曲线的方程，考查了离心率的概念和计算.11．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号1 2 3 4 5 6 7 8 910立定跳远（单位：米）1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳（单位：次）63a75606372701a -b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B【解析】由题意得1-8有6人进入30秒跳绳决赛30秒跳绳决赛，所以当59a ≤时,1,3,4,5,6,7号6人进入30秒跳绳决赛30秒跳绳决赛，1去掉A,C; 同理9号学生不一定进入30秒跳绳决赛，所以选B.12．已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F 。
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二上学期第一次月考数学(文)试卷
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二上学期第一次月考数学（文）试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）1．复数11212i i ＋－＋－的虚部是( ) A.15i B.15 C ．－15i D ．－152．用反证法证明命题“若022=+b a ，则a 、b 全为0（a 、b R ∈）”，其反设正确的A a,b 至少有一不为0B a,b 至少有一个为0C a,b 全部为0D a,b 中只有一个为03．已知复数z 满足i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为 （ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线4．设n 为正整数，f (n )＝1 f (2)f (4)>2，ff (16)>3，f ( )A ．f (2nB ．f (2n ． f (n 2D ．以上都不对 5．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是( ) A ．①③B ．②④C ．②⑤D ．④⑤6． 复数1sin cos (23)z i θθπθπ=--<<的模为 A ．2cos2θB ．2cos2θ- C ．2sin2θD ．2sin2θ-7．在如右图的程序图中，输出结果是 A. 5 B. 10 C. 15 D .208.某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次试验, 收集数 据如下：经检验, 这组样本数据具有线性相关关系, 那么对于加工零件的个数x 与加工时间y 这两个 变量, 下列判断正确的是（ ）A ．成正相关, 其回归直线经过点（30, 76）B ．成正相关, 其回归直线经过点（30, 75）C ．成负正相关, 其回归直线经过点（30, 76）D ．成负相关, 其回归直线经过点（30, 75）9．设角C B A ,,分别为ABC ∆的三个内角，且B A tan ,tan 是方程01532=+-x x 的两个实根，则ABC ∆是（ ）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 10．把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005 的箭头方向依次为11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则2010S 等于A ．0 12．已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n ；④若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n .其中正确的个数有( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（每题5分，共20分）13．.若z C ∈且221z i +-=，则16z i --的最小值是_________14．已知a 1a n +1则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________. 15．锐角三角形ABC 中，若A=2B ，C B A ,,所对的边分别为.,,c b a 则下列四个结论:①C B 2sin 3sin = 其中正确的是________．16．平面内一条直线没有交点，2条相交直线1个交点；3条相交直线最多3个交点；试猜想：n 条相交直线最多_______个交点三.解答题（17题8分，22题14分，其余各题12分，共70分）17．设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，证明：a ，b ，c 三数至少有一个不小于218．m取何实数时，复数z＝263m mm－－＋＋(m2－2m－15)i.(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数19．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．下面的临界值表供参考：20．已知△ABC中的内角A,B,C对边分别为a,b,c2C+1=3，23=（1）证明：当,a；（2）证明：当2sinA=sinB21.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，侧面11AA B B为菱形，且160A AB∠=︒，AC BC=，D是AB的中点．（1）求证：平面1A DC⊥平面ABC；（2）求证：1BC∥平面1A DC．22.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，向量(,)a n = 2 与(,)n b n S = +1 ，且a b λ=，R λ∈ （1）求出第一、二、三项，猜想通项公式；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求21{}n n a a +的前n 项和n T ，不等式3log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立，求a的取值范围．郊区联合体高二数学（文）试题答案一、选择：1．B 2.A 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C ． 8．D 9．C 10．B 11．A 12．B 二、填空：13．4 143分）15．(1)2n n 16三、解答与证明： 17.参考详解证明：假设若a ，b ，c 都小于2.则a ＋b ＋c <6，而a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x＝(x ＋1x )＋(y ＋1y )＋(z ＋1z)≥2＋2＋2＝6.矛盾． ∴a ，b ，c 都小于2错误．∴a ，b ，c 中至少有一个不小于2. (8)18.（1）当m ＝5时......................................................4 19.20.（2）当m≠5且m≠－3时..................................8 21.（3）当m ＝3或m ＝－2时.................................12 19.20. （1）21.()1连22.(1)a。
辽宁省沈阳市郊联体-学年高二上学期期末考试数学(文)试题含解析
--辽宁省沈阳市郊联体 2017-２0１8 学年高二上学期期末考试数学（文)试题第Ⅰ卷（共 6０分）一、选择题:本大题共１２个小题,每小题５分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.１. 已知 是虚数单位,复数 满足,则 ( )A.B.C.Ｄ．【答案】B【解析】由题意,得.故选 B．2． 抛物线的准线方程为 ，则 的值为(）A．Ｂ.【答案】D【解析】因为抛物线C.Ｄ.的准线方程为,即 .故选 D.３. 已知命题,命题 若,则 下列命题为真命题的是( ）A.Ｂ.【答案】ＢＣ．Ｄ．【解析】 由题意得,命题，所以是真命题；命题: 若，则 是真命题，所以 是真命题,故选 A.4. 过点 的直线与双曲线有唯一公共点,这样的直线有（）A. １条 Ｂ. 2 条 【答案】ＢＣ. 3 条 D. ４条【解析】因为点 在双曲线的内部，所以当且仅当过 且与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有唯一公共点,即这样的直线有 2 条.故选 B. 点睛：本题考查直线和双曲线的位置关系；在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往联立----直线和圆锥曲线的方程，得到关于 或 的一元二次方程,利用判别式进行判定,但要注意特殊情况,如与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点,与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点.5. 《九章算术》有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺,大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍,小老鼠第天也进一尺.以后每天减半．”假设墙厚 1６尺,现用程序框图描述该问题,则输出 （)Ａ. 2 B． 4 【答案】D 【解析】 (1)C. 6 ;Ｄ. 8（２）；......．．....(3)；（4),输出 8.故选 D。
6. 以下四个命题，其中正确的是()----Ａ． 由独立性检验可知，有 99％的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀, 则他有 9９％的可能物理优秀； B. 两个随机变量相关系越强,则相关系数的绝对值越接近于０;C. 在线性回归方程中,当变量 每增加一单位时,变量 平均增加０.2 个单位；D. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点.【答案】C 【解析】由独立性检验可知,有９9%的把握认为物理成绩与数学成绩有关,某人数学成绩优秀, 则他的物理不一定优秀,故Ａ错误;两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故Ｂ错误；线性回归方程对应的直线可能不经过其样本数据点中的任何点，故Ｄ错误；在线性回归方程中,当变量 每增加一个单位时,变量 平均增加 0.2 个单位，故 C 正确.故选Ｃ.7． 甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所示. 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，有()分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差,则A.B.Ｃ.【答案】D【解析】由茎叶图,可得,即，--D., ，即 ．故选 D.８. 过点且与双曲线--，有共同渐近线的双曲线方程是( ）A.Ｂ．【答案】A【解析】设与双曲线C.Ｄ.有共同渐近线的双曲线方程为，又因为该双曲线过点，所以，即，即为所求双曲线方程.点睛：本题考查双曲线的几何性质;求双曲线的标准方程时，往往要根据焦点所在位置进行讨论,比较麻烦,记住一些设法技巧可避免讨论,如与双曲线有共同渐近线的方程可设为.９. 椭圆中，以点为中点的弦所在的直线斜率为（ ）Ａ．Ｂ．【答案】BＣ.D.【解析】设该直线与椭圆交于，则,则，则,所以.故选Ｂ.点睛:本题考查直线和椭圆相交的中点弦；在解决直线和圆锥曲线的中点弦问题,往往利用点----差法进行求解，其主要步骤是:（1)代点:;（2)作差:；（3)确定中点坐标和直线斜率的等量关系：.１０. 已知 分别是双曲线的左、右焦点，点 关于渐近线的对称点 恰好落在以 为圆 心、 为半径的圆上,则双曲线的离心率为（ )A.B.【答案】C【解析】连接线的离心率为Ｃ.D.,由三角形的中位线可得 与其中一条渐近线平行，即,且,所以为等边三角形，则，则该双曲.故选 C．１1． 若点 和点 分别为椭圆的中心和左焦点，点 为椭圆上的任意点，则的最大值为()A. ２B. 3【答案】ＣC. ６Ｄ. ８----【解析】由题意，设点,则有，解得，因为,,所以,此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为,所以当 时,取得最大值,故选C. 点睛:本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与 最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力；先求出左焦点坐标 ，设，根据在椭圆上可得到 的关系式，表示出向量,根据数量积的运算将 的关系式代入组成二次函数进而可确定答案.12. 如图所示，过抛物线的焦点 的直线 ,交抛物线于点 ．交其准线 于点 ,若，且,则此抛物线的方程为（）A．B.C．D.【答案】C 【解析】分别过点 作准线的垂线，垂足分别为 ，设，则,在中，，由抛物线定义，得,则,所以，解得 ,因为，所以 ,即 ,即抛物线方程为.故选 C.----点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系;在处理直线和抛物线的位置关系时,往往利用抛物 线的定义将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行互化，可减少运算量.第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分,将答案填在答题纸上)13． 双曲线的焦距为________．【答案】【解析】因为,即双曲线的焦距为 ．14. 有一个游戏，将标有数字 l，2,3,４的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁４个人,每 人一张,并请这４个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说:乙或丙拿到标有 3 的卡片；乙说: 甲或丙拿到标有 2 的卡片;丙说:标有 l 的卡片在甲手中;丁说：甲拿到标有 3 的卡片.结果显 示：这４人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为_＿__＿ _． 【答案】4,2,1,３ 【解析】由于 个人预测不正确,其各自的对立事件正确,即:甲:乙、丙没拿到 ;乙:甲、丙没 拿到 ；丙：甲没拿到 ;丁:甲没拿到 .综上,甲没拿到 ,故甲拿到了 号,丁拿到了 ，丙拿 到 号,乙拿到 号.15. 已知点 为抛物线上一点,记 到此抛物线准线 的距离为 ，点 到圆上点的距离为 ,则的最小值为＿＿___＿____．【答案】3【解析】易知圆的圆心为,半径为 2，设抛物线的焦点为,连接 ,由抛物线的定义，得，----要求的最小值,需 三点共线，且最小值为。
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二数学上学期期中试题[附答案]
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二数学上学期期中试题（2）命题范围:人教B 版必修5，考试时间：120分钟 分数：150分第Ⅰ卷客观题一、选择题（每小题5分，共60分）1.设R a a a Q a a P ∈--=+-=，，)3)(1(3)2(2，则有( ) A ．Q P ≥B ．Q P >C ．Q P <D ．Q P ≤2．已知n m >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．b n a m +>+B ．nc mc >C ．n a m a -<-D ．22na ma > 3. 在ABC ∆中，ο3033===B c b ，，，则a 等于（ ） A ．3 B ．323或 C .23或 D ． 24．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若126=S ，则=+43a a （ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 75．已知ABC ∆的周长为18，且2:3:4sin :sin :sin =C B A ，则 =A cos （ ） A ．32 B ．32- C ．41D ．41-6．设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若5510=S S ，则=1015S S（ ） A ．37 B ．521C ．17D ．57. 设ABC ∆的三条边分别为c b a 、、，三角形面积为4222c b a S -+=，则C ∠为（ ）A.6π B.3π C.4π D.2π 8.已知{n a }为等比数列，285=+a a ，876-=a a ，则=+112a a （ ）A ． 7B ． 2C ．-2D ． -79.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若016<S ，017>S ，则n S 的最小值为（ ）A ．16SB ． 17SC ．8SD ． 9S10.设变量y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-30402y y x y x ，则y x 32+的最大值为（ ）A.11B.10C.9D.8 11.在ABC ∆中，若2cos sin sin 2BC A =，则ABC ∆是（ ） A. 直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 12.已知0,0>>y x 且1=+y x ，则yx 32+的最小值是（ ） A.23+ B.10 C.625+ D.62第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置.） 13.设{n a }是正项等比数列，且2765=a a ，那么 log log log 1032313=+⋅⋅⋅++a a a 14.对于R x ∈，式子112+-mx mx 恒有意义，则常数m 的取值范围是15.若数列{n a }的前n 项和42-=nn S ，则{n a }的通项公式是16.已知锐角三角形的边长分别为a ,3,2，则a 的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、推证过程或演算步骤.）17.（10分）求函数)0(32)(2>-+-=x xx x x f 的最大值，以及此时x 的值。
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二(上)文【含解析】
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数，则在复平面内对应的点位于( )3z i =-z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】复数在复平面内对应的点是，在第四象限，故选D.()3,1-2.计算的结果是 （ ）1i1i -+A. B. C. D. i i-22-【答案】B 【解析】,故选B.()()()21121112i i i i i i i ---===-++-3.已知点，则它的极坐标是（）(1,P A. B.2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.D.2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭42,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由计算即可．tan yx ρθ==【详解】在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足2ρ==P ，所以.tan y x θ==3πθ=-故选C.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题．4.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）1ρ=123x ty t =--⎧⎨=+⎩t A. 圆、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 直线、直线【答案】A 【解析】【分析】直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．【详解】解：极坐标方程，转换为直角坐标方程为.1ρ=221x y +=参数方程（为参数）转换为直角坐标方程为.123x ty t =--⎧⎨=+⎩t 31y x =--所以表示的为圆和直线.故选：A.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是（ ）2cos ρθ=A. B. C. D.cos 1ρθ=sin 1ρθ=cos 2ρθ=sin 2ρθ=【答案】B 【解析】【分析】先利用，进行代换即得圆的直角坐标方程，然后根222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+据直线与圆相切求出所求．【详解】解：，圆的普通方程为：，22cos ρρθ=2cos ρθ=222x y x +=即，()2211x y -+=又直线平行于极轴且与圆相切，所以，2cos ρθ=1y =±即或.sin 1ρθ=sin 1ρθ=-故选：B.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，同时考查了直线与圆的位置，属于基础题．6.设有一个回归方程为，变量增加一个单位时（ ）ˆ32y x =-x A. 平均增加2个单位y B. 平均减少3个单位yC. 平均减少2个单位yD. 平均增加3个单位y 【答案】C 【解析】试题分析：在线性回归方程中，斜率是y 随x 变化的变化率．由回归方程为，得ˆ32y x =-增加一个单位时平均减少2个单位．x y 考点：对回归方程的理解．点评：学生应正确理解回归方程中各量的实际含义并能加以应用．7.否定“自然数中恰有一个偶数”的正确的反设为（ ）,,a b c A. 都是奇数 B. 都是偶数,,a b c ,,a b c C. 至少有两个偶数 D. 中或都是奇数或至少有两个,,a b c ,,a b c 偶数【答案】D 【解析】【详解】因为反证法中的反设就是原命题的否定，而“自然数中恰有一个偶数”的否定是“中或都是奇数或至少有两个偶数”，,,a b c ,,a b c 所以否定“自然数中恰有一个偶数”的正确的反设为“中或都是奇数或至少有,,a b c ,,a b c 两个偶数”，故选D.8. 下面几种推理过程是演绎推理的是( )A. 某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人B. 由三角形的性质,推测空间四面体的性质C. 平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D. 在数列{a n }中,a 1=1,a n =,由此归纳出{a n }的通项公式12111n n a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】推理分为合情推理（特殊→特殊或特殊→一般）与演绎推理（一般→特殊），合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．【详解】解：∵A 中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B 中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C 为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D 为不完全归纳推理，属于合情推理．故选C ．【点睛】本题考查演绎推理，掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键，属基础题．9.对相关系数，下列说法正确的是（ ）r A. 越大，线性相关程度越大r B. 越小，线性相关程度越大r C.越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大rrD.且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小1r ≤rr【答案】D 【解析】【分析】两个变量之间的相关性和相关系数的大小有关，的绝对值越接近于1，表明两个变量的线r 性相关性越强，的绝对值越接近于0，两个变量之间几乎不存在线性相关．r 【详解】解：两个变量之间的相关系数，的绝对值越接近于1，r 表面两个变量的线性相关性越强，的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，r 故选：D.【点睛】本题考查相关系数，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．10.按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是（ ）3x =xA. 231B.C.D. 621156【答案】A 【解析】【分析】根据程序框图，依次执行即可得出结果.【详解】输入3x =第一步：，进入循环；()161002x x x +==<第二步：，进入循环；()1211002x x x +==<第三步：，结束循环，输出.()12311002x x x +==>231x =故选A【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型.11.在极坐标系中，直线与曲线相交于两点，为极点，则1cos 2=ρθ2cos ρθ=,A B O 的大小为 ( )AOB ∠A. B. C. D. 3π2π23π56π【答案】C 【解析】化极坐标方程为直角坐标方程:直线与圆相交于12x =()22222,11x y x x y +=-+=两点，所以 即，选C.,AB 11,,22A B ⎛⎛ ⎝⎝o o 260120AOB∠=⨯=12.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）n A. B. 82n -62n -C. D. 82n +62n +【答案】D 【解析】【分析】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则火柴棒的个数组成了一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n 项的火柴根数即可．【详解】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推：组成n 个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n 个图中的火柴棒有6n+2．故选D ．【点睛】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，属于基础题．二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上）13.若是纯虚数，则实数的值是_____．22(1)(32)x x x -+++x 【答案】1【解析】【分析】复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0，求解相应的方程与不等式，即可确定x 的值．【详解】因为i 是纯虚数，，所以，解得：22(1)(32)x x x -+++x ∈R 2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩.1x =故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的基本概念及其应用，其中解答中熟记复数概念与分类，准确列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.复数的模为______.512z i =+【答案】13【解析】【分析】直接根据复数模的计算公式求解.【详解】解：∵，∴.512zi =+13z ==故答案为:13.【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题.15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=与的交点的极坐标为______．2sin θcos1p θ=-【答案】34π【解析】试题分析：=与联立方程得2sin θ32sin cos 1sin 214θθθθπ=-∴=-∴=，极坐标为32sin 4ρπ∴==3)4π考点：极坐标方程点评：有关于极坐标的问题常考极坐标与直角坐标的互化：极坐标与直角坐标(),ρθ的互化(),xy cos ,sin x y ρρθρθ===16.经过圆上一点的切线方程为，则由此类比可知：经过221x y +=()00,x y 001x x y y +=椭圆上一点的切线方程为______.22221x y a b +=()00,x y 【答案】00221x x y yab +=【解析】【分析】根据圆的切线方程形式，类比推理出椭圆的切线方程．【详解】解：圆的性质中，经过圆上一点的切线方程就是将圆的方程中的一个()00,M x y 和分别用的横坐标与纵坐标替换，x y ()00,M x y 故可得椭圆类似的性质为：过椭圆上一点的切线方程为22221x y a b +=22221x y a b +=()00,x y .00221x x y ya b +=故答案为:.00221x x y ya b +=【点睛】考查了类比推理的数学思想，是基础题．三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）17.已知复数满足（为虚数单位），求的共轭复数和的值.z ()()222z i --=i z z z z ⋅【答案】，14255z i =-8z z ⋅=【解析】【分析】由求出的值，再计算它的共轭复数和的值．()()222z i --=z z z z ⋅【详解】解：由，()()222z i --=得，()()()2221422222255i z i i i i +=+=+=+--+所以的共轭复数为；z 14255z i =-.222142855z z z ⎛⎫⎛⎫⋅==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了复数的代数形式运算问题，也运算求解能力，是基础题．18.对某校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人.问：（1）由题意列出学生语文成绩与外语成绩关系的列联表：22⨯语文优秀语文不优秀总计外语优秀外语不优秀总计（2）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（保留三位小数）（附：）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0100.0050.0010k 6.6357.87910.828【答案】（1）详见解析（2）能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系.【解析】【分析】（1）由题意填写列联表即可；（2）由表中数据计算，对照临界值得出结论．2K 【详解】解：（1）由题意填写列联表如下，语文优秀语文不优秀总计外语优秀60100160外语不优秀140500640总计200600800（2）由表中数据，计算，()228006050010014016.66710.828160640200600K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19.已知直线的参数方程是（为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点L 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.X C 2cos ρθ=-（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为直角坐标方程；C L （2）求直线被曲线截得的弦长.L C【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程是C ()2211x y ++=L ；（220x y -+=【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：（1）直线的参数方程是（为参数），转换为直角坐标方程为L 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t .20x y -+=曲线的极坐标方程是，转换为直角坐标方程为，C 2cos ρθ=-()2211x y ++=（2）圆心到直线的距离()1,0-Ld所以圆被直线所截的弦长.l ==【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，垂径定理的应用，主要考查学生的运算能力，是基础题．20.设直线过点，倾斜角为.1L ()2,4A -23π（1）求的参数方程；并指出参数的几何意义；1L （2）设直线：，与的交点为，求点与点的距离.2L 10x y -+=2L1L B B A 【答案】（1）（为参数），表示直线上任意点到定点的距离；1224x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t t ()2,4A -（2）7【解析】【分析】（1）首先求出直线的方程，进一步直接利用转换关系式求出结果．（2）利用参数方程的几何意义的应用求出结果．【详解】解：（1）直线过点，倾斜角为；1L ()2,4A -23π转换为参数方程为（为参数），22cos 324sin 3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩t整理得（为参数）.1224x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t 表示直线上任意点到定点的距离；t A （2）将的参数方程代入的方程中，1L2L 得，124102t ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得.7AB t ==【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，参数的几何意义的应用，主要考查学生的运算能力，是基础题．21.某种产品的广告费用支出(百万)与销售额(百万)之间有如下的对应数据:x y x 24568y 3040605070(1)画出散点图;(2)求回归直线方程;y(3)据此估计广告费用为10(百万)时,销售收入的值.【答案】（1）散点图如图所示：ˆy（2）＝6.5x＋17.5（3）广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元【解析】【分析】试题分析：(1)散点图如图所示：（2）计算得＝＝5，＝＝50，ˆx255ˆy 2505＝145，＝1 380. 6分521i i x=∑51ii i x y =∑于是可得＝＝＝6.5，b 51522155i i i i i x y xy x x ==--∑∑21380555014555-⨯⨯-⨯＝－＝50－6.5×5＝17.5.a ˆy ˆbx 所以所求的线性回归方程为＝6.5x ＋17.5.y (3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，y 即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．考点：本小题主要考查散点图的画法和回归直线的求解及应用.点评：求回归直线时要先根据散点图判断是否线性相关，如果不线性相关，求出的回归方程没有意义.【详解】请在此输入详解！22.已知曲线：（为参数），：（为参数）.1C 4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩t 2C 8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？1C 2C （2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求的中点到直线1C P 2t π=Q 2C PQ M的距离的最小值.270x y --=【答案】（1）：，曲线是圆；：，曲线是椭1C ()()22431x y ++-=1C 2C 221649x y +=2C圆；（2【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式消去参数，得到曲线的普通方程；（2）根据椭圆的参数方程设出椭圆上一点，求出点到直线距离后，研究其最小值，得到本题结论．【详解】解：（1）∵曲线：（为参数），1C 4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩t ∴：.1C ()()22431x y ++-=∴曲线是圆.1C ∵曲线：（为参数），2C 8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ∴：.2C 221649x y +=∴曲线是椭圆.2C （2）∵上的点对应的参数为，1C P 2t π=∴.()4,4P -∵为上的动点，Q 2C ∴设，()8cos ,3sin Q θθ则的中点，PQ 8cos 43sin 4,22M θθ-+⎛⎫ ⎪⎝⎭点到直线的距离M 270x y --=d当时，.()cos 1θφ-=mind ==∴的中点到直线.PQ M 270x y --=【点睛】本题考查的是曲线的参数方程和普通方程的互化，以及曲线参数方程的应用．本题难度不大，属于中档题．。