二次函数与一元二次方程教学设计
二次函数与一元二次方程教学设计 1．内容解析 “一元二次方程和二次函数是”是“数与代数”领域中重要的内容，其内容的复杂性、综合性和思想性都很强，在第三学段占有重要地位．本节，是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，为后面要学习的实际问题与二次函数等相关知识做好铺垫，起着承上启下的作用． 在教科书中，首先回顾了从一次函数的角度看一元一次方程的有关内容，在此基础上提出了课题，认识二次函数与一元二次方程的联系．为了更好地理解本节课的内容，教材编写者设置了一个小球飞行问题．在这个问题中，将小球飞行的某一高度的值代入到函数解析式中，就得到了一元二次方程，使所要解决的问题转化为解一元二次方程．由此引出，已知二次函
数的值求自变量的值，可以看作解一元二次方程；反过来，解方程可以看
作已知二次函数的值为0，求自变量x的值．然后利用二次函数的图象讨论一元二次方程．接着教科书中，由“思考”栏目引出，二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标是相应一元二次方程的根；二次函数的图象与x轴的三种位置关系对应一元二次方程根的三种情况．最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的方法，并且给出了一定精确度下的近似根的一般处理访求．通过本节课，使学生能够用二次函数的图象求相应的一元二次方程的解，理解一元二次方程的解可以有其几何直观表示．这种形与数的结合，可以加深对二次函数和一元二次方程的联系认识． 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解一元二次方程的根的几何意义；知道抛物线与x轴的三种位置关系与一元二次方程的根的三种情况的对应关系；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，了解一元二次方程根的几何意义； （2）理解抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系； （3）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2．目标解析
（1）对于二次函数的图象与x轴交点的横坐标，学生能够理解其实质是一元二次方程的解；同样对于一元二次方程的解，可以看作是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，两者是统一的．因此可以用二次函数的图象求相应的一元二次方程的解，一元二次方程的解可以有其几何直观表示． （2）理解方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根，与其所对应的二次函数的图象与x轴的交点个数分别为两个、一个和没有之间的关系． （3）针对一元二次方程，如果其有实数根，则学生能将其转化为画对应的二次函数图象，并通过读图象与x轴交点，估计方程的根． 三、教学问题诊断分析 学生在前面的学习中，已经学习了一次函数与一元一次方程的关系，能够利用图象解一元一次方程及不等式（组）．本节课，学生可以利用类比方法继续学习二次函数与一元二次方程的关系．这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题．由于二次函数、一元二次方程较一次函数、一元一次方程在复杂性、综合性和思想性上都有所加强，因而其学习和理解的难度相应加大．特别是二次
函数的图象与x轴交点的个数与所对应一元二次方程的解的个数之间的关系，学生理解起来比较困难．突破这一难点，可以借助信息技术手段．例如，
解方程时，用几何画板软件画出相应抛物线，显示抛物线与x轴的公共点的坐标，就能得出相应方程的根，如果对应的抛物线与x轴没有公共点，则说明一元二次方程没有实数根． 本课的教学难点是二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程的根的个数之间的关系． 四、教学过程设计 （一）复习提问，明确结论
1．解一元一次方程；
2．画一次函数 的图象，并指出函数的图象与x轴有几个交点，交点的横坐标是什么？
问题1 一元一次方程与一次函数有什么联系？ 师生活动：学生解方程和画图象，回顾一元一次方程与其对应一次函数的关系，明确关于x
的一元一次方程的解就是一次函数的图象与x轴有交点的横坐标；反之也成立． 【设计意图】通过回顾一次函数与一元一次方程的联系，为后面用类比的方法继续探索二次函数与一元二次方程的联系做铺垫．培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质． （二）创设情境，探究新知 问题2 如图22．2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单
位：s）之间具有关系：
考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20．5m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 师生活动：想一想：
（1）关系式中的两个变量及所表示的意义？ （2）当h取一些具体值时，你得到的关于t的哪些一元二次方程？ （3）如何求这些一元二次方程的根呢？ 画一画：
画出的图象，观察图象，体会以上问题的答案． 说一说： 你能结合所画图象指出为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m?…… 议一议：二次函数的图象与一元二次方程的解有什么关系？ 【设计意图】让学生直观感受生活中的现象，体会数学来源于生活，激发学生的学习兴趣．通过四个问题的逐渐加深，把二次函数和二次方程联系起来，直观的感受到二次函数和二次方程之间的联系．
问题3 已知二次函数的值为3，求自变量x的值？ 师生活动：学生将该函数转化为解方程．得其两根；教师指出解方程就是已知二次函数的值为0，求自变量x的值．这两者是统一的．师生共同归纳：
一元二次方程的两个根为，则抛物线与x轴的交点坐标是． 【设计意图】让学生通过计算、观察、思考、交流形成初步的结论——求二次函数某个函数值的时候可转化为解一元二次方程． （三）问题探究，深入思考 问题4 下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有，求出公共点的横坐标；当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？
．
由此，你能得出相应的一元二次方程吗？直接写出它的根． 师生活动：学生结合图象发现:
（1）的图象与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1;当x取公共点的横坐标时，函数的值是0． 由此得出方程的根是-2，1． （2）的图象与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数的值是0．由此得出方程有两个相等的实数根3． （3）的图象与x轴没有公共点， 由此可知，方程没有实数根． 【设计意图】让学生通过观察函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，并体会一元二次方程根的个数与二次函数与x轴交点的个数的关系． 让学生充分感受到“数形结合”的数学思想． （四）归纳总结，形成结论 问题5 你能根据刚才的探究，完成下列表格吗？
二次函数的图象和x轴交点个数
一元二次方程 的根 一元二次方程
根的判别式Δ=b2-4ac
2 两不等实数根 1 两相等实数根 0 无实数根 师生活动：学生完成表格，教师及时发现和纠正学生出现的问题． 【设计意图】让学生运用自己的语言归纳结论，培养学生的语言表达能力，教师出示表格，更有利于学生观察发现“交点个数”与“根的个数”之间的联系，让学生形成系统化的知识体系． （五）例题示范，学以致用
例 利用函数图象求方程的实数根（精确到0.1）．
师生活动：学生画出图象，尝试由图象与轴的交点坐标，读出的近似解．教师借助几何画板，画出图象，并通过软件的度量功能，近似地得到方程的解．教师强调：由图象求得的根，因为存在画图和读数的误差，一般是近似的．若要得到更为精确的近似解，可以用教科书介绍的方法（二分法）． 【设计意图】通过设计本例题，让学生理解画二次函数的图象也可以求一元二次方程的近似解．这也是学生难以理解的地方，借助信息技术的绘图及度量功能，直观演示，降低学生理解的难度． （六）练习巩固，加深理解 1．填空：
已知二次函数的图象如图所示：图象与x轴有 个交点，交点的横坐标是 ，则方程有 个根，方程的根是 ；
2．用图象法求方程的根． 【设计意图】通过练习，加深学生对新知识的理解，让学生感受到成功的喜悦． （七）归纳小结，反思提高 师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： （1）这节课你学到了哪些知识？ （2）在用图象法解一元二次议程理要注意哪些问题？ （3）这节课你体会到了哪些数学方法和数学思想？ （八）布置作业：教科书习题22．2第１题，第２题． 五、目标检测设计
1．抛物线与x轴的交点个数有( )． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【设计意图】考查对二次函数图象与x轴交点个数的理解．
2．根据下列表格的对应值，判断方程一个解x的范围是( )． x 2．23 2．24 2．25 2．26 -0．06 -0．02 0．03 0．09 A．2C．2．24【设计意图】考查将一元二次方程的根转化为抛物线与x轴交点的理解应用．
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思《二次函数与一元二次方程》教学设计【课题】九年级下册5.6《二次函数与一元二次方程》（第1课时）一、教材分析本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
二、学情分析1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系。
因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。
2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。
三、教学目标知识与技能：1.探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系2.能根据二次函数y＝ax2+bx+c的系数，判断它的图象与x轴的位置关系3.应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题过程与方法：经历探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用。
四、教学重难点重点：应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题难点：理解二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系五、教法学法教法：类比探究法、归纳总结法、讲练结合法学法：合作探究法、小组讨论法六、教学内容与过程（一）、立体式复习检测（1）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________（2）不解方程，判断方程x2－3x＋3=0根的情况是________（3）解方程： x2－2x－3=0（4）（中考·白银）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________【师生活动】：同桌提问判别式△与方程实数根的关系，然后请4位同学分别板书以上4个题目，其他同学在导学案完成以上题目。
二次函数与一元二次方程、不等式的实例分析 教学设计
二次函数与一元二次方程、不等式的实例
分析教学设计
一、前言
二次函数在中学数学中是一个非常重要的数学概念，二次函数是关于自变量的二次多项式函数，是高中数学的重要内容之一。
而一元二次方程、不等式是最常见的数学问题之一，在中学数学教育中也是重中之重。
本文将就这两个数学概念的实例分析为主线，探讨如何在课堂中开展有效的教学。
二、二次函数的实例分析
二次函数是中学数学中的重要概念，其函数图像可以帮助学生更好地理解函数的基本概念。
我们可以通过以下实例来进行教学：
1. **抛物线的实例**
从一个抛物线的实例开始，通过结合图像，可以帮助学生更好地理解二次函数的基本概念。
2. **线性函数和二次函数的实例**
通过将线性函数和二次函数进行对比，帮助学生理解二次函数的特点。
三、一元二次方程与不等式的实例分析
一元二次方程和不等式是中学数学中最常见的数学问题之一，其实例教学也是非常关键的。
下面将通过以下实例来讲解：
1. **零点判别式的实例**
通过零点判别式对一元二次方程的解进行讲解。
2. **一元二次不等式的实例**
通过实例讲解一元二次不等式的解法及思路。
四、总结
通过2种数学概念的实例分析教学，能够帮助学生掌握数学知识，同时也增强同学们的学习兴趣。
因此，在日常教学中，讲解数学概念的时候，一定要注重实例分析。
同时也要充分发挥教师自身的创造力，制定出适合学生的教学方案，帮助学生快速掌握数学知识。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计
教学设计（集中授课）教学内容与过程一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b2-4acΔ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象时间分配a<，消去+>的解集为bx c}3x<.时，不等式为8≥{x|50<x<60}.因为x 只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益. 解题方法（一元二次不等式实际应用问题） （1）根据题意列出相应的一元二次函数； （2）由题意列出相应一元二次不等式； （3）求出解集；（4）结合实际情况写出最终结果. 跟踪训练三1.用可围成32 m 墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？【答案】当长方形一边(垂直于旧墙)为16m 5，另一边为4 m 时猪舍面积最大，最大值为22565m . 【解析】设长方形的一边(垂直于旧墙)长为x m ，则另一边长为325m 4x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，总面积 2(325)532S x x x x =-=-+，3205x <<，当16m 5x =时，()2max 256m 5S =．。
高中数学必修一 (教案)二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
《二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）》教学设计◆教学目标1．通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，提升数学建模的核心素养．2．能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法．教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式．◆课前准备PPT课件◆教学过程一、知识回顾★资源名称：【知识点解析】一元二次不等式的解法★使用说明：本资源为一元二次不等式的解法讲解视频，通过具体例子，引导学生理解并归纳出一元二次不等式求解的一般步骤．注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格。
师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错．预设的答案：Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅（1）函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．（2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍。
问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现．预设的答案：设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助．二、新知探究 利用一元二次不等式解决实际问题例1 一家车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：x x y 2200202+-=．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？对于实际问题还需要注意什么？师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解。
初中数学《二次函数与一元二次方程》教案
教学设计如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x 轴交点情况判断下列函数的图象与x 只有一个交点的是( )A ．y ＝x 2＋2x －3B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：选项A 中b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B 中b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x 轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x 轴交点情况确定字母取值范围若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴也有一个交点．由(m ＋2)2－4m (12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．。
二次函数与一元二次方程(第一课时)教案
Being with positive people can make us feel good.（页眉可删）
二次函数与一元二次方程(第一课时)教案【教学目标】
1、知识与技能：
（1）体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；
（2）理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的`实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征；（3）理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
2、过程与方法：
（1）由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系；（2）经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。
3、情感、态度与价值观：
培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。
【重点与难点】
重点：经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。
难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。
【教法与学法】
教法(=)：命题课，采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用”的探究过程。
学法：探究式学习。
【课前准备】
多媒体、PPT课件。
【教学过程】
附：板书设计：。
二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)教学设计
2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．二、教学重难点1.理解二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的联系2.会运用二次不等式模型求解范围及最值等问题及化归思想的呈现三、教学方法“问题链”教学法；“以学生为中心的课堂展开”四、教学过程1.复习引入有两个相等的实数根2.变式探究（1）一元二次不等式的本质问题1：现在，让我们回到问题的本质上去，为什么一元二次不等式的解是这个是形式？如果是一元高次不等式呢，我们又将如何解决？【活动预设】引导学生回归问题本质，运用乘法的性质来重新认识一元二次不等式，让理解力强的同学能举一反三解决三次不等式.【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识一元二次不等式的本质，加深外延的理解,为后续高次不等式的学习作铺垫.1．不等式0)1(12722>+++-x x x x ）（的解集为 ( ) A ．），（），（∞+--∞-34 B ．），（），（∞+∞-43 C ．），（34-- D ．），（43 【预设的答案】B问题2：若上述不等式改为三次不等式如：0)1(1272>++-x x x ）（：，那么我们有什么办法求解呢？问题的本质是怎么样的呢？【预设的答案】⎩⎨⎧>+->+0127012x x x 或⎩⎨⎧<+-<+0127012x x x当我们将）（1272+-x x 因式看作一个整体时，上述问题就归化为一元二次不等式的解题本质上去了，其本质是两同号因式相乘结果为正，两异号因式相乘结果为负。
（2）分式不等式问题3：在明确了问题的本质后，如果两个因式相乘与相除有什么不同呢，在具体的求解中我们又要注意些什么？【活动预设】引导学生回归问题本质，既然乘法与除法在结果上有相似性，那么对一元二次不等式问题进行迁移就可以解决分式不等式【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识分式不等式的本质，并理解乘法与除法的区别在于：分母不能为零2.解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 【预设的答案】解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52. (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 【预设的答案】 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12， ∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.（3）不等式恒成立问题问题4：在理解二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的联系后，能否提炼出一元二次不等式恒成立问题的解题核心？【活动预设】引导学生回归一元二次函数图象来解决恒成立问题. 【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识恒成立问题，渗透数形结合这一思想，加深对一元二次不等式，一元二次方程，二次函数三者的联系的理解,为后续函数的学习作铺垫. 3.(1)若对∀x ∈R 不等式x 2＋mx >4x ＋m －4恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x 2>4x ＋m －4在R 上恒成立，求m 的取值范围．【预设的答案】解 (1)原不等式可化为x 2＋(m －4)x ＋4－m >0，∴Δ＝(m －4)2－4(4－m )＝m 2－4m <0， ∴0<m <4，∴m 的取值范围为{m |0<m <4}．(2)原不等式可化为x 2－4x ＋4＝(x －2)2>m 恒成立， ∴m <0，∴m 的取值范围为{m |m <0}．[素养提升] 一元二次不等式恒成立的情况： ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.1．知识清单：(1)简单的分式不等式的解法(2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：①选取合适的字母表示题目中的未知数；②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；③求解所列出的不等式(组)；④结合题目的实际意义确定答案．2．方法归纳：转化、恒等变形．3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．。
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程教案二次函数与一元二次方程教学目标(一)教学知识点1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.2.进一步发展估算能力.(二)能力训练要求1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想.(三)情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力.教学重点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学方法学生合作交流学习法.教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.Ⅱ.讲授新课一、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根.下图是函数y=x2+2x-10的图象.[师]从图象上来看,二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴交点的横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨论解决.[生]有关估算问题我们在前面已学习过了,即是用试一试的方法进行的.既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).[师]由于计算比较烦琐,所以大家可以用计算器进行计算.[生]从图象上看,x的取值应大于-4.5,所以可以只代入-4.1,-4.2,-4.3,-4.4这四个数进行计算,利用计算器进行探索.x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4y -1.39 -0.76 -0.11 0.56从上表可知,当x取-4.1,-4.2,-4.3,-4.4时,y的值都不等于0,所以x的取值还不准确,应继续估计百分位上的数,十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字.所以x应取负的4点3几.再按同样的方法求百分位上的数字.依次类推,即可求出比较准确的x的值.[师]大家的分析非常到位、确实应按这样的步骤进行,但我们的重点是求解方程的思路,而不是求解的结果.因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位.[生]因此,x=-4.3是方程的一个近似根.[师]有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.[生]另一个根在2与3之间,应是2点几,再用计算器进行探索.x 2.1 2.2 2.3 2.4y -1.39 -0.76 -0.11 0.56由于当x=2.3时,y的值最接近0,所以另一个根的近似值为x=2.3.[师]还有其他的方法吗?[生]有,可以把-5与-4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点.如上题中的两个根可以这样求:二、做一做利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.[师]我们可以根据上面的方法来求方程的近似根.但是还与上面的题型不太一样.上面的题是利用二次函数y=x2+2x-10的图象估计方程x2+2x-10=0的根,现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2+2x-10=3的根呢?[生甲]利用函数y=x2+2x-13的图象求方程x2+2x-10=3的近似根.[生乙]也可以在上题的基础上进行,利用函数y=x2+2x-10的图象与直线y=3的交点的横坐标求方程x2+2x-10=3的解.[师]究竟哪一种方法正确呢?我们下面就来验证一下.[生甲]函数y=x2+2x-13的图象如下图由图可知,图象与x轴的两个交点的横坐标中,一个在-5与-4之间,一个在2与3之间,因此两个根分别为负4点几和2点几,下面用计算器进行探索.x -4.5 -4.6 -4.7 -4.8 -4.9y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21因此x=-4.7是方程的一个近似根.另一个根可以类似地求出:x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21因此x=2.7是方程的另一个近似根.[生乙]分别画出函数y=x2+2x-10的图象和直线y=3,找它们交点的横坐标即可.由图可知两根分别为x=-4.7和x=2.7.Ⅲ.课堂练习P71随堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习的内容:1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系;2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得了用图象法求方程近似根的体验.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标,发展估算能力.Ⅴ.课后作业习题2.10Ⅵ.活动与探究一元二次方程x2-4x+2=-1的根与二次函数y=x2-4x+2的图象有何关系?请你把方程的根在图象上表示出来.解:一元二次方程x2-4x+2=-1的根可以看成函数y=x2-4x+2的图象与直线y=-1的交点的横坐标.图象略.板书设计§2.8.2二次函数与一元二次方程(二)一、1.利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10的根2.做一做(利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根)二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
二次函数与一元二次方程,不等式 教案
必修 2.3 二次函数，一元二次方程与不等式
教学设计
活动四：完成教材52页例1，例2，例3，（利用函数图像） 例１ 求不等式0652
>+-x x 的解集
例2 求不等式01692
>+-x x 的解集
例3 求不等式03-2-2
>+x x 的解集
活动五：总结一元二次不等式的解题步骤。
（三）及时反馈，数学应用 活动六、巩固训练 1. 教材53页练习1， 2，教材53页练习2 能力提升： 1.教材55页综合运用3，5
教师组织，学生完成
学生分组讨论交流，教师启发引导
最后学生复述总结
画出函数图像 学生独立完成 小组讨论，教师巡回指导，学生口述
体会过程，抽象数学
抽象数学，表达数学
锻炼学生作图能力，培养学生数形结合的思想
合作学习，学习方法指导，抽象数学
三、课堂小结
四、课下作业
1.整理笔记
2.完成质量检测A 学生版演，教师
巡回指导，
学生总结
数学运算，计算
能力培养
深化理解
体会数学的整体性
板书设计2.3 二次函数，一元二次方程与不等式
02
2<
+
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+
+c
bx
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c
bx
ax或
课后
反思
按照学生认知程度层层递进，在原有知识基础上建立新知。