数学北师大版七年级下册《平方差公式》第一课时
《平方差公式》教学设计（第一课时）
一、教材的地位与作用
《平方差公式》是北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级（下）第一章
《整式的运算》第七节的内容。平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘
多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启
下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。
本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。它是学生在
已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的
较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运
算、培养学生的求简意识。
二、教学目标：
知识与技能：
（1）使学生理解和掌握平方差公式；
（2）会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用。
过程与方法：
（1）经历探索平方差公式的过程，增强了数和符号的意识，培养学生发现问题、提出问
题的能力；
（2）经历探索和发现规律的感受，进一步发展了学生的符号感和推理能力，培养学生观
察、归纳、概括的能力．
情感态度与价值观：
（1）在合作交流中扩展思路，经过验证反思积累数学活动经验；
（2）在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯、质疑的精神。
三、教学重点与难点：
教学重点：
（1）弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；
（2）发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
教学难点：
准确理解和掌握公式的结构特征。
四、前置作业：
1、如果给：边长为45的正方形，去掉一个小正方形（边长为15）后剩下的面积怎样计算？
45
15
2、用割补的方法把剩下的面积拼成一个长方形，其面积又会怎样？
五、教与学互动设计:
（一）创设情景，导入新课
课件出示引入问题：
王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王捷
就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象是个
神童，怎么算得这么快？”王捷同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。”
你知道王捷同学用的是一个什么样的公式吗?
学生首先就会想到计算列式：9.810.2=？，计算方法是关键。
本环节意图：该问题贴合学生实际，能够迅速吸引学生，提高学生的学习兴趣和学习的
积极性。引导学生结合课前的作业，尽快进入本节课主题。
（二）激发兴趣，合作探究
活动一：解决正方形问题
课件展示前置作业1：如果给：边长为45的正方形，去掉一个小正方形（边长为15）后剩下
的面积怎样计算？
45
15
4
45+15
45－15
4
1
4
活动要求：小组讨论每个人的思考的过程和结果；
每个小组派一名同学展示讨论结果。
预设结果1：大部分同学都能想到用大正方形的面积减去小正方形的面积：=452－152=2025－
225=1800
预设结果2：对剩余的图形进行分割计算，如下面两个图形：
45 45
15 15
分别求出边长，计算每一块图形的面积，再相加。
教师引导预设：对于结果2，肯定学生的做法，引导他们认识到这种做法的不足之处就
是麻烦，计算量大；对于结果1，做法非常好，利用到了整体思想，进一步引导学生思考：
这样做与前置作业2有什么联系？能不能得到什么规律？
进一步展示前置作业2：
2、用割补的方法把剩下的面积拼成一个长方形，其面积又会怎样？
小组活动：预设结果1与该结果有什么联系？
预设答案1：结果都是一样的
预设答案2：两个图形的面积相同
预设答案3：22154515451545
教师预设：如果学生对于预设答案3不能给出，要反复引导学生观察两个式子以及结果
之间的联系。
提出问题：是不是对于任意的计算式子都可以直接这样算呢？
活动二：进一步发现式子的特征
计算：（1）(x+1)(x-1)=______ (2) (m+2)(m-2)=_____
（3）(2x+1)(2x-1)=______
活动要求：1、你能发现什么结论？
4 4
45+15
45－15
4
1
2、你能提出哪些问题？你还有什么疑问？
教师引导预设：（1）由小组进行讨论，提出问题，并制定其他的同学回答该问题。
（2）猜一猜：(a+b)(a-b)=______（由学生代表回答）
（3）你能验证你的猜想是正确的吗？如何验证你的猜想？
预设学生回答：(a+b)(a-b)=a2–ab+ab+b2= a2–b2
教师预设语言：如果学生对于公式的推导有问题和困难，可以给与适当点拨，利用多项式乘
以多项式的法则进行计算，看看会出现什么结果。（说明：必须让学生知道公式是怎么来的，
要知其然，更要知其所以然）。
抛出问题：
1、刚才得到的结论能不能用字母来表示？
预设学生回答：22bababa
2、用文字语言怎么表述？
板书：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
教师预设语言：这就是我们本节课要学习的重点，平方差公式。
板书课题：平方差公式
进一步引导学生发现问题，提出问题，学生小组讨论，并解决发现的问题。
预设学生问题1：公式中的a,b可以表示什么？
预设学生问题2：什么样的式子可以用平方差公式计算？
预设点拨：公式中a,b可以表示数，单项式，多项式甚至更复杂的代数式。平方差公式是多
项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征
才能应用．要运用平方差公式，必须明确公式的特征，引导学生进入下一活动。
活动三：发现公式的特征
抛出问题：公式左右两边有什么特征或特点？公式的结构如何？
活动要求：小组讨论，一名代表回答结果。
预设学生回答1：左边和右边相等
预设学生回答2：左边是乘积的形式，右边是差的形式
预设学生回答3：左边是两数的和乘以两数的差，等于右边两数平方的差
预设学生回答4：左边的两个乘积中，第一个数相同，第二个数相反。
教师总结：两数和乘以这两数的差，（或两个仅两项相同、两项相反的二项式相乘）等于这两
数的平方差（这两个二项式中的相同项的平方减去相反项的平方）左右两边是相等关系。
北师大版七年级数学下册第一章《平方差公式(第1课时)》优课件
=(a2)2-(b2)2=a4-b4.……………………………………… 3分
【规律总结】 运用平方差公式进行计算的“三步法”
变形 将算式变形为两数和与两数差的积的形式
套公式 套用公式，将结果写成两数平方差的形式
计算
根据积的乘方计算.套用平方差公式时，结果为 (完全相同项)2-(互为相反数的项)2
【跟踪训练】
4.有三个连续的自然数，中间一个是x，则它们的积是_____. 【解析】它们的积是x·(x-1)·(x+1)=x3-x. 答案：x3-x
5.计算：(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1). (2)(x2-3y)(-x2-3y). 【解析】(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1) =(-0.3m)2-0.12=0.09m2-0.01. (2)(x2-3y)(-x2-3y)=(-3y+x2)(-3y-x2) =(-3y)2-(x2)2=9y2-x4.
1.计算(2a+b)(2a-b)的结果是( )
(A)4a2-b2
(B)b2-4a2
(C)2a2-b2
(D)b2-2a2
【解析】选A.(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
2.下列各式能用平方差公式计算的是( )
(A)(3a+b)(a-b)
(B)(-3a-b)(-3a+b)
(C)(3a+b)(-3a-b)
第1课时
1.计算下列各式： (1)(m+2)(m-2)=_m_2-_4_. (2)(1+x)(1-x)=_1_-_x_2 . (3)(2x+y)(2x-y)=_4_x_2_-_y_2 .
2.观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？ 答：上述各式的左边是二项式乘以二项式,即是两个数的_和__与 它们的_差__的乘积，结果等于这两数的_平__方__差__. 【归纳】两数_和__与这两数_差__的积,等于它们的__平__方__差_，即 (a+b)(a-b)=a_2_-b__2_. 【点拨】运用平方差公式进行运算时,要分清公式中的a，b分 别代表着什么.
北师大版七年级数学下册第一章《平方差公式(一)》公开课课件 (2)
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
( 1 x 1)
2 练一练
判断下面计算是否正确
（1）
1 (
x
1)( 1
x
1)
=
1
x2
1
（× ）
2
2
2
（2）(3x－y)(－3x+y)=9x2－y2 （× ）
（3）(m+n)(－m－n)=m2－n2 （× )
例1
利用平方差公式计算：
（1）(5+6x)(5－6x) （2）(x－2y)(x+2y) （3）(－： （1） (a+2)(a－2)
（2）(3a+2b)(3a－2b)
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。20 21/7/2 92021/ 7/29Thursday, July 29, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
北师大版七年级数学下册第一章《平方差公式(一)》优质课课件 (2)
5 平方差公式（第1课时）
知识回顾
1、多项式乘多项式法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式 的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加
（m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba
2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？ 请你举例说明。
探究规律
计算下列各题： （1）(x+2)(x－2) （2）(1+3a)(1－3a) （3）(x+5y)(x－5y) （4）(2y+z)(2y－z) 观平察方以差上公算式式：及其运算结果， 你(a有+什b)(么a−发b)现＝？a2−b2 再举两例验证你的发现。
( 1 x 1)
2 练一练
判断下面计算是否正确
（1）
1 (
x
1)( 1
x
1)
=
1
x2
1
（× ）
2
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
（2）(3x－y)(－3x+y)=9x2－y2 （× ）
（3）(m+n)(－m－n)=m2－n2 （× )
例1
利用平方差公式计算：
（1）(5+6x)(5－6x) （2）(x－2y)(x+2y) （3）(－m+n)(－m－n)
•
例2
利用平方差公式计算：
（1）( 1 x y) ( 1 x y)
4
4
（2）(ab+8)(ab－8)
练一练
利用平方差公式计算：
（1） (x 1 y)(x 1 y)
3
3
（2）(－mn+3)(－mn－3)
想一想
北师大版数学七年级下册第1课时 平方差公式的认识课件
D. (a – b – c)(– a + b + c)
解析：(– 3a + 4b)(– 4b – 3a) = (– 3a + 4b)(– 3a – 4b) = 9a2 – 16b2
3.下列计算结果正确的是( C ) A.(x + 2)(x – 2) = x2 – 2 x2 – 4 B.(x + 2)(3x – 2) = 3x2 – 4 3x2 + 4x – 4 C.(ab – c)(ab + c) = a2b2 – c2 D.(– x – y)(x + y) = x2 – y2 – x2 – y2 – 2xy
解（1）（3x + 7y）（3x – 7y） =（3x）2 –（7y）2 = 9x2 – 49y2
（2） （0.2x – 0.3）（0.2x + 0.3） =（0.2x）2 – 0.32 = 0.04x2 – 0.09
（3） （mn – 3n）（mn + 3n） =（mn）2 –（3n）2 = m2n2 – 9n2
=（an）2 – b2 = a2n – b2
（2）（a + 1）（a – 1）（a2 + 1）
解（2）（a + 1）（a – 1）（a2 + 1） = （a2 – 1）（a2 + 1） =（a2）2 – 1 = a4 – 1
随堂演练
1. 下列式子能用平方差公式计算吗?
① (– 3x + 2)(3x – 2) ② (b + 2a)(2a – b)
课堂小结
平方差公式 （a + b）（a – b）= a2 – b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
课后作业
北师大版七年级数学下册第一章《平方差公式(一)》优课件
【应用3】 判断正误： (5).( x 4)( x 4) x 2 16; √ (6)(2 y 1)(1 2 y) 4 y 2 1; × (7)(2 x3 5)(2 x3 5) 4 x9 25 . ×
【应用4】 填空：
(1).( x 6 y2 )( x 6 y2) x2 36 y4;
(2).( 2b 5a)(5a 2b) 4b2 25a2; (3).(3x (___2_y_))(___3_x 2 y) 4 y2 9x2; (4).若(x 2)( x 2)( x2 A) x4 16, 则A ___4__;
1、试用语言表述平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
2、应用平方差公式时要注意一些什么？
（1）运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相同的“项”和符号相反的“项”，然后应用公
式； （2）对于不符合平方差公式标准形式者，
要利用加法交换律，或提取两“−”号中的“−”号， 变成公式标准形式后，再用公式。
1.5平方差公式（一）
学习目标 : zxx``k
1、熟记平方差公式的结构特征 2、会运用平方差公式进行多项式的乘法运算
【自学探究】
1、回忆多项式乘多项式法则，并计算:
(1)( x 2 )( x 2 )
x2 4
( 2 )(1 3 a )(1 3 a ) 1 9 a 2
(3)(x 5 y)(x 5 y) x 2 2 5 y 2
【应用3】判断正误 (1).( 3 a bc )( 3 a bc ) 9 a 2 b 2 c 2 ; × ( 2 ).( 4 x 3b )( 4 x 3b ) 16 x 2 6 b 2 ; × (3).( 2 x 1)( 2 x 1) 4 x 2 1; √
北师大版七年级数学下册第一章《平方差公式(1)》公开课课件
本节课你的收获是什么？
（3分钟）
平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公
式；
当堂训练（15分钟）
本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解．
(4) (a−b)(a+b) ;
(能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ;
(5) (2x+y)(y−2x). (不能)
（6）(4a1)(4a1) （能）
作作业业
1、习题1.9知识技能第1题的（3）至（6） 2、课时先锋:做到P6完
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/42022/5/4May 4, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
学一学 例题解析
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
第一数a
平方
解: (1) (5+6x)(5−6x)= 52 − (6x)2
第二数b
平方
=25− 36x2 ;
(2) (x+22yy) (x−22yy)
习题1.9知识技能第1题的（1）、（2）
拓展练习
本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解．
北师大版七年级数学下册第一章《平方差公式》优质课课件
构
特(2) 公式右边是这两个数的平方差
征
(3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式．
练习 下列式子可用平方差公式计算 吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) (2)(a−b)(b−a) ;
在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/72022/5/7May 7, 2022 人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
2022/5/72022/5/7 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/72022/5/72022/5/75/7/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
我们，还在路上……
(3)(a+2b)(2b+a);
(4)(a−b)(a+b) ;(5)
总结升华
1.知识方面： 平方差公式的推导及应用， 特别注意公式的结构特点。
2.数学思想方面： （1）由特殊到一般思想； （2）归纳推理思想。
课堂评价
学科班长：1.回扣目标 总结收获 2.评出优秀小组和个人
课后完成训练题并整理巩固
初中数学七年级下（北师版）
第一章《整式的运算》
第七节平方差方差公式的推导， 并能运用公式进行简单的运算， 提高计算能力；
2.通过独立思考、小组合作， 总结平方差公式的应用技巧；
3.全力以赴，激情投入，提高 学习数学的兴趣。
北师大版七年级数学下册第一章《平方差公式(1)》公开课课件
习题1.9知识技能第1题的（1）、（2）
拓展练习
本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解．
下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够， 怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能) (第一个数不完全一样 )
(2) (a−b)(b−a) ;
(不能)
(3) (a+2b)(2b+a); (不能)
初识平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2
特征 结构
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数的和与差相乘； 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的第一项的平方 减去第二项的平方.
(3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式．
= x2− ( 2y )2
= x2 −4y2 ;
(3) (−m+nn)(−−mm−n )n = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
阅读
p20例2.
注意 当“第
一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积 要时用, 括号把这个数整
个括起来，再平方;
最后的结果 又要去掉括号。
自学检测
完成随堂练习（请4位同学到黑板解答）
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
学一学 例题解析
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
第一数a
平方
解: (1) (5+6x)(5−6x)= 52 − (6x)2