人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：1-2-2
合集下载
2.1 比较法 课件(人教A选修4-5)
应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把 等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解 决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利
用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，
常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填 空题则可用特殊值加以判断．
5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案： 乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案： 乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理 条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相 等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？
证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．
(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)<0. (2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0. ∴(a－b)(bn－an)<0. (3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.
[例1]
设△ABC的三边长分别是a、b、c，求证：
4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2. [思路点拨] 作差法证明，注意条件“在同一个三角形
中，任意两边之和大于第三边”的应用．
[证明] ∵a、b、c是△ABC的三边长．
∴a>0，b>0，c>0，且b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2 ＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2) ＝(b＋c－a)a＋(c＋a－b)b＋(a＋b－c)c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2.
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所 以直线 l 与 l1，l2，l3，…，lk 的交点共有 k 个． ∴f(k＋1)＝f(k)＋k kk－1 k2＋k ＝ ＋k＝ 2 2 kk＋1 k＋1[k＋1－1] ＝ ＝ . 2 2 ∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对一切 n∈N＋且 n≥2 成立．
1 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ － 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ， k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 从而可知，当 n＝k＋1 时，命题亦成立． 由(1)(2)可知，命题对一切正整数 n 均成立．
[悟一法] (1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准 确表述n＝n0时命题的形式，二是准确把握由n＝k到n＝k＋1 时，命题结构的变化特点．
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的 应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解 答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
3．数学归纳法中的两步的作用是什么？
提示：在数学归纳法中的第一步“验证n＝n0时，命题 成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础．第二步是归 纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可 以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数 也都成立．Fra bibliotek[研一题]
[例 1] 1 1 1 1 1 用数学归纳法证明：1－ ＋ － ＋…＋ － 2 3 4 2n－1 2n
线，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 1 即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝ k(k－3)(k≥4)． 2 当 n＝k＋1 时， k＋1 边形是在 k 边形基础上增加了一边， 凸 增加了一个顶点 Ak＋1，增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不
【新人教A版】高中数学选修4-5课件(全套)
a b 0 a b; a b 0 a b;a b 0 a b. 4
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一 定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
5
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”; 2、要会用自然语言描述上述基本性质； 3、上述基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础。
（1）1-x （2）x(1-x)
解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以 做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运 算。本题常见的错误是将取值范围扩大。
变式:设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的
取值范围.
10
例5、已知 1 a 0, A 1 a2 , B 1 a2 ,C 1 , D 1 ,
44
定理 设
a1, a2 , a3,..., an , b1, b2 , b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当 立。
b 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数k使得 i
24
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
(1)1618与1816; (2)
1
与2 n (n N* )
n1 n
（3）比较aa bb和ab ba的
【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.
25
作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
26
练习
1、若m 0,比较mm与2m的大小
2、选择题： 已知 a b ，在以下4个不等式中正确的是：
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一 定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
5
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”; 2、要会用自然语言描述上述基本性质； 3、上述基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础。
（1）1-x （2）x(1-x)
解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以 做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运 算。本题常见的错误是将取值范围扩大。
变式:设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的
取值范围.
10
例5、已知 1 a 0, A 1 a2 , B 1 a2 ,C 1 , D 1 ,
44
定理 设
a1, a2 , a3,..., an , b1, b2 , b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当 立。
b 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数k使得 i
24
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
(1)1618与1816; (2)
1
与2 n (n N* )
n1 n
（3）比较aa bb和ab ba的
【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.
25
作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
26
练习
1、若m 0,比较mm与2m的大小
2、选择题： 已知 a b ，在以下4个不等式中正确的是：
2.1 比较法 课件(人教A选修4-5)
法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对
差式进行分类讨论．
1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)； 证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)． 2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
ab 2
>0，
ab 2
∴
(ab )
＝a
ab 2
· b
ab 2
a ＝(b)
.
a 当 a＝b 时，显然有(b)
ab 2
＝1；
a－b a 当 a>b>0 时，b>1， >0，所以由指数函数单调 2 a 性，有(b)
ab 2
>1；
a－b a 当 b>a>0 时，0<b<1， <0，所以由指数函数的 2 a 单调性，有(b)
解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．
当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用 为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝
10＋1.2 x，
Q(x)＝8＋1.4x ∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)
1．作差比较法
(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔ a>b ，a－b<0⇔ a<b ， a－b＝0⇔ a＝b . (2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理， ③判定符号，④得出结论．
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能
够直接判定差的符号 ，常用的手段有：因式分解，配方，通 分，分子或分母有理化等．
2.1 比较法 课件(人教A选修4-5)
证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．
(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)<0. (2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0. ∴(a－b)(bn－an)<0. (3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.
a2－b2 a－b 证明：法一： 2 － a ＋b2 a＋b a－b[a＋b2－a2＋b2] ＝ a2＋b2a＋b 2aba－b ＝ 2 2 >0， a ＋b a＋b 所以原不等式成立．
法二：∵a>b>0，故 a2>b2>0. 故左边>0，右边>0. 左边 a＋b2 2ab ∴ ＝ 2 2 ＝1＋ 2 2>1. 右边 a ＋b a ＋b ∴原不等式成立．
方法二：a6＋b6－a4b2－a2b4
＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2) ＝(a2－b2)(a4－b4) ＝(a2－b2)2(a2＋b2) ∵a≠b，∴(a2－b2)2>0，a2＋b2>0.
∴(a2－b2)2(a2＋b2)>0.
∴a6＋b6>a4b2＋a2b4.
[例3]
甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，
ab 2
>1.
ab 2
综上可知，对任意实的不等式两端是乘积形式或幂指数形 式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果 需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负， 且最后结果与1比较．
a2－b2 a－b 3．设 a>b>0，求证： 2 . 2> a ＋b a＋b
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．
(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)<0. (2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0. ∴(a－b)(bn－an)<0. (3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.
a2－b2 a－b 证明：法一： 2 － a ＋b2 a＋b a－b[a＋b2－a2＋b2] ＝ a2＋b2a＋b 2aba－b ＝ 2 2 >0， a ＋b a＋b 所以原不等式成立．
法二：∵a>b>0，故 a2>b2>0. 故左边>0，右边>0. 左边 a＋b2 2ab ∴ ＝ 2 2 ＝1＋ 2 2>1. 右边 a ＋b a ＋b ∴原不等式成立．
方法二：a6＋b6－a4b2－a2b4
＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2) ＝(a2－b2)(a4－b4) ＝(a2－b2)2(a2＋b2) ∵a≠b，∴(a2－b2)2>0，a2＋b2>0.
∴(a2－b2)2(a2＋b2)>0.
∴a6＋b6>a4b2＋a2b4.
[例3]
甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，
ab 2
>1.
ab 2
综上可知，对任意实的不等式两端是乘积形式或幂指数形 式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果 需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负， 且最后结果与1比较．
a2－b2 a－b 3．设 a>b>0，求证： 2 . 2> a ＋b a＋b
粤教版人教a版高中数学选修4-5全册配套ppt课件.2
【典例】已知Sn=
1
1 2
1 3
1 n
(n>1,n∈N+),求证:
S2n＞1
n 2
(n≥2,n∈N+).
【解析】选D.根据题中条件可知:由f(k)≥k2,必能推 得f(k+1)≥(k+1)2,但反之不成立,因为D中f(4)=25>42, 故可推得k≥4时,f(k)≥k2,故只有D正确.
2.(2016·淮南高二检测)已知函数f(x)=
1 x2
e
1 x
(其中e
为自然对数的底数).证明:当x>0时,对任意正整数n都
22 32
22 1
【知识探究】 探究点 贝努利不等式 1.在应用贝努利不等式时应注意什么? 提示:在应用贝努利不等式时要注意应用条件x>-1,且 x≠0,n是大于1的自然数.
2.在利用数学归纳法证明贝努利不等式时n的初始值应 选什么? 提示:因为n为大于1的自然数,故n的初始值为2.
【归纳总结】 1.贝努利不等式成立的两个条件 一是x的范围是x>-1且x≠0,x∈R. 二是n为大于1的自然数.
所以f
2
1
2 2n
. 1
又
n2 n2
1 1
1
2， n2 1
所以要比较f(
2 )与
n2 1 的大小,只需比较2n与n2
n2 1
的大小即可,
当n=1时,21=2>12=1, 当n=2时,22=4=22, 当n=3时,23=8<32=9, 当n=4时,24=16=42, 当n=5时,25=32>52=25, 当n=6时,26=64>62=36.
2.1 比较法 课件(人教A选修4-5)
a2－b2 a－b 证明：法一： 2 － a ＋b2 a＋b a－b[a＋b2－a2＋b2] ＝ a2＋b2a＋b 2aba－b ＝ 2 2 >0， a ＋b a＋b 所以原不等式成立．
法二：∵a>b>0，故 a2>b2>0. 故左边>0，右边>0. 左边 a＋b2 2ab ∴ ＝ 2 2 ＝1＋ 2 2>1. 右边 a ＋b a ＋b ∴原不等式成立．
ab 2
>0，
ab 2
∴
(ab)
＝a
ab 2
· b
ab 2
a ＝(b)
.
a 当 a＝b 时，显然有(b)
ab 2
＝1；
a－b a 当 a>b>0 时，b>1， >0，所以由指数函数单调 2 a 性，有(b)
ab 2
>1；
a－b a 当 b>a>0 时，0<b<1， <0，所以由指数函数的 2 a 单调性，有(b)
4．如果a，b都是正数，且a≠b，
求证a6＋b6>a4b2＋a2b4.
a6＋b6 证明：方法一：∵ 2 ab ＋a2b4 a2＋b2a4－a2b2＋b4 ＝ a2b2a2＋b2 a4＋b4－a2b2 ＝ a2b2 2a2b2－a2b2 > ＝1. a2b2 又 a6＋b6>0，a4b2＋a2b4>0 ∴a6＋b6>a4b2＋a2b4
方法二：a6＋b6－a4b2－a2b4
＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2) ＝(a2－b2)(a4－b4) ＝(a2－b2)2(a2＋b2) ∵a≠b，∴(a2－b2)2>0，a2＋b2>0.
∴(a2－b2)2(a2＋b2)>0.
法二：∵a>b>0，故 a2>b2>0. 故左边>0，右边>0. 左边 a＋b2 2ab ∴ ＝ 2 2 ＝1＋ 2 2>1. 右边 a ＋b a ＋b ∴原不等式成立．
ab 2
>0，
ab 2
∴
(ab)
＝a
ab 2
· b
ab 2
a ＝(b)
.
a 当 a＝b 时，显然有(b)
ab 2
＝1；
a－b a 当 a>b>0 时，b>1， >0，所以由指数函数单调 2 a 性，有(b)
ab 2
>1；
a－b a 当 b>a>0 时，0<b<1， <0，所以由指数函数的 2 a 单调性，有(b)
4．如果a，b都是正数，且a≠b，
求证a6＋b6>a4b2＋a2b4.
a6＋b6 证明：方法一：∵ 2 ab ＋a2b4 a2＋b2a4－a2b2＋b4 ＝ a2b2a2＋b2 a4＋b4－a2b2 ＝ a2b2 2a2b2－a2b2 > ＝1. a2b2 又 a6＋b6>0，a4b2＋a2b4>0 ∴a6＋b6>a4b2＋a2b4
方法二：a6＋b6－a4b2－a2b4
＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2) ＝(a2－b2)(a4－b4) ＝(a2－b2)2(a2＋b2) ∵a≠b，∴(a2－b2)2>0，a2＋b2>0.
∴(a2－b2)2(a2＋b2)>0.
2.1 比较法 课件(人教A选修4-5)
证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．
(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)<0. (2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0. ∴(a－b)(bn－an)<0. (3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.
甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有
一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果
m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ [思路点拨] 先用m、n表示甲、乙两人走完全程所用
时间，再进行比较．
[解]
设从出发地点至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走
完这段路程所用的时间分别为 t1，t2 ，依题意有： t1 t1 m＋ n＝s， 2 2 s s ＋ ＝t . 2m 2n 2 sm＋n 2s ∴t1＝ ，t ＝ . 2mn m＋n 2 sm＋n 2s ∴t1－t2＝ － 2mn m＋n s[4mn－m＋n2] sm－n2 ＝ ＝－ . 2mnm＋n 2mnm＋n 其中 s，m，n 都是正数，且 m≠n， ∴t1－t2<0.即 t1<t2. 从而知甲比乙先到达指定地点．
ab 2
>0，
ab 2
∴
(ab)
＝a
ab 2
· b
ab 2
a ＝(b)
.
a 当 a＝b 时，显然有(b)
ab 2
＝1；
a－b a 当 a>b>0 时，b>1， >0，所以由指数函数单调 2 a 性，有(b)
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．
(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)<0. (2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0. ∴(a－b)(bn－an)<0. (3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.
甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有
一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果
m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ [思路点拨] 先用m、n表示甲、乙两人走完全程所用
时间，再进行比较．
[解]
设从出发地点至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走
完这段路程所用的时间分别为 t1，t2 ，依题意有： t1 t1 m＋ n＝s， 2 2 s s ＋ ＝t . 2m 2n 2 sm＋n 2s ∴t1＝ ，t ＝ . 2mn m＋n 2 sm＋n 2s ∴t1－t2＝ － 2mn m＋n s[4mn－m＋n2] sm－n2 ＝ ＝－ . 2mnm＋n 2mnm＋n 其中 s，m，n 都是正数，且 m≠n， ∴t1－t2<0.即 t1<t2. 从而知甲比乙先到达指定地点．
ab 2
>0，
ab 2
∴
(ab)
＝a
ab 2
· b
ab 2
a ＝(b)
.
a 当 a＝b 时，显然有(b)
ab 2
＝1；
a－b a 当 a>b>0 时，b>1， >0，所以由指数函数单调 2 a 性，有(b)
人教A版高中数学选修4-5课件：第一讲 不等式和绝对值不等式阶段复习课(共68张PPT)
日出时，努力使每一天都开心而有意义，不为别人，为自己。 如果惧怕前面跌宕的山岩，生命就永远只能是死水一潭。 不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。 成功永远属于那些爱拼搏的人。 被朋友伤害了和被陌生人伤了其实是一样的，别怀疑友情，人家不欠你的，但要提防背叛你的人。 如你想要拥有完美无暇的友谊，可能一辈子找不到朋友。 立志是事业的大门，工作是登门入室的旅程。 别拿自己的无知说成是别人的愚昧！ 行动不一定带来快乐，而无行动则决无快乐。 成功永远属于那些爱拼搏的人。 若现在就觉得失望无力，未来那么远你该怎么扛。 成功的秘密在于始终如一地忠于目标。 你不能左右天气，但你能转变你的心情。 人只要不失去方向，就不会失去自己。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。 如果惧怕前面跌宕的山岩，生命就永远只能是死水一潭。 世界上只有想不到的事，没有做不成的事；世界上只有想不通的人，没有走不通的路。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 加紧学习，抓