【高考数学】2018-2019学年数学高考一轮复习周周测训练：第7章三角函数、解三角形、平面向量

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2019年高考数学一轮：第7章第5节垂直关系学案文

第五节垂直关系[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．(对应学生用书第104页)[基础知识填充]1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任何直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oaαbα⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αlβ⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al⊥alβ⇒l⊥α1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．] 3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n ⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC[∵α∩β＝l，∴lβ.∵n⊥β，∴n⊥l.]4．如图751，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________. 【导学号：00090253】图7514[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC．因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．a[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a，∴A′C＝a22＋a22＝a，即折叠后AC的长(A′C)为A．](对应学生用书第105页)线面垂直的判定与性质如图⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：图752(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ．由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ．又PD 平面PCD ，∴AE ⊥PD ． ∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB ．又∵AB ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD 平面PAD ， ∴AB ⊥PD ．又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE . [规律方法]1．证明直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理． 2．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质．[变式训练1] 如图753所示，在四棱锥P ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．图753(1)证明：PH ⊥平面ABCD ； (2)证明：EF ⊥平面PAB ．[证明] (1)因为AB ⊥平面PAD ，PH 平面PAD ，所以PH ⊥AB ．因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD ．因为AB ∩AD ＝A ，AB ，AD 平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD ．(2)如图所示，取PA 的中点M ，连接MD ，ME .因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB ．又因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD ．因为PD ＝AD ，所以MD ⊥PA ．因为AB ⊥平面PAD ，所以MD ⊥AB ．因为PA ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB ．面面垂直的判定与性质DEF ABC AB DE G 分别为AC ，BC的中点．图754(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH . [证明] (1)如图所示，连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH .1分在三棱台DEF ABC 中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，由于HM平面FGH，BD平面FGH，故BD∥平面FGH. 5分(2)连接HE，GE，CD，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB．6分由AB⊥BC，得GH⊥BC．又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE. 10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH. 12分[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：[变式训练2] (2017·全国卷Ⅰ)如图755，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。

2019高考数学文一轮分层演练：第4章三角函数与解三角形第7讲 Word版含解析

一、选择题1.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．已知A 、B 两地间的距离为10 km ，B 、C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，所以AC ＝107(km)．3. 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B.依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：选B.设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.5．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A.设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.6．(2018·江西联考)某位居民站在离地20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33m B ．20(1＋3)m C ．10(2＋6)mD ．20(2＋6)m解析：选B.如图，设AB 为阳台的高度，CD 为小高层的高度，AE 为水平线．由题意知AB ＝20 m ，∠DAE ＝45°，∠CAE ＝60°，故DE ＝20 m ，CE ＝203m.所以CD ＝20(1＋3)m.故选B.二、填空题7.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝ABsin ∠ACB，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分)．答案：638.(2018·河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．解析：由题图知∠BAS ＝45°－30°＝15°，∠ABS ＝45°－15°＝30°，所以∠ASB ＝135°，在△ABS 中，由正弦定理可得1 000sin 30°＝AB sin 135°，所以AB ＝1 0002，所以BC ＝AB2＝1 000.答案：1 0009．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：10 3 10．(2018·福州综合质量检测)在距离塔底分别为80 m ，160 m ，240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.解析：设塔高为h m ，依题意得，tan α＝h 80，tan β＝h 160，tan γ＝h240.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝sin （90°－γ）sin γcos （90°－γ）cos γ＝cos γsin γsin γcos γ＝1，所以tan α＋tan β1－tan αtan β·tan γ＝1，所以h 80＋h1601－h 80·h 160·h240＝1，解得h ＝80，所以塔高为80 m.答案：80 三、解答题11.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.12.已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100 米和BN ＝200 米，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．解：在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，所以PM ＝1003，连接QM ，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，又PQ ＝1003，所以△PQM 为等边三角形，所以QM ＝100 3.在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200. 在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200，所以BQ ＝1005，cos θ＝55. 在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ ＝(1005)2，所以BA ＝100 5.即两发射塔顶A ，B 之间的距离是1005米．。

《高考真题》专题07 三角函数求值-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)

专题07 三角函数求值【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°= A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+ 故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= A ．15 BC．5D ．1【答案】B【解析】根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213⎛⎫=-=⋅-=αα，解得215a =，即5a =，所以25a b a a -=-=，故选B.【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知π(0)2∈，α，tan α=2，则πcos ()4α-= .【答案】10【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为π(0,)2α∈，所以cos αα==，因为πππcos()cos cossin sin 444ααα-=+，所以πcos()4525210α-=+⨯=. 【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【命题意图】通过考查三角恒等变换公式等相关知识，考查转化思想和运算求解能力. 【命题规律】一般在选择题或填空题中进行考查，分值5分，主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度，考查方程思想和运算求解能力.【答题模板】已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．【方法总结】1.深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵.如1±sin2α＝(sinα±cosα)2有并项的功能，cos2α＝cos2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcosα有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．2.余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的．3.三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．4.熟知一些恒等变换的技巧（1）公式的正用、逆用及变形用．（2）熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，3α是23α的半角，2α是4α的倍角等．（3）在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝πtan4，1＝sin2α＋cos2α等．（4）在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练18三角函数的图像与性质文北师大版

课时分层训练（十八）三角函数的图像与性质A 组基础达标（建议用时：30分钟）、选择题n=sin2 =1.]（2018 -长春模拟）下列函数中，最小正周期为 n 的奇函数是（）【导学号：00090094】C. y = sin 2 x + cos 2 xD. y = sin x + cos xB [A 项，y = sin 2x +专=cos 2 x ，最小正周期为 n ,且为偶函数，不符合题意;1.函数y = cos X —罟的定义域为（）2.B. |kC.D.nn — ：, k n +6.兀 c2k n —石，2k n + k €Z)k € Z)［由 cos x —丹0,得 cos x > 23」2k已知函数 f (x ) = sin j w x +-4 ( A.C.2 n［由题设知 n= nw7tx <2k n+6，k € Z.］w > 0）的最小正周期为 n ，所以 w = 2, f (x ) = sin i 2x + 7t，则 f8 =()，所以f nn.7t 7t=sin 2X+匚3. A.y = sinB. y = cos i 2x + " 2B项，y = cos i2x+ 2 =—sin 2 x，最小正周期为n，且为奇函数，符合题意；［由题意知兀,+ -6 = k n +~2( k € Z) ? 3 = 6k + 2( k € Z)，又 3 € N ,「. 3 min = 2,故选B.］5. (2017 •重庆二次适应性测试)若函数f (x ) = sin 3 x +； — cos 3 x ( 3 >0)的图像相邻两个对称中心之间的距离为-2，则f (x )的一个单调递增区间为()I 7t 7tB .—C 项，y = sin 2 x + cos 2 x = 2sin 2x +4，最小正周期为 n ，为非奇非偶函数，不符合题意;D 项，y = sin x + cos x = 2sin〉x +"4，最小正周期为2 n ，为非奇非偶函数，不符合题意.] 4.若函数 y =3 € N *)图像的一个对称中心是-6, 0 ,则3的最小值为A. B. 2 C.D. 8A.A ［依题意得 f (x ) = ^sin 3 x — 2cos3 x = sin 3 x ——的图像相邻两个对称中心之：2n = 2X n3 2=2 ,f (x ) = sin j 2x —才•当 2k n —寺<2 xjr间的距离为，于是有T =2 J Xi 1 —：<2k n + ：,即 k n — x < k n +夕，k € Z 时，f (x ) = sin i 2x — 单调递增.因 6 26 3 671D.【导学号：00090095】n3 n . nk n + -^ ( k € Z)［由 f (x ) = sin( — 2x ) = — sin 2x, 2k n +三<2 x <2 k n ++ "y ,牛得 k n + -y w x < k n + 34n(k € Z).］2 44此结合各选项知f (x ) = sin 2x — 6的一个单调递增区间为 K兀〕「 t6，y ，故选 A .]二、填空题6.函数 f (x ) = sin( - 2x )的单调增区间是k n717.已知函数f (x ) = 2sin( 3 x +© )，对于任意x 都有f ： + x = f i_ 6 — x ，则f 卡的值为n _••• x = 是函数f (x ) = 2sin( 3x +$ )的一条对称轴，6•••f I =± 2］2 所以f (x )的最小正周期T = -^ =-・ 4分2 3 3jr依题意，得一=n ，解得3 = 1・6分3(2)由(1)知 f (x ) = . 2sin 2x +-4 .函数y = sin x 的单调递增区间为|2k n —-^, 2k n+~2(k € Z). 8分由 2k n —牙W2 x + 亍W2 k n + "2(k € Z), /口 3n n 得 k n — x < k n + _( k € Z).8 8— 3 nT所以f (x )的单调递增区间为|k n —才,k n+专(k € Z) . 12分10.已知函数 f (x ) = (sin x + cos x )2+ cos 2 x .n 小,n k n n~8，0，k € Z ［由 2x + - = k n (k € Z)得，X =2 — -(k € Z),n-,0, k € Z.］三、解答题9. (2016 •北京高考)已知函数 f (x ) = 2sin 3 x cos 3 x + cos 2 3 x ( 3 >0)的最小正周期为n ・(1)求3的值;(2)求f (x )的单调递增区间.［解］ ⑴因为 f (x ) = 2sin 3 x cos 3 x + cos 2 3 x=sin 23 x + cos 2 3 x =“J2sin |23 x + -4 ,2或一2&函数y = tanx 轴交点的坐标是 •函数y = tan x 轴交点的坐标是(1)求f (x)的最小正周期;4(2)求f (x )在区间o , n 上的最大值和最小值.22t —［解］⑴ 因为 f (x ) = sin x + cos x + 2sin x • cos x + cos 2x = 1 + sin 2x + cos 2x = p 2 sin 2x + -4 + 1,3 分所以函数f (x )的最小正周期为 T = 2?=冗.6分⑵ 由⑴ 的计算结果知，f(x) = 2sin 2B 组能力提升 (建议用时：15分钟)n1. (2018 •郑州模拟)将函数f (x ) =— cos 2x 的图像向右平移丁个单位后得到函数 g (x ),4则g ( x )具有性质( )n最大值为1,图像关于直线x =n 对称2在0, -4上单调递减，为奇函数［由题意得函数g (x ) = — cos 2x — 2X n n=— sin 2x ，易知其为奇函数，由一专+ 2k n* n L, n x € I 0, T 时，2x + — €n 5 n ~4, ~4由正弦函数 yn nn .2x + —=—，即 x =—时,f (x )取最大值 2 + 1;c n 5 n 刨 n n ,2x +〒=* ,即 x= 3 时,f (x )取1,最小值为0. 12分A.B. C.3n8 , n I-上单调递增，为偶函数D. 周期为n ，图像关于点普，0对称n nnV 2x V — + 2k n, k € Z 得一—+ k nV x V ~ + k n, k € Z ,所以函数 g (x ) =— sin 2 xnniini—4 + k n , — + k n ,k € Z 所以函数 g (x ) =— sin 2x 在 i O ,匸上7t的单调递减区间为是减少的，故选B.］2.设f (x ) = 3sin 3 x + cos 3 x ,若对任意实数 x 都有|f (x )| < a,则实数a 的取值范围是【导学号：00090096】[2, + oo )[••• f (x ) = 3sin 3 x + cos 3 x = 2sin Ux +恒成立，••• a >|l (x )| max , ・・ a > 2.](1)求当f (x )为偶函数时0的值;［解］T f (x )的最小正周期为 n , 则 T = 2S= n ,・ 3= 2,CO・ f (x ) = sin(2 x + 0 ).2 分(1)当 f (x )为偶函数时，f ( — x ) = f (x ), •- sin( — 2x + 0 ) = sin(2 x + 0 ), 将上式展开整理得 sin 2 x cos 0 = 0, 由已知上式对任意 x € R 都成立， …cos⑵f (x )的图像过点丐，于时，si nj2x~6 + 0 =-23 即 sin i y+ 0= _23.2 n n n又••• 0< 0 < 厂,• y <§ + 0 < n ,n-g € [ — 2,2].又•/ |f (x )| W a 3.已知函数 f (x ) = sin( o x + 0 ) |0< 02 n<可的最小正周期为 n .⑵若f (x )的图像过点n 2 n •亍+0=三 n0=3，・ f (x ) = sin f (x )的单调递增区间.求2x +n n n令2k n —y<2x + — <2 k n + —, k€ Z,/口 5 n n得k n—pw x < k n + 12，k€ Z,••• f（X）的单调递增区间为|k n12，k n+ 12 L k€ 乙12 分11。

2019版高考数学一轮复习训练：第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形课时训练

2
阴影部分所示
) ．∴ x ∈
2k
π
＋π6
，
2k π
＋
5π 6
(k ∈ Z) ．
6. 若 420°角的终边所在直线上有一点 ( －4， a) ，则 a 的值为 ________．
答案：－ 4 3
a 解析：由三角函数的定义有 tan 420 °＝－ 4. 又 tan 420 °＝ tan (360 °＋ 60° ) ＝ tan
x
2＋
，所以 16
1
x
5x＝
2 ，解得 x ＝－ 3，所以 tan x ＋16
α
44
＝
x＝－
. 3
5. 函数 y＝ 2sin x － 1的定义域为 ________．
答案：
2k
π
＋
π 6
，
2k
π
＋5π6
(k ∈ Z)
1 解析：∵ 2sin x－1≥0，∴ sin x≥ . 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 ( 如图
3
3
坐标 xA＝－ 5. 由三角函数的定义可得 cos α ＝－ 5.
sin α － cos α 3. 已知角 α 的终边经过点 P(2 ，－ 1) ，则 sin α ＋ cos α ＝ ________．
答案：－ 3
1
2
sin α－ cos α
解析：由题意得
sin
α ＝－
，cos α ＝ 5
，所以 5
5
5
5
5
22 ∴ 2sin α ＋ cos α ＝或－ .
55
9. 已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是 __________ ． 2

2019届高考数学一轮复习第3单元三角函数解三角形听课学案理20180713445

第三单元三角函数、解三角形第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课前双击巩固1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S= .2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.(2)公式:角α的弧度数的绝对|α|=(弧长用l表示)值角度与弧度的换算①1°= rad,②1 rad=°弧长公式弧长l=扇形面积公式S=lr=|α|r23.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α的、和.图3-16-1常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角题组一常识题1.[教材改编]终边在射线y=-x(x<0)上的角的集合是.2.[教材改编](1)67°30'= rad;(2)=°.3.[教材改编]半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角α的弧度数是.4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tan α=.题组二常错题◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.5.在△ABC中,若sin A=,则A= .6.已知点P(sin α-cos α,tan α)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围是.7.已知角α的终边落在直线y=-3x上,则-= .8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm,则扇形的面积为cm2.课堂考点探究探究点一角的集合表示及象限角的判定1 (1)设集合M=x x=·180°+45°,k∈Z,N=x x=·180°+45°,k∈Z,那么()A.M=NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N=⌀(2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是.图3-16-2[总结反思] 把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限.式题 (1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.(2)若角α的终边在x轴的上方,则是第象限角.探究点二扇形的弧长、面积公式2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是.(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是.[总结反思] 应用弧度制解决问题的方法:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.式题 (1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A. B. C.-D.-(2)圆内接矩形的长宽之比为2∶1,若该圆上一段圆弧的长等于该内接矩形的宽,则该圆弧所对圆心角的弧度数为.探究点三三角函数的定义考向1三角函数定义的应用3 (1)[2017·西安一模]函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图像过定点P,且角α的终边过点P,则sin α+cos α的值为()A.B.C.D.(2)[2017·北京卷]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=.[总结反思] 三角函数定义主要应用于两方面:(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.考向2三角函数值的符号判定4 (1)使lg(sin θ·cos θ)+有意义的θ为()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)若角α的终边落在直线y=-x上,则+= .[总结反思] 要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解.考向3三角函数线的应用5 函数f(x)=+ln sin x-的定义域为.[总结反思] 利用三角函数线解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x≥b,cos x≥a,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.强化演练1.【考向1】点P从点,-出发,沿单位圆按逆时针方向运动后到达Q点,若α的始边在x轴的正方向上,终边在射线OQ上,则sin α=()A.1B.-1C.D.-2.【考向2】已知角α的终边在第一象限,点P(1-2a,2+3a)是其终边上的一点,若cos α>sin α,则实数a的取值范围是.3.【考向3】满足cos α≤-的角α的集合为.第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课前双击巩固1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.(2)商数关系:.2.诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角α+2kπ(k∈Z)π+α-απ-α-α+α正弦sinαsinαcosαcosα余弦cosαcosαsinα正切tanα-tanα口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限常用结论1.sin(kπ+α)=(-1)k sin α.2.在△ABC中:(1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C;(2)sin =cos ,cos =sin .题组一常识题1.[教材改编]已知cos α=,且α是第四象限角,则sin α的值为.2.[教材改编]已知=-5,那么tan α的值为.3.[教材改编]已知sin α=,则cos= .4.[教材改编]求值:sin(-1200°)·cos 1290°= .题组二常错题◆索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;kπ±α形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错.5.已知△ABC中,=-,则cos A等于.6.已知cosπ+α=-,且α是第四象限角,则cos(-3π+α)= .7.已知=5,则sin2α-sin αcos α=.8.已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是.课堂考点探究探究点一三角函数的诱导公式1 (1)已知f(α)=,则f= ()A.B.C.D.-(2)[2017·邢台一中月考]已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是()A.B.C.-D.-[总结反思] (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.式题 (1)[2017·龙岩六校联考] sin 300°+tan 600°的值是()A.-B.C.-+D.+(2)若sin-α=,则cos+α= .探究点二同角三角函数的基本关系考向1切弦互化2 (1)[2017·亳州三模]已知x∈,π,tan x=-,则cos-x-等于()A.B.-C.-D.(2)[2017·江西重点中学一联]设0<α<π,且sinα+=,则tanα+的值是()A.B.-C.D.-[总结反思] 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系tan α=和平方关系1=sin2α+cos2α.考向2“1”的变换3 (1)[2017·常德一中期中]已知tan x=2,则2sin2x-sin x cos x+cos2x的值为.(2)[2017·桂林模拟]已知sin x-cos x=,x∈0,,则tan x= .[总结反思] 对于含有sin2x,cos2x,sin x cos x的三角函数求值题,一般可以考虑添加分母1,再将1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子,从而求解.考向3和积转换4 若sin α+cos α=-,0<α<π,则sin+α·cos-α的值为.[总结反思] 对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α可以达到转换、知一求二的目的.强化演练1.【考向1】已知cos x+sin x=,x∈(0,π),则tan x等于()A.-B.-C.2D.-22.【考向2】若tan α=2,则4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=.3.【考向3】若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为.第18讲三角函数的图像与性质课前双击巩固正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中k∈Z)函数y=sin x y=cos x y=tan x图像定义域R Rx x∈R,且x≠kπ+,k∈Z值域周期性2π2ππ奇偶性奇函数单调性2kπ-,2kπ+上为增函数;上为减函数[2kπ,2kπ+π]上为减函数;上为增函数kπ-,kπ+上为增函数对称中心kπ+,0,0对称轴x=kπ+无常用结论1.函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y=A sin ωx或y=A tan ωx的形式,偶函数一般可化为y=A cos ωx+b的形式.题组一常识题1.[教材改编]函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是.2.[教材改编]若函数y=A sin x+1(A>0)的最大值是3,则它的最小值是.3.[教材改编]函数y=2cos x在[-π,0]上是函数,在[0,π]上是函数.4.[教材改编]函数f(x)的定义域为[0,1],则f(cos x)的定义域为.题组二常错题◆索引:忽视y=A sin x(或y=A cos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视限制条件.5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是.6.函数y=cos x tan x的值域是.7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为.8.设sin x+sin y=,则M=sin x+sin2y-1的最大值与最小值分别为.课堂考点探究探究点一三角函数的定义域1 (1)函数f(x)=+tan x+的定义域是.(2)函数y=lg(sin x)+的定义域为.[总结反思] 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式(组), 借助三角函数线或三角函数图像来求解.式题 (1)函数y=的定义域为.(2)函数f(x)=-2tan2x+的定义域是.探究点二三角函数的值域或最值2 (1)函数y=2sin-(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ()A.2-B.0C.-1D.-1-(2)函数y=cos 2x+2cos x的值域是()A.[-1,3]B.C.D.[总结反思] 常见三角函数值域(最值)问题的求解方法:①形如y=a sin x+b cos x+c的三角函数,化为y=A sin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);②形如y=a sin2x+b sin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数求值域(最值);③形如y=a sin x cos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可设t=sin x±cos x,化为关于t 的二次函数求值域(最值).式题 (1)函数y=|sin x|+sin x的值域为()A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,2](2)函数y=cos x-sin x+4sin x cos x的最大值是.探究点三三角函数的性质考向1三角函数的周期性3 (1)[2017·淮北一中期中]函数f(x)=sin3x+的最小正周期是.(2)下列函数中,周期为的偶函数为 ()A.y=sin 4xB.y=cos 2xC.y=tan 2xD.y=sin-4x[总结反思] 对于函数y=A sin(ωx+φ)+k或y=A cos(ωx+φ)+k,其最小正周期T=.考向2三角函数的对称性4 (1)函数y=2sin2x+的图像()A.关于原点对称B.关于点-,0对称C.关于y轴对称D.关于直线x=对称(2)[2017·潍坊三模]若直线x=π和x=π是函数y=cos(ωx+φ)(ω>0)图像的两条相邻对称轴,则φ的一个可能取值为()A.B.C. D.[总结反思] (1)对于函数y=A sin(ωx+φ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:①若函数图像相邻两条对称轴分别为x=a与x=b,则周期T=2|b-a|;②若函数图像相邻两对称中心分别为(a,0),(b,0),则周期T=2|b-a|;③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则周期T=4|b-a|.考向3三角函数的单调性5 (1)[2017·衡阳八中期中]在下列给出的函数中,以π为周期且在0,上是减函数的是()A.y=cosB.y=cos(-2x)C.y=sinD.y=tan(2)已知ω>0,函数f(x)=cosωx-在,π上单调递减,则ω的取值范围是()A.B.C.D.(0,2][总结反思] (1)形如y=A sin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图像利用y=sin x的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.强化演练1.【考向2】[2017·三明质检]已知函数f(x)=sin(x+φ)-cos(x+φ)|φ|<的图像关于直线x=π对称,则cos 2φ=()A.-B.-C.D.2.【考向1】函数f(x)=2cos2x--1是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数3.【考向2】如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点,0中心对称, 那么|φ|的最小值为()A. B.C. D.4.【考向3】函数f(x)=sin-2x+的单调递减区间为.第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课前双击巩固1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)AT=f==2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=A sin(ωx+φ) 0 A0 -A03.函数y=sin x的图像经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变, 纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin,则原函数的解析式是.3.[教材改编]若函数f(x)=sin ωx(0<ω<2)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则ω=.4.[教材改编]已知简谐运动f(x)=2sin x+φ的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为.题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向平移个单位长度.6.设ω>0,若函数f(x)=sin cos 在区间上单调递增,则ω的取值范围是.7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m= .8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-2所示,则φ=.图3-19-2课堂考点探究探究点一函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换1 (1)[2016·全国卷Ⅰ]将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()A.y=2sin2x+B.y=2sin2x+C.y=2sin2x-D.y=2sin2x-(2)[2018·安徽江南十校联考]函数y=cos 2x的图像可以由函数y=sin 2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度[总结反思] 由y=sin x的图像变换到y=A sin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx 加减多少值.式题 (1)[2017·雅安三诊]把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移个单位长度,所得图像的函数解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin(2)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度探究点二函数y=A sin(ωx+φ)的图像与解析式2 (1)[2017·马鞍山三模]已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3(2)已知函数f(x)=M sin(ωx+φ)M>0,|φ|<的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A为图像的一个最高点),B-,0,则函数f(x)= .图3-19-4[总结反思] 利用图像求函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且A,1,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质3 (1)[2017·惠州模拟]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后所得图像过点P(0,1),则函数f(x)=sin(ωx+φ) ()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增(2)[2017·西宁二模]函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图像的一条对称轴为()图3-19-6A.x=B.x=-C.x=2D.x=1[总结反思] 求y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的一般步骤.(1)求A,B.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求ω.确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题 [2017·长安一中质检]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-7所示,若f(0)=,且·=-8,B,C分别为最高点与最低点.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四三角函数模型的简单应用4 有一个半径为4 m的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O距离水面2 m,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P从水中浮现(即到达图中点P0)时开始计时.(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P距水面的高度超过4 m.图3-19-8[总结反思] (1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=A sin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)把实际问题“翻译”为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,最后把数学结论“翻译”为实际问题的答案.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的月平均气温为℃.第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切课前双击巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)= .(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.(3)公式T(α±β):tan(α±β)= .常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.二倍角余弦公式的变形:sin2α=,cos2α=.3.一般地,函数f(α)=a sin α+b cos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ).题组一常识题1.[教材改编] sin 75°的值为.2.[教材改编]已知cos α=-,α∈,则sinα+的值是.3.[教材改编] cos 65°cos115°-cos 25°·sin 115°= .4.[教材改编]已知tan α=,tan β=-2,则tan(α-β)的值为.题组二常错题◆索引:忽略角的范围,用错公式的结构;用错两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.5.已知tan+α=,α∈,π,则cos α的值是.6.化简:sin x-cos x= .7.计算:= .8.若α+β=,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为.课堂考点探究探究点一两角和与差的三角函数公式1 (1)若sin(α+β)=2sin(α-β)=,则sin αcos β的值为()A.B.-C.D.-(2)[2017·惠州模拟]已知α∈0,,cosα+=-,则cos α=.[总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.式题 (1)[2017·德州二模]已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,那么β=()A.B.C. D.(2)[2017·肇庆二模]已知tan α,tan β分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)= .探究点二两角和与差公式的逆用与变形2 (1)[2017·常德一中期中]已知sin α+cos β=,sin β-cos α=,则sin(α-β)= .(2)[2017·长沙三模]已知α-β=,tan α-tan β=3,则cos(α+β)的值为.[总结反思] 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tan α±tanβ=tan(α±β)(1∓tan αtan β);(2) a sin α+b cos α=sin(α+φ)tan φ=.式题 (1)[2017·淮北一中期中] sin 42°cos18°-cos 138°cos72°= . (2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)= .探究点三角的变换问题3 (1)[2017·宜春四校联考]已知tan(α+β)=,tanβ-=,则的值为()A.B.C.D.(2)[2017·龙岩六校联考]已知<α<,0<β<,cos+α=-,sin+β=,则sin(α+β)的值为.[总结反思] 常见的角变换:±2α=2±α,2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=--α等.式题 (1)已知tan α=,tan(α-β)=-,那么tan(2α-β)的值为()A.-B.C.-D.(2)[2017·运城模拟]已知α为锐角,若sinα-=,则cosα-=()A.B.C. D.第21讲二倍角公式与简单的三角恒等变换课前双击巩固1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin 2α=.(2)公式C2α:cos 2α== = .(3)公式T2α:tan 2α=.2.常用的部分三角公式(1)1-cos α=,1+cos α=.(升幂公式)(2)1±sin α=.(升幂公式)(3)sin2α=,cos2α=,tan2α=.(降幂公式)(4)sin α=,cos α=,tan α=.(万能公式)(5)a sin α+b cos α=,其中sin φ=,cos φ=.(辅助角公式)3.三角恒等变换的基本技巧(1)变换函数名称:使用诱导公式.(2)升幂、降幂:使用倍角公式.(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.常用结论半角公式:sin =±,cos =±,tan =±==.题组一常识题1.[教材改编] sin 15°-cos 15°的值是.2.[教材改编]已知f(x)=sin2x-(x∈R),则f(x)的最小正周期是.3.[教材改编]已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β的值为.4.[教材改编]已知sin θ=,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为.题组二常错题◆索引:求三角函数值时符号的选取(根据求解目标的符号确定);已知三角函数值时求角的范围;a sin α+b cos α=sin(α+φ)中φ值的确定.5.sin 112.5°= .6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=,则α+β=.7.化简sin α-cos α=sin(α+φ)中的φ=.8.已知sin 2α=,2α∈0,,则sin α-cos α=.课堂考点探究探究点一三角函数式的化简1 (1)+=()A.2sin 3B.-2sin 3C.2cos 3D.-2cos 3(2)[2017·重庆一中段考]已知α∈R,则函数f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)的最大值为.[总结反思] (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升幂的作用.(3)当角α的终边在直线y=x的上方区域时,sin α>cos α;当角α的终边在直线y=x的下方区域时,sin α<cos α.式题 [2017·合肥一模]已知sin 2α-2=2cos 2α,则sin2α+sin 2α=.探究点二三角函数式的求值考向1给值求值2 (1)[2017·厦门一中模拟]已知cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos= .(2)已知cos x-=,则cos2x-+sin2-x的值为()A.-B.C.D.-[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.考向2给角求值3 求值:=()A.1B.2C.D.[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.考向3给值求角4 已知<α<π,-π<β<0,tan α=-,tan β=-,求2α+β的值.[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为-,,则选正弦较好.强化演练1.【考向1】[2017·郑州质量预测]已知cosπ-2θ=-,则sin+θ的值等于()A.B.±C.-D.2.【考向3】[2018·六安一中月考]若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,π,β∈π,则α+β的值是()A.B.C.或 D.或3.【考向1】[2017·黄冈期末]若=,则tan 2α等于.4.【考向2】[2017·淮北第一中学期中]= .探究点三三角恒等变换的综合应用5 [2017·赣州二模]已知函数f(x)=sin ωx cos ωx-cos2ωx+(ω>0)图像的两条相邻对称轴之间的距离为.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若函数y=f(x)-在(0,π)上的零点为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.[总结反思] (1)求三角函数解析式y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号.式题已知函数f(x)=2sin x(cos x-sin x).(1)求函数f(x)在-,上的值域;(2)在△ABC中,f(C)=0,且sin B=sin A sin C,求tan A的值.第22讲正弦定理和余弦定理课前双击巩固1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式= ==2R(其中R是△ABC的外接圆的半径)a2= ,b2= ,c2=定理的变形a=2R sinA,b= ,c=,a∶b∶c=cos A= ,cos B= ,cos C=2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数3.三角形面积公式(1)S=ah(h表示边a上的高);(2)S=bc sin A=ac sin B=ab sin C;(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;变形:=-.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin =cos ;(4)cos =sin .3.三角形中的射影定理在△ABC中,a=b cos C+c cos B;b=a cos C+c cos A;c=b cos A+a cos B.题组一常识题1.[教材改编]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于.2.[教材改编]在△ABC中,已知a=5,b=2,C=30°,则c= .3.[教材改编]在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于.4.[教材改编]在△ABC中,已知a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为.题组二常错题◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为;若sin A>sin B,则A,B的关系为.6.在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B等于.7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC的面积等于.8.在△ABC中,角A,B,C满足sin A cos C-sin B cos C=0,则三角形的形状为.课堂考点探究探究点一利用正弦﹑余弦定理解三角形1 [2017·成都三诊]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2b cos A.(1)求角B的大小;(2)若b=2,求a+c的最大值.[总结反思] (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.式题 (1)[2017·合肥二模]在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=,则b2+c2的取值范围是()A.(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)[2017·天津南开区三模]如图3-22-1,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为.图3-22-1探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状2 [2017·襄阳五中一模]如图3-22-2所示,图3-22-2在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.[总结反思] 判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.式题在△ABC中,若sin A=2cos B sin C,则△ABC的形状是.探究点三与三角形面积有关的问题3[2017·山西吕梁一模]已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin A sin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.[总结反思] (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.第23讲正弦定理和余弦定理的应用。

2019高考数学一轮复习第四章基本初等函数Ⅱ(三角函数)45解三角形练习理

地地道道的达到§4.5 解三角形考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型展望热度1. 正弦定掌握正弦定理、余弦定理,2017 山东 ,9;2017 浙江 ,14;2017 天津 ,15;2017 北京 ,15; 选择题理和余弦并能解决一些简单的三角掌握★★★2016 课标全国Ⅱ ,13; 填空题定理形胸怀问题2016 天津 ,3;2015 天津 ,13可以运用正弦定理、余弦定2017 课标全国Ⅱ ,17;2. 正、余弦2017 课标全国Ⅲ ,17; 2017 江苏 ,18;理等知识和方法解决一些定理的应掌握2016 课标全国Ⅲ ,8; 解答题★★★与丈量和几何计算有关的用2016 山东 ,16;2016 浙江 ,16;实质问题2015 湖北 ,13剖析解读 1. 利用正弦定理、余弦定理解三角形或许求解平面几何图形中有关量的问题, 需要综合应用两个定理及三角形有关知识 .2. 正弦定理和余弦定理的应用比较宽泛, 也比较灵巧 , 在高考取常与面积或取值范围联合进行考察 .3. 会利用数学建模思想, 联合三角形的知识, 解决生产实践中的有关问题 .五年高考考点一正弦定理和余弦定理1.(2017 山东 ,9,5 分 ) 在△ ABC中 , 角 A,B,C 的对边分别为a,b,c. 若△ ABC为锐角三角形 , 且知足 sin B(1+2cosC)=2sin Acos C+cos Asin C,则以下等式建立的是( )A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案 A2.(2016 天津 ,3,5 分 ) 在△ ABC中, 若 AB=,BC=3,∠C=120°, 则 AC=( )A.1B.2C.3D.4答案 A3.(2017 浙江 ,14,5 分 ) 已知△ ABC,AB=AC=4,BC=2点. D 为 AB 延伸线上一点 ,BD=2, 连结 CD,则△ BDC 的面积是,cos ∠BDC= .答案 ;4.(2016 课标全国Ⅱ ,13,5 分) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 cos A=,cos C=,a=1, 则 b= . 答案5.(2017 天津 ,15,13 分 ) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 a>b,a=5,c=6,sin B=.(1)求 b 和 sin A 的值 ;(2)求 sin 的值 .分析(1) 在△ ABC中 , 因为 a>b, 所以由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理, 有 b2 =a2+c2-2accos B=13,所以 b=.由正弦定理 =, 得 sin A==.所以 ,b 的值为 ,sin A的值为.(2) 由 (1) 及 a<c, 得 cos A=,2所以 sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin A=-.故 sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.6.(2017北京,15,13分)在△ ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求 sin C 的值 ;(2)若 a=7, 求△ ABC的面积 .呵呵复生复生复生分析(1) 在△ ABC中 , 因为∠ A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C== ×=.(2) 因为 a=7, 所以 c=×7=3.由余弦定理 a2=b2+c2 -2bccos A 得 72=b2+32- 2b×3×,解得 b=8 或 b=-5( 舍 ).所以△ ABC的面积 S=bcsin A= ×8×3×=6.教师用书专用 (7 — 21)7.(2013 辽宁 ,6,5 分 ) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 asin Bcos C+csin Bcos A=b, 且 a>b, 则∠B=( )A. B. C. D.答案 A8.(2013 天津 ,6,5 分 ) 在△ ABC中, ∠ABC=,AB=,BC=3,则 sin ∠BAC=( )A. B. C. D.答案 C9.(2013 湖南 ,3,5 分 ) 在锐角△ ABC中 , 角 A,B 所对的边长分别为a,b. 若 2asin B=b, 则角 A等于( )A. B. C. D.答案 D10.(2015 天津 ,13,5 分 ) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c. 已知△ ABC的面积为 3,b-c=2,cos A=-, 则 a 的值为.答案811.(2015 重庆 ,13,5 分 ) 在△ ABC中,B=120°,AB=,A 的角均分线 AD=,则 AC= .答案12.(2015 广东 ,11,5 分 ) 设△ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 a=,sin B=,C=, 则 b= .答案 113.(2015 福建 ,12,4 分 ) 若锐角△ ABC 的面积为 10, 且 AB=5,AC=8, 则 BC等于.答案714.(2014 广东 ,12,5 分 ) 在△ ABC中 , 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 bcos C+ccos B=2b, 则 = . 答案 215.(2014 天津 ,12,5 分 ) 在△ ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c. 已知 b-c=a,2sin B=3sin C, 则 cos A 的值为.答案-16.(2014 福建 ,12,4 分 ) 在△ ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ ABC 的面积等于.答案 217.(2013 安徽 ,12,5 分 ) 设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为a,b,c. 若 b+c=2a,3sin A=5sin B, 则角C= .答案π18.(2013 浙江 ,16,4 分 ) 在△ ABC中, ∠C=90°,M 是 BC的中点 . 若 sin ∠BAM=,则 sin ∠B AC= .答案19.(2014 辽宁 ,17,12 分) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 a>c. 已知· =2,cos B=,b=3. 求 :(1)a 和 c 的值 ;(2)cos(B-C) 的值 .分析(1) 由· =2 得 c·acos B=2,又 cos B=, 所以 ac=6.由余弦定理 , 得 a2+c2=b2+2accos B.又 b=3, 所以 a2+c2=9+2×2=13.解得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.因 a>c, 所以 a=3,c=2.(2) 在△ ABC中 ,sin B===,由正弦定理 , 得 sin C=sin B= ×=.因 a=b>c, 所以 C 为锐角 ,所以 cos C===.于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.20.(2013山东,17,12分)设△ ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.(1)求 a,c 的值 ;(2)求 sin(A-B) 的值 .分析(1) 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又 b=2,a+c=6,cos B=, 所以 ac=9, 解得 a=3,c=3.(2) 在△ ABC中 ,sin B==,由正弦定理得 sin A==.因为 a=c, 所以 A 为锐角 , 所以 cos A==.所以 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.21.(2013 重庆 ,20,12 分) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 且 a2+b2+ab=c2.(1) 求 C;(2) 设 cos Acos B=,=, 求 tan α的值 .分析 (1) 因为 a2+b2+ab=c2,由余弦定理有 cos C===-,故 C=.(2) 由题意得=,所以 (tan α sin A-cos A)(tan2α (sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos αsin B-cos B)=,tan α sin Asin B-tanB=,tan 2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=. ①因为 C=,A+B=, 所以 sin(A+B)=,因为 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得sin Asin B=-=.2解得 tanα =1或tanα=4.考点二正、余弦定理的应用1.(2016课标全国Ⅲ ,8,5分)在△ ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则 cos A=()A. B. C.- D.-答案 C2.(2017课标全国Ⅱ ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求 cos B;(2)若 a+c=6, △ABC 的面积为 2, 求 b.分析此题考察了三角公式的运用和余弦定理的应用.2(1) 由题设及A+B+C=π得 sin B=8sin , 故 sin B=4(1-cos B).2上式两边平方, 整理得 17cos B-32cos B+15=0,解得 cos B=1( 舍去 ),cos B=.(2) 由 cos B= 得 sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.又 S△ABC=2, 则 ac=.由余弦定理及a+c=6 得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×× =4.所以 b=2.3.(2016浙江,16,14分)在△ ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明 :A=2B;(2)若△ ABC的面积 S=, 求角 A 的大小 .分析(1) 由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是 sin B=sin(A-B).又 A,B∈(0, π ), 故 0<A-B<π , 所以 ,B= π -(A-B) 或 B=A-B,所以 A=π ( 舍去 ) 或 A=2B,所以 ,A=2B.(2) 由 S=得 absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因 sin B ≠0, 得 sin C=cos B.又 B,C∈(0, π ), 所以 C=±B.当 B+C=时 ,A=; 当 C-B=时,A=.综上 ,A= 或 A=.4.(2016山东,16,12分)在△ ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.(1)证明 :a+b=2c;(2)求 cos C 的最小值 .分析(1) 证明 : 由题意知2=+,化简得 2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即 2sin(A+B)=sin A+sin B.因为 A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sin( π -C)=sin C.进而 sin A+sin B=2sin C. 由正弦定理得 a+b=2c.(2) 由 (1) 知 c=,所以 cos C===- ≥,当且仅当 a=b 时, 等号建立 . 故 cos C 的最小值为 .教师用书专用 (5 — 16)a,b,c. 若 c2=(a-b) 2+6,C=, 则△ ABC 的面积是5.(2014 江西 ,4,5 分 ) 在△ ABC 中 , 内角 A,B,C 所对的边分别是( )A.3B.C. D.3答案 C6.(2014 重庆 ,10,5 分 ) 已知△ ABC 的内角 A,B,C 知足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+, 面积 S 知足 1≤S≤2, 记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边 , 则以下不等式必定建立的是 ( )A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案 A7.(2015 湖北 ,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到 A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 30°的方向上 , 行驶 600 m 后抵达 B 处 , 测得此山顶在西偏北 75°的方向上 , 仰角为 30°, 则此山的高度 CD= m.答案1008.(2013福建,13,4分)如图,在△ ABC中,已知点 D 在 BC 边上 ,AD⊥AC,sin ∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD 的长为.呵呵复生复生复生答案9.(2017江苏,18,16分)如图,水平搁置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为 10 cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm 和 62 cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12 cm. 现有一根玻璃棒l, 其长度为40 cm.( 容器厚度、玻璃棒粗细均忽视不计)(1) 将 l 放在容器Ⅰ中,l的一端置于点 A 处, 另一端置于侧棱CC1上 , 求 l 没入水中部分的长度;(2) 将 l 放在容器Ⅱ中,l的一端置于点 E 处, 另一端置于侧棱GG1上 , 求 l 没入水中部分的长度.分析(1) 由正棱柱的定义,CC1⊥平面 ABCD,所以平面 A1ACC1⊥平面 ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点 M处 .因为 AC=10,AM=40,所以 MC==30,进而 sin ∠MAC=.记 AM与水面的交点为P1, 过 P1作 P1Q1⊥AC,Q1为垂足 ,则 P1Q1⊥平面 ABCD,故 P1Q1=12, 进而 AP1==16.答 : 玻璃棒 l 没入水中部分的长度为16 cm.( 假如将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”, 则结果为24 cm)(2)如图 ,O,O 1是正棱台的两底面中心 .由正棱台的定义,OO1⊥平面 EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面 EFGH,O1O⊥EG.同理 , 平面 E1EGG1⊥平面 E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点 N处.过 G作 GK⊥E1G1,K 为垂足 , 则 GK=OO1=32.因为 EG=14,E1G1=62, 所以 KG1==24, 进而 GG1===40.设∠ EGG1=α , ∠ENG=β ,则 sin α =sin=cos ∠KGG1=.因为 <α <π , 所以 cos α=-.在△ ENG中 , 由正弦定理可得 =, 解得 sinβ=.因为 0<β <, 所以 cosβ=.于是 sin ∠NEG=sin( π - α - β )=sin(α +β)=sinα cosβ +cosαsinβ =×+×=.记 EN与水面的交点为P2, 过 P2作 P2Q2⊥EG交 EG的延伸线于Q2, 则 P2Q2⊥平面 EFGH,故 P2Q2=12, 进而 EP2==20.答 : 玻璃棒 l 没入水中部分的长度为20 cm.( 假如将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”, 则结果为20 cm)10.(2016北京,15,13分)在△ ABC中,a2+c2=b2+ac.(1) 求∠B 的大小 ;(2) 求 cos A+cos C的最大值.分析(1) 由余弦定理及题设得cos B===.又因为 0<∠B<π , 所以∠ B=.(6分)(2) 由 (1) 知∠ A+∠C=.cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因为 0<∠A<,所以当∠ A=时 ,cos A+cos C获得最大值 1.(13分)11.(2015课标Ⅱ ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD均分∠ BAC,△ABD面积是△ ADC面积的2倍.(1) 求;(2) 若 AD=1,DC=,求 BD和 AC的长 .分析(1)S △ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.因为 S△ABD=2S△ADC, ∠BAD=∠CAD,所以 AB=2AC.由正弦定理可得==.(2) 因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD=.在△ ABD和△ ADC中 , 由余弦定理知2 2 2AB=AD+BD- 2AD·BDcos∠ADB,2 2 2AC=AD+DC- 2AD·DCcos∠ADC.2 2 2 2 2故 AB +2AC=3AD+BD+2DC=6.由 (1) 知 AB=2AC,所以 AC=1.12.(2015浙江,16,14分)在△ ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求 tan C 的值 ;(2)若△ ABC的面积为 3, 求 b 的值 .分析(1) 由 b2-a 2=c2及正弦定理得sin 2B-=sin 2C, 所以 -cos 2B=sin2C.又由 A=, 即 B+C=π , 得 -cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得 tan C=2.(2) 由 tan C=2,C ∈(0,π)得sin C=,cos C=.又因为 sin B=sin(A+C)=sin,所以 sin B=.由正弦定理得c=b,又因为 A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.13.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求 A;(2)若 a=,b=2, 求△ ABC的面积 .分析(1) 因为 m∥n, 所以 asin B-bcos A=0,由正弦定理 , 得 sin Asin B-sin Bcos A=0,又 sin B ≠0, 进而tan A=,因为 0<A<π , 所以 A=.(2) 解法一 : 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3. 故△ ABC的面积为bcsin A=.解法二 : 由正弦定理 , 得 =,又由 a>b, 知 A>B,所以 cos B=.故 sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以△ ABC的面积为absin C=.14.(2015江苏,15,14分)在△ ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求 BC的长 ;(2)求 sin 2C 的值 .分析 (1) 由余弦定理知 ,BC2=AB2+AC2- 2AB·AC·cos A=4+9 - 2×2×3×=7,所以 BC=.(2)由正弦定理知 ,=,所以 sin C= ·sin A==.因为 AB<BC,所以 C 为锐角 , 则 cos C===.所以 sin 2C=2sin C ·cos C=2×× =.15.(2014安徽,16,12分)设△ ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1) 求 a 的值 ;(2) 求 sin 的值 .分析(1) 因为 A=2B, 所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b·.因为 b=3,c=1, 所以 a2=12,a=2.(2) 由余弦定理得cos A===-.因为 0<A<π , 所以 sin A===.故 sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.16.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若 a,b,c 成等差数列 , 证明 :sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若 a,b,c 成等比数列 , 求 cos B 的最小值 .分析(1) 证明 : ∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵s in B=sin[ π-(A+C)]=sin(A+C),∴s in A+sin C=2sin(A+C).(2) ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cos B==≥=,当且仅当a=c 时等号建立 . ∴cos B的最小值为.三年模拟A 组2016— 2018 年模拟·基础题组考点一正弦定理和余弦定理1.(2018广东百校结盟联考,6) 在△ ABC 中 , 角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=,且cos C=,则a=()A.2B.3C.3D.4答案 B2.(2017安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ ABC的外接圆面积为 ()A.4 πB.8 πC.9 πD.36 π3.( 人教 A 必 5, 一 ,1-1B,2,变式)在△ ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于()A.1B.C.2D.4答案 C4.(2018 广东茂名二模 ,14) 已知 a,b,c 分别是△ ABC 内角 A,B,C 的对边 ,a=4,b=5,c=6, 则 = .答案 15.(2017 江西抚州 7 校联考 ,15) 在△ ABC中 ,D 为线段 BC上一点 ( 不可以与端点重合 ), ∠ACB=,AB=,AC=3,BD=1,则AD= .答案考点二正、余弦定理的应用6.(2018 福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考 ,8) 在△ ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若=,A=,b=1, 则△ ABC的面积为 ( )A. B. C. D.答案 B7.(2018 四川泸州一诊 ,7) 如图 ,CD 是山的高 , 一辆汽车在一条水平的公路上从正东方神往正西方向行驶,在点 A 处时测得点 D 的仰角为30°, 行驶 300 m后抵达 B 处 , 此时测得点 C 在点 B 的正北方向上 , 且测得点 D的仰角为45°, 则此山的高 CD=( )A.150 mB.75 mC.150 mD.300 m答案 C8.(2016福建厦门一中期中,5) 如图 ,D,C,B在地平面同向来线上,DC=10 m, 从 D,C 两地测得 A 点的仰角分别为30°和 45°, 则 A 点离地面的高AB等于 ()A.10 mB.5 mC.5(-1)mD.5(+1)m答案 D9.(2017 河南天一大联考 ( 一),14) 在△ ABC中, 边 AB的垂直均分线交边 AC于 D, 若 C=,BC=8,BD=7, 则△ ABC的面积为.答案 20或24B 组2016— 2018 年模拟·提高题组(满分 :40 分时间 :30 分钟 )一、选择题 ( 每题 5 分,共 15分)1.(2017 安徽江南十校 3 月联考 ,9) 设△ ABC 的面积为 S1, 它的外接圆面积为S2, 若△ ABC 的三个内角大小知足A∶B∶C=3∶4∶5, 则的值为 ( )A. B. C. D.答案 D2.(2017湖北武昌一模,12) 在锐角△ ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2bsin C, 则 tan A+tan B+tan C呵呵复生复生复生地地道道的达到的最小值是 ()A.4B.3C.8D.6答案 C3.(2016河南开封四模,9)在△ ABC中,角A、B、C所对边的长分别为a、b、 c, 设 AD 为 BC 边上的高 , 且AD=a,则 +的最大值是 ()A.2B.C.D.4答案 B二、填空题 ( 每题 5 分, 共 15 分)4.(2018 吉林长春一模,15) 在△ ABC中 , 三个内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=sin Acos C,且a=2,△ABC 面积的最大值为.答案 35.(2018河北邯郸临漳一中月考,16) 我国南宋有名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式, 设△ ABC三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 面积为 S, 则“三斜求积”公式为S=.若 a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为.答案6.(2017 山西四校第一次联考,15) 已知△ ABC是斜三角形 , 角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若csin A=acos C,c=, 且 sin C+sin(B-A)=5sin 2A,则△ ABC的面积为.答案三、解答题 ( 共 10 分)7.(2018湖北荆州一模,17) 设△ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,b=.(1)若 C=,△ABC的面积为 , 求 c 的值 ;(2)若 B=, 求 2c-a 的取值范围 .分析(1) 由三角形的面积公式, 得 absin C=.因为 C=,b=, 所以 a=2.所以 c==.(2) 由正弦定理 , 得 ===2,故 a=2sin A,c=2sin C.因为 B=, 所以 a=2sin=cos C+sin C.于是 2c-a=3sin C-cos C=2sin.因为 C∈,所以 C-∈,所以 sin ∈,故 2c-a 的取值范围为(-,2).C 组2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1解三角形的常有题型及求解方法1.(2017广东海珠调研,6) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B=()A. B.C. D.答案 A2.(2018湖南永州二模,15) 在△ ABC 中 , 角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=c,则角C的大小为.答案3.(2017河北石家庄二中 3 月模拟 ,16) 已知在△ ABC 中 , 角 C 为直角 ,D 是边 BC 上一点 ,M 是 AD 上一点 , 且CD=1,∠DBM=∠DMB=∠CAB,则MA=.答案 2呵呵复生复生复生地地道道的达到方法 2 利用正、余弦定理判断三角形的形状4.(2018 江西南城一中期中 ,6) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 =, 则这个三角形必含有()A.90°的内角B.60°的内角C.45°的内角D.30°的内角答案 B5.(2016 河南郑州质检 ,5) 在△ ABC中 , 若 sin C(cos A+cos B)=sin A+sin B, 则△ ABC的形状是 ( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案 B6.(2017宁夏育才中学月考,14) 在△ ABC中 , 若 =, 则△ ABC的形状必定是.答案等腰三角形或直角三角形方法 3 正、余弦定理的实质应用策略7.(2018 福建莆田月考 ,8)A 在塔底 D的正西面 , 在 A 处测得塔顶 C 的仰角为 45°,B 在塔底 D的南偏东 60°处 , 在塔顶 C 处测得 B 的俯角为30°,AB 间距 84 米 , 则塔高为 ()A.24 米B.12 米C.12 米D.36 米答案 C8.(2017 山西康杰中学月考,10) 海上有三个小岛 A,B,C, 测得∠ BAC=135°,AB=6 km,AC=3 km,若在连结 B,C 两岛的线段上建一座灯塔 D,使得灯塔 D 到 A,B 两岛距离相等 , 则 B,D 间的距离为 ( )A.3 kmB. kmC. kmD.3 km答案 B9.(2016 河北邢台三模 ,17) 如图 , 在海岛 A上有一座海拔 1 千米的山 , 山顶设有一个察看站 P, 上午 11 时 , 测得一轮船在岛北偏东30°, 俯角为 30°的 B 处 , 到 11 时 10 分又测得该船在岛北偏西60°, 俯角为 60°的 C 处 .(1)求船的航行速度 ;(2)又经过一段时间后 , 船抵达海岛的正西方向的 D 处, 问此时船距岛 A 有多远 ?分析(1) 在 Rt△PAB 中, ∠APB=60°,PA=1, ∴AB=.在 Rt△PAC中, ∠APC=30°,∴A C=.在△ ACB中, ∠CAB=30°+60°=90°,∴B C===.则船的航行速度为÷ =2( 千米/ 时 ).(2) 在△ ACD中, ∠DAC=90° - 60°=30°,sin ∠DCA=sin(180° - ∠ACB)=sin∠ACB===,sin ∠CDA=sin(ACB- 30°)=sin ∠ACB·cos 30 ° - cos∠ACB·sin 30 °=·- ·=.由正弦定理得=.∴A D===.呵呵复生复生复生地地道道的达到故此时船距岛A千米 .呵呵复生复生复生。

2019届高考数学一轮复习第3单元三角函数解三角形测评理20180713444

2019届⾼考数学⼀轮复习第3单元三⾓函数解三⾓形测评理20180713444第三单元三⾓函数、解三⾓形⼩题必刷卷(五)三⾓函数题组⼀真题集训1.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin的最⼩正周期为()A.4πB.2πC.πD.2.[2014·安徽卷]设函数f(x)(x∈R)满⾜f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f=()A. B.C.0 D.-3.[2015·陕西卷]如图X5-1,某港⼝⼀天6时到18时的⽔深变化曲线近似满⾜函数y=3sin x+φ+k,据此函数可知,这段时间⽔深(单位:m)的最⼤值为()图X5-1A.5B.6C.8D.104.[2016·浙江卷]设函数f(x)=sin2x+b sin x+c,则f(x)的最⼩正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c⽆关C.与b⽆关,且与c⽆关D.与b⽆关,但与c有关5.[2016·全国卷Ⅱ]函数y=A sin(ωx+φ)的部分图像如图X5-2所⽰,则()图X5-2A.y=2sin2x-B.y=2sin2x-C.y=2sin x+D.y=2sin x+6.[2017·全国卷Ⅰ]函数y=的部分图像⼤致为()图X5-37.[2016·北京卷]将函数y=sin2x-图像上的点P,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图像上,则()A.t=,s的最⼩值为B.t=,s的最⼩值为C.t=,s的最⼩值为D.t=,s的最⼩值为8.[2016·四川卷] sin 750°= .9.[2016·全国卷Ⅰ改编]将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数解析式为.题组⼆模拟强化10.若点sin,cos在⾓α的终边上,则sin α的值为()A.-B.-C.D.11.[2017·东莞四校联考]已知cos(α-π)=-,且α为第四象限⾓,则sin α为()A.-B.C.±D.12.[2017·吉林实验中学模拟]已知sinα-=,则cosα+的值等于()A. B.C.-D.-13.[2017·商丘九校联考]下列函数中,既是偶函数⼜在(0,π)上单调递增的是()A.y=tan xB.y=cos(-x)C.y=-sinD.y=|tan x|14.[2017·辽宁庄河四模]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图像过点0,,若f(x)≤f对x∈R恒成⽴,则ω的最⼩值为()A.2B.4C.10D.1615.[2017·⼴州⼆模]已知函数f(x)=2sinωx+(ω>0)的图像在区间[0,1]上恰有3个最⾼点,则ω的取值范围为()A. B.C. D.[4π,6π)16.[2017·邢台⼀中⽉考]将y=f(x)图像上的每⼀点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的,再将其图像沿x轴向左平移个单位长度,得到的曲线与y=sin 2x的图像相同,则f(x)的解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin17.[2017·衡阳三模]已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与直线y=a(0A.[6kπ,6kπ+3](k∈Z)B.[6kπ-3,6kπ](k∈Z)C.[6k,6k+3](k∈Z)D.[6k+3,6k+6](k∈Z)18.[2017·莆⽥⼋中期中]设函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,φ∈-,的最⼩正周期为π,且其图像关于直线x=对称,对于函数f(x)有下⾯四个结论:①图像关于点,0对称;②图像关于点,0对称;③在0,上是增函数;④在-,0上是增函数,那么所有正确结论的编号为.⼩题必刷卷(六)三⾓恒等变换、解三⾓形题组⼀真题集训1.[2017·全国卷Ⅲ]已知sin α-cos α=,则sin 2α=()A.-B.-C. D.2.[2017·全国卷Ⅲ]函数f(x)=sin +cos 的最⼤值为()A. B.1C. D.3.[2016·全国卷Ⅲ]在△ABC中,B=,BC边上的⾼等于BC,则cos A=()A.B.C.-D.-4.[2017·⼭东卷]在△ABC中,⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐⾓三⾓形,且满⾜sin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,则下列等式成⽴的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A5.[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cosC)=0,a=2,c=,则C= ()A.B.C. D.6.[2017·江苏卷]若tan=,则tan α=.7.[2015·四川卷] sin 15°+sin75°的值是.8.[2017·全国卷Ⅰ]已知α∈,tan α=2,则cos= .9.[2017·全国卷Ⅱ]△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b cos B=a cos C+c cos A,则B= .10.[2015·湖北卷]如图X6-1,⼀辆汽车在⼀条⽔平的公路上向正西⾏驶,到A处时测得公路北侧⼀⼭顶D在西偏北30°的⽅向上,⾏驶600 m后到达B处,测得此⼭顶在西偏北75°的⽅向上,仰⾓为30°,则此⼭的⾼度CD= m.图X6-1题组⼆模拟强化11.[2017·泉州模拟]已知sin 2α=,则cos2α-=()A.-B.C.-D.12.[2017·抚州七校联考]若cos x=sin 63°cos18°+cos 63°cos108°,则cos 2x等于()A.-B.-C.0D.13.[2018·⼭东潍坊七中模拟]在△ABC中,内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的⾯积为()A.3B.C.D.314.[2017·⼤连⼆模]已知△ABC中,内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,且满⾜(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,则⾓A等于()A. B.C. D.15.[2017·吉林三模]在△ABC中,a,b,c分别是⾓A,B,C的对边,若a=1,b=,B=60°,则△ABC的⾯积为()A.B.C.1D.16.[2017·泉州三模]已知a,b,c分别为△ABC的三个内⾓A,B,C的对边,若a2-c2=2b,sin B=4cos A·sin C,则b=()A.B.C.2D.417.[2017·太原⼆模]已知sin-α=-,0<α<π,则sin 2α= .18.已知tan x+=2, 则的值为.19.某舰艇在A处测得⼀艘遇险渔船在其北偏东45°的⽅向距离A处10海⾥的C处,此时得知,该渔船正沿南偏东75°的⽅向以每⼩时9海⾥的速度向⼀⼩岛靠近,若舰艇的时速为21海⾥,则舰艇追上渔船的最短时间是⼩时.20.[2017·哈尔滨三中⼆模]在△ABC中,已知c=2,若sin2A+sin2B-sin A sin B=sin2C,则a+b 的取值范围为.解答必刷卷(⼆)三⾓函数、解三⾓形题组⼀真题集训1.[2017·北京卷]已知函数f(x)=cos2x--2sin x cos x.(1)求f(x)的最⼩正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.2.[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的⾯积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.3.[2017·全国卷Ⅱ]△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的⾯积为2,求b.题组⼆模拟强化4.[2017·临沂⼆模]已知向量m=(sin x-cos x,1),n=sin+x,,f(x)=m·n. (1)求f(x)的单调递增区间;(2)⼰知△ABC的三个内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,f+=,sin C=2sin B,求A,c,b的值.5.[2017·江西百所重点⾼中联考]在△ABC中,内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a tan B=2b sin A.(1)求B;(2)若b=,A=,求△ABC的⾯积.6.[2017·榆林三模]在△ABC中,a,b,c分别是⾓A,B,C的对边,且(a+b+c)(a+b-c)=3ab.(1)求⾓C的值;(2)若c=2,且△ABC为锐⾓三⾓形,求a+b的取值范围.。

数学一轮复习第三章三角函数解三角形第7讲解三角形应用举例学案含解析

第7讲解三角形应用举例［考纲解读］1。

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．（重点)2.利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型,将实际问题转化为数学问题．(难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预计2021年会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主。

1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线错误!上方的角叫仰角,在水平线错误!下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②）．3．方向角相对于某一正方向的水平角．（1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③）．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．1．概念辨析(1）东北方向就是北偏东45°的方向．（)（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（）（3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()（4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是错误!。

（)答案（1）√(2）×（3）√（4）√2．小题热身（1）在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的() A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′答案A解析由方向角的概念知，B在A的北偏西34°27′。

2018年大一轮数学(理)高考复习(人教)规范训练《第三章三角函数、解三角形》3-7Word版含答案

课时规范训练A组基础演练1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC 等于( )A．10°B．50°C．120° D．130°解析：选D.如图，∠BAC等于A观察B点的仰角与观察C点的俯角和，即60°＋70°＝130°.2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速率是每小时( )A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析：选C.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10海里/小时．3．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过3h，该船的实际航程为( )A．215km B．6 kmC．221km D．8 km解析：选B.v实＝22＋42－2×4×2×cos 60°＝2 3.∴实际航程＝23×3＝6(km)．故选B.4．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为( )A．10 km B．103kmC．105km D．107km解析：选D.由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700.∴AC＝107.5．我舰在敌岛A 处南偏西50°的B 处，且AB 距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( ) A ．28海里/小时 B ．14海里/小时 C ．142海里/小时D ．20海里/小时解析：选B.如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度为v ，则在△ABC 中，AC ＝10×2＝20(海里)，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝784， ∴BC ＝28海里，∴v ＝14海里/小时．6．在一座20 m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m. 解析：h ＝20＋20tan 60°＝20(1＋3)m. 答案：20(1＋3)7．为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠DBC ，解得BC ＝102米，∴在Rt △ABC中，塔AB 的高是106米．答案：10 68．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是________m. 解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°，解得AO ＝2063m.答案：20639．某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向上，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上B 处有一人正沿此公路向A 处走，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？解：如题图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC sin Bsin A＝24，由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－24AB －385＝0，解得AB ＝35，所以AD ＝AB －BD ＝15. 故此人在D 处距A 有15千米．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C 处．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28(海里)．所以渔船甲的速度为BC 2＝282＝14(海里/时)．(2)由(1)知BC ＝28海里，在△ABC 中，∠BCA ＝α，由正弦定理得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. B 组能力突破1．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( ) A ．1002米 B ．400米 C ．2003米D ．500米解析：选D.由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD ，得 3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500(米)．2．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，则B 城市处于危险区内的持续时间为( ) A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时D ．2小时解析：选B.设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得：(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302. 化简得：4t 2－82t ＋7≤0， ∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.3．如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，sin θ的值为( )A.217B.22C.32D.5714解析：选A.连接BC .在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos 120°＝700，∴BC ＝107，再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ABsin θ，∴sin θ＝217.4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)．答案：4035．如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速率为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴DB ＝AB ·sin∠DABsin ∠ADB ＝＋3sin 105°＝＋3sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝533＋3＋12＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝203(海里)．在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)．则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．。

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周周测7 三角函数、解三角形、平面向量综合应用
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．(2018·枣庄期中)下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若|a|>|b|，则a>b
C．若a＝b，则a∥b
D．若|a|＝0，则a＝0
答案：C
解析：对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，故a＝b不一
定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B不正确；C显然正
确；对于D，若|a|＝0，则a＝0，故D不正确，故选C.
2．(2018·河北廊坊期末)已知|a|＝2，向量a在向量b上的投影为3，则a与b的夹
角为( )

A.π3 B.π6

C.2π3 D.π2
答案：B
解析：设向量a与向量b的夹角为θ，则a在b上的投影为|a|cosθ＝2cosθ.∵a在

b
上的投影为3，∴cosθ＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6.故选B.

3．(2018·陕西宝鸡一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(
A
＋B)＝13，a＝3，c＝4，则sinA＝( )

A.23 B.14
C.34 D.16
答案：B
解析：∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋B)＝sinC＝13.又∵a＝3，c＝4，∴由正弦定理asinA＝
c
sinC，得3sinA＝413，∴sinA＝14
.故选B.

4．(2018·铜川一模)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a＝2，
c＝22，且C＝π4，则△ABC
的面积为( )

A.3＋1 B.3－1
C．4 D．2
答案：A

解析：由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得2sinA＝2222，所以sinA＝12，又aA

＝π6，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝2＋64，所以S△ABC＝12acsinB＝12×2×22