同济大学高等数学(第七版)1-1 函数
o
x
就称函数f (x)在X上无界. 注 函数f (x)在X上有界 函数f (x)在X上既有上界，又有下界. 例： f ( x ) sin x 在 ( , ) 内有界，f ( x )
1 在 (0, 1)内无界. x
1 x 例如： f ( x ) 1 x
1 理解为： f ( ) 1
注
只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时， 这两个函数才是相同的，否则就是不同的.
例2 下列函数是否相同，为什么？[P16,T2(1)(2)]
(1) (2)
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D.
否则称为非初等函数.
非初等函数举例
分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示. 符号函数 取整函数
1, x 0 y sgn x 0, x 0 1, x 0
y
1
1
o
x
y
n x n 1 , n Z
注 分段函数不一定就是非初等函数！ 2 1 o 1 2 3 4
y f g ( x ) , x Dg
称为由函数u=g(x)与函数y=f (u)构成的复合函数.
Rg D f ; 注 (1) 函数g 与函数f 构成复合函数 f g 的条件：
(2) 在一定条件下两个以上函数也可构成复合函数. 例： y u , u cot v , v x 2 x y cot 2 D x | 2kπ x (2k 1)π, k Z
1 在 (0, 1) 内有下界，但没有上界; x 在 (1, 2) 内既有下界，也有上界.
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D.
如果存在正数M , 使得| f ( x ) | M 对任一 x X 都成立, y 那么称函数f (x)在X上有界, 如果这样的 M 不存在, 即：
第一讲 函数
函数的概念
定义 设数集 D R , 则称对应法则 f : D R 为定义在D 上的
函数 , 通常简记为
y f ( x ), x D
因变量 自变量
定义域
f(D)
值域
注 (1) 注意符号f 和f (x)的区别 (2) 表示函数的记号可以任意选取 (3) 函数的要素：定义域 对应法则
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D.
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
y
当 x1 x 2 时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的; o 类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的. x1 x2 x
如果存在数 K Байду номын сангаас , 使得 f ( x ) K 1 对任一 x X 都成立, y 那么称函数f (x)在X上有上界,
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界.
类似可以定义函数f (x)在X上有下界.
o
x
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D.
x 例：y x x0 x0
2 可表示为 y x , 故为初等函数.
x
综合题举例
例3 设f(x)的定义域D=[0,1]，求下述函数的定义域
f ( x a ) ( a 0).
[ P 17, T 12(3)]
例4 分析下述函数的复合过程:
y cos x
;
2
y ln arctan( x 2 ;
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K1 对任一 x X 都成立, y 那么称函数f (x)在X上有上界,
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界.
类似可以定义函数f (x)在X上有下界.
o
x
注 (1) 有界性的概念须明确数集 X D;
(2) 若函数f (x)在X上有上(下)界，则上(下)界不唯一. 例：f ( x )
e x e x shx 2 称为双曲正弦函数.
e
偶函数
x
y
ex
y ch x
奇函数
o
e
x
y
x
shx thx 称为双曲正切函数. chx y
ex
y sh x
x
1
o 1
y th x
o
x
函数的几种特性
4．函数的周期性 使得 设函数f (x) 的定义域为D，如果存在一个正数l， 对于任一 x D, 有( x l ) D, 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立, 那么称函数f (x)为周期函数，l称为f (x)的周期. 注 （1） 周期函数在每个周期上有相同的图形 （2） 通常周期函数的周期是指最小正周期 （3） 并非每个周期函数都有最小正周期 例：常量函数 f ( x ) C
1 x Q 狄利克雷函数 f ( x ) C 0 x Q
y
1
o
x
反函数
概念
设函数 y f ( x ) , x D ,Y 是值域。如果对于Y 内
的任一 y, D内都有唯一确定的 x 与之对应，使
f (x) = y, 则在Y 上确定了一个函数，这个函数称为 函数 y = f ( x )的反函数。记作 x = f －1( y ), y 属于 Y.
1 必定存在, f (1) f 在 D 上单调增加（减少）， 注 1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）;
1 y f ( x ) 的图形 (2) 函数y=f (x)与其反函数
关于直线y=x对称.
复合函数
概念
设函数y=f (u)的定义域为 D f , 函数u=g (x)的定义域为 Dg 且其值域 Rg D f , 则由下式确定的函数
内容小结
概念 理解
初等函数 构造
反函数
函 数
复合函数 四则运算
掌握
基本初等函数 熟 悉
函数的要素
1．定义域 (1) 定义域是非空的数集; 使表达式有意义的自变量的集合. (2) 定义域的求法： 例1 求函数 f ( x ) ln( 4 x 3) arcsin( 2 x 1) 的定义域. 2．对应法则
解析法 表格法 图象法 (1) 表示法：
(2) 解析式的理解：一系列的运算程序
f 商 g
f ( x) f , x D \ x | g ( x ) 0 ( x ) g( x) g
基本初等函数与初等函数
基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数.
那么称函数f (x)为偶函数;
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x ) 恒成立, 那么称函数f (x)为奇函数.
注
偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称.
函数的几种特性
3．函数的奇偶性 e x e x 例： chx 2 称为双曲余弦函数.
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D .
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
y
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的; o 类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. x1 x2 x
1 y ; x cos a
ye
arctan x 2 1
.
x 2 , x 0, 例5 f ( x ) x ( x ) ln x, e , x 0, (1) 求 f ( x ) 及定义域; (2) 上述函数可以复合成 f ( x ) 吗?
函数的四则运算
设函数 f , g 的定义域依次为 D1 , D2 D D1 则可以定义这两个函数的下列运算： 和（差）f g
D2
( f g )( x ) f ( x ) g ( x ), x D
积 f g
( f g )( x ) f ( x ) g ( x ), x D
例： f ( x ) x 2 在[0, ) 上单调增加;
在 ( , 0] 上单调减少; 在 ( , )上不是单调的.
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称,
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x ) 恒成立,
高等数学同济第七版
都存在 ; 并求出
解:
故
时
此时
在
都存在;
显然该函数在 x = 0 连续
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作业
P83 6; 9467 ; 13;
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
牛顿1642 – 1727
伟大的英国数学家 ; 物理学家; 天文
五 单侧导数
第一节
导数的概念
第二章
一 引例
1 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
自由落体运动
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2 曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
割线 M N 的斜率
切线 MT 的斜率
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两个问题的共性:
瞬时速度
切线斜率
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限
类似问题还有:
加速度
角速度
线密度
电流强度
是速度增量与时间增量之比的极限
是转角增量与时间增量之比的极限
是质量增量与长度增量之比的极限
是电量增量与时间增量之比的极限
变化率问题
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解:
即
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是否可按下述方法作:
例6 证明函数
在 x = 0 不可导
证:
不存在 ;
例6 设
存在; 求极限
解: 原式
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三 导数的几何意义
若
曲线过
上升;
若
曲线过
下降;
同济七版NUAA高数课件 第一章 函数与极限 极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例2
求
lim
x 1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, 商的法则不能用 x1
又lim(4x 1) 3 0, x1
lim x2 2x 3 0 0.
x1 4x 1
3
由无穷小与无穷大的关系得
即0 ( x) a u a ,
有 f [( x)] A f (u) A 由极限定义得lim f [( x)] A,证毕!
x x0
三、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
lim x 2 x 2 2 2 x2 x 2 x 7 3 3
lim (
x 1
3 x3
1
1 x
) 1
lim
x1
3
(x2 (x3
x 1) 1)
lim
x1
(x 2)(x 1) (x3 1)
lim
x1
(x x2
x
2) 1
1
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
高等数学同济七版-优秀PPT文档
y
2 (3) 0 是可以作为无穷小的唯一常数.
数值 f (x) 总满足不等式
(2) 无穷大不是很大很大的数；
O1
x
水平渐近线
f (x) 1 1 x
铅直渐近线
O1 x
第四节 无穷小与无穷大
三、无穷小与无穷大的关系
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果 f (x) 为无
穷大，则 1 为无穷小；反之，如果 f (x) 为无穷小， f (x)
三定、理无 1(无穷穷小小与与无函穷数大极的限关的系关系) 则定称理直 2 线在自x =变x量0 的是同曲一线变y化= 过f (x程) 中的，铅直
(定3)义01是如可果以函作数为无f (x穷) 小当的x 唯x一0 常(或数x. )时的极限为
y 1 (2) 无穷大不是很大很大的数；
f ( x) 2 正(3)数若M函(数不为论无它穷多大么，大则)，它必无界，反之不成立. x 1 总所存以在 函正数数x–1 为(或当正x 数1X时)，为无穷小.
1 0 , 所以函数 1 为当x-时为无穷小.
1 x
1 x
第四节 无穷小与无穷大
定义1 如果函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时的极限为
零，那么称函数 f (x) 为当 xx0 (或 x)时的无穷小.
几点说明
(1) 无穷小不是很小很小的数； (2) 函数 f (x) 是不是无穷小与自变量的变化过程有关; 例如，f (x) = x – 1 ，当 x1 时是无穷小，当 x2 时不 是无穷小. (3) 0 是可以作为无穷小的唯一常数.
y
y 1 x 1
O1
x
第四节 无穷小与无穷大
铅直(垂直)渐近线
定义 lim lim 如果
高等数学教材同济七版
高等数学教材同济七版同济大学高等数学教材（第七版）是大学数学课程中常用的教材之一。
它综合了数学的基本原理和技巧，涵盖了微积分、线性代数、微分方程、概率统计等多个领域。
本教材的特点是理论与实践相结合，注重数学思维的培养和应用能力的培养，深受广大学生和教师的欢迎。
同济大学高等数学教材（第七版）的目录结构清晰合理，共分为十二章。
第一章是函数与极限，介绍了函数的概念、性质和极限的定义与计算方法。
第二章是导数与微分，阐述了导数与微分的基本概念、性质和计算方法，并介绍了一些基本的微分公式。
第三章是微分中值定理与导数的应用，探讨了中值定理的理论基础和应用，以及导数的应用于函数的单调性、凹凸性和极值等方面。
第四章是不定积分，介绍了不定积分的基本概念、性质和计算方法，并给出了一些常见的积分公式。
第五章是定积分，包括定积分的定义与性质、定积分的计算方法和几何应用。
第六章是微分方程，介绍了微分方程的基本概念、常微分方程、一阶线性微分方程以及二阶线性齐次微分方程。
第七章是无穷级数，包括级数的概念、级数的性质以及收敛级数的判定。
第八章是多元函数微分学，涵盖了多元函数的概念、偏导数、全微分、方向导数、梯度以及多元函数的极值问题。
第九章是重积分，包括二重积分与三重积分的概念、性质以及计算方法。
第十章是曲线积分与曲面积分，介绍了曲线积分与曲面积分的概念、性质和计算方法。
第十一章是常微分方程，阐述了常微分方程的基本理论和解法，包括一阶线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程和高阶齐次线性微分方程。
第十二章是概率统计基础，介绍了基本的概率论知识和统计学基本理论。
每一章的内容都循序渐进，注重理论与实践的结合，使学生能够逐步掌握并运用所学的知识。
同济大学高等数学教材（第七版）的章节内容丰富，涵盖了大学数学课程的各个方面。
每一章的内容都由浅入深，循序渐进，适用于不同层次的学生。
教材的表达清晰明了，注重用图表等辅助材料来帮助学生理解和掌握知识。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
练习7-6
总习题七
练习8-1
练习8-2
>
练习8-3
练习8-4
练习8-5
练习8-6
练习8-7
练习8-8
总习题八
练习9-1
练习9-2
>>
<<>>
<<
练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
练习112
-
0
+
无
-
-
yf(x)
1
极小值
↗
无
↗
0
拐点
↗
无
↗
-1
极大值
练习3-7
总习题三
x
(, 0)
0
f(x)
+
不存在
-
0
+
f(x)
↗
2
极大值
↘
极小值
↗
练习4-2
练习4-3
练习4-4
>>>
总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
练习5-4
总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
练习7-4
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(01)
1
y
+
+
同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续
特别地，若我们所讨论问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 ）中进行，集合 是 的子集，此时称 为 的余集（或补集），记作 或 .
3、设 是两个非空的集合，则由有序数对 组成的集合
称为 与 的直积.
4、设 和 都是实数，且 ，数集 称为开区间，记作 ，即
.
和 称为开区 的端点，其中 为左端点， 为右端点，且 ， .
数集 称为闭区间，记作 ，即
.
和 也称为闭区间 的端点，且 ， .
5、邻域
设 与 为两个实数，且 ，数集 称为点 的 邻域，记作 ，即
，
其中 称作 的中心， 称作 的半径.
6、基本初等函数
中学时我们已经学习过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，它们统称为基本初等函数.我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号01
教学基本指标
教学课题
第一章第一节集合与函数
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分段函数，三角函数性质与公式
教学难点
分段函数图形
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限的性质
教学难点
用定义证明极限
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
高等数学(第七版·下册) 同济大学知识点
高等数学（第七版·下册）同济大学知识点一、多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中的一个重要分支，研究的是多元函数的导数、微分以及应用。
在本章中主要介绍了以下几个知识点：1. 偏导数与全微分•偏导数：多元函数的偏导数是指函数在某一点上某个自变量的变化率。
•全微分：多元函数的全微分是在某一点上，函数值关于自变量的微小变化量。
2. 高阶偏导数与多元函数的泰勒展开式•高阶偏导数：多元函数的高阶偏导数是指对多个自变量进行重复求导的结果。
•多元函数的泰勒展开式：用多项式逐次逼近函数的方法，可以近似表示函数在某一点附近的取值。
3. 隐函数与参数方程的求导•隐函数求导：对于由方程定义的函数，可以通过偏导数求导的方法来求解其导数。
•参数方程求导：对于由参数方程定义的函数，可以通过链式法则将参数的导数转化为函数关于参数的导数。
4. 方向导数与梯度•方向导数：多元函数在某一点沿着给定方向的变化率。
•梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数值增加最快的方向，模表示变化率最大的值。
5. 多元函数的极值与条件极值•多元函数的极值：函数取得的最大值或最小值。
•条件极值：在满足一定条件下，函数取得的最大值或最小值。
6. 格林公式与高斯公式•格林公式：二维平面上的曲线积分与这个曲线所围成的区域上的面积分之间的关系。
•高斯公式：三维空间中，某个闭合曲面上的散度与这个曲面所围成的空间区域内的体积分之间的关系。
二、多元函数积分学多元函数积分学是研究多元函数的积分以及应用的学科。
本章介绍了以下几个知识点：1. 二重积分•二重积分的概念：二重积分是将二元函数沿着某一平面区域上的小面积元素进行累加得到的量。
•二重积分的性质：二重积分具有线性性、可加性、保号性等性质。
2. 二重积分的计算方法•基本的计算方法：可以通过把二重积分化为累次积分的形式进行计算。
•坐标变换法：通过变换坐标系，使得被积函数的形式更简单，从而更容易计算。
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版
高等数学同济第七版下册习题与答案完整版引言《高等数学同济第七版下册》是同济大学数学系编写的一本面向高等数学教育的教材。
本书作为高等数学的下册，涵盖了积分学、无穷级数、多元函数微分学等重要内容。
为了帮助学生更好地理解和学习这些知识点，本文档整理了该教材下册的所有习题及其答案，以供学生参考和练习。
目录•第一章积分学•第二章无穷级数•第三章多元函数微分学第一章积分学积分学是高等数学的重要分支，它研究函数的积分与定积分等相关概念和性质。
本章的习题主要围绕定积分、不定积分和定积分的应用展开。
习题11.计算定积分 $\\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) dx$。
答案：$\\frac{2}{3}$2.计算不定积分 $\\int (x^3 - 2x^2 + x - 1) dx$。
答案：$\\frac{1}{4}x^4 - \\frac{2}{3}x^3 + \\frac{1}{2}x^2 - x + C$习题21.计算定积分 $\\int_1^e \\frac{dx}{x}$。
答案：12.计算不定积分 $\\int \\frac{1}{x} dx$。
答案：$\\ln|x| + C$…第二章无穷级数无穷级数是数列求和的一种常见方法，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。
本章的习题主要涉及级数的概念、级数的性质和级数的求和等内容。
习题11.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2}$ 的敛散性。
答案：该级数收敛。
2.计算级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{1}{2^n}$ 的和。
答案：该级数的和为2。
…习题21.判断级数$\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。
答案：该级数收敛。
2.计算级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n+1} \\frac{1}{n}$ 的和。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
0
+
无
-
-
yf(x)
1
极小值
↗
无
↗
0
拐点
↗
无
↗
-1
极大值
练习3-7
总习题三
x
(, 0)
0
f(x)
+
不存在
-
0
+
f(x)
↗
2
极大值
↘
极小值
↗
练习4-2
练习4-3
练习4-4
>>>
总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
练习5-4
总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
练习7-4
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(01)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
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0
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yf(x)
0
拐点
↗
极大值↘Biblioteka 拐点↘x1
y
+
+
+
0
-
-
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y
+
0
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-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
(1)
-1
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0