广东省实验中学2021届高三上学期第一次阶段考试数学试题 含答案
1 广东省实验中学2021届高三年级第一次阶段考试 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
第一部分选择题（共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知}1,log{2==xxyyA, ]2,1|{==xxyyB，则.BA=( )
A．),21[+ B．)21,0( C．),0(+ D．),21[)0,(+− 2．“542sin=”是“2tan=”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：
,(),,(211xyx),(),,(),,(),5544332yxyxyxy，由最小二乘法求得回归直线方程为
.9.5467.0+=xy 若已知54321xxxxx++++=250，则54321yyyyy++++=( )
A．75 B．155.4 C．375 D．442
4．命题p：变量),(yx满足约束条件−+0543yxxy，则xyz=的最小值为41，命题q：直线2=x
的倾斜角为2，下列命题正确的是( ) A．qp∧ B．)()(qp C．qp)( D．)(qp 5．已知两个单位向量21,ee，若121)2(eee⊥−，则21,ee的夹角为( ) A．32 B．3 C．4 D．6 6．已知)2,0(，)0,2(−，31)4cos(=+，33)24cos(=−，则)2cos(+=( ) A．33 B．33− C．935 D．96− 2
7．已知长方形的四个顶点：)1,0(),1,2(C),0,2(),0,0(DBA．一质点从点A出发，沿与AB 夹角为的方向射到BC上的点1P后，依次反射到DACD、和AB上的点432PPP、、（入射角等于反射角）．设4P的坐标为)0,(4x，若214x，则tan的范围是( ) A．)21,31( B．)52,31( C．)21,52( D．)32,52(
8．设*Nn，函数nxxxfln)(=，函数)0()(=xxexgnx．若函数)(xfy=与函数)(xgy= 的图象分别位于直线y=1的两侧，则n的取值集合为( ) A．}2,1{ B．}3,2{ C．}3,1{ D．}3,2,1{
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求．全选对的得5分，有选错得得0分，部分选对得得3分．
9．己知函数Rxxxxxxf−+=,coscossin32sin)(22，则( )
A．2)(2−xf B．)(xf在区间),0(上只有1个零点 C．)(xf的最小正周期为 D．3=x为)(xf图象的一条对称轴 10．已知空间中不同直线nm、和不同平面、，下列命题中是真命题的是( ) A．若nm、互为异面直线，//,//,//,//nmnm，则// B．若//,,nmnm⊥⊥，则⊥ C．若//,mn⊥，则mn⊥ D．若mnm//,,⊥⊥，则//n
11．设公差不为0的等差数列}{na的前n项和为nS，若1817SS=，则下列各式的值为0的是( )
A．17a B．35S C．1917aa− D．1619SS− 12．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设
椭圆的长轴长、焦距分别为ca2,2，下列结论正确的是( )
A．卫星向径的取值范围是],[caca+− B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 3
第二部分 非选择题 (90分) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为____． 14．大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的8个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有____种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 15．如图，在四棱锥ABCDS−中，⊥SA平面ABCD，底面ABCD
是菱形，且DAB1,60===ABSA，则异面直线SD与BC所 成的角的余弦值为 ，点C到平面SAD的距离等于 ．
16．点P在双曲线)0,0(12222=−babyax的右支上，其左、右焦点分别 为、1F2F，直线1PF 与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段1PF的垂直平分线恰好过点2F，则该双曲线的离心率为____．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分） 设}{na是公差大于零的等差数列，己知.27,32231−==aaa (1)求}{na的通项公式； (2)设}{nb是以函数xy2sin4=的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列}{nnba的前n项和nS.
18．（本小题12分） 在①41sinsin=CB；②332tantan=+CB这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答． 在ABC中，内角CBA,,的对边分别为32,31tantan,,,==aCBcba， .
(1)求角CBA,,的大小； (2)求ABC的周长和面积．
19．（本小题12分） 在多面体111BAABCC中，四边形11AABB为菱形，601=BAB，平面⊥11AABB平面
,21,11CBBCABC=.,1CBABBCAC⊥⊥
(1)若O是线段AB的中点，证明：平面⊥ABC平面;1OCB (2)求二面角BACC−−1的正弦值． 4
20．（本小题12分） 为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查，经调查发现，这些家庭的月收入在3000元到10000元之间，根据统计数据作出： (1)经统计发现，该社区居民的家庭月收入Z（单位：百元）近似地服从正态分布)196,(N，其中近似为样本平均数．若Z落在区间)2,2(+−的左侧，则可认为该家庭属“收入较低家庭”，社区将联系该家庭，咨询收入过低的原因，并 采取相应措施为该家庭提供创收途径．若该社区A家 庭月收入为4100元，试判断A家庭是否属于“收入较 低家庭”，并说明原因； (2)将样本的频率视为总体的概率； ①从该社区所有家庭中随机抽取n户家庭，若这n 户家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%， 求n的最大值； ②在①的条件下，某生活超市赞助了该社区的这次 调查活动，并为这次参与调查的家庭制定了赠送购物卡的活动， 赠送方式为：家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡，家庭月收入不低于的获赠一次随机购物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为：
赠送购物卡金额（单位：元） 100 200 300
概率 21 31 61 则A家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数）
21．（本小题12分） 已知曲线C上的动点M到y轴的距离比到点F(1，0)的距离小1， (1)求曲线C的方程； (2)过F作弦RSPQ、，设RSPQ、的中点分别为BA、，若0=RSPQ，求||AB最小时，弦RSPQ、所在直线的方程； (3)在(2)条件下，是否存在一定点T，使得FTTBAF−=？若存在，求出P的坐标，若不存在，试说明理由．
22．（本小题12分） 已知函数22ln)42()(xxaxxxf+−=.
(1)当1=a时，求函数)(xf在),1[+上的最小值； (2)若函数)(xf在),1[+上的最小值为1，求实数a的取值范围； (3)若ea1，讨论函数)(xf在),1[+上的零点个数． 5
广东省实验中学2021届高三年级第一次阶段考试 数学参考答案
1．解：}0|{=yyA，}210|{=yyB，)21,0(=BA．故选：B． 2．解：2tan541tantan254cossincossin2542sin222==+=+=或21，即由5
42sin=
不一定得到2tan=，反之，由2tan=一定得到542sin=. "542sin"=是"2tan"=的必要不充分条件．故选：B．
3．解：由25054321=++++xxxxx，得,505250==x 又9.5467.0+=xy，， .4424.885554321===++++yyyyyy 故选：D.
4．解：由约束条件−+0543yxxy作出可行域如图， 联立,054=−+=yxx解得)1,4(A，故xyz=的最小值为41，命题P为真命题； 直线2=x的倾斜角为2正确，故命题q为真命题． 则qp为真命题；())(qp为假命题；qp)(为假命题；)(qp为假命题. 故选：A． 5．解：由题意得，两个单位向量21,ee， 因为121)2(eee⊥−，所以0)2(121=−eee，所以,122121==eee 所以21,cos212121==eeeeee，又因为],0[,21ee，所以3,21ee，故选：B．
6．解：)2,0(，+43,44， 又31)4cos(=+，.3224cos14sin2=+−=+ )0,2(−，)2,4(24−，
2021届广东省佛山市禅城区普通高中高三上学期统一调研测试(一)(一模)数学试题及答案
绝密★启用前广东省佛山市禅城区普通高中2021届高三年级上学期统一调研测试(一) (一模)数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|20A x x x =--≤，{|B x y ==，则A B ⋃=（ ）A ．2{|}1x x -≤≤B ．2}|0{x x ≤≤C ．{1|}x x ≥-D ．{|}0x x ≥ 2．若复数z 满足()12z i i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．命题“x ∀∈R ，210x x -+>”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ,210x x -+≤B ．x ∀∈R ,210x x -+<C ．0x ∃∈R ,20010x x -+≤D ．0x ∃∈R ,20010x x -+<4．设x ∈R ,则“24x >”是“()lg 10x ->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设0.5log 3a =,30.5b =,0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数共有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种7．已知函数ln ,0(),0e xx x x f x x x >=≤⎧⎪⎨⎪⎩,则函数()1y f x =-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．8．函数()22log ,1,()1,1,x x f x f x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(–4)∞，B ．(4],-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-二、多项选择题,本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分．9．某特长班有男生和女生各10人,统计他们的身高,其数据（单位：cm ）如下面的茎叶图所示,则下列结论正确的是（ ）。
广东省实验中学高三数学上学期第一次段考试卷文(含解析)
广东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，322．（5分）如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}3．（5分）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A（1，2），B（﹣1，3），则=（）A．1+i B．i C．1﹣i D．﹣i4．（5分）如图是某高中举办的2010年元旦学生歌曲大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（）A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，855．（5分）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A．定B．有C．收D．获6．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1 B．C．2 D．37．（5分）在△ABC中，若 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．（5分）已知直线l丄平面α，直线m⊂平面β，则“l∥m”是“α⊥β”的（）A．充要条件B．必要条件C．充分条件D．既不充分又不必要条件9．（5分）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或10．（5分）各项互不相等的有限正项数列{a n}，集合A={a1，a2，…，a n，}，集合B={（a i，a j）|a i∈A，a j∈A，a i﹣a j∈A，1≤i，j≤n}，则集合B中的元素至多有（）个．A．B．2n﹣1﹣1 C．D．n﹣1二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，，a1成等差数列，则=．12．（5分）在△ABC中，AB=1，，，则BC=．13．（5分）已知点A（x1，a x1），B（x2，a x2）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同两点，则类似地有成立．二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为．三.（坐标系与参数方程选做题）15．在极坐标系中，过点作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是．三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答填写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．17．（12分）为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率分布直方图第1组[15，25）50.5第2组[25，35）a0.9第3组[35，45）27 x第4组[45，55）90.36第5组[55，65）30.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．18．（14分）如图，斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EC⊥平面ABC；（2）求三棱锥A1﹣EFC的体积．19．（14分）等比数列{c n}满足c n+1+c n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{a n}的前n项和为S n，且a n=log2c n．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）数列的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T1，T m，T k成等比数列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．21．（14分）已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，B n（n，y n），…（n∈N*）顺次为直线上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，A n（x n，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点A n、B n、A n+1构成以B n为顶点的等腰三角形．（1）证明：数列{y n}是等差数列；（2）求证：对任意的n∈N*，x n+2﹣x n是常数，并求数列{x n}的通项公式；（3）对上述等腰三角形A n B n A n+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）广东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32考点：系统抽样方法．专题：计算题．分析：由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的．解答：解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选B．点评：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．2．（5分）如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），然后利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁R B={x|x≥1}．由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），∴A∩（∁R B）={x|1≤x＜2}，故选B．点评：本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用数轴求基本运算是解决此类问题的基本方法．3．（5分）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A（1，2），B（﹣1，3），则=（）A．1+i B．i C．1﹣i D．﹣i考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：由复数的几何意义可知z1=1+2i，z2=﹣1+3i，∴，故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键．4．（5分）如图是某高中举办的2010年元旦学生歌曲大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（）A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，85考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：计算题．分析：按照要求调整数据以后，这组数据是84，85，86，84，87，在这组数据中出现的次数最多的是84，把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85，得到众数和中位数．解答：解：去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据是84，85，86，84，87，在这组数据中出现的次数最多的是84，∴众数是84，把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85，∴中位数是85，故选A．点评：对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．考查最基本的知识点．5．（5分）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A．定B．有C．收D．获考点：棱柱的结构特征．专题：数学模型法．分析：利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体，然后看“努”相对面．解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．故选B．点评：本题考查了正方形相对两个面上的文字问题，同时考查空间想象能力．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1 B．C．2 D．3考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型．7．（5分）在△ABC中，若 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，结合两角和的正弦公式即可得A，B的关系，从而可判断解答：解：∵sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，∴sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB∴A=B（A+B=π舍去），是等腰三角形故选B点评：本题主要考查了两角和的正弦公式的简单应用，属于基础试题8．（5分）已知直线l丄平面α，直线m⊂平面β，则“l∥m”是“α⊥β”的（）A．充要条件B．必要条件C．充分条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：利用充分条件和必要条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：∵直线l丄平面α，l∥m，∴m丄平面α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β成立．若α⊥β，当直线l丄平面α时，则l⊂β或l∥β，但l∥m，不一定成立，∴“l∥m”是“α⊥β”的充分条件．故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用线面垂直和面面垂直的性质和判定定理是解决本题的关键．9．（5分）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或考点：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．解答：解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D点评：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．10．（5分）各项互不相等的有限正项数列{a n}，集合A={a1，a2，…，a n，}，集合B={（a i，a j）|a i∈A，a j∈A，a i﹣a j∈A，1≤i，j≤n}，则集合B中的元素至多有（）个．A．B．2n﹣1﹣1 C．D．n﹣1考点：集合中元素个数的最值．分析：根据各项互不相等的有限正项数列{a n}，不妨假设数列是单调递增的，进而分类讨论，利用数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：因为各项互不相等的有限正项数列{a n}，所以不妨假设数列是单调递增的因为集合A={a1，a2，…，a n}，集合B={（a i，a j）|a i∈A，a j∈A，a i﹣a j∈A，1≤i，j≤n}，所以j=1，i最多可取2，3，…，nj=2，i最多可取3，…，n…，j=n﹣1，i最多可取n所以集合B中的元素至多有1+2+…+（n﹣1）=故选A．点评：本题主要考查集合与元素的关系，考查组合的有关知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，，a1成等差数列，则=．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得则=，故本题得解．解答：解：设{a n}的公比为q（q＞0），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=．∴则==．故答案为．．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．12．（5分）在△ABC中，AB=1，，，则BC=1或．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由三角形的面积求得sinA的值，可得cosA的值，再由余弦定理求得BC的值．解答：解：由题意可得=•AB•AC•sinA=，故sinA=，故cosA=±，当cosA=时，由余弦定理求得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=1+2﹣2=1，故BC=1．当cosA=﹣时，由余弦定理求得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=5，故BC=，故答案为 1或．点评：本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．（5分）已知点A（x1，a x1），B（x2，a x2）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同两点，则类似地有成立．考点：类比推理．专题：探究型；推理和证明．分析：由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知．解答：解：由题意知，点A、B是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结成立；而函数y=sinx（x∈（0，π））其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论．故答案为：．点评：本题考查类比推理，求解本题的关键是理解类比的定义，及本题类比的对象之间的联系与区别，从而得出类比结论．二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为4.5．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角．专题：计算题．分析：根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出DB的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度．解答：解：∵过点C的切线交AB的延长线于点D，∴DC是圆的切线，DBA是圆的割线，根据切割线定理得到DC2=DB•DA，∵AB=5，CD=6，∴36=DB（DB+5）∴DB=4，由题意知∠D=∠D，∠BCD=∠A∴△DBC∽△DCA，∴∴AC==4.5，故答案为：4.5点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似的判定定理与性质定理，本题解题的关键是根据圆中的比例式，代入已知线段的长度求出未知的线段的长度，本题是一个基础题．三.（坐标系与参数方程选做题）15．在极坐标系中，过点作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是ρcosθ=2．考点：极坐标系．专题：计算题；转化思想．分析：求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可．解答：解：的直角坐标为：（2，2），圆ρ=4sinθ的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0；显然，圆心坐标（0，2），半径为：2；所以过（2，2）与圆相切的直线方程为：x=2，所以切线的极坐标方程是：ρcosθ=2故答案为：ρcosθ=2点评：本题是基础题，考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查计算能力，转化思想．三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答填写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）把x=直接代入函数的解析式，化简求得f（）的值．（II）由cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）．化简函数的解析式为sin（2x+），从而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．解答：解：（I）由函数的解析式可得=+=0+=．…（4分）（II）∵cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）故f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．因为=sinx（cosx﹣sinx）+=sin2x﹣sin2x+=sin2x﹣+=sin2x+cos2x=sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为 T==π．由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，得 kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，所以，f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+），（kπ+，kπ+），k∈z．…（13分）点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．17．（12分）为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率分布直方图第1组[15，25）50.5第2组[25，35）a0.9第3组[35，45）27 x第4组[45，55）90.36第5组[55，65）30.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率=该组人数÷总人数n，即可求得a，x的值．（2）依题意第2，3，4组中回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，得出每组分别抽取的人数，由此能求出所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解答：解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，再结合频率分布直方图可知．…（2分）∴a=100×0.020×10×0.9=18，…（4分），…（6分）（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，第3组：人，第4组：人．…（8分）设第2组的2人为A1、A2，第3组的3人为B1、B2、B3，第4组的1人为C，则从6人中抽2人所有可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C），共15个基本事件，…（10分）其中第2组至少有1人被抽中的有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C）这9个基本事件．∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为．…（12分）点评：此题把统计和概率结合起来考查，重点考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率和计算，以及频率分布直方图．18．（14分）如图，斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EC⊥平面ABC；（2）求三棱锥A1﹣EFC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足．易得四边形OCEA1为平行四边形，进而可得EC∥A1O，且EC=A1O．再由已知和面面垂直的性质可得所以A1O⊥底面ABC，进而可得结论；（2）F到平面A1EC的距离等于B点到平面A1EC距离BO的一半，可得BO=，所以，代入数据计算可得．解答：证明：（1）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足．因为，所以，即O为AC的中点，所以OC∥A1E，且OC=A1E…（3分）可得四边形OCEA1为平行四边形，故EC∥A1O，且EC=A1O．因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC．…（6分）（2）F到平面A1EC的距离等于B点到平面A1EC距离BO的一半，而BO=．…（8分）所以．…（12分）点评：本题考查直线与平面垂直的判定，涉及三棱锥体积的求解，属中档题．19．（14分）等比数列{c n}满足c n+1+c n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{a n}的前n项和为S n，且a n=log2c n．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）数列的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T1，T m，T k成等比数列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由．考点：数列递推式；等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可求，c1+c2，c2+c3，从而可求公比q，及c1，结合等比数列的通项公式可求c n，进而可求a n，结合等差数列的求和公式可求s n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用裂项可求T n，然后结合等比数列的性质可求满足条件的m，k解答：解：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可得，c1+c2=10，c2+c3=40，所以公比q=4…（2分）∴c1+c2=c1+4c1=10得c1=2∴…（4分）所以…（5分）由等差数列的求和公式可得，…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知于是…（9分）假设存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T1，T m，T k成等比数列，则，可得，所以﹣2m2+4m+1＞0从而有，，由m∈N*，m＞1，得m=2…（11分）此时k=12．当且仅当m=2，k=12时，T1，T m，T k成等比数列．…（12分）点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，数列的裂项求和方法的应用．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（I）先求函数f（x）的导数，再对字母a进行分类讨论，根据导数大于0函数单调递增，导数小于0时函数单调递减可得答案．（Ⅱ）欲证当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立，只须证明对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max＜f（x）min．由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，从而有f（x）min=a，同样地利用导数可得，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，从而g（x）max=g （a）=alna﹣a，最后利用作差法即可得到g（x）max＜f（x）min．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘当a＜0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，又f（0）=a，f（e）=所以f（x）min=a，同样地，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，所以g（x）max=g（a）=alna﹣a，因为a﹣（alna﹣a）=a（2﹣lna）＞a（2﹣lne）=a＞0，所以对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max=g（e）=alna﹣a＜a=f（x）min．所以对于任意x1，x2∈（0，e]，仍有x1，x2∈（0，e]．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．…（13分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，B n（n，y n），…（n∈N*）顺次为直线上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，A n（x n，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点A n、B n、A n+1构成以B n为顶点的等腰三角形．（1）证明：数列{y n}是等差数列；（2）求证：对任意的n∈N*，x n+2﹣x n是常数，并求数列{x n}的通项公式；（3）对上述等腰三角形A n B n A n+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）考点：等差关系的确定；数列的函数特性；三角形的形状判断．专题：计算题．分析：（1）根据B n（n，y n）在直线上可得，然后根据等差数列的定义可知数列{y n}是等差数列；（2）由题意得，则x n+x n+1=2n，根据递推关系又有x n+2+x n+1=2（n+1）两式作差可得x n+2﹣x n是常数，从而x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列，即可求出数列{x n}的通项公式；（3）提出问题：若等腰三角形A n B n A n+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．讨论n的奇偶，求出|A n A n+1|，过B n作x轴的垂线，垂足为C n，则，要使等腰三角形A n B n A n+1为直角三角形，必须且只须：|A n A n+1|=2|B n C n|，从而求出a的值．解答：解：（1）依题意有，于是．所以数列{y n}是等差数列．（4分）（2）由题意得，即x n+x n+1=2n，（n∈N*）①所以又有x n+2+x n+1=2（n+1）．②由②﹣①得：x n+2﹣x n=2，所以x n+2﹣x n是常数．（6分）由x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．x1=a（0＜a＜1），x2=2﹣a，那么得x2k﹣1=x1+2（k﹣1）=2k+a﹣2，x2k=x2+2（k﹣1）=2﹣a+2（k﹣1）=2k﹣a．（k∈N*）（8分）故（10分）（3）提出问题：若等腰三角形A n B n A n+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．解：当n为奇数时，A n（n+a﹣1，0），A n+1（n+1﹣a，0），所以|A n A n+1|=2（1﹣a）；当n为偶数时，A n（n﹣a，0），A n+1（n+a，0），所以|A n A n+1|=2a；过B n作x轴的垂线，垂足为C n，则，要使等腰三角形A n B n A n+1为直角三角形，必须且只须：|A n A n+1|=2|B n C n|．（13分）当n为奇数时，有，即①∴，当n≥5，a＜0不合题意．（15分）当n为偶数时，有，，同理可求得当n≥4时，a＜0不合题意．（17分）综上所述，使等腰三角形A n B n A n+1中，有直角三角形，a的值为或或．（18分）点评：本题主要考查了数列与几何的综合，同时考查了数列的通项公式，第三问是开放题，有一定的新意，属于中档题．。
2021届广东省汕头市高三第一学期普通高中毕业班教学质量监测数学试题【含答案】
2021届广东省汕头市高三第一学期普通高中毕业班教学质量监测数学试题【含答案】考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名等信息填涂在答题卡相应位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷 选择题一、单项选择题：本题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合()(){}240A x x x =--<，{}3B x x =<，则A B ⋃=（ ） A ．{}2x x >B ．{}4x x <C ．{}23x x <<D ．R2．已知a 是实数，1a ii--是纯虚数，则a =（ ） A ．1B ．2-C ．1-D ．23．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组勾股数3，4，5，则由这组勾股数组成没有重复数字的三位数中，能被2整除的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．234．已知()3sin3a =，sin33b =，lnsin3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<5．爱美之心，人皆有之健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了100名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如柱状图1所示，经过六个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示．对比健身前后，关于这100名肥胖者，下面结论不正确．．．的是（ ）柱状图1柱状图2A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数增加了10个B ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少C ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变D ．因为体重在[)100,110内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响 6．()()522x y x y --的展开式中的33x y 系数为（ ）A ．200-B ．120-C ．120D ．2007．已知定义在R 的函数()y f x =满足以下条件：①对任意R x ∈都有()()0f x f x --=；②对任意[)12,0,x x ∈+∞且12x x ≠都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦；③()20f =，则不等式()2log 0f x >的解集为（ ） A ．()10,4,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),22,-∞⋃+∞C ．()4,+∞D ．()2,+∞8．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等现将椭圆2211636x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）图1图2图3A ．64πB ．148πC ．128πD ．32π二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知数列{}n a 是公差为3的等差数列，41a =，数列{}n a 前n 项和为n S ，下面选项中正确的是（ ）A ．8621a a =+B ．n S 小值为15-C ．0n S >时n 的最小值为7D ．{}n a 前n 项之积最大值4010．下列不等式正确的有（ ） A ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数2sin sin y x x=+的最小值为22 B ．若log xa a x >恒成立，则22a ≤C ．函数312y x x=--()0x <的最小值为126+ D ．已知实数a ，b 满足ln ln a b =且a b ≠，则14a b+的最小值是411．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如上图所示，现将()y f x =的图象向左平移4π个单位，得到()y g x =的图象，下列说法错误．．的是（ ）A ．该图象对应的函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．函数()y g x =的图象关于直线6x π=对称C ．函数()y g x =的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．函数()y g x =在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1AB 上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面BCM ⊥平面1A AMB ．三棱锥1B MBC -体积最大值为16C ．当M 为1AB 中点时，直线1BD 与直线CM 所成的角的余弦值为2 D ．直线CM 与1A D 所成的角不可能是4π第Ⅱ卷 非选择题三、填空题：本题共4小题．13．设向量(),1a x =，()2,b x =-，且a b ⊥，则x =______．14．已知ABC △的三个顶点分别为()3,0A -，()2,1B ，()2,3C -，则顶点B 到BC 边上中线AD 所在直线的距离为______．15．如图，一辆汽车以每秒20米的速度在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶到达B 处时，测得此山顶D 在西偏北75°的方向上，仰角为60°，已知山的高度()360062CD =-米，则汽车从A 到B 行驶了______小时．16．直三棱柱的顶点都在一个半径为3的球面上，底面是等腰ABC △，且34AB AC BC ==，当直三棱柱的体积最大时，此时它的高的值为______．四、解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①222sin sin sin sin sin A B C B C +=+，②2cos 2a C b c =-这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并解答．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b c ，23a =，4b =且满足______，求ABC △面积． 18．已知公比不为1的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，4181a =，且1S ，2S ，33a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()cos n n b a n π=⋅，求数列{}n nb 的前n 项和．19．已知边长为2的等边ABC △（图1），点D 和点E 分别是边AC 、AB 上的中点，将ADE △沿直线DE折到ADE △的位置，使得平面A DE '⊥平面BCDE （图2），此时点O 和点P 分别是边DE 、BE 上的中点．（1）证明：CD ⊥平面A OP '；（2）求平面A CD '与平面BCDE 所成锐二面角的余弦值．图1图220．当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，为提高防控能力以及实效，某学校为宣传防疫知识做了大量工作，近期该校还将准备组织一次有关新冠病毒预防知识竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两阶段进行．初赛共有5道必答题，答对4道或4道以上试题即可进入决赛；决赛阶段共3道选答题．每位同学都独立答题，且每道题是否答对相互独立．已知甲同学初赛阶段答对每道题的概率为23，决赛阶段答对每题的概率为13． （1）求甲同学进入决赛的概率；（2）在决赛阶段，若选择答题，答对一道得4分，答错一道扣1分，选择放弃答题得0分，已知甲同学对于选答的3道题，选择回答和放弃回答的概率均为12．已知甲同学已获决赛资格，求甲同学在决赛阶段，得分x 的分布列及数学期望．21．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>其左、右焦点分别为1F 、2F ，且离心率为22，点B 为椭圆的一个顶点，三角形12BF F 的面积为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ △为等边三角形，求点P 的横坐标． 22．已知()()ln 11xf x ae x =-+-．（1）当1a =时，求()f x 的最小值； （2）若()1ln f x a≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、单项选择题：本题共12小题． 1．B2．C3．B4．D5．D6．A7．A8．C二、多项选择题：本题共4小题． 9．BCD10．CD11．BD12．ABC三、填空题：本题共4小题． 13．0147131315．0.116．23四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：若选①：222sin sin sin sin sin A B C B C +=+， 由正弦定理得222a b c bc =+-，又23a =4b =，代入222a b c bc =+- 解得2c =． ∵222b ac =+ ∴2B π=∴ABC △面积112322322ABC S ac ==⋅=△ 若选①：222sin sin sin sin sin A B C B C +=+， 由正弦定理得222a b c bc =+-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<< ∴3A π=．又23a =4b =，代入222a b c bc =+- 解得2c =．∴ABC △面积113sin 422322ABC S bc A ==⋅⋅=△ 若选①：222sin sin sin sin sin A B C B C +=+，由正弦定理得222a b c bc =+-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<< ∴3A π=．又23a =，4b =，由正弦定理sin sin a b A B =得234sin sin 3Bπ=，∴sin 1B =． ∵0B π<<，∴2B π=．∴6C π=．∴ABC △面积111sin 23423222ABC S ab C ==⋅⋅⋅=△． （得到2B π=后，也可以算出边222c b a =-=．然后112322322ABC S ac ==⋅⋅=△．） 若选②：2cos 2a C b c =-，由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=-， 整理得222a b c bc =+-， 下面的解答与选①的各种解法一样 若选②：2cos 2a C b c =-，由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=-， 整理得222a b c bc=+-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<< ∴3A π=．下面的解答与选①的各种解法一样 若选②：2cos 2a C b c =-，由正弦定理得()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin A C B C A C C A C A C C =-=+-=+-整理得2cos sin sin A C C =()sin 0C ≠， ∴1cos 2A =，()0A π<< ∴3A π=．下面的解答与选①的各种解法一样（若用其他解法做对按分值和相应步骤给分）18．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ()1q ≠，且1S ，2S ，33a 成等差数列 所以有21323S S a =+∴()121323a a a a +=+，即23210q q --=，且1q ≠解得：13q =-，又4181a =∴3111381a ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，即113a =-∴1113nn n a a q -⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）可知，13n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得1cos 3nn b n π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭∵()cos 1nn π=-∴()11133nnn n b ⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13nn nb n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∴12311111233333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴23411111112333333n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①－②，得1231211111333333nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11113311313nn n +⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⨯ ⎪⎝⎭-111112233n n n +⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴1331133213234432344343nnnn n nn n n T ++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯=-⋅=⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 19．（1）连接BD∵点O 和点P 分别是边DE 、BE 上的中点． ∴//BD OP∵等边ABC △中，点D 是边AC 的中点 ∴DC BD ⊥∴DC OP ⊥∵等边ADE △中，点O 是边DE 的中点 ∴A O DE '⊥又∵A O '⊂平面A DE '∵平面A DE '⊥平面BCDE 且平面A DE '⋂平面BCDE DE = ∴A O '⊥平面BCDE ∴A O CD '⊥ ∵A O OP O '⋂=∴CD ⊥平面A OP '（2）连接BC 的中点H ，由图1得OH BC ⊥以O 为坐标原点，分别以OH ，OD ，OA '所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则30,0,2A ⎛' ⎝⎭，10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，32C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以130,,22DA ⎛'=- ⎝⎭，31,022DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面A CD '的法向量为(),,n x y z =．由1302231022n DA y z n DC x y ⎧'⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取3y =()1,3,1n =-； 因为平面BCDE 的法向量为()0,0,1m = 设平面A CD '与平面BCDE 所成锐二面角为θ5cos131m nm nθ⋅===++所以，平面A CD'与平面BCDE所成锐二面角的余弦值为5．20．解：（1）甲同学进入决赛的概率为：454555212112333243P C C⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）依题意得，甲同学每道题选择回答并答对的概率为111236⨯=，选择回答且答错的概率为111236⨯=，选择放弃回答的概率为12．X的可能取值为3-，2-，1-，0，2，3，4，7，8，12．所以()3113327P X⎛⎫=-==⎪⎝⎭，()2131112236P X C⎛⎫=-=⨯⨯=⎪⎝⎭，()2231111234P X C⎛⎫=-=⨯⨯=⎪⎝⎭，()31128P X⎛⎫===⎪⎝⎭，()22311123618P X C⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()1132111132366P X C C==⨯⨯⨯⨯=，()2231114268P X C⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()21311173636P X C⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()21311182624P X C⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()311126216P X⎛⎫===⎪⎝⎭，所以X的分布列为：X3-2-2-0 2 3 4 7 8 12 P12716141811816181361241216 ()()()()32123478121 276418683624216E x=-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．21．【解答】解：（1）由题意有：222222c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：22142x y += （2）方法1：设()00,P x y ，则2200142x y +=，且()2,0A -， 若点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点4AP =，6AQ =PAQ △不是等边三角形，不合题意，所以02x ≠±，00y ≠．设线段PA 中点为M ，所以002,22x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为PA MQ ⊥，所以1PA MQ k k ⋅=-，因为直线PA 的斜率002AP y k x =+，所以直线MQ 的斜率002MQ x k y +=-， 又直线MQ 的方程为00002222y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 令0x =，得到()()00002222Q x x y y y +-=+ 因为2200142x y +=，所以02Q y y =-， 因为PAQ △为正三角形， 所以AP AQ =()2222000224y x y ++=+化简，得到200532120x x ++=，解得025x =-，06x =-（舍） 故点P 的横坐标为25-． 方法2：设()00,P x y ，直线AP 的方程为()2y k x =+．当0k =时，点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点，4AP =，6AQ =PAQ △不是等边三角形，不合题意，所以0k ≠． 联立方程()221422x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得()2222128840k x k x k +++-=， 所以160∆=>，所以()2028212k x k -+-=+， 设线段PA 中点为M ，所以20224212M x k x k --==+，2224221212M k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭， 所以22242,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为AP MQ ⊥，所以1MQ K k=-， 所以直线MQ 的方程为2222141212k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭， 令0x =，得到22222142121212Q k k k y k k k k -=-⋅=+++， 因为PAQ △为正三角形，所以AP AQ =， 222242141212k k k k -⎛⎫+=+ ⎪++⎝⎭ 化简，得到42430k k +-=，解得234k =，21k =-（舍）， 所以202422125k x k -+==-+， 故点P 的横坐标为25-． 方法3：设()00,P x y ，当直线AP 的斜率为0时，点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点，4AP =，6AQ =PAQ △不是等边三角形，不合题意，所以直线AP 的斜率不为0．设直线AP 的方程为2x ty =-，联立方程221422x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元得，()22240t y ty +-=， 所以0242t y t =+， 设线段PA 中点为M ，所以222M t y t =+，242M x t -=+， 所以2242,22t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为AP MQ ⊥，所以1MQ k k =-， 所以直线MQ 的方程为222422t y t x t t -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭， 令0x =，得到222Q t y t -=+ 因为PAQ △为正三角形，所以AP AQ = 2222421422t t t t t ⎛⎫+=+ ⎪++⎝⎭化简，得到42340t t --=，解得243t =，21t =-（舍） 所以20224245t x t -==-+， 故点P 的横坐标为25-． 22．解：（1）当1a =时，()()ln 11x f x e x =-+-，()f x 的定义域为()1,-+∞，∵()11x f x e x '=-+，()()2101x f x e x ''=+>+恒成立，故()f x '在()1,-+∞上单调递增（不二次求导直接判断，不扣分），∵()00f '=，∴当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>∴()()min 00f x f ==．（2）若原式成立，即()ln 1ln 10xae x a -++-≥恒成立， 令()()ln 1ln 1xg x ae x a =-++-，()1,x ∈-+∞，()0,a ∈+∞，∵()11x g x ae x '=-+，()()2101x g x ae x ''=+>+，∴()g x '在()1,-+∞上单调递增， 当1a =时，由知()()0g x f x =≥恒成立，故1a =成立；当01a <<时，()0ln 110g a a a =+-<-<，故不成立；当1a >时，()010g a '=->，11111110a a g ae a a e a --⎛⎫⎛⎫'-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()1100g g a ⎛⎫''-⋅< ⎪⎝⎭，∴()g x '在()1,-+∞上有唯一零点0x ，且011,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 当()01,0x ∈-时，()0g x '<，当()00,x ∈+∞时，()0g x '>，∴()000101x g x ae x '=-=+，则0011x ae x =+，即()00ln ln 1a x x +=-+， ∴()()()0000min 01ln 1ln 1ln ln 11x g x g x ae x a a x a x ==-++-=+++-+ ()()00001112ln 2212ln 22ln 011x a x a a x x =+++->⋅+-=>++， 故1a >成立，所以，综上所述1a ≥．。
2021年 广东实验中学高一上学期第一次段考数学试配套精选卷
广东实验中学高一年级2021—2021学年度上学期第一次段考数学科试卷第I卷〔选择题〕一、单项选择题〔只有一个选项正确，每题5分，共40分〕1．全集，集合，集合，那么〔〕A．B．C．D．2．命题：“，〞的否认是〔〕A．不存在，B．，C．，D．，3．函数，那么的值域是〔〕A．B．C．D．4．，那么“〞是“〞的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件5．假设函数的定义域为，那么函数的定义域是〔〕A．B．C．D．6．不等式的解集为,那么不等式的解集为A．或B．C．D．或7．设集合，．假设，那么A．B．C．D．8．设,假设,那么〔〕A．2B．4C．6D．8二、多项选择题〔至少有2个选项正确，多项选择，错选不得分，漏选得3分，每题5分，共2021 9．以下各组函数中，两个函数是同一函数的有〔〕A．与B．与C．与D．与10．函数是定义在R上的奇函数，以下说法正确的选项是〔〕A．B．假设在上有最小值，那么在上有最大值1C．假设在上为增函数，那么在上为减函数D．假设时，，那么时，11．对于实数、、，以下命题中正确的选项是〔〕A．假设，那么；B．假设，那么C．假设，那么D．假设，，那么，12．以下求最值的运算中，运算方法错误的有〔〕A．当时，，故时，的最大值是B．当时，，当且仅当取等，解得或，又由，所以取，故时，的最小值为C．由于，故的最小值是2D．当，且时，由于，，又，故当，且时，的最小值为4第II卷〔非选择题〕三、填空题〔每题5分，共202113．设函数，那么________14．函数的最小值是__________15．以下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 m的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________；16．假设函数在上为增函数，那么取值范围为_____四、解答题〔17题10分，18，19，20211，22每题12分，共70分〕17．全集，集合，集合〔1〕假设，求和；〔2〕假设，求实数的取值范围18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理本钱〔元〕与月处理量〔吨〕之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元〔1〕该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理本钱最低？〔2〕该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，那么国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？19．函数是定义在上的奇函数，且〔1〕求函数的解析式；〔2〕判断函数在上的单调性，并用定义证明；〔3〕解关于的不等式，2021数的定义域为,且对任意,有,且当时〔1〕证明:是奇函数;〔2〕证明:在上是减函数;〔3〕求在区间上的最大值和最小值21．，假设，解不等式；假设不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；假设，解不等式．22．幂函数满足；；1〕求函数的解析式；；2〕假设函数，是否存在实数使得的最小值为0？假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由；；3〕假设函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？假设存在，求出实数的取值范围；假设不存在，说明理由．广东实验中学高一年级2021—2021学年度上学期第一次段考数学参考答案1．B 2．C 3．C 4．A 5．B 6．A 7 D 8．C由时是增函数可知,假设,那么,所以,由得,解得,那么,应选C9．AC对A, ,故A正确对B, 定义域为,定义域为,故B错误对C, ,故C正确对D, 定义域为,错误应选：AC10．ABD由得，A正确；当时，，那么时，，，最大值为1，B正确；假设在上为增函数，那么在上为增函数，C错；假设时，，那么时，，，D正确．应选：ABD．11 BCD假设，那么由得，A错；假设，那么，，B正确；假设，那么，∴，∴，C正确；假设，且同号时，那么有，因此由得a>0，b<0,D正确．应选：BCD．12．BCD对于A中，根据根本不等式，可判定是正确的；对于B中，当时，，当且仅当取等，即时，最小值为，所以B不正确；对于C中，由于，当且仅当，即时，此时不成立，所以C项不正确；对于D中，两次根本不等式的等号成立条件不相同，第一次是=4，第二次是=，所以不正确1314．由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为故填：15．①②③看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着，故③正确，④错误．故答案为①②③16．函数在上为增函数，那么需；解得；故填17〔1〕假设，那么集合，或，…………… 2分假设，那么集合，………… 4分〔2〕因为，所以，…………… 5分①当时，，解，…………… 6分②当时，即时，，…………… 7分又由〔1〕可知集合，，解得，且，…………… 9分综上所求，实数的取值范围为：．…………… 10分18．〔1〕由题意可知，月处理本钱〔元〕与月处理量〔吨〕之间的函数关系可近似地表示为，…………… 2分所以，每吨二氧化碳的平均处理本钱为，…………… 3分由根本不等式可得〔元〕，…………… 4分当且仅当时，即当时，等号成立，…………… 5分因此，该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理本钱最低；……… 6分〔2〕令…………… 8分，函数在区间上单调递减，…………… 10分当时，函数取得最大值，即…… 11分所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损…12分19．〔1〕，；…………… 4分〔2〕任取，所以函数在上是增函数；…………… 8分〔3〕…………… 12分20211〕因为的定义域为,且,令得,所以;令,那么,所以,从而有,所以,所以是奇函数…………… 4分〔2〕任取,且,那么,因为,所以,所以,所以,所以,从而在上是减函数…………… 8分〔3〕由于在上是减函数,故在区间上的最大值是,最小值是,由于,所以,由于为奇函数知,从而在区间上的最大值是6,最小值是6…………… 12分20211〕因为，，所以…………… 4分〔2〕任取，因为，所以故所以函数在上是增函数；…………… 8分〔3〕，…………… 12分21．当，不等式即，即，解得，或，故不等式的解集为，或．…………… 4分由题意可得恒成立，当时，显然不满足条件，．解得，故的范围为．…………… 8分假设，不等式为，即．，当时，，不等式的解集为；当时，，不等式即，它的解集为；当时，，不等式的解集为．…………… 12分22．〔；；为幂函数，；；；或；当时，在上单调递减，故不符合题意．当时，在上单调递增，故，符合题意．；； …………… 4分；；；令；；；；；；；；①当时，即时由图像可知，当时，有最小值，∴；；；当时，即时，由图像可知，当时，有最小值．；；〔舍〕．；当时，即时，由图像可知，时，有最小值，；；〔舍〕．；综上； …………… 8分；；；易知在定义域上单调递减，；，即；两式相减；；又；；；故有；〔消元〕假设；那么由得；但，又〔定义域〕；；令；；；； ；；；…………… 12分。
广东省佛山一中2021届高三上学期第一次月考考试文科数学试卷 Word版含答案
2022级高三上学期第一次月考试题文科数学一．选择题1. 设全集}5,4,3,2,1{=U，集合}4,3,2{=A，}5,2{=B，则=⋃)(ACBU( )A.{5}B.{1,2,5}C.}5,4,3,2,1{D.∅2．已知函数2y ax bx c=++，假如a b c>>，且0a b c++=，则它的图象可以是( )3．已知命题200040p x x ax∃∈：，＋－＜R，命题q：23x xx∀∈R，＜，则下列命题是真命题的是( )A. p q∧ B. ()?p q∧⌝C. ()()p q⌝∧⌝ D.()p q⌝∧4．左图是谈校长某日晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图像．若用黑点表示谈校长家的位置，则谈校长闲逛行走的路线可能是()5．给出下列函数：①()sinf x x=；②()tanf x x=；③2(1)()(11)2(1)x xf x x xx x-+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-->⎩④2,0()2,0xxxf xx-⎧>=⎨-<⎩则它们共同具有的性质是()A．周期性B．偶函数C．奇函数D．无最大值6.设函数()f x定义在[],a b上，则“()()0f a f b<”是“()f x在(,)a b上存在零点”的（）A．充分而不必要条件. B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.设,αβ都是锐角，则下列各式中成立的是（）A.sin()sin sinαβαβ+>+B.cos()cos cosαβαβ+>+C.()sin()sinαβαβ+>-D.()cos()cosαβαβ+>-8．已知函数()931x xf x m m=-⋅++在x∈(0，＋∞)上的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是()A．(222,22-+B．(),2-∞C．(,222-∞+D．)222,⎡++∞⎣9．函数()lnf x x x a=--有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) A．(],1-∞-B(),1-∞-C．[)1,-+∞D．()1,-+∞10. 已知锐角A是三角形ABC的一个内角，,,a b c是各内角所对的边,若221sin cos2A A-=，则下列各式正确的是（）A. 2b c a+≤ B. 2a c b+≤ C. 2a b c+≤ D. 2a bc≤11.若关于x的不等式23||x a x-->至少有一个负数解，则实数a的取值范围是A．13,34⎛⎫-⎪⎝⎭ B．1313,44⎛⎫-⎪⎝⎭ C．()3,3-D．133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭（）12．已知函数)(xfy=是R上的偶函数，对于Rx∈都有)3()()6(fxfxf+=+成立，且(6)2f-=-，当]3,0[,21∈xx，且21xx≠时，都有0)()(2121>--xxxfxf．则给出下列命题：①(2016)2f =-； ②6-=x 为函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在()9,6--上为减函数； ④方程0)(=x f 在[]9,9-上有4个根；其中正确的命题个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二. 填空题13．函数3()sin 1f x x x =++的图像关于点 对称．14．已知2(1cos )sin f x x -=，则()f x ＝ ．15.关于θ的方程()cos lnsin (0,)θθθπ=∈的解的个数为 ．16．已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值为________．三. 解答题17．设集合12432x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭ ，. (1)当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数； (2)若B =，求m 的取值范围； (3)若，求m 的取值范围.18. 在ABC ∆中，角A,B,C ，的对边分别是,,a b c(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ) 若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积．19. 已知函数R x x x x x f ∈-=,sin 2cos sin 32)(2.（1）求函数)(x f 的最小正周期与单调增区间；（2）求函数)(x f 在[0,]4π上的最大值与最小值．20．已知二次函数()f x 有两个零点0和－2，且()f x 最小值是－1，函数()g x 与 ()f x 的图象关于原点对称．(1)求()f x 和()g x 的解析式；(2)若()()()h x f x g x λ=-在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．21.已知函数，满足(0)1,(1)0f f ==，且是偶函数． （1）求函数的解析式；（2）设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．22.设函数 （1）求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程；（2）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（3）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.2022级高三上学期第一次月考文科数学答案一．选择题 B D B D C D C C B A A D2．D 解析：由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，因而图象开口向上，又f (0)＝c <0，故D 项符{}012322<--+-=m m mx x x B φB A ⊇()2(,,)f x ax bx c a b c R =++∈()1f x +()f x ()()1(2)1f x x h x f x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩[,2]x t t ∈+2()()h x t h x +≤t ()32.f x x ax bx c =+++合要求．3. B 【解析】由方程x 2＋ax －4＝0得，Δ＝a 2－4×(－4)＝a 2＋16＞0，所以命题p 为真命题.当x ＝0时，20＝30＝1，所以命题q 为假命题，所以 p q ∧为假命题，()?p q ∧⌝为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题.8．C 解析：(方法一)令t ＝3x，则问题转化为函数g (t )＝t 2－mt ＋m ＋1在t ∈(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m )2－4(m ＋1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2≤1，1－m ＋1＋m ≥0，解得m ＜2＋2 2.(方法二)令t ＝3x，问题转化为m ＜t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)，即m 比函数y ＝t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)的最小值还小，又y ＝t 2＋1t －1＝t －1＋2t －1＋2≥2(t －1)2t －1＋2＝2＋22，所以m ＜2＋2 2.9. B 解析 函数f(x)＝lnx －x －a 的零点，即关于x 的方程lnx －x －a ＝0的实根，将方程lnx －x －a ＝0化为方程lnx ＝x ＋a ，令y 1＝lnx ，y 2＝x ＋a ，由导数学问可知，直线y 2＝x ＋a 与曲线y 1＝lnx 相切时有a ＝－1，若关于x 的方程lnx －x －a ＝0有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．故选B. 11.【解析】关于x 的不等式23||x a x -->，即23x a x -<-，且230x ->，在同一坐标系中，画出23y x =-和函数y x a =-的图象，当函数y x a=-的图象则左支经过点(0,3)时，求得3a =，当函数y x a =-的图象则右支和23y x =-图象相切时，方程组23y x a y x =-⎧⎨=-⎩有唯一的解，即220xx a +--=有唯一的解，故14(3)0a ∆=---=，解得134a =-，∴实数a 的取值范围是13(,3)4-．12.试题分析：令3x =-，由)3()()6(f x f x f +=+得(3)0f -=，又函数)(x f y =是R 上的偶函数，所以(3)(3)0f f =-=.(6)()f x f x +=.即函数)(x f y =是以6为周期的周期函数.所以(2016)(3366)(0)f f f =⨯=.又(6)2f -=-，所以(0)2f =-，从而(2016)2f =-；又函数关于y轴对称.周期为6，所以函数)(x f y =图象的一条对称轴为6-=x ；又当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ，设12x x <，则12()()f x f x <.故易知函数)(x f y =在[0,3]上是增函数.依据对称性，易知函数)(x f y =在[3,0]-上是减函数，又依据周期性，函数)(x f y =在()9,6--上为减函数；由于(3)(3)0f f =-=，又由其单调性及周期性，可知在[﹣9，9]，有且仅有(3)(3)(9)(9)0f f f f =-==-=， 即方程0)(=x f 在[9，9]上有4个根.综上所述，四个命题都正确.二、填空题13. (0，1) 14. －x 2＋2x(0≤x ≤2) 15. 2 16. 714. 解析 令1－cosx ＝t(0≤t ≤2)，则cosx ＝1－t.∴f(1－cosx)＝f(t)＝sin 2x ＝1－cos 2x ＝1－(1－t)2＝－t 2＋2t. 故f(x)＝－x 2＋2x(0≤x ≤2)．16.解析 由已知得log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3， 即log 2[(m －2)(2n －2)]＝3，因此⎩⎨⎧m>2，n>1，（m －2）（2n －2）＝8，于是n ＝4m －2＋1.所以m ＋n ＝m ＋4m －2＋1＝m －2＋4m －2＋3≥2（m －2）·4m －2＋3＝7.当且仅当m －2＝4m －2，即m ＝4时等号成立， 此时m ＋n 取得最小值7. 三、解答题17. 解：化简集合A=， ………………………………１分 集合B 可写为 ……………………２分 (1),即A 中含有8个元素，A 的非空真子集数为（个）. ………………………………3分(2)明显只有当m-1=2m+1即m=-2时，B= .…………………………………5分 (3)当B=即m=-2时，； ………………………………………6分当B 即时（ⅰ）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要只要，所以m 的值不存在；…………………8分 （ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要只要. ………………………………………9分 综合，知m 的取值范围是{}[1,2]2-- ……………10分18. 解：(Ⅰ)0A <<π，sin sin a c A C=，……………………………………………6分得cos 3A =． 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-，得22150bb --=．解得 5b =或 3b =-（舍去）．所以1sin 2ABCS bc A ∆==．…………………………………12分19.解：()2cos 21f x x x =+-12(sin 2cos2)122x x =+-π2sin(2)16x =+-. …………2分（Ⅰ）()f x 的最小正周期为2ππ.2T == …………………4分令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z . ……6分 （Ⅱ）由于04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以1sin(2x )126π≤+≤ ，于是 12sin(2)26x π≤+≤ ，所以0()1f x ≤≤. …………………8分 当且仅当0x =时，()f x 取最小值min ()(0)0f x f ==.…………10分当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==……12分20．解析：(1)依题意，设f(x)＝ax(x ＋2)＝ax 2＋2ax(a>0)． ∵f(x)图象的对称轴是x ＝－1， ∴f(－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1.∴f(x)＝x 2＋2x. …………………………………………2分 又∵函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，∴g(x)＝－f(－x)＝－x 2＋2x. …………………………………………4分 (2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x ) ＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x .{}52≤≤-x x {}0)12)(1(<--+-=m x m x x B {}5,4,3,2,1,0,1,2,--=∴∈A Z x ∴254228=-φφA B ⊆=φφ≠2-≠m A B ⊆⎩⎨⎧≤≤-⇒≤--≥+62351212m m m A B ⊆⎩⎨⎧≤≤-⇒≤+-≥-2151221m m m① 当1λ=-时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ② 当λ<－1时，h (x )图象对称轴是x ＝λ－1λ＋1， 则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1λ＋1≤－1， 又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]． ……………………………12分21.解（1）(0)11(1)02112f c a f a b c b b c a ⎧⎪===⎧⎪⎪=++=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪-=⎩2()21f x x x ∴=-+-…………3分 （2） 22(1) 1()(1) 1x x h x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩ ，易知()h x 在R 上单调递增， 22()()h x t h x x t x ∴+≤⇒+≤，即2t x x ≤-对任意[,2]x t t ∈+恒成立， ……………………………………5分 令2()x x x ϕ=-得 ① 当12t >时，()x ϕ在[],2t t +上单调递增，2min ()()0x t t t t t ϕϕ==-≥⇒≤或2t ≥，2t ∴≥；…………………7分②当122t +≤即32t ≤-时，()x ϕ在[],2t t +上单调递增减，22min ()(2)(2)(2)220x t t t t t t ϕϕ=+=+-+≥⇒++≥，此式恒成立，32t ∴≤-………………………………………………………………9分③当3122t -<≤时，2min 1111()()2224x t t ϕϕ⎛⎫==-≥⇒≤-⎪⎝⎭3124t ∴-<≤-． ………………………………………………………………11分综上，实数t 的取值范围的取值范围为[]1,2,4⎛⎤-∞-+∞⎥⎝⎦ ．………12分得2()32f x x ax b '=++． 22.（Ⅰ）由，由于(0),(0)f c f b '==，所以曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为y bx c =+．………2分（Ⅱ）当4a b ==时，，所以2()384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的状况如下：32027c -<时，所以，当0c >且存在 使得，由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 函数32()44f x x x x c =+++有三个不同零点．…………………………………7分 （Ⅲ）当24120ab ∆=-<时，2()320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞， ()32.f x x ax bx c =+++()3244.f x x x x c =+++()()()1230f x f x f x ===12322(4,2),2,,,033x x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不行能有三个不同零点．当24120a b =-=∆时，2()32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x -∞上单调递增； 当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增．所以()f x 不行能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120ab ∆=->．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件． 当4,0a b c ===，时，230ab ->，322()44(2)f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．……………12分。
广东实验中学2021届高三上学期第一次阶段考试(9月)+地理+word版含答案
广东实验中学2020-2021学年高三第一次阶段考试地理注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
一、选择题:本题共25小题，每小题2分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
某学校高一年级地理兴趣小组的同学，在学习“地球运动”内容时，选择学校附近开阔平坦的地方用指南针、量角器等进行研学实践活动(图2示意)。
某日11时20分(北京时间)测得的正午太阳高度和夜晚测得的北极星高度(量角器方位固定不变，图1示意)。
还观测到，这一天过后，同一时刻、同一地点测量学生的身影稍变短。
据此完成1~2题。
图1测量数据图2研学实践活动场景1.根据活动情况记录可判断，观测地点位于A.华北平原B.长白山区C.塔里木盆地D.云贵高原2.观测日期为当地的A.春分日B.夏至日C.秋分日D.冬至日3.统计数据表明，在多数太阳活动高峰年，全球农业倾向于增产;在太阳活动低峰年，歉收的几率更高一些。
这说明太阳活动会A.改变地貌形态，影响农作物产量B.改变气候状况，影响农作物产量C.改变水文状况，影响农作物产量D.改变土壤性状，影响农作物产量某岛国面积700多平方千米，由170多个岛屿组成，其首都是全球最早迎接新年的城市。
尽管可能遭遇飓风，但美丽的珊瑚、大片的椰林和新年第一缕阳光，仍吸引了各地游客来此迎接新年。
据此完成下列各题。
完成4~5题。
4.该国首都的位置可能是A.21°8'N，175°12'EB.42°10'N，170°22'WC.2108'S，175012'WD.42°10'S，170°22'E5.当该国首都迎来新年第一缕阳光时，北京时间最接近A.1: 00B.6:00C.11: 00D.20; 00下图示意我国拉萨地区多年平均太阳辐射与日照时数年内变化。
广东省佛山市2021届高三上学期教学质量检测(一模) 数学含答案
2020～2021学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数学2021年1月注意事项：1.答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4.请考生保持答题卷的整洁。
考试结束后，将答题卷交回。
一、选择题：本题共8小题每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U 为实数集，A ＝{x|x 2－3x ≤0}，B ＝{x|x>1}，则A ∩(∁U B)＝A.{x|0≤x<1}B.{x|0≤x ≤1}C.{x|1≤x<3}D.{x|0≤x ≤3}2.设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1＋i ，则12z z ⋅＝A.－2－2iB.2－2iC.－2iD.－23.若a ，b ，c 为非零实数，则“a>b>c ”是“a ＋b>2c ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.平行四边形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近B)，则EF ＝ A.11AB AD 23- B.11AB AD 42+ C.11AB AD 32+ D.12AB AD 23-5.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注。
5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖。
2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到A.2022年12月B.2023年2月C.2023年4月D.2023年6月6.设a ＝sin2，则A.a 2<2a <12log aB.12log a <2a <a 2C.a 2<12log a <2aD.12log a <a 2<2a7.函数f(x)＝|sinx|cosx的导函数f'(x)在[0，π]上的图像大致为8.已知函数f(x)＝14x4＋12ax2＋ax，则下列结论中正确的是A.存在实数a，使f(x)有最小值且最小值大于0B.对任意实数a，f(x)有最小值且最小值大于0C.存在正实数a和实数x0，使f(x)在(－∞，x0)上递减，在(x0，＋∞)上递增D.对任意负实数a，存在实数x0，使f(x)在(－∞，x0)上递减，在(x0，＋∞)上递增二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳市外国语学校2021届高三数学上学期第一次月考试题 【含答案】
又因为 x∈[0，＋∞)时，y′＝f(x)＋xf′(x)>0，
所以 y＝xf(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以 y＝xf(x)是定义在 R 上的增函数，
因为 log0.76<0<0.76<1<60.6，所以 b<a<c.
11.答案：ABC 解析：在 A 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从
A→1D
A→B1
∴ ＝(－a,0，－a)， ＝(0，a，a)，
A→1D·A→B1
A→1D A→B1 |A→1D||A→B1|
∴cos〈 ， 〉＝
＝
－a2
1
2a· 2a＝－2，
∴异面直线 A1D 与 AB1 所成的角为 60°. 同理：正方体的六个面中除了平面 ADD1A1 与 BCC1B1 的面对角线外其他的面对角线都与 A1D 所
业人员中 90 后占 56%，故 A 正确；
在 B 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图得
到：互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20%，故 B 正确；
在 C 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图得
到：互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多，故 C 正确；
1.若 (2 i)z 3 4i ，则 | z | （ ）
A. 2
B. 3
C. 2 3
D. 5
2.已知集合
A
{x
|
log2
(3x
1)
1}
，集合
B
{x
|
( 1 )x1 2
2 m } ，若
A
B
广东省2021届高三上学期新高考适应性测试(一)数学试题(解析版)
广东省2021届新高考适应性测试卷数学（一）本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题纸上.2. 回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上 对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 为虚数单位，复数z =41i-，则|z －i|=（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】先对复数进行化简，求出z i -的值，再利用复数z a bi =+的模长计算公式z =.【详解】解：z =41i-=4(1)(1)(1)i i i ++-=2(1+i )，所以|z －i |=|2＋i故选：D .【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题. 2. 已知集合{}12A x x =<<，集合{B x y ==，若A B A =，则m 的取值范围是（ ）A. (]0,1B. (]1,4C. [)1,+∞D. [)4,+∞【答案】D 【解析】 【分析】 由AB A =可得出A B ⊆，可知B ≠∅，解出集合B ，结合题意可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】A B A =且{}12A x x =<<，则A B ⊆，B ∴≠∅.若0m <，则20m x -<，可得B =∅，不合乎题意； 若0m ≥，则{}{}2B x y m x x m x m ==-=-≤≤，所以，2m ≥，解得4m ≥. 因此，实数m 的取值范围是[)4,+∞. 故选：D.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于中等题.3. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米（ ） A. 900斛 B. 2700斛C. 3600斛D. 10800斛【答案】B 【解析】 【分析】计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果. 【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为r ，则5454926r π===（尺）， 所以，该圆柱形容器的体积为221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺）， 因此，该圆柱形容器能放米437427001.62=（斛）.故选：B.【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.4. 在一项调查中有两个变量x 和y ，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y 关于x 的回归方程的函数类型是( )A. y a bx =+B. y c =+C. 2y m nx =+D. x y p qc =+（0q >）【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图的趋势，选定正确的选项.【详解】散点图呈曲线，排除A 选项，且增长速度变慢，排除选项C 、D ，故选B ． 【点睛】本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题. 5. 曲线ln y x x = 在点(,)M e e 处的切线方程为 A. 2y x e =+ B. 2y x e =- C. y x e =+ D. y x e =- 【答案】B 【解析】 【分析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可 【详解】由ln '1ln y x x y x =⇒=+，1ln 2x ey e ='=+=，所以过点(,)M e e 切线方程为()22y x e e x e =-+=-答案选B【点睛】本题考查在曲线上某一点()00,x y 切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为：先求曲线()f x 导数表达式()'f x ，求出()0'f x ，最终表示出切线方程()()000'y f x x x y =-+6. ()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为（ ）A. 2B. 2-C. 3D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】由题意转化条件得()()()()3331111x x x x x -+=+-+，再由二项式定理写出()31x +的通项公式，分别令3r =、2r ，求和即可得解.【详解】由题意()()()()3331111x x x x x -+=+-+，()31x +的通项公式为31331r rr r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅，令3r =，则3331rC C ==； 令2r，则2333r C C ==；所以()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为132-=-. 故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7. 若cos cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A. -1 B.12C. -1或12D. 12-或14【答案】C 【解析】 【分析】将已知等式平方，可根据二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系将等式化为21sin 21sin 22αα+=-，解方程可求得结果. 【详解】由cos cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：222cos cos 21sin 24πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭即21cos 21sin 221sin 222πααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==-，解得：sin 21α=-或12本题正确选项：C【点睛】本题考查三角函数值求解问题，关键是能够通过平方运算，将等式化简为关于sin 2α的方程，涉及到二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系的应用.8. 若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( ) A. 4a ≤B. 46a -≤≤C. 4a ≤或6a ≥D. 6a ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围【详解】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和22，则p 的值可以是( ) A. 2 B. 6C. 4D. 8【答案】AC 【解析】 【分析】由题意得32px +=，28px =，解方程即可. 【详解】设M 的横坐标为x ，由题意，32px +=，28px =，解得2p =或4p =.故选：AC【点睛】本题考查抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 10. 函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A. 1cos 223x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 1cos 226x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C. 1sin 223x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 1sin 223x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】BD 【解析】 【分析】根据最小值求得A ，根据周期求得ω，根据点111,122⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x 的解析式，结合诱导公式确定正确选项.【详解】由图象可得12A =，3111341264T =-=，解得1T =，所以2ωπ=，所以1()cos(2)2f x x πϕ=+，又()f x 的图象过点111,122⎛⎫⎪⎝⎭，则()112212k k Z πϕπ⨯+=∈，解得()1126k k Z πϕπ=-∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，即11()cos 2sin 226226f x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin 223x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1sin 223x ππ⎛--=⎫ ⎪⎝⎭. 故选BD【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查诱导公式，属于中档题.11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ） A. 某学生从中选3门，共有30种选法B. 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C. 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】CD 【解析】 【分析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.【详解】6门中选3门共有3620C =种，故A 错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有4245480A A =种排法，故B 错误； 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有3434144A A =种排法，故C 正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有51145444504A C C A +=种排法，故D 正确． 故选：CD【点睛】本题考查排列组合的应用，属于基础题.12. 设三个函数22x y x =+-，2log 2y x x =+-和32331y x x x =-+-的零点分别为1x ，2x ，3x ，则有（ ） A. 123x x x < B. 123x x x >C. 1232x x x +=D. 1232x x x +≥【答案】AC将1x ，2x 分别看成2x y =与2log y x =两个函数分别于2y x =-的交点，结合2x y =，2log y x =的图象关于直线y x =对称，直线2y x =-与y x =垂直，可以得到1x ，2x 对应的点是关于2y x =-和y x =的交点对称的，得到1x ，2x 的关系．3x 可求，则问题可解．【详解】解：因为32331y x x x =-+-，所以()22363310y x x x '=-+=-≥，所以32331y x x x =-+-在R 上是增函数，又当1x =时321313110y =-⨯+⨯-=，所以31x =，作出2x y =，2log y x =，2y x =-三个函数的图像如图所示：其中()11,A x y ，()22,B x y 分别是两个函数2xy =与2log y x =的图像与直线2y x =-的交点，因为指数函数xy a =与log ay x =的图像关于直线y x =对称，且2y x =-也关于y x =对称，所以交点A ，B 关于直线y x =对称，所以121222x x y y ++=，即121222x x x x -+-=+，所以12322x x x +==，再由基本不等式得()21212312102x x x x x x x +⎛⎫<==<< ⎪⎝⎭.故选：AC.【点睛】本题考查了利用数形结合研究函数的零点问题，本题的关键与难点是分析出A 、B 两点关于直线y x =对称．属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()222,0,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，若()4f a =，则a =____. 【答案】1或-2分0a >和0a ≤两种情况，分别求出a 值即可． 【详解】令0224aa >⎧⎨+=⎩或204a a ≤⎧⎨=⎩，解得1a =或2a =-. 故答案为：1或-2【点睛】本题考查函数求值，考查分段函数，属于基础题．14. 已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________. 【答案】1- 【解析】 【分析】运用向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，代入计算可得所求值． 【详解】解：向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=， 可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=， 两式相减可得5a b =-， 则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-． 故答案为：1-．【点睛】本题考查向量的性质：向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，考查运算能力，属于基础题．15. 已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，若212PA A =，则双曲线C 的离心率为_____.或【解析】 【分析】解出点P 的坐标，用两点间距离公式求出212,PA A A ，化简整理出,,a b c 的关系式，从而求得离心率．【详解】若渐近线的方程为by x a =，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为21252PA A A =，所以22225a a a a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则214a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3a b =，从而22101b e a =+=. 若渐近线的方程为by x a =-，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得2e =. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.16. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面γ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当323[,]x a a ∈时，函数()y f x =的值域为______．【答案】{}32a 【解析】 【分析】当323x ⎤∈⎥⎣⎦时，截面多边形是六边形HIJKLM ，利用相似比可知邻边长之和为定值即可得到结果. 【详解】当323x ⎤∈⎥⎣⎦时，截面多边形是六边形HIJKLM ，设11HI AC =111B I B C =λ，则1IJ B C =111C I B C =1﹣λ， ∴HI +2a ，∴截面六边形的周长为32a ；故答案为{}32a 【点睛】本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在①sin sin sin sin A C A B b a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）求角C ；（2）若5c =，11a b +=ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3C π=；（2）32. 【解析】【分析】（1）若选①：利用正弦定理和余弦定理可求出角C ；若选②：利用正弦定理和两角和与差公式可得角C ； （2）利用余弦定理求出2ab =，代入三角形面积公式即可．【详解】（1）若选①：由正弦定理得a c a b b a c--=+， 所以222a c ab b -=-，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=.若选②： 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 所以3C π=.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得225a b ab =+-，即25()3a b ab =+-，解得2ab =，则ABC的面积11sin 22222ABC S ab C ==⨯⨯=， 故ABC的面积为2. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查三角形的面积公式，属于中档题． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，28a =，且满足()*2(1)2n n n a S n N n-=+∈. （1）求证数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设(21)n n n a b n-=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析，2n n a n =⋅；（2）n T 16(23)2n n +=+-⋅.【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩化简已知条件，从而证得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，先求得n a n ，然后求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得n T .【详解】（1）由题得112(1)2(2)221n nn n n n a n a S S a n n ----⎡⎤⎡⎤-=+-+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，2n ≥， 整理得1(2)2(2)1n n n a n a n n ---=-，2n ≥. 因为112S a ==，28a =，所以当2n =时，21221a a =⋅， 当2n >时，121n n a a n n -=-， 所以当2n ≥时，有121n n a a n n -=⋅-， 因此n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以1222n n n a n-=⋅=， 所以2n n a n =⋅.（2）由（1）知(21)2n n b n =-⋅，则23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅， ① ①×2，得23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅， ②②-①，得()()23122222212n n n T n +=--++++-⋅()1141222(21)212n n n -+-=--⨯+-⋅-21282(21)2n n n ++=-+-+-⋅16(23)2n n +=+-⋅.【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查错位相减求和法，属于中档题.19. 如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且AB =2AD =2.（1）求证：EA EC ⊥；（2）若异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）21. 【解析】【分析】 (1) 由面面垂直的性质可证得BC EA ⊥.再线面垂直的判定定理和性质定理可得证；(2)以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由二面角的向量求解方法可求得平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值.【详解】(1) ∵平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为,AB BC ⊆平面,ABCD BC AB ⊥， ∴BC 垂直于圆O 所在的平面.又EA 在圆O 所在的平面内，∴BC EA ⊥.∵AEB ∠是直角，∴BE EA ⊥，又BC BE E =，∴EA ⊥平面EBC ，∴EA EC ⊥.(2)如图， 以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC ， 知6BAE π∠=， ∴3BOE π∠=，∴31,02E ⎫⎪⎪⎝⎭，由题设可知 ()0,1,1D -，()0,1,1C ，∴33,12DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，31,12CE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DCE 的一个法向量为()000,,p x y z =，由00DE p CE p ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即000000302102x y z x y z +-=--= 得0032z x =，00y =，取02x =，得0=z ∴(2,0,3p =.又平面AEB 的一个法向量为()0,0,1q =，∴2,||||2pq cos p q p q ⋅<>===+. 平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值7. 【点睛】本题考查空间中线线垂直的证明和二面角的求解方法，属于中档题.20. 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率． 【答案】（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318. 【解析】试题分析： （Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为1718. （Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X 的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为1318.试题解析：（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A ,则()11117133218P A =-⨯⨯=. （Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-. 根据题意,()11111033218P X =-=⨯⨯=, ()2112023329P X ==⨯⨯⨯=, ()2212103329P X ==⨯⨯=, ()11112033218P X ==⨯⨯=, ()21123023329P X ==⨯⨯⨯=, ()2212403329P X ==⨯⨯=. 随机变量X 的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴长为23A ，B 在椭圆C 上，且220AF BF +=.1AEF △的周长为 8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 上的动点M 作C 的切线l ，过原点O 作OP l ⊥于点P ，求OMP 的面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）14. 【解析】【分析】（1）根据220AF BF +=判断出AB x ⊥轴，结合1AEF △的周长求得a ，根据短轴求得b ，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）联立直线l 的方程和椭圆C 的方程，根据0∆=求得,t k 的关系式，求得OP 、MP ，进而求得OMP 的面积的表达式，结合基本定理求得面积的最大值.【详解】（1）由220AF BF +=，可知A ，B ，2F 三点共线，且AB x ⊥轴，由1ABF 的周长为8，得48a =，所以2a =，且b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）显然直线l 斜率存在且不为0，设直线l ：y kx t =+，联立223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩， 得()2223484120k xktx t +++-=， 且()()2222644344120k t kt ∆=-+-=， 得2243t k =+，所以()284234M kt k x t k =-=-+. 联立1y x k y kx t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，得21P kt x k =-+，22111P kt t y k k k ⎛⎫=-⨯-= ⎪++⎝⎭.所以OP ====，()322244411k kt k k kt t k t k MP --+=-+=++=，所以1122OMP S MP OP =⋅⋅=△2111112124k k k k=⋅=⋅≤++， 当且仅当1k =±时取等号.所以OMP 的面积的最大值为14. 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题.22. 设函数()24xx f x e x =--. （1）证明：函数()f x 在区间()0,+∞内单调递增；（2）当0x <时，()f x a <恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】【分析】（1）利用导数证明函数的单调性即可.（2）首先利用导数求出函数()f x 在(),0-∞的最大值，再根据()f x a <恒成立，即可得到答案.【详解】（1）因为()'12xx f x e =--， 记()()'h x f x =，所以()1'2x h x e =-. 当()0,x ∈+∞时，()'0h x >恒成立，所以()h x 在区间()0,+∞内单调递增，所以()()00h x h >=，所以当()0,x ∈+∞时，()0f 'x >恒成立， 所以函数()f x 在区间()0,+∞内单调递增.（2）由（1）知()1'2x h x e =-， 令()'0h x =，解得ln2x =-，当(),ln 2x ∈-∞-时，()'0h x <，即()h x 单调递减；当()ln 2,0x ∈-时，()'0h x >，即()h x 单调递增.又()10h -<，()20h ->，所以在区间()2,1--内，()h x 存在唯一零点0x ，满足()00h x =，即()0'0f x =.当()0,x x ∈-∞时，()0f 'x >，即函数()f x 在区间()0,x -∞内单调递增；当()0,0x x ∈时，()'0f x <，即函数()f x 在区间()0,0x 内单调递减，所以当0x <时，()020max00()4x x f e x f x x ==--. 由()0'0f x =，可得0012x x e =+， 所以()2200max 015()114244x x f x x =--+=-++， 由()02,1x ∈--，可得max 5()1,4f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为()f x a <恒成立，且a Z ∈，所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题第一问考查利用导数证明函数的单调性，第二考查利用导数解决恒成立问题，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.。
广东省2021届高三上学期调研考试数学试题及答案
广东省2021届高三年级上学期调研考试数学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合}13|{<<-=x x B ，则B A 中元素的个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．42．复数iz 212+=在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．“一世”又叫“一代”，东汉王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继日世”．据国际一家研究机构的研究得到企业寿命的频率分布表为则全球家族企业的平均寿命大约有 A ．25年 B ．26年 C ．27年 D ．28年4．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，强度为x 的声音对应的等级为210lg10)(-=xx f (dB)．装修房屋时电钻的声音约为100dB ，室内正常交谈的声音约为60dB ，则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的()倍 A ．410B ．4eC ．4D ．35 5．已知2)12tan(-=+πα，则=+)3tan(παA ．3B ．31C ．－3D ．31-6．在矩形ABCD 中，4=AB ，P AC ,2=为矩形ABCD 所在平面上一点，满足PC PA ⊥，则||PD 的最大值为 A ．52B ．4C ．5D ．27．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E ，若O OE EF (3=为坐标原点），则双曲线的离心率为 A ．5 B ．22 C ．10D ．328．已知偶函数)(x f 在),0[∞+上单调递增，则A ．)2()10(log )23log 3(21212->>-f f fB ．)10(log )23log 3()2(21221f f f >->-C ．)2()23log 3()10(log 21221->->f f fD ．)23log 3()2()10(log 22121->>-f f f二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．若011>>b a ，则下列正确的选项为 A ．ba 22< B ．33b a > C ．ab a <2 D ．1ln >ab 10．设b a ,为两条不重合的直线，βα,为两个不重合的平面，则下列命题中，真命题的是A ．若αα//,//b a ，则b a //B ．若αβα⊥⊥⊥a b a ,,，则β⊥bC ．若αα⊥⊥b a ,，则b a //D ．若βαβα⊥⊥⊥,,b a ，则b a ⊥11．设抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，准线为A l ,为C 上一点，以F 为圆心，||FA 为半径的圆交l 于D B ,两点，若︒=∠90ABD ，且ABF ∆的面积为39，则 A ．3||=BF B ．ABF ∆是等边三角形 C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为x y 62=12．下列四个命题正确的是A ．函数1sin sin sin 2--=x xx y 是奇函数；B ．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos 2)(πx x f 的最大值为3C ．已知定义域为R 的函数2|cos sin |2cos sin )(x x x x x f --+=，当且仅当+<<ππk x k 22)(2Z k ∈π时，0)(>x f 成立； D ．函数),(sin 2sin )(22Z k k x xx x f ∈=/+=π的最小值3． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．6)21(xx -的展开式中常数项是 （用数字作答）．14．在等差数列}{n a 中，已知952=+a a ，则423a a += . 15．函数3)1(322)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为 .16．已知C B A P ,,,是球O 的球面上四点，其中平面ABC 过球心ABC O ∆,为边长为2的正三角形，平面⊥PAB 平面ABC ，则棱锥ABC P -的体积的最大值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.cos cos cos ,,,CB cb A ac b a ++= (1)求角A ；(2)若ABC c ∆=,6的面积为33，求a 的值． 18．（12分）已知数列}{n a 是公差大于0的等差数列，21=a ，且4,,2643-+a a a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设12+=n nn a b ，求数列}{n b 的前n 项和.n S 19．（12分）《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某高中200名学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：喜欢《最强大脑》 不喜欢《最强大脑》 合计 男生 70 女生 30 合计已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢《最强大脑》的概率为0.6．(1)判断是否有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关？(2)从上述不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的节目类型，用X 表示3人中女生的人数，求X 的分布列及数学期望.参考公式及数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=P(K 2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 00.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.82820．（12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是边长为4的等边三角形，E D CF F C ,,2221==为11,C A AC 的中点．(1)求证：平面⊥BDF 平面DEF ；(2)求二面角F BE D --的余弦值． 21．（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 短轴长为2，F 是C 的左焦点，B A ，是C 上关于x 轴对称的两点，ABF ∆周长的最大值为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)斜率为k 且不经过原点O 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，若直线ON OM ,的斜率分别为21,k k ，且212k k k =，求直线l 的斜率，并判断22||||ON OM +的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由． 22．（12分）设函数).(1)(R a ax axe x f x∈--=(1)若1=a ，求函数)(x f 的图象在))1(,1(--f 处的切线方程； (2)若不等式x x f ln )(≥在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e 上恒成立，求a 的取值范围．数学参考答案1．C }0,1,2{--=B A 2．D 542)21)(21()21(2212ii i i i z -=-+-=+=3．B 家族企业的平均寿命为0.54×11+0.28×33+0.14×55+0.04×77=26 4．A 由∴=-,10lg10)(2x x f 当100=y 时，可得810=x ；当60=y 时，可得410=x ，∴装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的448101010=5．D 314tan )12tan(14tan)12tan()412tan()3tan(-=+-++=++=+ππαππαππαπα 6．A ∴⊥,PC PA 点P 的轨迹是以AC为直径的圆，又52,5222==+=AC AB AC7．C 由题知，b b a bc EF =+=22，又a b a b c EF OF OE c OF 3,,2222=∴=-=-=∴=，故双曲线的离心率为10)(12=+=abe8．C )(x f 为偶函数，在),0[∞+上单调递增，故在]0,(-∞上单调递减．310log |10log |221>= ，22221=-，)3,2(3log 4)13(log 323log 3222∈-=--=-， 11223log 3|10log |21221>+>->∴-，)2()23log 3()10(log 21221->->∴f f f9．AC 由题意有.0>>a b10．CD 11．BCD12．BCDA 中函数定义域关于原点不对称，所以A 错误；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+67,662πππx ，由余弦函数图象可知⎪⎭⎫⎝⎛+=62cos 2)(πx x f 的值域是]3,2[-所以B 正确；当0cos sin ≥-x x 时，x x x x x x f cos 2cos sin 2cos sin )(=--+=；当)(2242Z k k x k ∈+<<+ππππ时，0)(>x f ；当0cos sin <-x x 时，xxx x x x f sin 2sin cos 2cos sin )(=--+=，当)(422Z k k x k ∈+<<πππ时，0)(>x f ，综上，)(222Z k k x k ∈+<<πππ时，0)(>x f ，所以C 正确．设)10(,sin 2≤<=t x t ，t t t g 2)(+=∴，021)('2<-=∴tt g ，所以函数)(t g 在]1,0(上单调递减，所以函数的最小值为3)1(=g ，所以D 正确．13．1615r x C xx C T r r r r r r 23)21()21(66661--=-=-+，令0236=-r ，则∴=,4r 常数项为1615)21(446=-C14．18952=+a a ，9525111=+=+++∴d a d a d a ，+=+++=++=+∴11141424)3(333a d a d a a d a a a1810=d15．1>a 或21-<a 题意可得)1(3243)('2+++=a ax x x f ，函数)(x f 既有极大值又有极小值，则一元二次方程0)1(32432=+++a ax x 有两个不相等的实数根，即0)1(3234)4(2>+⨯⨯-=∆a a ，解得1>a 或21-<a16．33如图， 平面⊥PAB 平面∴,ABC 点P 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球体的对称性可知，当P 在最高点，即H 为AB 中点时，PH 最大，棱锥ABC P -的体积最大.ABC ∆ 是边长为2的正三角形，∴球的半径33232===CH OC r ．在PHO Rt ∆中，OS OC OH 2121==， 30=∠∴HPO ，∴==,130cosOP PH 体积==Sh V31.331243312=⨯⨯⨯17．解：(1)由正弦定理及C B c b A a cos cos cos ++=，得CB CB A A cos cos sin sin cos sin ++=，………2分 C A B A C A B A sin cos sin cos cos sin cos sin +=+∴，即 A C A C B A B A sin cos cos sin sin cos cos sin -=-， ).sin()sin(A C B A -=-∴…………………………4分 ),0(,,π∈C B A ，A C B A -=-∴，即3,2π=∴+=A C B A .…………………………6分(2)2,3323621sin 21=∴=⨯⨯⨯==∆b b A bc S ABC .………………………8分.72,28cos 2222=∴=-+=∴a A bc c b a ……………………………10分18．解：(1)设数列}{n a 的公差为0,>d d ，21=a ，且4,,2643-+a a a 成等比数列，)4)(2(6324-+=∴a a a ，即)45)(22()3(1121-+++=+d a d a d a ，…………………3分解得6-=d （舍）或2=d ，……………………………4分n d n a a n 2)1(1=-+=∴.………………………5分(2)由(1)可知nn n n na b 221==+， ∴数列}{n b 的前n 项和n n nS 2232221321+++= ，………………………7分1432223222121++++=n n nS ，……………………9分 相减得132122*********+-+++=n n n nS ，……………………………11分11221121211))21(1(21++--=---=n n n n n ， n n nS 222+-=∴.………………………………12分19．解：(1)由………………………2分由列联表中数据，得到71.2347.08012080120)50503070(20022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K .………………5分因此没有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关；………………………6分(2)由题意知，从不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，其中女生有3人，男生有5人，随机变量X 的取值可能为0，1，2，3，……………………7分285)0(3835===C C X P ，2815)1(381325===C C C X P ，5615)2(382315===C C C X P ，561)3(3833===C C X P .…………………………11分 X ∴的分布列为X 0123P285 2815 5615 5618563562281512850=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ..…………………………12分20．解：(1)证明： 三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱，⊥∴1AA 平面.ABC ⊂BD 平面.,1BD AA ABC ⊥∴……………………………2分ABC ∆ 为等边三角形，D 为AC 中点，.AC BD ⊥∴又⊥∴=BD A AC AA ,1 平面11A ACC .……………………………3分⊂BD 平面BDF ， 平面⊥BDF 平面DEF ，…………………………5分(2)以D 为坐标原点，DE DC DB 、、所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,0(D ，)0,0,32(B ，)0,2,0(C ，)23,0,0(E ，,2,0(F )2，…………………………………7分设平面BEF 的法向量为),,(z y x m =，则)23,0,32(-=BE ，)22,2,0(-=EF ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=+-=⋅022202332z y m EF z x m BE ，令3=x ，可得2,2==y z ， 则).2,2,3(=m ………………………9分⊥DC 平面∴,BDE 平面BDE 的一个法向量为)0,2,0(=DC ，32924,cos =⨯=<∴DC m .………………………11分由图知，二面角F BE D --的平面角为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为32.…………………………12分 21．解：(1)设AB 与x 轴的交点为H ，右交点为2F .由题意||||2AF AH ≤，则a AF AF AH AF 2||||||||211=+≤+，…………………2分当AB 过右焦点2F 时，ABF ∆周长取最大值2,84=∴=a a ， 且1=b ，…………………………3分∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ，………………………………4分(2)设直线l 的方程为)0(=/+=m m kx y ，),(11y x M ，),(22y x N ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 1422，得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ， 221418k kmx x +-=+∴，222141)1(4k m x x +-=.……………………………6分 由题知21221221212121212)())((x x m x x km k xx m kx m kx x x y y k k k +++=++===， 0)(221=++∴m x x km ，04182222=++-∴m k m k .…………………………8分.41,02=∴=/k m此时2222214)418()(m kkm x x =+-=+，)1(241)1(422221-=+-=m k m x x ， 则4141||||222221212222212122x x x x y x y x ON OM -++-+=+++=+52)]1(44[432]2)[(432)(4322212212221=+--=+-+=++=m m x x x x x x ，…………11分 故直线l 的斜率为21±=k ，5||||22=+ON OM .……………………12分22．解(1)当1=a 时，1)(--=x xe x f x ，1)1()('-+=xe x xf ，……………………2分又ef 1)1(-=-，1)1('-=-f ，)1(1+-=+∴x ey ，…………………………3分 即函数)(x f 的图象在))1(,1(--f 处的切线方程为ex y 11---=.……………………4分(2)当1=x 时，01≥--a ae ，.11-≥∴e a)(i 当111<≤-a e 时，令)1(1ln )1()(ex x e ax x H x ≥---=，……………………6分则.1)1(1)1(1)1()('xxe x a x ax e x a a x e x a x H x xx-+≤+-+=--+= 令)1(1)(ex xe x R x ≥-=，则0)1()('>+=xe x x R ，又01<⎪⎭⎫ ⎝⎛e R ，0)1(>R ，所以存在，使得当时，0)(<x R ，所以当时，0)('<x H 即)(x H 在上单调递减，所以0)1(11)(1<-=⎪⎭⎫⎝⎛<e e e a e H x H ，这与题意矛盾．………………………8分)(ii 当1≥a 时，“不等式x x f ln )(≥在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e 上恒成立”等价于“不等式01ln ≥---x x xe x 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e 上恒成立.”令⎪⎭⎫ ⎝⎛≥---=e x x x xe x F x11ln )(，即“不等式0)(≥x F 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e 上恒成立”． )1(111)1()('-⋅+=--+=x x xe x x x e x x F ，令1)(-=x xe x G ， 则⎪⎭⎫⎝⎛≥+=e x e x x G x1)1()('．………………………9分 因为当e x 1≥时，0)1()('>+=xe x x G ，所以函数)(x G 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e 上单调递增， 所以函数)(x G 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e上最多有一个零点.又因为.01)1(,01111>-=<-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛e G e ee G e所以存在唯一的⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,1e c ，使得.0)(=c G ……………………………10分当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈c e x ,1时，0)(<x G ；当),(∞+∈c x 时，0)(>x G ，即当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈c e x ,1时，0)('<x F ；当),(∞+∈c x 时，0)('>x F ，所以函数)(x F 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡c e,1上单调递减，在区间),(∞+c 上单调递增， 从而.1ln )()(---⋅=≥c c e c c F x F c……………………11分由0)(=c G ，得01=-⋅c e c ，即1=⋅ce c ，两边取对数得0ln =+c c ，所以000)(ln )1(1ln )(=-=+--⋅=---⋅=c c e c c c e c c F cc ，。