2017-2018年江苏省常州市九年级(上)期中数学试卷及参考答案
第1页（共19页） 2017-2018学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分） 1．（2分）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（ ）
A． B． C． D． 2．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．（2分）下列语句中，正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．相等的弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于弦 4．（2分）正三角形的中心是该三角形的（ ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．以上说法都正确 5．（2分）已知⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 6．（2分）一个长方形的面积为210cm2，宽比长少7cm．设它的宽为xcm，则可得方程（ ） A．2（x+7）+2x=210 B．x+（x+7）=210 C．x（x﹣7）=210 D．x（x+7）=210 7．（2分）已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为（ ） A．2 B． C．4 D． 8．（2分）有两个一元二次方程：①ax2+bx+c=0，②cx2+bx+a=0，其中a+c=0（ ） A．如果方程①有两个不相等的实数根，那么方程②也有两个不相等的实数根 B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必是x=1 C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根 D．如果方程①有两根符号相异，那么方程②的两根符号也相异 第2页（共19页）
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分） 9．（2分）将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是 ． 10．（2分）已知⊙O的半径长为10cm，OP=16cm，那么点P在⊙O ．（填“上”、“内部”或“外部”） 11．（2分）一个数的平方等于这个数的三倍这个数是 ． 12．（2分）若扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，则此扇形的面积是 cm2．（结果保留π） 13．（2分）已知关于x的方程x2+3x+a=0的一个根为﹣4，则另一个根为 ． 14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠ADC=40°，则∠BAC的度数为 ．
15．（2分）如图，⊙O的半径长为6，∠ACB=60°，则AB的长为 ． 16．（2分）某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 17．（2分）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的内切圆的半径长为 ． 18．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 ． 第3页（共19页）
三、解答题（共7小题，满分64分） 19．（16分）解下列方程： （1）2（x﹣3）2=5 （2）2x2﹣4x+1=0 （3）2x2﹣3x﹣3=0 （4）（x﹣3）2﹣x+3=0． 20．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形． （1）利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹） （2）利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l．（保留作图痕迹）
21．（7分）已知关于x的方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解． 22．（8分）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=4．点P、Q分别从点A、B同时出发，点P沿 A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动，点Q沿B→C的方向以每秒2个单位长的速度向点C运动．当其中一个点先到达点C时，点P、Q停止运动．当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时，求点P运动的时间． 第4页（共19页）
23．（8分）如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE． （1）求证：OD⊥DE． （2）若∠BAC=30°，AB=8，求阴影部分的面积．
24．（9分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？ 25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA=CB． （1）求点B的坐标； （2）如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B．判断直线A′O′与⊙P的位置关系，并说明理由． 第5页（共19页）
2017-2018学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分） 1．（2分）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：A、有三条对称轴， B、有三条对称轴， C、有一条对称轴， D、有四条对称轴， 综上所述，对称轴条数最少的是C选项图形． 故选：C．
2．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数． 故选：B．
3．（2分）下列语句中，正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．相等的弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于弦 【解答】解：A、长度相等的两条弧不一定为等弧，所以A选项错误； B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以B选项错误； C、相等的弧所对的圆心角相等，所以C选项正确； 第6页（共19页）
D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以D选项错误． 故选：C．
4．（2分）正三角形的中心是该三角形的（ ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．以上说法都正确 【解答】解：正三角形的中心是该三角形的三条高的交点，也是三条角平分线的交点，也是三边垂直平分线的交点， 故选：D．
5．（2分）已知⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3， ∴直线l与⊙O相交． 故选：B．
6．（2分）一个长方形的面积为210cm2，宽比长少7cm．设它的宽为xcm，则可得方程（ ） A．2（x+7）+2x=210 B．x+（x+7）=210 C．x（x﹣7）=210 D．x（x+7）=210 【解答】解：根据长方形的宽为xcm，可得长为（x+7）cm， 根据题意得：x（x+7）=210． 故选：D．
7．（2分）已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为（ ） A．2 B． C．4 D． 【解答】解：∵正方形的周长为8， ∴边长AB=2， ∵四边形是正方形， ∴∠AOB=90°， 第7页（共19页）
∴OA=AB×sin45°=， 故选：B．
8．（2分）有两个一元二次方程：①ax2+bx+c=0，②cx2+bx+a=0，其中a+c=0（ ） A．如果方程①有两个不相等的实数根，那么方程②也有两个不相等的实数根 B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必是x=1 C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根 D．如果方程①有两根符号相异，那么方程②的两根符号也相异 【解答】解： A、方程①有两个不相等的实数根，则△=b2﹣4ac＞0，所以方程②也有两个不相等的实数根，所以A选项的结论正确； B、因为方程①和方程②有一个相同的根，则（a﹣c）x2=a﹣c，解得x=±1，所以B选项的结论错误； C、因为4是方程①的一个根，则16a+4b+c=0，即c+b+a=0，所以是方程②的一个根，所以C选项的结论正确； D、方程①有两根符号相异，则＜0，所以＜0，所以方程②的两根符号也相异，所以D选项的结论正确． 故选：B．
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分） 9．（2分）将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是 x2﹣x+1=0 ． 【解答】解：将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是x2﹣x+1=0， 故答案为：x2﹣x+1=0．
2017-2018年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷和答案
2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x﹣1=3 B．x2+x﹣1=0 C．x2+y=5 D．ax2+bx+c=02．（2分）一元二次方程x2﹣6x+9=0的根的情况（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不等的实数根D．有两个相等的实数根3．（2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜04．（2分）下列命题正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．三角形的外心到三边距离相等C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线5．（2分）如图，⊙O中的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠OBC等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2分）如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（）A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）二、填空题（每小题2分，共20分）7．（2分）将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为．8．（2分）设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，则（x1+x2）2﹣x1x2=．9．（2分）已知圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，则这条弧的长为．10．（2分）将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的函数图象对应的二次函数表达式为．11．（2分）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程．12．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD=°．13．（2分）圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥的侧面积是．14．（2分）如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠P=50°，则∠ACB=°．15．（2分）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，则弦CD的长为．16．（2分）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示：x﹣2﹣10123y70﹣5﹣8﹣9﹣8则下列结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③当x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有．三、解答题（本题10个小题，满分88分）17．（10分）解下列方程：（1）x2﹣3x+2=0（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0．18．（10分）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．19．（8分）已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．20．（8分）某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，如图所示，生物园的一面靠墙（墙有足够长），面积为30m2．（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的一边为m（用含x的代数式表示）；（2）求（1）中x的值．21．（8分）已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．22．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．求证：DB=DC．23．（8分）某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双盈利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要盈利1600元，那么每双应降价多少元？24．（10分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O 在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=1，∠A=45°，求阴影部分的面积．25．（8分）已知△ABC，∠C=90°．（1）用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）．（2）若AC=4，BC=3，求（1）中半圆的半径．26．（10分）已知二次函数y1=ax2﹣2x﹣3（a≠0）的图象与一次函数y2=﹣x﹣1的图象有一个交点在x轴上．（1）求出该二次函数的表达式和图象的顶点坐标；（2）填写下面的表格，并利用表格中的数据在方格纸上画出该二次函数的图象；（3）当x在什么范围内时，y1＞y2？当x在什么范围内时，y1•y2＜0？请直接写出答案．x﹣2﹣1 01234y12017-2018学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x﹣1=3 B．x2+x﹣1=0 C．x2+y=5 D．ax2+bx+c=0【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；B、是一元二次方程，故此选项正确；C、不是一元二次方程，故此选项错误；D、不是一元二次方程，故此选项错误；故选：B．2．（2分）一元二次方程x2﹣6x+9=0的根的情况（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不等的实数根D．有两个相等的实数根【解答】解：△=36﹣4×9=0，∴该方程有两个相等的实数根，故选：D．3．（2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0【解答】解：A、∵抛物线开口向下，∴a＜0，结论A错误；B、∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，结论B错误；C、∵当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，结论C正确；D、∵抛物线的对称轴在y轴右侧，且a＜0，∴﹣＞0，∴b＜0，结论D错误．故选：C．4．（2分）下列命题正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．三角形的外心到三边距离相等C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线【解答】解：A、平面上不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以A选项错误；B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以B选项错误；C、矩形的四个顶点一定在同一个圆上，所以C选项正确；D、经过半径的外端并且与这条半径垂直的直线为该圆的切线，所以D选项错误．故选：C．5．（2分）如图，⊙O中的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠OBC等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：∵弧AB的度数为60°，∴∠AOB=60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠BOC=180°﹣∠AOB=180°﹣60°=120°．∵OB=OC，∴∠OBC=∠C=30°，故选：A．6．（2分）如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（）A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）【解答】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1）或（1，3），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）或（1，3）．故选：B．二、填空题（每小题2分，共20分）7．（2分）将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为x2+x﹣2=0．【解答】解：x2+x=2，x2+x﹣2=0，故答案为：x2+x﹣2=0．8．（2分）设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，则（x1+x2）2﹣x1x2=73．【解答】解：∵方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣72，则（x1+x2）2﹣x1x2=1+72=73．故答案为：739．（2分）已知圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，则这条弧的长为2π．【解答】解：l==2π，故答案为2π．10．（2分）将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的函数图象对应的二次函数表达式为y=3（x+2）2﹣1．【解答】解：y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y=3（x+2）2﹣1．故答案为：y=3（x+2）2﹣1．11．（2分）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程400（1+x）2=484．【解答】解：∵2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，∴设年平均增长率为x，则可列出方程为400（1+x）2=484，故答案为：400（1+x）2=484．12．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD= 130°．【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠A=50°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣50°=130°．故答案为：130．13．（2分）圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥的侧面积是60πcm2．【解答】解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．∴BC==10cm，∴这个圆锥的侧面积是：×2πrl=π×6×10=60πcm2故答案为：60πcm2．14．（2分）如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠P=50°，则∠ACB=65°．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴∠AOB=180°﹣∠P=130°，由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=65°，故答案为：65．15．（2分）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，则弦CD的长为8．【解答】解：如图，连接OC；∵直径AB=10，BE=2，∴OE=5﹣2=3，OC=5；∵弦CD⊥AB，∴CE=DE；由勾股定理得：CE==4，∴CD=2CE=8．故答案为8．16．（2分）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示：x﹣2﹣10123y70﹣5﹣8﹣9﹣8则下列结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③当x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有①③．【解答】解：由表格中的数据可得：顶点坐标为（2，﹣9），与x轴一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线开口向上，与x轴另一个交点为（5，0）；x=﹣2或6时，y=7；当x＜2，y随x的最大而减小，由x=1时，y=﹣8，得到x＜1时，y＞﹣8；正确的有：①③故答案为：①③三、解答题（本题10个小题，满分88分）17．（10分）解下列方程：（1）x2﹣3x+2=0（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0．【解答】解：（1）x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2；（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0，（x﹣2）（x+1）=0，解得x1=2，x2=﹣1．18．（10分）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．【解答】（1）证明：∵△=（2m）2﹣4（m2﹣1）=4＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当x=1时，m2+2m=0，∴m2+2m+2017=0+2017=2017．19．（8分）已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．【解答】证明：过点O作OE⊥AB，∵OA=OB，∴AE=BE，又∵在⊙O中，∴CE=DE，∴AC=BD．20．（8分）某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，如图所示，生物园的一面靠墙（墙有足够长），面积为30m2．（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的一边为16﹣2x m（用含x的代数式表示）；（2）求（1）中x的值．【解答】解：（1）∵垂直于墙的边长为xm，∴平行于墙的一边为（16﹣2x）m．故答案为：16﹣2x．（2）根据题意得：x（16﹣2x）=30，整理，得：x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．答：x的值为3或5．21．（8分）已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），∴，解得：，所求方程为2x2﹣3x﹣2=0，即（2x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣，x2=2．22．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．求证：DB=DC．【解答】证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，∴∠DAC=∠DBC．∵AD平分∠CAE，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EAD=∠DBC．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC．23．（8分）某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双盈利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要盈利1600元，那么每双应降价多少元？【解答】解：设每双应降价x元．（44﹣x）×（20+5x）=1600，解得x1=4，x2=36．答：每双应降价4元或36元．24．（10分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O 在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=1，∠A=45°，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；（2）∵AC⊥OD，∠A=45°，∴△OAD是等腰直角三角形，∵AD=1，∴△OAD的面积=．∵∠DOE=45°，∴扇形ODE的面积=，∴阴影部分的面积=．25．（8分）已知△ABC，∠C=90°．（1）用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）．（2）若AC=4，BC=3，求（1）中半圆的半径．【解答】解：（1）作∠B的角平分线与AC的交点O，以O为圆心，OC为半径画半圆；∵∠ACB=90°∴OC⊥CB且OC=r，∴BC与半圆O相切过点O作OD垂直于AB交AB于点D∵OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，∴OD=OC=r且OD⊥AB∴AB与半圆O相切；（2）设半圆的半径为r，∵半圆O与AB相切于点D∴OD⊥AB∴∠ADO=90°在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴AB===5，在△ADO和△ACB中∠ADO=∠ACB∠A=∠A∴△ADO∽△ACB∴=，∴r=．答：半圆的半径为．26．（10分）已知二次函数y1=ax2﹣2x﹣3（a≠0）的图象与一次函数y2=﹣x﹣1的图象有一个交点在x轴上．（1）求出该二次函数的表达式和图象的顶点坐标；（2）填写下面的表格，并利用表格中的数据在方格纸上画出该二次函数的图象；（3）当x在什么范围内时，y1＞y2？当x在什么范围内时，y1•y2＜0？请直接写出答案．x﹣2﹣1 01234y1【解答】解：（1）当y=0时，﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，则一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）；把（﹣1，0）代入y1=ax2﹣2x﹣3得a+2﹣3=0，解得a=1，所以抛物线解析式为y1=x2﹣2x﹣3，因为y1=（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）如图，（3）解方程组得或，所以抛物线与一次函数的交点坐标为（﹣1，0）、（2，﹣3），当﹣1＜x＜2时，y1＞y2；当x＞3时，y1•y2＜0．。
2017-2018年九年级期中试卷汇编(答案版)
⑵旋转 90 可得等腰 Rt△APB ，“三垂直”可得 B 点的坐标为 3, 2 或 1, 2 ．
将点 B 3, 2 代入 y ax2 bx 4a 2b ，得 b 5a 2 ；
将点 B 1, 2 代入 y ax2 bx 4a 2b ，得 b 3a 2 ．
代入抛物线得： t1 2 （舍）， t2 3 ，∴ M (1,3) ； 综上： M (1, 1) 或 M (1,3) ．
⑶
Q 1,
15 4
，
QE
15 4
k
，设
E(1,
k
)
，
①在y x2 2x 3上
则
F
满足
②与Q
1，
15 4
且截取 AK AD ，则易证：△BAD ≌△CAK ，∴ AD AK ，
又∵ KAC BAD ，∴ EAK DAE ，∴△ DAE ≌ △ KAE ，
在 △KEC 中，过 K 作 KT BC 于 T，
则 KT 3 KC 3 BD ， ET EC CT EC 1 BD ，
①当 m 1 时， y 2x2 2x 4 ， x 1 时， y 1 1 4 9 ，∴正确；
2
2
2
② m 1 时， 4m2 4(m 1)(3m 1) 4m2 4(3m2 4m 1)
4(4m2 4m 1) 4(2m 1)2 ，
24．【答案】⑴解：令 x 0 ，∴ y 3 ，∴ C(0, 3) ，
令 y 0 ，∴ x2 2x 3 0 ，∴ x1 1 ， x2 3 ， ∴ A(1,0) ， B(3, 0) ， C(0, 3) ．
2017-2018学年度第一学期初三数学期中模拟卷(一)(附答案)
2017－2018学年度第一学期期中模拟九年级数学试题（全卷共130分，考试时间120分钟）1235）6（第8题）(第9题)9.（2017贵州安顺）二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4→方10.（2017甘肃兰州第15题）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB BC向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE AE^，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC y=，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是( )图1 图2．．则当y < 7时，x的取值范围是______________.学校 班级 准考证号 姓名------------------------线2017－2018学年度第一学期期中模拟九年级数学答卷一、选择题：（30分） 21（本题满分8分）已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a ﹣2＝0 （1）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22.（本题满分8分）经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是____________吨. （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 23．（本题满分10分）．已知1x ,2x 是关于x 的一元二次方程062=+-k x x 的两个实数根，且115--212221=x x x x .（1）求k 的值；（2）求82221++x x 的值.24．（本题满分10分）．阅读下面的例题：解方程x 2－∣x ∣－2=0解：当x ≥0王时，原方程化为x 2－x －2=0，解得：x 1=2，x 2=－1（不合题意，舍去）； 当x ＜0时，原方程化为x 2+ x －2=0，解得：x 1=1，（不合题意，舍去）x 2=－2； ∴原方程的根是x 1=2，x 2=－2.请参照例题解方程x 2－∣x －1∣－1=025.（2017山东德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为米处达到最高，水柱落地处离池中心3米. （1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； （2）求出水柱的最大高度是多少？26. （2017甘肃庆阳）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（－2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．27. （2017湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线25=+-与x轴交y ax bx于()1,05,0B两点，与y轴交于点C.A-，()(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以,,B C D为顶点的三角形与ABC△相似，求点D的坐标；(3)如图2，CE x∥轴玮抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H 且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为抛物线的顶点，点()M m是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，4,Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标.28.如图1，直线643+=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、C 两点，点B 的横坐标为2． （1）求A 、C 两点的坐标和抛物线的函数关系式；（2）点D 是直线AC 上方抛物线上任意一点，P 为线段AC 上一点，且S △PCD ＝2S △P AD ，求点P 的坐标；（3）如图2，另有一条直线y ＝－x 与直线AC 交于点M ，N 为线段OA 上一点，∠AMN ＝∠AOM ．点Q 为x 轴负半轴上一点，且点Q 到直线MN 和直线MO 的距离相等，求参考答案4. 【解析】试题解析：22y x x m =-++=（x －1）+m +1，∴顶点坐标为（1，m +1）∵m ≥0，222∵∠EFC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°，∴∠CFE=∠AEB，∵在△CFE和△BEA中，CFE AEBC B⎧∠=∠⎨∠=∠⎩，∴△CFE∽△BEA，由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时CF CE BE AB=521.+×管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为y =a (x －1)2+h (0≤x ≤3) 抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线解析式得：4+h=0a+h=2a ⎧⎨⎩ 解得：2=-38h 3a ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以，抛物线的解析式为：y =－23(x －1)2+83(0≤x ≤3)，试题解析：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入y =ax 2+bx +4可得∵B （﹣2，0），C （8，0），∴BC =10，在y =﹣14x 2+32x +4中，令x =0，可解得y =4， ∴点A （0，4），OA =4，∴S △ABN =12BN •OA =12（n +2）×4=2（n +2），∵MN ∥AC ，∴810AM NC n AB BC -== ∴810AMN ABN S AM n S AB -== ， ∴38n 11(8)(2)(n 3)51055AMN ABN S S n n -==-+=--+ ∵﹣15＜0，∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大；∴C （0，﹣5），∴OC =OB ，∴∠OBC =∠OCB =45°，∴AB =6，BC要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有AB BCCD BC=或AB BCBC CD=，①当AB BCCD BC=时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当AB BCBC CD=6CD=，∴CD=253，∴D（0，103），∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y=73x﹣133，∴P（137，0），Q（0，﹣133）．考点：二次函数综合题．28. 解：（1）A （－8，0）……………………1分，C （0，6）．……………………2分649832+--=x x y ………………………………………………………………………4分（26分。
建邺区2017-2018九年级上学期期中数学--(附解析答案)
建邺区2017－2018学年度第一学期期中调研测试卷九年级数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．下列方程中，关于x 的一元二次方程的是A ．2x ＋y ＝2B ．x ＋y 2＝0C ．2x －x 2＝1D ．x ＋1y＝72．若关于x 的方程x 2－mx ＋6＝0的一个根是2，则另一个根是A ． 2B ． 2C ．－3D ． 33．下列说法中，正确的是A ．周长相等的圆是等圆B ．过任意三点可以画一个圆C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．平分弦的直径垂直于弦4．标标抛掷一枚点数从1-6的正方体骰子10次，有5次6点朝上．当他抛第11次时， 6点朝上的概率为A ．111B ．16C ．15D ．125．第五套人民币一元硬币的直径约为25mm ，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不 能超过A ．12.5 mmB ．25 mmC ．2522mmD ．2532mm6．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，则∠OAC +∠OCB +∠OBA 的度数为A ．45°B ．60°C ．90°D 120°二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上） 7．方程x 2＝25的解为 ▲ ．8．⊙O 的半径为4，点A 到圆心O 的距离为3，则点A 在⊙O ▲ ．（填“内”、“上”或“外”）9．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则这个扇形的面积为 ▲ ．10．一个袋子中有2个红球和若干个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地完全相同， 在看不到的情况下，随机摸出一个红球的概率是15，则袋中有 ▲ 个白球．11．王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步 数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数 的中位数是 ▲ 万步，众数是 ▲ 万步．（第6题）O CBA12．如图，P A 、PB 切⊙O 于点A 、B ．CD 切⊙O 于点E ，交P A 、PB 于点C 、D ．若△PCD 的周长是10，则P A 的长是 ▲ ．13．已知关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是▲ ．14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点O 在△ABC 内，若∠BCO ＝40°，则∠A ＝ ▲ °．（第14题）AOBCAPBC（第15题）B DEC PAO（第12题）王老师快走锻炼步数条形统计图5382 4 6 8 万步（第11题）15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝4．点P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AC ＝∠PCB ，则线段BP 长的最小值是 ▲ ．16．对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定minh{a 、b }表示a 、b 中较小的数的一半，如minh{2，3}＝1．那么方程minh{x ，－x }＝2+2xx 的解为 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程：x 2-2x -1＝ 0．18．（6分）解方程：x (3－2x )＝4x －6．19．（7分）某市2015年的人均年收入为50 000元，2017年的人均年收入为60 500元．求人均年收入的年平均增长率．20．（7分）如图，点C 在⊙O 上，弦AB ⊥OC ，垂足为D ，AB ＝4，CD ＝1.求⊙O 的半径.21．（8分）某校射击队打算从君君、标标两人中选拔一人参加市射击比赛．在选拔赛中，每人射击5次，他们5次打靶命中的环数如下（单位：环）:君君：7，8，7，8，10；标标：5，8，7，10，10．（1）填写下表：极差/环平均数/环方差/环2君君▲8 ▲标标▲▲ 3.6（2）根据以上信息，若教练选择君君参加市射击比赛，教练的理由是什么？22．（8分）（1）某校有A、B两个食堂，甲、乙、丙三位同学各自随机选择其中的一个食堂就餐，求三位同学在相同食堂就餐的概率．（2）甲、乙、丙三位同学分别站在等边三角形场地的三个顶点A、B、C处，每个人都以相同的速度沿着等边三角形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，那么甲、乙、丙三位同学互不相遇的概率是▲．23．（8分）“不忘初心，继续前行”，2017年10月18日—2017年10月24日“中国共产党第十九次全国代表大会”在北京隆重召开.为了解某校1000名学生在此期间对会议的关注方式，某班兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将问卷调查的结果绘制某校抽取学生“中国共产党第十九次全国代表大会”期间对会议的关注方式的统计表成如下不完整的统计表：关注方式频数百分比电视23 46%网络报纸8%其他15合计100%（1）本次问卷调查抽取的学生共有▲ 人，其中通过报纸关注会议的学生有▲ 人；（2）从上表的“频数”、“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；（3）根据抽样的结果，估计该校学生通过网络关注会议的约有多少人？24．（9分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1 250元，那么这种衬衫每件的价格应定为多少元？25．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）已知AB＝5，AE＝4．求EF的长．FEAB CDO（第25题）26．（9分）（1）在图①中，已知点A、B和直线l1，在直线l1上作点P，使得∠APB＝90°；（2）在图②中，已知点C、D和直线l2，在直线l2上作点Q，使得∠CQD＝45°．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）AB图①l1（第26题）CD图①l227．（11分） 问题提出苏科版《数学》九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题：在解决此题时，若想要说明“点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上”只需证明 ▲ ． 初步思考如图②，BD 、CE 是锐角△ABC 的高，连接DE ． 求证：∠ADE ＝∠ABC ．小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明． （请你在下面的空白处根据小敏的思路完成证明过程.）如图①，BD 、CE 是△ABC 的高，M 是BC 的中点．点B 、C 、D 、E 是否在以点M 为圆心的同一个圆上？为什么？ 图①DM ECBA推广运用如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，连接DE、EF、FD．猜想∠EFB与∠DFC 之间存在的关系，并说明理由．建邺区2017－2018学年度第一学期期中调研测试卷九年级数学参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）题号 1 2 3 4 5 6答案 C D A B C C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．x=±5； 8．内； 9．3π； 10．8；11．1.1，1.2；12．5； 13．k>-1且k≠0； 14．50； 15．2； 16．x=-222三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题6分）解：(x －1)2＝2， ······················································································ 2分 x －1＝±2， ····················································································· 4分 x 1＝1＋2，x 2＝1－2． ····································································· 6分 18．（本题6分）解：(x ＋2)( 3－2x )＝0， ············································································· 4分x 1＝－2，x 2＝32． ················································································ 6分19．（本题7分）解：设人均年收入的年平均增长率是x ．根据题意，得50 000 (1＋x )2＝60 500． ··················································· 3分解这个方程，得x 1＝0.1，x 2＝－2.1（不合题意，舍去）．答：该市人均年收入的年平均增长率是10%． ·········································· 7分20．（本题7分）解：连接OB ．∵ 在⊙O 中，弦AB ⊥OC ，垂足为D ，∴ AD ＝BD ＝12AB ＝2． ······································································ 2分设⊙O 的半径为r ．在Rt △BOD 中，BD 2＋OD 2＝OB 2，即22＋(r －1) 2＝r 2． ··········································································· 5分 解方程，得r ＝2.5．21．（本题8分）解：（1）3，1.2，5，8（说明：方差2分，其余每个1分）． ······························· 5分（2）教练选择君君参加市射击比赛的理由是：因为－x 君＝－x 标，S 2君<S 2标，说明两人实力相当，但君君射击的成绩比标标稳定． ··············································· 8分 22．（本题8分）解：（1）甲、乙、丙选择A 、B 两个食堂的事件有（A ，A ，A ），（A ，A ，B ），（A ，B ，A ），（A ，B ，B ），（B ，A ，A ），（B ，A ，B ），（B ，B ，A ），（B ，B ，B ）． 一共有8种可能的结果，它们是等可能的，其中符合要求的有2种． P (甲、乙、丙选择相同食堂)＝ 28 ＝ 14．答：甲、乙、丙选择相同食堂的概率为14． ·········································· 6分（2）14． ···························································································· 8分23．（本题8分）解：（1）50，4． ······················································································ 2分 （2）选择条形图或扇形统计图，画图正确． ············································· 5分（3）1 000×16%＝160（人）．答：估计该校1 000名学生中通过网络关注会议的约有160人． ············· 8分 24．(本题9分)解：设这种衬衫的单价降了x 元．根据题意，得 (40－x )(20＋2x )＝1 250． ················································ 4分所以，当x＝15时，40－x＝25． ···························································8分答：当这种衬衫每件的价格定为25元时，商店每天获利1 250元． ··············9分25．(本题9分)（1）证明：如图，连接AD、OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．即AD⊥BC．∵在△ABC中，AB＝AC，且AD⊥BC，∴D为BC的中点．又O为AB的中点．∴OD∥AC．∵EF⊥AC，即∠CED＝90°，∴∠ODE＝∠CED＝90°．即OD⊥EF． ·········································································4分又OD为⊙O的半径，∴直线EF与⊙O相切． ··························································5分（2）解：∵OD∥AC，∴△FOD∽△F AE． ···································································6分∴FOF A＝ODAE．FEAB CDO（第25题）∴ FB ＋2.5FB ＋5＝2.54． ······································································ 7分∴ BF ＝53． ··············································································· 8分∴ AF ＝53＋5＝203．∴ 在Rt △AEF 中，EF ＝AF 2－AE 2＝163． ······································ 9分 26．（本题9分）解：（1）画图正确． ················································································· 4分 （2）画图正确． ················································································· 9分 27．(本题11分)解：（1）MB ＝MC ＝MD ＝ME ． ··································································· 2分 （2）如图②，取BC 的中点M ，连接ME 、MD ． ∵ BD 、CE 是锐角△ABC 的高， ∴ ∠BDC ＝∠CEB ＝90°． 在Rt △BDC 中，M 是BC 的中点， ∴ MD ＝MB ＝MC ． 同理可得 ME ＝MB ＝MC ．∴ MB ＝MC ＝MD ＝ME ． ····························································· 4分 ∴ 四边形BCDE 是⊙M 的内接四边形．∴ ∠EBC ＋∠EDC ＝180°． ·························································· 5分 又 ∠ADE ＋∠EDC ＝180°， ∴ ∠ADE ＝∠EBC ．即 ∠ADE ＝∠ABC ． ··································································· 6分 （3）∠EFB ＝∠DFC ．理由如下：如图③，设锐角△ABC 的三条高BD 、CE 、AF 交于点G ． 取BG 的中点M ，连接ME 、MF ． ∵ AF 、CE 是锐角△ABC 的高， ∴ ∠BEG ＝∠BFG ＝90°． 在Rt △BFG 中，M 是BG 的中点， ∴ MG ＝MB ＝MF ． 同理可得 MG ＝MB ＝ME ．∴ MG ＝MB ＝MF ＝ME ．∴ 点B 、F 、G 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上．∴ ∠BFE ＝∠BGE ． ··································································· 8分 取CG 的中点N ，连接ND 、NF ．同理可得 点C 、D 、G 、F 在以点N 为圆心的同一个圆上．∴ ∠DFC ＝∠DGC ． ································································ 10分 ∵ ∠BGE ＝∠DGC ，∴ ∠EFB ＝∠DFC ． ································································· 11分N MG FD ECBAMDECBA。
2017-2018年江苏省连云港市九年级(上)期中数学试卷和答案
2017-2018学年江苏省连云港市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）一元二次方程x2﹣4=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x 1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣2．（3分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上 B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定3．（3分）在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（）A．75，80 B．80，80 C．80，85 D．80，904．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（）A．90°B．50°C．45°D．30°5．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=36．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm27．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在弧AD上．若AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，弧DE的度数为（）A．75°B．80°C．84°D．90°8．（3分）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）A．0≤b＜2B．﹣2C．﹣22D．﹣2＜b＜2二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）一组数据：5、1、3、2、﹣1的极差是．10．（3分）方程（x+2）（x﹣3）=0的解是．11．（3分）方程x2﹣3x+1=0根的判别式b2﹣4ac=．12．（3分）李刚同学的四次数学测试成绩分别是80分、76分、90分、84分，如果按照1：2：4：1的权重对这四次成绩进行综合评价，李刚同学的综合得分是分．13．（3分）在△ABC中，∠A=72°，若O为内心，则∠BOC=°．14．（3分）一个三角形有两边长为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于．15．（3分）如图，△ABC三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，且A′、B′仍落在格点上，则线段AC扫过的扇形所围成的圆锥体的底面半径是单位长度．16．（3分）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA恰好与⊙O相切于点A′（△EFA′与⊙O除切点外无重叠部分），延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是．三、解答题（本题10个小题，满分102分）17．（14分）解下列方程：（1）（x﹣1）2=4；（2）4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）；（3）x2﹣4x﹣2=0．18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值及方程的另一个根．19．（8分）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB 两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．20．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=12，∠ABC=∠DAC，求AC 的长．21．（8分）某射击教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：（1）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会．（填“变大”、“变小”或“不变”）22．（10分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？23．（10分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．（1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．24．（10分）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？25．（12分）已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD的对角线（1）如图1，连结BD，若∠CDB=60°，求证：AC是∠DAB的平分线；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC=7，AB=5，求线段AE的长度．26．（14分）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm 的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？（2）如图2，当t=秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围．2017-2018学年江苏省连云港市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）一元二次方程x2﹣4=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣【解答】解：移项得：x2=4，∴x=±2，即x1=2，x2=﹣2．故选：C．2．（3分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上 B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：B．3．（3分）在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（）A．75，80 B．80，80 C．80，85 D．80，90【解答】解：∵数据75，80，80，85，90中，80出现的次数最多，出现了2次，∴这组数据的众数是80；把数据75，80，80，85，90从小到大排列，可得75，80，80，85，90，所以这组数据的中位数是80．故选：B．4．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（）A．90°B．50°C．45°D．30°【解答】解：∵OB⊥OC，∴∠BOC=90°，∴∠A=∠BOC=45°．故选：C．5．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，故选：A．6．（3分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2【解答】解：∵h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，圆锥侧面展开图的面积为：S=×2×6π×10=60π，侧所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．7．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在弧AD上．若AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，弧DE的度数为（）A．75°B．80°C．84°D．90°【解答】解：连接BD、OA、OE、OD，如图所示∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，∴∠AOE==36°，∴∠DOE=120°﹣36°=84°；故选：C．8．（3分）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）A．0≤b＜2B．﹣2C．﹣22D．﹣2＜b＜2【解答】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．在y=﹣x +b 中，令x=0时，y=b ，则与y 轴的交点是（0，b ），当y=0时，x=b ，则A 的交点是（b ，0），则OA=OB ，即△OAB 是等腰直角三角形．连接圆心O 和切点C ．则OC=2．则OB=OC=2．即b=2；同理，当直线y=﹣x +b 与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2． 则若直线y=﹣x +b 与⊙O 相交，则b 的取值范围是﹣2＜b ＜2．故选：D ．二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）一组数据：5、1、3、2、﹣1的极差是 6 ．【解答】解：这组数据：5、1、3、2、﹣1的极差是：5﹣（﹣1）=6．故答案为：6．10．（3分）方程（x +2）（x ﹣3）=0的解是 x 1=﹣2，x 2=3 ．【解答】解：原方程可化为x +2=0或x ﹣3=0，解得x 1=﹣2，x 2=3．故本题答案为：x 1=﹣2，x 2=3．11．（3分）方程x 2﹣3x +1=0根的判别式b 2﹣4ac= 5 ．【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=1，∴△=b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5．故答案为：5．12．（3分）李刚同学的四次数学测试成绩分别是80分、76分、90分、84分，如果按照1：2：4：1的权重对这四次成绩进行综合评价，李刚同学的综合得分是84.5分．【解答】解：根据题意可得：=84.5（分），答：李刚同学的综合得分应是84.5分；故答案为：84.5．13．（3分）在△ABC中，∠A=72°，若O为内心，则∠BOC=126°．【解答】解：连接OB、OC，如图1，∵O为内心，∴OB、OC分别平分∠ABC和∠OCB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×（180°﹣72°）=126°；故答案为：126．14．（3分）一个三角形有两边长为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于13．【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得：x1=2，x2=4，当第三边长是2时，2+3＜6不满足三角形的三边关系，应舍去；当第三边长是4时，能构成三角形，周长是3+6+4=13．故答案为：13．15．（3分）如图，△ABC三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，且A′、B′仍落在格点上，则线段AC扫过的扇形所围成的圆锥体的底面半径是单位长度．【解答】解：根据题意得：CA===，∠ACA′=90°，故扇形的弧长为：=，设圆锥的半径为r，则2πr=，解得：r=，故答案为：．16．（3分）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA恰好与⊙O相切于点A′（△EFA′与⊙O除切点外无重叠部分），延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是．【解答】解：如图，作FS⊥CD于点S，则AF=CG，∵△AFE≌△A′FE，∴FA=FA′，∵四边形ADSF是矩形，∴AF=SD，AD=FS；设AF=x，则A′F=DS=CG=x，GS=8﹣2x，FO=FA′+OA′=2+x，FG=2（2+x）；∵FG2=GS2+FS2∴[2（2+x）]2=（8﹣2x）2+82，解得x=，∴A′G=FG﹣FA′=2（2+x）﹣x=．三、解答题（本题10个小题，满分102分）17．（14分）解下列方程：（1）（x﹣1）2=4；（2）4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）；（3）x2﹣4x﹣2=0．【解答】解：（1）（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，x=1±2，解得x1=3，x2=﹣1；（2）4x（2x﹣1）=3（2x﹣1），（4x﹣3）（2x﹣1）=0，4x﹣3=0或2x﹣1=0，解得x1=，x2=；（3）x2﹣4x﹣2=0，移项得：x2﹣4x=2，两边都加上4得：（x﹣2）2=6，开方得：x﹣2=或x﹣2=﹣，∴x1=2+，x2=2﹣．18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值及方程的另一个根．【解答】解：（1）∵方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即32﹣4m＞0，解得m＜；（2）把x=﹣1代入方程可得1﹣3+m=0，解得m=2，∴方程为x2+3x+2=0，解得x=﹣1或x=﹣2，即方程的另一根为﹣2．19．（8分）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB 两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【解答】解：如图所示．圆P即为所作的圆．20．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=12，∠ABC=∠DAC，求AC 的长．【解答】解：连接CD，∵∠ABC=∠DAC，∴=，∴AC=CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴AC=AD=6．21．（8分）某射击教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：（1）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会变小．（填“变大”、“变小”或“不变”）【解答】解：（1）甲的平均数是：（7+8+8+8+9）÷5=8，则甲的方差是：[（7﹣8）2+3（8﹣8）2+（9﹣8）2]=0.4，乙的平均数是：（6+6+9+9+10）÷5=8，则甲的方差是：[2（6﹣8）2+2（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2.8，所以甲的成绩比较稳定；（2）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．故答案为：变小．22．（10分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2=2.88，解得x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：2.88（1+20%）=3.456，3.456＞3.4答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．23．（10分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．（1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【解答】解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵AO=DO，∴∠BAD=∠ADO，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∵∠ACD=90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；（2）连接OE，ED，∵∠BAC=60°，OE=OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE=60°，∴∠ADE=30°，又∵∠OAD=∠BAC=30°，∴∠ADE=∠OAD，∴ED∥AO，∴S=S△AOD，△AED==π．∴阴影部分的面积=S扇形ODE24．（10分）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？【解答】解：设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意得出：[80﹣2（x﹣10）]x=1200，解得：x1=20，x2=30，当x=20时，80﹣2（20﹣10）=60元＞50元，符合题意；当x=30时，80﹣2（30﹣10）=40元＜50元，不合题意，舍去；答：她购买了20件这种服装．25．（12分）已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD的对角线（1）如图1，连结BD，若∠CDB=60°，求证：AC是∠DAB的平分线；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC=7，AB=5，求线段AE的长度．【解答】（1）证明：∵，∴CD=BD，∵∠CDB=60°，∴△BCD是等边三角形，∴=，∴∠CAD=∠BAC，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BD，在线段CE上取点F，使得EF=AE，连接DF，∵DE⊥AC，∴DF=DA，∴∠DFE=∠DAE，∵=，∴CD=BD，∠DAC=∠DCB，∴∠DFE=∠DCB，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠DAB+∠DCB=180°，∵∠DFC+∠DFE=180°，∴∠DFC=∠DAB，∵在△CDF和△BDA中，∴△CDF≌△BDA（AAS），∴CF=AB=5，∵AC=7，AB=5，∴AE=AF=（AC﹣CF）=1．26．（14分）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm 的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？（2）如图2，当t=秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）∵当运动时间为t秒时，PA=t，BQ=2t，∴PB=6﹣t，BQ=2t．∵△PBQ的面积等于5cm2，∴PB•BQ=（6﹣t）•2t．∴=5．解得：t1=1，t2=5．答：当t为1秒或5秒时，△PBQ的面积等于5cm2．（2）△DPQ的形状是直角三角形．理由：∵当t=秒时，AP=，QB=3，∴PB=6﹣=，CQ=12﹣3=9．在Rt△PDA中，由勾股定理可知：PD2=DA2+PA2=122+（）2=．同理：在Rt△PBQ和Rt△DCQ中由勾股定理可得：DQ2=117，PQ2=．∵117+=，∴DQ2+PQ2=PD2．所以△DPQ的形状是直角三角形．（3）①（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．（Ⅱ）如图1所示：当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．∵∠DAB=90°，∴∠DPQ=90°．∴DP⊥PQ．∴DP为圆Q的切线．（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．由题意可知：PB=6﹣t，BQ=2t，PQ=CQ=12﹣2t．在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2=PB2+QB2，即（6﹣t）2+（2t）2=（12﹣2t）2．解得：t1=﹣18+12，t2=﹣18﹣12（舍去）．综上所述可知当t=0或t=﹣18+12时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．②（Ⅰ）当t=0时，如图1所示：⊙Q与四边形DPQC有两个公共点；（Ⅱ）如图3所示：当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点．由题意可知：PB=6﹣t，BQ=2t，CQ=12﹣2t，DC=6．由勾股定理可知：DQ2=DC2+CQ2=62+（12﹣2t）2，PQ2=PB2+QB2=（6﹣t）2+（2t）2．∵DQ=PQ，∴DQ2=PQ2，即62+（12﹣2t）2=（6﹣t）2+（2t）2．整理得：t2+36t﹣144=0．解得：t1=6﹣18，t2=﹣6﹣18（舍去）．∴当0＜t＜6﹣18时，⊙Q与四边形DPQC有三个公共点．第21页（共21页）。
2017-2018学年江苏省昆山、太仓市九年级上期中数学试题及解析答案
2017～2018学年第一学期期中教学质量调研测试初三数学2017.11一、选择题1、方程3)(1)（＝0的解是-+x xA、x＝0B、x＝3C、x3或x＝－1D、x＝3或x＝02、用配方法解一元二次方程24-＝5的过程中，配方正确的是（）x xA、（x+2）2＝1B、（x－2）2＝1C、（x+2）2＝9D、（x－2）2＝93、对于二次函数2y x=-+2的图象，下列说法正确的是（）(1)A、开口向下B、顶点坐标是（－1,2）C、对称轴是x＝1D、与x轴有两个交点4、二次函数22(0)+的值为=++≠的图象经为（－1,1），则代数式1－a by ax bx a（）A、－3B、－1C、2D、55、抛物线2=-++上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：y x bx c从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（－2,0）②抛物线与y轴的交点为（0,6）③抛物线的对称轴是x＝1 ④在对称轴左侧y随x增大而增大A、4B、3C、2D、16、设是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）7、抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点个数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、08、已知a 是一元二次方程21x x --＝0较大的根，则下面对a 的估计正确的是（ ）9、已知抛物线的最大值是（ ）10.函数2y x bx c =++与y x =的图象如图所示，有以下结论①240b c ->;②10b c ++=;③360b c ++=;④当13x <<时，2(1)0x b x c +-+<;其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.340mx mx +-=是关于x 的一元二次方程，则m = .12.若抛物线2y ax bx c =++的顶点是(2,1)A -，且经过点(1,0)B ，则抛物线的函数关系式为 .13.关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k -++-=实数根，则k 的取值范围是 .14.设,m n 分别为一元二次方程2220190x x +-=的两个实数根，则23m m n ++= .15.将抛物线223y x x =-+向左平移一个单位，再向下平移三个单位，则抛物线的解析式应为 .16.抛物线2243y x x =-+绕坐标原点旋转180º所得的抛物线的解析式是 .17.如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c -+<的解是 .17题图 18题图18.二次函数223y x =的图像如图所示，点0A 位于坐标原点，点12A A ，在y 轴的正半轴上，点12B B ，在二次函数223y x =位于第一象限的图像上，若011122A B A A B A ∆∆，都为等边三角形，则122A B A ∆的边长 .三、解答题(本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明)19.解下列方程(本题共2小题，每小题4分，共8分)(1)解方程 2210x x --=(2)解方程 2(21)63x x +=--20.(本题满分6分)某企业2014年盈利2500万元，2016年盈利3600万元.(1)求2014年至2016年该企业盈利的年平均增长率;(2)根据(1)所得的平均增长率，预计2017年该企业盈利多少万元?21.(本题满分6分)在等腰ABCa=，若关于x的方程∆中，三边分别为,,a b c，其中52(2)30∆的周长.x b x b+-+-=有两个相等的实数根，求ABC22.(本题满分6分)已知二次函数24=-+y x x(1)写出二次函数24=-+图象的对称轴;y x x(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象(列表、描点、连线);(3)根据图象，写出当0y<时，x的取值范围.23.(本题满分6分)已知抛物线2=++与x轴交于点(1,0)y ax bx cB，且过点A，(3,0)C-.(0,3)(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x=-上，并写出平移后抛物线的解析式.24.(本题满分8分)如图，在矩形OABC中，8OA=，4OC =，OA 、OC 分别在x 轴与y 轴上，D 为OA 上一点，且CD AD =.(1)求过点B 、C 、D 的抛物线的解析式;(2)求出(1)中抛物线与x 轴的另一个交点E 坐标.25.(本题满分8分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元.为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.(1)若该商场平均每天要赢利1200元，且让顾客尽可能得到实惠，每件衬衫应降价多少元?(2)求该商场平均每天赢利的最大值。
精品解析：【全国市级联考】江苏省常州市2017-2018学年九年级(上)期末数学试题(解析版)
2017-2018学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1.美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码39 40 41 42 43平均每天销售数量（件）10 12 20 12 12该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（）A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数【答案】B【解析】【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选B．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．2.如图，是小明的练习，则他的得分是（）A. 0分B. 2分C. 4分D. 6分【答案】C【解析】【分析】根据开平方法解一元二次方程求解判断（1）错误；可根据特殊角的三角函数值对（2）进行判断；可根据等圆的定义判断对（3）角线判断，从而根据每题的分值求解．【详解】（1）x2=1，∴x=±1，∴方程x2=1的解为±1，所以（1）错误；（2）sin30°=0.5，所以（2）正确；（3）等圆的半径相等，所以（3）正确；这三道题，小亮答对2道，得分：2×2=4（分）．故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．3.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：9【答案】D【解析】由位似比可得出相似比，再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．解：∵OB=3OB′，∴OB′：OB=1：3，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3，∴.故选D4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos A的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】因为在△ABC中,∠C＝90°,AC＝1,BC＝2,根据勾股定理可得:,根据余弦三角函数的定义可得:,故选C.点睛:本题考查余弦三角函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握余弦三角函数的定义.5.已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为（）A. 36πcm2B. 48πcm2C. 60πcm2D. 80πcm2【答案】C【解析】【分析】根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积．【详解】由勾股定理得：圆锥的母线长=，∵圆锥的底面周长为2πr=2π×6=12π，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π，∴圆锥的侧面积为：×12π×10=60π．故选C．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算方法，解决本题的关键是根据已知条件求出圆锥的母线长和侧面展开扇形的弧长，然后用弧长与母线长乘积的一半求扇形的面积．6.已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A. ﹣3B. ﹣2C. 3D. 6【答案】A【解析】试题解析：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选A．考点：根与系数的关系．7.半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）A. 2rB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及勾股定理解答即可．【详解】如图所示，OB=OA=r；，∵△ABC是正三角形，由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，所以BO是∠ABC的平分线；∠OBD=60°×=30°，BD=r•cos30°=；根据垂径定理，BC=2×=r．故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键，根据圆的内接正三角形的特点，求出内心到每个顶点的距离，可求出内接正三角形的边长．8.如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C．两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．故选D．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9.tan60°=_____．【答案】【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．【详解】tan60°的值为．故答案为：．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．10.已知，则xy=_____．【答案】6【解析】【分析】根据内项之积等于外项之积解答即可．【详解】∵，∴xy=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．11.一组数据：6，2，－1，5的极差为____．【答案】7【解析】根据极差的定义,一组数据的最大值与最小值的差为极差,所以这组数据的极差是7,故答案为:7.12.如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是_____．【答案】【解析】【分析】根据几何概率的定义，分别求出两圆中阴影部分所占的面积，即可求出停止后指针都落在阴影区域内的概率．【详解】指针停止后指向图中阴影的概率是：.故答案为：．【点睛】此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积．13.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=_____°．【答案】58【解析】试题解析：如图，连接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=32°，∴∠OAB=∠OAB=32°，∴∠AOB=116°，∴∠C=58°．故答案为：58°.14.某超市今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是_____．【答案】20％【解析】【分析】设该超市销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，由3月份的销售额是2.88万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设该超市销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．所以，该超市销售额平均每月的增长率是20%．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有_____．【答案】①②③④【解析】【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，∴sinB=cosC，故③正确；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．16.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为_____．【答案】（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．【解析】【分析】先求出点C的坐标，分为三种情况：圆P与边AO相切时，当圆P与边AB相切时，当圆P与边BO相切时，求出对应的P点即可．【详解】∵点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），∴直线AB的解析式为y=-x+2，∵点P是直线y=2x+2上的一动点，∴两直线互相垂直，即PA⊥AB，且C（-1，0），当圆P与边AB相切时，PA=PO，∴PA=PC，即P为AC的中点，∴P（-，1）；当圆P与边AO相切时，PO⊥AO，即P点在x轴上，∴P点与C重合，坐标为（-1，0）；当圆P与边BO相切时，PO⊥BO，即P点在y轴上，∴P点与A重合，坐标为（0，2）；故符合条件的P点坐标为（0，2），（-1，0），（-，1），故答案为（0，2），（-1，0），（-，1）．【点睛】本题主要考查待定系数法确定一次函数关系式，一次函数的应用，及直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，可分类3种情况圆与△AOB的三边分别相切，根据直线与圆的位置关系可求解点的坐标．三、解答题（共9小题，满分68分）17.（1）解方程：x（x+3）=﹣2；（2）计算:sin45°+3cos60°﹣4tan45°．【答案】(1) x1=﹣2，x2=﹣1；(2)-1.5.【解析】【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】（1）方程整理，得x2+3x+2=0，因式分解，得（x+2）（x+1）=0，于是，得x+2=0，x+1=0，解得x1=﹣2，x2=﹣1；（2）原式==1+1.5﹣4=﹣1.5．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及含有特殊三角函数值的计算，掌握因式分解和特殊角三角函数值是解题关键．18.体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：甲班13 11 10 12 11 13 13 12 13 12乙班12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩；（2）哪个班的成绩比较整齐？【答案】（1）甲12分，乙12分；（2）甲班的成绩比较整齐．【解析】【分析】（1）根据平均数的定义计算可得；（2）根据方差的计算公式计算可得，再根据方差的意义比较后可得答案．【详解】（1）（13+11+10+12+11+13+13+12+13+12）=12（分），（12+13+13+13+11+13+6+13+13+13）=12（分）．故两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩均为12分；2=×[4×（13﹣12）2+3×（12﹣12）2+2×（11﹣12）2+（10﹣12）2]=1.2，（2）S甲S乙2=×[7×（13﹣12）2+（12﹣12）2+（11﹣12）2+（6﹣12）2]=4.4，∵S甲2＜S乙2，∴甲班的成绩比较整齐．【点睛】本题主要考查平均数和方差，平均数表示一组数据的平均程度，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．熟练掌握方差的计算公式和方差的意义是解题的关键．19.校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）∵甲、乙、丙三位学生进入决赛，∴P（甲第一位出场）=；（2）画出树状图得：∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，∴P（甲比乙先出场）=．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？【答案】△ABC和△DEF相似．【解析】【分析】利用格点三角形的知识求出AB，BC及EF，DE的长度，继而可作出判断．【详解】△ABC和△DEF相似．理由如下：由勾股定理，得AB=2，AC=2，BC=2，DE=，DF=，EF=2，∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．21.已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）【答案】（1）见解析；（2）﹣2、0、2.【解析】【分析】（1）将原方程变形为一般式，再根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4k2+9＞0，此题得证；（2）将原方程变形为一般式，利用求根公式找出方程的解，由方程的解为整数，即可求出k值．【详解】（1）证明：原方程可变形为x2-5x+4-k2=0．∵△=（-5）2-4×1×（4-k2）=4k2+9＞0，∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x2-5x+4-k2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数，∴k取0，2，-2时，方程有整数解．【点睛】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用求根公式找出方程的解．22.如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．【答案】（16+5）米．【解析】试题分析：设AG=x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE=10m，列出方程即可解决问题．试题解析：设AG=x．在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，∴CG=AG=x，∵DE=10，∴x﹣=10，解得：x=，∴AB=+1=（米）．答：电视塔的高度AB约为米．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．23.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．（1）求证：△AED∽△DCG；（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及正方形的性质可求得∠A=∠CDG，∠DEA=∠C，则可证得△AED∽△DCG；（2）设AE=x，利用矩形的性质及等腰三角形的性质可求得BF=FG=DE=AE=x，从而可表示出EF，结合矩形的面积可得到关于x的方程，则可求得x的值，即可求得AE的长．【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，∵四边形DEFG是矩形，∴∠AED=∠DEF=90°，DG∥AB，∴∠CDG=∠A，∵∠C=90°，∴∠AED=∠C，∴△AED∽△DCG；（2）设AE的长为x，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴∠A=∠B=45°，AB=4，∵矩形DEFG的面积为4，∴DE•FE=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90°，∴BF=FG=DE=AE=x，∴EF=4-2x，即x（4-2x）=4，解得x1=x2=．∴AE的长为．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、性质及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意方程思想的应用．24.如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为弧BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．【答案】（1）直线CD与⊙O相切；（2）⊙O的半径为1.5．【解析】试题分析：（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；（2）连接CE，由勾股定理得到CD的长，根据切割线定理得到=AD•DE，根据勾股定理得到CE的长，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）相切，连接OC，∵C为的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；（2）方法1：连接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切线，∴=AD•DE，∴DE=1，∴CE==，∵C为的中点，∴BC=CE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3．方法2：∵∠DCA=∠B，易得△ADC∽△ACB，∴，∴AB=3．25.如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D（3，3）．（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是；（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值；（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．【答案】（1）（-1,0）；（2）6；（3）﹣＜x<或﹣2﹣＜x＜﹣2+；【解析】【分析】（1）画出△ABC的外接圆即可解决问题；（2）当点G在线段DM延长线上时DG最大，此时DG=DM+GM，（3）分两种情形构建方程即可即可解决问题；【详解】（1）如图所示；M（-1，0）；故答案为（-1，0）．（2）连接MD，MG，ME，∵点G为弦EF的中点，EM=FM=，∴MG⊥EF，∵EF=4，∴EG=FG=2，∴MG==1，∴点G在以M为圆心，1为半径的圆上，∴当点G在线段DM延长线上时DG最大，此时DG=DM+GM，∵DM==5，∴DG的最大值为5+1=6；（3）设P点的横坐标为x，当P点位于线段MB及延长线上且P、Q两点间距离等于1，时，，∴或解得|x p|=2+或2-，∵此时P点在第三象限，∴x＜0，∴x=-2-或-2+，即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为-2-＜x＜-2+；当P点位于线段BM及延长线上且P、Q两点间距离等于1时，则PQ：AM=|x|：|x M|，，解得|x|=，∵此时P点在第一或二象限，∴x=±，即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为-＜x；综上所述，点P横坐标的取值范围为-＜x或-2-＜x＜-2+.【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。
2017-2018学年北师大版数学九年级(上册)期中试卷及答案
2017-2018学年九年级（上册）期中数学试卷一．选择题1．如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．关于x的方程x2+kx﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．设x1、x2是方程2x2﹣6x﹣1=0的两个根，则（）A．x1+x2=6 B．x1+x2=3 C．x1•x2=D．x1•x2=﹣14．在下列函数中，其中y是x的二次函数的一个是（）A．y=2x+1 B．y=C．y=x2﹣3 D．y=（k﹣1）x2+3x﹣15．抛物线y=x2+2x的顶点坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1） C．（2，0） D．（1，0）6．三角形的外心是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边的中垂线的交点D．三条高的交点7．对于抛物线y=﹣x2+4，下列说法中错误的是（）A．开向下，对称轴是y轴 B．顶点坐标是（0，4）C．当x=0时，y有最小值是4 D．当x＞0时，y随x的增大而减小8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，下列等式中不一定成立的是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠5 C．∠BAD=∠DCE D．∠4=∠69．下列说法中正确的是（）A．长度相等的两条弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等C．相等的弦所对的弧相等 D．相等的弧所对的圆心角相等10．如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（）A．B．C．D．二．填空题11．把方程2x2﹣1=x（x+3）化成一般形式是．12．如果点P（﹣2，6）与点P′关于原点对称，那么点P′的坐标是．13．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是．14．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= ．15．已知抛物线y=x2﹣4x+m与x轴交于A、B两点，若A的坐标是（﹣1，0），则B的坐标是．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=2，则阴影部分的面积为．三．解答题17．解方程：3x（x+2）=4x+8．18．已知抛物线y=ax2+bx经过 A（1，﹣1）、B（2，2）两点，求这条抛物线的解析式．四．解答题19．白溪镇2013年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2015年达到82.8公顷．求该镇2013至2015年绿地面积的年平均增长率．20．已知抛物线 y=x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．21．如图是一个还未画好的中心对称图形，它是一个四边形ABCD，其中A与C，B与D是对称点．（1）用尺规作图先找出它的对称中心，再把这个四边形画完整；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．22．如图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，C是⊙O上一点，∠PCA=∠B．求证：PC是⊙O 的切线．23．用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的高度为x米，窗的透光面积（铝合金所占面积忽略不计）为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（结果要化成一般形式）；（2）能否使窗的透光面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由；（3）窗的高度为多少时，能使透光面积最大？最大面积是多少？24．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．25．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）抛物线在第二象限内是否存在一点Q，使△QBC的面积最大？，若存在，求出点Q的坐标及△QBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题1．如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别结合选项判断即可得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．关于x的方程x2+kx﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】求出△的值即可得出结论．【解答】解：∵△=k2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与系数的关系是解答此题的关键．3．设x 1、x 2是方程2x 2﹣6x ﹣1=0的两个根，则（ ）A ．x 1+x 2=6B ．x 1+x 2=3C ．x 1•x 2=D ．x 1•x 2=﹣1【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可．【解答】解：∵x 1、x 2是方程2x 2﹣6x ﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣=3，x 1•x 2=﹣．故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．4．在下列函数中，其中y 是x 的二次函数的一个是（ ）A ．y=2x+1B ．y=C ．y=x 2﹣3D ．y=（k ﹣1）x 2+3x ﹣1 【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义进行选择即可．【解答】解：A 、y=2x+1是一次函数，故错误；B 、y=不是二次函数，故错误；C 、y=x 2﹣3是二次函数，故正确；D 、当k=1时，y=（k ﹣1）x 2+3x ﹣1不是二次函数，故错误；故选C ．【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．5．抛物线y=x 2+2x 的顶点坐标是（ ）A ．（1，﹣1）B ．（﹣1，﹣1）C ．（2，0）D ．（1，0）【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣1），故选B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．6．三角形的外心是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边的中垂线的交点D．三条高的交点【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】三角形的外心是这个三角形的三边的中垂线的交点，作出判断．【解答】解：A、三条中线的交点叫重心，所以选项A不正确；B、三条角平分线的交点叫内心，是三角形内切圆的圆心，所以选项B不正确；C、三边的中垂线的交点叫外心，是三角形外接圆的圆心，所以选项C正确；D、三条高的交点叫垂心，所以选项D不正确；故选C．【点评】本题考查了三角形的外接圆的圆心，熟记三角形的外心是这个三角形的三边的中垂线的交点是关键．7．对于抛物线y=﹣x2+4，下列说法中错误的是（）A．开向下，对称轴是y轴 B．顶点坐标是（0，4）C．当x=0时，y有最小值是4 D．当x＞0时，y随x的增大而减小【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及最值，再利用增减性可判断D，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣x2+4，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，4），当x=0时，y有最大值4，当x＞0时，y 随x的增大而而减小，∴C错误，故选C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，下列等式中不一定成立的是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠5 C．∠BAD=∠DCE D．∠4=∠6【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据，在同圆中，同弧所对的圆周角相等可得A、B选项中的结论正确，D选项错误，根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角可得C选项中的结论正确．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠1=∠2，∠3=∠5，∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BAD=∠DCE，则A、B、C选项结论都成立，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠4=∠ACD，但是不一定等于∠6，故D选项结论错误，故选：D．【点评】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆周角定理，以及圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．9．下列说法中正确的是（）A．长度相等的两条弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等C．相等的弦所对的弧相等 D．相等的弧所对的圆心角相等【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故本选项错误；D、相等的弧所对的圆心角相等，正确，故选D．【点评】本题考查了圆、弧、弦的关系，熟练掌握圆、弧、弦的关系是解题的关键．10．如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据直线与抛物线的解析式中a、b的符号关系，结合图象的位置，进行逐一判断．【解答】解：①当a＞0时，二次函数的图象应该开口向上，一次函数的图象应该在一三或一二三或一三四象限，不正确；②一次函数的图象反映的信息是：a＞0，b=0，此时二次函数的图象应该开口向上，且对称轴为x=0，正确；③一次函数的图象反映的信息是：a＞0，b＞0，此时二次函数的图象应该开口向下，a＜0，不正确；④一次函数的图象反映的信息是：a＞0，b＜0，此时二次函数的图象应该开口向下，a＜0，不正确；故选B．【点评】应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c图象的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．二．填空题11．把方程2x2﹣1=x（x+3）化成一般形式是x2﹣3x﹣1=0 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】直接去括号，进而移项合并同类项进而得出答案．【解答】解：2x2﹣1=x（x+3）2x2﹣1=x2+3x，则2x2﹣x2﹣3x﹣1=0，故x2﹣3x﹣1=0．故答案为：x2﹣3x﹣1=0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．12．如果点P（﹣2，6）与点P′关于原点对称，那么点P′的坐标是（2，﹣6）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．就可以求出点P′的坐标．【解答】解：根据题意得，点P′的坐标（2，﹣6）．故答案是：（2，﹣6）．【点评】本题考查了关于原点对称，这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．13．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是22°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=136°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC的度数．【解答】解：∵∠A=68°，∴∠BOC=2∠A=136°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC=（180°﹣136°）=22°．故答案为22°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= 3 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE=3即可．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE=60°，AB=AE，∴△BAE是等边三角形，∴BE=3．故答案为：3．【点评】本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．15．已知抛物线y=x2﹣4x+m与x轴交于A、B两点，若A的坐标是（﹣1，0），则B的坐标是（5，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，然后根据点A和点B关于对称轴对称，即可求出点B的坐标．【解答】解：∵y=x2﹣4x+m，∴抛物线的对称轴方程为x=2，∵点A（﹣1，0）和点B关于对称轴x=2对称，∴点B的坐标为（5，0），故答案为（5，0）．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出抛物线的对称轴方程，此题难度不大．16．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C=30°，CD=2，则阴影部分的面积为 ．【考点】扇形面积的计算；垂径定理．【分析】根据垂径定理求得CE=ED=，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD 、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC ．【解答】解：如图，连接OD ，假设线段CD 、AB 交于点E ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CE=ED=，又∵∠DCB=30°，∴∠DOE=2∠CDB=60°，∠ODE=30°，∴OE=DE •cot60°=×=1，OD=2OE=2，∴S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC =﹣OE ×ED+BE •EC=﹣+=．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．三．解答题17．解方程：3x （x+2）=4x+8．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项得到3x （x+2）﹣4（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：3x （x+2）﹣4（x+2）=0，（x+2）（3x ﹣4）=0，x+2=0或3x ﹣4=0，所以x 1=﹣2，x 2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．已知抛物线y=ax 2+bx 经过 A （1，﹣1）、B （2，2）两点，求这条抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】把A ，B 两点坐标代入解析式求得a 和b 的值 即可求得解析式．【解答】解：∵抛物线y=ax 2+bx 经过 A （1，﹣1）、B （2，2）两点，∴把A ，B 两点坐标代入抛物线解析式中得：，∴， ∴抛物线的解析式为：y=2x 2﹣3x ．【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式的知识，解题的关键是列出a 和b 的二元一次方程组，此题难度不大．四．解答题19．白溪镇2013年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2015年达到82.8公顷．求该镇2013至2015年绿地面积的年平均增长率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设该镇2013至2015年绿地面积的年平均增长率为x ，由题意得等量关系：2013年有绿地面积×（1+增长率）2=2015年绿地面积，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设该镇2013至2015年绿地面积的年平均增长率为x ，由题意得：57.5（1+x）2=82.8，解得：x1=0.2=20%，x=﹣2.2（不合题意，舍去），2答：该镇2013至2015年绿地面积的年平均增长率为20%．【点评】本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；增长率问题：增长率=增长数量原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a （1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．20．已知抛物线 y=x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用配方法即可确定函数的顶点坐标；令y=0，解方程即可求得与x轴的交点的横坐标；（2）y＜0求x的范围，根据函数开口向上，以及函数与x轴的交点即可确定．【解答】解：（1）y=x2﹣2x=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，则函数的顶点坐标是（2，﹣2），即A的坐标是（2，﹣2）．令y=0，则x2﹣2x=0，解得x=0或4，则B的坐标是（0，0），C的坐标是（4，0）；（2）x的范围是0＜x＜4．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．21．如图是一个还未画好的中心对称图形，它是一个四边形ABCD，其中A与C，B与D是对称点．（1）用尺规作图先找出它的对称中心，再把这个四边形画完整；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．【考点】作图-旋转变换；平行四边形的判定．【分析】（1）直接利用中心对称图形的性质得出BD的中点，进而得出C点位置；（2）直接利用平行四边形的判定方法进而得出答案．【解答】（1）解：连接BD，并作其中垂线，得对称中心O连接并延长AO至C，使OC=AO，连CB、CD；（2）证明：∵O是对称中心，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】此题主要考查了旋转变换以及平行四边形的判定，正确得出O点位置是解题关键．22．如图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，C是⊙O上一点，∠PCA=∠B．求证：PC是⊙O 的切线．【考点】切线的判定；圆周角定理．【分析】要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．【解答】证明：连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠PCA=∠B，∴∠OCB=∠PCA．∵AB是直径，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠PCA=90°，∴OC⊥PC．又∵C是⊙O上一点，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23．用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的高度为x米，窗的透光面积（铝合金所占面积忽略不计）为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（结果要化成一般形式）；（2）能否使窗的透光面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由；（3）窗的高度为多少时，能使透光面积最大？最大面积是多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）设窗框的长为x米，则宽为（6﹣2x）米，进而得出函数关系式即可；（2）令y=2，代入函数关系式，则可判定所对应方程根的判别式和0的大小即可；（2）根据面积公式列出二次函数解析式，用配方法求其最大值即可．【解答】解：（1）设窗框的长为x米，则宽为（6﹣2x）米，窗户的透光面积为：y=x•（6﹣2x）=﹣x2+2x；（2）令y=2得：2=﹣x2+2x，整理得：2x2﹣6x+6=0，∵△=b2﹣4ac=﹣12＜0，∴此方程无解，∴不能使窗的透光面积达到2平方米；（3）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1.5）2+1.5，∵a=﹣＜0，∴y有最大值，当x=1.5时，y的最大值是1.5．答：窗的高度1.5米时，能使透光面积最大，最大面积是1.5米2，【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数关系式是解题关键．24．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的判定定理证明；（2）根据勾股定理求出AB，根据切线长定理得到AF=AE，BD=BF，CD=CE，结合图形列式计算即可．【解答】解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OD⊥BC，OE⊥AC，又∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形；（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，由切线长定理得，AF=AE ，BD=BF ，CD=CE ，∴CD+CE=BC+AC ﹣BD ﹣CE=BC+AC ﹣AB=4，则CE=2，即⊙O 的半径为2．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心的概念和性质、正方形的判定和性质，掌握切线长定理、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求B 、C 两点的坐标；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）抛物线在第二象限内是否存在一点Q ，使△QBC 的面积最大？，若存在，求出点Q 的坐标及△QBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点坐标与系数的关系即可求得；（2）根据轴对称的性质先找出C 的对称点C′，然后连接AC′即可找到P 点，最后根据A 、C′的坐标求得直线AC′的解析式，即可求得P 的坐标；（3）根据S △QBC =S △QBP +S 四边形QPOC ﹣S △BOC 即可求得解析式，根据解析式即可求得求出点Q 的坐标及△QBC 的面积最大值；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，当y=0时，即﹣x 2﹣2x+3=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1，当x=0时，y=3，∴B （﹣3，0）、C （0，3）；（2）存在；如图1，∵抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣2x+3，∴抛物线的对称轴x=﹣1，C （0，3）∴C′（﹣2，3），设直线AC′的解析式为：y=kx+b ，∵A （1，0），∴ 解得，∴直线AC′的解析式为：y=﹣x+1，把x=﹣1代入直线AC′的解析式y=﹣x+1，得y=2，∴P （﹣1，2）；（3）存在；如图2，设Q （m ，﹣m 2﹣2m+3），过Q 作QP ⊥x 轴于P ，∴OP=﹣m ，PQ=﹣m 2﹣2m+3，BP=3+m ，∴S △PBQ =BP •PQ=（3+m ）（﹣m 2﹣2m+3），S 四边形QPOC =（OC+PQ ）•OP=（3﹣m 2﹣2m+3）•（﹣m ），S △BOC =OB •OC=×3×3=，∴S △PBC =S △PBQ +S 四边形QPOC ﹣S △BOC =﹣m 2﹣m ，即S △PBC =﹣m 2﹣m=﹣（m+）2+，∴当m=﹣时，△QBC 的面积最大，最大值为；∴Q （﹣，）．【点评】该题考查的内容主要涉及到利用待定系数法确定函数解析式、轴对称图形、三角形的面积以及平行四边形的判定和性质；（3）利用坐标系借助规则图形求三角形的面积是此题的关键所在．第21页（共21页）。
2017-2018年江苏省南通市如皋中学九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年江苏省南通市如皋中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．）1．（3分）如图，⊙O的弦AB=8，OM⊥AB于点M，且OM=3，则⊙O的半径为（）A．8 B．4 C．10 D．52．（3分）若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞03．（3分）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）4．（3分）如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠ACB=50°，则∠AOB等于（）A．130°B．100°C．50°D．40°5．（3分）已知点M（﹣2，6）在双曲线y=上，则下列各点一定在该双曲线上的是（）A．（2，6） B．（﹣6，﹣2 ）C．（6，2） D．（2，﹣6）6．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c ＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞57．（3分）圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为（）A．6 B．9 C．18 D．368．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为3，一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≥﹣3 C．m≤3 D．m≤﹣39．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤10．（3分）如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y=﹣x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．3 B．4 C．6﹣D．3﹣1二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．）11．（3分）如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，∠ADC=128°，则∠ABC=．12．（3分）已知抛物线y=x2+2x+m与x轴有且只有一个公共点，则m=．13．（3分）如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数y=﹣和y=于A、B两点，则△ABC的面积等于．14．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是．15．（3分）已知圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，则此圆锥的侧面积为．16．（3分）校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=﹣+2.5，那么小明这次投掷的成绩是米．17．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是．18．（3分）已知过点（1，﹣1）的直线y=kx+b（k≠0）不经过第一象限，设m=k2﹣b，则m的取值范围是．三、解答题（本题共10小题，共96分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．）19．（8分）函数y=ax2（a≠0）与直线y=x﹣3交于点（1，b）（1）求a，b的值；（2）x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？20．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC和BD是对角线，AB=CD．证：（1）AC=DB；（2）AD∥BC．21．（10分）如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，且与反比例函数（x＞0）的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．（1）求m，n的值；（2）求△ADC的面积．22．（8分）如图，抛物线y=+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴另一个交点B的坐标，并观察图象直接写出当x为何值时y＞0？23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）．（1）求经过点C的反比例函数的解析式；（2）设P是（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A为顶点的三角形的面积与△COD的面积相等，求点P的坐标．24．（8分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，过点O作DE∥BC，与AB、AC分别交于点D、E．（1）求证：BD+CE=DE；（2）若∠BAC=70°，求∠BOC的度数．25．（10分）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？26．（10分）在直角三角形ABC中，∠C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AB于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AE=2，BD=2，求圆弧的半径．27．（10分）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB 于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数．28．（14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？2017-2018学年江苏省南通市如皋中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．）1．（3分）如图，⊙O的弦AB=8，OM⊥AB于点M，且OM=3，则⊙O的半径为（）A．8 B．4 C．10 D．5【解答】解：∵OM⊥AB，∴AM=AB=4，由勾股定理得：OA===5；故选：D．2．（3分）若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0【解答】解：∵函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x 的增大而增大，∴m+2＜0，解得：m＜﹣2，故选：A．3．（3分）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选：A．4．（3分）如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠ACB=50°，则∠AOB等于（）A．130°B．100°C．50°D．40°【解答】解：∵∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠ACB=100°．故选：B．5．（3分）已知点M（﹣2，6）在双曲线y=上，则下列各点一定在该双曲线上的是（）A．（2，6） B．（﹣6，﹣2 ）C．（6，2） D．（2，﹣6）【解答】解：∵点M（﹣2，6）在双曲线y=上，∴k=﹣2×6=﹣12，A、2×6=12，不符合题意；B、﹣6×（﹣2）=12，不符合题意；C、6×2=12，不符合题意；D、2×（﹣6）=﹣12，符合题意；故选：D．6．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c ＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5【解答】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜﹣1或x＞5．故选：D．7．（3分）圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为（）A．6 B．9 C．18 D．36【解答】解：设该扇形的半径是r．根据弧长的公式l=，得到：12π=，解得r=18，故选：C．8．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为3，一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≥﹣3 C．m≤3 D．m≤﹣3【解答】解：方程ax2+bx+c﹣m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，又∵图象最高点y=3，∴二次函数最多可以向下平移三个单位，∴m≤3，故选：C．9．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y=，∴k≥2．随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+7，，得x2﹣7x+k=0根据△≥0，得k≤综上可知2≤k≤．故选：A．10．（3分）如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y=﹣x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．3 B．4 C．6﹣D．3﹣1【解答】解：∵P在直线y=﹣x+6上，∴设P坐标为（m，6﹣m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2=PQ2+OQ2，∴PQ2=m2+（6﹣m）2﹣2=2m2﹣12m+34=2（m﹣3）2+16，则当m=3时，切线长PQ的最小值为4．故选：B．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．）11．（3分）如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，∠ADC=128°，则∠ABC=52°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，又∠ADC=128°，∴∠ABC=52°，故答案为：52°．12．（3分）已知抛物线y=x2+2x+m与x轴有且只有一个公共点，则m=1．【解答】解：令y=0，则x2+2x+m=0，∵抛物线y=x2+2x+m与x轴有且只有一个公共点，∴△=0，即22﹣4m=0，解得：m=1．故答案是：1.113．（3分）如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数y=﹣和y=于A、B两点，则△ABC的面积等于3．【解答】解：连接OA、OB．∵AB∥x轴，=S△AOB=S△APO+S△PBO=+=3，∴S△ABC故答案为314．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是﹣1．【解答】解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．15．（3分）已知圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，则此圆锥的侧面积为12πcm2．【解答】解：圆锥的侧面积=×2π×2×6=12π（cm2）．故答案为12πcm2．16．（3分）校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=﹣+2.5，那么小明这次投掷的成绩是8米．【解答】解：令y=0，则为﹣+2.5=0，解得x1=8，x2=﹣2（舍去），∴小明这次投掷的成绩是8米故答案为：817．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是1．【解答】解：设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．设圆的半径是x．在直角三角形ABC中，根据勾股定理得BC=6．又PC=8﹣2=6，则BC=PC，所以∠BPC=45°，∴PD=OD=x，AD=x+2，根据切线长定理得AE=x+2，BE=10﹣（2+x）=8﹣x，OB=BP﹣OP=6﹣x；在直角三角形OBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2=x2+（8﹣x）2，∴x=1，即⊙O的半径是1．18．（3分）已知过点（1，﹣1）的直线y=kx+b（k≠0）不经过第一象限，设m=k2﹣b，则m的取值范围是≤m≤1．【解答】解：把（1，﹣1）代入y=kx+b得k+b=﹣1，b=﹣k﹣1，因为直线y=kx+b（k≠0）不经过第一象限，所以k＜0，b≤0，即﹣k﹣1≤0，所以k的范围为﹣1≤k＜0，因为m=k2﹣b=k2﹣（﹣k﹣1）=k2+k+=（k+）2+，k＜﹣，m随k的增大而减小，所以当k=﹣时，m有最小值，最小值为；k=﹣1时，m有最大值，最大值为（﹣1+）2+=1，所以m的范围为≤m≤．故答案为≤m≤1．三、解答题（本题共10小题，共96分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．）19．（8分）函数y=ax2（a≠0）与直线y=x﹣3交于点（1，b）（2）x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？【解答】解：（1）把（1，b）代入y=x﹣3可得：b=1﹣3=﹣2，∴点的坐标为（1，﹣2），把（1，﹣2）代入y=ax2可得﹣2=a，即a=﹣2，∴a=﹣2，b=﹣2；（2）由（1）可得y=﹣2x2，∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而增大．20．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC和BD是对角线，AB=CD．证：（1）AC=DB；（2）AD∥BC．【解答】解：（1）∵AB=CD，∴=，∴=，∴AC=BD；（2）∵AB=CD，∴=，∴∠BAC=∠ACB，∴AD∥BC．21．（10分）如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，且与反比例函数（x＞0）的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．（2）求△ADC的面积．【解答】解：（1）∵点C（4，n）在y=的图象上，∴n=6，∴C（4，6），∵点C（4，6）在y=x+m的图象上，∴m=3；（2）x+3=0，解得x=﹣4，△ADC的面积为：[4﹣（﹣4）]×6÷2=24．22．（8分）如图，抛物线y=+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴另一个交点B的坐标，并观察图象直接写出当x为何值时y＞0？【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y=x2+bx﹣2得﹣b﹣2=0，解得b=﹣，所以抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2．（2）当y=0时，x2﹣x﹣2=0，整理得x2﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4，所以B点坐标为（4，0），当x＜﹣1或x＞4时，y＞0．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）．（1）求经过点C的反比例函数的解析式；（2）设P是（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A为顶点的三角形的面积与△COD的面积相等，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意知，OA=3，OB=4，在Rt△AOB中，AB==5，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=BC=AB=5，∴C（﹣4，﹣5）．设经过点C的反比例函数的解析式为y=（k≠0），则k=﹣4×﹣5=20．故所求的反比例函数的解析式为y=．（2）设P（x，y）∵AD=AB=5，OA=3，∴OD=2，S=×4×2=4，△COD即AO×|x|=4，∴|x|=，∴x=±，当x=时，y=，当x=﹣时，y=﹣，点P的坐标为：（，）或（﹣，﹣）．24．（8分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，过点O作DE∥BC，与AB、AC分别交于点D、E．（1）求证：BD+CE=DE；（2）若∠BAC=70°，求∠BOC的度数．【解答】证明：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∵DE∥BC，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴BD=DO，EO=EC，∴BD+CE=DE；（2）：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB=，在△OBC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（180°﹣70°）=125°．25．（10分）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？【解答】解：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，故z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800；（2）由z=440，得440=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程得x1=28，x2=40所以，销售单价定为28元或40元，（3）∵厂商每月的制造成本不超过540万元，每件制造成本为18元，∴每月的生产量为：小于等于=30万件，y=﹣2x+100≤30，解得：x≥35，又由限价40元，得35≤x≤40，∵z=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，∴x=35时，z最大为：510万元．当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．26．（10分）在直角三角形ABC中，∠C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AB于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AE=2，BD=2，求圆弧的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵OA为半径的圆弧与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠CAD，又∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠CAD=∠OAD，∴AD平分∠BAC．（2）解：过O作OH⊥AC于H，∵OH⊥AC，OH过O，∴AH=HE=AE=1，∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，∴OH∥CD，∵OD∥AC，∴四边形OHCD是矩形，设OA=r，OH=DC=x，∵OH∥BC，∴=，∴=，∴rx=2①∵r2=1+x2②由①②解得r=2，x=．∴圆弧的半径为2．27．（10分）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB 于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数．【解答】解：（1）如图1，过点O作OE⊥AC于E则AE=AC=×2=1，∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=r，在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（r）2，解得r=；（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．28．（14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？【解答】解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，∴y=×（﹣2）2=1，A点的坐标为（﹣2，1），设直线的函数关系式为y=kx+b，将（0，4），（﹣2，1）代入得，解得，∴直线y=x+4，∵直线与抛物线相交，∴x+4=x2，解得：x=﹣2或x=8，当x=8时，y=16，∴点B的坐标为（8，16）；（2）如图1，连接AC，BC，∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．设点C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，解得：m=﹣；②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320，解得：m=0或m=6；③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325，解得：m=32；∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得MN==a2+1，又∵点P与点M纵坐标相同，∴+4=a2，∴x=，∴点P的横坐标为，∴MP=a﹣，∴MN+3PM=+1+3（a﹣）=﹣a2+3a+9，∴当a=﹣=6，又∵0≤6≤8，∴取到最大值18，∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
最新江苏省苏州市2017-2018学年九年级上期中考试数学试卷及答案
2017-2018学年第一学期苏州市姑苏区期中测试试卷 九年级数学第一部分（30分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题纸上． 1．sin 60︒是（）．A ．12B C D 【答案】C【解析】∵30︒角所对直角边等于斜边的一半，三边之比为1:2∴sin 60cos30︒=︒= 故选C ．2．如果3x =是方程2270x x m -+=的一个解，那么m 的值为（）． A ．9 B ．3 C ．15- D ．3-【答案】B【解析】将3x =代入方程得：18210m -+=， ∴3m =． 故选B ．3．对于二次函数2(1)2y x =++的图象，下列说法正确的是（）． A ．开口向下 B ．对称轴是1x =- C ．顶点坐标是(1,2) D ．与x 轴有两个交点【答案】B【解析】22(1)223y x x x =++=++，开口向下，对称为：1x =-，顶点坐标是(1,2)-，4430∆=-⨯<，∴与x 轴没有交点． 故选B ．4．下列一元二次方程没有实数根的是（）． A ．2210x x ++= B ．220x x ++= C ．210x -= D ．2210x x --=【答案】B【解析】A 选项，440∆=-=，故有两个相等实根；B 选项，187∆=-=-，故无实数根；C选项，11x =，21x =-，故有两个不等实根；D 选项，4480∆=+=>，故有两个不等式实根．故选B ．5．如果将抛物线2y x =向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，那么此时抛物线的表达式是（）．A ．2(4)2y x =--B ．2(4)2y x =-+C ．2(4)2y x =+-D ．2(4)2y x =++【答案】C【解析】22242(4)(4)2y x y x y x =−−−−→=+−−−−→=+-向左平移向下平移个单位个单位． 故选C ．6．在Rt ABC △中，90C =︒∠，如果把Rt ABC △的各边的长都缩小为原来的14，则A ∠的正切值（）．A ．缩小为原来的14B ．扩大为原来的4倍C ．缩小为原来的12D ．没有变化 【答案】D 【解析】tan BCA AC=∠，BC ，AC 同时扩大或缩小相同的倍数，tan A ∠的值不变． 故选D ．7．若1(4,)A y -，1(3,)B y -，1(1,)C y 为二次函数242y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）．A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<【答案】B【解析】二次函数2242(2)6y x x x =+-=+-， ∴对称轴2x =-，∴当14x =-，23x =-，31x =时，213y y y <<．8．如图，Rt OAB △的顶点(2,4)A -在抛物线2y ax =上，将Rt OAB △绕点O 顺时针旋转90︒，得到OCD △，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ）．A ．B ．(2,2)C ．D ．【答案】C【解析】将(2,4)A -代入2y ax =中得：1a =，∴2y x =， 由题意知，2OB =，4BA =，∴2OD =，将2y =代入2y x =得，x =∴P ． 故选C ．9．如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，6cm AC =，2cm BC =，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动，若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是（）．A ．20cm B ．18cm C ． D ．【答案】C【解析】由题意知，AP t =，CQ t =，6CP t =-，222222(6)21236PQ PC CQ t t t t =+=-+=-+ 22(3)18t =-+，又∵02t ≤≤，故2t =时，220PQ =最小，此时PQ =．10．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 轴负半轴的夹角为15︒，点B 在抛物线2(0)y ax a =<的图象上，则a 的值为（）．A ．12- B ． C ．2- D ． 【答案】B【解析】∵正方形OABC 的边长为2， ∴OB =，由题意知，15AOB =︒∠， ∴30COB =︒∠， ∴BC OC故(B ，代入2y ax =中得：6a =，a = 故选B ．第二部分（100分）二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上） 11．方程210x -=的根是__________． 【答案】11x =，21x =-【解析】210x -= 解：21x =，11x =，21x =-．12．二次函数223y x x =-+与y 轴的交点是__________． 【答案】(0,3)【解析】令0x =，得0033y =-+=， 故二次函数与y 轴的交点是(0,3)．13．等腰三角形的底边长为10cm ，周长为36cm ，则底角的余弦角为__________． 【答案】513【解析】∵底边长为10，周长为36，可求出腰长：3610132-=，则由勾股定理可求得底边上的高为12， ∴底角的余弦值为：10251313÷=． 14．若抛物线2(2)3y x m x =-+-+的顶点在y 轴上，则m =__________． 【答案】2【解析】由题意知：对称轴202m x -==， 解得2m =．15．已知m 是关于x 的方程2230x x +-=的一个根，则224m m -=__________． 【答案】6【解析】把x m =代入方程得：223m m -=， 故22242(2)236m m m m -=-=⨯=．16．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为__________．【答案】2(2)9y x =--+【解析】∵抛物线在x 轴上截得的线段长为6，且对称轴为2x =， ∴抛物线与x 轴的两交点为(1,0)-，(5,0)， 设2(2)9y a x =-+， 将(5,0)代入得：1a =-，∴2(2)9y x =--+．17．如图，已知ABC △的顶点坐标分别为(0,2)A 、(1,0)B 、(2,1)C ，若二次函数21y x bx =++的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是__________．【答案】2b -≤【解析】把(2,1)C 代入21y x bx =++得：22211b ++=，2b =-，故b 的取值范围为2b -≤．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 上，且2BD CD =，若4tan 3B =，则tan CAD =∠__________．【答案】14【解析】作CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ， ∵AB AD ⊥，CE AD ⊥，90ABD CED ==︒∠∠，∵ADB EDC =∠∠， ∴BAD ECD △∽△， ∴B DCE =∠∠，设4AD x =，3AB x =，则5BD x =， ∵2BD CD =，∴ 2.5CD x =，∵4tan 3B =，B DCE =∠∠， 2.5CD x =，∴4tan 3DCE =∠，4sin 5DE DCE CD ==∠， 3cos 5DCE =∠，∴ 1.5CE x =，2DE x =，1.5 1.5tan 426CE CE x xCAD AE AD AE x x x====++∠ 14=．三、解答题（本大题共10小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分4分） 计算：12sin 304cos 45-︒+︒． 【答案】见解析．【解析】原式11242=-⨯+11=-+=20．（本题满分8分，每小题4分） 解下列方程：（1）24210x x --=． （2）222(3)9x x -=-．【答案】见解析．【解析】（1）解：2(2)250x --=2(2)25x -=25x -=±17x =，23x =-．（2）解：22212189x x x -+=-21227x x -=-212270x x -+= (3)(9)0x x --=， 13x =，29x =．21．（本题满分6分）如图，已知四边形ABCD 中，90ABC =︒∠，90ADC =︒∠，6AB =，1CD =，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若60A =︒∠，求BC 的长． （2）若4sin 5A =，求AD 的长．【答案】见解析．【解析】（1）∵60A =︒∠，90ABE =︒∠，6AB =，tan BEA AB=， ∴30E =︒∠，tan60BE =︒⋅ 又∵90CDE =︒∠，4CD =，sin CDE CE=，30E =︒∠， ∴4812CE ==，∴8BC BE CE =-=．（2）∵90ABE =︒∠，6AB =，4sin 5BEA AE==， ∴设4BE x =，则5AE x =，得3AB x =， ∴36x =，得2x =， ∴8BE =，10AE =， ∴64tan 8AB CD E BE DE DE ====， 解得163DE =， ∴16141033AD AE DE =-=-=，即AD 的长是143． 22．（本题满分6分）已知关于x 的一元二次方程2(2)230m x mx m -+++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根． 【答案】见解析．【解析】（1）根据题意得20m -≠且244(2)(3)0m m m ∆=--+>，解得6m <且2m ≠．（2）m 满足条件的最大整数为5， 则原方程化为231080x x ++=， ∴(34)(2)0x x ++=， ∴143x =-，22x =-．23．（本题满分6分）从一幢建筑大楼的两个观察点A ，B 观察地面的花坛（点C ），测得俯角分别为15︒和60︒，如图，直线AB 与地面垂直，50AB =米，试求出点B 到点C 的距离．（结果保留根号）【答案】见解析．【解析】作AD BC ⊥于点D ， ∵60MBC =︒∠， ∴30ABC =︒∠， ∵AB AN ⊥， ∴90BAN =︒∠， ∴105BAC =︒，则45ACB=︒∠，在Rt ADB△中，50AB=，则25AD=，BD=在Rt ADC△中，25AD=，25CD=，则25BC=+∴观察点B到花坛C的距离为25+米．24．（本题满分8分）受益于国家支付新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率．（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？【答案】见解析．【解析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x，则：22(1) 2.88x+=，解得10.220%x==，22.2x=-（不合题意，舍去）故这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业的年利润为2.88(120%)3.456+=，3.456 3.4>，故该企业2017年的利润能超过3.4亿元．25．（本题满分8分）如图，抛物线2y x bx c=-++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF 为矩形，且2OF =，3EF =．（1）求该抛物线所对应的函数解析式．（2）求ABD △的面积．（3）将AOC △绕点C 逆时旋转90︒，点A 对应点为点G ，问点G 是否在该抛物线上？请说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）四边形OCEF 为矩形，2OF =，3EF =，∴点C 的坐标为(0,3)，点E 的坐标为(2,3)，把0x =，3y =；2x =，3y =分别代入2y x bx c =-++中，得3342c b c =⎧⎨=-++⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线所对应的函数解析式为：223y x x =-++．（2）∵2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点(1,4)D ，∴ABD △中AB 边的高为4，令0y =，得2230x x -++=，解得11x =-，23x =，∴3(1)4AB =--=，∴ABD △的面积14482=⨯⨯=．（3）AOC △绕点C 逆时针旋转90︒，CO 落在CE 所在直线上，由（2）可知，1OA =，∴A 对应点(3,2)G ，当3x =时，232302y =-+⨯=≠，∴点G 不在抛物线上．26．（本题满分10分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y （单位：个）与销售单价x （单位：元）有如下关系：60(3060)y x x =-+≤≤．设这种双肩包每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数解析式．（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？【答案】见解析．【解析】（1）(30)w x y =-⋅(60)(30)x x =-+-2901800x x =-+-，w 与x 之间的函数解析式：2901800w x x =-+-．（2）根据题意得：22901800(45)225w x x x =-+-=--+，∵10-<，当45x =时，w 有最大值，最大值是225．（3）当200w =时，2901800200x x -+-=，解得140x =，250x =，∵5048<，250x =不符题意，舍去，故销售单价应定为40元．27．（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(3,0)，OB OC =，1tan 3ACO =∠．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，若点(2,)G y 是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，APG △的面积最大?求出此时P 点的坐标和APG △的最大面积．【答案】见解析．【解析】（1）由已知得：(0,3)C -，(1,0)A -，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得09303a b c a b c C -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， ∴223y x x =--．（2）存在．∵(1,4)D -，∴直线CD 的解析式为：3y x =--，∴E 点的坐标为(3,0)-，由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：2AE CF ==，AE CF ∥， ∴以A 、C 、E 、F 为顶点，的四边形为平移四边形， ∴存在点F ，坐标为(2,3)-．（3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得(2,3)G -，直线AG 为1y x =--，设2(,23)P x x x --，则(,1)Q x x -，22PQ x x =-++，21(22)32APG APQ GPQ S S S x x =+=-++⨯△△△， 当12x =时，APG S △最大，此时115,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，APG S △最大为278．28．（本题满分10分）已知二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4,0)，且当2x =-和5x =时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a 、b 的值．（2）如图1，动点E 、F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 个单位长度的速度沿射线AC 方向运动，当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将AEF △沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到DEF △．①是否存在某一时刻t ，使得DCF △为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．②设DEF △与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．【答案】见解析．【解析】（1）由题意得：164204222552a b a b a b +-=⎧⎨--=+-⎩， 解得：12a =，32b =-．（2）①由（1）知213222y x x =--，∵(4,0)A ，∴(1,0)B -，(0,2)C ，∴4OA =，1OB =，2OC =， ∴5AB =，AC =，BC = ∴22225AC BC AB +==， ∴ABC △为Rt △，且90ACB =︒∠，∵2AE t =，AF =，AF AB AE AC == 又∵EAF CAB =∠∠，∴AEF ACB △∽△，∴90AEF ACB ==︒∠∠， ∴翻折后，A 落在D 处， ∴DE AE =，∴24AD AE t ==，12EF AE t ==， 若DCF △为Rt △，点F 在AC 上时， i ）∴若C 为直角顶点，则D 与B 重合， ∴1522AE AB ==，55224t =÷=，如图2 ii ）若D 为直角顶点，∵90CDF =︒∠， ∴90ODC EDF +=︒∠∠， ∵ED F EAF =∠∠，∴90OBC EAF +=︒∠∠， ∴ODC OBC =∠∠，∴BC DC =，∵OC BD ⊥，∴1OD OB ==，∴3AD =， ∴34AE =，∴34t =，如图3当点F 在AC 延长线上时，90DFC >︒∠， DCF △为钝角三角形， 综上所述，34t =或54．②i ）当504t <≤时，重叠部分为DEF △， ∴2122S t t t =⨯⨯=．ii ）当524t <≤时，设DF 与BC 相交于点G ， 则重叠部分为四边形BEFG ，如图4， 过点G 作GH BE ⊥于H ，设GH x =， 则2x BH =，2DH x =， ∴32x DB =， ∵45DB AD AB t =-=-， ∴3452x t =-， ∴2(45)3x t =-， ∴1122(45)(45)223DEF DBG S S S t t t t ===⨯⨯--⨯-△△2134025533t t =-+-．iii ）当522t <≤时，重叠部分为BEG △，如图5， ∵2(45)52BE DE DB t t t =-=--=- 22(52)GE BE t ==-， ∴21(52)2(52)420252S t t t t =⨯-⨯-=-+．。