幂零群的若干等价条件
Lie环的Hall幂零性准则
（ ａ＋ｙ＋ ） ｇ＋Ｌ） － ａ ｇ ＋ｙ＋Ｌ是同态 ，其 中ａ∈ｙＬ，ｇ∈Ｌ． ｆＬ ｏ（ ｌ － ，］ ｆ ９［ ２ ｆ
证 明：令 Ｌ ＝ｙＬ． ｆ ｆ 首先证明 定义的合理性． 对任意 ∈Ｌ，有 ［，］ ， ， ］ ＋ ， ［ ， ］ ａ ｇ ＋［， ］ ａ ｇ ｍｏ Ｌ＋ ． 以ｘ ｅ［ ［ ２ 则 ａ ｇ＋ ＝［ ， ］ ａ ｘ 三［， ］ ｄ ｉ Ｌ ２
予 以证 明 ．
关键 词 ：Ｌｅ环 ；幂零 Ｌｅ环 ；下 中心列 ｉ ｉ 中 图分 类 号 ： ５ Ｏ１７ 文献标 志码 ： Ａ 文 章编 号 ： ０ ９２５ （０７０—０ ０—３ １０ —８ ４２ ０ ）５００ ８０
１ Ｌｅ 的基本概 念 ｉ环
Ｌｅ ｉ环是与 Ｌｅ ｉ 代数相关的一个代数结构． 际上一个 Ｌｅ Ｌ是一个非结合 的环 ， 实 ｉ环 并且它的乘法是非交 换 的，满足Ｉ ，］ ＥＬ，以及 Ｊｃｂ 恒等式 ：［，，］ ［，，］ ［，，］ ０ ， ， ∈Ｌ ；而且对任何一 ｘ ＝０Ｘ ａｏｉ ｘＹＺ ＋ ＹｚＸ ＋ ｚ Ｙ ＝ Ｙ Ｚ 个结合 环 Ｒ，只需要把 Ｒ中的乘法换成 ［，］ ｙ ｘ，就可 以做成一个 Ｌｅ ，这里 ， Ｙ ＝ｘ —ｙ ｉ 环 Ｙ∈Ｒ． 事实上 ， ｉ环方法在一般的群上的研究起着重要的作用 ， Ｌｅ 特别是在群的幂零性质上ｕ， ｊ 对此 ， ． ｉ ａ Ｇ Ｈｇ ｎ ｍ 和 Ｇ Ｅ Ｗａ 也分别做过研究 ，同时 Ｌｅ ．． ｌ ｌ ｊ ｉ 环上也存在着与群相应的幂零性准则 ． ｊ
３ Ｌｅ 的 Ｈ ｌ幂零性准则 ｉ环 ａ ｌ
定理 １ 设 Ｎ是 Ｌｅ Ｌ的理想 ，且 Ｎ和 ＬＮ幂 零 甘 Ｌ幂零． ｉ环 ／’ 证 明：首先 ，证明 Ｎ’ Ｎ， 也是 Ｌ的理想． ＝［ Ｎ】 因为 ［ Ⅳ】 ＝ ＜［ ，，】 ， ∈Ｎ， ∈Ｌ＞ ｂ，ａ ＋［， ， ， ， ∈Ｎ， ∈Ｌ＞，而由 Ｎ是理想 ［ Ⅳ， ， ａｂ ，， ｂ ．ａ ， ． ＝ ＜［，，】 ，ａ ａ ｂ ． ． ， ． 可 知 ［，】 ｂ ， ∈Ｎ， ． 】 ． ［， ∈Ｎ ，从 而 ［，， 】 Ｎ， ，ａ ｂ ，ａ ∈［ Ｎ】， ［， ，】 Ｎ， ． ，ａｂ ∈［ Ｎ】，所 以 ［ Ⅳ， 】 Ｎ， ． Ⅳ， Ｌ ＜［ Ｎ】， 即 Ｎ’ Ｎ， 是 Ｌ的理想． ＝［ Ｎ】 １ ） 充分性． ＬＮ’ 零 ，则存在 ＬＮ的一个中心列 ： ／幂 ／’ Ｌ Ｎ’ ／ ＞厶／ ＞ ＞ 一 Ｎ’ ／ Ｎ’ … ｌ ＞ ／ Ｎ’ ０ ． 由此 中心列构造 Ｎ ＝Ｎ／ 的一个列 ： Ⅳ’ （ ｎＮ）Ｎ’ 厶ｎＮ）Ｎ’ （ １ ／ （ ／ … 一ｎＮ）Ｎ’ （ ｎＮ）Ｎ’ ／ ／ ＝０， （） ２ （） １
近世代数题库
群一、填空题1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab _____.4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与______________同构.5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A 的元素间的一个等价关系.8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为 群.12.n 次对称群n S 的阶是____________.13.设G =<a >是10阶循环群，则G 的全部生成元有 ，G 的子群有 个，分别是 .14.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha .15.设G =<a >是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群3S 中，H ＝{(1),(123),(132)}是3S 的一个正规子群，则商群H S 3中的元素(12)H ＝{}.17．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .18.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛ ｝.21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 中的 .22. 设G 是一个pq 阶群，其中q p ,是素数，则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 .25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设G 是p 阶群（p 是素数），则G 的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“ ”适合如下运算律： .29. 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=bH aH .30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .31. 如果G 是一个含有15个元素的群，那么，G 有 个5阶子群，对于∀∈a G ，则元素a 的阶只可能是___________.32.设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是 ，G 的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ，则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .34. 设(G ，·)是一个群，那么对于∀∈b a ,G ，(ab )－1＝___________.35. 群中元素a 的阶为n 3，k a 的阶为n ，则)3,(n k = .36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂，则G 称为 .37．5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .38．设G 为群，G N ≤，且对于任意的G a ∈，有 ，则N 叫做G 的正规子群.39. 设G 为乘群，G a ∈，则能够使得e a m =的最小正整数m ，叫做a 的___________.设G 为加群，G a ∈，则能够使得 的最小正整数m ，叫做a 的阶.40．设τ＝(1243)(235)∈5S ，那么1-τ＝___ _.τ是 (奇、偶)置换.41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类a ={ ｝.42. 设A ={d c b a ,,,}，则A 到A 的映射共有________个，A 到A 的一一映射共有 ________个，A A ⨯到A 的映射共有________个（A 上可以定义 个代数运算）.43. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个.44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.45. )125(=σ，)246(=τ，则στ的阶数等于 .46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.47. 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群>a G 的阶等于 .48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1 为 ;存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为 群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G 为 群.50. n 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .52. ,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为 群.55. n 元置换)(21k i i i 的阶为 ，=-12121)])([(m k j j j i i i .二、选择题1. 设R B A == (实数集)，如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B 的（ ）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.2.3S 中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素.3.设15Z 是以15为模的剩余类加群，那么15Z 的子群共有（ ）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）.A) 11--a bc B) 11--a c C) 11--bc a D) ca b 1-.5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(x x f =，则))1((1f f -=( ).A) {1，-1}; B) {i ，-i }; C) {1， -1，i ，-i }; D) 空集.6. 设A ={所有实数}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).A) x x 10→ B) x x 2→ C) x x → D) x x -→.7. 设G 是实数集，定义乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数,那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）.A) 1和x -； B) 1和0； C) -k 和k x 2-； D)k -和)2(k x +-.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A)ba ab , B) bac abc , C) 1,-bab a D) 1,-a a .10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下,( )是R 的等价关系.A)b a aRb ≤⇔; B) 0≥⇔ab aRb ; C) 022≥+⇔b a aRb ; D) ab aRb ⇔<0.11.设G 是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) G 中有左单位元，同时G 中的每个元素都有左逆元；B) 对于G 中任意元素a 和b ，G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y 满足y a =b ；C) G 中有单位元，同时G 中的每个元素都有逆元；D) 在G 中两个消去律成立.12.设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6，那么G 的阶=G （ ）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群3S = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是( ).(1) 3S 是交换群；(2) 3S 的2阶互异子群有三个；(3) 3S 的3阶互异子群有两个；(4) 3S 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。
关于有限次单群的几个结论
引理 ５３ Ｇ‘ ［ １ ｑＧ
且商 ／ ‘ 换 反 若Ｈ ｑ 且Ｇ 为交 群， ‘ 群ＧＧ 是交 群． 之， Ｇ ／ 换 则Ｇ
，
．
引理 ６１ ［ １ Ｇ是幂零的次单群， （ 则Ｉ Ｉ Ｇ ＝Ｐ Ｐ是素数 ） Ｒ Ｇ是循环群．
引理 ７ １ Ｇ 为非幂零的可解 次单群， 则必有 ｌ ｑ，Ｇ ＝ ， Ｉ Ｇ ＝Ｐ ＜口 ｂ＞，ａ ＝１ ｐ＝ａ ，６ ａ ，ｂ ～ ｂ＝ａ ， ， 三ｌ ｄ ） （—１三０ｍｏ ｑ Ｐ＜ｇ， ｐ ｇ ｐ （ ｍｏ ｑ ，ｒｔ ） （ ｄ ）（ Ｒ ， 均为素数 ） ．
Ｇ ＝１ 其中Ｇ Ｇ （ １ ，， 循 ， 川／ ， ，． Ｓ ２． ） ．
环 ．由此可 知 Ｇ／ 循 环且 也循 环 ． 因为 Ｇ 非幂零 ，所 以非交换 ， Ｚ Ｇ） Ｇ 的真 正规 子群 ．若 又 故 （ 为
Ｚ Ｇ ≠１ 则由于Ｇ的次单性， （） ， 必有Ｚ Ｇ ：Ｈ， （） 因为Ｇ非交换， 由引理 ２ 可知Ｇ Ｈ＝Ｇ ＺＧ 不可能循环， ／ ／ （）
－
Ｄ ｃ ２ ０７ ｅ． ０
…
文章编号：１ ３ ８３２０ ） － ９ － ０ ． ４ （ ７ ６１ ４ ３ ０２ ０ ０ ２ ０
关于有 限次单群 的几个结论
刘锐 ， 晓琳 杨
（ 成 都 理 工 大 学信 息 管理 学 院，四 川 成都 ６０５ ） １０ ９
摘
要 ：本 文讨 论 了几个特殊的有限次单群的性质及结构，得到 了若干结论，丰富 了研 究次单群这一领域的成果．
尺 是 忠 实 表 示 ，所 以 Ｇ 兰Ｒ Ｇ）． 由 引 理 １ 可 知 Ｇ 必 有 ２ 阶 元 ｇ ， ｇ≠１ ＝１． 由 于 （ ， ｇ ａ （ ） ，（ ｇ） Ｒ ｇ ≠ａ口 Ｒ（ ） ＝口 Ｖ ， ａ∈Ｇ ， Ｒ ｇ 是一些对换 （ ，Ｒ ｇ ） 故 （） 以 ａ （ ）之积， Ｇ 共有 ２ 个元素， 而 ｑ 从而 Ｒ ｇ 是 （） ｇ个对换之积．由于 ｇ为奇数， 所以 Ｒ ｇ 是奇置换， （） 于是 尺 Ｇ） （ 中含有奇置换． 从而 （ ） Ｇ 中全体偶置换构成 了 （ ） Ｇ 的指数 为 ２ 的正规子群 ，且ｆ ｆｇ．由于 Ｒ Ｇ） （ ， 以 Ｒ Ｇ） ： Ｈ （ ＜Ｓ Ｇ） 所 （ 的换位元素全是偶置换 ， 即
第十一章群、环、域
第十一章群、环、域11.1半群内容提要11.1.1半群及独异点定义11.1 称代数结构<S，*>为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群<S，*>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．定理11.1设<S，*>为一半群,那么（1）<S，*>的任一子代数都是半群，称为<S，*>的子半群．（2）若独异点<S,*，e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S，* , e>的子独异点．定理11.2设<S，*>,<S’，*’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，*’>为一半群．（2）当<S，*>为独异点时，则<h(S)，*’>为一独异点.定理11.3设<S，*>为一半群,那麽（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．11.1.2自由独异点定义11.2称独异点<S,*,e>为自由独异点（free monoid）,如果有A⊆S使得（1）e∉A．（2）对任意u∈S，x∈A,u*x≠ e .自由独异点（free monoid）,如果有A⊆S使得（3）对任意u,v∈S，x,y∈A,若u*x = v*y,那么u = v,x = y．（4）S由A生成,即S中元素或者为e,或者为A的成员，或者为A的成员的“积”:a i1*a i2*…*a ik (a i1,a i2,…,a ik∈A)集合A称为S的生成集．顺便指出，当半群<S，* >有生成集A＝｛a｝时，称<S，* >为循环半群（cyclic semigroups）。
<N，+，0＞是循环半群。
可解群的若干充分条件
第２ ３卷第 ４期
苏
州
大
学
学
报（ 自然科学版 ）
Ｏ Ｒ Ａ ＦＳ Ｚ Ｏ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ Ｎ Ｔ Ｒ Ｓ ！ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ｕ Ｈ Ｕ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ （ Ａ Ｕ
旦
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可 解 群 的若 干 充分 条 件
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苏
州
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报（自然科学版 ）
第２ ３卷
证 明见 （ ６ ， ４章 ， 理 ４５ ． ［ ］第 定 ．） 引理 １７ ［ ］ 设 Ｇ为 内超 可解 群 ， ．（６ ） 则
（ ）Ｇ ＝Ｐ ， １ Ｍ Ｐ为 Ｇ的正规 Ｓ ｌ ｙｏ Ｐ一子 群 ， 超 可解 ，／ （ 为 Ｇ （ ）的极小 正规 子群 ， Ｐ非循 ｗ Ｐ Ｐ） ／ Ｇ 且
并 推广 了若 干 已知 结果 ．
本文符号都是标准 的， ５ ． 同［ ］本文所涉及的群都是有限群．
１ 预 备 知识 及 引理
＿ ＿
引理 １１ 若有 限群 Ｇ有 一个 奇 阶幂零 极 大子群 Ｍ， Ｇ可解． ． 则
证明见（ ４ ， １ 章 ， ［ ］第 ０ 定理 ｌ． ． ） ０４ ２ ．
（ ）若 Ｐ ＞２ ｅｐ Ｐ） ＝Ｐ 若 Ｐ ＝２ ｅｐ Ｐ）≤ ４， 时 Ｇ为 内幂零 群． ２ ， ｘ（ ； ， ｘ（ 此 （ ）当 Ｐ为 交换群 时 ， ３ Ｐ为初等 交换群 ． （ ）当 Ｐ为非 交换群 时 ， （ ４ Ｐ）＝ｚ（ Ｐ）＝Ｐ．
（ ）存在 ∈Ｐ （ ） 使得（ ） ５ ＼ Ｐ ， 不正规于 Ｇ ．
史 江 涛 ， 武 杰 施
（ 苏州 大 学 数 学科 学 学 院 ， 苏 苏州 江 ２５０ ） １０ ６
软件学院离散数学单元测试题(半群与群答案)
近世代数单元测试题（二） （院系：软件学院 年级：2007级）一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末括号里）1．下列运算中，哪中运算关于整数集不能构成半群（ ）。
A ．max{,}a b a b =B ．a b b =C ．||a b a b =-D ． 2a b ab =2．在自然数集合N 上定义运算*为：对任意a ，b ∈N ，a *b =a +b +ab ，则下面说法正确的是（ ）。
A ． <N , *>是群B ． <N , *>是幺半群但不是群C ． <N , *>是半群但不是幺半群D ． <N , *>不是半群3．R 为实数集，运算*定义为：,*||a b ,a b a b ∈=⋅R ，则代数系统*,><R 是（ ）。
A ．半群 B ．独异点 C ．群 D ． 阿贝尔群4．下列代数系统中，哪个是群（ ）。
A ．{1,3,4,5,9}S = ，*是模11乘法B ．S =Q （有理数集合） ，*是普通乘法C ．S =Z （整数集合） *是一般减法D ． {0,1,3,5}S =，*是模7加法5．下列代数系统,*G <>中，哪个不构成群（ ）。
A ．{1,10}G = ，*是模11乘法B ．{1,3,4,5,9}G =，*是模11乘法C ．G =Q （有理数集合） +是普通法D ． G =Q （有理数集合） *是普通法6．下面4个代数系统中构成群的是（ ）。
A. 〈R +，×〉B. <N ，+>C. <P(A)，U>D. <A A ， >7．下面4个代数系统中不构成群的是（ ）。
A. <Z ，+>B. <P(A)，⊕>C. <Q +，×>D. <N ，×>8．<Z 11*，11⊗>是群(其中Z 11*={1，2，3,…,10},11⊗是模11乘法运算)，下面子集中（ ）不是它的子群。
2_极大子群次正规的有限群的一个注记_郭鹏飞
2006年第27卷第2期中北大学学报(自然科学版)V ol.27 N o.2 2006 (总第106期)JOURNAL O F NORTH UNIVERSIT Y O F CHINA(NATURAL S CIENCE EDITION)(Sum No.106)文章编号:1673-3193(2006)02-0115-032-极大子群次正规的有限群的一个注记郭鹏飞1,2(1.山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004;2.连云港师范高等专科学校数学系,江苏连云港222006)摘 要: 设H是有限群G的一个子群,若存在G的极大子群K,使得H是K的极大子群,则称H为G的一个2-极大子群.本文考查了群G的所有2-极大子群均在G中次正规时对有限群G结构的影响,得到内幂零群为超可解群的两个充分条件;当G的F ratt ini子群为1时,考虑F(G)的所有极小子群均在G中正规及群G阶的素因子之间的关系,得到群G幂零的一个充分条件.关键词: 次正规子群;正规子群;极小子群;内幂零群中图分类号: O152 文献标识码:AA Note on Subnormal Finite Groups with2-Maximal SubgroupsGU O Peng-fei1,2(1.Scho ol of M athematics and Co mputer Sciences,Shanx i No rma l U niv ersity,L infen041004,China;2.D ept.of M athematics,Lianyungang T eachers′Colleg e,L iany ung ang222006,China)Abstract:A subg roup H of a finite g roup G is said to be2-m ax imal subgr oup in G if ther e is a subg roup K w hich is a max imal subgro up of G such that H is a max imal subgro up of K.A fter taking into account of the impact of all the subnorm al2-m aximal subgroups in G on the str ucture of the finite g roup G,the author has o btained tw o sufficient conditions for finite m inimal non-nilpotent g roups to be super-solv-able,and obtained a sufficient co ndition fo r finite gr oups to be nilpotent by taking into acco unt of the fact that ev er y m inimal subg roup of F(G)is no rmal in G and of the relationship o f the pr im e diviso rs of ûGûw hile (G)=1.Key words:subno rmal subg roups;nor mal subg roups;m inimal subg roups;no n-nilpotent gro ups 设G是一个群,G0,G1,…,G r是G的一些子群,满足1=G rüG r-1ü…üG1üG0=G,则称此群列为G的一个次正规群列,G i(i=0,1,…,r)称为G的次正规子群.次正规子群最早被H.Wielandt[1]研究. T.Foguel于1997年在文献[2]中引入了共轭置换子群的概念:群G的子群H称为G的共轭置换子群,若H H g=H g H,对任意g∈G都成立,记为H<c-p G.在文献[3]中,张勤海等证明了:设群G的2-极大子群均在G中共轭置换,若P(G)≠2,则G幂零;若P(G)=2,则G幂零或内幂零.由文献[2]知,共轭置换子群是次正规子群.本文在文献[3]的基础上,将条件“共轭置换”减弱为“次正规”,考虑群G的2-极大子群次正规的情况,得到内幂零群为超可解群的两个充分条件,并且对Fitting子群F(G)的每个极小子群正规于G的情况进行了研究,得到群G幂零的一个充分条件.本文考虑的群均为有限群,所用群论术语、符号可参阅文献[4],内幂零群的结构见文献[4].特别地,H sn G表示H为G的次正规子群,M<G表示M为G的真子群,P(G)表示ûGû的不同素因子的个数.X收稿日期:2005-10-29 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10471085);山西省自然科学基金资助项目(20051007);教育部科学技术研究重点项目(10203);山西省回国留学人员基金资助项目 作者简介:郭鹏飞(1972-),男,讲师,博士生.主要从事群论的研究.116中北大学学报(自然科学版)2006年第2期1 预备知识引理1[5] 设G为有限群,ûGû=q s p r,p,q为素数,q sû(p-1),s=1,2,则G超可解.引理2[6] 设G为有限群,G=Z1Z2…Z n为两两可换的循环群Z i的乘积,则G为超可解.定义1 对于有限群G的阶之任一约数d,若存在G的d阶子群,则称群G为CLT群;群G的所有商群都是CLT群,则G叫做QCLT群.2 主要结果定理1 设群G的2-极大子群均在G中次正规,若P(G)≠2,则G幂零;若P(G)=2,则G幂零或内幂零,且当G内幂零时,不妨设G=P Q,其中PüG,QüG,P∈Syl p(G),Q∈Syl q(G);若qû(p-1),则G超可解.证明 若P(G)≠2,由于极大次正规子群是正规的,所以由假设可知,G的每一极大子群均幂零.若G非幂零,则G内幂零,从而P(G)=2,与P(G)≠2的假定矛盾,故G幂零.考虑P(G)=2.设ûGû=p a q b,G为内幂零群.若b≤2,由引理1可知,G超可解;若a=1,由引理2可知,G超可解.故可设a≥2且b≥3.由于G可解,所以P M<・G,有ûG:Mû=r i(r=p或q).下证i=1.(a)若ûG:Mû=q i(i≥2),则P≤M.由于M幂零,不妨设M=P×Q i,其中ûQ iû=q b-i,必存在Q i+1,使Q i<・Q i+1<Q g(g∈G).令T=PQ i+1,则M<・T<G,与M<・G矛盾,故ûG:Mû=q.(b)若ûG:Mû=p i(i≥2),则存在Q g∈Syl q(G)(g∈G),使Q g≤M.由于M幂零,不妨设M=P i×Q,其中ûP iû=p a-i.1)若P i=1,即M=Q.设N<・M,有ûM/Nû=q.由N=5(Q)≤Z(G)可知,NüG,从而ûG/Nû=p i q.又qû(p-1),由引理1得G/N超可解,故ûG:Mû=ûG/N:M/Nû=p.与假设矛盾,所以i=1.2)若P i>1,取P i-1<・P i<P,令R=P i-1×Q,则R<・M<・G.由题设可知,R sn G.又因为QüR,所以Q sn G.由于次正规的H all子群是正规的,所以QüG,与内幂零群的定义关系矛盾,故ûG:Mû=p.由以上讨论可知,P M<・G,均有ûG:Mû为素数,故据Huppert定理可知,G超可解.注1 定理1中假设条件“qû(p-1)”不可去.下面的例子说明存在非超可解的内交换群G,其阶为p2q且qù(p-1),但它的2-极大子群均在G中次正规.例如:设G=(〈c1〉×〈c2〉)×〈a〉≌(Z5×Z5)×Z3,其中a3=c51=c52=1,c a1=c2,c a2=c41c42.下证G中不存在15阶子群.若否,设H为G的15阶子群.因为15阶子群均为循环群,从而H= Z3×Z5,即c a1=c1或c a2=c2,与假设矛盾,所以G中必无15阶子群,从而G的极大子群的阶只能为3,5, 25.对P1<・P∈Syl5(G),由于PüG且P为初等交换群,所以G的2-极大子群均在G中次正规.但G 有一个主群列1ü〈c1〉×〈c2〉üG,其主因子〈c1〉×〈c2〉的阶不为素数,故G非超可解.定理2 设群G的2-极大子群均在G中次正规,且G是QCLT群,则G超可解.证明 设G为极小阶反例.由定理1可知,G为内超可解群.显然,群G的2-极大子群均在G中次正规是商群遗传的.由QCLT群的定义可知,定理条件商群遗传,所以G为极小非超可解群.由文献[7]知,G同构于下述群之一:(a)p n q阶内交换群,qù(p-1);(b)p n r p阶群,p n-1‖(r-1),n≥2;(c)8r2阶群,4û(r-1);(d)p n+m r p阶群,m≥2,p max(n,m)û(r-1);(e)p n+m+1r p阶群,p max(n,m)û(r-1);(f )p n qr p 阶群,p n q û(r -1),p û(q -1).由上述群(c )～(e )的定义关系可知,G 中不存在循环的Sylow 子群.群(f )中,P (G )>2,与内幂零群的定义关系矛盾.由p n q 阶内交换群的定义关系易知,G 中不存在p n -1q 阶子群,非QCLT 群,所以(a)不成立.由(b)的定义关系易知,G 中不存在p n rp -1阶子群,非QCLT 群,与假设矛盾.所以极小阶反例不存在,从而得G 超可解.注2 定理2中假设条件“群G 是QCLT 群”不可去.如A 4满足“群G 的2-极大子群均在G 中次正规”,但非超可解.定理3 设G 是有限群,5(G )=1.若F (G )的所有极小子群均在G 中正规,且P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1),则G 幂零.证明 对ûG û用归纳法.(a)假设ûF (G )û为素数p ,由P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1),可知G 为奇阶群.由Feit-Thom pson 定理知G 可解,从而C G (F (G ))≤F (G ),进而C G (F (G ))=F (G ).易知F (G )为G 的p -Sy low 子群.此时断言P (G )必为1;否则,设ûG û=p A 11p A 22…p A s s (s ≥2,p 1=p ).P Q ∈Syl q (G ),q ≠p ,令T =F (G )Q ,则Q ≌T /F (G )ïAut (F (G ))≌Z p -1,故q û(p -1),与假设矛盾,从而G 幂零.(b)假设F (G )不为G 的极小子群,取K 为F (G )的极小子群.不妨设ûK û=p .1)若C G (K )=G ,因为5(G )=1,所以存在H <・G ,使得G =K ×H 且5(H )≤5(G )=1.而F (H )≤F (G ),由归纳法可知H 幂零,从而G 幂零.2)若C G (K )<G ,由N /C -定理可知,G /C G (K )ïAut(K )≌Z p -1,故必存在某素数q ,使q û(p -1),与定理假设矛盾,所以C G (K )=G .与假设矛盾,从而G 幂零.由(a ),(b )可知,G 幂零.注3 定理3中假设条件“P p ,q ∈P (G ),有q ù(p -1)”不可去.如S 3满足其余条件,但非幂零.参考文献:[1] W ielandt H .Eine ver allg emeinerung der invar ianten unter g ruppen [J ].M at h .Z .,1939,45:209-244.[2] F og uel T .Conjug ate-per mutable subgr oups[J].Jo ur nel o f A lg ebr a,1997,191:235-239.[3] 张勤海,赵俊英.超可解群的若干充分条件[J].数学杂志,2005,25(4):399-404.Z hang Q H,Z ha o J Y.So me sufficient conditio ns o f finite super solvable gr oups[J].Jour nel o f M athemat ics,2005,25(4):399-404.(in Chinese )[4] 徐明曜.有限群导引.上册[M ].北京:科学出版社,1999:142.[5] 张远达.幂零与可解之间[M ].武汉:武汉大学出版社,1988:42.[6] [德]贝.胡佩特.有限群论.第一卷[M ].福州:福建人民出版社,1992:314.[7] 陈重穆.内外2-群与极小非2群[M ].重庆:西南师大出版社,1988:49.117(总第106期)2-极大子群次正规的有限群的一个注记(郭鹏飞)。
离散数学_第5章_代数系统(学生用)
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吸收律
定义5-2.5：设<A, *,△>，若x,y,zA, 有x*(x△z)=x称运算*满足吸收律； 有x△(x*y)=x称运算△满足吸收律。 【例】 N为自然数集, x,yN，x*y=max{x,y}，x△y=min{x,y}， 试证：*，△满足吸收律。 证明： x,yN，x*(x△y)=max{x,min{x,y}}=x ∴ *满足吸收律 x,yN，x△(x*y)=min{x,max{x,y}}=x ∴ △满足吸收律。
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【例】设ρ(s)是集合S的幂集，在ρ(s)上定义的两个 二元运算，集合的“并”运算∪和集合的“交” 运算∩，验证∪,∩满足幂等律。
证明：对于任意的A∈ρ(s)，有A∪A=A和A∩A=A，
因此运算∪和∩都满足等幂律。 【例】普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法 的幂等元（0+0=0），0和1是乘法的幂等元（ 0*0=0且1*1=1）。
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例：以下哪些运算是封闭的？
(1) 自然数集合N上的减法运算。 不封闭
(2) 整数集合I上的除法运算。 不封闭
(3) 设A={1,2,3,…,10},二元运算x*y=质数p的个数，
使得x ≤p≤y。 不封闭，当x=y=4时，x与y之间的质数个数为0， 而0不属于A集合。
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特殊元素
在某些代数系统中存在着一些特定的元素，它们 对于系统的一元或二元运算起着重要的作用。 例：<Z,+>中的+运算有单位元0。 例：矩阵乘法运算中的单位矩阵。 将这些特殊元素作为代数系统的性质进行讨论， 这时称这些元素为该代数系统的特异元素或代数 常数。
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当可解群G的西洛基中诸西洛子群都是正规子群时，则可解群G称为幂零群。
幂零群是可解群中的一个子类。
有限群G为幂零群的充分必要条件是，G可表为p群的直积。
p群自身当然是幂零群。
除公式
了这个充分必要条件外，还有几个互为等价的充分必要条件，其中最重要的是，G有上中心列或下中心列。
所谓上中心列，是指G有长为m的子群列，使，且其中Z1(G）为G 的中心Z(G），而递归地给出Zk+1(G）使Zk+1(G)/Zk(G）是商群G/Zk(G）的中心。
由G的限性可知，必有某自然数k使，因此当m≥k时，恒有Zm(G)=Zk(G）。
特别地，有某m使Zm(G)=G。
所谓下中心列，是指G有长为n的子群列。
设H、K是G的任意两个子集，【H,K】表示由形如的元素所生成的G的子群，即【H,K】=<；【h,k】│h∈H，k∈K>；，于是【H,K】=【K,H】。
当【x1，…，xn】定义后，再递归地定义。
同样，对G的子集H1，…，Hn也作公式
类似的定义，且当任意xi∈G(i=1,2，…，n）时，则定义，因此，且。
易知。
从G的有限性可知，有某自然数k使。
因此当m≥k时恒有Km(G)=Kk(G）。
特别地，有自然数n使Kn+1(G)=1。
有限群的上中心列和下中心列两者同时存在，且其长相等，此时G必为幂零群，称为n类幂零群。
因而，1类幂零群就是交换群。
由此可知，幂零群是介于交换群与可解群之间的一类群。
幂零群有下中心列，可解群则有换位群列。
G为可解群的充分必要条件是，G有换位群列。
所谓换位群列，是指G的子群列，式中为的换位子群，即，而n是某一正整数。
此时G也称为n步可解群。