2019届中考数学专题复习相似模型讲义及答案
2019届人教版中考复习数学练习专题二：阅读理解专题(有答案)
专题二阅读理解专题【课堂精讲】例1阅读例题，模拟例题解方程．解方程x2＋|x－1|－1＝0.解：(1)当x－1≥0即x≥1时，原方程可化为：x2＋x－1－1＝0即x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去)(2)当x－1＜0即x＜1时，原方程可化为：x2－(x－1)－1＝0即x2－x＝0，解得x3＝0，x4＝1(不合题意，舍去)综合(1)、(2)可知原方程的根是x1＝1，x2＝0.请你模拟以上例题解方程：x2＋|x＋3|－9＝0.解析：(1)当x＋3≥0时，即x≥－3时．原方程可化为：x2＋x－6＝0.解得x1＝2，x2＝－3.(2)当x＋3＜0时，即x＜－3时．原方程可化为：x2－x－12＝0.解得x3＝－3，x4＝4.经检验，x3＝－3，x4＝4都不符合题意，舍去．综合(1)、(2)可知原方程的根为x1＝2，x2＝－3.点评：解决这类题的策略是先理解例题的思想方法，再把这种思想方法迁移到问题中从而得到解决．例2条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB＝A′B的值最小模型应用：(1)如图1，正方形ABCD边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB＋PE的最小值是______；(2)如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC最小值是______；(3)如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是______．解析：关键在于把握题中的两点：第一是动点在哪条线上运动？这条线就确定为对称轴；第二是画出一个点的对称点，并确定符合条件的动点的位置，再进行解答．(1)在图1中，点B关于AC的对称点是D，连接DE交AC于点P，此时点P就符合条件，再进行计算．(2)在图2中，点A关于OB的对称点是点D，连接DC交OB于点P，点P就是符合条件的点．PA＋PC的最小值是CD，求出CD的长即可．(3)在图3中，作出P关于OB、OA的对称点P′和P″.连接P′P″交OB、OA于R、Q.再连接PR、PQ.则△PRQ的周长最小，此时△PRQ的周长＝P′P″的长．在等腰直角形P′OP″中．求出P′P″的长即可．答案：523102【课堂提升】1．阅读材料，解答问题．用图象法解一元二次不等式，x2－2x－3＞0.解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.∴由此得抛物线y＝x2－2x－3的大致图象如图所示：观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0.∴x2－2x－3＞0的解集是：x＜－1或x＞3.(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是________；(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2-5x+6＜0的解集.2. 阅读下列材料：解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解∵x﹣y=2，∴x=y+2又∵x＞1，∵y+2＞1．∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①同理得：1＜x＜2．…②由①+②得﹣1+1＜y +x ＜0+2∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x ﹣y =3，且x ＞2，y ＜1，则x +y 的取值范围是 ．（2）已知y ＞1，x ＜﹣1，若x ﹣y =a 成立，求x +y 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．3.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A ． 1，2，3B ． 1，1，C ． 1，1，D ． 1，2，y 1)，Q (x 2，y 2)的对称中心的坐标为( 122x x + ，122y y + )．(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P 1(0，－1)，P 2(2,3)的对称中心是点A ，则点A 的坐标为________；(2)另取两点B (－1.6,2.1)，C (－1,0)．有一电子青蛙从点P 1处开始依次关于点A ，B ，C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 1关于点A 的对称点P 2处，接着跳到点P 2关于点B 的对称点P 3处，第三次再跳到点P 3关于点C 的对称点P 4处，第四次再跳到点P 4关于点A 的对称点P 5处，…，则点P 3，P 8的坐标分别为____、____；(3)求出点P 2012的坐标，并直接写出在x 轴上与点P 2012、点C 构成等腰三角形的点的坐标．【高效作业本】专题二 阅读理解专题1.如图，已知正方形ABCD ，顶点A (1，3)、B (1,1)、C (3,1)．规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2）C. (—2013,—2) D. (—2013,2)2.定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2－2x＋1＝0 x1＝1，x2＝1 x2－2x＋1＝(x－1)(x－1)x2－3x＋2＝0 x1＝1，x2＝2 x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)3x2＋x－2＝0 x1＝，x2＝－1 3x2＋x－2＝3(x－ )(x＋1)2x2＋5x＋2＝0 x1＝____，x2＝____ 2x2＋5x＋2＝2(x＋ )(x＋2)4x2＋13x＋3＝0 x1＝____，x2＝____ 4x2＋13x＋3＝4(x＋____)(x＋____)4．阅读下面的例题：解方程x2－|x|－2＝0解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)(2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2所以原方程的解是x1＝2，x2＝－2请参照例题，解方程：x2－|x－3|－3＝0.【答案】专题二阅读理解专题答案1.分析：（1）观察图象即可写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集；（2）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，就可以画出抛物线，根据y＜0确定一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集．解：（1）观察图象，可得一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集是：-1＜x＜3（2）设y=x2-5x+6，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3．∴由此得抛物线y=x2-5x+6的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当2＜x＜3时，y＜0．∴x2-5x+6＜0的解集是：2＜x＜3点评：本题主要考查在直角坐标系中利用二次函数图象解不等式，可作图利用交点直观求解集．2.解：（1）∵x﹣y=3，∴x=y+3，又∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞﹣1．又∵y＜1，∴﹣1＜y＜1，…①同理得：2＜x＜4，…②由①+②得﹣1+2＜y+x＜1+4∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5；（2）∵x﹣y=a，∴x=y+a，又∵x＜﹣1，∴y+a＜﹣1，∴y＜﹣a﹣1，又∵y＞1，∴1＜y＜﹣a﹣1，…①同理得：a+1＜x＜﹣1，…②由①+②得1+a+1＜y+x＜﹣a﹣1+（﹣1），∴x+y的取值范围是a+2＜x+y＜﹣a﹣2．本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程，难度一般．3.分析A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．(2)(－5.2,1.2)；(2,3)(提示：P1(0，－1)，P2(2,3)，P3(－5.2,1.2)，P4(3.2，－1.2)，P5(－1.2,3.2)，P6(－2,1)，P7(0，－1)，P8(2,3))(3)∵P1(0，－1)→P2(2,3)→P3(－5.2,1.2)→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2,3.2)→P6(－2,1)→P7(0，－1)→P8(2,3)→…，∴P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环．∵2012÷6＝335…2.∴P2012的坐标与P2的坐标相同，即P2012(2,3)；在x轴上与点P2012，点C构成等腰三角形的点的坐标为(－3 －1,0)，(2,0)，(3 －1,0)，(5,0)．【高效作业本】1.分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形ABCD，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∴M的坐标变为(2,2)∴根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第2014次变换后的点M的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2）故答案为A．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n 次变换后的点M 的对应点的坐标为：当n 为奇数时为（2－n ，－2），当n 为偶数时为（2－n ，2）是解此题的关键．2.分析：首先根据运算的定义化简3△x ，则可以得到关于x 的不等式组，即可求解．解答：3△x=3x ﹣3﹣x+1=2x ﹣2，根据题意得：，解得：＜x ＜．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键．3.(1)－12 －2 －14 －3 143 (2)ax2＋bx ＋c ＝a(x －x1)(x －x2)4.解析：(1)当x －3≥3，原方程为 x 2－(x －3)－3＝0∵x ≥3∴不符合题意，都舍去(2)当x －3＜0时，即x ＜3，原方程化为x 2＋(x －3)－3＝0解得x 2＋(x －3)＝0解得x 1＝－3或x 2＝2(都符合题意)所以原方程的解是x 1＝3或x 2＝2.答案：x ＝－3或x ＝2。
【中考数学必备专题】中考模型解题系列之相似基本模型(含答案)
【中考数学必备专题】中考模型解题系列之相似
基本模型
一、单选题(共3道，每道30分)
1.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F.则BF：FC＝()
A.1:2
B.1:3
C.1:4
D.2:3
答案：A
解题思路：过D点作DG∥BC，并交AF于G点，可证△BEF≌△DEG，则BF=DG，∴BF：FC=DG：FC=AD:AC=1:2
试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质
2.（2011•河池）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF 交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（）
A.9cm
B.14cm
C.15cm
D.18cm
答案：C
解题思路：延长FE，交CB的延长线于H，可证△AFE≌△BHE，可得BH=AF=2cm.根据BC∥AD，得AG：CG=AF：CH=2:8，求得CG=12，则AC=AG+CG=15（cm）.
试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质
3.如图，D为△ABC的AB边上的一点，∠DCA=∠B，若AC=cm，AB=3cm，则AD的长为（）
A.cm
B.cm
C.2cm
D.cm
答案：C
解题思路：∠DCA=∠B，根据模型得∴△ADC∽△ACB，则AD：AC=AC：AB，可得AD=2cm.故选C.
试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质。
2019中考数学试题分类汇编考点36相似三角形含解析.doc
2019中考数学试题分类汇编：考点36 相似三角形一．选择题（共28小题）1．（2019?重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，故选：C．2．（2019?玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选：C．3．（2019?重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得： =，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为 4.5cm，故选：C．4．（2019?内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．5．（2019?铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．16【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC 与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×=4．故选：C．6．（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：A．7．（2019?临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．8．（2019?广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．【解答】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=．故选：C．9．（2019?自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC 的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．10．（2019?崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．11．（2019?随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2=．∵S△ADE=S四边形BCED，∴=，∴===﹣1．故选：C．12．（2019?哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A． = B． = C． = D． =【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=， =，∴==．故选：D．13．（2019?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD 为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD=x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，故选：D．14．（2019?扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：；③2CB2=CP?CM．其中正确的是（）①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?MEA．①②③B．①C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP?MD=MA?ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP?CM∵AC=AB∴2CB2=CP?CM所以③正确故选：A．15．（2019?贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（）A．16 B．18 C．20 D．24【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴=，解得：x=2，∴S△ABC=18，故选：B．16．（2019?孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；17．（2019?泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，18．（2019?临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．B．C．D．【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===．故选：A．19．（2019?恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．20．（2019?杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2，∴若2AD＞AB，即＞时，＞，此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，故选项A不符合题意，选项B不符合题意．若2AD＜AB，即＜时，＜，此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．21．（2019?永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD?AB，由此即可解决问题；【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴=，∴AC2=AD?AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=4，故选：B．22．（2019?香坊区）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（）A． = B． = C． = D． =【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵EF∥AB，∴，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，EF=BD，∴，，，，∴正确，故选：C．23．（2019?荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△BAG，∴=（）2=，故选：C．24．（2019?达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A．B．C．D．1【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得==（）2=（）2=， =，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC=S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴==（）2=（）2=，∵=，∴=×=，故选：C．25．（2019?南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（）A．CE=B．EF=C．cos∠CEP=D．HF2=EF?CF【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2，∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．∵HF=，EF=，FC=∴HF2=EF?FC，故D正确，故选：D．26．（2019?临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故选：B．27．（2019?长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：B．28．（2019?绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得=，将已知数据代入即可得．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则=，∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴=，解得：CD=0.4，故选：C．二．填空题（共7小题）29．（2019?邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF ．【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．30．（2019?北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=?AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=?AC=×5=．故答案为：．31．（2019?包头）如图，在?ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为．【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF=1知S△ADC=S △ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．【解答】解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∵S△AEF=1，∴S△ABC=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC=S△ABC=，∵EF∥BC，∴===，∴==，∴S△ADF=S△ADC=×=，故答案为：．32．（2019?资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED 的面积为9 ．【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得=（）2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．33．（2019?泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出CK的长．【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，∵AH∥DK，∴∠CDK=∠A，而∠CKD=∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴=，即=，∴CK=．答：KC的长为步．故答案为．34．（2019?岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，x=，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED=x，S△ABC=AC?BC=AB?CP，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x=，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．35．（2019?吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= 100 m．【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB=（米）．故答案为：100．三．解答题（共15小题）36．（2019?张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．【分析】（1）当M在弧AB中点时，三角形MAB面积最大，此时OM与AB垂直，求出此时三角形面积最大值即可；（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证．【解答】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，∴S△ABM=AB?OM=×4×2=4；（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．37．（2019?株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．【分析】（1）利用HL证明即可；（2）想办法证明△DNT∽△AMT，可得由AT=，推出，在Rt△ABM中，tan∠ABM=．【解答】解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=，∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．38．（2019?大庆）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE?CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得=解决问题；（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB．（2）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴=，∴BC2=CE?CP；（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM?PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴的长==π．39．（2019?江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC 于点E，求AE的长．【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．40．（2019?上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．41．（2019?东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．【分析】（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=．∵BD=AD，∴=，∴=，又∵AC=3，∴CD=2．42．（2019?南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180°，∵∠FGA+∠DGF=180°，∴∠FGA=∠FCD，∴△AFG∽△DFC．（2）解：如图，连接CG．∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴=，即=，∵△AFG∽△DFC，∴=，∴=，在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3，∴CG==5，∵∠CDG=90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O的半径为．43．（2019?滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD?AO．【分析】（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC 即可得证；（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB=2AO，∠ACB=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴=，即AC2=AB?AD，∵AB=2AO，∴AC2=2AD?AO．44．（2019?十堰）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．45．（2019?杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；（2）利用面积法：?AD?BD=?AB?DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD===12，∵?AD?BD=?AB?DE，∴DE=．46．（2019?烟台）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D 在⊙E上．F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根据切线的性质知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；根据（1）的结论计算∠MBE=30°，证明△CDE是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论．【解答】解：（1）连接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB，∴∠EDB=∠EBD=α，∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，⊙D中，∵DC=DE=AD，∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴∠CAD==；（2）设∠MBE=x，∵EM=MB，∴∠EMB=∠MBE=x，当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°，∴∠CED+∠MEB=90°，∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，∴∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；由（1）得：∠CAD=；∴∠MBE=30°，∴∠CED=2∠MBE=60°，∵CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE=EF=AD=，Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，∴∠CNE=75°，∴∠CNE=∠NCB=75°，∴EN=CE=，∴===2+．47．（2019?陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．【分析】由BC∥DE，可得=，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴=，∴=，∴AB=17（m），经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．48．（2019?济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH ⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小．值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．49．（2019?聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE=BF．（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BH⊥AE，∴∠BHE=90°，∴∠AEB+∠EBH=90°，∴∠BAE=∠EBH，在△ABE和△BCF中，41，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：∵AB=BC=5，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∴DF=5﹣2=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=5，∠ADF=90°，由勾股定理得：AF====．50．（2019?乌鲁木齐）如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；（2）在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，42∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（4分）（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．（10分）43。
专题07 二次函数背景下的三角形相似(全等)(解析版)
备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题07 二次函数背景下的三角形相似（全等）【方法综述】三角形全等是三角形相似的特殊情况。
三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用全等三角形和相似的判定方法。
另外，注意题目中“”与全等表述、“”和相似表述的区别。
全等和相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。
解答时，对于确定的对应边角可以直接利用于解题。
而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分类讨论。
【典例示范】类型一例1：（陕西省渭南市大荔县中考数学三模试题）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的顶点为P．求b的值，并求出点P、B的坐标；在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使≌？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由．【答案】存在，【解析】抛物线经过，，解得：，抛物线的表达式为．，点P的坐标为令得：，解得或，的坐标为．存在，点如图：过点P作轴，垂足为C，连接AP、BP，作的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连接PM、BM．，，，，，，是等边三角形，，．，，．在和中，，≌．存在这样的点M，使得≌．，，点N是PB的中点，设直线AM的解析式为，将点A和点N的坐标代入得：，解得：，直线AM的解析式为．将代入抛物线的解析式得：，解得：或舍去，当时，，点M的坐标为针对训练1．（2018年九年级数学北师大版下册：第二章检测卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝12x2－3x－8；（2）点F的坐标为(3＋17，－4)或(3－17，－4)．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），∴4280 {36688a ba b--+--＝＝解得1 {23 ab-＝＝∴抛物线的函数表达式为y＝12x2−3x−8；∵y＝12x2−3x−8＝12(x −3)2−252，∴抛物线的对称轴为直线x=3．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A 的坐标为（-2，0）．∴点B的坐标为（8，0），设直线L的函数表达式为y=kx．∵点D（6，-8）在直线L上，∴6k=-8，解得k=-43，∴直线L的函数表达式为y=-43x，∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为-43×3=-4，∴点E的坐标为（3，-4）；（2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE．∵OE=CE=5，∴FO=FC，∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，∴12x2-3x-8=-4，解得x=3±17，∴点F的坐标为（3-17，-4）或（3+17，-4）．2．（河南省濮阳市2018届九年级中考数学二模试题）如图，一次函数与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒．求此抛物线的表达式；求当为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得≌？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；（2）当为等腰三角形时，t的值为、或或4；（3）点T的坐标为．【解析】把代入中，得．把代入中，得．，把，分别代入中，得，，抛物线的表达式为，，由勾股定理，得，．运动t秒后，，．为等腰三角形，有，，三种情况，当时，过点Q作于点D．在中，，，．解得；当时，若点P在x轴上方的直线AB上，，，，解得；若点P在x轴下方的直线AB上，，，解得：；当时，过点P作于点E．则，在中，，．解得：综上所述，当为等腰三角形时，t的值为、或或4．过点P作于点F，延长FP交抛物线与点T．为底边AQ上的高．，，．．当时，的面积最大此时点P为AB的中点，且．连接OP，则，点，点T的横坐标为，将代入抛物线的解析式得：．．在中，由勾股定理可知：，．≌．点T的坐标为．类型二全等三角形的存在性探究例2．（四川省眉山市洪雅县2018届九年级中考适应性考）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①点D坐标为（﹣，0）；②点M（，0）.【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2-x+3；（2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等，当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等，∴tan∠QAP=tan∠DCO，，∴，∴OD=，∴点D坐标为（-，0）.由对称性，当点D坐标为（，0）时，由点B坐标为（4，0），此时点D（，0）在线段OB上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN，CM，则DN=DM，∠NDC=∠MDC，∴∠NDC=∠DCB，∴DN∥BC，∴，则点N为AC中点．∴DN时△ABC的中位线，∵DN=DM=BC=，∴OM=DM-OD=∴点M（，0）针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B（﹣2，0）作⊙M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M．（1）求这条抛物线解析式；（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上；（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处．此时△BOQ与△MCB 全等，求t的值．【答案】（1）y＝﹣x2+；（2）点C在（1）的抛物线上；（3）t＝2．【解析】（1）将点M（2，0）、B（﹣2，0）代入y x2+bx+c中，得：解得：∴抛物线的解析式：y x2．（2）连接MC，则MC⊥BC；过点C作CD⊥x轴于D，如图，在Rt△BCM中，CD⊥BM，CM＝2，BM＝4，则：DM1，CD，OD＝OM﹣DM＝1，∴C（1，）．当x＝1时，y x2，所以点C在（1）的抛物线上．（3）△BCM和△BOQ中，OB＝CM＝2，∠BOQ＝∠BCM＝90°，若两三角形全等，则：OQ＝BC，∴当t＝2时，△MCB和△BOQ全等．2．（广西田阳县实验中学2019届九年级中考一）如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为（，0）；（2）∠OAB=30°；（3）存在，①=时，P（0，-），P（，-）；②=时，P（，-3），P（3+，-3）；③=2时，P（，-3），P（，-3）；④=时，P（，-），P（，-）.【解析】（1）对称轴：x=m；顶点：A（m，0）．（2）将x=m代入函数y=x-m，得y=×m-m=0∴点A（m，0）在直线l上．当x=0时，y=-m，∴B（0，-m）tan∠OAB=，∴∠OAB=30度．（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况：①当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时，如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得-m=-3m2，∵m＞0，∴m=这时有P1（0，-）其关于对称轴的对称点P2（，- ）也满足条件．②当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时点P坐标为（m-m，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，∵m＞0，∴m=这时有P3（3-，-3）还有关于对称轴的对称点P4（3+，-3）．③当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时点P坐标为（m，−m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，∵m＞0，∴m=2这时有P5（，-3）还有关于对称轴的对称点P6（3，-3）．④当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时点P坐标为（m，−m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，∵m＞0，∴m=这时有P7（，-）还有关于对称轴对称的点P8（，-）．所以当m=时，有点P1（0，-），P2（，-）；当m=时，有点P3（3-，-3），P4（3+，-3）；当m=2时，有点P5（，-3），P6（3，-3）；当m=时，有点P7（，-），P8（，-）．3．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x 轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R 为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．【答案】（1）y2=-x2+x-；（2）存在；（3）y=﹣x+或y=﹣.【解析】（1）由已知，c=，将B（1，0）代入，得：a﹣=0，解得a=﹣，抛物线解析式为y1=x2-x+，∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），∴y2=﹣（x﹣1）2，即y2=-x2+x-；（2）存在，如图1：抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t），已知A（﹣3，0），C（0，），过点T作TE⊥y轴于E，则TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2﹣t+，TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，AC2=，当TC=AC时，t2﹣t+=，解得：t1=，t2=；当TA=AC时，t2+16=，无解；当TA=TC时，t2﹣t+=t2+16，解得t3=﹣；当点T坐标分别为（1，），（1，），（1，﹣）时，△TAC为等腰三角形；（3）如图2：设P（m，），则Q（m，），∵Q、R关于x=1对称∴R（2﹣m，），①当点P在直线l左侧时，PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，∵△PQR与△AMG全等，∴当PQ=GM且QR=AM时，m=0，∴P（0，），即点P、C重合，∴R（2，﹣），由此求直线PR解析式为y=﹣x+，当PQ=AM且QR=GM时，无解；②当点P在直线l右侧时，同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，则P（2，﹣），R（0，﹣），PQ解析式为：y=﹣；∴PR解析式为：y=﹣x+或y=﹣.类型三确定的相似三角形条件的判定应用例3：（重庆市九龙坡区西彭三中2019届九年级（上)期末）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F（0，），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点Q的坐标为（3，2）；（3）m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．【解析】（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）代入，得：﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）如图所示：∵当△BOD∽△QBM时，则，∵∠MBQ＝90°，∴∠MBP+∠PBQ＝90°，∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，∴∠MBP+∠BMP＝90°，∴∠BMP＝∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴，∴，解得：m1＝3、m2＝4，当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m＝3，点Q的坐标为（3，2）；（3）由题意知点D坐标为（0，﹣2），设直线BD解析式为y＝kx+b，将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，∴直线BD解析式为y＝x﹣2，∵QM⊥x轴，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），则QM＝﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝﹣m2+m+4，∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF＝，∵QM∥DF，∴当|﹣m2+m+4|＝时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣即m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．针对训练1．（湖南省长沙一中2018届九年级（下)段考）如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若；（1）求此抛物线的解析式；（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q 点坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）见解析;（3）△MPN的面积的最大值为:．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则D（3，0）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），∵OD＝OA，∴△OAD为等腰直角三角形，∴AD＝3，∵，∴AB＝2，∴B（1，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把D（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；（2）作CH⊥x轴，如图1，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）∴AH＝CH＝1，∴△ACH为等腰直角三角形，∴∠CAH＝45°，AC＝，∵△OAD为等腰直角三角形，∴∠DAO＝45°，∵∠CAQ＝∠DAB，∴当时，△AQC∽△ADB，即，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；当时，△AQC∽△ABD，即，解得AQ＝，此时Q（，0）；综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（，0）；（3）作PE⊥AD于E，如图2，∵△MPN∽△ABD，∴，∴MN＝MP，设P（x，x2﹣4x+3），则M（x，﹣x+3），∴MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，MP有最大值，∴MN的最大值为＝，∵∠PME＝45°，∴PE＝PM，∴PE的最大值为×＝，∴△MPN的面积的最大值为××＝．2．（浙江省嘉兴市海宁新仓中学2019届九年级上学期数学第一次月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标；（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2，）；（3）y=或y=-3x+6．【解析】（1）解：将原点O（0,0）、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），分别代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴y=x2-4x= ，∴顶点为（2，-4）.（2）解：设直线AB为y=kx+b，由点A（2，-4），B（3，-3），得解得，∴直线AB为y=x-6.当y=0时，x=6，∴点D（6，0）.∵点A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），∴OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，∴DF=AF，又∵AF⊥x轴，∴∠AD0=∠DAF=45°，∵△GBA∽△AOD，∴，∴，解得，∴FG=AF-AG=4- ，∴点G（2，）.（3）解：如图1，∵∠BMN=∠OAF，，∴∠MBN=∠AOF，设直线BM与AF交于点H，∵∠ABH=∠AOD，∠HAB=∠ADO，∴∴，则，解得AH= ，∴H（2，）.设直线BM为y=kx+b，∵将点B、G的坐标代入得，解得．∴直线BM的解析式为y= ；如图2，BD=AD-AB= ．∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，∴△HBD∽△AOD．∴，即，解得DH=4．∴点H的坐标为（2，0）．设直线BM的解析式为y=kx+b．∵将点B和点G的坐标代入得：，解得k=-3，b=6．∴直线BM的解析式为y=-3x+6．综上所述，直线MB的解析式为y= 或y=-3x+6．3．（江西省景德镇市2018届九年级第二次质检）如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a，b，c］称为“抛物线系数”．（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是______（填“真”或“假”）命题；（2）若一条抛物线系数为［1，0，－2］，则其“抛物线三角形”的面积为________；（3）若一条抛物线系数为［－1，2b，0］，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB，如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．【解析】（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：，令y=0，得：x=，∴S==；（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y＝－x2＋2bx=，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：，∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1，－3）．②当抛物线为y＝－x2－2x 时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．类型四相似三角形存在性探究例4. （江苏省苏州市张家港市）如图，直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线经过点.(1)求抛物线的解析式，(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第二象限内，过动点作轴于点，交线段于点.①如图1，过作轴于点，交抛物线于两点(点位于点的左侧)，连接，当线段的长度最短时，求点的坐标，②如图2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积.【答案】(1) ；(2) ①点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；②【解析】(1)把代入得，由，得，(2) ①由题意可知，四边形是矩形，所以.由(1)可知，当时，最短，即最短，此时点是的中点，所以，，点的坐标为，将代入得，，点的坐标为，将代入得，，解得，，点的坐标为，点的坐标为②当时(如图2)，则、关于抛物线的对称轴对称，的坐标为，点的坐标为，，当时(如图3)，则是等腰直角三角形，，过点作于点，设点的坐标为，，，，解得，.针对训练1．（贵州黔东南州锦屏县敦寨中学2018-2019学年度九年级（上)期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．【答案】（1）（4，0）（2）y＝﹣x2+x+2（3），（4）﹣1或﹣或【解析】（1）在y＝-x+2中，令y＝0，则x＝4，∴A（4，0）；故答案为：（4，0）；（2）∵在y＝-x+2中，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵且∠BFE＝∠AEP，∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，则有BE⊥PE，∴E点的纵坐标为2，∴解得m＝0（舍去）或m＝，如图1，过点E作EC⊥y轴于点C，则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BEC，∴Rt△ECB∽Rt△BOA，∴,∴,解得m＝0（舍去）或m＝，解得，m＝，综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，m的值＝，（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵E、F、P三点为“共谐点”，∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，当F为线段PE的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；当P为线段FE的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；当E为线段FP的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或．2．（广东省汕头市龙湖区2019届九年级上学期期末质量检测）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝－x2＋x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).【解析】解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为.(2)存在，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－m2＋m－2，当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，∴①当＝＝时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m2＋m－2)．解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．②当＝＝时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2.解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).3．（2018年四川省绵阳市中考数学试卷）如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）P点坐标为（4,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）【解析】（1）把，和点，代入抛物线得：，解得：，，则抛物线解析式为；（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，，当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，综上，的坐标为，或，或，或；（3）在中，，，根据勾股定理得：，，，，边上的高为，过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：在中，，即，过作轴，在中，，，即，，设直线解析式为，把坐标代入得：，即，即，联立得：，解得：或，即，或，，则抛物线上存在点，使得，此时点的坐标为，或，．4．（湖南省衡阳市2019届中考数学试卷）如图，已知直线分别交轴、轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①②答案见解析（2）存在，或【解析】（1）①如图1，，顶点为的坐标为，，当时，，则点坐标为，；②不存在．理由如下：，设点坐标为，则，，，当时，四边形为平行四边形，即，解得（舍去），，此时点坐标为，，，，平行四边形不为菱形，不存在点，使四边形为菱形；（2）存在．如图2，，，则，当时，，则，，设抛物线的解析式为，把代入得，解得，抛物线的解析式为，当时，，则，，，，当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；综上所述，满足条件的抛物线的解析式为或．5．（湖北省襄州区2018届九年级上学期）如图，已知抛物线y＝ax2+x+c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于C 点，且A（2，0）、C（0，﹣4），直线l：y＝﹣x﹣4 与x 轴交于点D，点P 是抛物线y＝ax2+x+c 上的一动点，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E，交直线l 于点F．（1）试求该抛物线表达式；（2）如图1，若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图2，过点P 作PH⊥y 轴，垂足为H，连接AC．①求证：△ACD 是直角三角形；②试问是否存在这样的点P，使得以点P、C、H 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝；（2）P 的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2.5，﹣）；（3）①详见解析；②点P 的横坐标为2或﹣5.5 或﹣10.5 或﹣18 时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD 相似．【解析】解：（1）把A（2，0）、C（0，﹣4）代入y＝ax2+x+c 中得：，解得：，∴该抛物线表达式为：y＝x2+ x﹣4；（2）如图1，设点P 的坐标为（x，x2+x﹣4），则F（x，﹣x﹣4），∵点P在第三象限，∴PF＝（﹣x﹣4）﹣（x2+ x﹣4）＝﹣﹣x，∵C（0，﹣4），∴OC＝4，∵四边形PCOF 是平行四边形，且PF∥OC，∴PF＝OC＝4，即﹣﹣x＝4，2x2+21x+40＝0，（x+8）（2x+5）＝0，x1＝﹣8，x2＝﹣2.5，当y＝0 时，x2+ x﹣4＝0，解得：x1＝﹣10，x2＝2，∴P 的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2.5，﹣）；（3）①当y＝0 时，﹣x﹣4＝0，x＝﹣8，∴D（﹣8，0），由勾股定理得：DC2＝82+42＝80，AC2＝22+42＝20，AD2＝102＝100，∴AD2＝AC2+DC2，∴∠ACD＝90°，∴△ACD 是直角三角形；②设点P 的坐标为（x，x2+x﹣4），由①知：∠ACD＝90°，∠PHC＝90°，AC＝＝2 ，CD＝＝4，∴＝如图3，点P 在第一象限，当△ACD∽△PHC 时，则＝＝，∴CH＝2PH，∴x2+ x﹣4﹣（﹣4）＝2x，解得：x1＝0（P 与C 重合，舍去），x2＝2，∴此时点P 的横坐标为2；如图4，点P 在第一象限，当△ACD∽△CHP 时，则＝，∴PH＝2CH，∴﹣x＝2[﹣4﹣（x2+x﹣4）]，解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣5.5，∴此时点P 的横坐标为﹣5.5；如图5，点P 在第二象限，当△ACD∽△CHP 时，则＝，∴PH＝2CH，∴﹣x＝2[（x2+ x﹣4）﹣（﹣4）]，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣10.5，∴此时点P 的横坐标为﹣10.5（P 在直线l 上）；如图6，点P 在第二象限，当△ACD∽△PHC 时，则＝＝，∴CH＝2PH，∴[（x2+ x﹣4）﹣（﹣4）]＝﹣2x，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣18，∴此时点P 的横坐标为﹣18；综上所述，点P 的横坐标为2 或﹣5.5 或﹣10.5 或﹣18 时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD 相似．6．（江西省南昌市2018届九年级中考三模数学）如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象与二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交于x 轴上一点A，与y 轴交于点B，在x轴上有一动点C．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x ＝n（n＜0），n是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，连接AD．（1）求二次函数的解析式．（2）当S△ACB＝3S△ADB时，求点C的坐标．（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB 相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝2x2+2x﹣4；（2）点C 的坐标为（4，0）或（﹣8，0）；（3）在x 轴上有一点C（﹣4，0）或（﹣6，0），使得以点A、B、C 组成的三角形与△ADB 相似．【解析】（1）在y=-x-2中，令y=0，则x=-2∴A（-2，0）．由2x2-3x-2=0，得x1=-，x2=2，∴二次函数y=ax2+bx-4的对称轴为直线x=-，∴，解得，∴二次函数的解析式为：y=2x2+2x-4；（2）∵S△ADB=BD•OA=2，∴S△ACB=3S△ADB=6．∵点C在x轴上，∴S△ACB=AC•OB=×2AC=6，∴AC=6．∵点A的坐标为（-2，0），∴当S△ACB=3S△ADB时，点C的坐标为（4，0）或（-8，0）；（3）存在．理由：令x=0，一次函数与y轴的交点为点B（0，-2），∴AB=，∠OAB=∠OBA=45°．∵在△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，∴点C在点A的左边．①AC与BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，∴=1，∴AC=BD=2，∴OC=OA+AC=2+2=4，∴点C的坐标为（-4，0）．②当AC与AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA∴=，∴AC=AB=×2=4，∴OC=OA+AC=2+4=6，∴点C的坐标为（-6，0）．综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．7．（人教版九年级上学期第二十二章二次函数单元检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵四边形POP′C为菱形，∴OC与PP′互相垂直平分，∴y P，即x2﹣2x﹣3，解得：x1，x2（舍），P（）；（3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论：①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；AO＝1，OC＝3，CB，CP，此时3，△AOC∽△PCB；②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D．∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴，∴，解得：m或（舍去）．当m时，m2﹣2m﹣3=．∵△PHC∽△BDP，∴==3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似．综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．8．（江苏省东台市第二联盟2019届九年级12月月考）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；⑵求证：△ABC是直角三角形；⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得,解得或,∴B（2，0），C（-1，-3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有或，当时，则有，即|x||-x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|-x+2|=，即-x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，则有，即|x||-x+2|=3|x|，∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（-1，0）或（5，0）．9．（江苏省东台市第二联盟2019届九年级12月月考）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；⑵求证：△ABC是直角三角形；⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得,解得或,∴B（2，0），C（-1，-3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有或，当时，则有，即|x||-x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|-x+2|=，即-x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，则有，即|x||-x+2|=3|x|，∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（-1，0）或（5，0）．10．（段考模拟君之2018-2019学年九年级数学上学期期末原创卷A卷）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．(1)求二次函数的解析式；(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；(3)若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)抛物线解析式y=x2–x+1；(2)点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）；(3)a=或．【解析】(1)∵二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式y=x2–x+1．(2)设点P坐标为（x，0）．∵点P（x，0），点B（0，1），点C（4，3），∴PB==，CP==，BC==2，若∠BCP=90°，则BP2=BC2+CP2．∴x2+1=20+x2–8x+25，∴x=．若∠CBP=90°，则CP2=BC2+BP2．∴x2+1+20=x2–8x+25，∴x=．若∠BPC=90°，则BC2=BP2+CP2．∴x2+1+x2–8x+25=20，∴x1=1，x2=3，综上所述：点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）．(3)a=或．∵抛物线解析式y=x2–x+1与x轴交于点D，点E，∴0=x2–x+1，∴x1=1，x2=2，∴点D（1，0）．∵点B（0，1），C（4，3），∴直线BC解析式y=x+1．当y=0时，x=–2，∴点A（–2，0）．∵点A（–2，0），点B（0，1），点D（1，0），∴AD=3，AB=．设经过t秒，∴AP=2t，AQ=at，若△APQ∽△ADB，∴，即，∴a=，若△APQ∽△ABD，∴，即，∴a=．综上所述：a=或．。
重庆市2019届中考数学一轮复习《4.3全等三角形》讲解含答案
第三节全等三角形课标呈现指引方向1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．3．掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．4．掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．5．证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，考点梳理夯实基础1．全等图形：能够完全重合的两个图形叫做＿＿全等图形＿＿．注：能够完全重合即形状、大小完全相同．2．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做＿＿全等＿＿三角形．3．全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边＿＿相等＿＿；全等三角形的对应角＿＿相等＿＿．(2)全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）＿＿相等＿＿，周长＿＿相等＿＿，面积＿＿相等＿＿．4．一般三角形全等的判定：(1)若两个三角形的三条边分别＿＿对应相等＿＿，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”；(2)若两个三角形的两边及其＿＿夹角＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”：(3)若两个三角形的两角及其＿＿夹边＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”：(4)若丙个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为＿＿“AAS"＿＿．5．直角三角形全等的判定：(1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；(2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)若两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为＿＿“HL”＿＿．6．寻找对应边、对应角的方法：(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角一定是对应角；(4)两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．7．证明三角形全等的思路：(1)已知两边：①找夹角（SAS）；②找直角（HL）；③找第三边( SSS)．(2)已知一边和一角：①边为角的对边，找任意一角(AAS)；②边为角的邻边，找夹角的另一边（SAS）；③找夹边的另一角（ASA）；④找边的对角（AAS）．(3)已知两角：①找夹边（ASA）；②找角的对边（AAS）．考点精析专项突破考点一三角形全等判定方法的选择【例l】（2019云南）如图，已知∠ABC= ∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是 ( A )2A．AC = BDB．∠CAB=∠DBAC．∠C=∠DD．BC=AD觯题点拨：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例2】（2019泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等三角形的对数是 ( D )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解题点拨：根据已知条件“AB=AC．D 为BC 中点”，得出△ABD ≌△ACD ，然后再由AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，推出△AOE ≌△EOC ，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．考点二 全等三角形的性质与判定综合【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠B= ∠AFE ，EA 是∠BEF 的角平分线．求证： (1)△ABE ≌△AFE ； (2)∠FAD= ∠CDE ．解题点拨：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角 形的判定与性质，(2)问关键是正确证明△AFD ≌△DCE ． 证明：(1)∵EA 是∠BEF 的角平分线， ∴∠1=∠2．在△ABE 和△AFE 中，,12,,B AFE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△AFE(AAS). (2)∵△ABE ≌△AFE ， ∴AB=AF ，∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴AB=CD ，AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴AF=CD ，∠ADF= ∠DEC ，∠B+∠C=180°， ∴∠B= ∠AFE ，∠AFE+∠AFD=180°， ∴AFD= ∠C ，在△AFD 和△DCE 中，,,,ADF FEC C AFD AF DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFD≌△DCE(AAS) ， ∴∠FAD= ∠CDE.课堂训练 当堂检测1．如图，已知AB=AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是 ( C) A ．CB= CDB ．∠BAC= ∠DAC C ．∠BCA=∠DCAD ．∠B=∠D= 90°2．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使△4BE 竺△CDF ．则添加的条件不能是( A )A ．AE=CFB ．BE= FDC ．BF= DED ．∠1= ∠23．（2019成都）如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A= 36°， ∠C'＝24°，则∠B= ＿＿120°＿＿．4．已知，如图．AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE=DF ．证明：连接AD ，在△ACD 和△ABD 中，,,,AC AB CD BD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩△ACD ≌△ABD(SSS)，∴∠EAD=∠FAD ，即AD 平分∠EAF ， ∵DE ⊥AE ．DF ⊥AF ． ∴DE=DF ．中考达标 模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．如图，△ABC 和△DEF 中，AB= DE ，/B= LDEF ，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF ( C )A ．AC ∥DFB ．∠A =∠DC ．AC=DFD ．∠ACB= ∠F2．（2019陕西）如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M'、N'，则图中的全等三角形共有 ( C )A．2对B．3对C．4对D．5对3．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC= BD，AB= ED，BC= BE，则∠ACB等于 ( C )A．∠EDBB．∠BEDC．12∠AFBD．2∠ABF4．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°，把△DCE 绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B则∠E1D1B的度数为 ( D )A．10°B．20°C．7.5°D．15°二、填空题5．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件＿＿AB=CD＿＿（填出一个即可）．6．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC= 70°，则∠ADC的度数为＿＿130°＿＿．7．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ．若EF= 5cm ．则AB=＿＿29＿＿cm ．三、解答题8．（2019重庆）如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，CE ∥DF ，EC ＝BD ，AC ＝FD ．求证：AE ＝FB ．证明：CE ∥DF ， ∴∠ACE= ∠D ，在△ACE 和△FDB 中，,,,AC FD ACE D EC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACE ≌△FDB ， ∴AE ＝FB ．9．如图，∠ABC= 90°，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD ⊥DE ，且AD= DE ．点F 是AE 的中点．FD 与AB 相交于点M ．(1)求证：∠FMC= ∠FCM;(2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．解：(1)证明：∵△ADE 是等腰直角三角形，F 是AE 中点， ∴DF ⊥AE ，DF =AF= EF ，又∵∠ABC=90， ∠DCF ，∠AMF 都与∠MAC 互余，∴∠DCF=∠AMF ．在△DFC 和△AFM 中．,,,DCF AMF MFA CFD DF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCF ≌△AMF(AAS)，∴CF ＝MF ，∴∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD ⊥MC ，理由：由 (1)知，∠MFC = 90°，FD = EF ，FM = FC ，∴∠FDE =∠FMC=45°， ∴DE//CM ，∴AD ⊥MC ．B 组提高练习10．（2019丹东）如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE= 45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE= ∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC·AD=2AE 2；④4ABC ADF S S ∆∆=其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（提示：∵在△ABC 中，AD 和BE 是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F 是AB 的中点，∴FD=12AB ，∵∠ABE=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴AE=BE ，∵点F 是AB 的中点，∴FE ＝12AB ，∴FD ＝FE ，①正确；∵∠CBE=∠BAD ，∠CBE+ ∠C= 90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC= ∠C ，∴AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BC= 2CD ，∠BAD=∠CAD= ∠CBE ，在△AEH 和△BEC 中，,,,AEH CEB AE BE EAH CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEH ≌△BEC(ASA)，∴AH=BC=2CD ，②正确；∵∠BAD= ∠CBE ， ∠ADB=∠CEB ，．．，△ABD ∽△BCE ，BC BE AB AD=，即BC·AD=AB·BE，2AE 2＝AB·AE＝AB·BE，∴BC·AD ＝2AE 2；③正确；∵F 是AB 的中点，BD= CD ，∴24ABC ABD ADF S S S ∆∆∆==．④正确；故选：D ．） 11．（2019丹东）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴上，OA =3，OB=4，连接AB ．点P 在平面内，若以点P\A 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等（点P 与点O 不重合），则点P 的坐标为＿＿(3，4)，(9625，7225)，(2125-，2825)＿＿．(提示：如图所示：①∵OA =3，OB =4，∴P 1(3，4)； ②连结OP 2，设AB 的解析式为y=kx+b ，则30,4,k b b +=⎧⎨=⎩解得4,34.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故AB 解析式为y=43-x ＋4，则OP 2的解析式为y ＝43x ，联立方程组得44,33,4y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得48,253625x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则P 2(9625，7225)；③连结P 2P 3，则四边形AP 2BP 3为平行四边形，则E 为线段AB 和P 2P 3的中点，设P 3(x ，y)，则96032522x ++=，72042522x ++=， ∴x ＝2125-，y ＝2825，∴P 3(2125-，2825)，故点P 的坐标为(3，4)或(9625，7225)或(2125-，2825)．12．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，BM 交CD 于点E ，且点E 为CD 的中点，连接MD ，过点D 作ND ⊥MD 于点D ，DN 交BM 于点N ． （1）若BC ＝22，求△BDE 的周长； （2）求证：NE －ME ＝CM ．解：（1）∵∠ABC ＝45°，CD ⊥AB ，∴在Rt △BCD 中，∠DBC ＝∠DCB ＝45°， ∵BC ＝22， ∴BD ＝CD ＝22×22＝2， ∵点E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ＝21CD ＝21×2＝1， ∴BE ＝5122222=+=+DE BD ，∴△BDE 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝2＋1＋5＝3＋5；（1） 证明：∵CD ⊥AB ，BM ⊥AC ，∴∠ABN ＋∠A ＝90°，∠ACD ＋∠A ＝90°， ∴∠ABN ＝∠ACD ， ∵CD ⊥AB ，ND ⊥MD ，∴∠BDN ＋∠CDN ＝∠CDM ＋∠CDN ＝90°， ∴∠BDN ＝∠CDM ， 在△BDN 和△CDM 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDM BDN CD BD ACD ABN ， ∴△BDN ≌△CDM （ASA ）， ∴DN ＝DM ，∴△DMN 是等腰直角三角形，过点D 作DF ⊥BE 于F ，则DF ＝NF ， ∵BM ⊥AC 于点M ，∴∠DFE ＝∠CME ＝90°， 在△DEF 和△CEM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE DE CEM DEF CME DFE ， ∴△DEF ≌△CEM （AAS ）， ∴DF ＝CM ，EF ＝ME ，∴NE －ME ＝NE －EF ＝NF ＝DF ＝CM ， 即NE －ME ＝CM ．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一元二次方程x 2﹣x+2=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 2．如图，点是矩形的对角线上一点，正方形的顶点、都在边上，，，则的值为( )A.B.C. D.3．下列图形中，的是( )A. B.C. D.4．下列计算正确（ ）A ．222a b a b +=+（） B ．235a a a ⋅=C ．822a a a ÷=D ．325a a a +=5．如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，FG 平分∠EFD ，EG ⊥FG 于点G ，若∠CFN ＝110°，则∠BEG ＝( )A ．20°B ．25°C ．35°D ．40°6．如图，60AOB ∠=，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于,C D 两点，分别以,C D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段6OM =，则M 点到OB 的距离为（ ）A.3B.3C.6D.337．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AC的中点，连接BD，按以下步骤作图：①分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q；②作直线PQ交AB于点E，交BC于点F，则BF=（）A．56B．1 C．136D．528．一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（）A．前一组数据的中位数是200B．前一组数据的众数是200C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去2009．已知：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），∠OAB=60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，则D点的坐标为（）A．（33322-，）B．（33322--，）C．（32，-332）D．（3，-33）10．下列运算正确的是（）A．ab•ab＝2ab B．（3a）3＝9a3C ．4a ﹣3a ＝3（a≥0）D ．a ab b=（a≥0，b≥0） 11．如果a 2+2a ﹣1＝0，那么代数式(a ﹣4a )•22a a -的值是( )A.1B.12C.2D.212．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，折叠△ABC 使得点C 落在AB 边上的E 处，连接DE 、CE ，下列结论：①△DEB 是等腰直角三角形；②AB ＝AC+CD ；③BE BDAC AB= ；④S △CDE ＝S △BDE ．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．把多项式ax 2+2a 2x+a 3分解因式的结果是_____．14．如图所示，四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点E ，且BD BC =，30ACD ∠=︒，若19AB =，7AC =，则CE 的长为_____．15．如图，直线l 为y=3x ，过点A 1（1，0）作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x 轴于点A 3；……，按此作法进行下去，则点A n 的坐标为（_______）．16．计算：30＝_____；＝_____．17．截止到2018年5月31日，上海世博园共接待游客约8000000人，将数8000000用科学记数法表示为________. 18．函数15x y x -=+中，自变量x 的取值范围是________. 三、解答题19．先化简，再求值：（a ﹣2b ）（a+2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2，其中a ＝﹣6，b ＝1320．大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C 点处竖立一根标杆CD ，此时，小花测得标杆CD 的影长CE ＝2米，CD ＝2米；然后，小风从C 点沿BC 方向走了5.4米，到达G 处，在G 处竖立标杆FG ，接着沿BG 后退到点M 处时，恰好看见紫云楼顶端A ，标杆顶端F 在一条直线上，此时，小花测得GM ＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM ＝1.5米，FG ＝2米．如图②，已知AB ⊥BM ，CD ⊥BM ，FG ⊥BM ，HM ⊥BM ，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB ．21．如图，为了测量建筑物AD 的高度，小亮从建筑物正前方10米处的点B 出发，沿坡度i ＝1：3的斜坡BC 前进6米到达点C ，在点C 处放置测角仪，测得建筑物顶部D 的仰角为40°，测角仪CE 的高为1.3米，A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，且建筑物和测角仪都与地面垂直求建筑物AD 的高度．（结果精确到0.1米参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73）22．（1）计算：()112cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭（2）解方程：4501x x -=- 23．为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：环境空气质量指数（ ）30 40 70 80 90 110 120 140 天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…根据上述信息，解答下列问题：（1）请补全空气质量天数条形统计图：（2）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；（3）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？24．在2018年梧州市体育中考中，每名学生需考3个项目（包括2个必考项目与1个选考项目）每个项目20分，总分60分．其中必考项目为：跳绳和实心球；选考项目：A篮球、B足球、C排球、D立定跳远、E50米跑，F女生800米跑或男生1000米跑．某兴趣小组随机对同学们的选考项目做了调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的条形统计图与扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名学生，扇形统计图中C对应的圆心角的度数为；（2）在本次调查的必考项目的众数是；（填A、B、C、D、E、F选项）（3）选考项目包括球类与非球类，请用树状图或列表法求甲、乙两名同学都选球类的概率．25．已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+3与x轴的一个交点为（1，0），顶点记为A，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．（1）求抛物线C2的函数表达式；（2）若抛物线C2与x轴正半轴的交点记作B，在x轴上是否存在一点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C B C A C D A D A C 二、填空题13．a（x+a）214．16 515．2n﹣1，016．17．18．5x>-三、解答题19．-8【解析】【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【详解】原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab，当a＝﹣6，b＝13时，原式＝﹣8．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．紫云楼的高AB为39米．【解析】【分析】根据已知条件得到AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE＝2，CD＝2，∴AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，∵∠ANH＝∠FPH＝90°，∠AHN＝∠FHP，∴△ANH∽△FPH，∴AN NH PF PH =，即 1.560.50.6x x -+=， ∴x ＝39，∴紫云楼的高AB 为39米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 21．建筑物AD 的高度约为17.1米． 【解析】 【分析】延长EC 交AB 于F ，作EM ⊥AD 于M ，根据坡比的定义求出,BF CF ,根据正切的定义求出DM ,计算即可. 【详解】解：延长EC 交AB 于F ，作EM ⊥AD 于M ，如下图所示：则四边形MAFE 为矩形， ∴MA ＝EF ，ME ＝AF ，∵斜坡BC 的坡度13i ＝：，BC ＝6， ∴CF ＝3，33 5.19BF ≈＝， ∴15.19 4.3ME AF EF ＝＝，＝，在Rt DEM △中，DMtan DEM ME∠＝， ∴•15.190.8412.76DM ME tan DEM ∠≈⨯＝＝ ，∴ 4.312.7617.0617.1AD DM AM ++≈＝＝＝， 答：建筑物AD 的高度约为17.1米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题关键.22．（1）31+；（2）5x =. 【解析】 【分析】（1）根据整数指数幂的运算以及特殊三角函数值计算即可； （2）根据解分式方程的步骤解即可，注意要验根. 【详解】（1）()112cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭=321+22⨯-， =31+； （2）4501x x-=- ， 去分母得：4x-5(x-1)=0 去括号得，4x-5x+5=0 移项得，4x-5x=-5， 合并，得：-x=-5， 系数化为1，得：x=5.经检验，x=5是原分式方程的解. 【点睛】本题主要考查了实数的运算以及解分式方程，计算时一定要细心，分式方程要检验. 23．（1）见解析；（2）见解析；（3）219天． 【解析】 【分析】（1）由题意，可得轻度污染的天数，即可补全条形统计图.（2）由题意，得优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°. （3）由18÷30得出每天适合做户外运动的概率，再由得出的概率乘以365即可得到答案. 【详解】解：（1）由题意，得轻度污染的天数为：30﹣3﹣15=12天．（2）由题意，得优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°（3）该市居民一年（以365天计）适合做户外运动天数为：18÷30×365=219天．【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，解题的关键是读懂条形统计图和扇形统计图中包含的信息.24．（1）50，108°；（2）C；（3）1 4【解析】【分析】（1）用足球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用360°乘以C所占的百分比得到C的扇形圆心角度数；（2）根据众数的定义求解可得；（3）画树状图展示所有36种等可能的结果数，找出都选球类的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）5÷10%＝50名，答：在这次调查中，一共调查了50名学生，扇形统计图中C对应的圆心角的度数为360×1550＝108°，（2）在本次调查的必考项目的众数是C；（3）画树状图如图所示，共有36种等可能的结果，甲、乙两名同学都选球类的有9种情况，∴则P（甲、乙两名同学都选球类）＝936＝14．【点睛】本题主要考查数据统计里的知识，关键在于根据树状图计算概率.这道题的综合性比较强，是考试的热点问题,应当熟练掌握.25．（1）y＝﹣x2+2x+3；(2) 点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣42，0）或（3+42，0）或（﹣1，0）【解析】【分析】（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，解得b＝﹣2，所以抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，由抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．所以抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，所以B（3，0），OB＝3，A（﹣1，4），AB＝42，①当AP＝AB＝42时，PB＝8，P1（﹣5，0）②当BP＝AB＝42时，P2（3﹣42，0），P3（3+42，0）③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，PA＝PB＝4，P4（﹣1，0）．【详解】解：（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，﹣1+b+3＝0，解得b＝﹣2∴抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，∴抛物线C1顶点坐标A（﹣1，4），与y轴交点（0，3），∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．∴抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴B（3，0），OB＝3，∵A（﹣1，4），∴AB＝42，①当AP＝AB＝42时，PB＝8，∴P1（﹣5，0）②当BP＝AB＝42时，P2（3﹣42，0），P3（3+42，0）③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，∴PA＝PB＝4，∴P4（﹣1，0）综上，点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣42，0）或（3+42，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．三角形 B ．菱形 C ．角 D ．平行四边形 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．B ．C ．D．3．在直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别减去正数a （a ＞1），那么所得的图案与原图案相比（ ）A ．形状不变，大小扩大到原来的a 倍B ．图案向右平移了a 个单位长度C ．图案向左平移了a 个单位长度，并且向下平移了a 个单位长度D ．图案向右平移了a 个单位长度，并且向上平移了a 个单位长度 4．如图所示的几何体的俯视图是( )A. B. C. D.5．若代数式42x -的值与0(1)-互为相反数，则x =（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．46．若整数a 使关于x 的不等式组()222233a xx x x +⎧≥-⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩的解为2x <，且使关于x 的分手方程15444x a x x -++=---的解为正整数，则满足条件a 的的值之和为（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．97．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，将△ABC 折叠，使B 点与AC 的中点D 重合，折痕为EF ，则线段BF 的长是（ ）A．53B．2 C．166D．73168．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2，x2＝4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．29．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB 的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°10．计算a2•（a2）3的结果是（）A.a7B.a10C.a8D.a1211．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝34，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB是（）（结果取整数，参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50）A.300米B.250米C.400米D.100米12．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A．b2＞4acB．ax2+bx+c≥﹣6C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1D ．若点（﹣2，m ），（﹣5，n ）在抛物线上，则m ＞n二、填空题13．问题背景：如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，42MG =．点O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________14．在实数范围内分解因式4m 4﹣16=_____．15．如图是一组有规律的图案，第个图案由个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案中由____个基础图形组成．16．某学校准备购买某种树苗，有A ，B ，C 三家公司出售．查阅有关信息：A ，B ，C 三家公司生产该树苗的成活频率分别稳定在0.902，0.913，0.899，该学校选择成活概率大的树苗，应该选择购买_____公司．17．如图，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，AC ＝3，AB ＝5，AB 的垂直平分线分别交BC ，AB 于D ，E ，则BD 的长为_____．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则PD+12PC 的最小值等于_____．三、解答题19．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝m x的图象在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴于D ，若OB ＝3，OD ＝6，△AOB 的面积为3．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当x ＞0时，比较kx+b 与m x的大小．20．化简：（1）a （a ﹣b ）﹣（a+b ）（a+2b ）；（2）2233222a a a a a a -⎛⎫÷-- ⎪++⎝⎭21．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝3，AC ＝4，求线段PB 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中. 已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x=1.（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.23．如图,在平面直角坐标系中,直线y=34x+6与x 、y 轴分别交于点A,点B,双曲线的解析式为k y x=(1)求出线段AB的长(2)在双曲线第四象限的分支上存在一点C,使得CB⊥AB,且CB=AB,求k的值;(3)在(1)(2)的条件下,连接AC,点D为BC的中点,过D作AC的垂线BF,交AC于B,交直线AB于F,连AD,若点P为射线AD上的一动点,连接PC、PF,当点P在射线AD上运动时,PF2-PC2的值是否发生改变?若改变,请求出其范围;若不变,请证明并求出定值。
2019中考数学专题复习全等模型手拉手模型综合训练
手拉手模型综合—.手拉手1. 如图，四边形ABCD BEFG匀为正方形，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转B 角(0°v B V 180 ° ),如图2，连接AG CE相交于点M,连接MQ 求/ EMB的度数.2. 已知△ ABC 中,AB=AC①如图1 ,在厶ADE中，若AD=AE 且/ DAE=Z BAC,求证：CD=BE②如图2,在厶ADE中，若/ DAE=Z BAC=60°,且CD垂直平分AE, AD=3, CD=4,求BD的长；二.脚拉脚【例】已知：在Rt△ ABC中，AB=BC在Rt△ ADE中, AD=D,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM如果将图①中的厶ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么BM和DM有什么关系?证明：延长DM至点P,使得DM=DB g接BP,BD,CP •••△EDI W^ CPM(SAS••• ED=PC/EDM^CPM••• ED//PC•••/ DHC=90vZ ABC=90•••/ BAD Z BCP•••△ ADB^A CPB(SAS••• BD=BP Z ABD Z CBP•••为等腰直角三角形【例】已知：在Rt△ ABC中, AB=BC 在Rt△ ADE中, AD=DE 连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM如果将图①中的厶ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么BM和DM t什么关系？Q方法二：手拉手模型+中位线证明：作AQL AC交CB延长线于Q,作AP I AE交ED延长线于P,连接QE,PC •••△ AEQ^A APC( SAS••• EQ=PC,E Q PC••• BM//EQ BM=EQDM//PC , DM=PC••• DM=BMDML BM3. 已知正方形ABCD和正方形CGEF ,且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF .(1)_______________________________________________________ 如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是_______________________ .2 )如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，则(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明.4. 如图，BAC 60，CDE 120，AB AC，DC DE，连接BE, P 为BE的中占八、、・(1)如图1,若A C D三点共线，求PAC的度数；(2)如图2,若A、C、D三点不共线，求证: AP DP;5. 如图，△ ABC 中，A 吐AC, / ABC=a ，在四边形 BDEC 中，D 吐 DE / BDE= 2 a ，M 为CE 的中点，连接AM DM① 在图中画出△ DEM^于点M 成中心对称的图形 ② 求证：AML DM ③ 当 a = _____ ，AM= DME三•爪型6. 如图，等边△ ABC内一点，E吐4, AE= 2.3，/ AEG= 150° 时，贝U CE长为S7. 如图所示，△ ABC^n^ AEF为等边三角形，点E在厶ABC内部，且E到点A、B C的距离分别为3、4、5,求/ AEB的度数图I8. 在厶ABC中，/ BAC=60 .(1)如图1,若AB=AC 点P 在厶ABC内，且/ APC=150，PA=3 PC=4 把厶APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B,得到△ ADB连结DP.直接写出PB 的长；(2)如图2,若AB=AC 点P在厶ABC外,且PA=3 PB=5 PC=4 求/ APC的度数；(3)如图3,若AB=2AC 点P在厶ABC内，且PA=/3 , PB=5 / APC=120，直接写出PC的长.四•训练9.如图，AB= AD AC= AE / BAD=Z CAE(1)求证：△ ABC^A ADE(2)若AC= 9, AD= 12, BE= 15，请你判断△ ABE勺形状并说明理由.10.问题原型：如图①，在锐角厶ABC中，/ ABC= 45°, ADL BC于D,在AD上取点E,使DE= CD 连结BE 求证：BE= AC问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M使FM= EF,连结CM(1 )判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由.AE! AB AF L AC AE= AB, AF= AC试判断线段EC与BF的关系并证明.11•如图所示，已知ABCD中, AB// DC E是BC的中点，若AE是/ BAD勺平分线,试探究AB, AD DC之间的等量关系，证明你的结论;(2)如图②，在四边形ABCDh，AB// DC AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是/ BAF的平分线，试探究AB AF, CF之间的等量关系，证明你的结论.13•如图，四边形ABC呼，对角线AC BD交于点Q AB= AC,点E是BD上一点，且AE= AD / EAD=Z BAC(1 )求证：/ ABD=Z ACD(2)若/ ACB= 65 °，求/ BDC的度数.14.如图，四边形ABCDK DC/ AB BDL AD / A= 45°, E, F分别是AB CD上的点，且BE= DF 连接EF交BD于Q(1)求证：BQ= DQ(2 )若EFL AB延长EF交AD的延长线于G,当FG= 1时，求AE的长.15.如图所示，已知四边形ABCD AD// BC / A= 90°, BC= BD CEL BD垂足为点E.(1)求证：△ ABD^A ECB(2)若/ DBC= 50 °，求/ DCE的度数.16•如图，/ BAE=Z CAF= 90°, EC BF相交于点M AE= AB AC= AF,(1.求证：(1) EC= BF(2) ECL BF（3）若条件/ BAE=Z CAF= 90°改为/ BAE=Z CAF= m，则（1 ）、（2）两个结论还成立（只回答不写过程）17•问题情境：如图1,在直角三角形ABC中，/ BAC= 90°, AD L BC于点D,可知：/ BAD =Z C （不需要证明）特例探究：如图2,Z MA W 90 °，射线AE在这个角的内部，点B C在/ MAN勺边AM AN上，且AB= AC CF! AE于点F, BD L AE于点D.证明：△ ABD^^ CAF18.已知：△ ABC^^ EDC(1 )若DE/ BC(如图1),判断△ ABC 的形状并说明理由.(2)连结BE 交AC 于F ,点H 是CE 上的点，且CHh CF,连结DH 交 BE 于K (如图2).求19•在△ ABC 中, AB= AC 点D 是射线CB 上的一动点(不与点 B 、C 重合)，以 AD 为一边 在AD 的右侧作厶ADE 使AD= AE / DAE=Z BAC 连接 CE(1) _______________________________________________________ 如图1,当点D 在线段CB 上，且/ BAC= 90°时，那么/ DCE= ___________________________ 度；(2) 设/ BAC=a,Z DCE=3.① 如图2，当点D 在线段CB 上，/ BAO 90°时，请你探究a 与B 之间的数量关系，并证明 你的结论；② 如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，/ BAO 90°时，请将图3补充完整，并直接写出 此时a 与B 之间的数量关系(不需证明)EJ心;/ A 3 图1图2 BJ 图3 20.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1,在厶ABC^n ^ ADE 中，/ ACB=Z AED= 90°, AC= AE BC =DE 连接CE 交BD 于点F .求证：BF = DF小明经探究发现，过B点作/ CB G/ EDF交CF于点G(如图2),从而可证厶DEF^A BCG 使问题得到解决(1)请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程：参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：(2)如图3,在厶ABC与△ BDE中，/ ABC=Z BDE BC= DE AB= BD CF EG分别为ABBD的中线，连结FG并延长交CE于点H,是否存在与CH相等的线段？若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由.。
【怀化专版】2019届中考数学总复习试题：专题1_阴影部分图形的有关计算_含答案
第三编 综合专题闯关篇,中考重难点突破)求阴影部分图形面积【例1】(2015怀化一模)如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD＝60°，AB ＝2，则图中阴影部分的面积为________．【解析】要求不规则图形的面积，可转化成规则图形面积的和差关系求解．如解图，连接OA ，OB ，OC ，则旋转角为∠AOC＝90°，且∠OCD＝∠OAD，又∵∠BAD ＝60°，四边形ABCD 是菱形，∴∠CBA ＝120°，∠BCD ＝60°，∵∠CBA ＋∠BCO＋∠COA＋∠OAB＝360°，∴∠OCD ＝∠OAD＝15°，∴∠BAO ＝∠BCO＝75°，∴∠AOB ＝45°，由题意知△ABD 是等边三角形，作BD 边上的高AE ，∵AB ＝2，∴AE ＝3，OE ＝AE ＝3，∴OD ＝3－1，∴S △AOD ＝12×(3－1)×3＝32－32.根据旋转的特征可知S 阴影部分＝8S △AOD＝8×(32－32)＝12－4 3.【学生解答】12－4 3【点拨】求阴影部分面积往往都是不规则图形，所以把不规则的图形的面积问题转化为规则图形的面积是解决这类问题的主要思路，以下介绍几种常用的方法：1.和差法：不改变图形的位置，用规则图形面积的和或差表示，经过计算即得所求图形面积；2.移动法：通过平移、旋转、割补、等体积变换等将图形的位置进行移动求解；3.代数法：借助于列方程(组)，通过解方程求解．本题则是通过作辅助线把不规则图形转化为规则图形，利用和差关系算出部分阴影面积，进而计算出全部阴影图形的面积．1．(2016怀化二模)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF ，EG 分别交BC ，DC 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( D )A .23a 2B .14a 2C .59a 2D .49a 2(第1题图)(第2题图)2．(2015泰安中考)如图，半径为2 cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( A ) A ．(π2－1)cm 2 B ．(π2＋1)cm 2C ．1 cm 2D .π2cm 23．(2016常德中考)如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的面积是__3π__．(第3题图)(第4题图)4．(2016毕节中考)如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为__π2－1__．5．(2015绵阳中考)如图，⊙O 的半径为1 cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，则图中阴影部分面积为__π6__cm 2.(结果保留π)(第5题图)(第6题图)6．(2015广东中考)如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是__4__．7．(2016连云港中考)如图，⊙P 的半径为5，A ，B 是圆上任意两点，且AB ＝6，以AB 为边作正方形ABCD(点D ，P 在直线AB 两侧)．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为__9π__．(第7题图)(第8题图)8．如图所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于__163π__．9．(2016鹤城模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BDMC ，四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于__18__．(第9题图)(第10题图)10．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠DAB ＝60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得菱形AB′C′D′，其中点C 的运动路径为CC ︵′，则图中阴影部分的面积为42．求阴影部分图形的周长【例2】(2016原创)如图，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 方向平移得到△A 1B 1C 1，若AB ＝3，△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分的面积为2，则重叠部分图形的周长为________． 【解析】∵△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝3，∴S △ABC ＝3×3×12＝92，又∵△A BC 与△HB 1C 相似，∴S △ABC ∶S 阴影＝(AB B 1H)2，∴B 1H ＝2，在△HB 1C 中，B 1C ＝2B 1H ＝22，∴△B 1HC 周长为2＋2＋22＝4＋2 2. 【学生解答】4＋2 2【点拨】此类问题涉及到的阴影部分图形一般为不规则的图形，解决的方法有以下三种：1.在规则图形中找与所求图形存在数量关系的边，利用勾股定理或锐角三角函数求得线段长度，有时会涉及到弧长；2.将所求图形进行平移、拼接，转化为规则图形的和差关系求解；3.构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解．此题阴影部分为规则的三角形，且已知直角三角形的边与阴影部分的面积，首先应考虑运用相似三角形相似比及勾股定理，求出阴影部分图形的边长，进而计算出周长．11．(2016沅陵模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12 cm ，BC ＝6 cm ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1，D 1处，则整个阴影部分图形的周长为( B )A ．72 cmB ．36 cmC ．18 cmD ．30 cm(第11题图)(第12题图)12．(2017怀化中考预测)如图，矩形花坛ABCD的周长为36 m，AD＝2AB，在图中阴影部分种植郁金香，则种植郁金香部分的周长约为( B)A．18.84 m B．30.84 mC．42.84 m D．48 m13．(2016溆浦模拟)把四张大小相同的长方形卡片(如图①)按图②、图③两种方式放在一个底面为长方形(长比宽多 6 cm)的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为C2，图③中阴影部分的周长为C3，则( B)A．C2＝C3B．C2比C3大12 cmC．C2比C3小6 cm D．C2比C3大3 cm14．如图所示，两个面积都为6的正六边形并排摆放，它们的一条边相互重合，那么图中阴影部分的面积为( B)A．2 B．3 C．4 D．6,(第14题图)) ,(第15题图)) 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若BC＝16，AB＝10，则图中阴影部分的面积是( B)A．12 B．24 C．36 D．4816．如图，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为__8__．17．(2016洪江模拟)如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得到新正方形A′B′C′D′，则新正方形与原正方形重叠部分四边形A′NCM的周长是__．(第17题图)(第18题图)18．(2016芷江模拟)如图，两个全等的正六边形ABCDEF，PQRSTU，其中点P位于正六边形ABCDEF的中心，如果它们的边长均为1，PU，PQ与FE，CD的交点为M，N，且PM＝0.6，则阴影部分的周长是__3.2__．19．(2016原创)如图，菱形花坛ABCD的周长为36 cm，∠B＝60°，其中由两个正六边形拼接而成的图形部分种花，其余“四个角”是绿草地，则种花部分的图形的周长(不计拼接重合的边)为__33__cm.(第19题图)(第20题图)20．如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(阴影部分)的周长为．21．(2016黄石中考)如图所示，正方形ABCD对角线AC所在的直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形绕点O顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是__2π＋2__．,(第21题图)) ,(第22题图))22．(2016白银模拟)如图，四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__12__．。
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D D E
O C B
O
相像模型（一）（讲义） ➢ 课前预习
1. 请证明以下结论： ①如图 1，在△ABC 中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC． ②如图 2，在△ABC 中，∠B=∠AED，求证：△AED∽△ABC． ③如图 3，在△ABC 中，∠B=∠ACD，求证：△ACD∽△ABC． ④如图 4，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC，BD，且 AC∥BD，求证：△AOC∽△BOD． ⑤如图 5，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC，BD，∠B= ∠C，求证：△AOC∽△DOB． ⑥如图 6，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， 求证：△ADB∽△CDA，△ADB∽△CAB．
A A A
B C B C B C 图 1 图 2 图 3
D B A
A C A D B D C 图 4 图 5 图 6
D E D D D E
断定
G
➢ 学问点睛 1. 六种相像根本模型： A A A
E B C B C B C DE∥BC ∠B=∠AED ∠B∠ACD A 型 D B C A
B
O O
A C A D B D C
AC∥BD ∠B∠C
AD 是 Rt△ABC 斜边上的高
X 型 母子型
2. 相像、角相等、比例线段间的关系：
角相等比例线段 相像 性质 角相等
比例线段 列方程（或表达边） 比的传递转移
相像往往与 等信息组合搭配起来运用．多个相像之间一般会通过 来转移条件．一般遇到不熟识的线段间关系时，常须要复原成 来视察和分析． 3. 影子上墙： 、 、 是影子上墙时的三种常见处理方式，它们的本质是构造三角形相像． D A
G E F B C
D D D
H
H G G E F H E F E F △DEH∽△ABC △DHG∽△ABC △HEF∽△ABC
当两个三角形相像且有公共边时， 借助对应边成比例往往可以得到 a2=bc 形式的关系． 例如：“母子型”中 △ABD∽△CBA→AB2=BC·BD △ACD∽△BCA→ △ADB∽△CDA→ E D F
D E
G
➢ 精讲精练 1. 如图，在△ABC 中，EF∥DC，∠AFE=∠B，AE=6，ED=3， AF=8，则 AC= A ， CD ．
BC
A B
C D B C
第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，AB∥CD，线段 BC，AD 相交于点 F，点 E 是线段 AF 上一点且满意∠BEF=∠C，其中 AF=6，DF=3，CF=2，则AE= ． 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，BD=2， AD=8，则 CD= ，AC= ，BC= ． A C
B C
A D B F 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为 2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点 A 旋转，AF， AG 与边 BC 的交点分别为 D，E（点 D 不与点 B 重合，点 E 不与点 C 重合）． ①请写出图中全部的相像三角形 ；
②若 BD 1 ，则 CE= . 2
E F F G C D
4 5 5
5. 如图，M 为线段 AB 上一点，AE 与 BD 交于点 C，∠DME= ∠A=∠B=α，且 DM 交 AE 于点 F，ME 交 BD 于点 G． （1）写出图中的三对相像三角形； （2）连接 FG，当 AM=MB 时，求证：△MFG∽△BMG．
A M B
E 6. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点，连接 BE 交 AC 于点 F，连接 FD．若∠BFA=90°， 给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD；②△FED 与△DEB； ③△CFD 与△ABO．其中相像的有 （填写序号）．
A E D
F
O B C
7. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CE⊥AB 于点 E，D 在 AB 的延长线上，且∠DCB=∠A，BD:CD=1:2， AE ，则 △BCD 的面积是（ ） A． 1 3 B． 5 3 C． 2 3 D． 2 5
3
C
A E B D E A N M
A G D F
A E 8. 如图，在 Rt△ABD 中，过点 D 作 CD⊥BD，垂足为 D，连接 BC 交AD 于点E，过点E 作EF⊥BD 于点F，若AB=15，CD=10，则 BF:FD= ． A C D B F D B E C 第 8 题图 第 9 题图 9. 如图，在□ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE，AC，分别交 BD 于 M，N，则 BM:DN= ． 10. 如图，直线 l1∥l2，若 AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则CE:AE= ． E G A l1 F E l2 B C D B C 第 10 题图 第 11 题图 11. 如图，在□ABCD 中，E 是 BA 延长线上一点，CE 分别与 AD， BD 交于点 G，F．则下列结论：① EG AG ；② EF BF ； GC GD ③ FC BF ；④ CF 2 GF EF ．其中正确的是 GF FD FC FD ． 12. 如图所示，AB∥CD，AD，BC 交于点 E，过 E 作 EF∥AB 交 BD 于点 F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；② EF BF ； ③ EF EF FD BF CD BD 1 ；④ 1 1 1 ．其中正确的 AB CD BD BD 有 ． AB CD EF C B F
D 13. 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，正方形 EFGH 的四个 顶点都在△ABC 的边上．求证： 1 1 1 ． AB CD EF
C
A H D G B
14. 数学爱好小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发觉树的影子不全落在地面上，有一局部影子落在教学楼的墙壁上（如图），这局部影长为 1.2 米，落在地面上的影长为 2.4 米，则树高为 ．
A D B C
第 14 题图 第 15 题图 15. 小阳发觉电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上， 量得 CD=8 米，BC=20 米，CD 与地面成 30°角，且此时测得 1 米杆的影长为 2 米，则电线杆的高度为（ ） A．9 米 B．28 米 C． (7 3) 米 D． (14 2 3) 米
E F 16. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是程度的，在阳光的照耀下，塔影 DE 留在坡面上．若铁塔底座宽 CD=12 m，塔影长 DE=18 m，小明和小华的身高都是 1.6 m，同一时刻小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2 m 和 1 m， 则塔高 AB 为（ ） A．24 m B．22 m C．20 m D．18 m A
C B D
E 【参考答案】 ➢ 课前预习 1. 证明略； ➢ 学问点睛
2. 角相等、比例线段，比例的传递与整合，比例形式 3. 推墙法、抬高地面法、砍树法框内答案 框 1： AC 2 BC CD ； AD2 CD DB ．
➢ 精讲精练
1. 12， 3 4
2. 10 3
3. 4， 4 5 ， 2 4. ①△ABE∽△DAE；△DAC∽△DEA；△ABE∽△DCA；△ABC ≌△GAF．
② 2 ． 3 5. （1）△AMF∽△BGM；△AME∽△MFE；△BMD∽△MGD； （2）证明略． 6. ①②③ 7. A 8. 3:2 9. 2:3 10. 1:2 11. ①②③④ 12. ①②③④ 13. 证明略 14. 4.2 米 15. D 16. A
5