2020中考数学专题复习之圆的有关性质解答题专项练习题2(附答案详解)
2020中考数学专题复习之圆的有关性质解答题专项练习题2（附答案详解） 1．已知，在△PAB中，PA＝PB，经过A、B作⊙O．
（1）如图1，连接PO，求证：PO平分∠APB； （2）如图2，点P在⊙O上，PA：AB＝10：2，E是⊙O上一点，连接AE、BE．求tan∠AEB的值； （3）如图3，在（2）的条件下，AE经过圆心O，AE交PB于点F，过F作FG⊥BE于点G，EF+BG＝14，求线段OF的长度． 2．如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，
连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝13，BC＝6．
（1）求证：∠COD＝∠BAC； （2）求⊙O的半径OC； （3）求证：CF是⊙O的切线． 3．如图1，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B、
C两点，且BC＝8，连接AB． （1）求证：∠ABO1＝∠ABO； （2）求AB的长； （3）如图2，⊙O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，求出BM﹣BN的值． 4．如图，已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．
（1）求证：∠ACD=∠ACF； （2）当AD⊥CD，BE=2cm，CF=8cm，求AD的长． 5．如图，AB是⊙O的直径，弦EFAB,垂足为C，30A，连结BE，M为BE
的中点，连结MF，过点F作直线//FDAE，交AB的延长线于点D．
（1）求证：FD是⊙O的切线； （2）若7MF，求⊙O的半径 6．如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相
切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD=∠BAD． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若BC=6，tan∠ABC=43，求AD的长． 7．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23．点P，Q分别是BC，AD边上的
一个动点，连结BQ，以P为圆心，PB长为半径的⊙P交线段BQ于点E，连结PD． （1）若DQ＝3且四边形BPDQ是平行四边形时，求出⊙P的弦BE的长； （2）在点P，Q运动的过程中，当四边形BPDQ是菱形时，求出⊙P的弦BE的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．
8．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作⊙O切线EF交BA的延长线于F. (1)如图1，求证：EF∥AC； (2)如图2，OP⊥AO交BE于点P，交FE的延长线于点M.求证：△PME是等腰三角形； (3)如图3，在(2)的条件下：EG⊥AB于H点，交⊙O于G点，交AC于Q点，若sinF=35，
EQ=5，求PM的值. 9．如图，在ABCV中，ABAC，Oe是ABCV的外接圆，连结OA、OB、OC，
延长BO与AC交于点D，与Oe交于点F，延长BA到点G，使得BGFGBC，连接FG.
备用图 （1）求证：FG是Oe的切线； （2）若Oe的半径为4. ①当3OD，求AD的长度； ②当OCDV是直角三角形时，求ABCV的面积. 10．如图，Oe是ABCV的外接圆，AB为Oe的直径，在ABCV外侧作
CADCAB，过点C作CDAD于点D，交AB延长线于点P.
（1）求证：PC是Oe的切线； （2）若1tan2BCP，245(0)ADBCmm，求Oe的半径；（用含m的代数式表示） （3）如图2，在（2）的条件下，作弦CF平分ACB，交AB于点E，连接BF，且52BF，求线段PE的长. 11．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的
切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G． （1）求证：FC＝FB； （2）求证：CG是⊙O的切线； （3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．
12．如图，四边形ABCD内接于Oe，90BAD，AC是对角线。点E在BC的
延长线上，且CEDBAC．
（1）判断DE与Oe的位置关系，并说明理由； （2）BA与CD的延长线交于点F，若//DEAC，4AB，2AD，求AF的长． 13．MN是Oe上的一条不经过圆心的弦，4MN，在劣弧MN和优弧MN上分别
有点A,B（不与M,N重合），且»»ANBN，连接,AMBM.
（1）如图1，AB是直径，AB交MN于点C，30ABM，求CMO的度数； （2）如图2，连接,OMAB，过点O作//ODAB交MN于点D，求证：290MODDMO；
（3）如图3，连接,ANBN，试猜想AMMBANNB的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由. 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，∠C=2∠BAD．
（1）求∠BOD的度数； （2）求证：四边形OBCD是菱形； （3）若⊙O的半径为r，∠ODA=45°，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）． 15．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE． （1）求证：DA=DE； （2）若AB=6，CD=43，求图中阴影部分的面积．
16．如图，四边形ABCD内接于Oe，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上
一点，1602CDECDF．
1求证：ABCV是等边三角形；
2判断DA，DC，DB之间的数量关系，并证明你的结论． 17．已知：ACD内接于Oe，ACAD，直径AB交弦CD于点H. （1）如图1，求证：ABCD； （2）如图2，连接CO并延长交AD于点E，弦MN经过点E，交AC于点F，若MFEN，求证：AECF；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P为线段CH上一点，连接AP，PF，FPCAPD，AP交CE于点G，连接GH，7GH，25EF，求线段OG的
长. 18．如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，
连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB． （1）求证：AH是⊙O的切线； （2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值； （3）若23DFFO，求证：CD＝DH．
19．已知抛物线y＝mx2+2mx+n与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴的负半轴交于
点C． （1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）点C关于x轴的对称点为点D，当点D在以AB为直径的半圆上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的情况下，在抛物线上是否存在一点P，使BP，BD，AB三条之中，其中一条是另两条所夹角的角平分线？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的
延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH． （1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积； （3）在（2）的条件下，求HG的长．
21．如图，已知P为锐角MAN内部一点，过点P作PBAM于点B，
PCAN
于点C，以PB为直径作Oe，交直线CP于点D，连接,APBD，AP交Oe于点E.
（1）求证：BPDBAC.
（2）连接,EBED，当tan2MAN，25AB时，在点P的整个运动过程中. ①若45BDEo，求PD的长. ②若BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长. （3）连接,OCEC，OC交AP于点F，当tan1MAN，//OCBE时，记OFP
的面积为1S，CFE的面积为2S，请写出12SS的值. 22．如图，点B、C、D都在Oe上，过点C作ACBDP交OB延长线于点A，连接
CD，且30CDBOBDo，63cmDB． （1）直线AC与Oe有怎样的位置关系？为什么？ （2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留）
23．如图①，直线CD与以线段OB为直径的半⊙A相切于点C，连接OC、BC，作OD⊥CD，
垂足为D，OB＝10，
（1）求证：∠OCD＝∠OBC； （2）如图②，作CE⊥OB于点E，若CE＝AE，求线段OD的长； （3）如图③，在（2）的条件下，以O点为原点建立平面直角坐标系求△DOB外接圆的圆心坐标． 以下是优优和乐乐两位同学对第（3）小题的讨论 优优：这题很简单嘛，我只要求出这个三角形任意两条边的中垂线解析式，然后求交点坐标就行了．乐乐：我还有其他的好方法． 如果你是乐乐，你会怎么做？ 24．已知锐角△ABC内接于圆O，D为弧AC上一点，分别连接AD、BD、CD，且∠ACB＝90°﹣12∠BAD．
2020人教版中考数学圆的有关性质word专项练习
圆的有关性质一、选择题1、（2016泰安一模）如图，以点P为圆心，以为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为（）A．（4，）B．（4，2） C．（4，4） D．（2，）【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．【分析】过点P作PC⊥AB于点C，利用垂径定理以及结合点A和点B的坐标即可得出点C 的坐标，即可得出AC的长度，从而可得出PC的长度，且点P位于第一象限，即可得出P 的坐标．【解答】解：过点P作PC⊥ AB于点C；即点C为AB的中点，又点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），故点C（4，0）在Rt△ PAC中，PA=，AC=2，即有PC=4，即P（4，4）．故选C．2、（2016枣庄41中一模）如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥ CD交AB于点M，CN⊥ CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（）A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为48【考点】垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理．【分析】过圆心O作OE⊥ CD于点E，则OE平分CD，在直角△ ODE中利用勾股定理即可求得OE的长，即梯形DMNC的中位线，根据梯形的面积等于OE•CD即可求得．【解答】解：过圆心O作OE⊥ CD于点E，连接OD．则DE=CD=×6=3．在直角△ODE中，OD=AB=×10=5，OE===4．则S四边形DMNC=OE•CD=4×6=24．故选A．3、(2016·上海普陀区·一模)下列命题中，正确的是（）A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．弦的垂直平分线必经过圆心【考点】命题与定理．【分析】根据有关性质和定理分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；B、不在一条直线上的三点确定一个圆，错误；C、平分弦的直径不一定垂直于弦，错误；D、弦的垂直平分线必经过圆心，正确；故选D【点评】此题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．4、(2016·山东枣庄·模拟)如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①②③④ C．②③④D．①③④【考点】垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形．【专题】几何图形问题．【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，∴ OA⊥BC，故①正确；∵ ∠ D=30°，∴ ∠ ABC=∠ D=30°，∴ ∠ AOB=60°，∵ 点A 是劣弧的中点，∴ BC=2CE，∵ OA=OB，∴ OA=OB=AB=6cm， ∴ BE=AB•cos30°=6×=3cm ， ∴ BC=2BE=6cm ，故②正确；∵ ∠ AOB=60°， ∴ sin∠AOB=sin60°=， 故③正确；∵ ∠ AOB=60°，∴ AB=OB，∵ 点A 是劣弧的中点，∴ AC=AB，∴ AB=BO=OC=CA，∴ 四边形ABOC 是菱形，故④正确．故选：B ．【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题．5、(2016·陕西师大附中·模拟)如图，⊙O 的半径为2，弦AB=23 ，点C 在弦AB 上, 14AC AB，则OC 的长为（ ） A . 2B. 3C.233 D. 726、（2016·吉林东北师范大学附属中学·一模）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，若80B ∠=︒，则ADC ∠的度数是（A ）60°． （B ）80°． （C ）90°． （D ）100°． O DCB A答案：D7、 （2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠ A=30°，CD=6，则圆的半径长为（ ）A ．2 B．2 C ．4 D ．答案：A8、（2016·天津五区县·一模）如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠ D=35°，则∠ OAC 的度数是（ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°【考点】圆周角定理．【分析】在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以∠ AOC=2∠ D=70°，而△ AOC 中，AO=CO ，所以∠ OAC=∠ OCA，而180°﹣∠ AOC=110°，所以∠ OAC=55°．【解答】解：∵∠ D=35°，∴ ∠ AOC=2∠ D=70°，∴ ∠ OAC=（180°﹣∠ AOC）÷2=110°÷2=55°．故选：B ．【点评】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系．规律总结：解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件．9、(2016·重庆巴蜀 ·一模）一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB=90°；然后在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得⊙O的半径AO=OB=50m，从而求得⊙O的直径AD=100m．【解答】解：连接OB．∵∠ACB=45°，∠ACB=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠AOB=90°；在Rt△AOB中，OA=OB（⊙O的半径），AB=100m，∴由勾股定理得，AO=OB=50m，∴AD=2OA=100m；故选B．10、(2016·重庆巴南·一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=D E，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．11、（2016·湖南湘潭·一模）如图，AB 是⊙O 直径，130AOC ∠=，则D ∠=A ．25B ． 65C ．15D ．35 答案：A 12、（2016·吉林长春朝阳区·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆周上，连结BC 、OC ，过点A 作AD∥ OC 交⊙O 于点D ，若∠ B=25°，则∠ BAD 的度数是（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°【考点】圆周角定理；平行线的性质．【分析】根据∠ B=25°，得 ∠ C=25°，再由外角的性质得∠ AOC，根据平行线的性质得出∠ BAD 的度数．【解答】解：∵ OB=OC，∴ ∠ B=∠ C，∵ ∠ B=25°，∴ ∠ C=25°，∵ ∠ AOC=2∠B，∴ ∠ AOC=50°，∵ AD∥OC，∴ ∠ BAD=∠ AOC=50°，故选D ．【点评】本题考查的是圆周角定理，以及平行线的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．13、（2016·河北石家庄·一模）下列图形中，∠ 1一定大于∠ 2的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；圆周角定理．【分析】根据对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，对选项依次判断即可得出答案．【解答】解：A 、根据对顶角相等，∠ 1=∠ 2，故本选项错误；B 、根据两直线平行、内错角相等，∠ 1=∠ 2，故本选项错误；C 、根据外角等于不相邻的两内角和，∠ 1＞∠ 2，故本选项正确；D 、根据圆周角性质，∠ 1=∠ 2，故本选项错误．故选C ． O D B A C【点评】本题主要考查了对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，难度适中．14、（2016·河北石家庄·一模）如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠ A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合，且AC 大于OE ，将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设∠ POF=x，则x 的取值范围是（ ）A ．30≤x≤60B ．30≤x≤90C ．30≤x≤120D ．60≤x≤120【考点】圆周角定理；平移的性质．【专题】压轴题；动点型．【分析】分析可得：开始移动时，x=30°，移动开始后，∠ POF 逐渐增大，最后当B 与E 重合时，∠ POF 取得最大值，即2×30°=60°，故x 的取值范围是30≤x≤60．【解答】解：开始移动时，x=30°，移动开始后，∠ POF 逐渐增大，最后当B 与E 重合时，∠ POF 取得最大值，则根据同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍得：∠ POF=2∠ ABC=2×30°=60°，故x 的取值范围是30≤x≤60．故选A ．【点评】本题考查圆周角定理和平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．15、（2016·湖北襄阳·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC =60°.若动点P 以2cm/s 的速度从B 点出发沿着B→A 的方向运动，点Q 从A 点出发沿着A →C 的方向运动，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ 是直角三角形时，t 的值为（ ） A.34 B. 33- C. 34或33- D. 34或33-或3答案：C16、 (2016·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)如图，已知⊙O 的直径AB 为10，弦CD=8，CD⊥ AB 于点E ，则sin∠ OCE 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】由AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥ AB，根据垂径定理，可求得CE 的长，然后由勾股定理即可求得OE ，继而求得sin∠ OCE 的值．【解答】解：∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥ AB， ∴ CE=CD=×8=4，OC=AB=×10=5， ∴ OE==3， ∴ sin∠ OCE==．故选B ．【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题1、(2016·浙江镇江·模拟)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =30°，3 BC ，则⊙O 的半径等于 ▲ ．答案：32、（2016泰安一模）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥ AB 于点H ，连接OC ，AD ，若BH ：CO=1：2，AD=4，则⊙O 的周长等于 8π ．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．O A B C【分析】已知BH：CO=1：2，即BH=OH=OC；在Rt△ OCH中，易求得∠ COH=60°；由于弧BC=弧BD（垂径定理），利用圆心角和圆周角的关系可求得∠ DAB=30°；在Rt△ADH中，可求得DH的长；也就求出了CH的长，在Rt△ COH中，根据∠ COH的正弦值和CH的长，即可求出OC的半径，进而可求出⊙O的周长．【解答】解：∵半径OB⊥ CD，∴ ，CH=DH；（垂径定理）∵ BH：CO=1：2，∴ BH=OH=OC；在Rt△ OCH中，OH=OC，∴ ∠ COH=60°；∵ ，∴ ∠ DAH=∠ COH=30°；（圆周角定理）在Rt△ AHD中，∠DAH=30°，AD=4，则DH=CH=2；在Rt△ OCH中，∠COH=60°，CH=2，则OC=4．∴ ⊙O的周长为8π．3、(2016·陕西师大附中·模拟)A．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（即CD）为 0.5 米4、(2016·上海普陀区·一模)半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】作MO交CD于E，则MO⊥ CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．【解答】解：作MO交CD于E，则MO⊥ CD，连接CO，对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则ME=OE=OC，在直角三角形COE中，CE==，折痕CD的长为2×=（cm）．【点评】作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答5、(2016·上海闵行区·二模)点P为⊙O内一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，那么OP的长等于 3 cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．【解答】解：如图所示，CD⊥ AB于点P．根据题意，得AB=10cm，CD=8cm．∵ CD⊥ AB，∴ CP=CD=4cm．根据勾股定理，得OP===3（cm）．故答案为：3．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．6、（2016·吉林东北师范大学附属中学·一模）如图，AB是O的直径，点C在O上、重合），过点C作O的切线交AB的延长线于点D，连结AC．若（点C不与A B∠的度数是°．∠=︒，则D25A答案：407、（2016·江苏常熟·一模）如图，在△ ABC中，AB=AC=5cm，cosB=．如果⊙O的半径为cm，且经过点B，C，那么线段AO= 5 cm．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】利用三角函数求BD的值，然后根据勾股定理求出AD，OD的值．最后求AO．【解答】解：连接BO，设OA与BC交于点D，根据题意，得OA垂直平分BC．∵AB=AC=5cm，cosB=，∴BD=3．根据勾股定理得AD==4；OD===1．∴AO=AD+OD=5，故答案为5．【点评】考查了锐角三角函数的概念、勾股定理．8、（2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件．答案：5m+2n≠99、（2016·天津南开区·二模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=2，BC=1，那么cos∠ABD的值是．考点：与圆有关的概念及性质答案：试题解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3，∵CD⊥AB，∴，∴∠ABD=∠ABC，∴cos∠ABD=cos∠ABC= =，故答案为：10、(2016·四川峨眉 ·二模）⊙O 的半径为a ，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是圆周上一动点，过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN CD ⊥于点N ，连结MN ， 点Q 是MN 的中点，当点P 从点A 出发沿圆周顺时针运动一周 回到点A 时，点Q走过的路径长为： ▲ . 答案：a π11、（2016·辽宁丹东七中·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 都在⊙O 上， 若∠C=20°，则∠ABD 的度数等于答案：70º12、(2016·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 、D 为⊙O 上两点，若∠ C=25°，则∠ABD= 65° ．【考点】圆周角定理．【专题】推理填空题．【分析】由已知可求得∠ A 的度数，再根据圆周角定理及三角形内角和定理即可求得∠ ABD 的度数．【解答】解：连接AD ．∵ ∠ C=25°（已知），∴ ∠ C=∠ A=25°；∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴ ∠ ABD=90°﹣25°=65°．故答案是：65°．C D Q P M N O【点评】本题考查了圆周角定理．解答该题时，需熟练运用圆周角定理及其推论．13、(2016·云南省曲靖市罗平县·二模)如图，⊙O是△ ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠ C等于30 °．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】先判断△ OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，然后根据圆周角定理求∠ C的度数．【解答】解：∵ AB=OA=OB，∴ △ OAB为等边三角形，∴ ∠ AOB=60°，∴ ∠ C=∠ AOB=30°．故答案为30．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的性质．14、(2016·云南省·一模)如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥ AD，连接AB、AC、OC，若∠ COD=60°，则∠ BAD=30°．【考点】垂径定理；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得到∠ DAC的度数，根据垂径定理得到答案．【解答】解：∵∠ COD=60°，∴ ∠ DAC=30°，∵ AD是⊙O的直径，弦BC⊥ AD，∴ =，∴ ∠ BAD=∠DAC=30°，故答案为：30°．【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、等弧所对的圆周角相等是解题的关键．三、解答题1、如图，AB 是⊙O 的直径、C 是AB 延长线上一点，CD 与⊙O 相切于点E ,AD CD ⊥于点D .(1)求证:AE 平分DAC ∠;(2)若AB =4，60ABE ∠=︒.①求AD 的长;②求出图中阴影部分的面积.答案：解: (1)如图，连接OE ，90,90,OEC ADC OE ∠=︒∠=︒∥AD ，所以AE 平分DAC ∠.(2)AD =cos303AE ︒=. 433OAE S S S π∆=-=-阴影扇OAE . 2、（2016青岛一模）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ ABC=70°，则∠ D 的度数为 20° ．【考点】圆周角定理．【分析】由AB 是⊙O 的直径，可得∠ ACB=90°，然后由圆周角定理，可求得∠ D 的度数．【解答】解：∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ ACB=90°，∵ ∠ ABC=70°，∴ ∠ A=90°﹣∠ ABC=20°，∴ ∠ D =∠ A=20°．故答案为：20°．3、（2016枣庄41中一模）如图，在△ ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且AC=CF ，∠ CBF=∠ CFB．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为5﹣5＜r＜5+5 ．【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）根据直角三角形的判定证明∠ ABF=90°即可；（2）连接DO，EO，根据题意证明△ AOD是等边三角形，得到△ ABC是等边三角形，根据勾股定理求出BF的长，根据扇形面积公式：求出扇形DOE的面积；（3）求出圆心距OC=5，根据题意解答即可．【解答】（1）证明：∵ ∠ CBF=∠ CFB，∴ CB=CF，又∵ AC=CF，∴ CB=AF，∴ △ ABF是直角三角形，∴ ∠ ABF=90°∴ 直线BF是⊙O的切线；（2）解：连接DO，EO，∵ 点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴ ∠ AOD=60°，又∵ OA=OD，∴ △ AOD是等边三角形，∴ ∠ OAD=60°，又∵ ∠ ABF=90°，AD=5，∴ AB=10，∴ BF=10；扇形DOE的面积==π；（3）解：连接OC，则圆心距OC=5，由题意得，5﹣5＜r＜5+5，故答案为：5﹣5＜r＜5+5．4、(2016·山东枣庄·模拟)如图，已知△ ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥ BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．【考点】垂径定理；勾股定理；菱形的判定．【分析】（1）证明△ ABD≌ △ ACD，得到∠ BAD=∠ CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；（2）菱形，证明△ BFE ≌ △ CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；（3）设DE=x，则根据CE2=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．【解答】（1）证明：∵ AD是直径，∴ ∠ ABD=∠ ACD=90°，在Rt△ ABD和Rt△ ACD中，，∴ Rt△ ABD≌ Rt△ ACD，∴ ∠ BAD=∠ CAD，∵ AB=AC，∴ BE=CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵ AD是直径，AB=AC，∴ AD⊥ BC，BE=CE，∵ CF∥ BD，∴ ∠ FCE=∠ DBE，在△ BED和△ CEF中，∴ △ BED≌ △ CEF，∴ CF=BD，∴ 四边形BFCD是平行四边形，∵ ∠ BAD=∠ CAD，∴ BD=CD，∴ 四边形BFCD是菱形；（3）解：∵ AD是直径，AD⊥ BC，BE=CE，∴ CE2=DE•AE，设DE=x，∵ BC=8，AD=10，∴ 42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△ CED中，CD===2．【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．5、(2016·上海普陀区·一模)如图，已知AD是⊙O的直径，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥ BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求⊙O的半径长和sin∠ BAD的值．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出BE=CE=BC=4，∠AEB=90°，在Rt△ OEB中，由勾股定理得出r2=42+（r﹣2）2，求出r．求出AE，在Rt△ AEB中，由勾股定理求出AB，解直角三角形求出即可．【解答】解：设⊙O的半径为r，∵ 直径AD⊥ BC，∴ BE=CE=BC==4，∠AEB=90°，在Rt△ OEB中，由勾股定理得：OB2=0E2+BE2，即r2=42+（r﹣2）2，解得：r=5，即⊙O的半径长为5，∴ AE=5+3=8，∵ 在Rt△ AEB 中，由勾股定理得：AB==4， ∴ sin∠ BAD===．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形的应用，能根据垂径定理求出BE 是解此题的关键．6、(2016·上海浦东·模拟)（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 上一点，∠AOC =90°，OA =4，OC =3，求弦AB 的长．解：过点O 作OD ⊥AB 于D在Rt △AOC 中，222OA OC AC +=，AC = 5在Rt △AOC 中，4COS 5OA OAC AC ∠== ； 在Rt △ADO 中，COS DA OAD AO ∠=， 所以AD OA AO AC =，165AD =. 因为在⊙O 中，OD ⊥AB ， 所以AB =2AD =5162⨯， 所以AB =325． 7、（2016·天津市南开区·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是上两点，AB=13，AC=5． （1）如图（1），若点P 是的中点，求PA 的长； （2）如图（2），若点P 是的中点，求PA 的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据圆周角的定理，∠ APB=90°，P是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥ AC，从而得出△ ACB∽ △ 0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，∵ AB是⊙O的直径且P是的中点，∴ ∠ PAB=∠ PBA=45°，∠ APB=90°，又∵ 在等腰三角形△ APB中有AB=13，∴ PA===．（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥ AB于点N，∵ P点为弧BC的中点，∴ OP⊥BC，∠ OMB=90°，又因为AB为直径∴ ∠ ACB=90°，∴ ∠ ACB=∠OMB，∴ OP∥ AC，∴ ∠ CAB=∠ POB，又因为∠ ACB=∠ ONP=90°，∴ △ ACB∽ △ 0NP∴ =，又∵ AB=13 AC=5 OP=，代入得 ON=，∴ AN=OA+ON=9∴ 在Rt△ OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36在Rt△ ANP 中 有PA===3 ∴ PA=3． 【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．8、(2016·山西大同 ·一模）如图，已知：AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，且点E 是OD 的中点，O 的切线BM 与AO 的延长线相交于点M ，连接AC 、CM（1）若AB=43，求O 的半径及弧AB 的长度.（2）求证：四边形ABMC 是菱形.答案：解（1）连接OB∵OA=OB ，E 是AB 的中点∴∠AOE=∠BOE, OE ⊥AB又∵OE=12OA ∴∠OAB=30°，∠AOE=60° 设AO 为x ，则OE=12x ∴x=4∴弧AB 长l=（2）由（1）∠OAB=∠OBA=30°∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°∴AB=BM在△COM 和△BOM 中OC=OB∠COM=∠BOMOM=OM∴△COM ≌△BOM （SAS ）∴CM=BM=AB∴AB ∥CM∴ABCD 是菱形9、（2016·河北石家庄·一模）先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A 、B 、C 、D 均为⊙O 上的点，则有∠ C=∠ D．小明还发现，若点E 在⊙O 外，90MBO CD CM AB ∠∠=∴⊥⊥又MCO= 且CD且与点D在直线AB同侧，则有∠ D＞∠ E．请你参考小明得出的结论，解答下列问题：（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．①在图1中作出△ ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ ACB=∠ ADB，则点D的坐标为（7，0）；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠ APB达到最大时，直接写出此时点P 的坐标．【考点】圆的综合题．【分析】（1）①作出△ ABC的两边的中垂线的交点，即可确定圆心，则外接圆即可作出；②D就是①中所作的圆与x轴的正半轴的交点，根据作图写出坐标即可；（2）当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠ APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．【解答】解：（1）①②根据图形可得，点D的坐标是（7，0）；（2）当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥ y轴，连接CP、CB．∵ A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），∴ D的坐标是（0，），即BC=PC=，在直角△ BCD中，BC=，BD=，则CD==，则OP=CD=，故P的坐标是（，0）．【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，正确理解当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，是关键．10、（2016·广东·一模）（本题满分10分）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．解：（1）如图1所示（画2个即可）．（2）如图2，连接AC，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ADB和Rt△ACB中，∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，又∵AB是⊙O的直径，∴AB≠CD，∴四边形ABCD是对等四边形．（3）如图3，点D的位置如图所示：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，设BE=x，∵tan∠PBC=，∴AE=，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x2﹣5（舍去），∴BE=5，AE=12，∴CE=BC﹣BE=6，由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，，∴，，综上所述，CD的长度为13、12﹣或12+．11、（2016·广东深圳·一模）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P 为边CD的中点，延长AP交圆于点E．（1）∠ E= 45 度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE的长．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【专题】几何综合题．【分析】由“同弧所对的圆周角相等”可知∠ E=∠ ACD=45°，∠ CAE=∠ EDC，所以△ ACP∽ △ DEP；求弦DE的长有两种方法：一，利用△ACP∽△DEP的相似比求DE的长；二、过点D作DF⊥AE于点F，利用Rt△ DFE中的勾股定理求得DE的长．【解答】解：（1）∵ ∠ ACD=45°，∠ ACD=∠ E，∴ ∠ E=45°．（2）△ ACP∽ △ DEP，理由：∵ ∠ AED=∠ACD，∠ APC=∠ DPE，∴ △ ACP∽ △ DEP．（3）方法一：∵ △ ACP∽ △ DE P，∴ ．∵ P为CD边中点，∴ DP=CP=1∵ AP=，AC=，∴ DE=．方法二：如图2，过点D作DF⊥ AE于点F，在Rt△ ADP中，AP=．又∵ S△ ADP=AD•DP=AP•DF，∴ DF=．∴ DE=DF=．【点评】此题主要考查相似三角形的判定及圆周角定理的运用．。
2020年中考数学几何部分考点圆专项训练题(附答案)
2020年中考数学几何部分考点圆专项训练题（附答案）一、单选题（共7题；共21分）1.已知⊙O的半径为5厘米，A为线段OP的中点，当OP=6厘米时，点A与⊙O的位置关系是（）A. 点A在⊙O内B. 点A在⊙O上C. 点A在⊙O外D. 不能确定2.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a>b），则此圆的直径为（）A. B. C. 或 D. 或3.在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为（）A. E，F，GB. F，G，HC. G，H，ED. H，E，F4.⊙O的半径为4，点P是⊙O所在平面内的一点，且OP=5，则点P与⊙O的位置关系为（）A. 点P在上B. 点P在外C. 点P在内D. 以上都不对5.下列说法中不正确的是（）A. 若点A在半径为r的⊙O外，则OA＜rB. 相切两圆的切点在两圆的连心线上C. 三角形只有一个内切圆D. 相交两圆的连心线垂直平分其公共弦6.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，1），在坐标轴上确定点P，使△AOP为等三角形，则符合条件的点P的个数共有（）A. 10个B. 8个C. 4个D. 6个7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm，AC=4cm，D是AB的中点，若以点C为圆心，以3cm长为半径作⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D二、填空题（共2题；共10分）8.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________9.已知∠APB=90°，以AB为直径作⊙O，则点P与⊙O的位置关系是________．三、解答题（共2题；共14分）10.仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形．11.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求的度数．答案一、单选题1.A2.D3. A4.B5.A6.B7. A二、填空题8.3cm或8cm9.点P在⊙O上三、解答题10.解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形．11.解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°∴∠A=90°﹣∠B=65度．∵CA=CD∴∠CDA=∠CAD=65°∴∠ACD=50°即弧AD的度数是50度．。
2020年中考数学试题《圆》试题精编含答案
（1）求证：直线DC是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
24．（2020•临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以 O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
27．（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
28．（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
1．【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，∵O Nhomakorabea＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
专题：圆之选择题专项—冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习卷(含答案)
专题：圆之选择题专项1．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD ＝25°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150°解：∵∠AOD ＝2∠ACD ，∠ACD ＝25°， ∴∠AOD ＝50°，∴∠BOD ＝180°﹣∠AOD ＝180°﹣50°＝130°， 故选：C ．2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（ ）A ．5步B ．6步C ．8步D ．10步解：如图，在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝15，∠C ＝90°，∴AB ＝＝17，∴S △ABC ＝AC •BC ＝×8×15＝60，设内切圆的圆心为O ，分别连接圆心和三个切点，及OA 、OB 、OC ， 设内切圆的半径为r ，∴S △ABC ＝S △AOB +S △BOC +S △AOC ＝×r （AB +BC +AC ）＝20r ， ∴20r ＝60，解得r ＝3， ∴内切圆的直径为6步，故选：B ．3．如图，AB 是半圆的直径，AB ＝2r ，C 、D 为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．解：连接OC 、OD ．∵△COD 和△CDA 等底等高， ∴S △COD ＝S △ACD ．∵点C ，D 为半圆的三等分点，AB ＝2r ， ∴∠COD ＝180°÷3＝60°，OA ＝r ，∴阴影部分的面积＝S 扇形COD ＝＝πr 2．故选：B ．4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，它的一个外角∠EBC ＝65°，分别连接AC ，BD ，若 AC ＝AD ，则∠DBC 的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．65°D ．70°解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝65°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°，∴∠DBC＝∠CAD＝50°，故选：A．5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠ABD＝55°，∴∠DAB＝90°﹣55°＝35°，∴∠BCD＝∠DAB＝35°．故选：C．6．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（）A．5B．7C．12D．解：作CH⊥AB于H，连接OH，如图，∵AC＝BC＝13，∴AH＝BH＝AB＝5，在Rt△BCH中，CH＝＝＝12，∵H为AB的中点，∴OH＝AB＝5，∵OC≥CH﹣OH（当点C、O、H共线时取等号），∴OC的最小值为12﹣5＝7．故选：B．7．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．B．2C．D．解：取DE的中点O，过O作OG⊥AB于G，连接OC，又∵CO＝1.5，∴只有C、O、G三点一线时G到圆心O的距离最小，∴此时OG达到最小．∴MN达到最大．作CF⊥AB于F，∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝5，∵AC•BC＝AB•CF，∴CF＝，∴OG＝﹣＝，∴MG＝＝，∴MN＝2MG＝，故选：C．8．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝60°，∴∠CBD＝30°，∵BD＝2R，∴DC＝R，∴BC＝R，故选：D．9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm解：连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即AB＝，∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF＝．故选：D．10．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝∠ACD D．∠A＝∠BOD 解：连接DA，∵直径AB⊥弦CD，垂足为M，∴CM＝MD，∠CAB＝∠DAB，∵2∠DAB＝∠BOD，∴∠CAD＝∠BOD，故选：D．11．如图，⊙O 1与⊙O 2的半径均为5，⊙O 1的两条弦长分别为6和8，⊙O 2的两条弦长均为7，则图中阴影部分面积的大小关系为（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法确定解：通过旋转，拼接得到下面图形．∵62+82＝102，∴△ABC 是直角三角形，S △ABC ＝24，右边图中，DE ＝EF ＝7，作O 2M ⊥DE ，连接O 2E 交DF 于H ． ∵sin ∠EDH ＝sin ∠MO 2E ，∴＝，∴EH ＝4.9，DF ＝2DH ≈10，∴S △DEF ≈＞S △ABC ，∴S 2＞S 1， 故选：B ．12．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A．8﹣πB．C．3+πD．π解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝，由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，∵∠OFE+∠FEO＝∠OED+∠FEO＝90°，∴∠OFE＝∠OED∴△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×5×2+×2×3+﹣＝8﹣π，故选：A．13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°解：连接AC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝110°﹣90°＝20°，∴∠AED＝∠ACD＝20°．故选：B．14．如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）A．πB．πC．πD．π解：如图，作OC⊥AB于C，设AB与x轴交于点M，与y轴交于点N．∵直线AB的解析式为y＝﹣x+，∴M（，0），N（0，），∴OM＝ON＝，△OMN是等腰直角三角形，∴∠OMN＝∠ONM＝45°，∵OC⊥AB，∴OC＝OM＝．∵△OAB为等边三角形，OC⊥AB，∴AB＝2AC，AC＝＝＝，∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，∴AB＝，∴弧AB的长度为：＝π．故选：C．15．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论：①OC ∥AE；②EC＝BC；③∠DAE＝∠ABE；④AC⊥OE，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵C为的中点，即，∴OC⊥BE，BC＝EC，选项②正确；∴∠BFO＝90°，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，即∠BEA＝90°，∴∠BFO＝∠BEA，∴OC∥AE，选项①正确；∵AD为圆的切线，∴∠DAB＝90°，即∠DAE+∠EAB＝90°，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∴∠DAE＝∠ABE，选项③正确；点E不一定为中点，故E不一定是中点，选项④错误，则结论成立的是①②③，故选：C．16．如图，P A和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°解：连接OB，∵P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝140°，由圆周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝70°，故选：C．17．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．解：连结OM、OP，作OH⊥AB于H，如图，当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，则A（0，2），当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝2，则B（2，0），所以△OAB为等腰直角三角形，则AB＝OA＝4，OH＝AB＝2，因为PM为切线，所以OM⊥PM，所以PM ＝＝，当OP 的长最小时，PM 的长最小，而OP ＝OH ＝2时，OP 的长最小，所以PM 的最小值为＝．故选：D ．18．如图，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝4，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC为半径作，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则阴影部分的面积是（ ）A ．B ．C ．2D ．解：如图，连接CE ．∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝4，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ，∴∠ACB ＝90°，OB ＝OC ＝OD ＝2，BC ＝CE ＝4． 又∵OE ∥AC ，∴∠ACB ＝∠COE ＝90°．∴在直角△OEC 中，OC ＝2，CE ＝4，∴∠CEO ＝30°，∠ECB ＝60°，OE ＝2∴S 阴影＝S扇形BCE ﹣S扇形BOD ﹣S △OCE ＝﹣π×22﹣×2×2＝﹣2，故选：A ．19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是弧AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．则下列说法中正确的个数为（）①CO⊥AD；②∠COB＝2∠GDC；③P是△ACQ的外心；④若tan∠ABC＝，CF＝8，则CQ＝；⑤（FP+PQ）2＝FP•FG；⑥PQ＝QD．A．3B．4C．5D．6①证明∵C是弧AD的中点，∴∴弧AC＝弧CD，∴CO⊥AD；②∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠GDC＝∠BAC，∵∠COB＝2∠BAC，∴∠COB＝2∠GDC；③证明：∵C是弧AD的中点，∴弧AC＝弧CD，∴∠CAD＝∠ABC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠CAD+∠AQC＝90°又∵CE⊥AB，∴∠ABC +∠PCQ ＝90° ∴∠AQC ＝∠PCQ ∴在△PCQ 中，PC ＝PQ ， ∵CE ⊥直径AB ， ∴弧AC ＝弧AE ， ∴弧AE ＝弧CD ， ∴∠CAD ＝∠ACE ． ∴在△APC 中，有P A ＝PC ， ∴P A ＝PC ＝PQ ∴P 是△ACQ 的外心． ④解：∵CE ⊥直径AB 于F ，∴在Rt △BCF 中，由tan ∠ABC ＝＝，CF ＝8，得BF ＝．∴由勾股定理，得BC ＝＝， ∵AB 是⊙O 的直径，∴在Rt △ACB 中，由tan ∠ABC ＝＝，BC ＝，∴AC ＝10，易知Rt △ACB ∽Rt △QCA ， ∴AC 2＝CQ •BC ，∴CQ ＝＝；⑤证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠DAB +∠ABD ＝90°， 又∵CF ⊥AB ， ∴∠ABG +∠G ＝90°， ∴∠DAB ＝∠G ； ∴Rt △AFP ∽Rt △GFB ，∴＝，即AF •BF ＝FP •FG易知Rt △ACF ∽Rt △CBF ， ∴CF 2＝AF •BF （或由射影定理得） ∴FC 2＝PF •FG ， 由③，知PC ＝PQ ， ∴FP +PQ ＝FP +PC ＝FC ∴（FP +PQ ）2＝FP •FG ； ⑥由题目条件无法得到PQ ＝QD ． 故选：C ．20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ．点F 是CD 上一点，且满足＝，连接AF 并延长交⊙O 于点E ．连接AD 、DE ，若CF ＝2，AF ＝3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG ＝2；③tan ∠E ＝；④S △DE F ＝4．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④解：①∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴＝，DG ＝CG ，∴∠ADF ＝∠AED ，∵∠F AD ＝∠DAE （公共角）， ∴△ADF ∽△AED ； 故①正确；②∵＝，CF ＝2，∴FD ＝6，∴CD ＝DF +CF ＝8， ∴CG ＝DG ＝4，∴FG ＝CG ﹣CF ＝2； 故②正确；③∵AF ＝3，FG ＝2，∴AG ＝＝，∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG ＝＝，∴tan ∠E ＝；故③错误；④∵DF ＝DG +FG ＝6，AD ＝＝，∴S △ADF ＝DF •AG ＝×6×＝3，∵△ADF ∽△AED ，∴＝（）2，∴＝，∴S △AED ＝7，∴S △DEF ＝S △AED ﹣S △ADF ＝4；故④正确． 故选：A ．。
2020年全国中考数学试卷分类汇编(一)专题30 圆的有关性质(含解析)
圆的有关性质一.选择题1.（2020•黑龙江省哈尔滨市•3分）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接A D.CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（）A．25°B．20°C．30°D．35°【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵AB为圆O的切线，∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，∵∠ADC＝35°，∴∠AOB＝2∠ADC＝70°，∴∠ABO＝90°﹣70°＝20°．故选：B．【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．2.（2020•黑龙江省牡丹江市•3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接B D．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．【解答】解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC ＝2∠BDC ＝100°， ∵，∴∠BOC ＝∠AOC ＝100°，∴∠ABC ＝∠AOC ＝50°，∴∠ADC ＝180°﹣∠ABC ＝130°．故选：B ．【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．3.（2020•广东省广州市•3分）往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48AB cm ，则水的最大深度为（ ）A. 8cmB. 10cmC. 16cmD. 20cm【答案】C【解析】【分析】 过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ，根据垂径定理即可求得AD 的长，又由⊙O 的直径为52cm ，求得OA 的长，然后根据勾股定理，即可求得OD 的长，进而求得油的最大深度DE 的长．【详解】解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ，由垂径定理得：11482422AD AB cm ==⨯=， ∵⊙O 的直径为52cm ，∴26OA OE cm ==，在Rt AOD ∆中，由勾股定理得：2222=2624=10O m O A D A D c -=-，∴261016DE OE OD cm =-=-=，∴油的最大深度为16cm ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．4 （2020年内蒙古通辽市3分）7.如图，,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点，72P ∠=︒，则C ∠=( )A. 108︒B. 72︒C. 54︒D. 36︒【答案】C【解析】【分析】 连接O A.OB ，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP 的内角和为360°，即可推出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C 的度数．【详解】解：连接O A.OB ，∵直线P A.PB分别与⊙O相切于点A.B，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∵∠P=72°，∴∠AOB=108°，∵C是⊙O上一点，∴∠ACB=54°．故选：C．【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果．5. （2020•江苏省常州市•2分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A.B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键．6.（2020•河北省•2分）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，O C．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣65°＝115°．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．∠为7 （2020•湖南省张家界·3分）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BCD∠的度数为（）120︒，则BODA. 100︒B. 110︒C. 120︒D. 130︒【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8 （2020•江苏省淮安市•3分）如图，点A.B.C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．108°【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO＝∠BAO，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠ACB＝54°，∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO ＝（180°﹣∠AOB）＝36°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．9. （2020•江苏省南京市•2分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A 的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE.PF、PD，延长EP与CD 交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE.PF、PD，延长EP 与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE＝PF，PE∥OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE＝OF＝PE＝OF＝5，∵A（0，8），∴OA＝8，∴AE＝8﹣5＝3，∵四边形OACB为矩形，∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∴EG∥AC，。
备战2020中考数学专题巩固：圆的综合题(含解析)
圆的综合题1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、E 是⊙O 上的点，且AC ︵＝EC ︵，连接AC 、BE ，并延长交于点D ，已知AB ＝2AC ＝6.第1题图（1）求DC 的长； （2）求EC ︵的长．解：（1）如解图，连接BC ，第1题解图∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，CB ⊥AD ， ∵AC ︵＝EC ︵， ∴∠ABC ＝∠DBC ， ∴△ABD 为等腰三角形，∵AB＝2AC＝6，∴DC＝AC＝3；（2）如解图，连接OC、OE，∵AB＝2AC＝6，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，OC＝OE＝3，∴∠DBC＝∠ABC＝30°∴∠COE＝2∠DBC＝60°，∴l EC︵＝60×π×3 180＝π.2.如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F.（1）求证：OF＝12BD；（2）当∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．第2题图（1）证明：如解图，连接OC，第2题解图∵OF ⊥AC ，OA ＝OC ， ∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝12BC ， ∵AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴BC ＝BD ， ∴OF ＝12BD ；（2）解：∵∠D ＝30°， ∴∠A ＝∠D ＝30°， ∴∠COB ＝2∠A ＝60°， ∴∠AOC ＝120°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， 在Rt △ABC 中，BC ＝1， ∴AB ＝2，AC ＝3， 由（1）可知OF ＝12BC ＝12， ∵∠COB ＝60°，OB ＝OC ， ∴△BOC 是等边三角形， ∴OA ＝OB ＝BC ＝1，∴S △AOC ＝12AC ·OF ＝12×3×12＝34，S 扇形AOC ＝120πOA 2360＝π3， ∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △AOC ＝π3－34.3.如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .（1）求证：AD ＝AN ；（2）若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．第3题图（1）证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ， ∴∠AEN ＝∠AMC ＝90°， ∵∠ANE ＝∠CNM ， ∴∠BAM ＝∠BCD ， ∴∠BAM ＝∠BAD ， 在△ANE 与△ADE 中，⎩⎨⎧∠BAM ＝∠BADAE ＝AE∠AEN ＝∠AED， ∴△ANE ≌△ADE (ASA)， ∴AN ＝AD ；（2）解：∵AB ＝42，AE ⊥CD , ∴AE ＝12AB ＝22， 又∵ON ＝1，∴设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，OD ＝OE ＋ED ＝2x －1， 如解图，连接AO ，则AO ＝OD ＝2x －1，第3题解图∵△AOE 是直角三角形，AE ＝22，OE ＝x －1，AO ＝2x －1， ∴(22)2＋(x －1)2＝(2x －1)2， 解得x 1＝2，x 2＝－43(舍)，∴AO ＝2x －1＝3，即⊙O 的半径为3.4.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF . （1）求证：∠1＝∠F ；（2）若sin B＝55，EF＝25，求CD的长．第4题图（1）证明：如解图，连接DE.∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B.∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；第4题解图（2）解：∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝25，∴AB＝2AE＝4 5.在Rt△ABC中，AC＝AB·sin B＝4，∴BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴CD＝3.5.如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径.第5题图解：（1）AC与⊙O相切．理由如下：连接OE.如解图，∵BE平分∠ABD.∴∠OBE＝∠DBE，∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，∵AB ＝BC ，D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ，∴OE ⊥AC ， ∴AC 与⊙O 相切；第5题解图（2）设⊙O 半径为r .则AO ＝10－r ， 由(1)知，OE ∥BD ， ∴△AOE ∽△ABD ， ∴AO AB ＝OE BD ，即61010r r =-，∴r ＝154，即⊙O 半径是154.6.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE 上的一点，且∠BDE ＝∠CBE ，BD 与AE 交于点F .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BD 平分∠ABE ，延长ED 、BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第6题图（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，∴∠EAB＝∠CBE，∴∠ABE＋∠CBE＝90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，如解图，连接DO，第6题解图∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∵∠EBD ＝∠OBD ， ∴∠EBD ＝∠ODB ， ∴OD ∥BE ， ∴PD PE ＝PO PB ， ∵P A ＝AO ， ∴P A ＝AO ＝OB ， ∴PO PB ＝23， ∴PD PE ＝23， ∴PD PD ＋DE ＝23， ∵DE ＝2， ∴PD ＝4.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F . （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．第7题图（1）证明：如解图，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠ODF＝∠DFC＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；第7题解图（2）解：如解图，过点O作OG⊥AC，垂足为G，∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25，∴OA ＝5，∴OG ＝22AG OA ＝21，∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°，∴四边形OGFD 为矩形，∴DF ＝OG ＝21.8. 如图，直线DP 和⊙O 相切于点C ，交直径AE 的延长线于点P ，过点C 作AE 的垂线，交AE 于点F ，交⊙O 于点B ，作□ABCD ，连接BE ，DO ，CO .第8题图（1）求证：DA =DC ；（2）求∠P 及∠AEB 的度数.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵CB ⊥AE ，∴AD ⊥AE ，∴∠DAO ＝90°，又∵直线DP 和⊙O 相切于点C ，∴DC ⊥OC ，∴∠DCO ＝90°，∴在Rt △DAO 和Rt △DCO 中，⎩⎨⎧DO ＝DO AO ＝CO ， ∴Rt △DAO ≌Rt △DCO (HL)，∴DA ＝DC ；（2）解：∵CB ⊥AE ，AE 是⊙O 的直径，∴CF ＝FB ＝12BC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∴CF ＝12AD ，又∵CF ∥DA ，∴△PCF ∽△PDA ，∴PC PD ＝CF AD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD .由（1）知DA ＝DC ，∴DA ＝12PD ，∴在Rt △DAP 中，∠P ＝30°.∵DP∥AB，∴∠F AB＝∠P＝30°，又∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°－30°＝60°.9.如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F.（1）求证：∠FEB＝∠ECF；（2）若BC＝6，DE＝4，求EF的长．第9题图（1）证明：∵EF⊥OG，BC是⊙O的切线，∴∠CBA＝∠EFC＝90°，∴∠EOF＋∠FEB＝90°，∠BOC＋∠BCO＝90°，∵∠EOF＝∠COB，∴∠FEB＝∠BCO，∵CB，CD是⊙O的切线，∴∠ECF＝∠BCO，∴∠FEB＝∠ECF；（2）解：如解图，连接OD，则OD⊥CE，∵CB，CD为⊙O的切线，BC＝6，DE＝4，∴CD＝BC＝6，∴CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8，设OD＝x，则OE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，则OE＝5.在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35，∵∠EOF＝∠COB，∠EFO＝∠CBO，∴△EFO∽△CBO，∴EFCB＝OEOC，即EF6＝535，解得EF＝2 5.第9题解图10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．第10题图（1）证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.如解图，连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°.即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD⊥PD.又OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；第10题解图（2）证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.又∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD.∴△PBD∽△DCA；（3）解：∵△ABC是直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100.∴BC＝10.∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.在等腰直角三角形BDC中，DC＝DB＝5 2.∵△PBD∽△DCA，∴PB DC ＝BD CA ，即PB ＝DC·BD CA ＝52×528＝254. 11.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .（1）若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；（2）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）求证：2CE 2＝AB ·EF .第11题图（1）解：如解图，连接OD ，第11题解图∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°，∵BC 是⊙O 的直径，BC ＝10，∴OB ＝5，∴l BD ︵＝72π×5180＝2π；（2）解：DE 是⊙O 的切线；理由如下： ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°， 又∵点E 是线段AC 中点，∴DE ＝12AC ＝EC ，在△DOE 与△COE 中，⎩⎨⎧OD ＝OCOE ＝OE DE ＝CE，∴△DOE ≌△COE (SSS)．∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；（3）证明：由（2）知，△DOE ≌△COE ， ∴OE 是线段CD 的垂直平分线， ∴点F 是线段CD 中点，∵点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ，∵∠BAC ＝∠CAD ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝AD AC ，即AC 2＝AB ·AD ， 而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ， ∴(2CE )2＝AB ·2EF ， 即4CE 2＝AB ·2EF ， ∴2CE 2＝AB ·EF .。
2020年中考数学二轮复习：《圆的综合》专题训练(含答案)
2020年中考数学二轮复习：《圆的综合》专题训练一．选择题1．若点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（）A．a＜﹣1 B．a＞3 C．﹣1＜a＜3 D．a≥﹣1且a≠0 2．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，BD：CD＝2：1，BD＝4，则△DBC 的面积为（）A．3 B．2 C．2D．33．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠C＝70°，则∠ABD的度数是（）A．35°B．55°C．70°D．110°4．如图，如果从半径为6cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm5．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠BED的大小为（）A．80°B．100°C．110°D．105°6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝35°，∠ACD＝55°，则∠AOB＝（）A．120°B．110°C．90°D．85°7．如图，在半径为6的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，CD＝6，垂足为E，则tan∠OEA的值是（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠A，tan∠CBF＝，则BC的长为（）A．B．C．D．9．如图，点A是量角器直径的一个端点，点B在半圆周上，点P在上，点Q在AB上，且PB＝PQ．若点P对应135°（45°），则∠PQB的度数为（）A．65°B．67.5°C．60°D．80°10．如图，在平面直角坐标系中，若干个半径为3个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒3个单位长度，点在弧线上的速度为每秒π个单位长度，则2020秒时，点P的坐标是（）A．（2020，0）B．（3030，0）C．（ 3030，）D．（3030，﹣）11．如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是（）A．2B．4C．D．212．如图1、2、3中，点E、D分别是正△ABC、正方形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于P点，∠APD的度数分别为60°，90°，108°．若其余条件不变，在正九边形ABCFGHIMN中，∠APD的度数是（）A．120°B．135°C．140°D．144°二．填空题13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB＝45°，则⊙O的半径长为．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于点E，若图中阴影部分面积为2，则B′E的长为．15．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）．16．正方形ABCD内接于⊙O，点F为CD的中点，连接AF并延长交⊙O于点E，连接CE，则sin∠DCE＝．17．如图，已知∠BAC＝45°，线段DE的两个端点在角的两边AB，AC上运动，且DE＝2．以线段DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，则AF的最大值为．三．解答题18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．（1）求证：CE＝CB；（2）若AC＝，CE＝2，求CD的长．19．如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD、BC．（1）求证：AB＝BE；（2）若BE＝3，OC＝，求BC的长．20．如图，⊙O的半径为2a，A、B为⊙O上两点，C为⊙O内一点，AC⊥BC，AC＝a，BC ＝a．（1）判断点O、C、B的位置关系；（2）求图中阴影部分的面积．21．如图，已知⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB＝∠ADB；（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：△EAF∽△CBA．（3）已知AF＝4，CF＝2，在（2）的条件下，求AE的长．22．我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD＝∠B（或∠BCD＝∠A），则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”．（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4．试判断点D是不是△ABC边AB上的“理想点”，并说明理由．（2）如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB＝5，AC＝4．若点D是△ABC边AB上的“理想点”，求CD的长．（3）如图③，已知平面直角坐标系中，点A（0，2），B（0，﹣3），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点K，连接DB、DC．（1）如图1，求证：DB＝DC；（2）如图2，点E、F在⊙O上，连接EF交DB、DC于点G、H，若DG＝CH，求证：EG＝FH；（3）如图3，在（2）的条件下，BC经过圆心O，且AD⊥EF，BM平分∠ABC交AD于点M，DK＝BM，连接GK、HK、CM，若△BDK与△CKM的面积差为1，求四边形DGKH的面积．参考答案一．选择题1．解：∵点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内，∴|a﹣1|＜2，∴﹣1＜a＜3．故选：C．2．解：过点B作BH⊥CD于点H．∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+＝120°，则∠BDH＝60°，∵BD＝4，BD：CD＝2：1∴DH＝2，BH＝2，CD＝2，∴△DBC的面积为＝＝2，故选：C．3．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°﹣110°）＝35°，故选：A．4．解：扇形的弧长为：＝8πcm，圆锥的底面半径为：8π÷2π＝4cm，故选：B．5．解：如图，∵∠A＝50°，∴∠D＝∠A＝50°．又∵∠B＝30°，∴∠BED＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，故选：B．6．解：∵∠CAD＝35°，∠ACD＝55°，∴∠ADC＝90°，∴AC为直径，∵＝，∴∠BOC＝2∠CAD＝2×35°＝70°，∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°．故选：B．7．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OD，如图，∴AM＝BM＝AB＝4，DN＝CN＝CD＝3，在Rt△AOM中，OM＝＝2，在Rt△ODN中，ON＝＝3，∵CD⊥AB，∴四边形OMEN为矩形，∴ME＝ON＝3，在Rt△OEM中，tan∠OEM＝＝＝．故选：D．8．解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴∠EAB＝∠CAB，EB＝CE＝CB，∵∠CBF＝∠CAB，tan∠CBF＝，∴∠CBF＝∠EAB，tan∠EAB＝＝，在RT△AEB中，AB＝10，设BE＝x，则AE＝3x，故x2+（3x）2＝102，解得：x＝EB＝，故CB＝2．故选：B．9．解：连接OP，如图，则∠AOP＝135°，∴∠ABP＝∠AOP＝67.5°．∵PB＝PQ，∴∠PQB＝∠ABP＝67.5°．故选：B．10．解：扇形的弧长＝＝π，由题意得，点P在每一个扇形半径上运动时间为1秒，在每一条弧上运动时间为1秒，则第4秒时，点P的坐标是（6，0），第8秒时，点P的坐标是（12，0），……第4n秒时，点P的坐标是（6n，0），2020÷＝505，∴2020秒时，点P的坐标是（3030，0），故选：B．11．解：如图，连接OD，OE，DE．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OD＝OB＝OE＝2，∴△AOD，∠EOB都是等边三角形，∴∠AOD＝∠EOB＝60°，∴∠DOE＝60°，△DOE是等边三角形，∴∠DOE＝∠EOB，∴弓形DE与弓形BE的面积相等，∵CD＝DE＝CE＝2，∴△CDE是等边三角形，∴S阴＝S△CDE＝×22＝，故选：C．12．解：正△ABC时，∠APD＝∠ABC＝＝60°，正方形ABCM时，∠APD＝∠ABC＝＝90°，正五边形时，∠APD＝∠ABC＝＝108°，正六边形时，∠APD＝∠ABC＝＝120°，依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC＝．当n＝9时，∠APD＝∠ABC＝＝140°，故选：C．二．填空题（共5小题）13．解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝2，∴⊙O的半径长．故答案为．14．解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，∴△ACB≌△AC′B′，∴AC＝AC′，CB＝C′B′，∠CAB＝∠C′AB′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∵∠CAC′＝15°，∴∠C′AE＝30°，∴AE＝2C′E，AC′＝C′E，∵阴影部分面积为2，∴×C′E×C′E＝2，∴C′E＝2，∴AC＝BC＝C′B′＝C′E＝2，∴B′E＝2﹣2，故答案为：2﹣2．15．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴五边形ABCDE为圆内接正五边形，∴＝＝＝＝，∴∠BAE＝＝108°，∠HAN＝∠AEH＝∠BAC＝∠DAE＝∠ABE＝∠BAE＝×108°＝36°，∴∠EAH＝∠BAN＝36°+36°＝72°，∴∠AHE＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∠ANB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAH＝∠EHA＝72°，∠ANH＝∠AHN＝72°，∴AE＝HE，∠EAH＝∠EHA＝∠ANH＝∠AHN，∴△AEH∽△AHN，∴＝，∵五角星的边框总长为40cm，∴AH＝AN＝EN＝＝4，HN＝HE﹣NE＝AE﹣4，∴＝，整理得：（AE﹣2）2＝20，∴AE＝2+2（cm），故答案为：2+2．16．解：由圆周角定理得∠DCE＝∠DAE，设正方形的边长为2a，∵F为CD的中点，∴FD＝a，由勾股定理得：AF＝＝，∴sin∠DCE＝sin∠DAE＝＝＝，故答案为：．17．解：如图，当AF⊥DE时，AF的值最大，设AF交DE于H，在AH上取一点M，使得AM ＝DM，连接DM．∵FD＝FE＝DE＝2，AF⊥DE，∴DH＝HE，AD＝AE，∠DAH＝∠DAE＝22.5°，∵AM＝DM，∴∠MAD＝∠MDA＝22.5°，∴∠DMH＝∠MDH＝45°，∴DH＝HM＝1，∴DM＝AM＝，∵FH＝＝，∴AF＝AM+MH+FH＝+1+．∴AF的最大值为+1+，故答案为：+1+．三．解答题（共6小题）18．（1）证明：连接OC、OE，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠OAC，∠EOC＝2∠DAC，∴∠BOC＝∠EOC，∴CE＝CB；（2）解：由（1）可知，BC＝CE＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝3，∵∠DAC＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△DAC∽△CAB，∴＝，即＝，解得，DC＝．19．（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE+∠MAB＝90°，∠AEB+∠AMB＝90°．又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝2OC＝5，AB＝BE＝3，∴BC＝4．20．（1）解：O、C、B三点在一条直线上．证明：连接OA、OB、OC，在Rt△ABC中，AB＝＝2a，∴∠ABC＝60°，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠ABO＝60°，故点C在线段OB上，即O、C、B三点在一条直线上．（2）∵＝．S＝＝．扇形AOB∴阴影部分的面积为＝．21．（1）证明：如图1，连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝90°，∵∠BAC＝∠EDC，∠EAB＝∠ADB，∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°，∴AE是⊙O的切线．（2）证明：如图2，连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBA＝∠ABC＝90°∵B是EF的中点，∴在Rt△EAF中，AB＝BF，∴∠BAC＝∠AFE，∴△EAF∽△CBA．（3）解：∵△EAF∽△CBA，∴＝，∵AF＝4，CF＝2．∴AC＝6，EF＝2AB，∴＝，解得AB＝2．∴EF＝4，∴AE＝＝＝4，22．解：（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．理由：如图①中，∵D是AB中点，AB＝4，∴AD＝DB＝2，∵AC2＝（2）2＝8，AD•AB＝8，∴AC2＝AD•AB，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∴点D是△ABC的“理想点”，（2）如图②中，∵点D是△ABC的“理想点”，∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，当∠ACD＝∠B时，∵∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠CDB＝90°，当∠BCD＝∠A时，同法证明：CD⊥AB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∵AB•CD＝AC•BC，∴CD＝．（3）如图③中，存在．有三种情形：过点A作MA⊥AC交CB的延长线于M，作MH⊥y轴于H．∵∠MAC＝∠AOC＝∠AHM＝90°，∠ACM＝45°，∴∠AMC＝∠ACM＝45°，∴AM＝AC，∵∠MAH+∠CAO＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠MAH＝∠ACO，∴△AHM≌△COA（AAS），∴MH＝OA，OC＝AH，设C（a，0），∵A（0，2），B（0，﹣3），∴OA＝MH＝2，OB＝3．AB＝5，OC＝AH＝a，BH＝a﹣5，∵MH∥OC，∴＝，∴＝，解得a＝6或﹣1（舍弃），经检验a＝6是分式方程的解，∴C（6，0），OC＝6，①当∠D1CA＝∠ABC时，点A是△BCD1的“理想点”．设D1（0，m），∵∠D1CA＝∠ABC，∠CD1A＝∠CD1B，∴△D1AC∽△D1CB，∴CD12＝D1A•D1B，∴m2+62＝（m﹣2）（m+3），解得m＝42，∴D1（0，42）．②当∠BCA＝∠CD2B时，点A是△BCD2的“理想点”．易知：∠CD2O＝45°，∴OD2＝OC＝6，∴D2（0，6）．综上所述，满足条件的点D坐标为（0，42）或（0，6）．23．解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴DB＝DC．（2）如图2，连接OC、OD、OG、OH，作OM⊥GH．则OD＝OC，∴∠OCH＝∠ODH，∵，∴DO⊥BC，∴∠ODG＝∠ODH，∴∠ODG＝∠OCH，在△ODG和△OCH中：∴△ODG≌△OCH（SAS），∴OG＝OH，∵OM⊥GH，∴GM＝MH，EM＝FM，∴EG＝FH．（3）如图3，延长BM交圆O于P，连接CP、DP，作DQ⊥BM于Q，延长HD至R，使DR＝DG，连接RG．∵BC为直径，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝∠BPD＝∠CPD＝45°，∵BM平分∠ABC，，∴∠PDM＝∠PDC，在△DPM和△DMC中：∴△DPM≌△DMC（ASA），∴DM＝DC＝DB，PC＝PM，∴∠MDQ ＝∠MDB，BQ＝MQ ＝BM∴∠QDP＝∠QDM+∠MDP ＝∠BDM +∠MDC ＝∠BDC＝45°，∴PQ＝DQ，∵DK⊥GH，∴∠BDK＝∠RHG，∵RD＝GD，∠GDR＝90°，∴∠GRH＝45°＝∠KBD，又∵GD＝CH，∴RD＝CH，∴RH＝CD＝BD，在△DBK和△HRG中：∴△DBK≌△HRG（ASA），∴GH＝DK ＝BM．∵S△BDK ﹣S△CKM＝1，∴S△BDM ﹣S△CBM＝1，∴﹣＝BM（DQ﹣CP ）＝BM（PQ﹣PM ）＝BM2＝1．∴BM＝2，∴GH＝DK ＝BM＝2，∴S四边形DGKH＝GH•DK＝4．21。
2020年中考数学圆专题复习及答案
2020年中考数学圆专题复习及答案（名师总结历年中考真题，值得下载练习）1．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O与BC相切于点C，⊙O与AB相交于点D，E是BC的中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，，求DE的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：△PCF是等腰三角形；（2）若tan∠ABC＝，BE＝，求线段PC的长．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE ⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC＝3，CD＝3，求弦AD的长．4．如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG ＝3，求⊙O的半径．5．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．6．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，点C在半圆O上，且∠ACD ＝∠B．（1）求证：DC为圆O切线；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC、BC于点E、F，若AC＝3，BC＝4，求CE的长．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB边的中点O为圆心，线段OA的长为半径作圆，分别交BC、AC边于点D、E，DF⊥AC于点F，延长FD交AB延长线于点G．（1）求证：FD是⊙O的切线．（2）若BC＝AD＝4，求tan∠GDB的值．8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D，E为弧BC的中点，连接AE、BE，AE交CD于点F．（1）求证：∠AEC＝90°﹣2∠BAE；（2）过点E作⊙O的切线，交DC的延长线于G，求证：EG＝FG；（3）在（2）的条件下，若BE＝4，CF＝6，求⊙O的半径．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．10．如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点B作⊕O的切线，与CA的延长线相交于点E，F是BE的中点，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）如图2，若AD⊥BC于点D，连接CF与AD相交于点G，求证：AG＝GD；（3）在（2）的条件下，若FG＝BF，且⊙O的半径长为3，求BD的长度．11．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB，垂足为E，CE的延长线与DB 相交于点F．已知AB＝8，CE＝．（1）求BC的长；（2）若EF＝，求CD的长．13．AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两个点，AD交BC于点F，点E在AB上，DE 交BC于点G，且∠DGF＝∠CAB．（1）如图1．求证：DE⊥AB．（2）如图2．若AD平分∠CAB．求证：BC＝2DE．（3）如图3．在（2）的条件下，连接OF，若∠AFO＝45°，AC＝，求OF的长．14．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝2，BC＝，求DE的长．15．如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AC是⊙O的直径，∠DAC＝2∠BAC，过点B的直线与AC的延长线、DC的延长线分别相交于点E、F，且EF＝CF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE＝3，求CD的长．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且CE＝AD，连接DE．（1）求证：四边形AOCD是菱形；（2）若AD＝6，求DE的长．17．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，P A是⊙O的切线，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：∠P AC＝∠PBA；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝8，AF：FD ＝1：3，GF＝1①求CF的长；②求cos∠ACE的值．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长．19．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．20．如图，P是⊙O外的一点，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交P A的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求的值．21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，⊙C与AB相切于点D，延长AC 到点E，使CE＝AC，连接EB．过点E作BE的垂线，交⊙C于点P、Q，交BA的延长线于点F．（1）求AD的长；（2）求证：EB与⊙C相切；（3）求线段PQ的长．22．如图，点P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，点A是切点，点B是⊙O上一点，且P A ＝PB，延长BO分别与⊙O，切线P A的延长线相交于C，Q两点．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）点D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为9，OQ＝15，求的值．23．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，连接PD．（1）求证：PD与⊙O相切；（2）连结CO并延长⊙O于点F，连结FP交CD于点G，如果CF＝10，PE：PC＝4：5，求EG的长．24．如图所示，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且P A＝PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线P A相交于点Q．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AQ•PQ＝OQ•BQ；（3）设∠AOQ＝α，若，OQ＝15，求AB的长．25．如图所示，P是⊙O外一点，P A是⊙的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且P A＝PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线P A相交于点Q．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AQ•PQ＝BQ•OQ；（3）设∠APB＝α，若tan a＝，AQ＝3，求AB的长．26．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，AC与⊙O相交于点D，点E在AB的延长线上，且DE与⊙O相切，DE与BC相交于点F．（1）求证：CF＝DF；（2）若CF＝3，EF＝7，求AC的长．27．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D 是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且＝．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD＝12，AM＝MC，求的值．28．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC∥OD，过点D的切线与AB的延长线交于点E，CB与OD相交于点F，若AB＝，DB＝．（1）求证：CB∥DE；（2）求BE的长．29．如图，D为圆O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）图中∠ADB＝°，理由是；（2）判断直线CD与圆O的位置关系，并证明；（3）过点B作圆O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝6，tan∠CDA＝，求线段BE的长．30．如图，AB是⊙O的直径，P A，PC与⊙O相切，切点分别为A、C，PC的延长线与AB 的延长线相交于点D．（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想；（2）若OA＝1，P A＝2，求BD的长．31．如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与⊙O相切于点D （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如图2，连接CD，若tan∠BCD＝，⊙O的半径为，求BC的长．32．如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A＝∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM＝1时，求MN的长．33．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sin B＝，求CF的长．34．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过点P作⊙O的切线，切点为D，BC垂直于PD，垂足为C，BC与⊙O相交于点E，连接OE，交BD于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若BC＝6，tan P＝，①求线段BD的长；②求线段BF的长．35．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC 于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF＝2，且AF＝4，求BD和DE的长．36．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB＝6，AD＝4，求EF的长．37．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作ED⊥AE，垂足为E，交AB的延长线于F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若AD＝4，AB＝6，求FD的长．38．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E，且ED∥BC，连接AD交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠DAE；（2）若DF＝，AD＝5，求⊙O的半径．39．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．参考答案与试题解析一．解答题（共39小题）1．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O与BC相切于点C，⊙O与AB相交于点D，E是BC的中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OD．∵BC是⊙O⊙的切线，AC是直径，，∴∠ACB＝90°，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝90°，又∵EB＝EC∴DE为直角△DCB斜边的中线，∴DE＝CE＝BC．∴∠DCE＝∠CDE，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC+∠CDE＝∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ODE＝90°∴DE是⊙O的切线．（2）∵，∴设AD＝x，CD＝2x，∵AC＝5，AD2+DC2＝AC2，∴x2+（2x）2＝52，∴x＝，即AD＝，CD＝2，在Rt△BDC和Rt△ADC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，∴BC＝10．∴DE＝BC＝5．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：△PCF是等腰三角形；（2）若tan∠ABC＝，BE＝，求线段PC的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵弦CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF＝45°，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，即∠PCB+∠OCB＝90°，而OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，而∠OBC+∠BAC＝90°，∴∠PCB＝∠BAC，∵∠PCF＝∠PCB+∠BCF＝∠PCB+45°，∠PFC＝∠F AC+∠ACF＝∠BAC+45°，∴∠PCF＝∠PFC，∴△PCF是等腰三角形；（2）解：连结AE，如图，∵∠ABE＝∠ACE＝45°，∠BAE＝∠BCE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴AB＝BE＝×＝7，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝，设AC＝4x，BC＝3x，则AB＝5x，∴5x＝7，解得x＝，∴AC＝，BC＝，∵AD⊥CD，OC⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，而∠ACO＝∠OAC，∴∠DAC＝∠BAC，∴Rt△DAC∽Rt△CAB，∴＝＝，即＝＝，∴AD＝，DC＝，∵OC∥AD，∴△POC∽△P AD，∴＝，即＝，∴PC＝12．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE ⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC＝3，CD＝3，求弦AD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠3，∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠2，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）连接BD．∵∠CDO＝∠ADB＝90°，∴∠2＝∠CDB＝∠1，∵∠C＝∠C，∴△CDB∽△CAD，∴＝＝，∴CD2＝CB•CA，∴（3）2＝3CA，∴CA＝6，∴AB＝CA﹣BC＝3，＝＝，设BD＝K，AD＝2K，在Rt△ADB中，2k2+4k2＝9，∴k＝，∴AD＝．4．如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG ＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE＝∠AFE，∴tan∠ABE＝tan∠AFE＝，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE＝＝设EH＝3x，BH＝4x，∴BE＝5x，∵BG＝BE＝5x，∴GH＝x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2＝（3）2，解得x＝3，∴EH＝9，BH＝12，设⊙O的半径为r，则OH＝r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．5．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：∵AB＝AC，OB＝OC，∴A、O在线段BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC，又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC；（2）解：延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示：则CE是⊙O的直径，∴∠EBC＝90°，BC⊥BE，∵∠E＝∠BAC，∴sin E＝sin∠BAC，∴＝，∴CE＝BC＝10，∴BE＝＝8，OA＝OE＝CE＝5，∵AH⊥BC，∴BE∥OA，∴，即＝，解得：OD＝，∴CD＝5+＝，∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，∴OH是△CEB的中位线，∴OH＝BE＝4，CH＝BC＝3，∴AH＝5+4＝9，在Rt△ACH中，AC＝＝＝3．。
2020年九年级数学 中考第二轮专题训练 圆 (含答案)
2020年九年级数学中考第二轮专题训练圆1、已知：如图，⊙O的直径A B与弦C D相交于E，＝，⊙O的切线B F与弦A D的延长线相交于点F．（1）求证：C D∥B F．（2）连接B C，若⊙O 的半径为4，cos∠BCD ＝，求线段A D、C D的长．2、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）判断D E与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）如果⊙O的直径为9，cos B＝，求D E的长．3、如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以A B为直径作⊙O，点D 为⊙O上一点，且C D＝C B，连接D O并延长交C B的延长线于点E．（1）判断直线C D与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及A C的长．4、如图，BC 是⊙O的直径，CE 是⊙O的弦，过点E 作⊙O 的切线，交C B的延长线于点G，过点B作B F⊥G E于点F，交C E的延长线于点A．（1）求证：∠ABG＝2∠C；（2）若G F＝33，GB＝6，求⊙O的半径．5、如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，P是C D延长线上的点，且A P＝A C．（1）求证：A P是⊙O的切线；（2）若A C＝3，求P D 的长．6、如图，在矩形A B C D中，CD＝2，AD ＝4，点P在B C上，将△A B P沿A P折叠，点B 恰好落在对角线A C上的E点，O为A C上一点，⊙O经过点A，P（1）求证：BC 是⊙O的切线；（2）在边C B上截取C F＝C E，点F是线段B C的黄金分割点吗？请说明理由．7、已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，点O在A B上，以O为圆心，O A 长为半径的圆与A C，A B分别交于点D，E，且∠CB D＝∠A．（1）判断直线B D与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若B C＝2，B D＝，求的值．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．9、如图，在△A B C中，A B＝A C，以A B为直径的⊙O分别交B C、A C于点D、E，连接E B交O D于点F．（1）求证：O D⊥B E；（2）若D E＝，A B＝，求A E的长．10、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线D F是⊙O的切线；（2）求证：B C2＝4C F•A C；（3）若⊙O的半径为 4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．11、如图，A B是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为O D延长线上一点，且∠C A E＝2∠C，AC 与B D交于点H，与O E交于点F．（1）求证：AE 是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tan C＝，求直径A B的长．12、已知Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以A B为直径作⊙O交A C于点D，连接B D．（1）如图 1，若BD ：CD ＝3：4，AD ＝3，求⊙O的直径A B的长；（2）如图 2，若E是B C的中点，连接E D，请你判断直线E D与⊙O的位置关系，并证明你的结论．13、如图，△A B C内接于⊙O，A B为直径，作O D⊥A B交A C于点D，延长B C，O D交于点F，过点C作⊙O的切线C E，交O F于点E．（1）求证：E C＝E D；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦A C的长．14、以坐标原点为圆心，1 为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过 1 秒后点P运动到点（2，0），此时P Q 恰好是⊙O的切线，连接O Q．求∠Q O P的大小；（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q 再经过 5 秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．15、如图，已知半径为 1 的⊙O1 与x轴交于A，B两点，O M 为⊙O1 的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y＝﹣x2+b x+c的图象经过A，B两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线O M的函数解析式；（3）线段O M 上存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△O O1M 相似．请问有几个符合条件的点P 并分别求出它们的坐标．16、（1）方法选择如图①，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D，A B＝B C＝A C．求证：B D＝A D+C D．小颖认为可用截长法证明：在D B上截取D M＝A D，连接A M…小军认为可用补短法证明：延长C D至点N，使得D N＝A D…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究 1】如图②，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D，B C是⊙O的直径，A B＝A C．试用等式表示线段A D，B D，C D之间的数量关系，井证明你的结论．【探究 2】如图③，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D．若B C是⊙O的直径，∠ABC ＝30°，则线段A D，B D，C D之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D．若B C是⊙O的直径，B C：A C：A B＝a：b：c，则线段A D，B D，C D之间的等量关系式是．17、如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以B C上一点O为圆心作圆与A B相切于点D，与B C分别交于点F、N，连接D F并延长交A C的延长线点E．（1）求证：A E＝A D；（2）过点D作D H⊥B C于点B，连接A F并延长交⊙O于点G，连接D G，若D O平分∠G D H．求证：∠A F D＝2∠D F N；（3）在（2）的条件下，延长D G交A E的延长线于点P，连接P F并延长交⊙O于点M，若FM＝5，FH ＝9，求O H的长．参考答案1、（1）证明：∵直径A B平分，∴AB⊥CD．∵BF与⊙O相切，AB是⊙O的直径，∴A B⊥B F．∴C D∥B F．（2）解：连接BD，BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在Rt△ADB中，∵cos∠BAF＝c os∠BCD＝，AB＝4×2＝8．∴AD＝AB •c o s∠BAF＝8×＝6．∵AB⊥CD于E，在Rt△AED中，c os∠BAF＝c os∠BCD＝，sin∠BAF＝．∴DE＝AD •s i n∠BAF＝6×．∵直径A B平分，∴C D＝2D E＝3．2、解：（1）答：D E是⊙O的切线．证明：连接O D，A D，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即A D⊥B C，∵O D＝O A，∴∠O D A＝∠O A D，∴∠O A D＝∠C A D，∴∠O D A＝∠C A D，又∵D E⊥A C，∴∠EDA+∠CAD＝90°，∴∠EDA+∠ODA＝90°，即：O D⊥D E，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，∵cos∠B＝＝，AB＝9，∴B D＝C D＝3，在Rt△CDE中，∵cos∠C＝，∴CE＝CD•cos∠C＝3•cos∠B＝3×＝1，∴D E＝＝2．3、（1）证明：连接O C．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△O C B≌△O C D（S S S），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△O B E中，∵O E2＝E B2+O B2，∴（4﹣r）2＝r2+22，∴r＝1.5，∵tan∠E＝＝，∴＝，∴CD＝BC＝3，在Rt△ABC中，A C＝＝＝3．∴圆的半径为1.5，AC 的长为3．4、（1）证明：连接O E，∵EG是⊙O的切线，∴O E⊥E G，∵B F⊥G E，∴O E∥A B，∴∠A＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠O E C＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABG＝∠A+∠C，∴∠ABG＝2∠C；（2）解：∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝3，GB＝6，∴B F＝＝3，∵BF∥OE，∴△B G F∽△O G E，∴＝，∴＝，∴OE＝6，∴⊙O的半径为 6．5、解：（1）证明：连接O A，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°，∴∠AOP＝60°，又∵A P＝A C，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝90°，即O A⊥A P，∵点A在⊙O上，∴AP是⊙O的切线．（2）解：连接A D，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝AC∙tan30°＝，C D＝2A D＝2，∴D O＝A O＝C D＝，在Rt△P A O中，由勾股定理得：P A2+A O2＝P O2，∴32+（）2＝（P D+）2，∵PD的值为正数，∴P D＝．6、解：（1）连接O P，则∠P A O＝∠A P O，而△A E P是由△A B P沿A P折叠而得：故A E＝A B＝4，∠O A P＝∠P A B，∴∠BAP＝∠OPA，∴AB∥OP，∴∠OPC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）C F＝C E＝A C﹣A E＝﹣4＝2﹣2，＝，故：点F是线段B C的黄金分割点． 7、解：（1）直线B D与⊙O相切．证明：如图 1，连接O D．∵OA＝OD，∴∠A＝∠A D O．∵∠C＝90°，∴∠CBD +∠CDB＝90°．又∵∠C B D＝∠A，∴∠ADO+∠CDB＝90°．∴∠ODB＝90°．∴直线BD与⊙O相切．（2）解法一：如图 1，连接DE．∵∠C＝90°，BC＝2，BD＝∴．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°．∴．∵∠CBD＝∠A，∴＝＝．∵AE＝2AO，∴＝．解法二：如图 2，过点O作OH⊥AD于点H．∴．∴∵∠C＝90°，BC＝2，BD＝∴．∵∠CBD＝∠A，∴＝＝．∴＝．8、（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，∴CF与⊙O相切；（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，∵A O＝B O，∴A D＝B D，∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，∴∠ADB＝45°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD．9、证明：（1）连接A D．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∵A B＝A C，∴D C＝D B．∵O A＝O B，∴O D∥A C．∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴OD⊥BE．（2）设AE＝x，∵OD⊥BE，∴可得OD是BE的中垂线，∴DE＝DB，∴∠1＝∠2，∴B D＝E D＝，∵O D⊥E B，∴F E＝F B．∴O F＝A E＝，D F＝O D﹣O F＝．在Rt△DFB 中，；在Rt△OFB 中，；∴＝．解得，即．10、解：（1）如图所示，连接O D，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接A D，则A D⊥B C，则A B＝A C，则D B＝D C＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，而∠D F C＝∠A D C＝90°，∴△C F D∽△C D A，∴C D2＝C F•A C，即B C2＝4C F•A C；（3）连接O E，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△O A E＝A E×O E sin∠O E A＝×2×O E×cos∠O E A×O E sin∠O E A＝4，S ＝﹣S ＝×π×42﹣4 ＝﹣4 ．阴影部分S扇形OAE △OAE11、解：（1）∵D是的中点，∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°，∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠CAE＝∠AOE，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠O D B，∴∠O D B＝∠C，∴tan C＝tan∠ODB＝＝，∴设HF＝3x，DF＝4x，∴DH＝5x＝9，∴x＝，∴D F＝，H F＝，∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD，∴△D F H∽△C F D，∴＝，∴C F＝＝，∴A F＝C F＝，设O A＝O D＝x，∴O F＝x﹣，∵A F2+O F2＝O A2，∴（）2+（x﹣）2＝x2，解得：x＝10，∴OA＝10，∴直径AB的长为 20．12、解：（1）如图，∵A B是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．则∠CDB＝∠ADB＝90°．∴∠C+∠CBD＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°．∴∠C＝∠A B D．∴△A D B∽△B D C．∴．∵BD：CD＝3：4，AD＝3，∴BD＝4．在Rt△A B D中，A B＝；（3 分）（2）直线E D与⊙O相切．证明：如图，连接O D．由（1）得∠BDC＝90°．∵E是BC的中点，∴D E＝B E＝B C，∴∠E D B＝∠E B D，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠OBD+∠EBD＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝∠ODE＝90°．∵点D在⊙O上，且OD⊥DE∴ED是⊙O的切线．（5 分）13、（1）证明：连接O C，∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠ACE+∠A＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A＝90°，∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE+∠A＝90°，∴∠CDE＝∠ACE，∴EC＝ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，∴∠CDE +∠ECF＝90°，∵∠CDE +∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴E C＝E F，∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴O E＝＝5，∴OD＝OE﹣DE＝2，在Rt△OAD中，A D＝＝2，在Rt△AOD 和Rt△ACB 中，∵∠A＝∠A，∠A C B＝∠A O D，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∵∴O C ＝ ＝ ．． ∴A C ＝ ．14、解：（1）如图一，连接A Q ．由题意可知：O Q ＝O A ＝1．∵OP ＝2，∴A 为 OP 的中点．∵PQ 与⊙O 相切于点 Q ，∴△O Q P 为直角三角形．∴．即△OAQ 为等边三角形．∴∠QOP ＝60°．（2）由（1）可知点 Q 运动 1 秒时经过的弧长所对的圆心角为 30°，若 Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过 5 秒，则 Q 点落在⊙O 与 y 轴负半轴的交点处（如图二）．设 直线 P Q 与⊙O 的另外一个交点为 D ，过 O 作 OC ⊥QD 于点 C ，则 C 为 QD 的中点．∵∠QOP ＝90°，OQ ＝1，OP ＝2，∴Q P ＝． ， ∵O C ⊥Q D ，O Q ＝1，O C ＝ ，∴Q C ＝＝ ．∴QD ＝15、解：（1）∵圆心的坐标为O1（2，0），⊙O1 半径为 1，∴A（1，0），B（3，0），∵二次函数y＝﹣x2+b x+c的图象经过点A，B，∴可得方程组，解得：，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．（2）过点M作M F⊥X轴，垂足为F．∵O M是⊙O1 的切线，M为切点，∴O1M⊥O M（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在R T△O O1M中，sin∠O1O M＝＝，∵∠O1O M为锐角，∴∠O1O M＝30°，∴O M＝O O1•cos30°＝，在R T△M O F中，OF＝OM •cos30°＝．MF＝O M sin30°＝．∴点M坐标为（），设切线O M的函数解析式为y＝k x（k≠0），由题意可知＝k，∴k＝，∴切线O M的函数解析式为y＝x（3）两个，①过点A作A P1⊥x轴，与O M交于点P1，可得 Rt△A P1O∽Rt△M O1O（两角对应相等两三角形相似），P1A＝O A•tan∠A O P1＝，∴P1（1，）；②过点A作A P2⊥O M，垂足为，过P2 点作P2 H⊥O A，垂足为H．可得 Rt△O P2A∽Rt△O1 M O（两角对应相等两三角形相似），在Rt△O P2A中，∵OA＝1，∴P2＝O A•cos30°＝，在Rt△O P2 H中，O H＝O P2•cos∠A O P2＝，P2H＝O P2 •sin∠A O P2＝，P2（，），∴符合条件的P点坐标有（1，），（，）．16、解：（1）方法选择：∵A B＝B C＝A C，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△A B M≌△A C D（A A S），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；（2）类比探究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作A M⊥A D交B D于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴D M＝A D，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△A B M≌△A C D（A A S），∴BM＝CD，∴B D＝B M+D M＝C D+A D；【探究 2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，过A作A M⊥A D交B D于M，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠AMD＝30°，∴MD＝2AD，∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，∴△ABM∽△ACD，∴＝，∴B M＝C D，∴B D＝B M+D M＝C D+2A D；故答案为：B D＝C D+2A D；（3）拓展猜想：B D＝B M+D M＝C D+A D；理由：如图④，∵若B C是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，过A作AM⊥AD交BD于M，∴∠MAD＝90°，∴∠B A M＝∠D A C，∴△A B M∽△A C D，∴＝，∴B M＝C D，∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，∴△ADM∽△ACB，∴＝＝，∴D M＝A D，∴B D＝B M+D M＝C D+A D．故答案为：B D＝C D+A D17、解：（1）证明：∵∠A C B＝90°∴∠E+∠CFE＝∠ACB＝90°∵∠CFE＝∠OFD∴∠E+∠OFD＝90°∵AB切⊙O于D∴OD⊥AB∴∠ODF+∠ADE＝90°∵OD＝OF∴∠OFD＝∠ODF∴∠E＝∠ADE∴AE＝AD（2）证明：连接D N∵DO平分∠GDH∴设∠ODG＝∠ODH＝α，设∠FDG＝β，则∠FDH＝2α+β∵OF＝OD∴∠DFN＝∠ODF＝α+β∵DH⊥FN∴∠DHF＝90°∴∠DFN+∠FDH＝90°，即α+β+2α+β＝3α+2β＝90°∵FN为⊙O直径∴∠FDN＝90°∴∠DNF＝90°﹣∠DFN＝90°﹣（2α+β）＝3α+2β﹣（α+β）＝2α+β∴∠G＝∠DNF＝2α+β∵∠AFD＝∠G+∠FDG＝2α+β+β＝2α+2β∴∠AFD＝2∠DFN（3）过O作O Q∥A B交F M于点Q∵∠AEF+∠EFC＝90°，∠DFN+∠FDH＝90°，∠EFC＝∠DFN∴∠AEF＝∠FDH＝2α+β∴∠ADE＝∠AEF＝2α+β∴∠FAD＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝2（3α+2β）﹣（2α+2β）﹣（2α+β）＝2α+β 即∠F A D＝∠A D F∴AF＝DF∴F在AD的垂直平分线上∵∠AEF＝∠FGD＝2α+β，∠AFE＝∠DFG∴∠EAF＝∠FDG＝β∴∠PAD＝∠PDA＝β+（2α+β）＝2α+2β∴PA＝PD∴P在A D的垂直平分线上即P M垂直平分A D∴OQ⊥FM∴∠OQF＝90°，FQ＝F M＝∵OQ∥AB∴∠FOQ＝∠B∵∠B+∠DOH＝∠DOH+∠ODH＝90°∴∠B＝∠ODH∴∠F O Q＝∠O D H在△F O Q与△O D H中∴△FOQ≌△ODH（AAS）∴OH＝FQ＝。
2020-2021中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题附答案
2020-2021中考数学专题复习分类练习圆的综合综合解答题附答案一、圆的综合1．如图，⊙A过▱OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）．（1）若∠BOH=30°，求点H的坐标；（2）求证：直线PC是⊙A的切线；（3）若OD=10，求⊙A的半径．【答案】（1）（132）详见解析；（3）5 3 .【解析】【分析】（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；（2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M．∵四边形OBCD是平行四边形，∴∠B=∠ODC∵四边形OHCD是圆内接四边形∴∠OHB=∠ODC∴∠OHB=∠B∴OH=OB=2∴在Rt△OMH中，∵∠BOH=30°，∴MH=12OH=1，33∴点H的坐标为（13（2）连接AC．∵OA=AD，∴∠DOF=∠ADO∴∠DAE=2∠DOF∵∠PCD=2∠DOF，∴∠PCD=∠DAE∵OB与⊙O相切于点A∴OB⊥OF∵OB∥CD∴CD⊥AF∴∠DAE=∠CAE∴∠PCD=∠CAE∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°∴直线PC是⊙A的切线；（3）解：⊙O的半径为r．在Rt△OED中，DE=12CD=12OB=1，OD=10，∴OE═3∵OA=AD=r，AE=3﹣r．在Rt△DEA中，根据勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1解得r=53．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键．2．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.【答案】(1) S 阴影=(a 2-b 2)；(2)PC=6. 【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB 逆时针旋转90°可与△PAB 重合，此时阴影部分面积=扇形BAC 的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C 是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC 的长．试题解析：（1）∵将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P′CB 的位置， ∴△PAB ≌△P'CB ， ∴S △PAB =S △P'CB ，S 阴影=S 扇形BAC -S 扇形BPP′=（a 2-b 2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB ≌△CP′B ，∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P 2=PB 2+P'B 2=32； 又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C 是直角三角形． PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．3．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F . （1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD . （2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA=25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .∴BD CDBO EO= ∴252EO =.∵OE ∥BD ，CO =OD ， ∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=4．如图，在直角坐标系中，已知点A (－8，0)，B (0，6)，点M 在线段AB 上。