河南省南阳市宛城区2019-2020学年九年级上学期期中数学试题
河南省南阳市宛城区2019-2020学年九年级上学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．若()2
1510a x x --+=是关于x 的一元二次方程，则a 不能取（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．2
2．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A B C D 3．方程2(2)3(2)x x -=-的解是
A ．5x =
B ．2x =
C ．5x =或2x =
D ．1x =或2x = 4．下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A ．a ＝4，b ＝8，c ＝5，d ＝10
B ．a ＝2，b ＝c d ＝5
C ．a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4
D ．a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝4
5．若是方程x 2-4x+c=0的一个根，则c 的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．6．下列运算正确的是（ ）
A =
B ．=
C 123
=
D 2= 7．一元二次方程（x ﹣1）（x +5）＝3x +2的根的情况是（ ）
A ．方程没有实数根
B ．方程有两个相等的实数根
C ．方程有两个不相等的实数根
D ．方程的根是1、﹣5和−23
8．已知3a =+，3b =的值是（ ）
A ．
B ．±
C ．24
D ．9．如图．AB ∥CD ∥EF ，AF 、B
E 交于点G ，下列比例式错误的是（ ）
A ．AD BC DF CE =
B ．AG BG GD CG =
C ．GC C
D G
E E
F = D ．AB A
G EF GE = 10．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB 位于树的西面.山高AB 为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C 恰好与山峰A 处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高AB 的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）( )
A ．162丈
B ．163丈
C ．164丈
D ．165丈
11x 的取值范围是______．
12．已知()222181x y ++=，则22x y +=_________．
13．如图,矩形EFGO 的两边在坐标轴上,点O 为平面直角坐标系的原点,以y 轴上的某一点为位似中心,作位似图形ABCD ,且点,B F 的坐标()()4,4,2,1-,则位似中心的坐标为__________．
14．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数4y x
=上，第二象限的点B 在反比例函数k y x
=上，且OA OB ⊥，OB 3OA 4=，则k 的值为_______．
15．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =．点D 是边AC 的中点，点E 在边AB 上，将ADE 沿DE 翻折，使点A 落在点A '处，当//A E BC '时，线段AE 的长为_________．
16．解方程：
216702
x x --=． 17．计算． （1
(
)10201912-⎛⎫-++
⎪ ⎪⎝⎭
； （2
2+
18．如图，在ABC 中，5cm AB AC ==，6cm BC ，点P 从点A 出发，沿AB 边以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以2cm /s v 的速度向点
C 匀速运动，
如果P 、Q 同时出发，当Q 点到达C 点时，P 点随之停止运动．当PBQ △中有一个内角等于12
BAC ∠时，求运动时间()t s 的值．
19．已知关于x 的方程()2321504x k x k ⎛
⎫-++-= ⎪⎝⎭
． （1）求证：无论k 取何值，该方程总有实数根；
（2）若等腰ABC 的一边长4a =，另两边b 、c 恰好是该方程的两个根，求ABC 的周长．
20．某产品每件的生产成本为500元，原定销售价为625元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价将 下降
20%
，第二季度又将回升
6%．该产品每件的生产成本平均每个季度应降低的百分率是多少时，才能使半年后的销售利润不变．
21．如图，90ABD BCD ︒∠=∠=，
DB 平分∠ADC ，过点B 作BM CD ‖交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．
（1）求证：2BD AD CD =⋅；（2）若68CD AD ==，，求MN 的长．
22．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．
（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；
（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．
23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 、y 轴上，OA 、OC 的长分别是方程2680x x -+=的两个根()OA OC <．动点P 以和每秒1个单位的速度，从点C 出发沿折线段CB BA -向点A 运动，运动的时间为()06t t ≤<秒．定点()1,0M -，设MOP △与矩形OABC 重叠部分的面积为S ．
（1）求点B 的坐标；
（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使MCP 为等腰三角形?若存在，直接写出点P 的坐标；否则，请说明理由．。
_河南省南阳市西峡县2019——2020学年九年级上学期期中数学试卷 解析版
2019-2020学年河南省南阳市西峡县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．1．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≤﹣1B．x≥﹣1C．x≤﹣1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2 2．下列二次根式属子最简二次根式的是（）A．18B．C．D．3．计算的结果是（）A．B．C．D．4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x+k2﹣2k﹣3＝0的常数项等于0，则k的值等于（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣35．某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件60.5万个，则该机械厂八、九月份平均每月生产该种零件的增长率为（）A．10%B．12.1%C．210%D．6.5%6．如图，直线l1∥l2∥l3两条直线分别与l1、l2、l3，相交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则下列等式不成立（）A．B．C．D．7．若a＝2﹣，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（）A．1B．﹣1C．4+4D．﹣28．下列方程没有实数根（）A．3x2＝5x﹣2B．4x﹣x2+4＝0C．2x2﹣4x+＝0D．4（x2+1）﹣x＝09．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若四边形ABCD与四边形A'B'C′D'的面积比S ABCD：S A′B′C′D′＝m：n（m＞0，n＞0），则OA：OA'等于（）A．m2：n2B．n2：m2C．D．10．如图，OABC是矩形，点A、C分别在x、y轴上，已知点B（1，2），沿对角线AC将△ABC折叠，点B落在B′位置，则点B'的坐标为（）A．（）B．（）C．（）D．（）二、填空题（每小题3分，共15分）11．实数a、b满足，则a﹣b的算术平方根等于．12．已知，则＝．13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在边BC上，AB＝BD＝3，CD＝2，点E是边AC上的动点，当CE＝时，以点C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．14．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣4a+2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．15．如图，△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），AB所在直线的函数关系式是y＝x+6．当反比例函数y＝的图象与△ABC有交点时，k的取值范围是．三、解答题：（共8各小题，75分）16．（8分）计算：17．（8分）直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．18．（9分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2+1＝0．（1）若方程的一个根是1，求实数a的值．（2）当a＝﹣2时，用配方法解方程．19．（9分）已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．20．（10分）如图，点D是线段BC的中点，射线DA⊥BC，连结AB、AC；点E是线段AC 的中点，点P是线段BC上的动点．（1）当∠APE＝∠B时，求证：①△ABP∽△PCE；②2EC2＝BP•PC．（2）点F是线段AB的中点，连结PF，当点P与点D重合时：①若BC＝4，四边形PEAF的面积为8，则AD＝．②当∠BAC＝时，四边形PEAF是正方形．21．（10分）某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？22．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与点A、C重合的任意一点，连结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD、BD、CP．（1）观察猜想：如图（1），当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究：如图（2），当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题：当α＝90°时，若点E、F分别是CA、CB的中点，点P在直线EF上，如图（3），请直接写出当点C、P、D在同一直线上时值．23．（11分）如图，一次函数y＝kx+2的图象BC与直线AC在y轴上相交于点C．已知：∠ACB＝90°，点A（3，0）．（1）求直线AC的关系式和k的值．（2）若点P是x轴上一动点，过点P作直线PD⊥x轴，分别交直线AC、BC于点D、E，设点P的坐标为（m，0）．求当△DCE的面积等于13时m的值．2019-2020学年河南省南阳市西峡县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．1．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≤﹣1B．x≥﹣1C．x≤﹣1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥﹣1且x≠2．故选：D．2．下列二次根式属子最简二次根式的是（）A．18B．C．D．【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、18不是二次根式，不合题意；B、﹣，分母上含有根号，故此选项错误；C、，被开方数中含有可开平方的因式，故此选项错误；D、，是最简二次根式，符合题意．故选：D．3．计算的结果是（）A．B．C．D．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝9×﹣4＝﹣．故选：D．4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x+k2﹣2k﹣3＝0的常数项等于0，则k的值等于（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3【分析】由一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣3k+2＝0的常数项为零，即可得k2﹣2k﹣3＝0＝0且k+1≠0，继而求得答案．【解答】解：由题意，得k2﹣2k﹣3＝0＝0且k+1≠0，所以（k﹣3）（k+1）＝0且k+1≠0，所以k﹣3＝0．解得k＝3．故选：B．5．某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件60.5万个，则该机械厂八、九月份平均每月生产该种零件的增长率为（）A．10%B．12.1%C．210%D．6.5%【分析】设该机械厂八、九月份平均每月生产该种零件的增长率为x，根据该厂七月份及九月份生产零件的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该机械厂八、九月份平均每月生产该种零件的增长率为x，依题意，得：50（1+x）2＝60.5，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．故选：A．6．如图，直线l1∥l2∥l3两条直线分别与l1、l2、l3，相交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则下列等式不成立（）A．B．C．D．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，故A正确∴，故B正确∴，故D正确；故选：C．7．若a＝2﹣，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（）A．1B．﹣1C．4+4D．﹣2【分析】将所求代数式利用配方法转化为2（a﹣2）2﹣9的形式，代入求值即可．【解答】解：∵a＝2﹣，∴2a2﹣8a﹣1＝2（a﹣2）2﹣9＝2（2﹣﹣2）2﹣9＝2×5﹣9＝1．故选：A．8．下列方程没有实数根（）A．3x2＝5x﹣2B．4x﹣x2+4＝0C．2x2﹣4x+＝0D．4（x2+1）﹣x＝0【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：（A）△＝25﹣4×3×2＝1＞0，故A有实数根；（B）△＝16+4×1×4＝32，故B有实数根；（C）△＝16﹣4×2×＝14＞0，故C有实数根；（D）△＝1﹣4×4×4＝﹣63＜0，故D没有实数根；故选：D．9．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若四边形ABCD与四边形A'B'C′D'的面积比S ABCD：S A′B′C′D′＝m：n（m＞0，n＞0），则OA：OA'等于（）A．m2：n2B．n2：m2C．D．【分析】根据两个图形是相似形，根据相似图形的性质：面积之比等于对应边之比的平方可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，四边形ABCD 与四边形A'B'C′D'的面积比S ABCD：S A′B′C′D′＝m：n（m＞0，n＞0），∴OA：OA'＝：，故选：C．10．如图，OABC是矩形，点A、C分别在x、y轴上，已知点B（1，2），沿对角线AC将△ABC折叠，点B落在B′位置，则点B'的坐标为（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】过点B'作B'H⊥x轴，交点为H，由折叠的性质和平行线的性质可得AD＝CD，由勾股定理可求AD，OD的长，由平行线分线段成比例B'H，OH的长，即可求解．【解答】解：如图，过点B'作B'H⊥x轴，交点为H，∵点B（1，2），∴AB＝CO＝2，BC＝OA＝1，∵沿对角线AC将△ABC折叠，∴AB＝AB'＝2，∠BAC＝∠CAB'，∵AB∥OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠ACO＝∠CAB'，∴AD＝CD，∵AD2＝OD2+AO2，∴AD2＝（2﹣AD）2+1，∴AD＝＝CD，∴OD＝，B'D＝∵B'H∥OD，∴＝∴B'H＝＝，AH＝，∴OH＝，∵点B'在第三象限∴点B'（﹣，）故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．实数a、b满足，则a﹣b的算术平方根等于2．【分析】先根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，代入求ab算术平方根即可．【解答】解：∵+＝0，∴a﹣16＝0，ab﹣64＝0，解得a＝16，b＝4，∴a﹣b＝16﹣4＝12，∴a﹣b的算术平方根为＝2．故答案为：2．12．已知，则＝．【分析】根据比例的性质解答即可．【解答】解：由，可得：a＝b，c＝d，把a＝b，c＝d代入＝，故答案为：．13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在边BC上，AB＝BD＝3，CD＝2，点E是边AC上的动点，当CE＝或时，以点C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．【分析】若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则或，分情况进行讨论后即可求出CE的长度．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝BD＝3，CD＝2，∴AC＝，∵当，∠C＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴CE＝，∵，∠C＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴CE＝，故答案为：或．14．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣4a+2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞．【分析】根据根的判别式即可求出答案【解答】解：由题意可知：△＝0，∴4a2﹣4（a2﹣4a+2）＞0，∴16a﹣8＞0，∴a＞，故答案为：a＞15．如图，△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），AB所在直线的函数关系式是y＝x+6．当反比例函数y＝的图象与△ABC有交点时，k的取值范围是4≤k≤．【分析】先求出点A、B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，当反比例函数图象与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y＝x+6，设交点为（x，﹣x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．【解答】解：∵△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），∴把x＝2代入y＝x+6得，y＝﹣×2+6＝，把y＝2代入y＝x+6得，﹣x+6＝2，解得x＝6，∴点A、B的坐标分别为A（2，），B（6，2），根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝2×2＝4最小，设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，则k＝x（﹣x+6）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣）2+，∵2≤x≤6，∴当x＝时，k值最大，此时交点坐标为（，3），因此，k的取值范围是4≤k≤．故答案为：4≤k≤．三、解答题：（共8各小题，75分）16．（8分）计算：【分析】先根据完全平方公式、平方差公式和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．【解答】解：原式＝8﹣4+1﹣（2﹣1）（2+1）+2﹣＝8﹣4+1﹣（12﹣1）+2﹣＝8﹣4+1﹣11+2﹣＝﹣4﹣．17．（8分）直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）利用直接开平方法求解；（3）利用因式分解法求解；（4）利用因式分解法求解．【解答】解：（1）x2＝4x，x2﹣4x＝0．x（x﹣4）＝0，解得x1＝0，x2＝4；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0，（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，解得x1＝1+，x2＝1﹣；（3）2y2﹣y＝6，2y2﹣y﹣6＝0，（2y+3）（y﹣2）＝0，解得y1＝﹣，y2＝2；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0，2x﹣1＝，∴x1＝，x2＝．18．（9分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2+1＝0．（1）若方程的一个根是1，求实数a的值．（2）当a＝﹣2时，用配方法解方程．【分析】（1）将x＝1代入原方程即可求出答案；（2）将a＝﹣2代入方程即可求出答案．【解答】解：（1）将x＝1代入原方程可得：（a﹣1）﹣2+a2+1＝0，解得：a＝1或a＝﹣2，由于a﹣1≠0，∴a＝﹣2；（2）将a＝﹣2代入方程可得：﹣3x2﹣2x+5＝0，∴x2+x＝，∴（x+）2＝，∴x＝±，∴x＝1或x＝；19．（9分）已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．【分析】（1）将方程化为一般式后根据判别式即可求出答案；（2）利用根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，△＝1+4（6+|k|）＝25+4|k|＞0，∴对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6﹣|k|，∵x12+x22＝21，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝21，∴1﹣2（﹣6﹣|k|）＝21，∴|k|＝4，∴k＝±4，20．（10分）如图，点D是线段BC的中点，射线DA⊥BC，连结AB、AC；点E是线段AC 的中点，点P是线段BC上的动点．（1）当∠APE＝∠B时，求证：①△ABP∽△PCE；②2EC2＝BP•PC．（2）点F是线段AB的中点，连结PF，当点P与点D重合时：①若BC＝4，四边形PEAF的面积为8，则AD＝8．②当∠BAC＝90°时，四边形PEAF是正方形．【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AB＝AC，可得∠B＝∠C，由外角的性质可得∠BAP＝∠EPC，可证△ABP∽△PCE；②由相似三角形的性质可得，且AB＝AC＝2EC，可得结论；（2）①由三角形中位线定理可得EF＝4，通过证明四边形PEAF是菱形，可得四边形PEAF的面积＝＝＝8，即可求AD的长；②由正方形的性质可求解．【解答】证明；（1）①∵点D是线段BC的中点，DA⊥BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APE+∠CPE，且∠APE＝∠B，∴∠BAP＝∠EPC，且∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCE；②∵点E是线段AC的中点，∴AC＝2EC＝AB∵△ABP∽△PCE，∴，∴AB•EC＝BP•PC，∴2EC2＝BP•PC；（2）①如图，连接EF，∵点E是AC的中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC，EF＝BC＝2，∵点E是AC的中点，点F是AB的中点，AD⊥BC，∴FD＝AF＝BF＝AB，AE＝EC＝DE＝AC，且AB＝AC，∴AF＝DF＝AE＝DE，∴四边形PEAF是菱形，∴AD⊥EF∴四边形PEAF的面积＝＝＝8，∴AD＝8故答案为8；②若∠BAC＝90°时，四边形PEAF是正方形，理由如下：∵四边形PEAF是菱形，且∠BAC＝90°，∴四边形PEAF是正方形，故答案为：90°．21．（10分）某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式；（2）由销售量不低于240件，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合该工艺品的成本价，即可得出结论；（3）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合（2）的结论即可确定该种工艺品销售单价．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（40，300），（55，150）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700．（2）当y≥240时，﹣10x+700≥240，解得：x≤46，∵成本为30元/件，∴30＜x≤46．答：销售单价应大于30元/件，小于等于46元/件．（3）依题意，得：（x﹣30）（﹣10x+700）＝3750，整理，得：x2﹣100x+2475＝0，解得：x1＝45，x2＝55．∵30＜x≤46，∴x＝45．答：该种工艺品销售单价是45元/件．22．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与点A、C重合的任意一点，连结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD、BD、CP．（1）观察猜想：如图（1），当α＝60°时，的值是1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比探究：如图（2），当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题：当α＝90°时，若点E、F分别是CA、CB的中点，点P在直线EF上，如图（3），请直接写出当点C、P、D在同一直线上时值．【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP ≌△BAD（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，设BD交AC于点H，BD交PC于点G．证明△DAB∽△P AC，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．②如图4中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．∵∠P AD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，P A＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，故答案为：1，60°．（2）如图2中，设BD交AC于点H，BD交PC于点G．∵∠P AD＝∠CAB＝45°，∴∠P AC＝∠DAB，∵＝，∴△DAB∽△P AC，∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，∵∠EHC＝∠AHB，∴∠CEH＝∠HAB＝45°，∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．（3）如图3中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠P AO＝45°，∴∠P AO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EP A＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，∴＝＝2﹣．如图4中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴＝＝2+．综合以上可得的值为2﹣或2+．23．（11分）如图，一次函数y＝kx+2的图象BC与直线AC在y轴上相交于点C．已知：∠ACB＝90°，点A（3，0）．（1）求直线AC的关系式和k的值．（2）若点P是x轴上一动点，过点P作直线PD⊥x轴，分别交直线AC、BC于点D、E，设点P的坐标为（m，0）．求当△DCE的面积等于13时m的值．【分析】（1）利用射影定理求得OB，得到B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AC的关系式和k的值．（2）根据题意表示出E（m，m+2），D（m，﹣m+2），得到DE＝（m+2）﹣（﹣m+2）＝m，然后根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象BC与y轴相交于点C．∴C（0，2），∴OC＝2，∵点A（3，0），∴OA＝3，∵∠ACB＝90°，∴OC2＝OA•OB，即22＝3OB，∴OB＝，∴B（﹣，0），设直线AC的解析式为y＝ax+2，把A（3，0）代入得，3a+2＝0，解得a＝﹣，∴直线AC的关系式为y＝﹣x+2，把B（﹣，0）代入y＝kx+2得，﹣k+2＝0，解得k＝；（2）∵点P的坐标为（m，0）．则E（m，m+2），D（m，﹣m+2），∴DE＝（m+2）﹣（﹣m+2）＝m，∵△DCE的面积等于13，∴DE•m＝13，即m•m＝13，解得m＝±2．。
2019-2020学年河南省南阳市卧龙区九年级(上)期中数学试卷-普通用卷
2019-2020学年河南省南阳市卧龙区九年级（上）期中数学试卷副标题 题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. √(−3)2的化简结果为( )A. 3B. −3C. ±3D. 92. 式子√x−2有意义的条件是( ) A. x ≠2 B. x >−2C. x ≥2D. x >2 3. 一元二次方程y 2−y −34=0配方后可化为( )A. (y +12)2=1B. (y −12)2=1C. (y +12)2=34D. (y −12)2=34 4. 下面四个等式：①3√2×4√2=12√2，②√8−√2=√2，③√(−7)2×6=−7√6，④√32+42=3+4=7，其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知a b =34，则下列等式不成立的是( ) A. 4a =3b B. a+bb =74 C. a 4=b 3 D. a a+b =37 6. 如图，DE//FG//BC ，DF =2FB ，则下面结论错误的是( )A. EG =2GCB. DF =EGC. BF ×EG =DF ×GCD. DF EG =FBGC7. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 的中点，若CE =2，则四边形ADFE 的周长为( )A. 2B. 4C. 6D. 88. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE//BC ，AD =12DB ，若S △ADE =3，则S 四边形DBCE =( )A. 12B. 15C. 24D. 279.已知三角形的两边长分别为4和7，第三边长是方程x2−16x+55=0的根．则这个三角形的周长是()A. 16B. 22C. 16或22D. 010.已知点M(2,2)，规定一次变换是：先作点M关于x轴对称，再将对称点向左平移1个单位长度，则连续经过2019次变换后，点M的坐标变为()A. (−2016,2)B. (−2016,−2)C. (−2017,2)D. (−2017,−2)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若最简二次根式√x+2和√3−x是同类二次根式，则x的值为______．=______．12.已知x：y=1：2，2y=3z，则2x+yy+3z13.设(a2+a+1)2−2(a2+a+1)−3=0，则a=______．14.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AM平分∠BAC，CM⊥AM于点M，N为BC的中点，连结MN，则MN的长为______．15.如图，在△ABC中，AB=8，AC=16，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个长度单位的速度向点B运动：同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个长度单位的速度向点A运动，其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动，当△ABC与以A、P、Q为顶点的三角形相似时，运动时间为______秒．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.计算：(2√3−2)×(√3+1)−3÷√27−(√3−1)2．17.解方程：(1)2x2−7x−4=0．(2)x2+4x+4=(3x+1)2．18.在所给格点图中，画出△ABC作下列变换后的三角形，并写出所得到的三角形三个顶点的坐标．(1)沿y轴正方向平移2个单位后得到△A1B1C1；(2)关于y轴对称后得到△A2B2C2．(3)以点B为位似中心，放大到2倍后得到△A3B3C3．19.已知关于x的一元二次方程(k−1)x2+(2k+1)x+k=0．(1)依据k的取值讨论方程解的情况．(2)若方程有一根为x=−2，求k的值及方程的另一根．20.某学校对毕业班同学三年来参加各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后两年逐年增加，到九年级毕业时累计共有228人次获奖．求这两年中获奖人次的年平均增长率．21.小明想利用影长测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长是1.4米；此时，他发现旗杆AB的一部分影子BD落在地面上，另一部分影子CD落在楼房的墙壁上，分别测得BD=11.2米，CD=3米，求旗杆AB的高度．22.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．(1)填空：若∠BAF=18°，则∠DAG=______°；(2)证明：△AFC∽△AGD；(3)若BFFC =12，请求出FCFH的值．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：△DEC∽△DFB．(2)当点E在线段AC的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；(3)若AC=√5，BC=2√5，DF=4√2，请直接写出CE的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：原式=|−3|=3．故选：A．直接根据2=|a|进行计算即可．本题考查了二次根式的计算与化简：√a2=|a|．2.【答案】D【解析】解：由题意得：x−2>0，解得：x>2，故选：D．根据二次根式和分式有意义的条件可得x−2>0，再解即可．此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．根据配方法即可求出答案．【解答】解：y2−y−34=0y2−y=3 4y2−y+14=34+14(y−12)2=1故选：B．4.【答案】A【解析】解：①3√2×4√2=24，故此选项错误；②√8−√2=√2，正确；③√(−7)2×6=7√6，故此选项错误；④√32+42=5，故此选项错误；故选：A．直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．5.【答案】C【解析】解：A.由4a=3b，可得ab =34，故本选项正确；B.由a+bb =74可得ab+1=74，即ab=34，故本选项正确；C.由a4=b3可得ab=43，故本选项错误；D.由aa+b =37可得3b=4a，即ab=34，故本选项正确；故选：C．内项之积等于外项之积，依据比例的基本性质，即可得出结论．本题主要考查了比例的基本性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．6.【答案】B【解析】解：∵DE//FG//BC，DF=2FB，∴DFFB =EGGC=21，故A正确；∴BF⋅EG=DF⋅GC，故C正确；∴DFEG =FBGC，故D正确；故选：B．根据平行线分线段成比例定理解答即可．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．7.【答案】D【解析】解：∵点E是AC的中点，AB=AC，∴AB=AC=4，∵D是边AB的中点，∴AD=2，∵E、F分别是边、AC、BC的中点，∴DF=12AC=2，同理，EF=2，∴四边形ADFE的周长=AD+DF+FE+EA=8，故选：D．根据三角形的中点的概念求出AB、AC，根据三角形中位线定理求出DF、EF，计算得到答案．本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．8.【答案】C【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴S△ADE：S△ABC是1：9，∵S△ADE=3，∴S△ABC=3×9=27，则S四边形DBCE=S△ABC−S△ADE=27−3=24．故选：C．根据DE//BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9，则可求出S△ABC，问题得解．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．9.【答案】A【解析】解：x 2−16x +55=0，(x −11)(x −5)=0，x −11=0，x −5=0，x 1=11，x 2=5，①三角形的三边是4，7，11，此时4+7=11，不符合三角形三边关系定理，②三角形的三边是4，7，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是4+7+5=16，故选：A ．求出方程的解，即可得出三角形三边长，看看是否符合三角形三边关系定理即可． 本题考查了三角形三边关系定理，解一元二次方程的应用，关键是求出三角形的三边长． 10.【答案】D【解析】解：由题可得，第2019次变换后的点M 在x 轴上方，∴点M 的纵坐标为2，横坐标为2−2019×1=−2017，∴点M 的坐标变为(−2017,2)，故选：D ．根据轴对称判断出点M 变换后在x 轴上方，然后求出点M 纵坐标，再根据平移的距离求出点M 变换后的横坐标，最后写出坐标即可．本题考查了坐标与图形变化−平移，读懂题目信息，确定出连续2019次这样的变换得到点在x 轴上方是解题的关键．11.【答案】12【解析】解：由题意，得x +2=3−x解得x =12．故答案是：12．根据同类二次根式的定义得出方程x +2=3−x ，求出方程的解即可．此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同． 12.【答案】23【解析】解：∵x ：y =1：2，∴2x =y ，又∵2y =3z ，∴2x+y y+3z =y+y y+2y =23，故答案为：23．依据比例的基本性质，即可得到2x =y ，进而得出2x+y y+3z 的值．本题主要考查了比例的基本性质，内项之积等于外项之积．13.【答案】1或−2【解析】解：设a2+a+1=t，则原方程为t2−2t−3=0，所以(t−3)(t+1)=0．解得t=3或t=−1．所以a2+a+1=3，或a2+a+1=−1．所以a2+a−2=0或a2+a+2=0(无解)．所以(a−1)(a+2)=0解得a=1或−2．故答案是：1或−2．设a2+a+1=t，则原方程为t2−2t−3=0，利用因式分解法解方程求得t的值，然后再求关于a的一元二次方程即可．考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．14.【答案】1【解析】解：延长CM交AB于H，在△AMH和△AMC中，{∠MAH=∠MACAM=AM∠AMH=∠AMC=90°，∴△AMH≌△AMC(ASA)∴AH=AC=6，CM=MH，∴BH=AB−AH=2，∵CM=MH，CN=BN，∴MN=12BH=1，故答案为：1．延长CM交AB于H，证明△AMH≌△AMC，根据全等三角形的性质得到AH=AC=6，CM=MH，根据三角形中位线定理解答．本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．15.【答案】4或167【解析】解：设运动时间为t秒．AP=2t，CQ=3t，AQ=AC−CQ=16−3t，当△ABC∽△APQ，AP AB =AQAC，即2t8=16−3t16，解得t=167；当△ACB∽△APQ，AP AC =AQAB，即2t16=16−3t8，解得t=4，故答案为4或167．首先设t秒钟△ABC与以A、P、Q为顶点的三角形相似，则AP=2t，CQ=3t，AQ= AC−CQ=16−3t，然后分两种情况当△ABC∽△APQ和当△ACB∽△APQ讨论．本题考查了相似三角形额判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想．16.【答案】解：原式=2(√3−1)(√3+1)−3÷3√3−(3−2√3+1)=2×(3−1)−√33−4+2√3=4+5√33−4=5√33．【解析】先利用平方差公式、完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．17.【答案】解：(1)2x2−7x−4=0，(x−4)(2x+1)=0，∴x−4=0或2x+1=0，∴x1=4，x2=−12；(2)x2+4x+4=(3x+1)2，(x+2)2=(3x+1)2，(x+2)=±(3x+1)，解得：x1=12，x2=−34．【解析】(1)利用因式分解法求解即可；(2)开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．此题考查了因式分解法解一元二次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．18.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；A1(0,0)，B1(3,1)，C1(2,3)；(2)如图所示，△AB2C2即为所求；A2(0,−2)，B2(−3,−1)，C2(−2,1)；(3)如图所示，△AB2C2即为所求；A3(−3,−3)，B2(3,−1)，C2(1,3)．【解析】(1)将三角形的三点沿y轴正向平移2个单位，即是向上平移两个单位后得到新点，顺次连接得到新图；(2)分别将A，B，C向y轴作垂线，找对应点，顺次连接得到新图形；(3)延长BC、BA，并使其到点B的距离是他们的二倍，找到对应点A3，C3，然后顺次连接，即可得到新图．本题主要考查了平移，轴对称，位似放大变换作图．注意：位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比．19.【答案】解：(1)a=k−1，b=2k+1，c=k，∵△=b2−4ac=(2k+1)2−4×(k−1)×k=8k+1，∴当k>−18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；当k=−18时，原方程有两个相等的实数根；当k<−18时，原方程没有实数根．(2)将x=−2代入原方程，得：(k−1)×(−2)2+(2k+1)×(−2)+k=0，解得：k=6，∴原方程为5x2+13x+6=0，∴方程的另一根为x=−135−(−2)=−35．【解析】(1)根据方程的系数可得出根的判别式△=8k+1，进而可得出方程解得情况；(2)将x=−2代入原方程可求出k值，再利用两根之和等于−ba及方程的一根为x=−2，可求出方程的另一根．本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根”；(2)代入x=−2求出k值．20.【答案】解：设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，根据题意得：48+48(1+x)+48(1+x)2=128，解得：x1=12=50%，x2=−72(不符合题意，舍去)．答：这两年中获奖人次的年平均年增长率为50%．【解析】设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，根据到九年级毕业时累计共有183人次获奖，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.【答案】解：作CE⊥AB于E，∵DC⊥BD于D，AB⊥BD于B，∴四边形BDCE为矩形，∴CE=BD=11.2米，BE=DC=2米，∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，∴AEEC =11.4，即AE11.2=11.4，解得AE=8，∴AB=AE+EB=8+3=11(米)．答：旗杆AB的高度是11米．【解析】作CE⊥AB于E，可得矩形BDCE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE 的长度，加上CD的长度即为旗杆的高度．考查相似三角形的应用；作出相应辅助线得到矩形是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．22.【答案】(1)27；(2)∵四边形ABCD，AEFG是正方形，∴ADAC =√22，AGAF=√22，∴ADAC =AGAF，∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC=45°，∴∠DAG=∠CAF，∴△AFC∽△AGD；(3)3√55．【解析】解：(1)∵四边形ABCD，AEFG是正方形，∴∠BAC=∠GAF=45°，∴∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠GAC=45°，∴∠HAG=∠BAF=18°，∵∠DAG+∠GAH=∠DAC=45°，∴∠DAG=45°−18°=27°，故答案为：27．(2)∵四边形ABCD，AEFG是正方形，∴ADAC =√22，AGAF=√22，∴ADAC =AGAF，∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC=45°，∴∠DAG=∠CAF，∴△AFC∽△AGD；(3)∵BFFC =12，设BF=k，CF=2k，则AB=BC=3k，∴AF=√AB2+BF2=√(3k)2+k2=√10k，AC=√2AB=3√2k，∵四边形ABCD，AEFG是正方形，∴∠AFH=∠ACF，∠FAH=∠CAF，∴△AFH∽△ACF，∴AFAC =FHCF，即：√10k32k =FH2k，∴FH=2√53k，∴FCFH =2√53k=3√55．(1)由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC=∠GAF=45°，于是得到∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠GAC=45°，推出∠HAG=∠BAF=18°，由于∠DAG+∠GAH=∠DAC=45°，于是得到结论；(2)由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出ADAC =AGAF=√22，得，由于∠DAG=∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果；(3)设BF=k，CF=2k，则AB=BC=3k，根据勾股定理得到AF，AC由于∠AFH=∠ACF，∠FAH=∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论．本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键．23.【答案】(1)证明：如图1中，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°，∴∠ACD=∠B，∵DE⊥DF，∴∠EDF=∠CDB=90°，∴∠CDE=∠BDF，∴△DEC∽△DFB．(2)结论成立．理由：如图2中，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°，∴∠ACD=∠B，∴∠DCE=∠DBF，∵DE⊥DF，∴∠EDF=∠CDB=90°，∴∠CDE=∠BDF，∴△DEC∽△DFB．(3)∵∠ACD=∠B，∠ADC=∠BDC，∴△ADC∽△CDB∴CDBD =ACBC=12，由(2)有，△CDE∽△BDF，∵DEDF =DCBD=12，∴ADCD =AECF=DEDF=12，∴CF=2AE，在Rt△DEF中，DE=2√2，DF=4√2，∴EF=√DE2+DF2=√(2√2)2+(4√2)2=2√10，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2(AC−CE)=2(√5−CE)，EF= 2√10，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+[2(√5−CE)]2=40∴CE=2√5，或CE=−2√5(舍5而AC=√5<CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2(AC+CE)=2(√5+CE)，EF=2√10，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+[2(√5+CE)]2=40，∴CE=2√5，或CE=−2√5(舍)，5③如图3中，当点E在CA延长线上时，CF=2AE=2(CE−AC)=2(CE−√5)，EF=2√10，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+[2(CE−√5)]2=40，∴CE=2√5，或CE=−2√5(舍)5．即：CE=2√5或CE=2√55【解析】(1)首先证明∠ACD=∠B，∠EDC=∠BDF，得到△DEC∽△DFB．(2)方法和(1)一样，首先证明∠ACD=∠B，∠EDC=∠BDF，得到△DEC∽△DFB．(3)由(2)的结论得出△ADE∽△CDF，判断出CF=2AE，求出EF，再利用勾股定理，分三种情形分别求解即可．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。
2019-2020学年河南省南阳市新野县九年级（上）期中数学试卷试题及答案（解析版）
2019-2020学年河南省南阳市新野县九年级
（
上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30
分）
下列各小题均有四个答案, 其中只有一个答案是正确
的，请将正确答案的代号字母填入题后的括号内.
1.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x.
..— 2
B.
用，—2C. x >-2D.x v —
2
2.己知一元二次方程x+fcc-3 = 0有一个根为
1,则化的值为
（
2
)
A. -2B. 2C.-4
D.
4
3.已知
/?>0,
化简的结果是（
)
_。J—cibA. a4abB. -ayfabC.
D.
ay/-ab
4.计算
：（4V2-3V6）
-2
a/2
的结果是（
)
3
5. 一个等腰三角形的底边长是6,
腰长是一元二次方程
x2-8
x +
15 =
0
的一根，则此三角形
A. 2--V3
2C.D.H. 1----
323
的周长是（ ）A. 16
B. 12
C. 14
D.12 或 16
6.若关于尤的方程kx2 -x- — =。有实数根,
4
B.七..-【
且■一
0
3
则实数*
的取值范围是（
A. k
= 0
D.
k>-k
C.
k...—
3
)
7.如图
，小正方形的边长均为1,
则下列图中的三角形（阴影部分）与AABC相似的是（
)
c.伺8.如图，D、E分别是AABC的边AB. 上的点，且DE//AC
, AE .
CD
相交于点
O,
若$八DOE : S
acOA
=]: 25,则5
迎庞与S
ase的比是（ ）A. 1:3 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:25
9.如图，平行四边形ABC。中，过点B的直线与对角线AC ＞边AD分别交于点E和F .过
点E作EG//BC,
交AB
于
G,则图中相似三角形有
（ ）
A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对
10.如图AABC = NDEC,公共顶点为C, 3在QE上，则有结论①ZACD = ZBCE = ZABD ；
② ZDAC + ZDBC = 180°；
(§)
AAOC^ABEC ；
®
CD LAB,其中成立的是( )
2019-2020学年度九年级数学上期中考试试卷
2019-2020学年度九年级数学上期中考试试卷一 选择题（本大题有16个小题，共42分,1～10小题各3分，11～16小题各2分）1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )2.二次函数y=(x-1)2+3的图象的顶点坐标是( ) A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3)3.用公式法解方程3x 2+5x+1=0，正确的是( ) A.x=6135±- B.x=3135±- C. x=6135± D. x=3135± 4.下列说法正确的是( )A.扔100次硬币，都是国徽面向上是不可能事件B.在扔图钉游戏中，扔10次，有6次都是钉尖朝下，所以钉尖朝下的可能性大C.小明一直是班级第一名，他能考上重点高中是必然事件D.投一枚质地均匀的正六面体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投出的点数是10是确定性事件5.如图1，点A ，B ，C ，D ，O 都在方格纸上，若△COD 是由△AOB 绕点O 逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )A.30°B.45°C.90°D.135°6.若函数y=x 2+2x+m 的图象与x 轴没有交点，则m 的取值范围是( ) A.m>1 B.m<1 C.m≤1 D. m=17.下列说法正确的是( )A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的弧是等弧D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等8.如图2，已知△ABC 与△CDA 关于点O 对称，过O 任作直线EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，下列的结论：①点E 和点F ，点B 和点D 是关于中心O 的对称点；②直线BD 必经过点O ；③四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等；④△AOE 与△COF 成中心对称，其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.49.一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到黄色幸运星的可能性约为( ) A. 3／4 B.1／2 C. 3／14 D. 2／710.菱形的边长是方程x 2-8x+15=0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )A.48B.24C.24或40D.48或8011.如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是弧CD 上一点，且DF 弧=BC 弧，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E 的度数为( ) A.45° B.50° C.55° D.60°12.如图4，在扇形AOB 中，∠AOB=110°，OA=6，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则弧AD 的长为( ) A.5π B.35π C. 65π D.10π 13.圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为( ) A.123 B.66 C.12 D.614.在元且庆祝活动中，参加活动的同学互贈贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有( )A.6人B.7人C.8人D.9人15.如图5，小李与小陈做猜举游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为( ) A. 13／25 B. 12／25 C. 4／25 D. 1／216.如图6，抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)经过点(1,0)，对称轴是直线1，若M=a+b-c ，N=2a-b ，P=a+c ，则M ，N ，P中，值小于0的有( ) A.2个 B.1个 C.0个 D.3个二 填空题（17题3分,18～19题每空2分，共11分）17.在平面直角坐标系xOy 中，若点B(-1,2)与点A 关于原点O 中心对称，则点A 的坐标为 .18.在△ABC 中，内切圆O 和边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F.(1)如图7-1，若∠B=60°，∠C=70°，则∠EDF 的度数为 ；(2)如图7-2，若BC=3，CA=4，AB=5，则⊙O 的半径为 .19.对任意两个实数a 、b ，用max(a,b)表示其中较大的数，如max(2，-4)=2.(1)若(2x+1)·max(2，-4)=x 2+2，则x 的值为 ；(2)若x ·max(x ，-x)=2x+1，则x 的值为 .三解答题(共67分)20.(每小题4分，共计8分)用适当的方法解下列方程.(1)4x2+12x=-9 (2)x(x+4)=3x+1221.(9分)如图8，已知△ABC的顶点分别落在网格的格点上，点A'，C'分别是点A，C绕某点O旋转同样的角度后的对应点，(1)请在图中作出旋转中心O的位置；(2)点A'是点A绕点O顺时针旋转度形成的；(3)画出△ABC绕点O顺时针旋转同样的角度后的△A'B'C'.22.(9分)如图9，已知抛物线y=x2+ax+3经过点P(-2,3).(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)当该抛物线经过平移变成y=x2时，请给出平移方法；(3)已知点Q(m，n)在该抛物线上，若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.23.(9分)在一个不透明的布袋里有3个标有1,2,3的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标(x，y).(1)用画树状图法或列表法，写出点Q所有可能的坐标；(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足对xy>4，则小明胜；若x，y满足xy<4，则小红胜，这个游戏公平吗?请说明理由.24.(10分)如图10，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OF ⊥AB ，交AC 于点F ，点E 在AB 的延长线上，射线EM 经过点C ，且∠ACE+∠AFO=1800.(1)求证：EM 是⊙O 的切线；(2)若∠A=∠E ，BC=3，求阴影部分的面积(结果保留π和根号).25.(10分)为了响应国家提出由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为18元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y （万个）与销售单价x （元/个）之间的部分数据如下：（1）试判断y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）设每月的利润为w （万元），求w 与x 之间的函数关系式；（3）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(产品利润率不得高于50%，产品利润率=成本利润×100%)，请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可使每月获利最大?并求出最大利润.26.(12分)定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的奇妙四边形.(1)如图11-1，已知四边形ABCD 是⊙O 的奇妙四边形，若AC=6，BD=8，则S 四边形ABCD = ；(2)如图11-2，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线交于点E ，若∠AOD+∠BOC=1800.①求证：四边形ABCD 是⊙O 的奇妙四边形；②作OM ⊥BC 于点M ，请猜想AD 与OM 的数量关系，并推理说明.2019-2020学年度九年级数学上期中考试试卷答案 1.B 2.A 3.A 4.D 5.D 6.A 7.D 8.D 9.C 10.B 11.B 12.B 13.A 14.B 15.A 16.A 17.(1,-2) 18.650,1 19.0或4,1+2，-1. 20.（1）4x 2+12x=-9，4x 2+12x+9=0，x=812-=23-，x 1=x 2=23-； （2）x(x+4)=3x+12，x(x+4)-（3x+12）=0， x(x+4)-3（x+4）=0，（x-3）（x+4）=0，x 1=3，x 2=-4. 21.解：（1）如图；CC ′的垂直平分线和AA ′的垂直平分线的交点就是点O ； （2）90； （3）如图.22.解：（1）抛物线对应的函数解析式为y=x 2+2x+3；（2）先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度；（3）2≤n ＜11. 23.解：（1）画树状图为：所以点Q 所有坐标为（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；（2）不公平，由树状图知，共有6种等可能结果，其中xy ＞4的有2种结果，xy ＜4的有4种结果，∴小明获胜的概率为＝，小红胜的概率为＝，∵≠，∴此游戏不公平．24.解：（1）连接OC ，∵OF ⊥AB ，∴∠AOF ＝90°，∴∠A+∠AFO+90°＝180°，∵∠ACE+∠AFO ＝180°，∴∠ACE ＝90°+∠A ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∴∠ACE ＝90°+∠ACO ＝∠ACO+∠OCE ，∴∠OCE ＝90°，∴OC ⊥CE ，∴EM 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO+∠BCO ＝∠BCE+∠BCO ＝90°，∴∠ACO ＝∠BCE ，∵∠A ＝∠E ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠BCE ＝∠E ，∴∠ABC ＝∠BCO+∠E ＝2∠A ，∴∠A ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，∴OB ＝BC ＝，∴阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．25.解：（1）设销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为：y ＝kx+b ，把（20，60），（30，40）代入y ＝kx+b 得，解得：，∴每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为：y ＝﹣2x+100；（2）由题意得，w ＝y （x ﹣18）＝（﹣2x+100）（x ﹣18）＝﹣2x 2+136x ﹣1800；（3）∵销售利润率不能高于50%，则x ≤（1+50%）×18＝27，∵w ＝﹣2x 2+136x ﹣1800＝﹣2（x ﹣34）2+512，∴图象开口向下，对称轴左侧w 随x 的增大而增大，∴x ＝27时，w 最大为：414万元．当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元．26.解：（1）如图，∵四边形ABCD 是⊙O 的奇妙四边形，∴AC ⊥BD ，垂足为E ，则S 四边形ABCD ＝S △ACD +S △ABC ＝AC •DE+AC •BE ＝AC •（DE+BE ）＝AC •BD ＝×6×8＝24．（2）①如图，∵∠AOD+∠BOC ＝180°，∠ACD ＝∠AOD ，∠BDC ＝∠BOC ，∴∠ACD+∠BDC ＝（∠AOD+∠BOC ）＝90°，∴∠DEC ＝90°，即AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是⊙O 的奇妙四边形；②OM ＝AD ．理由如下：如图，作ON ⊥AD 于N ，如图，作ON ⊥AD 于点N ，∴AN=DN.可得∠BOM=0.5∠BOC ，∠AON=0.5∠AOD.∵∠AOD+∠BOC=180°，∴∠BOM+∠AON=90°.∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AON.可证△BOM ≌△OAN ，∴OM=AN ，OM=0.5AD。
河南省南阳市方城县2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
河南省南阳市方城县2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.要使二次根式√3−m有意义，则m的取值范围为()A. m<3B. m≤3C. m>3D. m≥32.与−√3可以合并的二次根式是()A. √6B. −√9C. √12D. −√153.一元二次方程x2=2x的解为()A. x=0B. x=2C. x=0或x=2D. x=0且x=−24.下列各组线段中不是成比例线段的是()A. 3m、4m、5m、6mB. 1cm、5cm、0.8cm、4cmC. 2.4m、1.5m、1.2m、0.75mD. 2cm、3cm、4cm、6cm5.如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是()A. ∠C=∠AEDB. ∠B=∠DC. ABAD =BCDED. ABAD=ACAE6.方程x2−4√2x+9=0的根的情况是()A. 有两个不相等实根B. 有两个相等实根C. 无实根D. 以上三种情况都有可能7.如图所示，在长为8cm、宽为6cm的矩形中，截去一个矩形(图中阴影部分)，如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是()A. 28cm2 B. 27cm2C. 21cm2D. 20cm28.某工厂今年元月份的产值是50万元，3月份的产值达到了72万元.若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程()A. 72(x+1)2=50B. 50(x+1)2=72C. 50(x−1)2=72D. 72(x−1)2=509.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE 交AB于点F，交BC于点G，连结CF.若AC=3，CG=2，则CF 的长为()A. 52B. 3 C. 2 D. 7210.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边DC上，且DE=1，BE与AD的延长线交于点F，则DF的长度为()A. 1B. 34C. 43D. 23二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算√12−9√13的结果是______．12.已知x2+6x=−1可以配成(x+p)2=q的形式，则q=．13.若a−bb =53，则ab=______ ．14.如图，DE//FG//BC，且DE、FG把△ABC的面积三等分，若BC=12，则FG的长是______ ．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′处，那么CD=______．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）16.解方程：(1)x2−3x−2=0；(2)(x+1)2=7x+7四、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.计算+√2；(1)2√3−√8−3√13÷√6．(2)√27×√2318.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．19.若关于x的一元二次方程x2−(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．20.如图，一根旗杆AB在某一时刻影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙上，测得地面上的影长为3.2m，落在墙上的影长为1.2m，同一时刻测得长为0.8m的竹竿影长为1m，试求出旗杆的高度．21.如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)，从美观的角度考虑要求底面的短边与长边的比不，设四周小正方形的边长为xcm．小于23(1)求盒子的侧面积y与x的函数关系式，并求x的取值范围；(2)求当正方形的边长x为何值时侧面积y有最大值，并求出y的最大值；(3)若要求侧面积不小于28cm2，直接写出正方形的边长x的取值范围．22.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE=∠ACD，BE，CD交于点F．(1)求证：ABAC =AEAD；(2)请探究线段DE，CE的数量关系，并说明理由；(3)若CD⊥AB，AD=2，BD=3，求线段EF的长．23.如图，直线y=kx−2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB=1．(1)求k的值；(2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx−2上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；(3)探索：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数的非负性是解题的关键．首先根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．解：由题意得，3−m≥0，解得，m≤3，故选：B．2.答案：C解析：本题主要考查了同类二次根式的概念，关键是熟练掌握二次根式的化简．先化简二次根式，若被开方数相同可得结果．解：A.不能化简，故不能合并；B.原式=−3，故不能合并；C.原式=2√3，能合并；D.不能化简，故不能合并．故选C．3.答案：C解析：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．首先把方程化成一般形式，再把方程的左边分解因式，即可得到答案．解：x2=2x，移项得：x2−2x=0，∴x(x−2)=0，x=0或x−2=0，∴x1=0，x2=2．故选C．4.答案：A解析：解：A、6×3≠4×5，不是成比例线段，故本选项符合题意；B、4×1=5×0.8，是成比例线段，故本选项不符合题意；C、2.4×0.75=1.5×1.2，是成比例线段，故本选项不符合题意；D、2×6=4×3，是成比例线段，故本选项不符合题意．故选A．只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断．本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键．5.答案：C解析：解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似，故选：C．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．6.答案：C解析：本题考查了根的判别式，根据根的判别式找出△=−4<0是解题的关键．根据方程各项系数结合根的判别式△=b2−4ac，即可得出△=−4<0，进而即可得出方程无解．解：在方程x2−4√2x+9=0中，△=(−4√2)2−4×1×9=−4<0，∴该方程没有实数根．故选C．7.答案：B解析：本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．解：如图所示：依题意，在矩形ABCD中截取矩形ABEF，则矩形ABCD∽矩形DFEC，则AB DF =ADDC，设DF=xcm，得到：6 x =86，解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．故选B.8.答案：B解析：此题考查了一元二次方程在实际问题中的应用.此题中的等量关系是3月份的产值达到了72万元.根据这两个月的产值平均月增长率为x，则2月份的产值是50(1+x)，3月份的产值是50(1+x)(1+x)，从而列方程即可．解：根据题意，得50(x+1)2=72．故选B．9.答案：A解析：本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图，也考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质得到FB=FC，CG=BG=2，FG⊥BC，再证明BF=AF，则CF为斜边AB上的中线，然后根据勾股定理计算出AB，从而得到CF的长．解：由作法得GF垂直平分BC，∴FB=FC，CG=BG=2，FG⊥BC，∴∠FCB=∠B,∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠FCB=∠A+∠B=90°，∴∠ACF=∠A，∴AF=CF，∴AF=CF=BF,∴CF为斜边AB上的中线，∵AB=√32+42=5，∴CF=12AB=52．故选：A．10.答案：C解析：本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及其性质；解题的关键是运用相似三角形的判定及其性质来分析、解答．证明△DEF∽△CEB，列比例式DFBC =DECE，代入可得DF的长．解：∵DE=1，DC=4，∴EC=4−1=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AF//BC，∴△DEF∽△CEB，∴DFBC =DECE，∴DF4=13，∴DF=43，故选：C．11.答案：−√3解析：解：原式=2√3−9×√33=2√3−3√3=−√3．故答案为：−√3．直接化简二次根式，进而合并求出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12.答案：8解析：【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．把方程两边加上9，然后把方程作边写成完全平方的形式，从而得到q的值．【解答】解：x2+6x+9=8，即(x+3)2=8，所以q=8．13.答案：83解析：本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键．根据和比性质，可得答案．解：a−bb =53，则ab=3+53=83，故答案为：83．14.答案：4√6解析：解：在△ABC中，DE//FG//BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，且DE，FG将△ABC的面积三等分，即S△AFG=23S△ABC，∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，，∴FGBC =√23=√63，∴FG=BC⋅√63=12×√63=4√6；故答案为：4√6．由平行线得出△ADE∽△AFG∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．本题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．15.答案：3cm解析：解：∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB=√BC2+AC2=√62+82=10cm，由翻折变换的性质得，BC′=BC=6cm，C′D=CD，∴AC′=AB−BC′=10−6=4cm，设CD=x，则C′D=x，AD=8−x，在Rt △AC′D 中，由勾股定理得，AC′2+C′D 2=AD 2，即42+x 2=(8−x)2，解得x =3，即CD =3cm ．故答案为：3cm ．利用勾股定理列式求出AB ，根据翻折变换的性质可得BC′=BC ，C′D =CD ，然后求出AC′，设CD =x ，表示出C′D 、AD ，然后利用勾股定理列方程求解即可．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 16.答案：解：(1)x 2−3x −2=0，这里a =1，b =−3，cc =−2，b 2−4ac =(−3)2−4×1×(−2)=17，x =3±√172， x 1=3+√172，x 2=3−√172；(2)(x +1)2=7x +7，(x +1)2−7(x +1)=0，(x +1)(x +1−7)=0，x +1=0，x +1−7=0，x 1=−1，x 2=6．解析：本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，公式法、配方法、直接开平方法．(1)先求出b 2−4ac 的值，再代入公式求出即可；(2)移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．17.答案：解：(1)原式=2√3−2√2−√3+√2=√3−√2；(2)原式=13√27×2×16=1．解析：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(2)根据二次根式化的乘除法则运算．18.答案：解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴BDAB =DEAC，∴DE=BD⋅ACAB =8×714=4．解析：根据相似三角形的判定与性质，可得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质得出BDAB =DEAC是解题关键．19.答案：解：由题意可知Δ=(2a+1)2−4a2=4a2+4a+1−4a2=4a+1．∵原方程有两个不相等的实数根，∴4a+1>0，∴a>−14．解析：本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式△>0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．20.答案：解：过点D作DE⊥AB，∵同一时刻测得长为0.8m的竹竿影长为1m，∴AE DE =0.81， 则AE 3.2=0.81， 解得：AE =2.56，故AB =AE +BE =2.56+1.2=3.76(m)，答：旗杆的高度为3.76m ．解析：此题主要考查了平行投影和相似三角形的性质，正确利用同一时刻实际物体与影长的比值相等是解题关键．过点D 作DE ⊥AB ，利用同一时刻实际物体与影长的比值相等，AE DE =0.81，可求出AE ，进而得出答案． 21.答案：解：(1)由题意，得y =2(10−2x)x +2(8−2x)x ，整理得：y =−8x 2+36x ．∵8−2x 10−2x ≥23，10−2x >0，8−2x >0， ∴x ≤2．∵x >0，∴0<x ≤2；(2)∵y =−8x 2+36x ．∴y =−8x 2+36x ．∴y =−8(x −94)2+812．因为a <0，对称轴为直线x =94，在对称轴的左侧，y 随x 的增而增大，∴当x =2时，侧面积y =40为最大值答：当x =2时，y 有最大值为40；(3)由题意，得−8x 2+36x =28，即2x 2−9x +7=0，(x −1)(2x −7)=0，解得x1=1，x2=3.5．又x≤2，根据二次函数的性质可得−8x2+36x⩾28时，1≤x≤2．故正方形的边长x的取值范围是：1≤x≤2解析：本题考查了长方体的侧面积的运用，二次函数的性质的运用，自变量的取值范围的运用，二次函数性质的运用，解答时求出二次函数的解答式是关键．(1)由长方体的侧面积=四个长方形的面积之和就可以表示出y与x之间关系式，由底面的短边与长边的比不小于23建立不等式就可以求出x的取值范围；(2)由(1)的解析式根据二次函数的性质就可以求出最大值；(3)由侧面积不小于28cm2，根据二次函数性质求出正方形的边长x的即可．22.答案：解：(1)证明：∵∠ABE=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC =AEAD，(2)∵ABAC =AEAD，∴ADAC =AEAB，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∠AED=∠ABC，∵∠AED=∠ACD+∠CDE，∠ABC=∠ABE+∠CBE，∴∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE，∵∠ABE=∠ACD，∴∠CDE=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CDE=∠ABE=∠ACD，∴DE=CE．(3)∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=∠CDE+∠ADE=90°，∵∠ABE=∠ACD，∠CDE=∠ACD，∴∠A=∠ADE，∠BEC=∠ABE+∠A=∠A+∠ACD=90°，∴AE=DE，BE⊥AC，∵DE=CE，∴AE=DE=CE，∴AB=BC，∵AD=2，BD=3，∴BC=AB=AD+BD=5，在Rt△BDC中，CD=√BC2−BD2=√52−32=4，在Rt△ADC中，AC=√AD2+CD2=√22+42=2√5，∴DE=AE=CE=√5，∵∠ADC=∠FEC=90°，∴tan∠ACD=ADCD =EFCE，∴EF=AD⋅CECD =2×√54=√52．解析：(1)只要证明△ABE∽△ACD即可；(2)首先证明△ADE∽△ACB，推出∠AED=∠ABC，由∠AED=∠ACD+∠CDE，∠ABC=∠ABE+∠CBE，推出∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE，由∠ABE=∠ACD，推出∠CDE=∠CBE，由BE平分∠ABC，推出∠ABE=∠CBE，推出∠CDE=∠ABE=∠ACD，可得；(3)由tan∠ACD=ADCD =EFCE，只要求出CD、CE即可解决问题；本题考查相似三角形综合题、角平分线的定义、勾股定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．23.答案：解：(1)∵OB=1∴B点坐标为：(1,0)把B点坐标为：(1,0)代入y=kx−2得k=2×OB×y(2)∵S=12∵y=2x−2×(2x−2)∴S=12∴S=x−1(3)①当S=1时，x−1=1∴x=2，y=2x−2=2∴A点坐标为(2,2)时，△AOB的面积为1②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1(2,0)，P2(4,0)，P3(2√2，0)，P4(−2√2，0)。
2019-2020学年新人教版九年级数学上学期期中考试试卷(解析版)
2019-2020学年新人教版九年级数学上学期期中考试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2+x+6＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣5的最大值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．54．方程x（x+4）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣4B．x1＝0，x2＝4C．x＝﹣4D．x＝45．一个正方形绕其中心至少旋转（），才能与自身重合．A．45°B．90°C．135°D．180°6．若关于x的方程x2+mx﹣15＝0有一根是3，则方程的另一根是（）A．﹣5B．5C．﹣2D．27．如图，△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′，若∠AOB＝35°，则∠A′OB＝（）A．35°B．65°C．100°D．135°8．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为﹣5和1，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是（）A．x＝﹣4B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x＝﹣19．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．600B．300C．40D．2010．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．点P（﹣5，﹣7）关于原点对称的点的坐标是．12．设x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则x1+x2＝．13．抛物线y＝﹣x2+6的顶点坐标是．14．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为．15．将抛物线y＝x2+4x+4向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是．16．如图，在平面直角坐标系中O是原点，矩形OABC的对角线相交于点P，顶点C的坐标是（0，3），∠ACO＝30°，将矩形OABC绕点O顺时针旋转150°后点P的对应点P′的坐标是．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．（9分）解方程：x2+6x+8＝0．18．（9分）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．19．（10分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的三角形，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠B′BC的度数是．20．（10分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20米长的篱笆围成一个矩形场地．若围成矩形场地的面积为50米2，求矩形场地的长和宽．21．（12分）已知关于x的方程x2+5x﹣p2＝0．（1）求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为x1、x2，当x1+x2＝x1x2时，求p的值．22．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（2，0）、（0，8）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）当x取何范围的值时，二次函数的图象位于x轴上方．23．（12分）将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG如图放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上，连接DG、BE．（1）求证：DG＝BE；（2）把正方形AEFG绕点A旋转，当点F恰好落在AB边所在的直线上时，求BE的长．24．（14分）已知抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，顶点为A．（1）若点A的坐标是（﹣2，﹣4），①求抛物线的解析式；②把抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，求n的取值范围；（2）若直线y2＝ax+b经过点A，当1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．25．（14分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S 的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．一元二次方程x2+x+6＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：△＝12﹣4×1×6＝﹣23＜0，所以方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣5的最大值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣5），由a＝﹣2＜0可知：当x＝﹣1时，函数有最大值﹣5．【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣5中a＝﹣2＜0，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣5），有最大值﹣5，即当x＝﹣1时，函数有最大值﹣5．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．4．方程x（x+4）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣4B．x1＝0，x2＝4C．x＝﹣4D．x＝4【分析】根据方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x+4）＝0，x＝0或x+4＝0，x1＝0，x2＝﹣4，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．5．一个正方形绕其中心至少旋转（），才能与自身重合．A．45°B．90°C．135°D．180°【分析】正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角及旋转对称图形的定义作答．【解答】解：∵360°÷4＝90°，∴正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．故选：B．【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．6．若关于x的方程x2+mx﹣15＝0有一根是3，则方程的另一根是（）A．﹣5B．5C．﹣2D．2【分析】设方程的另一根为x1，根据两根之积等于，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一根为x1，根据题意得：3×x1＝﹣15，解得：x1＝﹣5．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．牢记两根之积等于是解题的关键．7．如图，△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′，若∠AOB＝35°，则∠A′OB＝（）A．35°B．65°C．100°D．135°【分析】先根据旋转的性质得到∠AOA′＝100°，然后计算∠AOA′﹣∠AOB即可．【解答】解：∵△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′，∴∠AOA′＝100°，∴∠A′OB＝∠AOA′﹣∠AOB＝100°﹣35°＝65°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为﹣5和1，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是（）A．x＝﹣4B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x＝﹣1【分析】根据题意和一元二次方程和抛物线的关系，可以求得该抛物线的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为﹣5和1，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．600B．300C．40D．20【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．【解答】解：由题意，s＝﹣1.5t2+60t，＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）＝﹣1.5（t﹣20）2+600，即当t＝20秒时，飞机才能停下来．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值．10．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（）A．B．C．D．【分析】函数顶点坐标M为（h，0），设：点M到直线l的距离为a，则：y＝（x﹣h）2＝a，求出A、B坐标即可求解．【解答】解：函数顶点坐标M为（h，0），设：点M到直线l的距离为a，则：y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h，即：A（h﹣，0），B（h，0），∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3，解得：a＝，故选：B．【点评】本题考查的是函数与x轴的交点，是一道基本题．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．点P（﹣5，﹣7）关于原点对称的点的坐标是（5，7）．【分析】让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．【解答】解：∵两点关于原点对称，∴横坐标为5，纵坐标为7，故点P（﹣5，﹣7）关于原点对称的点的坐标是：（5，7）．故答案为：（5，7）．【点评】此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．12．设x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则x1+x2＝﹣3．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．13．抛物线y＝﹣x2+6的顶点坐标是（0，6）．【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y＝﹣x2+6是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（0，6）．故答案为（0，6）．【点评】此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．14．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为10%．【分析】设该商品每次降价的百分率为x，根据该商品的标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中小于1的值即可得出结论．【解答】解：设该商品每次降价的百分率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝324，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：该商品每次降价的百分率为10%．故答案为：10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．将抛物线y＝x2+4x+4向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是y＝（x﹣1）2﹣2．【分析】先把y＝x2+4x+4配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），再根据点平移的规律，点（﹣2，0）经过平移后所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：y＝x2+4x+4＝（x+2）2，此抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），把点（﹣2，0）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣2．故答案是：y＝（x﹣1）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．16．如图，在平面直角坐标系中O是原点，矩形OABC的对角线相交于点P，顶点C的坐标是（0，3），∠ACO＝30°，将矩形OABC绕点O顺时针旋转150°后点P的对应点P′的坐标是（0，﹣）．【分析】根据已知条件得到OC＝3，解直角三角形求得AC＝＝＝2，OA＝AC＝，根据矩形的性质得PC＝PA，根据勾股定理得到OP＝＝，根据旋转的性质即可得到结论．【解答】解：∵点C的坐标是（0，3），∴OC＝3，∵∠ACO＝30°，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴OA＝AC＝，∴A（，0），∵四边形OABC是矩形，∴PC＝PA，∴P（，），∴OP＝＝，∵∠ACO＝30°，∠AOC＝90°，∴∠AOP＝60°，∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转150°后点P的对应点P′落在y轴的负半轴上，∴OP′＝OP＝，∴点P′的坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形，正确的找到点P′的位置是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．（9分）解方程：x2+6x+8＝0．【分析】先把方程左边进行因式分解得到（x+2）（x+4）＝0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：∵x2+6x+8＝0，∴（x+2）（x+4）＝0，∴x+2＝0或x+4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．18．（9分）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．【分析】（1）由二次函数的顶点式，根据二次函数的性质解决问题；（2）由（1）中抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的增大而增大时x的值．【解答】解：（1）y＝﹣（x﹣2）2+3．所以抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3）；（2）∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵抛物线的对称轴x＝2，∴当x＜2时y随x的增大而增大．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键．19．（10分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的三角形，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠B′BC的度数是45°．【分析】（1）将点A与点B分别绕点C逆时针旋转90°得到其对应点，再与点C首尾顺次连接即可得；（2）根据旋转的定义和性质知∠BCB′＝90°，BC＝B′C，再由等腰直角三角形的性质可得答案．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；（2）∵∠BCB′＝90°，BC＝B′C，∴∠B′BC＝45°，故答案为：45°．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．20．（10分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20米长的篱笆围成一个矩形场地．若围成矩形场地的面积为50米2，求矩形场地的长和宽．【分析】设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（20﹣x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．【解答】解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则另一边长为（20﹣x）m．根据题意，得（20﹣x）x＝50，解方程，得x＝10．当x＝10时，（20﹣x）＝5．答：矩形的长为10m，宽为5m．【点评】考查了一元二次方程的应用，解答此题要注意以下问题：（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过45米；（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．21．（12分）已知关于x的方程x2+5x﹣p2＝0．（1）求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为x1、x2，当x1+x2＝x1x2时，求p的值．【分析】（1）求出根的判别式△＝25+p2，根据判别式的意义即可得出无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系求出两根和与两根积，再代入x1+x2＝x1x2，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可．【解答】（1）证明：△＝52﹣4（﹣p2）＝25+p2，∵无论p取何值时，总有p2≥0，∴25+p2＞0，∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题意可得，x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣p2，∵x1+x2＝x1x2，∴﹣5＝﹣p2，∴p＝±．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．22．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（2，0）、（0，8）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）当x取何范围的值时，二次函数的图象位于x轴上方．【分析】（1）把（2，0）、（0，8）代入二次函数表达式，即可求解；（2）令y＝0，解得：x＝2或﹣4，即可求解．【解答】解：（1）把（2，0）、（0，8）代入二次函数表达式，解得：b＝﹣2，c＝8，故：函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8；（2）令y＝0，解得：x＝2或﹣4，从图象可以看出：﹣4＜x＜2时，函数在x轴上方．【点评】本题考查的是函数与坐标轴的交点，涉及到二次函数的基本性质，难度不大．23．（12分）将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG如图放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上，连接DG、BE．（1）求证：DG＝BE；（2）把正方形AEFG绕点A旋转，当点F恰好落在AB边所在的直线上时，求BE的长．【分析】（1）依据四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，即可得到AG＝AE，AD＝AB，∠DAG ＝∠BAE＝90°，判定△ABE≌△ADG（SAS），即可得到DG＝BE；（2）分两种情况进行讨论：点F在BA的延长线上；点F在射线AB上，即可得到BE的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG＝AE，AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴DG＝BE；（2）分两种情况：①如图，当点F在BA的延长线上时，连接EG，交AF于O，则∠AOE＝90°，∵AE＝2，AB＝2，∴AO＝EO＝，∴Rt△BOE中，AE＝＝＝2；②如图，当点F在射线AB上时，AF＝2＝AB，∴点F与点B重合，∴BE＝FE＝2；综上所述，BE的长为2或2．【点评】本题是考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的综合运用．利用分类讨论思想是解题的关键．24．（14分）已知抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，顶点为A．（1）若点A的坐标是（﹣2，﹣4），①求抛物线的解析式；②把抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，求n的取值范围；（2）若直线y2＝ax+b经过点A，当1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．【分析】（1）①设抛物线的解析式为：y1＝a（x+2）2﹣4，根据抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，得到0＝4a﹣4，于是得到结论；②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，则x2+2x＝0，得到抛物线与x轴的交点为：（﹣2，0），（0，0）；解不等式得到n＞﹣，当直线y＝﹣x+n过点（﹣2，0），则n＝﹣2，于是得到结论；（2）将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可得出a、b的关系，再根据ab≠0，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵顶点A（﹣2，﹣4），∴设抛物线的解析式为：y1＝a（x+2）2﹣4，∵抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，∴0＝4a﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y1＝x2+4x；②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，则x2+2x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2，∴抛物线与x轴的交点为：（﹣2，0），（0，0）；解得，x2+3x﹣n＝0，∵抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，∴△＝9+4n＞0，∴n＞﹣，当直线y＝﹣x+n过点（﹣2，0），则n＝﹣2，∴n的取值范围为：﹣＜x＜﹣2；（2）∵抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，∴y1＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），∵函数y2的图象经过y1的顶点，∴﹣＝a（﹣）+b，即b＝﹣，∵ab≠0，∴﹣b＝2a，∴b＝﹣2a，∴y1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），y2＝ax﹣2a，∴y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1）．∵1＜x＜2，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；当a＜0时，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），解题的关键是分a＞0或a＜0两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大．25．（14分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S 的最小值．【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA＝90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE＝CF；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝2；（3）过点F 作FG ⊥AB ，由题意可得S △DEF ＝S △ABC ﹣S △AEF ﹣S △BDE ﹣S △BCF ，则可求S 与x 之间的函数解析式，根据二次函数最值的求法，可求S 的最小值．【解答】解：（1）∵△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∴∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝CD ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFA ＝90°，∵∠A +∠EDF +∠AFD +∠AED ＝180°，∴∠AED ＝90°，∴∠DEB ＝∠DFC ，且∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝DC ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°．∵∠A ＝60°，∴∠MDN ＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF ＝120°，∴∠MDE ＝∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，，∴△MBD ≌△NCD （AAS ）BM ＝CN ，DM ＝DN ．在△EMD 和△FND 中，，∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM ＝FN ，∴BE +CF ＝BM +EM +CF ＝BM +FN +CF ＝BM +CN＝2BM ＝2BD ×cos60°＝BD ＝BC ＝2（3）过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，∵BE ＝x∴AE ＝4﹣x ，CF ＝2﹣x ，∴AF ＝2+x ，∵S △DEF ＝S △ABC ﹣S △AEF ﹣S △BDE ﹣S △BCF ，∴S ＝BC ×AB ×sin60°﹣AE ×AF ×sin60°﹣BE ×BD ×sin60°﹣CF ×CD ×sin60°＝4﹣×（4﹣x ）×（2+x ）×﹣×x ×2×﹣×（2﹣x ）×2×∴S ＝（x ﹣1）2+∴当x ＝1时，S 最小值为【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN 是解决本题的关键．。
2019-2020学年___九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年___九年级(上)期中数学试卷(含解析)2019-2020学年___九年级（上）期中数学试卷考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图所示的实心几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．2.___和___两人从远处沿直线走到路灯下，他们规定：___在前，___在后，两人之间的距离始终与___的影长相等．在这种情况下，他们两人之间的距离（）A．始终不变B．越来越远C．时近时远D．越来越近3.下列坐标是反比例函数A．（3，﹣1）B．（1，3）C．（﹣3，1）D．（﹣1，﹣3）图象上的一个点的坐标是（）4.一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是（）A．5%B．10%C．15%D．20%5.已知A．则的值是（）B．C．D．6.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（）A．B．C．D．7.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠___∠___B．C．∠ACD＝∠BD．AC＝ADAB8.若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5B．k＜5且k≠1___≤5且k≠1D．k＞59.已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）A．AB＝AC+BCB．C．D．10.下列判断中正确的个数有（）①全等三角形是相似三角形②顶角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形都相似④所有的菱形都相似⑤两个位似三角形一定是相似三角形．A．2B．3C．4D．5二、填空题（每小题4分，共16分）11.一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“小于3”的概率为12.如图，已知DE∥BC，AD＝6cm，BD＝8cm，AC＝12cm，则S△ADE：S四边形DBCE＝13.如图，已知反比例函数y＝，的图象经过点A，过A 点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k＝．2；22．若一组数据的标准差为3，则方差为9；23．在等差数列6，9，12，…，第10项为33；24．在等比数列2，4，8，…，第7项为128；25．若函数f(x)=2x+1，g(x)=x23x，那么f(g(2))=17．二、选择题（每小题4分，共20分）26．（）已知函数y=f(x)的图象关于点（a，0）对称，那么f(x+a)=-f(x)．A．正确 B．错误答案：A27．（）在平面直角坐标系内，点A（3，-4）关于y轴的对称点为（-3，4）．A．正确 B．错误答案：A28．（）已知函数f(x)=x22x+1，那么f(1)的值为1．A．正确 B．错误答案：A29．（）在等差数列3，7，11，…中，前5项的和为75．A．正确 B．错误答案：B30．（）若函数y=kx+b的图象过点（2，5），斜率为2，则函数的解析式为y=2x+1．A．正确 B．错误答案：B三、解答题（共10分）31．（10分）已知等差数列的前3项之和为6，前6项之和为21，求该等差数列的公差和首项．解：设该等差数列的首项为a，公差为d，则有a+(a+d)+(a+2d)=6，即3a+3d=6；a+(a+d)+(a+2d)+\newline (a+3d)+(a+4d)+(a+5d)=21，即6a+15d=21．解得a=1，d=1，因此该等差数列的首项为1，公差为1．1.解答：从上面看，这是一个同心圆，内圆是虚线。