高考数学文科集合与常用逻辑用语
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高二集合与常用逻辑用语
一、集合
1、（2018全国I卷高考）已知集合02A，，21012B，，，，，则AB（ ）
A．02， B．12， C．0 D．21012，，，，
2、（2017全国I卷高考）已知集合A=|2xx，B=|320xx，则
A．AB=3|2xx B．AB C．AB3|2xx D．AB=R
3、（2016全国I卷高考）设集合{1,3,5,7}A，{|25}Bxx，则AB
（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7}
4、（广州市2018届高三3月综合测试（一））设集合=0,1,2,3,4,5,6A，=2,BxxnnA，
则AB
A．0,2,4 B．2,4,6 C．0,2,4,6 D．0,2,4,6,8,10,12
5、（广州市2018届高三4月综合测试（二模））已知集合1,0,1,2M，
0Nxx
或1x，则MN中的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
6、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一））2{}Axxx，{1}Bxx，则AUB=
A．R B．(0,) C．{1} D．1,
7、（惠州市2018届高三4月模拟考试）已知集合2|0,|lg21AxxxBxyx，
则集合AB（ ）
(A) 10,2 (B) 0,1 (C) 1,12 (D) 1,2
8、（惠州市2018届高三第三次调研） 集合022xxxA，1xxB，则
)(BCA
R
= （ ）
(A) 1xx (B) 12xx (C) 1xx (D) 12xx
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9、（惠州市2018届高三第一次调研）已知集合UmmxxAU,1,0,12，，则
AC
U
( )
（A）1,0 （B）1,0,1 （C） （D）1
10、（江门市2018届高三3月模拟（一模））设集合，，
则
A． B． C． D．
11、（揭阳市2018届高三学业水平（期末））集合1,2,3,4,5,6U，1,4,5A，
2,3,4B，则UAB
等于
（A）1,4,5,6 （B）1,5 （C）4 （D）1,2,3,4,5
12、（汕头市2018届高三第一次（3月））已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8}U，{2,3,5,6}A，
2
50BxUxx
，则UAB=
A．{2,3} B．{3,6} C．{2,3,5} D．
{2,3,5,6,8}
13、（深圳市2018届高三第二次（4月）调研）已知集合2|20AxNxx，
|12Bxx
，则AB（ ）
A．1,2 B．0,1,2 C．|12xx D．|02xx
14、（深圳市宝安区2018届高三9月调研）已知全集U=R，集合A={x|lg(x-2)≥0},
B={x|x≥2}, 则(CUA)∩B=
A．13xx B．23xx C．3xx D．
15、（广州市2018届高三12月调研测试）设集合1,0,1,2,3A，230Bxxx，
则AB
A．1 B．1,0 C．1,3 D．1,0,3
16、（韶关市2018届高三调研）已知|10,2,1,0,1AxxB,则()RCAB（ ）
A．2,1 B．2 C．1,0,1 D．0,1
二、常用逻辑用语
1、（广州市2018届高三4月综合测试（二模））已知命题:pxR,210xx；命
题:qxR，23xx，则下列命题中为真命题的是
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A．pq B．pq C．pq D．pq
2、（惠州市2018届高三第三次调研）下列说法中正确的是（ ）
(A) “(0)0f”是“函数()fx是奇函数”的充要条件
(B) 若2000:,10pxRxx，则2:,10pxRxx
(C) 若pq为假命题，则,pq均为假命题
(D) “若6，则1sin2”的否命题是“若6，则1sin2”
3、（惠州市2018届高三第一次调研）已知命题qp,，则“p为假命题”是“qp是真命
题”的( )
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4、（江门市2018届高三3月模拟（一模））若，都是正整数，则成立的
充要条件是
A． B．，至少有一个为1 C． D．且
5、（揭阳市2018届高三学业水平（期末））“22lglgab”是“0ab”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
6、（汕头市2018届高三第一次（3月））对0x，不等式ln2axexx恒成立，则
实数a的取值范围为（ ）
A．2(,)e B．2(,]e C．(,2)e D．(,2]e
7、（深圳市宝安区2018届高三9月调研）“0a”是“复数1aizi在复平面内
对应的点在第三象限”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8、（广州市2018届高三12月调研测试）设命题p：1x，21x，命题q：00x，
0
0
1
2xx
，则下列命题中是真命题的是
A．pq B．()pq C．()pq D．()()pq
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9、（东莞市2017届高三上学期期末）已知命题p：若x＞y ，则11()()22xy；命题q :若
m
＞1，则函数 y＝x2＋mx＋1有两个零点.在下列命题中：
（1） p q；（2） p q；（3） p (q)；（4）(p) q，为真命题的是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）
10、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））命题“00x，使得020x”的否定
是（ ）
A．0x，02x B．0x，02x C．00x，020x D．00x，020x
11、（惠州市2017届高三第三次调研）设函数Rxxfy),(,“)(xfy是偶函数”是
“)(xfy的图像关于原点对称”的( )条件
（A）充分不必要 （B）必要不充分条件 （C）充要 （D）既不充分也不必要
12、（江门市2017届高三12月调研）已知、 是实数，则“”是“”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
13、（江门市2017届高三12月调研）已知命题：，的个位数字等于3．则命
题： ．
14、（揭阳市2017届高三上学期期末）设,abR，则“20aba”是“ab”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
15、（清远市清城区2017届高三上学期期末）甲：函数fx是R上的单调递增函数；
乙：1212,()()xxfxfx，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
集合与常用逻辑用语高考考点梳理及真题分类解析(2022年高考备考版)
第一章集合与常用逻辑用语（2022年文科数学高考备考版）第一节集合的概念与运算一、高考考点梳理（一）、集合的基本概念1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.2.元素与集合的关系是属于或不属于，符号分别为∈和∉.3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.4.常用数集的符号：实数集记作R；有理数集记作Q；整数集记作Z；自然数集记作N；正整数集记作*N或N .+A B（四）、集合关系与运算的重要结论1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有-1个.n2n22.传递性：A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C .3.A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ； A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .4.∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B ) . 二、历年高考真题题型分类突破题型一 集合的基本概念【例1】（2021全国甲卷） 设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则MN =（ ）A. {}7,9B. {}5,7,9C. {}3,5,7,9D. {}1,3,5,7,9解析：∵7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，∴MN ={}5,7,9，故选：B .【例2】（2020全国Ⅰ卷）已知合集{}2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B =（ ）A.{}4,1-B. {}1,5C. {}3,5D. {}1,3解析：∵{}2340A x x x =--<＝{ x |－1＜ x ＜4}，∴A ∩B ＝{1,3}，故选D . 【例3】（2013全国Ⅰ卷）已知集合A ＝{1,2,3,4}，},|{2A n n x x B ∈==， 则=B A ( )．A ．}4,1{B ．}3,2{C ．}16,9{D ．}2,1{ 解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}，故选A .题型二 集合间的关系【例4】（2021全国乙卷） 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则∁U (M ∪N ) ＝（ ） A. {}5B. {}1,2C. {}3,4D. {}1,2,3,4解析：由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则∁U (M ∪N ) ＝{}5. 故选：A .【例5】（2020全国Ⅲ卷） 已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5解析：根据题意，得A ∩B ＝{5,7,11}，故选B .【例6】（2017全国Ⅰ卷）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（ ）．A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R解析：由B ={}|320x x ->，得B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，因为A ={}|2x x <，所以A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，故选A .题型三 集合的运算【例7】（2020全国Ⅱ卷）已知集合A={}3,x x x Z <∈，B={}1,x x x Z >∈，则A B =（ ）A. ∅B. {}3,2,2,3--C. {}2,0,2-D. {}2,2-解析：由以知，得A ＝{x |－3＜ x ＜3，x ∈Z}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞1，x ∈Z}， 所以A ∩B ＝{-2,2}，故选D .【例8】（2019全国Ⅰ卷）已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则B ∩∁U A ＝（ ）．A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}解析：∵U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}， ∴∁U A ＝{1，6，7}，则B ∩∁U A ＝{6，7}，故选C ．第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件一、高考考点梳理 （一）、命题的定义可以判断真假用文字或符号表述的语句叫做命题。
高考数学集合与常用逻辑用语
第一单元集合与常用逻辑用语第1讲集合课前双基巩固1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法: 列举法、和.(4)常见数集及其符号表示:2.集合间的基本关系A B或B A 3.集合的基本运算}}常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足);④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.(4)①并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A;②交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B;③补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=⌀;∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B);∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={-1,0,1,2},B={-1,1,2,5},则集合A∩B所含元素之和为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;集合运算中端点取值致错;对子集的概念理解不到位致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B⊆A,则m= .6.已知集合A={x|y=log2(x+1)},集合B=y y=,x>0,则A∩B= .7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A B,则a的取值范围为.9.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为.课堂考点探究探究点一集合的含义与表示1 (1)设集合A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x2+1,x∈A},则B中的元素有 ()A.5个B.4个C.3个D.无数个(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] (1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合,然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义.(2)依据元素与集合的关系确定参数时,往往要对集合中含参数的元素取值情况进行分类讨论,并要注意检验集合中的元素是否满足互异性.式题(1)设集合A={-1,0,2},集合B={-x|x∈A且2-x∉A},则B=()A.{1}B.{-2}C.{-1,-2}D.{-1,0}(2)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A探究点二集合间的基本关系2 (1)[2017·江西八校联考]集合M=x x=+1,n∈Z,N=y y=m+,m∈Z,则两集合M,N 的关系为()A.M∩N=⌀B.M=NC.M⊆ND.N⊆M(2)[2017·大庆三模]已知集合A={y|0≤y<a,y∈N},B={x|x2-2x-3≤0,x∈N},若A⫋B,则满足条件的正整数a所构成集合的子集的个数为()A.2B.4C.8D.16[总结反思] (1)判断两集合之间的关系的方法:当两集合不含参数时,可直接利用数轴、图示法进行判断;当集合中含有参数时,需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法.(2)要确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数,再求解.不要忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、图示法来解决这类问题.式题(1)[2017·长沙一中月考]已知集合A={x|x2-2x≤0},B={x|x≤a},若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.a≥2B.a>2C.a<0D.a≤0(2)[2017·临川一中模拟]若集合A∪B=B∩C,则对于集合A,B,C的关系,下列表示正确的是()A.A⊆B⊆CB.C⊆B⊆AC.B⊆C⊆AD.B⊆A⊆C探究点三集合的基本运算考向1集合的运算3 (1)[2017·保定二模]设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=()A.{3,0}B.{3,0,2}C.{3,0,1}D.{3,0,1,2}(2)已知集合A={(x,y)|y=x+1,0≤x≤1},集合B={(x,y)|y=2x,0≤x≤10},则集合A∩B= ()A.{1,2}B.{x=1,y=2}C.{(1,2)}D.{x=1,x=2}(3)[2017·河西五市二模]已知全集U=R,集合A={x|y=lg(x-1)},B={y|y=},则A∩(∁B)=()UA.[1,2]B.[1,2)C.(1,2]D.(1,2)[总结反思] 解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点:(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提.(2)对集合化简.有些集合是可以化简的,如果先化简再研究其关系并进行运算,可使问题变得简单明了,易于解决.(3)注意数形结合思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.考向2利用集合运算求参数4 (1)[2017·邯郸二模]已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)[2017·泰安二模]设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(∁U A)∩B=⌀,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算结果求参数,主要有以下两种形式:(1)用列举法表示的集合,直接依据交、并、补的定义求解,重点注意公共元素;(2)由描述法表示的集合,一般先要对集合化简,再依据数轴确定集合的运算情况,特别要注意端点值的情况.考向3集合语言的运用5 设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P且x∉Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于()A.{x|0<x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0≤x<2}[总结反思] 解决集合新定义问题,应做到:(1)准确转化.解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取.对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.强化演练1.【考向1】[2017·资阳二模]设全集U=R,集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|x-1≥0},则图1-1-1中阴影部分所表示的集合为()图1-1-1A.{x|x≤-1或x≥3}B.{x|x<1或x≥3}C.{x|x≤1}D.{x|x≤-1}2.【考向1】[2017·汕头三模]已知集合A={x∈N|x<3},B={x|x=a-b,a∈A,b∈A},则A∩B=()A.{1,2}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1}D.{0,1,2}3.【考向2】[2017·天津静海一中二模]设集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},若A∩B={-1,2},则a 的值为()A.-2或-1B.0或1C.-2或1D.0或-24.【考向2】[2017·厦门一中模拟]已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a 的取值范围是()A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>25.【考向3】若数集A={a1,a2,…,a n}(1≤a1<a2<…<a n,n≥2)具有性质P:对任意的i,j(1≤i≤j≤n),a i a j 与两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”.则()A.{1,3,4}为“权集”B.{1,2,3,6}为“权集”C.“权集”中元素可以有0D.“权集”中一定有元素1第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件课前双击巩固1.命题(1)命题概念:在数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断的陈述句叫作命题.其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.(2)四种命题及其相互关系图1-2-1注:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.2.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的条件;(2)如果q⇒p,则p是q的条件;(3)如果既有p⇒q又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的条件.常用结论1.充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.2.充分、必要条件与集合的关系使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为BB⊆AA BB A题组一常识题1.[教材改编]对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△A'B'C';③x2+2x-3<0;④四边形的内角和是360°.其中是命题的是.(填序号)2.[教材改编]下面有4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a属于N;③若a ∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解可表示为.其中真命题的个数为.3.[教材改编]命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是.4.[教材改编]已知集合M={x|1<x<a},N={x|1<x<3},则“a=3”是“M⊆N”的条件. 题组二常错题◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是.6.已知命题“∀a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是.7.若命题“ax2-2ax-3≤0成立”是真命题,则实数a的取值范围是.8.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的条件.课堂考点探究探究点一四种命题及其相互关系1 (1)已知命题α:如果x<3,那么x<5,命题β:如果x≥3,那么x≥5,命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③(2) 给出以下五个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数;⑤若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减.其中为真命题的是.(写出所有真命题的序号)[总结反思] (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.(3)当一个命题不易直接判断真假时,根据“互为逆否的命题同真同假”的结论,可转化为判断与其等价的命题的真假.式题(1)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是()A.若a,b,c成等比数列,则b2≠acB.若a,b,c不成等比数列,则b2≠acC.若b2=ac,则a,b,c成等比数列D.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列(2)[2017·枣庄二模]已知命题“若x>1,则2x<3x”,则在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3探究点二充分﹑必要条件的判断2 (1)[2017·北京卷]设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·天津卷]设θ∈R,则“θ-<”是“sin θ<”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[总结反思] 充要条件的三种判断方法:(1)定义法.根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法.根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法.根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断,这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.式题(1)对任意的实数x,若[x]表示不超过x的最大整数,则“-1<x-y<1”是“[x]=[y]”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·衡水一模]设p:<1,q:log2x<0,则p是q的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件探究点三充分、必要条件的应用3 (1)[2017·湖北新联考四联]若“x>2m2-3”是“-1<x<4”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是()A.[-1,1]B.[-1,0]C.[1,2]D.[-1,2](2)已知条件p:≤-1,条件q:x2+x<a2-a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范-围是()A.--B.C.[-1,2]D.-∪[2,+∞)[总结反思] (1)求解充分、必要条件的应用问题时,一般是把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意对区间端点值进行检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现错误.式题(1)[2017·武汉三模]下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是() A.a-1>b B.a+1>bC.|a|>|b|D.a3>b3(2)“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是()A.-1≤k<3B.-1≤k≤3C.0<k<3D.k<-1或k>3第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课前双击巩固1.简单的逻辑联结词命题中的、、叫作逻辑联结词,用符号分别表示为、、.2.全称量词与存在量词(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(3)含有一个量词的命题的否定:全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是.特称命题q:∃x0∈M,q(x0),它的否定是.常用结论1.否命题是把原命题的条件与结论都否定,命题的否定只需否定命题的结论.2.用“并集”的概念来理解“或”,用“交集”的概念来理解“且”,用“补集”的概念来理解“非”.3.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反.4.命题p∧q的否定是p∨q;命题p∨q的否定是p∧q.题组一常识题1.[教材改编]给出下列命题:①函数y=ln x是减函数;②2是方程x+2=0的根又是方程x-2=0的根;③28是5的倍数或是7的倍数.其中是“p或q”形式的命题的是.(填序号)2.[教材改编]p∨q是真命题,q是真命题,则p是(填“真”或“假”)命题.3.已知命题p:∃x0∈R,+x0-1<0,则命题p是.4.[教材改编]命题“有的四边形是平行四边形”的否定是.题组二常错题◆索引:全称命题或特称命题的否定出错;不会利用真值表判断命题的真假;复合命题的否定中出现逻辑联结词错误;考查命题真假时忽视对参数的讨论.5.[教材改编]命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是.6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数.则下列命题中为真命题的是.(填序号)①p∨q;②p∧q;③p∧q;④p∨q.7.已知命题:若ab=0,则a=0或b=0,则其否命题为.8.已知命题“∀x∈R,ax2+4x+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是.课堂考点探究探究点一含逻辑联结词的命题及真假1 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.p∨qB.p∨qC.p∧qD.p∨q(2)给出下列两个命题:命题p:若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M,则|MA|≤1的概率为.命题q:若函数f(x)=x+,则f(x)在区间1,上的最小值为4.那么,下列命题为真命题的是()A.p∧qB.pC.p∧qD.p∧q[总结反思] 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤:(1)判断复合命题的结构;(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假;(3)依据“或”:一真即真,“且”:一假即假,“非”:真假相反,作出判断即可.式题(1)[2017·惠州调研]设命题p:若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则∀x∈R,f(-x)≠f(x),命题q:f(x)=x|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.则下列判断错误．．的是() A.p为假B.q为真C.p∨q为真D.p∧q为假(2)已知命题p:若x>y,则-x<-y,命题q:若x<y,则x>y2.给出命题:①p∧q;②p∨q;③p∧q;④p ∨q.其中为真命题的是()A.①③B.①④C.②③D.②④探究点二全称命题与特称命题2 (1)[2017·陕西师大附中二模]若命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0,则p为()A.不存在x0∈R,使得-+1<0B.存在x0∈R,使得-+1<0C.对任意的x∈R,都有x3-x2+1≥0D.存在x0∈R,使得-+1≥0(2)下列命题中为假命题的是()A.∃α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin βB.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数C.∃x0∈R,+a+bx0+c=0(a,b,c∈R且为常数)D.∀a>0,函数f(x)=(ln x)2+ln x-a有零点[总结反思] 全称命题与特称命题的真假判断及其否定:∀x∈M,p(x)式题[2017·山东师大附中二模]已知f(x)=e x-x,g(x)=ln x+x+1,命题p:∀x∈R,f(x)>0,命题q:∃x0∈(0,+∞),g(x0)=0,则下列说法正确的是()A.p是真命题,p:∃x0∈R,f(x0)<0B.p是假命题,p:∃x0∈R,f(x0)≤0C.q是真命题,q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0D.q是假命题,q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0探究点三根据命题的真假求参数的取值范围3 (1)[2017·南充一模]设p:∃x0∈1,,g(x0)=log2(t+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t 的取值范围为.(2)[2017·湖南十三校二联]已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点; 命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围是. [总结反思] 根据命题真假求参数的方法步骤:(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.式题(1)[2018·衡水中学模拟]已知命题p:∃x0∈R,+ax0+a<0,若p是真命题,则实数a 的取值范围为()A.[0,4]B.(0,4)C.(-∞,0)∪(4,+∞)D.(-∞,0]∪[4,+∞)(2)[2017·太原二模]若命题“∀x∈(0,+∞),x+≥m”是假命题,则实数m的取值范围是.。
高考文科数学二轮专题复习讲义集合与常用逻辑用语
第1讲集合与常用逻辑用语考点1集合的概念及运算集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U；(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.[例1](1)[2019·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}(2)[2019·全国卷Ⅰ]已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}【解析】(1)本题主要考查集合的交运算与一元二次不等式的求解，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1,0,1}．(2)本题主要考查集合的交运算、解一元二次不等式等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．通解∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故选C.优解由题得N＝{x|－2<x<3}．∵－3∉N，∴－3∉M∩N，排除A，B；∵2.5∉M，∴2.5∉M∩N，排除D.故选C.【答案】(1)A(2)CA ．P ＝QB ．P QC ．P QD ．P ∩Q ＝∅解析：在集合P 中，x ＝k 2＋14＝2k ＋14，k ∈Z ，在集合Q 中，x ＝k 4＋12＝k ＋24，k ∈Z .因为k ∈Z ，所以2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，由集合间的关系判断，得P Q .故选B.答案：B2．[2019·北京延庆一模]已知集合A ＝{x |x (x ＋1)≤0}，集合B ＝{x |－1<x <1}，则A ∪B ＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |－1≤x <1}D ．{x |0<x <1}解析：解一元二次不等式x (x ＋1)≤0，可得A ＝{x |－1≤x ≤0}，则A ∪B ＝{x |－1≤x <1}，故选C.答案：C就是假命题.『对接训练』3．[2019·山西芮城期末]在一次数学测试中，成绩在区间[125,150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q 是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q解析：“甲测试成绩不优秀”可表示为綈p，“乙测试成绩不优秀”可表示为綈q，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为(綈p)∨(綈q)．故选A.答案：A4．[2019·江西临川一中月考]已知命题p：∀x∈R，x2－2ax＋1>0；命题q：∃x0∈R，ax20＋2≤0.若p∨q为假命题，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]解析：∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题．若命题p为假命题，则Δ≥0，即4a2－4≥0，解得a≤－1或a≥1；若命题q为假命题，则a≥0，∴实数a的取值范围是[1，＋∞)，故选A.答案：A考点3充分、必要条件课时作业1集合与常用逻辑用语1．[2019·全国卷Ⅱ]设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝()A．(－∞，1) B．(－2,1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)解析：本题考查不等式的求解、集合的交运算，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.答案：A2．[2019·宁夏中卫一模]命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.答案：D3．[2019·四川内江、眉山等六市诊断性考试]已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为()A．4 B．3C．2 D．1解析：由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种情况，所以选A.答案：A4．[2019·广东广州一测]已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>0}，故A⊆B，故选D.答案：D5．[2019·吉林长春模拟]设命题p：∀x∈(0，＋∞)，ln x≤x－1，则綈p是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x>x－1B．∀x∈(－∞，0 ]，ln x>x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0>x0－1D．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≤x0－1解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈(0，＋∞)，ln x≤x－1的否定綈p：∃x0∈(0，＋∞)，ln x0>x0－1.故选C.答案：C6．[2019·陕西西安铁一中月考]如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：解法一(集合法)设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x ＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．解法二(等价转化法)x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/ x＝y.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．答案：C7．[2019·安徽芜湖四校联考]已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x2≥4}，则图中阴影部分所表示的集合为() A．{－2，－1,0,1} B．{0}C．{－1,0} D．{－1,0,1}解析：由韦恩图可知阴影部分对应的集合为A∩(∁U B)，∵B＝{x|x2≥4}＝{x|x≥2或x≤－2}，A＝{－2，－1,0,1,2}，∴∁U B＝{x|－2<x<2}，A∩(∁U B)＝{－1,0,1}，故选D.答案：D8．[2019·西藏拉萨中学月考]下列命题中是真命题的是()C ．2D ．－2解析：因为綈p ：∃x ∈R,2x ≥3x ，要使(綈p )∧q 为真命题，所以綈p 与q 同时为真命题．由2x ≥3x 得⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ≥1，所以x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，所以x ＝1或x ＝－2.又x ≤0，所以x ＝－2.故选D.答案：D12．[2019·海南海口模拟]已知集合A ＝{x ∈R ⎪⎪⎪ 12<2x <8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m >2D ．－2<m <2解析：集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪ 12<2x <8＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.答案：C13．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a 2 020＋b 2 020的值为________．解析：因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }， 所以⎩⎨⎧ b a ＝0，a 2＝1或⎩⎨⎧b a ＝0，a ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，则a 2 020＋b 2 020＝1. 答案：114．[2019·安徽定远重点中学月考]若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知命题“∀x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3≥0 ”为真命题，所以Δ＝m 2－4(2m －3)≤0，解得2≤m ≤6，则实数m 的取值范围是[2,6]．答案：[2,6]15．[2019·江苏扬州期中]已知条件p ：x >a ，条件q ：1－x x ＋2>0.若p。
高考文科数学(新课标)一轮复习课件：第1章 集合与常用逻辑用语 第3讲
5．(选修1－1
P18
B组T(3)(4)改编)命题p：2＞3，q：8＋
B
7≠15，则“p∧q”的否定是( A．2≤3且8＋7＝15 C．2＞3或8＋7≠15
) B．2≤3或8＋7＝15 D．2≤3且8＋7≠15
解析：因为“p∧q”的否定是“(¬ p)∨(¬ q)”，故选B.
含有一个逻辑联结词的命题的真假性
解析：∵命题∃x0∈M，p(x0)的否定是∀x∈M，¬ p(x)，故 选B.
4．(选修1－1 P26A组T3(1)改编)命题p：∀x∈N，x2＞x3的否 定是(
C
) B．∀x∈N，x2≤x3 D．∀x∈N，x2＜x3
3 A．∃x0∈N，x2 ＞ x 0 0 3 C．∃x0∈N，x2 0≤x0
解析：∵命题∀x∈M，p(x)的否定是∃x0∈M，¬ p(x0)，故 选C.
D
)
解析：∵¬ p：∃x∈R，2x≥3x，要使(¬ p)∧q为真， ∴¬ p与q同时为真．由2 ≥3 ∴x≤0， 由x2＝2－x得x2＋x－2＝0， ∴x＝1或x＝－2，又x≤0， ∴x＝－2.
x x
2x 得3 ≥1，
2．已知命题 p：对任意x∈R，总有2x>0； q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是( A．p∧q C．(¬ p)∧q
D
) B．(¬ p)∧(¬ q) D．p∧(¬ q)
解析：因为指数函数的值域为(0，＋∞)， 所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当 x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立， 故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧ q、¬ p为假命题，¬ q为真命题，(¬ p)∧(¬ q)、(¬ p)∧q为假命 题，p∧(¬ q)为真命题，故选D.
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ） A ．{}1,3,4 B ．{}2,3,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}0,1,2,3,4,93．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}0,1,2 C ．{}2- D ．{}25．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ） A ．{1,2}- B ．{1,2} C ．{1,4} D ．{1,4}- 6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ） A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1,2}8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ） A ．{}02x x ≤< B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,911．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ） A ．{}1,4,9 B ．{}3,4,9 C ．{}1,2,3 D ．{}2,3,52．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a c C ．{},b d D ．{},,,a b c d考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-= ”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2yxx y +=-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n S n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x ∀∈R ，20x ≥参考答案考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-【答案】B【详细分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【答案详解】因为A B ⊆，则有：若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.故选：B.2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详细分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【答案详解】当0a =时，集合{}1,0M =，{}1,0,1N =-，可得M N ⊆，满足充分性，若M N ⊆，则0a =或1a =-，不满足必要性，所以“0a =”是“M N ⊆”的充分不必要条件，故选：A.考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ）A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,9【答案】C 【详细分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【答案详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：C3．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 【答案】A【详细分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【答案详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣， 根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C 【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--， 所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．5．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}- 【答案】B【详细分析】方法一：求出集合B 后可求A B ⋂.【答案详解】[方法一]：直接法因为{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B = ，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法=1x -代入集合{}11B x x =-≤，可得21≤，不满足，排除A 、D ；4x =代入集合{}11B x x =-≤，可得31≤，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ）A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B = ．故选：A.8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详细分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【答案详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T ?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【详细分析】详细分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【答案详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【详细分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【答案详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=， 故选：B.11．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【详细分析】根据交集定义运算即可 【答案详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.【名师点评】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 【答案】B【详细分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【答案详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <【答案】C【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案.【答案详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}【答案】D【详细分析】利用并集的定义可得正确的选项.【答案详解】{}1,2,4,6A B = ，故选：D.3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤【答案】B【详细分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【答案详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤ .故选：B.4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【详细分析】根据集合并集概念求解.【答案详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选：C【名师点评】本题考查集合并集，考查基本详细分析求解能力，属基础题.考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,5【答案】D【详细分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【答案详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =， 则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D 2．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U【答案】A【详细分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【答案详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ） A ．()U M N ð B ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð【答案】A【详细分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【答案详解】由题意可得{}|2M N x x =< ，则(){}|2U M N x x =≥ ð，选项A 正确； {}|1U M x x =≥ð，则{}|1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}|11M N x x =-<< ，则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥，选项C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥，则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥，选项D 错误；故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ） A ．2M ∈ B ．3M ∈ C ．4M ∉ D ．5M ∉【答案】A【详细分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【答案详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--【答案】D【详细分析】利用补集的定义可得正确的选项．【答案详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =-- ð，故选：D ．6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【详细分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【答案详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð， 故选：B.7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a cC ．{},b dD ．{},,,a b c d【答案】C【详细分析】利用补集概念求解即可. 【答案详解】{},U M b d =ð. 故选：C考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件 【答案】C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【答案详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C.3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ， 若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ， 例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】解法一：由2xyy x +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x yy x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可. 【答案详解】解法一： 因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-， 所以112x y y yy x y y -+=+=--=--， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=. 所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-， 所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x +=-”的充要条件. 故选：C5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【答案详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠， 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【详细分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【答案详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立； 由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【答案详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+， 因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+， 即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立， 于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【详细分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【答案详解】因为22sin cos 1x x +=可得： 当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【详细分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【答案详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >， 但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ．【名师点评】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题 D ．p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【答案详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题， 综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B.2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x > D ．x ∀∈R ，20x ≥【答案】D【详细分析】本题可通过43>、12<、45<、cos 1≤x 、20x ≥得出结果. 【答案详解】A 项：因为43>，所以10>且34>是假命题，A 错误； B 项：根据12<、45<易知B 错误； C 项：由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误； D 项：2x 恒大于等于0，D 正确， 故选：D.。
全国名校高考数学经典复习题汇编(文科附详解)专题1 集合与常用逻辑用语
全国名校高考数学经典复习题汇编（文科附详解） 1 一、集合间的基本关系 自然语言 符号语言 图示
基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 AB（或BA） 真子集
集合A是集合B的子集，且
集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB（或BA）
相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 AB
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A，()BB
【必记结论】（1）若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有21n个非空子集，有21n个真子集，有22n个非空真子集；（2）子集关系的传递性，即,ABBCAC．
二、集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 {|}ABxxAxB且
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元|}{ABxxAxB或 全国名校高考数学经典复习题汇编（文科附详解） 2 素组成的集合
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 {|}UAxxUxA且ð
【必记结论】(.)UUUABABAABBABAB痧? 三、四种命题及其关系 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 四种命题及其关系如下：
四、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 （1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若p⇒q且q/p，则p是q的充分不必要条件； （3）若p/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件； （4）若p⇔q，则p是q的充要条件； （5）若p/q且q/p，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．必记结论 （1）等价转化法判断充分条件、必要条件 全国名校高考数学经典复习题汇编（文科附详解） 3 ①p是q的充分不必要条件q是p的充分不必要条件； ②p是q的必要不充分条件q是p的必要不充分条件； ③p是q的充要条件q是p的充要条件； ④p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件． （2）集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则 ①若AB，则p是q的充分条件； ②若BA，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的充分不必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤若AB，则p是q的充要条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 五、复合命题的真假判断 “p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定： p q p q pq pq ()pq ()pq ()()pq ()()pq
高考数学专题集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．集合间的基本关系3．集合的基本运算1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[试一试]1．(2013·辽宁高考)已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()A．(0,1)B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2]答案：D2．i是虚数单位，若集合S＝{－i,0，i}，则()A．i2∈S B．i2 010∈SC．i2 012∈S D．i2 013∈S解析：选D i2＝－1∉S；i2 010＝i2＝－1∉S，i2 012＝i4＝1∉S，i2 013＝i∈S，故选D项．3．已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B＝________.答案：∅1．判断集合关系的方法有三种(1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．2．解决集合的综合运算的方法解决集合的综合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解．3．数形结合思想数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．[练一练]1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案：B2．(2014·安徽省“江南十校”联考)已知集合A ＝{x |x 2－x ≤0}，函数f (x )＝2－x (x ∈A )的值域为B ，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．[0,1]D ．(1，＋∞)解析：选A 由题意知，集合A ＝{x |0≤x ≤1}，∴B ＝{y |1≤y ≤2}，∁R A ＝{x |x <0或x >1}，∴(∁R A )∩B ＝(1,2]．集合的基本概念1.(2013·山东高考)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选C 逐个列举可得．x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．2．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 013＝________. 解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.答案：－1或03．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－32[类题通法]1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．集合间的基本关系[典例] (1)(2013·洛阳统考)已知集合A ＝{x |x －2x ≤0，x ∈N }，B ＝{x |x ≤2，x ∈Z }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.[解析] (1)由x －2x ≤0得0<x ≤2，因此A ＝{1,2}；由x ≤2得0≤x ≤4，因此B ＝{0,1,2,3,4}，满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数是23＝8.(2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )， 由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.[答案] (1)D (2)4 [类题通法]1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．2．当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况． [针对训练]1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒/ a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．2．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. 答案：[－1，＋∞)集合的基本运算[典例] 均为全集U ＝{1,2,3,4}∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅(2)(2014·武汉市武昌区联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg(x ＋1)≤0}，B ＝{x |3x ≤1}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] (1)∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}． 又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩∁U B ＝{3}．(2)lg(x ＋1)≤0⇒0<x ＋1≤1⇒－1<x ≤0,3x ≤1⇒x ≤0，则A ∩B ＝(－1,0]，∁U (A ∩B )＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．[答案] (1)A (2)C [类题通法]集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． [针对训练]设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)·x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．解析：A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m ＝1或2. 答案：1或2集合中的创新问题角度一 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的V enn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.角度三 创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1. [类题通法]解决新定义问题应注意以下几点(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质； (2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决； (3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B ⇒/A)；与A的充分不必要条件是B(B ⇒A且A ⇒/B)两者的不同．[试一试]1．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推出“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推出“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[练一练]1．(2014·济南模拟)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由x2－3x>0得x>3或x<0，此时得不出x>4，但当x>4时，不等式x2－3x>0恒成立，所以正确选项为B.2．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是________． 解析：原命题与其逆否命题为等价命题． 答案：若b ∈M ，则a ∉M命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．解析：对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④ [类题通法]在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.充分必要条件的判定[典例] p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析](1)由q⇒綈p且綈p⇒/ q可得p⇒綈q且綈q ⇒/p，所以p是綈q的充分而不必要条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．[答案](1)A(2)A[类题通法]充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．[针对训练]下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.解：(1)若A＝B，则sin A＝sin B，即p⇒q.又若sin A＝sin B，则2R sin A＝2R sin B，即a＝b.故A＝B，即q⇒p.所以p是q的充要条件．(2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．充分必要条件的应用[典例]x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．[解](1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P . ∴[－2,10] [1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[类题通法]利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒ / p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q . [针对训练](2013·浙江名校联考)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0解析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．2．全称量词和存在量词(1)全称量词“所有的”“任意一个”，用符号“∀”表示．(2)存在量词“存在一个”“至少有一个”，用符号“∃”表示．(3)全称命题含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(4)特称命题含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．[试一试]1．(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x ∈B，则()A ．綈p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B解析：选C 由命题的否定易知选C ，注意要把全称量词改为存在量词． 2．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，其否定为________． 答案：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠01．含逻辑联结词命题真假判断： (1)p ∧q 中一假即假． (2)p ∨q 中一真必真．(3)綈p 真，p 假；綈p 假，p 真．2．含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．3．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．[练一练]1．(2013·重庆高考)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0解析：选D 全称命题的否定为特称命题，所以答案为D.2．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1x 20≤2，命题q 是命题p 的否定，则命题p 、q 、p ∧q 、p∨q 中是真命题的是________．解析：p 是真命题，则q 是假命题． 答案：p 、p ∨q全称命题与特称命题的真假判断1.(2014·皖南八校联考)下列命题中，真命题是( ) A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：选C 对于A 选项：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故A 为假命题；对于B 选项：存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项：x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，C 为真命题；对于D 选项：x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题．2．已知函数f (x )＝x 2＋bx (b ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃b ∈R ，f (x )为奇函数 D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：选D 注意到b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数． [类题通法]全称命题与特称命题真假的判断方法[典例] 1，x 2∈R ，[f (x 2－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0[解析] 全称命题的否定为存在性命题，即若p 为“∀x ∈M ，q (x )”，则綈p 为“∃x ∈M ，綈q (x )”，故选C.[答案] C[类题通法]全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．[针对训练]写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：有的三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)p：∃x0∈N，x20－2x0＋1≤0.解：(1)綈p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m20＋4>0恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等．显然綈p为假命题．(3)綈p：有的菱形的对角线不垂直．显然綈p为假命题．(4)綈p：∀x∈N，x2－2x＋1>0.显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故綈p是假命题．含有逻辑联结词的命题[典例]5∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是() A．②④B．②③C．③④D．①②③(2)(2014·济宁模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a 的取值范围是()A．(－12，－4]∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)[解析] (1)因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而sin x ＝52>1，所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．因而②③正确．(2)命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[答案] (1)B (2)C解析：p ∧q 为真，∴p 和q 均为真． ∴a 的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)． 答案：[－12，－4]∪[4，＋∞) [类题通法]1．判断“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”形式命题真假的步骤 (1)准确判断简单命题p 、q 的真假；(2)依据[必会3个方法中的第一个方法]判断“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”命题的真假． 2．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． [针对训练]1．(2013·安徽“江南十校”联考)对于下述两个命题，p ：对角线互相垂直的四边形是菱形；q ：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 容易判断p 、q 均为假命题．所以“p ∨q ”为假命题，“p ∧q ”为假命题，“綈p ”为真命题，故真命题的个数为1.2．(2014·江西盟校联考)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“∃x0∈R，x2＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．[1,4]C．[e,4]D．(－∞，1]解析：选C“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题．p真则∀x∈[0,1]，a≥e x，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.。
2022高考数学(文科,通用)复习课件：专题1第1讲集合与常用逻辑用语
则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈 p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故选D.
答案 D
1 2 3 押题精练
1. 已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，
D．M∪N＝(1,4)
解析 集合N是要求在(1,4)范围内取整数，
所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，
所以M∩N＝{2,3}．
(2)(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合
B＝
C
A．{x1－y|x∈A，By．∈3A}中元素的个数是( )
C．5
D．9
解析 x－y∈－2，－1，0，1，2 .
(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：
“∃x0∈R，x
2 0
＋2ax0＋2－a＝0”.若命题“(綈p)∧q”
是真命题，则实数a的取值范围是( )
A.a≤－2或a＝1
B.a≤2或1≤a≤2
C.a>1
D.－2≤a≤1
解析 命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x 02 ＋2ax0＋2－a＝0”
变式训练 2 (1)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否 命题是若_a_＋__b_不__是__偶__数__，__则__a_，__b_不__都__是__偶__数_____.
解析 判断词“都是”的否定是“不都是”.
(2)“log3M>log3N” 是 “M>N 成 立 ” 的 充__分__不__必__要___ 条 件.(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选 择一个正确的填写) 解析 由log3M>log3N，又因为对数函数y＝log3x在定义 域(0，＋∞)单调递增，所以M>N； 当M>N时，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、 log3N不一定有意义.故不能推出log3M>log3N， 所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件.
2024年高考数学一轮总复习讲义 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
第一章集合、常用逻辑用语、不等式考情探究本章内容分为两部分．第一部分为集合与简易逻辑、第二部分为不等式．第一部分内容是高考必考内容，难度小，分值为5分，重点考查集合的基本运算，充分、必要条件的判断和含有一个量词命题的否定，集合的基本运算常与不等式结合，考查集合的交、并、补集运算，充分、必要条件的判断常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考查基本概念、定理等，复习时以基础知识为主．第二部分不等式内容在高考题中多作为载体考查其他知识，例如，结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域的求解、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值问题或恒成立问题．此部分考题以中低档题为主，主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分．对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握．第一讲集合知识梳理·双基自测知识梳理知识点一集合的基本概念一组对象的总体构成一个集合．1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性．2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．知识点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中的任意一个元素都是B中的元素A⊆B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A A B 注意：(1)空集用∅表示．(2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n－2.(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．知识点三集合的基本运算1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A.3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.5．∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{1，－1,0}．(×)(3){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(×)(4)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．(×)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)(6)设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁U A＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．(×)[解析](4)当m＝－1时，m＋2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，故(4)错．(6)中A＝{x|0<x<10}，∁U A＝{x|x≤0或x≥10}，故(6)错．题组二走进教材2．(多选题)(必修1P9T1改编)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(ACD)A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}[解析]易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．3．(必修1P35T9改编)已知集合U＝{x|－4<x<3}，A＝{x|－2≤x<1}，则∁U A ＝(A)A．(－4，－2)∪[1,3)B．[－2,1)C．(－4，－2]∪(1,3)D．(－2,1][解析]根据集合补集的运算解答即可．由题知，集合U＝{x|－4<x<3}，A ＝{x|－2≤x<1}，所以∁U A＝{x|－4<x<－2，或1≤x<3}，即∁U A＝(－4，－2)∪[1,3)，故选A.4．(必修1P13T1改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝{x|x≥－1}，∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.题组三走向高考5．(2023·全国甲文，1,5分)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪∁U M＝(A)A．{2,3,5}B．{1,3,4}C．{1,2,4,5}D．{2,3,4,5}[解析]因为U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,4}，所以∁U M＝{2,3,5}，所以N∪∁U M＝{2,3,5}．故选A.6．(2023·新课标Ⅰ，1,5分)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(C)A．{－2，－1,0,1}B．{0,1,2}C．{－2}D．{2}[解析]由x2－x－6≥0得x≥3或x≤－2，∴N＝{x|x≥3或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}，故选C.7．(2023·新课标Ⅱ，2,5分)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(B)A．2B．1D．－1C.23[解析]若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A ⊆B；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足A⊆B.故选B.考点突破·互动探究集合的基本概念——自主练透1.已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，则B等于(C)A．{0,1}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{1,2,3,4}[解析]因为A＝{x|x2≤4}＝[－2,2]，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，所以B＝{1,2,3}．2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*}，B＝{(x，y)|y>x＋1}，则A∩B 中元素的个数为(B)A.2B．3C．4D．5[解析]求得集合A的元素，由此求得A∩B的元素，从而确定正确选项．依题意A＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)}，其中满足y>x＋1的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，所以A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)}，有3个元素．故选B.3．设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是(C) A．2<m<5B．2≤m<5C．2<m≤5D．2≤m≤5[解析]∵1∈A，∴m>2，又∵2∉A，∴m≤5，因此2<m≤5.故选C.4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}0，ba，b a2025＋b2024＝0.[解析]由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1，故a2025＋b2024＝－1＋1＝0.名师点拨：1．用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.集合之间的基本关系——师生共研[解析]方法一(列举法)：A …，－12，12，32，52，72，…B …，－12，0，12，1，32，2，52，3，72，…显然AB .方法二(描述法)：集合A x |x ＝k ＋12，k ∈Zx|x ＝2k ＋12，k ∈Z B x|x ＝k2，k ∈Z 2k ＋1可以表示任意奇数，k 可以表示任意整数，故A B .2．(多选题)已知集合A ＝{－3,2}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，且B ⊆A ，则实数a 的可能取值为(BD )A ．－13B ．0C ．12D ．13[解析]由题知B ⊆A ，B ＝{x |ax ＋1＝0}，所以B ＝{－3}，{2}，∅.当B ＝{－3}时，－3a ＋1＝0，解得a ＝13；当B ＝{2}时，2a ＋1＝0，解得a ＝－12；当B ＝∅时，a ＝0.综上可得实数a 的可能取值为13，0，－12，故选BD.名师点拨：判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．描述法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.【变式训练】1．设集合M |x ＝k 2＋14，k ∈ZN |x ＝k4＋12，k ∈(A )A ．M NB ．M ＝NC ．N MD ．M ∩N ＝∅[解析]分别将集合M ，N 中的x 通分，分母相同，只需比较分子即可．对于集合M ：x ＝k 2＋14＝2k ＋14，k ∈Z ，当k ∈Z 时，2k ＋1为奇数，对于集合N ：x＝k 4＋12＝k ＋24，k ∈Z ，当k ∈Z 时，k ＋2为整数，故M N ，故选A.2．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围是(A )A ．(－∞，2]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．[0,2][解析]当B ≠∅时，要满足B⊆A ，－m ≥－1，＋m ≤3，－m ≤1＋m ，解得0≤m ≤2；当B ＝∅时，1－m >1＋m ，此时m <0.综上，m 的取值范围为m ≤2.集合的基本运算——多维探究角度1集合的运算1.(2024·江苏盐城模拟)已知集合U ＝{x |1<x <6，x ∈N }，A ＝{2,3}，B ＝{2,4,5}，则(∁U A )∩B 等于(A )A ．{4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2}D ．{2,4,5}[解析]由题意得，U ＝{2,3,4,5}，又A ＝{2,3}，则∁U A ＝{4,5}，因为B ＝{2,4,5}，所以(∁U A)∩B＝{4,5}．故选A.[解析]集合M中的元素是被3除余1的数，集合N中的元素是被3除余2的数，所以集合∁U(M∪N)中的元素是被3整除的数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A.3．(多选题)(2022·潍坊质检)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(BD)A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪∁R B＝{x|x≤－1或x>2}D．A∩∁R B＝{x|2<x≤3}[解析]∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正确；∵∁R B＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪∁R B＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正确；A∩∁R B＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2或x>2}＝{x|2<x≤3}，D正确．角度2利用集合的运算求参数1.已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(B)A．(0,3)B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)[解析]因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3.又a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}≠∅，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为_[2,3]__.[解析]由A ∩B ＝B 知，B ⊆A.又B ≠∅m －1≥m ＋1，＋1≥－2，m －1≤5，解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．[引申1]本例2中若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}情况又如何？[解析]应对B ＝∅和B ≠∅进行分类．①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，由例得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例2中是否存在实数m ，使A ∪B ＝B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析]由A ∪B ＝B ，即A ⊆B＋1≤－2，m －1≥5，≤－3，≥3，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ∪B ＝B .[引申3]本例2中，若B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－2m }，A B ，则m 的取值范围为(－∞，－3].[解析]＋1≤－2，－2m ≥5，解得m ≤－3.名师点拨：集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．【变式训练】1．(角度1)(2023·全国乙文，2,5分)设全集U＝{0,1,2,4,6,8}，集合M＝{0,4,6}，N＝{0,1,6}，则M∪∁U N＝(A)A．{0,2,4,6,8}B．{0,1,4,6,8}C．{1,2,4,6,8}D．U[解析]易得∁U N＝{2,4,8}，又M＝{0,4,6}，∴M∪∁U N＝{0,2,4,6,8}．故选A.2．(角度1)(2024·上海控江中学月考)设集合A＝{x∈Z|x2<4}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩(∁R B)＝(C)A．{x|－2<x<1}B．{x|－2<x≤1}C．{－1,0}D．{－1}[解析]A＝{x∈Z|x2<4}＝{－1,0,1}，B＝{x|y＝x－1}＝[1，＋∞)，则∁R B ＝(－∞，1)，所以A∩(∁R B)＝{－1,0}，故选C.3．(多选题)(角度2)若集合A＝{x|x<a}，B＝{x|lg x≥0}，且满足A∪B＝R，则实数a的值可以为(AC)A．2B．－1C．1D．－2[解析]集合A＝{x|x<a}，B＝{x|lg x≥0}，由题意得B＝{x|x≥1}，因为A∪B＝R，所以a≥1.所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．故选AC.4．(角度2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是[－1，＋∞).[解析]∵B⊆A，①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2，②当B ≠∅m －1≤m ＋1，m －1≥－3，＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．名师讲坛·素养提升集合中的新定义问题非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}|y ＝2x ，x ∈[1，4]其中是“互倒集”的序号是②③.[解析]①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意；②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}，即{x |3－22≤x ≤3＋22}，显然0∉A ，又13＋22≤1x ≤13－22，即3－22≤1x ≤3＋22，故1x也在集合中，符合题意；|y ＝2x ，x ∈[1，，|12≤y≤，0∉A ，又12≤1y ≤2，故1y也在集合A 中，符合题意．名师点拨：集合新定义问题的“3定\”1．定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．2．定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．3．定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．【变式训练】(多选题)(2024·重庆市长寿中学月考)若一个集合是另一个集合的子集，则这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合为“蚕食”，对于集合A＝{－1,0,2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的值可以为(ACD)A．0B．1C．12D．－1[解析]若B⊆A，则B＝∅，解得a≤0，故选AD；若两个集合有公共元素，则－1∈B，解得a＝2，若2∈B，解得a＝12，经检验符合题意，故选C.因此选ACD.提能训练练案[1]A组基础巩固一、单选题1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{m|m2－1∈A，m－1∉A}，则集合B中所有元素之和为(C)A.0B．1C．－1D．2[解析]根据题意列式求得m的值，即可得出答案．根据条件分别令m2－1＝－1,0,1，解得m＝0，±1，±2，又m－1∉A，所以m＝－1，±2，B＝{－1，2，－2}，所以集合B中所有元素之和是－1，故选C.2．(2023·山西河津中学模拟)下列四个选项中正确的是(D)A．{1}∈{0,1}B．1⊆{0,1}C．∅∈{0,1}D．1∈{0,1}[解析]对于A：{1}⊆{0,1}，故A错误；对于B：1∈{0,1}，故B错误；对于C：∅⊆{0,1}，故C错误；对于D：1∈{0,1}，故D正确．故选D.3．下列各组集合中表示同一集合的是(B)A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}[解析]由集合元素的无序性，易知{2,3}＝{3,2}．故选B.4．(2023·天津，1,5分)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3}，B＝{1,2,4}，则A∪(∁U B)＝(A)A．{1,3,5}B．{1,3}C．{1,2,4}D．{1,2,4,5}[解析]由题意知∁U B＝{3,5}，∴A∪(∁U B)＝{1,3,5}，故选A.5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B ＝(B)A．{－1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{－1,4}[解析]B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1,2}．故选B.6．设集合A，3，a2－3a，a＋2a＋B＝{|a－2|,0}．已知4∈A且4∉B，则实数a的取值集合为(D)A．{－1，－2}B．{－1,2}C．{－2,4}D．{4}[解析]由题意可得，①当a2－3a＝4且|a－2|≠4时，解得a＝－1或4.当a ＝－1时，集合A＝{2,3,4,4}，不满足集合中元素的互异性，故a≠－1；当a＝4时，集合A，3，4B＝{2,0}，符合题意．②当a＋2a＋7＝4且|a－2|≠4时，解得a＝－1，由①可得不符合题意．综上，实数a的取值集合为{4}．故选D.7．设集合M |x＝k3＋16，k∈ZN|x＝k6＋13，k∈结论正确的是(B)A．M＝N B．M NC．N M D．M∩N＝∅[解析]解法一：由题意知M，－12，－16，16，12，56，76，N，－16，0，16，13，12，23，56，M N .故选B.解法二：M|x ＝2k ＋16，k ∈Z N|x ＝k ＋26，k ∈2k ＋1表示所有奇数，而k ＋2表示所有整数(k ∈Z )，∴M N .故选B.8．(2023·全国乙理，2,5分)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |－1<x <2}，则{x |x ≥2}＝(A )A ．∁U (M ∪N )B ．N ∪∁U MC ．∁U (M ∩N )D ．M ∪∁U N[解析]集合M ，N在数轴上的表示如图．由图可知∁U (M ∪N )＝{x |x ≥2}．二、多选题9．(2022·全国模拟预测)设集合A ＝{2，a 2－a ＋2,1－a }，若4∈A ，则a 的值为(BC )A ．－1,2B ．－3C ．2D ．3[解析]由集合中元素的确定性知a 2－a ＋2＝4或1－a ＝4.当a 2－a ＋2＝4时，a ＝－1或a ＝2；当1－a ＝4时，a ＝－3.当a ＝－1时，A ＝{2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去；当a ＝2时，A ＝{2,4，－1}满足集合中元素的互异性，故a ＝2满足要求；当a ＝－3时，A ＝{2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a ＝－3满足要求．综上，a ＝2或a ＝－3.故选BC.10．已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，下列说法正确的是(AD )A ．不存在实数a 使得A ＝BB ．当a ＝4时，A ⊆BC ．当0≤a ≤4时，B ⊆AD ．存在实数a 使得A ⊆(∁R B )[解析]由集合相等列方程组验算；选项B 由a ＝4得B ＝∅，故不满足A⊆B；选项C通过假设B⊆A求出实数a的取值范围可判定，通过举例判断D.若集合A＝B，a－3＝1，－2＝2，因为此方程组无解，所以不存在实数a使得集合A＝B，故选项A正确；当a＝4时，B＝{x|5<x<2}＝∅，不满足A⊆B，故选项B 错误，若B⊆A，则①当B＝∅时，有2a－3≥a－2，a≥1；②当B≠∅时，有<1，a－3≥1，－2≤2，此方程组无实数解；所以若B⊆A，则有a≥1，故选项C错误；当a＝1时，B＝∅，∁R B＝R，A⊆∁R B，故D正确，故选AD.11．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(CD)A．A∩B＝∅B．A∩B＝BC．A∪B＝U D．(∁U B)∪A＝A[解析]令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知∁U A⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故C，D均正确．12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断正确的是(CD)A．A∪B＝BB．(∁R B)∪A＝RC．A∩B＝{x|1<x≤2}D．(∁R B)∪(∁R A)＝{x|x≤1或x>2}[解析]因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}；因为2<2x≤8，所以1<x≤3，所以B＝{x|1<x≤3}．所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1<x≤2}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．三、填空题136a －1∈N |a ∈_{1,2,3,6}__.[解析]根据已知条件，先求出a 的值，即可求解．∵6a －1∈N 且a ∈N ，∴a －1＝1或a －1＝2或a －1＝3或a －1＝6，解得a ＝2或a ＝3或a ＝4或a ＝7，∴6a －1对应的值为6,3,2,16a －1∈N |a ∈{1,2,3,6}．14．(2024·九省联考试题)已知集合A ＝{－2,0,2,4}，B ＝{x ||x －3|≤m }，若A ∩B ＝A ，则m 的最小值为_5__.[解析]∵A ∩B ＝A ，∴m >0，∴B ＝[3－m,3＋m ]，－m ≤－2，＋m ≥4，∴m ≥5，故填5.15．(2022·天津模拟)已知集合A ＝{x |x 2＝x }，集合B ＝{x |1<2x <4}，则集合A 的子集个数为_4__；A ∩B ＝_{1}__.[解析]A ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，B ＝{x |1<2x <4}＝{x |0<x <2}，故集合A 的子集个数为N ＝22＝4，A ∩B ＝{1}．16．已知集合A ＝{x |(x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∩B ＝_(2,3)__，A ∪B ＝_(1,4)__，(∁R A )∪B ＝_(－∞，1]∪(2，＋∞)__.[解析]由已知得A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2<x <4}，所以A ∩B ＝{x |2<x <3}，A ∪B ＝{x |1<x <4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．17．(2024·衡水模拟)已知集合A ＝{x |0<x <1}，集合B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |x ＋m >0}，若(A ∪B )⊆C ，则实数m 的取值范围是_[1，＋∞)__.[解析]∵集合A ＝{x |0<x <1}，集合B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |x ＋m >0}＝{x |x >－m }，又(A ∪B )⊆C ，∴－m ≤－1，解得m ≥1.∴实数m 的取值范围是[1，＋∞)．B 组能力提升1．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤0}，B ＝{x |x 2≤4}，C ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }，则集合C ＝(B )A．∅B．(0,2]C．[－3,2]D．[－3,4][解析]先根据一元二次不等式的性质求出集合B＝{x|－2≤x≤2}，然后再根据集合C中元素的特征即可求解．由题意可知：B＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，因为集合A＝{x|－3≤x≤0}，集合C＝{x|x∈B，且x∉A}，所以C＝(0,2]，故选B.2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为(C)A．1B．2C．4D．8[解析]B＝{－1,1,3,5}，A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B的子集个数为22＝4.3．(多选题)(2023·重庆北碚区模拟)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(BD)A．{2,3,4}B．{3,4,5}C．{4,5,6}D．{3,5,6}[解析]由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确；若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确；若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确．4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩(∁U B)＝(D)A．(2,3]B．∅C ．[－1,0)∪(2,3]D ．[－1,0]∪(2,3][解析]集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2x ≤1}＝{x |0<x ≤2}，所以∁U B ＝{x |x ≤0或x >2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤0或2<x ≤3}＝[－1,0]∪(2,3]，故选D.5．(2023·湖北孝感模拟)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，则∁A ∪B (A ∩B )＝(C )A ．(－∞，0)B －12，1C ．(－∞，0)∪12，1D －12，0[解析]根据题意可知A ∞B ＝[0,1]，所以A ∪B ＝(－∞，1]，A ∩B＝0∁A ∪B (A ∩B )＝(－∞，0)∪12，1，故选C.6．(多选题)设集合A ＝{x |x ＝m ＋3n ，m ，n ∈N *)，若对于任意x 1∈A ，x 2∈A ，均有x 1⊕x 2∈A ，则运算⊕可能是(AC )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法[解析]由题意可设x 1＝m 1＋3n 1，x 2＝m 2＋3n 2，其中m 1，m 2，n 1，n 2∈N *，则x 1＋x 2＝(m 1＋m 2)＋3(n 1＋n 2)，x 1＋x 2∈A ，所以加法满足条件，A 正确；x 1－x 2＝(m 1－m 2)＋3(n 1－n 2)，当n 1＝n 2时，x 1－x 2∉A ，所以减法不满足条件，B 错误；x 1x 2＝m 1m 2＋3n 1n 2＋3(m 1n 2＋m 2n 1)，x 1x 2∈A ，所以乘法满足条件，C正确；x 1x 2＝m 1＋3n 1m 2＋3n 2，当m 1m 2＝n 1n 2＝λ(λ>0)时，x 1x 2∉A ，所以除法不满足条件，D 错误．7．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝_－1__，n ＝_1__.[解析]A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.8．已知集合A x|y ＝log x －12B ＝{x |x <2m －1}，且A ⊆∁R B ，则m 的最大值是34.[解析]依题意，A x |y ＝log x －12x |x >12∁R B ＝{x |x ≥2m －1}，又A ⊆∁R B ，所以2m －1≤12，解得m ≤34.故m 的最大值为34.。
高考数学文科总复习一《集合与常用逻辑用语》讲义
高考数学文科总复习一《集合与常用逻辑用语》讲义第一讲 集合一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知集合{0,2}=A ，{21012}=--，，，，B ，则A B =A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{21012}--，，，， 2．(2018浙江)已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，则=U A A ．∅ B ．{1，3} C ．{2，4，5} D ．{1，2，3，4，5}3．(2018全国卷Ⅱ)已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB = A ．{3} B ．{5}C ．{3,5}D ．{}1,2,3,4,5,74．(2018北京)已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则AB = A ．{0，1} B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}5．(2018全国卷Ⅲ)已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则AB = A ．{0} B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}6．(2018天津)设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-<R ≤，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}7．(2017新课标Ⅰ)已知集合{|2}A x x =<，{320}B x =->，则A ．3{|}2A B x x =< B ．A B =∅ C ．3{|}2A B x x =< D ．A B =R 8．（2017新课标Ⅱ）设集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =则A B =A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}9．（2017新课标Ⅲ）已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6,8}B =，则AB 中元素的个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．410．（2017天津）设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{1,2,3,4}C =，则()AB C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}11．（2017山东）设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则MN = A ．()1,1- B ．()1,2- C ．()0,2 D ．()1,212．（2017北京）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A = A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞ C ．[2,2]- D ．(,2][2,)-∞-+∞13．（2017浙江）已知集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么P Q = A ．(1,2)- B ．(0,1) C ．(1,0)- D ．(1,2)14．（2016全国I 卷）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则=A BA ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}15．（2016全国Ⅱ卷）已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =A ．{210123}--，，，，， B ．{21012}--，，，， C ．{123}，， D ．{12}， 16．（2016全国Ⅲ）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B =A ．{48}，B ．{026}，，C ．{02610}，，，D ．{0246810}，，，，， 17．（2015新课标2）已知集合}21|{<<-=x x A ，}30|{<<=x x B ，则A B =A ．)3,1(-B ．)0,1(-C ．)2,0(D ．)3,2( 18．（2015新课标1）已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为A ．5B ．4C ．3D ．219．（2015北京）若集合{|52}A x x =-<<，{|33}B x x =-<<，则A B =A ．{|32}x x -<<B ．{|52}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|53}x x -<< 20．（2015天津）已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{}2,3,5A =，集合{1,3,4,6}B =，则集合U A B =A ．{3}B ．{2,5}C ．{1,4,6}D ．{2,3,5}21．（2015陕西）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1) D ．(－∞，1]22．（2015山东）已知集合{}24A x x =<<，{}(1)(3)0B x x x =--<，则AB = A ．()1,3 B ．()1,4C ．()2,3D ．()2,423．（2015福建）若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于 A ．{}0 B ．{}1 C ．{}0,1,2 D ．{}0,124．（2015广东）若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =A ．{}0,1-B ．{}1C ．{}0D ．{}1,1-25．（2015湖北）已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y Z =+∈≤，{(,)|||2,B x y x =≤||2,,}y x y Z ∈≤，定义集合12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．3026．(2014新课标)已知集合A ={x |2230x x --≥}，B ={x |－2≤x ＜2}，则A B =A ．[-2, -1]B ．[-1,1]C ．[-1,2）D ．[1,2）27．（2014新课标）设集合M ={0,1,2}，N ={}2|320x x x -+≤，则M N = A ．｛1｝ B ．｛2｝ C ．｛0，1｝ D ．｛1，2｝28．（2014新课标）已知集合A ={-2，0，2}，B ={x |2x -x -20=}，则A B =A ． ∅B ．{}2C ．{}0D ．{}2-29．（2014山东）设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B AA ． [0,2]B ．(1,3)C ． [1,3)D ． (1,4)30．（2014山东）设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则AB =A ．(0,2]B ．(1,2)C ．[1,2)D ．(1,4) 31．（2014广东）已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则MN =A ．{0,1}B ．{1,0,2}-C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}-32．（2014福建）若集合{|24}P x x =<≤，{|3}Q x x =≥，则P Q 等于A ．}{34x x ≤<B ．}{34x x <<C ．}{23x x ≤<D ．}{23x x ≤≤33．（2014浙江）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则U A = A ．∅ B ． }2{ C ． }5{ D ． }5,2{34．（2014北京）已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB = A ．{0} B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2}35．（2014湖南）已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =A ．{|2}x x >B ．{|1}x x >C ．{|23}x x <<D ．{|13}x x <<36．（2014陕西）已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则MN = A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1] D ．(0,1)37．（2014江西）设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A B =A ．(3,0)-B ．(3,1)--C ．(3,1]--D ．(3,3)-38．(2014辽宁)已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U A B =A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<39．（2014四川）已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则AB = A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}-40．（2014湖北）已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A = A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7} C ．{2,4,7} D ． {2,5,7}41．（2014湖北）设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆”是“∅=B A ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件42．（2013新课标1）已知集合A ={x |x 2－2x ＞0}，B ={x |－5＜x ＜5}，则A ．A ∩B =∅ B ．A ∪B =RC ．B ⊆AD ．A ⊆B43．（2013新课标1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =A ．{}14，B ．{}23，C ．{}916，D ．{}12， 44．(2013新课标2)已知集合(){}2|14,M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N =A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1,2- C ．{}1,0,2,3- D ．{}0,1,2,3 45．(2013新课标2)已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则MN = A ．{2,1,0,1}-- B ．{3,2,1,0}--- C ．{2,1,0}-- D ．{3,2,1}---46．（2013山东）已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B =,{1,2}B =,则U AB = A ．{3} B ．{4}C ．{3,4}D ．∅ 47．(2013山东)已知集合A ={0，1，2}，则集合B ={}|,x y x A y A -∈∈中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．948．（2013安徽）已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂=A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,149．（2013辽宁）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 50．(2013北京)已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B =A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-51．（2013广东）设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-52．(2013广东)设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉53．（2013陕西）设全集为R , 函数()f x M , 则C M R 为A ． [－1,1]B ． (－1,1)C ．,1][1,)(∞-⋃+∞-D ．,1)(1,)(∞-⋃+∞-54．（2013江西）若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a = A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或455．（2013湖北）已知全集为R ，集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{}|024x x x ≤<>或D ．{}|024x x x <≤≥或 56．(2012广东)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =A ．{,,}246B ．{1,3,5}C ．{,,}124D ．U57．（2012浙江）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，设集合{}1,2,3,4P =，{}3,4,5Q =，则U P Q ⋂=A ．{}1,2,3,4,6B ．{}1,2,3,4,5C ．{}1,2,5D ．{}1,258．（2012福建）已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是A ．N M ⊆B ．M N M =C ．MN N = D ．{2}M N = 59．（2012新课标）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B =∅60．（2012安徽）设集合A ={|3213x x --}，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B= A ．（1，2） B ．[1，2] C ．[ 1，2） D ．（1，2 ]61．（2012江西）若集合{1,1}A =-，{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．262．(2011浙江)若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>-，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．R Q C P ⊆63．（2011新课标）已知集合M ={0，1，2，3，4}，N ={1，3，5}，P M N =⋂，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个64．（2011北京）已知集合P =2{|1}x x ≤，{}M a =．若PM P =，则a 的取值范围是A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1][1，+∞） 65．（2011江西）若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于A ．M N ⋃B ．M N ⋂C ．()()n n C M C N ⋃D ．()()n n C M C N ⋂66．（2011湖南）设全集{1,2,3,4,5}U M N =⋃=，{2,4}U M C N ⋂=，则N =A ．{1,2,3}B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4}67．（2011广东）已知集合A ={(,)|,x y x y 为实数，且221}x y +=，B ={(,)|,x y x y 为实数且1}x y +=，则A ⋂B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．168．（2011福建）若集合M =｛-1，0，1｝，N =｛0，1，2｝，则M ∩N 等于A ．｛0，1｝B ．｛-1，0，1｝C ．｛0，1，2｝D ．｛-1，0，1，2｝69．（2011陕西）设集合{}22||cos sin |,M y y x x x R ==-∈，1{|||N x x i =-<}i x R ∈为虚数单位，，则M N ⋂为A ．（0,1）B ．（0,1]C ．[0,1）D ．[0,1]70．（2011辽宁）已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N I M =∅，则=N MA ．MB ．NC ．ID ．∅ 71．（2010湖南）已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{}2,3M N =D ．{}1,4M N =72．（2010陕西）集合A ={}|12x x -≤≤，B ={}|1x x <，则()R A B ⋂=A ．{}|1x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <≤D ．{}|12x x ≤≤73．（2010浙江）设P =｛x ︱x <4｝，Q =｛x ︱2x <4｝，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆D ．R Q P ⊆74．（2010安徽）若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =R A ．2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．22⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．2(,0][,)2-∞+∞D ．2[)+∞ 75．（2010辽宁）已知,A B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集，且{3}AB =，{9}U B A =，则A =A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}二、填空题 76．(2018江苏)已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么AB = ． 77．（2017江苏）已知集合{1,2}A =，2{,3B a a =+｝，若{1}A B =，则实数a 的 值为____．78．(2015江苏)已知集合{}123A =，，,{}245B =，，,则集合A B 中元素的个数为 ．79．(2015湖南)已知集合U ={}1,2,3,4,A ={}1,3,B ={}1,3,4,则A (U B )= ．80．（2014江苏）已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ．81．（2014重庆）设全集{|110}U n N n =∈≤≤，{1,2,3,5,8}A =，{1,3,5,7,9}B =，则()U A B ⋂= ．82．（2014福建）若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________．83．(2013湖南)已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===,则()U A B = ．84．(2010湖南)若规定{}1210,,...,E a a a =的子集{}12,,...,n i i i a a a 为E 的第k 个子集，其中k =12111222n i i i ---++⋅⋅⋅+，则（1）{}1,3,a a 是E 的第____个子集；（2）E 的第211个子集是_______．85．(2010江苏)设集合{1,1,3}A =-，2{2,4}B a a =++，{3}AB =，则实数a =__．第一讲 集合答案部分1．A 【解析】由题意{0,2}A B =，故选A ．2．C 【解析】因为{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以=U A {2，4，5}．故选C ．3．C 【解析】因为{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，所以{3,5}AB =，故选C ． 4．A 【解析】{|||2}(2,2)A x x =<=-，{2,0,1,2}B =-，∴{0,1}AB =，故选A ． 5．C 【解析】由题意知，{|10}A x x =-≥，则{1,2}AB =．故选C ． 6．C 【解析】由题意{1,0,1,2,3,4}A B =-，∴(){1,0,1}A B C =-，故选C ．7．A 【解析】∵3{|}2B x x =<，∴3{|}2AB x x =<， 选A ． 8．A 【解析】由并集的概念可知，{1,2,3,4}AB =，选A ． 9．B 【解析】由集合交集的定义{2,4}AB =，选B ． 10．B 【解析】∵{1,2,4,6}A B =，(){1,2,4}A BC =，选B ．11．C 【解析】{|02}M x x =<<，所以{|02}MN x x =<<，选C ． 12．C 【解析】{|22}U A x x =-≤≤，选C ．13．A 【解析】由题意可知{|12}P Q x x =-<<，选A ．14．B 【解析】由题意得，{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =，则{3,5}A B =．选B ．15．D 【解析】易知{|33}B x x =-<<，又{1,2,3}A =，所以{1,2}AB =故选D ． 16．C 【解析】由补集的概念，得{0,2,6,10}A B =，故选C ．17．A 【解析】∵(1,2)A =-，(0,3)B =，∴(1,3)AB =-． 18．D 【解析】集合{|32,}A x x n n N ==+∈，当0n =时，322n +=，当1n =时， 325n +=，当2n =时，328n +=，当3n =时，3211n +=，当4n =时， 3214n +=，∵{6,8,10,12,14}B =，∴A B 中元素的个数为2，选D ．19．A 【解析】{|32}A B x x =-<<．20．B 【解析】{2,5}UB =，∴UAB {2,5}．21．A 【解析】∵{0,1}M =，{|01}N x x ≤=<，∴M N =[0,1]．22．C 【解析】因为{|13}B x x ，所以(2,3)A B =，故选C ．23．D 【解析】∵{0,1}M N ． 24．B 【解析】{1}MN =．25．C 【解析】由题意知，22{(,)1,,}{(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}A x y x y x y =+≤∈=--Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，所以由新定义集合A B ⊕可知，111,0x y =±=或110,1x y ==±.当111,0x y =±=时，123,2,1,0,1,2,3x x +=---， 122,1,0,1,2y y +=--，所以此时A B ⊕中元素的个数有：7535⨯=个；当110,1x y ==±时，122,1,0,1,2x x +=--，123,2,1,0,1,2,3y y +=---，这种情形下和第一种情况下除12y y +的值取3-或3外均相同，即此时有5210⨯=， 由分类计数原理知，A B ⊕中元素的个数为351045+=个，故应选C ． 26．A 【解析】{}|13A x x x =-≤或≥，故A B =[-2, -1]．27．D 【解析】{}|12N x x =≤≤，∴M N =｛1，2｝．28．B 【解析】∵{}1,2B =-，∴AB ={}2．29．C 【解析】|1|213x x -<⇒-<<，∴(1,3)A =-，[1,4]B =．∴[1,3)A B =．30．C 【解析】∵(0,2)A =，[1,4]B =，所以AB =[1,2)．31．C 【解析】{}{}{}1,0,10,1,21,0,1,2M N ⋃=-⋃=-，选C ． 32．A 【解析】PQ =}{34x x ≤<．33．B 【解析】由题意知{|2}U x N x =∈≥，{|A x N x =∈，所以UA ={|2x N x ∈<≤，选B ．34．C 【解析】∵{}{}2|200,2A x x x =-==．∴AB =={}0,2．35．C 【解析】A B ={|23}x x <<．36．B 【解析】∵21x <，∴11x -<<，∴MN ={}|01x x <≤，故选B ．37．C 【解析】{}|3,3A x x =-<，{}|15RB x x x =->≤或，∴()R AB ={}|31x x --≤≤．38．D 【解析】由已知得，{=0A B x x ≤或}1x ≥，故()UA B ={|01}x x <<．39．A 【解析】{|12}A x x =-≤≤，Z B =，故A B ={1,0,1,2}-．40．C 【解析】{}2,4,7UA =．41．C 【解析】“存在集合C 使得,UA CBC ⊆⊆”⇔“∅=B A ”，选C ． 42．B 【解析】A =(-∞,0)∪(2，+∞)，∴A B =R ，故选B ．43．A 【解析】{}1,4,9,16B =，∴{}1,4A B =． 44．A 【解析】∵(1,3)M =-，∴{}0,1,2MN =．45．C 【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---,所以MN {2,1,0}=--，选C ．46．A 【解析】由题意{}1,2,3AB =，且{1,2}B =，所以A 中必有3，没有4，{}3,4UB =，故UA B ={}3．47．C 【解析】0,0,1,2,0,1,2x y x y ==-=--；1,0,1,2,1,0,1x y x y ==-=-；2,0,1,2,2,1,0x y x y ==-=．∴B 中的元素为2,1,0,1,2--共5个．48．A 【解析】A ：1->x ，{|1}RA x x =-≤，(){1,2}R AB =--，所以答案选A49．D 【解析】由集合A ，14x <<；所以(1,2]A B =．50．B 【解析】集合B 中含-1，0，故{}1,0AB =-．51．A 【解析】∵{}2,0S =-，{}0,2T =，∴ST ={}0．52．B 【解析】特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法：因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立， 此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立， 此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立， 此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈. 综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈. 53．D 【解析】()f x 的定义域为M =[-1,1],故RM =(,1)(1,)-∞-⋃+∞,选D54．A 【解析】当0a =时，10=不合，当0a ≠时，0∆=，则4a =． 55．C 【解析】[)0,A =+∞，[]2,4B =，∴[0,2)(4,)RA B =+∞．56．A 【解析】UM ={,,}246．57．D 【解析】{}3,4,5Q =，∴U Q ={}1,2,6，∴UPQ ={}1,2．58．D 【解析】由M ={1，2，3，4}，N ={-2，2}，可知-2∈N ，但是-2∉M ，则N ⊄M ，故A 错误．∵MN ={1，2，3，4，-2}≠M ，故B 错误．M∩N ={2}≠N ，故C 错误，D 正确．故选D ．59．B 【解析】A =（-1,2），故B ⊂≠A ，故选B ．60．D 【解析】{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-，(1,)(1,2]B AB =+∞⇒=．61．C 【解析】根据题意容易看出x y +只能取-1,1,3等3个数值．故共有3个元素． 62．D 【解析】{|1}P x x =< ∴{|1}RP x x =≥，又∵{|1}Q x x =>，∴RQ P ⊆，故选D ．63．B 【解析】{1,3}P M N ==，故P 的子集有4个．64．C 【解析】因为PM P =，所以M P ⊆，即a P ∈，得21a ≤，解得11a -≤≤，所以a 的取值范围是[1,1]-． 65．D 【解析】因为{1,2,3,4}M N =，所以()()U UM N =()UM N ={5,6}．66．B 【解析】因为UM N ⊂，所以()()()U UU U N NM N M ===[()]UU N M ={1,3,5}．67．C 【解析】由2211x y x y ⎧+=⎨+=⎩消去y ，得20x x -=，解得0x =或1x =，这时1y =或0y =，即{(0,1),(1,0)}AB =，有2个元素． 68．A 【解析】集合{1,0,1}{0,1,2}={0,1}MN =-．69．C 【解析】对于集合M ，函数|cos 2|y x =，其值域为[0,1]，所以[0,1]M =，根据复<21x <，所以(1,1)N =-， 则[0,1]MN =．70．A 【解析】根据题意可知，N 是M 的真子集，所以M N M =．71．C 【解析】{}{}{}1,2,32,3,42,3M N ==故选C.72．D 【解析】{}{}|1,|12RRB x x A B x x ==≥≤≤73．B 【解析】{}22＜＜x x Q -=，可知B 正确，74．A 【解析】不等式121log 2x，得12112201log log ()2x >⎧⎪⎨⎪⎩，得22x ， 所以R A =2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．75．D 【解析】因为{3}A B =，所以3∈A ，又因为{9}UB A =，所以9∈A ，所以选D ．本题也可以用Venn 图的方法帮助理解． 76．{1，8}【解析】由集合的交运算可得AB ={1，8}．77．1【解析】由题意1B ∈，显然1a =，此时234a +=，满足题意，故1a =． 78．5【解析】{1,2,3}{2,4,5}{1,2,3,4,5}AB ==，5个元素．79．{1,2,3}【解析】{2}UB ，A(UB )={1,2,3}．80．{}1,3-【解析】=B A {}1,3-．81．{}7,9【解析】{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =,{}4,6,7,9,10UA =,{}()7,9U A B =．82．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上符合条件的有序数组的个数是6． 83．{}6,8【解析】()UA B ={6,8}{2,6,8}{6,8}=．84．【解析】（1）5 根据k 的定义，可知1131225k --=+=；（2）12578{,,,,}a a a a a 此时211k =，是个奇数，所以可以判断所求集中必含元素1a ，又892,2均大于211，故所求子集不含910,a a ，然后根据2j(j =1,2,⋅⋅⋅7)的值易推导出所求子集为12578{,,,,}a a a a a ．85．1【解析】考查集合的运算推理．3∈B ，23a +=，1a =．第二讲 常用逻辑用语一、选择题1．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2018北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2018天津)设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2018上海)已知a R ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 5．（2017天津）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2017山东）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝⌝∧7．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2016年山东）已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2016年浙江高考）已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．（2015重庆）“1x =”是“2210x x -+=”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 12．（2015浙江）设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 13．（2015安徽）设p ：3x <，q ：13x -<<，则p 是q 成立的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 14．（2015湖北）命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是 A ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠- B ．(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=- C ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠- D ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-15．（2015四川）设,a b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件16．（2015山东）设m R ∈，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m > B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 17．（2015陕西）“sin cos αα=”是“cos 20α=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 18．（2015北京）设,a b 是非零向量，“||||⋅=a b a b ”是“a ∥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 19．（2015福建）“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20．（2014新课标2）函数()f x 在0=x x 处导数存在，若()00p f x '=：，0:q x x =是()f x 的极值点，则A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件21．（2014广东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 22．（2014福建）命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A ．()30,.0x x x ∀∈+∞+<B ．()3,0.0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,.0x x x ∃∈+∞+<D ．[)30000,.0x x x ∃∈+∞+≥23．（2014浙江）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件24．（2014湖南）已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题①p q ∧ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 25．（2014陕西）原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 26．（2014江西）下列叙述中正确的是A ．若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤ B ．若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >C ．命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥” D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ 27．（2013安徽）“0a ≤”是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 28．（2013北京）“ϕπ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点的”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件29．设z 是复数, 则下列命题中的假命题是A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <30．（2013浙江）已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 31．（2013重庆）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为A ．对任意x R ∈，都有20x < B ．不存在x R ∈，都有20x < C ．存在0x R ∈，使得200x ≥ D ．存在0x R ∈，使得200x <32．（2013四川）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：,2x A x B ∀∈∈，则A ．p ⌝：,2x A xB ∀∈∉ B ．p ⌝：2x A x B ∀∉∉，C ．p ⌝：2x A x B ∀∉∈，D ．p ⌝：2x A x B ∀∈∉， 33．（2013湖北）在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A ．()()p q ⌝∨⌝B ． ()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨34．（2012湖北）命题“0x ∃∈R Q ，30x ∈Q ”的否定是A ．0x ∃∉R Q ，30x ∈QB ．0x ∃∈R Q ，30x ∉QC ．x ∀∉R Q ，3x ∈QD ．x ∀∈R Q ，3x ∉Q35．（2012湖南）命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是A ．若4πα≠，则tan 1α≠ B ．若4πα=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则4πα≠D ．若tan 1α≠，则4πα=36．（2012安徽）设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 即不充分不必要条件37．（2012福建）下列命题中，真命题是A ．00,0x x R e ∃∈B ．2,2x x R x ∀∈>C ．0a b +=的充要条件是1a b =- D ．1a >,1b >是1ab >的充分条件 38．（2012北京）设,a b ∈R ，“0a =”是‘复数i a b +是纯虚数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件39．（2012湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数40．(2012山东)设0>a 且1≠a ，则“函数()x a x f =在R 上是减函数”是“()()32x a x g -=在R 上是增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件41．(2012山东)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真42．（2011山东）已知,,a b c R ∈，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是A ．若3a b c ++≠，则222a b c ++<3B ．若3a b c ++=，则222a b c ++<3C ．若3a b c ++≠，则222a b c ++≥3D ．若222a b c ++≥3，则3a b c ++=43．（2011新课标）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p πθ+>⇔∈a b 2:p ||1+>a b ⇔2(,]3πθπ∈ 13:||1[0,)3p πθ->⇔∈a b 4:p ||1->a b ⇔(,]3πθπ∈ 其中真命题是A ．14,p pB ．13,p pC ．23,p pD ．24,p p44．（2011陕西）设,a b 是向量，命题“若=-a b ，则=a b ”的逆命题是A ．若≠a b ，则≠a bB ．若=-a b ，则≠a bC ．若≠a b ，则≠a bD ．若=a b ，则=-a b45．（2011湖南）设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件46．（2011安徽）命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定．．是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数都是偶数D ．存在一个能被2整除的数都不是偶数47．（2010新课标）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数，2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是A ．1q ，3qB ．2q ，3qC ．1q ，4qD ．2q ，4q48．（2010辽宁）已知a >0，则0x 满足关于x 的方程ax b =的充要条件是A ．220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≥- B ．220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≤- C ．220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≥- D ．220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≤-二、填空题49．(2018北京)能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为____． 50．（2013四川）设n P P P ，，，⋯⋯21为平面a 内的n 个点，在平面a 内的所有点中，若点P 到点n P P P ，，，⋯⋯21的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ⋅⋅⋅，，，的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是________________（写出所有的真命题的序号）．51．(2011陕西)设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件是n = ．52．（2010安徽）命题“存在x R ∈，使得2250x x ++=”的否定是 ．第二讲 常用逻辑用语答案部分1．A 【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．2．B 【解析】a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad bc =，则b d a c=，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a c b d=，所以ad bc =，所以“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B ．3．A 【解析】由38x >，得2x >，由||2x >，得2x >或2x <-，故“38x >”是“||2x >”的充分而不必要条件，故选A ．4．A 【解析】由1>a 可得11<a 成立；当11<a ，即1110--=<a a a ， 解得0<a 或1>a ，推不出1>a 一定成立；所以“1a >”是“11a<”的充分非必要条件．故选A ．5．B 【解析】由20x -≥，得2x ≤，由|1|1x -≤，得02x ≤≤，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件．选B ．6．B 【解析】取0x =，知1p 成立；若22a b <，得||||a b =，q 为假，所以p q ⌝∧为真，选B ．7．A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．8．C 【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．9．A 【解析】根据已知，如果直线,a b 相交，则平面,αβ一定存在公共点，故其一定相交；反之，如果平面,αβ相交，分别位于这两个平面内的直线不一定相交，故为充分不必要条件，选A ．10．A 【解析】当0b <时，2min ()()24b b f x f =-=-，即2()[,)4b f x ∈-+∞， 而222(())()()(())24b b f f x f x bf x f x =+=+-的对称轴也是2b -， 又2[,)24b b -∈-+∞，所以当()2b f x =-时，2min (())4b f f x =-， 故(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等；另一方面，取0b =，2()f x x =与4(())f f x x =有相等的最小值0，故选A ．11．A 【解析】由“1x =”显然能推出“2210x x -+=”，故条件是充分的；又由“2210x x -+=”可得10)1(2=⇒=-x x ，所以条件也是必要的；故选A ． 12．D 【解析】若0a b +>，取3,2a b ==-，则0ab >不成立；反之，若2,3a b =-=-，则0a b +>也不成立，因此“0a b +>”是“0ab >”的既不充分也不必要条件．13．C 【解析】∵(1,3)(,3)-⊆-∞，所以p 是q 成立的必要不充分条件．14．A 【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选A ．15．A 【解析】a ＞b ＞1时，有22log log 0a b >>成立，反之也正确．16．D 【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D ．17．A 【解析】∵22cos 2cos sin ααα=-，当sin cos αα=时，cos 20α=，充分性成立；当cos 20α=时，即22cos sin 0αα-=，∴cos sin αα=或cos sin αα=-，必要性不成立．18．A 【解析】||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当a ∥b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ⋅=-， 故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件．19．B 【解析】∵(0,)2x π∈，所以sin 20x >．任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <，等价于任意(0,)2x π∈，2sin 2x k x <．当(0,)2x π∈时，02x π<<，设2t x =， 则0t π<<．设()sin f t t t =-，则()1cos f t t'=-0，所以()sin f t t t =- 在(0,)π上单调递增，所以()0f t >，所以sin 0t t >>，即1sin t t >，所以1k ≤． 所以任意(0,)2x π∈，2sin 2x k x<，等价于1k ≤．因为1k ≤⇒1k <， 但1k ≤⇐1k <，所以“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是 “1k <”的必要而不充分条件．20．C 【解析】设3()f x x =，(0)0f '=，但是()f x 是单调增函数，在0x =处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题，故选C ．21．A 【解析】由正弦定理sin sin a b A B=，故“b a ≤”⇔“B A sin sin ≤”． 22．C 【解析】把量词“∀”改为“∃”，把结论否定，故选C ．23．A 【解析】当1a b ==时，22()(1)2a bi i i +=+=，反之，若i bi a 2)(2=+，则有1a b ==- 或1a b ==，因此选A ．24．C 【解析】由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p q ∧为假命题，②p q ∨为真命题，③q ⌝为真命题，则()p q ∧⌝为真命题，④p ⌝为假命题，则()p q ⌝∨为假命题，所以选C ．25．A 【解析】从原命题的真假人手，由于12n n n a a a ++<{}1n n n a a a +⇔<⇔为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A ．26．D 【解析】2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，因为与a 的符号不确定，所以A不正确；当20b =时，由""a c >推不出22""ab cb >，所以B 不正确；“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有0x <”，所以C 不正确．选D ．27．C 【解析】当a =0 时，()f x x =，∴()f x 在区间()0,+∞内单调递增；当0a <时，()1f x a x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中一个根10a <，另一个根为0，由图象可知()f x 在区间()0,+∞内单调递增；∴"0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的充分条件，相反，当()1f x a x x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间(0,+)∞内单调递增， ∴0a =或10a<，即0a ≤；"0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内 单调递增”的必要条件，故前者是后者的充分必要条件．所以选C ．28．A 【解析】当ϕπ=时，sin 2y x =-过原点；()sin 2y x ϕ=+过原点，则,,0,,ϕππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅等无数个值．选A ．29．C 【解析】abi b a z R b a bi a z 2,,222+-=⇒∈+=设．对选项A: 为实数则若z b z ⇒=≥0,02,所以为实数z 为真．对选项B: 为纯虚数且则若z b a z ⇒≠=<0,0,02,所以为纯虚数z 为真．对选项C: 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02≥z 为假．对选项D: 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02<z 为真．所以选C ．30．B 【解析】由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确．31．D 【解析】否定为：存在0x R ∈，使得200x <，故选D ． 32．C 【解析】由命题的否定易知选C ．33．A 【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即为：“甲或乙没有降落在指定范围内”．34．D 【解析】存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉．35．C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若4πα=， 则tan 1α=”的逆否命题是 “若tan 1α≠，则4πα≠”．36．A 【解析】①,,,b m m b αβαββ⊥⊥⋂=⊂,b a b a αα⇒⊥⊂⇒⊥②如果//a m ；∵b m ⊥，一定有a b ⊥但不能保证b α⊥，既不能推出αβ⊥37．D 【解析】∵,0x x R e ∀∈>，故排除A ；取x =2,则2222=，故排除B ；0a b +=，取0a b ==，则不能推出1a b=-，故排除C ；应选D ． 38．B 【解析】0a =时i a b +不一定是纯虚数，但i a b +是纯虚数0a =一定成立，故“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的必要而不充分条件．39．B 【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选B ．40．A 【解析】p ：“函数()x a x f =在R 上是减函数 ”等价于10<<a ；q ：“函数()()32x a x g -=在R 上是增函数”等价于02>-a ，即,20<<a 且a ≠1，故p 是q 成立的充分不必要条件．选A ．41．C 【解析】命题p 为假,命题q 也为假,故选．42．A 【解析】3a b c ++=的否定是3a b c ++≠，222a b c ++≥3的否定是222a b c ++<3，故选A ．43．A 【解析】由1a b +==>得， 1cos 2θ>-， 20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭．由1a b -==> 得1cos 2θ<,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦．选A ． 44．D 【解析】根据定义若“若a b =，则a b =-”．45．A 【解析】显然1a =时一定有N M ⊆，反之则不一定成立，如1a =-，故“1a =”是“N M ⊆” 充分不必要条件．46．D 【解析】根据定义容易知D 正确．47．C 【解析】∵1p 是真命题，则1p ⌝为假命题；2p 是假命题，则2p ⌝为真命题，。