湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期月考试题【含答案
长郡中学2021届高三月考试卷(二)数学(含答案)
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2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考卷(二)数学数学试卷
大联考长郡中学 2024届高三月考试卷(二)数 学得分本试卷共8 页 。
时量 120 分钟 。
满分 150 分。
一 、选择题 : 本题共 8 小题 , 每小题 5 分 , 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是符合题目要求的 . 1 . 若集合A4K 1 , KEN} , B(U+1) (X 9)≤0} , 则 An B的元素个数为A. 2B. 3C. 4D. 52 · 设 a eR · 若复数的虚部为 31其中 i 为虚数单位 · 则 -A 1 B. 3 C· D. 33 33 . 已知非零向量 a , b 满足b =(,J/3 , 1) 〈a , b 〉= T , 若(a b)La , 则向量 a在向量b 方向上的投影向量为A·4b B·2b C·2b D. b4. 设抛物线 C: z2 = 2PY 的焦点为F , M(X , 4)在 C 上 , IMFl = 5 , 则 C 的方程为A. x2 = 2yB. z2 = 2yC. z2 = 4yD. x2 = 4y5 . 若函数f (1)ea +1x 在区间(0 , )上单调递增 , 则实数 a 的取值范围为A. ( , 1]B. ( o , 1)C. [0 , 十 。
)D. ( o , 1]6 . 直线 l : y = kz +1 与圆 O: z2 十y2 = 1 相交于 A , B 两点 , 则 " k = 1 " 是2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 "△O AB 的面积为 1 "的37 . 已知 a e (0 , T ) . 且、Cos 2a sin( a+ T ) , 则 sin 2aA B· C i n i8. 若实数 a , b , C · d 满足 - 1 = 1 ,则(a C) +(b d) 的最小 值是A. 8B. 9C. 10D. 11二 、选择题 : 本题共 4 小题 , 每小题 5 分 , 共 20 分. 在每小题给出的选项中 ,有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分 , 部分选对的得 2 分 , 有选错 的得 。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考(三)数学试题+答案解析
炎德·英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷(三)数学一、选择题(本题共8小题，每题5分，共40分)1.设集合{}1,2,3,4A =，{},4B a =且{}1,2,3,4A B = ，则实数a 的可能取值组成的集合是（）A.{}1,2,3 B.{}2,3,4C.{}1,3,4 D.{}1,2,4【答案】A 【解析】【分析】根据条件4a ≠，分别令12,3，a =代入进行检验，可得出答案.【详解】显然4a ≠，当1a =时，{}1,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 当2a =时，{}2,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 当3a =时，{}3,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 所以a 的值可以为1,2,3.故选：A【点睛】关键点点睛：该题考查根据两集合的并集求参数，考查集合的并集运算，解决该题的关键是注意集合中元素的互异性，属于基础题目.2.已知()312++=+a i i bi (,a b R ∈，i 为虚数单位)，则实数a b +的值为（）A.3B.5C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+则32,38a b a b -==∴+=故选：D3.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，P 的坐标是(),P x y ，若35x =-，则cos 2=α（）A.1625B.1625-C.725D.725-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的定义，求得3cos 5α=-，再结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，因为35x =-，由三角函数的定义，可得3cos 5α=-，所以2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯--=-.故选：D.4.在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数=a （）A.12B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】写出5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式的通项，然后可建立方程求解.【详解】5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式的通项为()()525104155211rr r r r rr r T C ax C a x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1042r -=-，则3r =，所以()33535140C a --=-，解得2a =或2a =-（舍）故选：B5.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（）A.10%B.30%C.50%D.100%【答案】A 【解析】【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为2log (11000)C W =+和2log (12000)C W =+，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.【详解】当1000SN=时，2log (11000)C W =+当2000SN=时，2log (12000)C W =+则2222222log (12000)log (11000)log 20011log 1000111lg 2log (11000)log 1001log 10003W W W +-++=-≈-=+又113411lg10lg 2lg1043=<<=，根据选项分析，1lg 20.13≈所以信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了10%.故选：A.【点睛】本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.6.若平面向量a ，b满足2a b a b ==⋅= ，则对于任意实数λ，()1a b λλ+- 的最小值是（）A. B.32C.2D.1【答案】A 【解析】【分析】设向量,a b 夹角为θ，设()a b + 与(1)a b λλ+- 的夹角为γ，利用1cos 2ab a b θ==和()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦ ，得到(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+-=，进而得到()1+-λλa b 的最小值【详解】由题意得，设向量,a b 夹角为θ，则1cos 2ab a b θ==，()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦，设()a b + 与(1)a b λλ+-的夹角为γ，∴(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+-= ，222212a b a b a b +=++⋅=，∴(1)cos a b λλγ+-= ，0,2πγ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，(1)a b λλ+-≥ 故选：A【点睛】关键点睛：解题关键在于利用1cos 2ab a bθ==，得到()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦，关键点在于根据()a b + 与(1)a b λλ+-的夹角γ，得出()1+-λλa b 的最小值，难度属于中档题7.为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70︒，80︒，则A 、B 的高度差约为（）(参考数据：sin100.1736︒≈，sin 700.9397︒≈，sin800.9848︒≈)A.10米B.9.66米C.9.40米D.8.66米【答案】C 【解析】【分析】在ABC 中，由条件可得10AB BC ==，再在Rt ADB 中，由sin BD AB BAD =∠可得解.【详解】如图所示，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，由10BAC DAC BAD ∠=∠-∠= ，9010ACD CAD ∠=-∠= ，所以10AB BC ==，在Rt ADB 中，sin 10sin 709.40BD AB BAD =∠=≈ .故选：C.8.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于P 点，记=AB FP λ，则λ的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线l ：1x ty =+，联立抛物线可得124y y =-，再由中点坐标可得122P y y y +=，从而可得P x ，利用焦半径公式表示AB 和FP 即可得解.【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线l ：1x ty =+（斜率显然不为0）.214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，0∆>显然成立，124y y =-，点M 是线段AB 的中点，所以122M y y y +=，所以122P y y y +=，所以22222212121212()284161616P P y y y y y y y y y x ++++-====，2222121288111616P y y y y FP x +-++=+=+=，2222121212128||||1122444y y y y AB AF BF x x x x ++=+=+++=++=++=，所以22122212844816y y ABy y FPλ++===++.故选：B.【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0500.0100k 3.8416.635A.25B.45C.60D.40【答案】BC 【解析】【分析】先设男生人数为5n ，()*n N ∈，列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系即得答案．【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5n ，()*n N ∈，由题意可列出22⨯列联表：男生女生合计喜欢锻炼4n 3n 7n不喜欢锻炼n2n3n合计5n5n10n222()10(423)10()()()()557321n ad bc n n n n n nK a b c d a c b d n n n n -⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯．由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，所以103.8416.63521n<；解得：8.066113.9335n <，因为N*n ∈，故n 的可能取值为：9、10、11、12、13，即男生的人数可以是45，50，55，60，65.则选项中被调查学生中男生的人数可能45或60．故选：BC.10.已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（）A.cb a a < B.c c a b b a+>+ C.log log b c a a< D.b cb ac a>++【答案】CD 【解析】【分析】利用指数函数性质，对数函数性质，不等式的性质判断各选项．【详解】由1a >，01c b <<<，可得b c a a >，故A 错误；1a >，01c b <<<，c c a b b a +-+可得()()()0a c b cb ca bc ba b b a b b a -+--==<++，c c ab b a+<+，故B 错误；由1a >，01c b <<<，1log log b a a b =，1log log ca a c=，而log log 0a a c b <<，则110log log a a b c <<，可得log log b c a a <，故C 正确；由1a >，01c b <<<，()()()()()0a b c b c bc ba cb cab ac a b a c a b a c a -+---==>++++++可得b cb ac a>++，故D 正确．故选：CD ．11.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的最大值为2C.14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D.3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数【答案】ABC 【解析】【分析】由周期求出ω，由五点法作图求ϕ，根据特殊点的坐标求出A ，可得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+.通过分析得到ABC 正确，()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.【详解】根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象，得12721212πππω=-，2ω∴=．再根据五点法作图可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=．根据函数的图象经过，可得sin sin3A A πϕ==2A =，()2sin(23f x x π∴=+．故,A ()f x 的最小正周期为π，所以A 正确；,B ()f x 的最大值为2，所以B 正确；,C 由题得()2sin(1423f πππ=+=，所以C 正确；,D (2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式一般有三种：（1）待定系数法：一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k f =++，再求待定系数,,,A w k f ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.（2）图像变换法：一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式.（3）代入法：一般先在所求的函数的图像上任意取一点(,)P x y ，再求出点P 的对称点((,),(,))P f x y g x y ¢，再把点((,),(,))P f x y g x y ¢的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.本题选择的是待定系数法.要根据已知灵活选择.12.已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3,BC AB ==E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】BCD 【解析】【分析】设O 是球心，O '是等边三角形BCD 的中心，在三角形ODO '中，有222OO DO OD ''+=，可求得2R =，可得最大的截面圆；过E 且垂直OE 的截面圆最小，利用222r R OE =-可得解.【详解】如图所示，其中O 是球心，O '是等边三角形BCD 的中心，可得3O B O D BC ''===，3AO '==，设球的半径为R ，在三角形ODO '中，由222OO DO OD ''+=，即()2223R R -+=，解得2R =，故最大的截面面积为24=R ππ，在三角形BEO '中，1162BE BD ==，6EBO π'∠=，由余弦定理得72O E '==，在三角形OO E '中，112OE ==，设过E 且垂直OE 的截面圆的半径为r ，222115444r R OE =-=-=，故最小的截面面积为254r ππ=.所以过点E 作球O 的截面，所以截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.【答案】()2,∞+【解析】【分析】若要直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则直线y =的斜率要小于渐近线by x a=的斜率，建立不等式，即可得解.【详解】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，若直线y =与双曲线有两个交点，则ba>即223b a >，即2223c a a ->，所以224c a >，24e >，即2e >，故答案为：()2,∞+.14.已知数列{}n a 的前n 项和()12+=n n n a S ，且11a=，则数列{}n a 的通项公式为________.【答案】()*n a n n =∈N 【解析】【分析】根据所给关系，当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，即得递推关系11nn a a nn -=-，即可得解.【详解】()12+=nn n a S 当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，整理可得1(1)0n n n a na ---=，即11n n a a n n -=-，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，故111n a a n ==，所以n a n =，故答案为：()*n a n n =∈N.15.如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为________.【答案】37【解析】【分析】利用勾股定理和线面角的定义进行求解即可【详解】设AB a =，6OB a =，OA ==，当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大；此时直线OA 与平面α3737=故答案为：3716.设直线1l ，2l 分别是函数()ln f x x =，()1x ≠图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，PAB 的面积的取值范围是________.【答案】()0,1【解析】【分析】因为()ln ,01ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩，可确定12,P P 分别在分段函数的两段上，设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<，通过导数可求得切线斜率；根据12,l l 相互垂直可得到121=x x ；通过12,l l 的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB =；联立12,l l 求得P 点横坐标，从而将PAB ∆面积表示为1121PAB S x x ∆=+，根据()10,1x ∈可求得PAB ∆面积的取值范围.【详解】由题意可知，()ln ,01ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩，且明显地，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<()1,011,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩111l k x ∴=-，221l k x =1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x -()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈ 且1y x x=+在()0,1上单调递减111112x x ∴+>+=01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1本题正确结果：()0,1【点睛】关键点睛：解题的关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元，进而求解的问题；求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；难度属于困难四、解答题(本题共6小题，共70分)17.在①1c =，ABC 的面积为4，②b =，③4A π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在锐角ABC ，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且)cos cos 2sin a C c A b B +=，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】)cos cos 2sin a C c A b B +=，求出B ，然后针对给定的条件利用正弦定理、面积公式选择条件进行求解即可.【详解】因为sin sin sin a b cA B C==，)cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，()22sin A C B+=22sin B B =，又sin 0B ≠所以3sin 2B =，因为ABC 是锐角三角形，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3B π=.选择条件①：因为1133sin 2224ABC S ac B a ==⋅= 所以1a =又因为1a c ==，3B π=，所以ABC 存在且为等边三角形，所以3C π=，所以3sin 2C =.,选择条件②：由正弦定理sin sin b cB C=及b =得sinsin 3sin 4c c BC bπ===.选择条件③：由4A π=得512C A B ππ=--=，所以得：5123226sin sinsin sin cos sin .1264646422224C πππππππ⎛⎫==+=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）()1114213n n T n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据211n n n a S S ++=+写出()212n n n a S S n -+≥，通过作差以及化简说明{}n a 为等差数列，并求解出通项公式；（2）将{}n b 的通项公式变形为()()11114213213n n n b n n -⎡⎤=-⎢⎥-⋅+⋅⎣⎦，采用裂项相消法求解出n T 的结果.【详解】(1)由211n n na S S ++=+又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1所以()11n a a n d n=+-=(2)()()1121213n nn b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()111n n 1n n 1=-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（3）1=-（4）()()1121121212121n n n n n ++=-----.19.在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是 AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）77.【解析】【分析】（1）由//FC EA ，另易证得1//O C AD ，即可证得面//EAD 面1FCO ，由面面平行，从而证得线面平行，即1//O F 面EAD .（2）连接AC ，易证AC ⊥面FBC ，可过C 作CH BF ⊥交BF 于H ，连接AH ，则AHC ∠即为二面角A —FB —C 的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆 AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=，又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形.所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE .因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为⊄FC平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE .又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE .（2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面，所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠=因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠= ，在601Rt ABC ABC BC ∆∠== 中，，，所以tan 60AC BC =⋅= ，所以在tan301Rt FAC FC AC ∆== 中，因为ACBC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ，又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ，又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥，所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角.在FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆==中，，在90Rt ACH ACH ∆∠= 中，，所以2AH ==，所以cos CH AHC AH ∠==所以二面角A FB C --的余弦值为77.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知F 为椭圆C 的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆(异于椭圆顶点)于A 、B 两点，试判断11AF BF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，43.【解析】【分析】（1）根据离心率12e =和31,2D ⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点，列式即可得解；（2）依题意知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+联立22143x y +=，消去x 整理得()2234690m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634my y m -+=+，122934y y m -=+，结合条件表达11AF BF +，化简即可得解.【详解】(1)由已知22222191412a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=(2)由(1)可知()1,0F 依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+不妨设10y >，20y <，11AF y y ===，同理22BF y y ==所以121111AF BFy y ⎛⎫+=-⎪⎭211212y y y y -==249334m ==+即1143AF BF +=.【点睛】本题考查了求椭圆方程以及椭圆中的定值问题，考查了转化思想和较高的计算能力，属于较难题.解决本类问题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁，是解决大多数直线和圆锥曲线问题的必由之路；（2）化简求值，解析几何计算的特点明显，需要较高的计算技巧.21.设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)若)∈+∞x ，()()2≥-f x a x ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数()y f x =存在两个不同零点1x ，2x ，求满足条件的最小正整数a 的值.【答案】（1）(],2e -∞；（2）3.【解析】【分析】（1）由()()2≥-f x a x 得2ln 0x a x -≥，利用参变分离法得到2ln x a x≤，然后构造函数，利用导数分析实数a 的取值范围（2）求导得到()()()21x a x f x x-+'=，对a 进行分类讨论，然后，利用数形结合进行分析，即可求出最小正整数a 的值【详解】(1)由()()2≥-f x a x 得2ln 0x ax -≥又)x ∈+∞所以1ln 02x ≥>所以2ln x a x ≤令()2ln x g x x=所以()()()22ln 10ln x x g x x -'=≥所以函数()g x 在)+∞上单调递增所以()min 2g x ge==所以2a e ≤，即实数a 的取值范围为(],2e -∞(2)因为()()22ln f x x a x a x=---所以()()()()()()22221220x a x a x a x a f x x a x x x x----+'=---==>若0a ≤，则()0f x ¢>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 之多一个零点所以若函数()f x 有两个两点，则0a >当0a >时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增得()f x 的最小值02a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因此函数()f x 有两个零点则244ln 02a a a a -+-<又0a >所以4ln402aa +->令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,∞+上为增函数且()220h =-<，()38134ln1ln 10216h =-=->所以存在()02,3a ∈，()00h a =当0a a >时，()0h a >当00a a <<时，()0h a <所以满足条件的最小正整数3a =又当3a =时，()()332ln 30f =->，()10f =所以3a =时，()f x 有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3【点睛】关键点睛：解题的关键在于：（1）利用参变分离法，得到2ln x a x≤，然后构造函数，求导进行数形结合的分析求解；（2）对()f x 求导，然后对a 分类为：0a ≤和0a >，尤其在0a >时，得到4ln402aa +->，进而构造函数()4ln 42a h a a =+-，利用零点存在定理进行数形结合的分析来求解，本题难度属于困难22.新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第()2n n ≥次时，刚好抽到第二个红球，试用n 表示恰好第n 次抽到第二个红球的概率；(2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X ，求X 的数学期望.(精确到小数点后1位)参考数据：119294 1.80105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，1110294 2.05105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，11929410.79105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k ，111029413.32105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k .【答案】（1）111945105n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）8.6.【解析】【分析】（1）根据题意可得若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当k 取1,21n - 时，相加即可得解；（2）根据题意X 的可能取值依次是2，3，…，9，10，求出相对应的概率，再利用期望公式，直接带入即可得解.【详解】(1)若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则第n 次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：2311419141914191551010551010551010n n k n k -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭24191551010n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用等比数列求和公式即可得：10211114101419119141945941055101051055510559n n n n n n ------⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅(2)由题意可知，X 的可能取值依次是2，3，…，9，10特别地，当10X =时，对应的()()()()()101239P X P X P X P X ==-=+=++= 由参考数据可得：()11 1.80.64510P X ≈-⨯≈=X 对应的数学期望为：()2912911999444239239100.645101010555E X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⋅+⋅++⋅-⋅+⋅++⋅⎪+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由参考数据可得：()110.79100.648.65E X ≈⨯+⨯≈【点睛】本题考查了类几何分布的概率和期望，考查了较高的计算能力，属于难题.解决此类问题的关键点有：（1）全面性，所有可能情况必须考虑到，做到不重不漏；（2）补集思想的应用，根据全概率为1进行求概率。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三(上)月考数学试卷(二)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x||x|⩽2}，B ={t|1⩽2t ⩽8(t ∈Z)}，则A ∩B =( )A. [−1,3]B. {0,1}C. [0,2]D. {0,1,2}2.已知复数z 满足|z−i|=1，则|z|的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,2)D. [0,2]3.已知p ：f(x)=ln(21−x +a)(−1<x <1)是奇函数，q ：a =−1，则p 是q 成立的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若锐角α满足sinα−cosα=55，则sin (2α+π2)=( )A. 45B. −35 C. −35或35D. −45或455.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是( )A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且AP =BP ，O 为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC 所成的角的正切值为( )A. 2B. 12C.5D.557.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =kx +12与圆C ：x 2+y 2=1交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为( )A. 1B. 12C.32D.348.设函数f(x)=(x 2+ax +b)lnx ，若f(x)≥0，则a 的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期第五次调研考试试题 文(含解析).doc
优质资料\word 可编辑1 / 121湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期第五次调研考试试题文（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知实数a 满足，且，则A ．2＋iB ．-2＋iC ．2-iD ．-2-i2．设集合，，则A ．（0，1）B ．[0，1）C ．（0，1]D ．[0，1]3．“函数在区间上单调递增”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的图象过定点P ，且角的终边过点P ，始边与x 轴的正半轴重合，则的值为A ．B ．C ．D ．5．数列满足点 在直线上，则前5项和为A ．B ．C ．D ．6．设点为坐标原点，点E （1，k ），点P （x ，y ）满足，若目标函数的最大值为10．则实数k ＝ A ．2 B ．5 C ． D ． 7．我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，“物不知数”问题，原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数．这类问题可以用计算机解决．记N r （MOD m ），即正整数N 除以正整数m 的余数为r ，例如102（MOD 4）．执行如图所示的程序框图，则输出的i 等于 A ．6 B ．5 C ．8 D ．7 8．已知命题为奇函数；命题，则下面结论正确的是 A ．是真命题 B ．是真命题 C ．是假命题 D ．是假命题 9．已知抛物线上一点M （4，y 0）（y 0＞0）到焦点F 的距离为5，直线l 过点N （-1，0），且l ⊥OM ，则直线l 与抛物线C 的交点个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 10．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，如果存在实数x 0，使得对任意的实数x ，都有成立，当取最小值时优质资料\word 可编辑2 / 122A ．在上是增函数B ．在上是增函数C ．在上是减函数D ．在上是减函数11．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则的最大值A ．B ．C ．D ．12．对于任意的，关于x 的方程在上有三个根，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知三棱锥A －BCD 的四个顶点都在同一个球的球面上，AB ＝，BC ＝3，AC ＝2，若三棱锥A －BCD 体积的最大值为，则此球的表面积为____．14．设是函数的一个极值点，则____．15．已知双曲线的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为双曲线C 上一点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线交于点Q ，P 、Q 均位于第一象限，且P 为QF 2的中点，则双曲线C 的离心率为____．16．已知直线与曲线至少有一个公共点，则的取值范围是____．三、解答题17．已知正项数列满足． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，记数列的前n 项和为T n ，求证：．18．如图，在多面体ABCPE 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PE ∥BC ，2PE ＝BC ，M 是线段AE 的中点，N 是线段PA 上一点，且满足AN ＝AP （0＜＜1）． （Ⅰ）若，求证：MN ⊥PC ； （Ⅱ）是否存在，使得三棱锥M －ACN 与三棱锥B －ACP 的体积比为1：12？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i （百万元）和相应的销售额y i （百万元）进行了统计，其中i ＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下： ，，，，， ，，其中，i ＝1，2，3，4，5． （Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及题中所给数据，建立y 关于x 的回归方程，并据此估计月广告投入220万元时的月销售额． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 20．已知点F （2，0），动点P 满足：点P 到直线x ＝－1的距离比其到点F 的距离小1． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；优质资料\word可编辑（Ⅱ）过F作直线l垂直于x轴与曲线C交于A、B两点，Q是曲线C上异于A、B的一点，设曲线C在点A、B、Q处的切线分别为l1、l2、l3，切线l1、l2交于点R，切线l1、l3交于点S，切线l2、l3交于点T ，若RST的面积为6，求Q点的横坐标．21．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，设、为曲线上任意两点，曲线在点处的切线斜率为k ，证明：．22．在直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为（t是参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程、曲线C的参数方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点A作与直线l的夹角为45°的直线，设该直线与直线l交于点B，求的最值．3 / 123优质资料\word可编辑2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第五次调研考试数学（文科）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先利用复数相等得到，再利用复数的除法得到.【详解】因为，故.又，故选C.【点睛】本题考查复数相等的条件及复数概念，属于基础题.2．A【解析】【分析】算出两个集合后可求它们的交集.【详解】，，故，故选A.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.3．B【解析】【分析】考虑函数在上为单调递增时实数的取值范围后可得两者的关系.【详解】若，则对称轴，所以在上为单调递增，取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增”是“”的必要不充分条件.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.4．C【解析】【分析】先求出的坐标，再求出，最后利用倍角公式求出后可得.【详解】因为的图像过定点，所以，故，，故选C.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化或者诱导公式，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.5．A【解析】【分析】根据点在直线上可以得到，从而得到，故为等比数列，根据公式可求.【详解】因为在直线上，所以，故，所以当时，有即，又，故，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，优质资料\word可编辑，选A.【点睛】数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.6．C【解析】【分析】目标函数为，画出不等式组对应的可行域，分两种情形结合目标函数最值讨论动直线的位置可得实数的值.【详解】由题设，有，不等式组对应的可行域如图所示：其中，，，.当时，动直线过时有有最大值，且最大值为，故.当时，动直线过或时有最大值，过前者，则最大值为，不合题意；若为后者，，舍去.综上，，选C.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．7．C【解析】【分析】流程图的作用是求最小的正整数，满足除以的余数分别为．【详解】流程图是求最小的正整数，满足除以的余数分别为．除以余数为的正整数依次为，其中第一个除以余数分别为的正整数为，是第8个整数，故的输出值为，选C．【点睛】本题考查流程图，要求能从流程图中看出能其作用并给出输出值，属于基础题．8．B【解析】【分析】先判断命题都是真命题，故可得正确选项．【详解】对于，的定义域为，，进一步化简得到，故为奇函数，故为真命题．对于，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如图所示，优质资料\word可编辑，，因为，故，即．故为真命题，综上，为真命题，选B．【点睛】复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假必假”，的真假判断是“真假相反”．9．B【解析】【分析】利用焦半径公式计算出后可得的坐标和抛物线的方程，再计算出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程利用判别式可得它们交点的个数．【详解】，所以，又，故，直线．由可得，解得，故直线与抛物线只有一个交点．选B．【点睛】一般地，抛物线上的点到焦点的距离为；抛物线上的点到焦点的距离为.直线与抛物线的交点个数可通过联立直线方程和抛物线方程结合判别式来讨论.10．B【解析】【分析】根据函数的零点和对称轴得到的值，再根据恒成立可以得到的表达式，求出的最小值后再求函数的单调区间可得正确的选项.【详解】因为为函数的零点，故.因为是图像的对称轴，故，故，.因，故或者，所以或者， .因恒成立，故，若，故，所以，故；若，则，所以，故；所以，令，，故，所以在上为增函数，故选B.【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.11．D【解析】【分析】设的外接圆的圆心为，则，故，计算的最大值可求的最大值.【详解】设的外接圆的圆心为，则圆的半径为，，故.，故，当共线同向时取最大值.选D.【点睛】优质资料\word可编辑向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量、与已知角的边有关的向量转化.另外，在三角形中，如果为三角形的重心，则.12．A【解析】【分析】原方程可以化成，取，，利用导数研究两个函数的单调性、极值和最值可得实数的取值范围.【详解】原方程可以化成，取，.，当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数；当时，，故在上为增函数；，，，，故，在上为增函数.因为关于的方程在有三个不同的实数根，故，故，解答，故选A.【点睛】复杂方程的解的问题，应结合方程的特点将已知方程转化为熟悉函数对应的方程，再把方程解的特征转化为函数应该具有的特征，最后利用导数研究函数的单调性、极值等结合函数特征得到参数的取值范围，13．16【解析】【分析】为直角三角形，设球的半径为，体积最大时，到的距离为，利用体积的最大值计算出后可得球的表面积．【详解】为直角三角形，设球的半径为，球心为，的中点为，则平面，因平面，故．三棱锥的最大体积为，解得，故球的表面积为，填．【点睛】几何体的外接球的问题，关键是确定出球心的位置和球的半径，后者的计算需要把直径或半径放置在可解的三角形中．14．【解析】【分析】利用可得的值，从而得打的值．【详解】因为为的极值点，故即，所以，故，填．【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点且．15．【解析】【分析】优质资料\word可编辑的坐标为，从而，代入双曲线方程后可得离心率．【详解】双曲线的一条渐近线的方程为，设其倾斜角为，右焦点，则，故．又，故，所以，代入双曲线方程有，从而．填．【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．16．【解析】【分析】直线过定点，曲线如图所示，计算出动直线与曲线在第二象限内的圆弧相切以及动直线与第一象限内、第四象限内的圆相切时对应的斜率可得的取值范围．【详解】直线过定点，曲线如图所示：其中，各圆弧所在圆的半径为，设过的动直线为即，考虑动直线与第二象限的曲线相切时有，解得或（舎）过曲线在第一象限内的圆弧所在的圆心作的平行线，与曲线在第一象限内的交点为，则，故直线分别与曲线在第一象限、第四象限内的圆弧相切，故当动直线与曲线至少有一个公共点时，若斜率存在（），则即，也就是；若斜率不存在，则．综上，，故填．【点睛】动直线中含有两个参数，因为两个参数是齐次的，故而可判断动直线过定点．曲线的方程具有这样的特点：若在曲线上，则也在曲线上，故曲线关于轴对称、关于轴对称、关于原点对称，故而可准确刻画曲线的形状．17．（Ⅰ）通项公式为；（Ⅱ）详见解析．【解析】【分析】（1）用数学归纳法可求的通项．（2）由（1）可得，利用基本不等式可以证明，从而可证．【详解】（1），，，从而猜测：，下面用数学归纳法证明：当时，有；设当时，有，则当时，有，所以当时，有；由数学归纳法可知，．优质资料\word可编辑（2），由基本不等式有，所以，所以，故．【点睛】求数列的通项的基本方法有累加法、累乘法、配凑法等，每一种方法都有对应的递推关系，如用累加法，用累乘法．也可以利用数学归纳法求通项（先猜后证）．数列不等式的证明，可先求和再对和进行估计，如果不能求和，则需要对通项进行放缩，使得得到的新数列的前和易求且易估计．18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在，；．【解析】【分析】（1）利用平面平面得到平面，从而得到，根据为中位线得到，故．（2）到平面的距离与到平面的距离之比为，因此到平面的距离与到平面的距离之比为，只需要就有，此时，故可得的值．【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，，故平面．因平面中，故．在中，由可以得到，而，所以，故．（2）当时，有．因为，所以．设到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，由为中点可得，又由可得，故，所以．【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.不同三棱锥的体积关系可考虑它们的底面面积之比和高之比，注意选择共面的几何图形计算面积之比，选择共线的点计算高之比.19．（Ⅰ）更适宜作为月销售额关于月广告投入的回归方程；（Ⅱ）月广告投入万元时的月销售额为万元．【解析】【分析】（1）根据散点图选择作为回归方程．（2）利用公式及所给数据计算回归方程后可估计月销售额．【详解】（1）根据散点图选择作为回归方程．（2）令，则，优质资料\word可编辑，故回归方程为，当月广告投入为万元时，月销售额为（万元）．答：选择作为回归方程，当月广告投入为万元时，月销售额约（万元）．【点睛】回归分析中，回归方程类型的确定是关键，应根据散点图的特征选择合适的拟合函数（要熟悉常见函数的图像）．20．（Ⅰ）直线的普通方程为，轨迹C 的方程为；（Ⅱ）点的横坐标为．【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求出的方程．（2）求出两点的坐标后求出曲线在三点处的切线方程，求出交点的坐标后可计算面积，从而得到的坐标．【详解】（1）点到的距离与点到直线的距离相等，故的轨迹为抛物线，从而．（2）令，则，．当时，有，故抛物线在处切线的斜率为，故在处切线方程为．同理处切线方程为．故．若，则，舎；若，可设在第一象限，则抛物线在处切线的斜率为，故在处切线方程为．由得，同理，所以，，解得或（舎）．【点睛】（1）求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.（2）直线与抛物线的相切问题，可借助于导数来计算切线的斜率.21．（Ⅰ）当时，的增区间为；当时，在为增函数，在为减函数．（Ⅱ）详见解析．【解析】【分析】（1）分和两种情况分别讨论导数的符号可得函数的单调区间．（2）原不等式等价于，不妨设，则不等式又可以转化为即，利用导数可证该不等式．【详解】（1）当时，，故的增区间为．当时，若，则，故在为增函数；若，则，故在为减函数；综上，当时，的增区间为；优质资料\word可编辑当时，在为增函数，在为减函数．（2）当时，，．原不等式等价于，不妨设，则原不等式又等价于，该式可进一步化为：，因此原不等式等价于，下证该不等式成立．令，则，故在为增函数，所以即成立，综上，原不等式成立．【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．多元不等式的恒成立问题，可考虑对原有的不等式变形（若齐次化、换元等），使得多元不等式转化为一元不等式，从而可利用导数证明．22．（Ⅰ）直线的普通方程、曲线C 的参数方程（是参数）；（Ⅱ）的最大值为6，最小值为2．【解析】【分析】（1）消去参数后可得直线的普通方程，利用两角差的余弦公式及得直角方程后可得曲线的参数方程．（2）先计算圆心到直线的距离的最大值和最小值，从而得到圆上的动点到直线的距离的最大值和最小值，所求的的最大值与最小值时前者的的倍．【详解】（1）直线的普通方程为．，故，从而，圆的标准方程为，其参数方程为（为参数）．（2）考虑点圆心到直线的距离为，故圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，因直线的倾斜角为，故是圆上的点到直线的距离的的倍，所以的最大值为，最小值为．【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．当动点在圆上变化时，我们可用圆的参数方程来表示动点坐标，这样把二元函数的最值问题转化一元函数的最值问题．。
湖南省长郡中学2021届高三上学期数学周考试卷(八)(2020-10-31) PDF版含答案
A. B1E A1B
C.
三棱锥
C1
B1CE
的体积为
8 3
三、填空题
B. 平面 B1CE // 平面 A1BD D. 三棱锥 C1 B1CD1 的外接球的表面积为 24π
13. 已知命题“ x R, x2 ax 1 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是_______
14.
x2 2
3 2
cos
x
1 2
sin
x
2sin(x
3
)
，
此时
f
(x)
在
0，6
上单调递增，在
6
,
2
上单调递减，故
C
错误；
由于函数 f (x) 是以 为周期的周期函数，故只需研究一个周期内的最大值即可，
不妨取
x [0, ] ，当
x
0,
2
时，函数
f
(x)
可化为
f
(x)
2sin(x ) ， 3
对于 D， y cos e0 e0 cos 2 0 ，符合题意. 故选：D.
5.解析:从编号 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，有 36 个基本事件， 其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件(第一次抽得的卡片1, 第二次摸到卡片 2 用 (1, 2) 表示)： (1,1) ， (1, 2) ， (1,3) ， (1, 4) ， (1,5) ， (1, 6) ， (2, 2) ， (2, 4) ， (2, 6) ，
1 2
i
，所以
z
的虚部为
1 2
.故选：C.
3.解析：椭圆的离心率 e
湖南省长沙市长郡中学届高三数学上学期月考试题(四)理(PDF,无答案)【含答案】
班!级!
! " ! 7万元
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在 *" 内 角 " 已知( ! # % , 中 % , 所 对 的 边 分 别 是 ( . / 4 5 3% ' 边% 则*" . 4 5 3" , 上的中线长为6 % , 面积的最大值是 , 9 # " ( ( # . ( 1 ! #
! " 若 - 为 *" 连" 则" ! 6 % , 内 部 任 意 一 点$ - 并延长交对边于" 0$ ' " " 0 +四边形" % , $ 同理连 % 分别交对边于 % 这样可以推出 -$ , - 并延长$ 0$ , 0$ +*" % , " - % - , / / / ' # " " 0 % % 0 , , 0 类似的$ 若 - 为四面体 " 连" % , 1 内部任意一点$ -$ % -$ , -$ 1 - 并延 % - , 1 长$ 分别交相对面于 " 则" 0$ % 0$ , 0$ 1 0$ / / / ' " " 0 % % 0 , , 0 1 1 0
2021届湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中高三上学期联合考试数学(理)试题(解析版)
2021届湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中高三上学期联合考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}22<0A x x =+-，141log 2B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则（）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．R A B ⋂=∅D ．122A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭答案：B【分析】先化简集合,A B ,再分析判断得解.解：由题得{}21A x x =-<<，1211441log log ()4B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭102x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.所以B A ⊆.R A B ⋂≠∅，102A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭.故选：B点评：易错点睛：化简集合B 时，容易漏掉0x >，得到12B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭.在研究函数的问题时，一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错. 2．若复数z 满足()12z i i -=，则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为i B ．z 为实数 C．z =D ．2z z i +=答案：C【分析】利用复数的除法运算，可得1z i =-，即可判断各选项的正误； 解：由()12z i i -=，知：211iz i i==--； ∴z 的虚部为1，||z =2z z +=-；故选：C点评：本题考查了复数的运算，利用复数的概念判断选项的正误，属于简单题；3．()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（） A ．5- B ．20-C ．15D ．5答案：B【分析】求出5(1)x -的展开式的2x 的系数和4x 的系数，即得解.解：设5(1)x -的通项为55155(1)(1)r rr r r r r T C xC x --+=-=-，当3r =时，2x 的系数为335(1)C -； 当1r =时，4x 的系数为115(1)C -.所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为()()3315512120C C -+-=-， 故选：B.点评：本题主要考查二项式定理求展开式的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和计算能力.4．设R λ∈，若单位向量1e ，2e 满足：12e e ⊥12e +与12-e e λ的夹角为3π，则λ=（）A ．B ．-C D ．1答案：A【分析】先利用已知条件得到11e =，21e =，120e e ⋅=，再利用向量的数量积运算法则代入求解即可. 解：由题意得，11e =，21e =，120e e ⋅=，12e +与12-e e λ的夹角为3π，得)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ⋅=+--⋅+⋅-=，122e +=，12-1e e λ=+则)()12121212cos33e e e e e e e πλλλ⋅==+-+-=，所以λ=故选：A.点评：本题主要考查了平面向量的数量积运算.属于较易题. 5．已知数列{a n }满足a n ＝1+2+3++n ，则122020111a a a +++=（）A ．20202021B ．20191010 C ．20192020 D ．40402021答案：D【分析】利用等差数列求和公式化简n a ，再利用裂项相消法求和.解：因为()12n n n a +=，则1112[]1n a n n =-+， 所以2202011111111140402[1]223202020212021a a a +++=⨯-+-++-=. 故选：D点评：本题考查等差数列求和公式、裂项相消法求和，属于基础题. 6．随机变量X 的分布列如表：若()2E X =，则()D X =（） A ．32B ．43C ．54D ．65答案：A【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，再利用方差公式可取得()D X 的值.解：由分布列的性质以及期望公式可得()1242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14a b ==.()()()()22211131222422442D X =-+-+-=. 故选：A.7．设3535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭353()5a =，353log 2b =，3532c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）。