初高中数学教学衔接内容

初中高中教材衔接内容 近阶段发现同学们对一些必要与初中衔接的数学知识及方法,掌握不好,现归纳如下,与同学们共享. 第一讲 十字相乘法 我们在前面研究了222baba这样的二次三项式，那么对于652xx， 101132xx这样的二次三项式，各项无公因式，不能用提公因式法，又不能凑成完全平方公式的形式，应怎样分解？ 我们来观察323232)32(65222xxxxxxx )3)(2()2(3)2(xxxxx 又有在我们学习乘法运算时有：abxbaxbxax)())((2 因此在分解因式中有))(()(2bxaxabxbax 注意观察上式的系数。 对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二次三项式qpxx2，它的常数项可看作两个数，a与b的积，而一次项系数恰是a与b的和，它就可以分解为(x+a)(x+b)，也就是令p=a+b，q=ab时，))(()(22bxaxabxbaxqpxx 用此方法分解因式关键在于a与b的值的确定。 例1：分解因式： （1）652xx （2）2142xx 分析：用十字相乘法分解因式时，首先要找准各项的系数和常数项，然后利用来分系数，使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积为常数项，交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同，这样就分解出来了。

解：（1）原式=(x-2)(x-3)

523612311

（2）原式=(x+3)(x-7) 4732113711

例2：分解因式 （1）8224xx

（2）3)(4)(2baba

分析：要想用十字相乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项式可以看作关于某个整体的二次三项式，也可以照上例方法进行因式分解，

如（1）可以看作关于2x的二次三项式（2）可以看作关于（a+b）的二次三项式。

解：（1）原式)4)(2(22xx )2)(2)(2(2xxx

242812411 （2）原式=(a+b-1)(a+b-3) 431311311

例3：分解因式 （1）2223yxyx （2）2222242153yaxyaxa 分析：当多项式中出现两个字母时，分解同前，只不过常数项也会出现字母，如（1）可以看作关于x的二次三项式，则y就当作常数处理。（2）应先进行公因式的提取，再分解，记住，提取公因式是分解因式的第一步。 解：（1）原式=(x-2y)(x-y) yyyyyy32212211 （2）原式)145(3222yxyxa )2)(7(32yxyxa yyyyyy52714127211 例4：分解因式： （1）3722xx（2）22224954yyxyx 分析：当二次项系数不是1时，数的分解不太容易，应不断试一试几种可分的情况，同时注意符号的合理匹配。 解：（1）原式=(x-3)(2x-1) 716323112 （2）原式)954(242xxy )94)(1(222xxy )32)(32)(1(22xxxy 594941914 例5：分解因式 （1）8)2(7)2(222xxxx

（2）aaxxx51522 分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合。

解：（1）原式)82)(12(22xxxx

)4)(2()1(2xxx 781811811

242812411

（2）原式)5()152(2aaxxx )5()5)(3(xaxx)3)(5(axx

2531513511

注：不是所有的二次三项式都能进行因式分解。 第二讲 一元二次方程 一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法． 1、 概念:方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 称为一元二次方程． 2、基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法． 3、 对于方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当

△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即 当△=0时，方程有两个相等的实数根，即 当△＜0时，方程无实数根． 练习：1、 只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是_____的整式方程叫做一元二次方程，它的一般形式是__________. ⒉ 一元二次方程的二次项系数α是______实数. ⒊ 方程ax2+bx+c=0 (a≠ 0，b2－4ac≥0) 的两个根

，x2=_____. ⒋ 一元二次方程的解法有______, ______, ______, _______等，简捷求解的关键是观察方程的特征，选用最佳方法. ⒌ 应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0 (b2－4ac≥0)时，第一步是把方程的常数项移到等号的右边，得ax2+bx=－c；第二步把方程

两边同除以a，得x2+；紧接方程两边同时加上_____，并配方得________. ⒍ 对于实系数的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠ 0) △=b2－4ac称为此方程根的判别式且有如下性质： (1)△>0 二次方程有两个________实数根； (2)△=0 二次方程有两个________实数根；

(3)△<0 二次方程________实数根. 这些性质在解题中主要的应用如下：(1)不解方程判断_________的情况； (2)求方程中的参数值、范围或相互关系； (3)判定二次三项式在实数范围内 ________分解因式. ⒎ (1)若一元二交方程ax2+bx+c=0 （a≠ 0）的两个根为x1,x2，则x1+x2=_____，x1x2=_______. （韦达定理）

(2)若x1,x2是方程x2+px+q=0的二根，则p=______, q=_______，以实数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________. ⒏ 根与系数关系主要应用是： (1)求作________方程； (2)求含有根有关代数式的值； (3)确定字母系数_______以及字母系数之间关系. (4)验根，求根式确定_______符号. (5)解特殊方程式_________. ⒐ 注意根与系数式关系与根的判别式配合使用. 【学法指要】 例1. 解方程：x2－3x+2=0 思路分析1：此方程左边是二次三项式，它引起我们联想二次三项式的因式分解──十字相乘法，可在这条道路上探索，找到解题思路.

思路分析2：此方程是一元二次方程的标准形式，因已知a=1, b=－3, c=2，由此可知应用求根公式可解.

观察本例，可发现它的结构符号二次三项式及一元二次方程的标准形式，使我们把陌生的一元二次方程与十字相乘法，求根公式这些熟知的问题连在一起，化陌生为熟悉.“化陌生为熟悉”这种重要的数学思维方法，是解决新问题常用方法，当你遇到新问题时，不妨用此法一试，它确定可助你一臂之力！ 一道新问题解决以后，除分享胜利喜悦外，还要静心回忆一下，通过问题解决，我们学习了什么？如本例， 我们学习了用因式分解法，求根公式法解一元二次方程，又学习了“转化” 思想，继续探索还会有什么新的发现，新的收获吗？这也是我们获取知识，提高数学素养的重要途径之一.如本例，经过探索，观察可发现a+b+c=1+(－3)+2=0，它的根是x1=1, x2=2是不是a+b+c=0它们必有一个根是1呢？另一个根是常数项呢？再选几例进行探索. 解方程：（⒈）x2+5x－6=0 （⒉）2x2－3x+1=0 （⒊）199x2－2000x+1=0 ………………… ⒈ 的方程解为x1=1 x2=－6 ⒉ 的方程解为x1=1 x2= ⒊ 的方程解为x1=1 x2= 由以上可以发现，当a+b+c=0 →x1=1, x2=，这一重要发现给我们解所类方程提供十分简捷的方法──观察法.下面提供几例，给读者练习.解方程： ⒈x2－14x+13=0 ⒉1949x2－1999x+50=0 ⒊x2－(4+)x+3+=0 ⒋x2－2000x+1999=0 1. 已知m,n为整数，关于x的三个方程：x2+(7－m)x+3+n=0有两个不相等的实数根；x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等实数根；x2－(m－4)x+n+1=0没有实数根. 求m,n的值 。 依题意有：（答案学生写出） 由(3)得 4n=m2+8m－8 代入(1),(2)并化简，得 解得 ∵m为整数，∴m=2 ∴n=3

162－4n=400－28 ∴4n=－116 , ∴n=－29 ∵m=4，n=－29满足m4－4n≥0 ∴m=4，n=－29

第三讲 一元二次方程的根与系数的关系 例1：已知，1x、2x是关于x的一元二次方程)0( 02acbxax的两根。 求证：abxx21acxx21 分析：由求根公式aacbbx242计算一下21xx，21xx可以找到一元二次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦达定理。

证明：由求根公式有：aacbbx2421，aacbbx2422 ∴ababaacbbaacbbxx2224242221 aacbbaacbbxx24242221

2224)4()(aacbbacaacbb22244

注：韦达定理当一元二次方程二次项系数为1时，即关于x的方程02qpxx时，pxx21，qxx21也很常用。

例2：已知：1x、2x是方程0252xx两个实数根。

求：①21xx②21xx③2111xx④2221xx⑤3231xx⑥22211xx ⑦)1)(1(21xx 分析：题目所求的式子都可以称为对称式，即交换1x与2x的位置代数式的形式不变，这些对称式均可以变形为用两根和与两根积表示的形式，利用韦达定理代入后，可求值，请记住这些常规变形，在今后的学习中是很常见的。

解：∵0252xx两根为21xx、∴①521xx②221xx

③252511212121xxxxxx ④29)2(252)(2212212221xxxxxx ⑤155)]2(29[5))((212221213231xxxxxxxx