高中数学必修4(必修四)课件第三章：三角恒等变换
填要点·记疑点
两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β 为任意角． ，其中α、β
探要点·究所然 情境导学
探究点一 两角差余弦公式的探索
思考1 有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举
两例加以说明． 答 不正确．
π π 例如：当 α＝2，β＝4时， π 2 cos(α－β)＝cos 4＝ 2 ， π π 2 而 cos α－cos β＝cos 2－cos 4＝－ 2 ，
出一个猜想．
①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝ ＝
②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝ ＝
1
cos 0°
；
； ；
3 ＝ cos 30° ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝
2°＝ ＝ ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210 ． 0 cos(－90°) 猜想： 1 cos(－60°) cos αcos β＋sin αsin β＝ ；
求 cos(α－β)的值．
解
π 4 因为 α∈2，π，sin α＝5.
2
由此得 cos α＝－ 1－sin α＝－
42 3 1－5 ＝－5，
5 又因为 cos β＝－13，β 是第三象限角，
所以 sin β＝－ 1－cos β＝－
2
5 2 12 1－－13 ＝－13.
cos(α－β)≠cos α－cos β；
π π π 3 再如：当 α＝3，β＝6时，cos(α－β)＝cos 6＝ 2 ， π π 1－ 3 而 cos α－cos β＝cos 3－cos 6＝ 2 ，
cos(α－β)≠cos α－cos β.
思考2
请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写
从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
探究点三 两角差余弦公式的应用
思考1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ 答 cos α＝cos[(α ＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)· sin β. 思考2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
→ → → → → → → → (3) 向量 OP 与 OQ 的数量积 OP · OQ ＝ | OP || OQ |· cos 〈 OP ， OQ 〉 ＝
cos(α－β)
→ → ； 另一方面， OP与OQ的数量积用点坐标形式表示：
→ → cos αcos β＋sin αsin β OP· OQ＝(cos α，sin α)· (cos β，sin β)＝ .
1 2 3 2 ＝－2·2 ＋ 2 ·2
6－ 2 ＝ 4 .
cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
2 3 2 1 6＋ 2 ＝ 2 × 2 ＋ 2 ×2＝ 4 .
反思与感悟
在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数
值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角 (如30°， 45°，
＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2－
2 3 2 1 2－ 6 ＝ . × ＋ × 2 2 2 2 2
π 4 5 例 2 已知 sin α＝5，α∈2，π，cos β＝－13，β 是第三象限角，
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
内容 索引
01
明目标 知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.理解用向量法导出公式的主要步骤.
3. 熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能
利用该公式进行求值、计算.
即： cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β .
2
探究点二 两角差余弦公式的证明
如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作 角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，
请回答下列问题：
(1)P 点坐标是 Q 点坐标是
(cos α，sin α)
→ (cos α，sin α) → 1 ，向量OP＝ ，|OP|＝ .
60°， 90°， 120°， 150°， …) 之间和与差的关系问题．然后利 用公式化简求值．而把一个具体角构造成两个角的和、差形 式，有很多种构造方法，例如：cos 15°＝cos(60°－45°)，要学 会灵活运用.
跟踪训练1 求cos 105°＋sin 195°的值． 解 cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)
答 cos β＝cos[α －(α －β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α· siin α－sin β＝b，则cos(α－β)等于
什么？
2－a2－b2 答 cos(α－β)＝ 2 .
例1 利用两角差余弦公式求cos 75°、cos 15°的值． 解 cos 75°＝cos(120°－45°)＝cos 120°· cos 45°＋sin 120°· sin 45°
所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
3 5 4 12 33 ＝－5×－13＋5×－13＝－65.
(cos β，sin β)
(cos β，sin β)
→ ，向量OQ＝
→ 1 ，|OQ|＝ .
→ → → (2)当 α 为钝角，β 为锐角时，α－β 和向量OP与OQ的夹角〈OP，
→ → → OQ〉之间的关系是： α－β＝〈OP，OQ〉 ；
→ → → → 当 α 为锐角， β 为钝角时， α－β 和向量OP与OQ的夹角 〈OP， OQ〉 → → 之间的关系是： α－β＝－〈OP，OQ〉 ； → → α－β＝2kπ 当 α，β 均为任意角时，α－β 和〈OP，OQ〉的关系是： → → ±〈OP，OQ〉 ，k∈Z .
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高中数学必修4课件3-1-2-1
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
题型三 变角求值
例 5 已知 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35，且 0<α<π4<β<34π， 求 cos(α＋β)
第29页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 ∵0<α<4π<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35， ∴cos(34π＋α)＝－1123，sin(π4－β)＝－45.
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
求角的三角函数值时，应先分析所求角和已知角之间的关 系，将所求角用已知角的和与差表示．
第32页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
思考题 4 (1)若 sin(α－30°)＝153，30°<α<90°，则 sinα＝ ________.
第23页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 f(x)＝sin(x＋3π)－ 3cos(x＋3π) ＝2·[12sin(x＋π3)－ 23cos(x＋π3)] ＝2sin(x＋3π－π3)＝2sinx 故 f(x)的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 原式＝sin(α＋β)cosα－12{sin[(α＋β)＋α]－sin[(α＋ β)－α]}
＝sin(α＋β)cosα－12·2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α] ＝sinβ.
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4
2sin 72° cos 72° sin 144° 1 ＝ ＝ ＝ . 4sin 36° 4sin 36° 4
解析答案
1 2 2 (2) － cos 15° ； 3 3 解 1 2 2 1 1 3 2 － cos 15° ＝－ (2cos 15° －1)＝－ cos 30° ＝－ . 3 3 3 3 6
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 2
解
已知
π π π 1 sin ＋xsin －x＝ ，x∈ ，π ，求 6 4 4 2
tan 4x 的值.
π π ∵sin ＋xsin －x 4 4
π π π ＝sin ＋xsin[ － ＋x] 2 4 4
求下列各式的值.
π 2π (1)cos cos ； 5 5
解
π π 2π 2sin cos cos π 2π 5 5 5 cos cos ＝ 5 5 π 2sin 5
2π 2π 2π 2π 4π sin cos 2sin cos sin 5 5 5 5 5 1 ＝ ＝ ＝ ＝ . π π π 4 2sin 4sin 4sin 5 5 5
解析答案
π 5π (2)sin sin ； 12 12 解 π π 2sin cos π 5π π π 12 12 sin sin ＝sin cos ＝ 12 12 12 12 2
π sin 6 1 ＝ ＝ . 2 4
解析答案
1 3 (3) ＋ . sin 50° cos 50°
1 3 ＋ 2 sin 50° cos 50° ＋ 3sin 50° 22cos 50° 解 原式＝ sin 50° ＝ cos 50° 1 × 2sin 50° cos 50° 2 2sin 80° 2sin 80° ＝1 ＝1 ＝4. sin 100° sin 80° 2 2
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.1 倍角公式课件 b必修4b高一必修4数学课件
12/9/2021
第二十三页，共三十八页。
(2)由(1)，得 f(x)＝12(sin 2x＋cos 2x)＋12 ＝ 22sin2x＋π4＋12. 由 x∈1π2，π2，得 2x＋π4∈51π2，54π， 所以 sin2x＋π4∈－ 22，1， 从而 f(x)＝ 22sin2x＋π4＋12∈0，1＋2 2. 即 f(x)的取值范围是0，1＋2 2.
12/9/2021
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2．已知 sin α＝35，cos α＝45，则 sin 2α 等于( )
A．75
B．152
C．1225
D．2245
答案：D
12/9/2021
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3．计算 sin2 π8－cos2 π8的值是(
)
A．12
B．－12
C．
2 2
D．－
2 2
答案：D
A．274 C．274
1.已知 x∈－π2，0，cos x＝45，则 tan 2x＝(
)
B．－274
D．－274
12/9/2021
第十八页，共三十八页。
解析：选 D.由 cos x＝45，x∈－π2，0， 得 sin x＝－35， 所以 tan x＝－34， 所以 tan 2x＝1－2tatannx2x＝12－×－－34342＝－274，故选 D.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12/9/2021
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4．已知 tan α＝43，则 tan 2α＝________． 答案：－274
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求下列各式的值； (1)sin 1π2cos 1π2； (2)1－2sin2750°；
2tan 150° (3)1－tan2150°.
第二十三页，共三十八页。
(2)由(1)，得 f(x)＝12(sin 2x＋cos 2x)＋12 ＝ 22sin2x＋π4＋12. 由 x∈1π2，π2，得 2x＋π4∈51π2，54π， 所以 sin2x＋π4∈－ 22，1， 从而 f(x)＝ 22sin2x＋π4＋12∈0，1＋2 2. 即 f(x)的取值范围是0，1＋2 2.
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2．已知 sin α＝35，cos α＝45，则 sin 2α 等于( )
A．75
B．152
C．1225
D．2245
答案：D
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3．计算 sin2 π8－cos2 π8的值是(
)
A．12
B．－12
C．
2 2
D．－
2 2
答案：D
A．274 C．274
1.已知 x∈－π2，0，cos x＝45，则 tan 2x＝(
)
B．－274
D．－274
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解析：选 D.由 cos x＝45，x∈－π2，0， 得 sin x＝－35， 所以 tan x＝－34， 所以 tan 2x＝1－2tatannx2x＝12－×－－34342＝－274，故选 D.
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4．已知 tan α＝43，则 tan 2α＝________． 答案：－274
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求下列各式的值； (1)sin 1π2cos 1π2； (2)1－2sin2750°；
2tan 150° (3)1－tan2150°.
人教B版数学必修四优质课件：第3章 3-3 三角函数的积化和差与和差化积
A．12
B．
2 2
C．
3 2
D．－12
B
[sin
75°－sin
15＝2cos75°＋2 15°sin75°－2 15°＝2×
22×12＝
2 2.
故选B.]
2．函数y＝sinx－π6cos x的最大值为(
)
A．12
B．14
C．1
D．
2 2
B [∵y＝sinx－π6cos x＝12sinx－π6＋x－sinx＋6π－x ＝12sin2x－π6－12＝12sin2x－π6－14. ∴函数y的取最大值为14.]
合作探究 提素养
积化和差问题
【例1】 (1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
[思路探究] 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽 量出现特殊角．
[解] (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.
；
2．和差化积公式 x＋y x－y
cos x＋cos y＝ 2cos 2 cos 2 ；
cos x－cos y＝
－2sin
x＋y 2 sin
x－y 2
.
思考：和差化积公式的适用条件是什么？
[提示] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接 运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则 要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．
1．(变结论)本例中条件不变，试求cos(α＋β)的值． [解] 因为cos α－cos β＝12，
【精选】_高中数学第三章三角恒等变换第30课时三角函数的积化和差与和差化积课件新人教B版必修4
12 13.
类型三 证明三角恒等式
【例 3】 求证：cos2α－cos2β＝－sin(α＋β)·sin(α－β)． 解析：左边＝(cosα＋cosβ)(cosα－cosβ)＝2cosα＋2 β· cosα－2 β·－2sinα＋2 β·sinα－2 β ＝－sin(α＋β)·sin(α－β)＝右边 所以原等式成立.
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
(2) 23－cos52°. (3)sin64°＋sin33°. (4)sin4x－sin2x.
解析：(1)cos6θ＋cos4θ＝2cos6θ＋2 4θcos6θ－2 4θ＝2cos5θcosθ.
(2)
3 2
－
cos52°＝
cos30°－
cos52°＝
－
2sin
30°＋52° 2
sin30°－2 52°＝2sin41°sin11°.
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/8/4
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19
谢谢欣赏！
2019/8/4
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20
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
类型三 证明三角恒等式
【例 3】 求证：cos2α－cos2β＝－sin(α＋β)·sin(α－β)． 解析：左边＝(cosα＋cosβ)(cosα－cosβ)＝2cosα＋2 β· cosα－2 β·－2sinα＋2 β·sinα－2 β ＝－sin(α＋β)·sin(α－β)＝右边 所以原等式成立.
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
(2) 23－cos52°. (3)sin64°＋sin33°. (4)sin4x－sin2x.
解析：(1)cos6θ＋cos4θ＝2cos6θ＋2 4θcos6θ－2 4θ＝2cos5θcosθ.
(2)
3 2
－
cos52°＝
cos30°－
cos52°＝
－
2sin
30°＋52° 2
sin30°－2 52°＝2sin41°sin11°.
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
高中数学第三章三角恒等变换章末归纳整合课件a必修4a高一必修4数学课件
12/9/2021
第九页，共三十一页。
【例 2】 若函数 f(x)＝tan2x－atan x|x|≤π4的最小值为－6， 则实数 a 的值为________．
【分析】由角的范围可得 tan x 的范围，由二次函数的知识 分类讨论可得．
【解析】∵|x|≤π4，设 m＝tan x∈[－1,1]， ∴y＝tan2x－atan x＝m2－am，m∈[－1,1]． 当a2＜－1，即 a＜－2 时，函数 y＝m2－am 在 m∈[－1,1] 上单12/调9/202递1 增，
12/9/2021
第二十页，共三十一页。
4．(2018 年江苏)已知 α，β 为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)
＝－
5 5.
(1)求 cos 2α 的值；
(2)求 tan(α－β)的值．
12/9/2021
第二十一页，共三十一页。
【解析】(1)由csoins αα＝43，
结合 α 为锐角，解得
sin2α＋cos2α＝1，
sin α＝45，
cos
α＝35，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－275.
12/9/2021
第二十二页，共三十一页。
(2)由(1)得，sin 2α＝2sin αcos α＝2245，则 tan 2α＝csoins 22αα＝ －274.
∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，α)， ∴sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝255， 则 tan(α＋β)α＋β)]＝1t＋ant2anα－2αttaannαα＋＋ββ＝－121.
令 2x＋π3＝t，则 t∈π3，43π，函数 y＝h(t)＝2sin t 与直线 y ＝k 在π3，43π上有两个交点，要使两个函数图象有两个交点， 则 3≤k＜2.
2019学年高中数学第三章三角恒等变换第30课时三角函数的积化和差与和差化积课件新人教B版必修4
变式训练 2 已知 cosα－cosβ＝12，sinα－sinβ＝－13，求 sin(α ＋β)的值．
解析：因为 cosα－cosβ＝12， 所以－2sinα＋2 βsinα－2 β＝12①
sinα－sinβ＝－13， 所以 2cosα＋2 βsinα－2 β＝－31②
因为 sinα－2 β≠0，所以－tanα＋2 β＝－23，所以 tanα＋2 β＝23， 所以 sin(α＋β)＝si2ns2iαn＋α2＋2β＋βccoossα2＋α2＋2ββ＝1＋2tatannα2＋α2＋2β β＝12＋×4293＝
讲重点 和差化积公式的特点
(1)同名函数的和或差才可化积． (2)余弦函数的和或差化为同名函数之积． (3)正弦函数的和或差化为异名函数之积． (4)等式左边为单角 α 和 β，等式右边为α－2 β与α＋2 β的形式． (5)只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正.
2 说方法·分类探究 类型一积化和差问题 【例 1】 把下列各式化成和差的形式． (1)2sin34°cos20° (2)sin82°cos122°
证明：左边＝ssiinn3AA＋＋ssiinn57AA＋＋22ssiinn35AA ＝22ssiinn35AAccooss22AA＋ ＋22ssiinn35AA＝22ssiinn35AAccooss22AA＋＋11＝ssiinn35AA＝右边． 即等式成立.
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
第30课时 三角函数的积化和差与和差化积
高中数学人教B版必修四33《三角函数的积化和差与和差化积》同步PPT课件
C.12sin(α＋β)＋12sin(α－β)
D.12cos(α＋β)＋12cos(α－β)
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解析 sinπ4＋αcosπ4＋β ＝12sinπ4＋α＋π4＋β＋sinπ4＋α－π4－β ＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)． 答案 B
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2．cosx－π4－cosx＋4π化为积的形式是(
)
A. 2cosx
B. 2sinx
C．－ 2sinx
D．－ 2cosx
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解析 cosx－π4－cosx＋4π＝－2sinx·sin－4π＝ 2sinx. 答案 B
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3．函数 y＝sin3π＋2x·sin3π－2x的最大值为(
)
3 A.4
B．－14
1 C.4
自学导航 1.积化和差公式 cosαcosβ＝ 12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)] ． sinαcosβ＝ 12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] ． cosαsinβ＝ 12[sin(α＋β)－sin(α－β)] ．
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(3)sin78°－sin42°＝2cos78°＋2 42°·sin78°－2 42° ＝2cos60°·sin18°＝sin18°. (4)cos75°－cos23°＝－2sin75°＋2 23°·sin75°－2 23° ＝－2sin49°sin26°.
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解析 ①不正确，右边的角应是5θ＋2 3θ＝4θ 与5θ－2 3θ＝θ. ②也不正确，右边应是 2sin4θsinθ. ③的右边应是－2cos4θsinθ，故③不正确． ④的左边不是同名函数，不能直接用和差化积的公式，应 先用诱导公式化为同名再化积． ∴①②③④均不正确．故选 A. 答案 A
高中数学第三章三角恒等变换313二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修4(2)
2sin 100° 2sin 80°
21
给值求值、求角问题
[探究问题]
1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪
些主要变形？
提示：主要变形有：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，
1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
业
疑
难
返 首 页
18
对于给角求值问题 一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数 的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍 角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角 公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
35
.
二倍角的正弦
36
(1)－tan 2θ
[原式＝ttaann
θ－1＋tan θ＋1tan
θθ－＋11＝ta2nt2aθn－θ1＝－1－2tatnanθ2θ
＝－tan 2θ.]
37
3sin 12°－3cos 12°
(2)证明：左边＝2sin
cos 12° 12°2cos212°－1
2 ＝
312sin
∴π4－x∈0，π4，cosπ4－x＝1123，
cocsosπ4＋2xx＝
cos2x－sin2x 22cos x－sin x
＝ 2(cos x＋sin x)＝2cosπ4－x
＝2143.
29
1．若本例(2)中的条件不变，则sisninπ4＋2xx的值是什么？
30
[解]
sinπ4－x＝
2 2 cos
21
给值求值、求角问题
[探究问题]
1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪
些主要变形？
提示：主要变形有：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，
1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
业
疑
难
返 首 页
18
对于给角求值问题 一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数 的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍 角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角 公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
35
.
二倍角的正弦
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(1)－tan 2θ
[原式＝ttaann
θ－1＋tan θ＋1tan
θθ－＋11＝ta2nt2aθn－θ1＝－1－2tatnanθ2θ
＝－tan 2θ.]
37
3sin 12°－3cos 12°
(2)证明：左边＝2sin
cos 12° 12°2cos212°－1
2 ＝
312sin
∴π4－x∈0，π4，cosπ4－x＝1123，
cocsosπ4＋2xx＝
cos2x－sin2x 22cos x－sin x
＝ 2(cos x＋sin x)＝2cosπ4－x
＝2143.
29
1．若本例(2)中的条件不变，则sisninπ4＋2xx的值是什么？
30
[解]
sinπ4－x＝
2 2 cos
3.2.1倍角公式课件—人教B版必修四三角恒等变换
回顾：当时是如何由S 推导出S 的？
“用-替代S 中的”
思考：如果用替代S 中的，
会得到什么结果呢？
探究一
如果令S ，C + ,T +中的 =，
会得到什么结论呢？
请同学们自己动手推导，时间约为2分钟
探究一
在sin( ) sin cos sin cos 中，令 ，
sin( ) sin cos cos sin
解：
cos
1 , ( , 2 ),
(
, )
2
3
22
sin 1 cos2 1 sin2 1 ( 1)2 2 2
2
2
2
3
3
sin 2 sin cos 2 2 2 ( 1) 4 2
2
2
3
3
9
cos 2 cos2 1 2 ( 1)2 1 2 1 1 7
2
3
3.已知f ( x) sin2 x 2 sin x cos x cos2 x (1)求f ( x)的最小正周期； (2)求f ( x)的最值及相应的x的值
(3)若x [0, ]，求f ( x)的最值及相应x的值.
2
小结
这节课你学到了哪些知识： 1.倍角公式及其应用：
正用、逆用、变形用； 注意角的相对性。 2.倍角公式的作用： 求值,化简. 3.注意题目中角的范围，合理取舍.
作业
1. 学案:《二倍角公式》 2.《课本》P144-A -2,3,4
课堂反思
倍角公式并不难， 和角公式来转换。 公式变形真奇妙， 探索当中寻诀窍。
谢谢大家
即sin 2 2 sin cos
同理在cos( ) cos cos sin sin 中,令 ， cos( ) cos cos sin sin
“用-替代S 中的”
思考：如果用替代S 中的，
会得到什么结果呢？
探究一
如果令S ，C + ,T +中的 =，
会得到什么结论呢？
请同学们自己动手推导，时间约为2分钟
探究一
在sin( ) sin cos sin cos 中，令 ，
sin( ) sin cos cos sin
解：
cos
1 , ( , 2 ),
(
, )
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3
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sin 1 cos2 1 sin2 1 ( 1)2 2 2
2
2
2
3
3
sin 2 sin cos 2 2 2 ( 1) 4 2
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2
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cos 2 cos2 1 2 ( 1)2 1 2 1 1 7
2
3
3.已知f ( x) sin2 x 2 sin x cos x cos2 x (1)求f ( x)的最小正周期； (2)求f ( x)的最值及相应的x的值
(3)若x [0, ]，求f ( x)的最值及相应x的值.
2
小结
这节课你学到了哪些知识： 1.倍角公式及其应用：
正用、逆用、变形用； 注意角的相对性。 2.倍角公式的作用： 求值,化简. 3.注意题目中角的范围，合理取舍.
作业
1. 学案:《二倍角公式》 2.《课本》P144-A -2,3,4
课堂反思
倍角公式并不难， 和角公式来转换。 公式变形真奇妙， 探索当中寻诀窍。
谢谢大家
即sin 2 2 sin cos
同理在cos( ) cos cos sin sin 中,令 ， cos( ) cos cos sin sin