最新直线与圆(较难题组)含答案

9.直线和圆的方程较难题及难题组）1．（2012年江苏高考12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．2、（2011江苏高考14）设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________3．（连云港市2012－2013学年度第一学期高三期末考试13）如图，点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为 ▲ .4．（南通市2013届高三第一次调研测试13）已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ． ．5．（苏州市2012－2013学年度第一学期高三期末考试13）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线60y +-=与圆22((1)2x y -+-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．6. （镇江市2012－2013学年度第一学期高三期末考试12）从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为 ．7．（无锡市2013届高三上学期期末考试13）定义一个对应法则f ：P （rn ，n ）→p '（m ，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A （-2，6）与点B （6，-2），点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则f ：M→M'．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应点M'经过的路线的长度为 。

8. （2012~2013年苏锡常镇四市高三年级第二次模拟考试12）若对于给定的正实数k ，函数f(x)＝kx的图象上总存在点C ，使得以C 为圆心、1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k 的取值范围是________．9. （江苏省宿迁市2013届高三一模统测试题18）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率36=e ，一条准线方程为263=x .(1)求椭圆C 的方程；(2)设H G ,为椭圆上的两个动点，O 为坐标原点，且OH OG ⊥. ①当直线OG 的倾斜角为︒60时，求GOH ∆的面积；②是否存在以原点O 为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH 相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由.10. （南通市2013届高三第二次模拟考试19）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝r2和直线l：x＝a(其中r和a均为常数，且0＜r＜a)，M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C 的另一个交点分别为P、Q.(1) 若r＝2，M点的坐标为(4，2)，求直线PQ的方程；(2) 求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．【解析】考查圆与圆的位置关系，点到直线的距离。

∵圆C 的方程可化为：()2241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。

∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距离，∴2≤，解得403k ≤≤。

∴k 的最大值是43。

【答案】43。

【解析】考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，线性规划。

当0m ≤时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m 为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，22(1022m m m --+=+> ，因为,φ≠⋂BA 此时无解；当0m >时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必有m112m ∴≤≤.又因为2m1,122m m ≤∴≤≤ 【答案】112m ≤≤3【解析】考查求点的轨迹方程，弧长公式。

设AB 中点 D （x,y ） ∵90AOB ∠= ∴OD=1 ∴221x y +=当点A 从(3，0)移动到(2，0)时，x 从2∴12π圆心角变化∴D 经过的路程为π12答案：π124【解析】考查直线与圆的位置关系。

2222200328019d386034121213(0)214(1,0)(0,2)ax x y xx ya aa aPA PBP ABaP y xxax a aax=+++-=++=∴=<∴+>∴<->=∴=∴-∴=<->+∴∈-直线y与圆相交圆方程为（）或在的中垂线y=-(x+1)上在上-(x+1)=或【答案】(1,0)(0,2)-5【解析】考查直线与圆的位置关系和直线的倾斜角和斜率。

{22360(3)(1)2tan()3x yx yOAOBA Bkkαβπαβ+-=-+-=∴∴====∴+=∴+=【答案】60°6【解析】考查直线与圆的位置关系∵四边形PACB的周长=2PA+2r=2PA+2∴当PA最小时四边形PACB的周长最小1535PA PCPC dPA====∴最小值为最小值为∴四边形PACB的周长最小值为224+【答案】224+7【解析】考查直线的方程和轨迹方程的应用。

''''''''''''''''(,)(,),,24(26)24y01422406y014(46)2M x y M x yx x y yy x xxy xMMxy x xMMM→∴===-+-≤≤-≤≤≥∴=-+-→∴=≤≤≤∴-=-+≤≤→∴=∴设当时，从（，12）（，）当4时，从（4，0）（6，4）所经过的路程共为【答案】8 58解析】考查圆与圆的位置关系和存在性命题成立的条件。

2222422422,),:()():42a 3a 98104902kC a akC x a y aO x y C C O a a k a a k k ∴-+-+=∴∴<∴-+<<-+∴<<∴<<设（上总有两个点到原点的距离为与相交存在使存在使【答案】⎝⎛⎭⎫0，92 9解：（1）因为36=a c ，2632=c a ，222c b a +=，……………………………2分解得3,3==b a ，所以椭圆方程为13922=+y x ． ………………………………………………………4分（2）①由⎪⎩⎪⎨⎧=+=139322y x x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==102710922y x ，…………………………………………6分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=1393322y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==232922y x ， ……………………………………………………8分所以6,5103==OH OG ，所以5153=∆GOH S ．……………………………10分 ②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R ，则GH R OH OG ⋅=⋅因为222GH OH OG =+，故222111ROH OG =+， 当OG 与OH 的斜率均存在时，不妨设直线OG 方程为：kx y =，10解： (1) 当r ＝2，M(4，2)，则A 1(－2，0)，A 2(2，0)．直线MA 1的方程：x －3y ＋2＝0，解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －3y ＋2＝0，得P ⎝⎛⎭⎫85，65.(2分) 直线MA 2的方程：x －y －2＝0，解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －y －2＝0，得Q(0，－2)．(4分)由两点式，得直线PQ 方程为：2x －y －2＝0.(6分)(2) 证法一：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0)．设M(a ，t)，直线MA 1的方程是：y ＝1a ＋r (x ＋r)，直线MA 1的方程是：y ＝1a －r(x －r)．(8分)解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝t a ＋r（x ＋r ），得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫r （a ＋r ）2－rt 2（a ＋r ）2＋t 2，2tr （a ＋r ）（a ＋r ）2＋t 2.(10分) 解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝t a －r（x －r ），得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫rt 2－r （a －r ）2（a －r ）2＋t 2，－2rt （a －r ）（a －r ）2＋t 2.(12分) 于是直线PQ 的斜率k PQ ＝2ata 2－t 2－r2，直线PQ 的方程为y －2tr （a ＋r ）（a ＋r ）2＋t 2＝2at a 2－t 2－r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －r （a ＋r ）2－rt 2（a ＋r ）2＋t 2.(14分)上式中令y ＝0，得x ＝r 2a，是一个与t 无关的常数，故直线PQ 过定点⎝⎛⎭⎫r 2a ，0(16分)证法二：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0)．设M(a ，t)，直线MA 1的方程是：y ＝ta ＋r (x ＋r)，与圆C 的交点P 设为P(x 1，y 1)．直线MA 2的方程是：y ＝ta －r (x －r)；与圆C 的交点Q 设为Q(x 2，y 2)．则点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)在曲线[(a ＋r)y －t(x ＋r)][(a －r)y －t(x －r)]＝0上，(10分) 化简得(a 2－r 2)y 2－2ty(ax －r 2)＋t 2(x 2－r 2)＝0.①又有P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)在圆C 上，圆C ：x 2＋y 2－r 2＝0.②① r －t 2×②得(a 2－r 2)y 2－2ty(ax －r 2)－t 2(x 2－r 2)－r 2(x 2＋y 2－r 2)＝0， 化简得：(a －r 2)y －2t(ax －r 2)－t 2y ＝0.所以直线PQ 的方程为(a 2－r 2)y －2t(ax －r 2)－t 2y ＝0. ③(14分)在③中令y ＝0得x ＝r 2a，故直线PQ 过定点⎝⎛⎭⎫r 2a ，0.(16分)。