高中数学竞赛专题练习——排列组合

高中数学竞赛专题讲座之 排列组合 二项式定理和概率

一． 排列组合二项式定理 1 (2005年浙江)设()n n n x a x a a x x 22102

1+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值（ ） （A ）n 3 （B ）23-n （C ）213-n （D ）2

13+n 【解】： 令0=x 得 10=a ；（1） 令1-=x 得 123210=++-+-n a a a a a ；

（2）

令1=x 得 n n a a a a a 323210=+++++ ； （3）

（2）＋（3）得 13)(22420+=++++n n a a a a ，故 2132420+=++++n n a a a a ， 再由（1）得 2

13242-=+++n n a a a 。 ∴选 【 C 】 2、（2004 全国）设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有 （ ）

A. 45个

B. 81个

C. 165个

D. 216个

解：a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0。即,,{1,2,...,9}a b c ∈

（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为1n ，由于三位数中三个数码都相同，所

以，1199n C ==。

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为2n ，由于三位数中只有2个不同数码。设为a 、b ，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a ，b ）共有292C 。

共20种情况。 同时，每个数码组（a ，b ）中的二个数码填上三个数位，有23C 种情况。

故2222399(220)6(10)156n C C C =-=-=。 综上，12165n n n =+=。

3．（2005四川）设}10,,2,1{ =A ，若“方程02

=--c bx x 满足A c b ∈,，且方程至少

有一根A a ∈”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为

（A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）14

解：，由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为1-时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为2-时，有3 个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C 。

4．（2005四川）设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任一排列，f 是}4,3,2,1{到}4,3,2,1{的映射，

且满足i i f ≠)(，记数表?????

?)( )( )( 43214321a f a f )f(a a f a a a a 。若数表N M ,的对应位置上至少有一个不同，就说N M ,是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为 （ ）

（A ）144 （B ）192 （C ）216 （D ）576

解：对于4321,,,a a a a 的一个排列，可以9个映射满足i i f ≠)(，而4321,,,a a a a 共有2444=A 个排列，所以满足条件的数表共有216924=?张，故选C 。

5．(2005江西)连结正五边形12345A A A A A 的对角线交另一个正五边形12345B B B B B ，两次连结正五边形12345B B B B B 的对角线，又交出一个正五边形12345C C C C C （如图），以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形的个数为 ( )

（A ）50 （B ）75 （C ）85 （D ）100

解：对于其中任一点P ，以P 为“顶”（两腰的公共点）的等腰三角形的个数记为[P]则

1125134125134125152[]6, (,,,,,)A A A A A B B A B B A A A A A B A A B =??????.

1134125134134125125125134143[]9, (,,,,,,,,)

B B A A B B B B B B B

C C B B C B C B B A A B A B B A B =?????????1134125[]2, (,)C C B B C B B =??, 由于图中没有等边三角形，则每个等腰三角形恰有一个“顶”。据对称性可知[]6, []9, []2, 1,2,3,4,5i i i A B C i ====.因此等腰三角形共有5(692)85?++=个.

6. (2005全国)将关于x 的多项式2019321)(x x

x x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a 6

1521+. 解：由题设知，)(x f 和式中的各项构成首项为1，公比为x -的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1

111)()(2121++=----=x x x x x f 令,4+=y x 得,51)4()(21+++=y y y g 取

,1=y 有.6

15)1(2120210+==++++g a a a a 7.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321 a a a 若,2005=n a 则=n a 55200.

解：∵方程m x x x k =+++ 21的非负整数解的个数为m k m C 1-+.而使

)2(0,11≥≥≥i x x i 的整数解个数为12--+m k m C .现取7=m ，可知，k 位“吉祥数”的个数为

.)(65+=k C k P

∵2005是形如abc 2的数中最小的一个“吉祥数”，且,7)2(,1)1(6766====C P C P

,28)3(68==C P 对于四位“吉祥数”abc 1，其个数为满足6=++c b a 的非负整数解个数，

即286136=-+C 个。

∵2005是第1+7+28+28+1＝65个“吉祥数”，即.200565=a 从而.3255,65==n n 又,210)5(,84)4(6106

9====C P C P 而∑==5

1.330)(k k P

∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即.520005=n a

8．（2004四川）某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有 4168 个.

二、概率部分

1. （2006吉林预赛）在6个产品中有4个正品，2个次品，现每次取出1个作检查（检查完后不再放回），直到两个次品都找到为止，则经过4次检查恰好将2个次品全部都找到的概率是 （ D ）

A. 1/15

B. 2/15

C. 1/5

D. 4/15

2．（2006年南昌市）甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对于每局比赛,甲获胜的概率为

32,乙获胜的概率为31,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为____1781

______. 3．（2006年浙江省预赛）在2006,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。

解： 三个数成递增等差数列，设为 d a d a a 2,,++，按题意必须满足,20062≤+d a 1002≤d 。 对于给定的d ，a 可以取1，2，……，2006-2d 。 故三数成递增等差数列的个

数为 .

1002*1003)22006(1002

1=-∑=d d 三数成递增等差数列的概率为

401031002100332006

=?C 。 4. （2006吉林预赛）骰子是一个质量均匀的正方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点。现在桌面上有3只骰子分别为木制、骨制、塑料制的。重复下面操作，直到桌子上没有骰子：将桌上的骰子全部掷出，然后去掉那些奇数点的骰子。求完成以上操作的次数多于三次的概率。.（169/512）

5．（2004湖南）如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )

A ．181

B ．91

C ．61

D ．18

13 6. (2005江西)从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为35

34，则n=_____. 7. (2005江西)有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.

8.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）

解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有2

!8种. …5分 下求使S 达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设k x x x ,,,21 是依次排列于这段弧上的小球号码，则

.8|91||)9()()1(||9|||||1|211211=-=-++-+-≥-++-+-k k x x x x x x x x 上式取等号当且仅当9121<<<<

因此1682=?=最小S .…………………………………………………………………10分 由上知，当每个弧段上的球号}9,,,,1{21k x x x 确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.

在1,2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3，…，8，将它们分为两个子集，元

素较少的一个子集共有6372717072=+++C C C C 种情况，每种情况对应着圆周上使S 值达

到最小的唯一排法，即有利事件总数是6

2种，故所求概率.315

12!826==P ……………20分 8、（2004全国）一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关。问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）

解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。

（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而45

642,652?>?<，因此，当5n ≥时，n 次出现的点数之和大于2n 已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。

.......5分 （Ⅱ）设事件n A 为“第n 关过关失败”，则对立事件n A 为“第n 关过关成功”。

第n 关游戏中，基本事件总数为6n

个。

第1关：事件1A 所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况）， ∴过此关的概率为：1122()1()163

P A P A =-=-=。 第2关：事件2A 所含基本事件数为方程x y a +=当a 分别取2，3，4时的正整数解组数之

和。即有1111231236C C C ++=++=（个）。

∴过此关的概率为：22265()1()166P A P A =-=-

=。 (10)

分 第3关：事件3A 所含基本事件为方程x y z a ++=当a 分别取3，4，5，6，7，8时的正整

数解组数之和。即有22222223456713610152156C C C C C C +++++=+++++=（个）。

∴过此关的概率为：3335620()1()1627P A P A =-=-

=。 (15)

分 故连过前三关的概率为：1232520100()()()3627243P A P A P A ??=??=。 ........20分

（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）

10、（2006年浙江省预赛）六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子。问

1） 共有多少种不同的骰子；

2） 骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫

做全变差V 。在所有的骰子中，求V 的最大值和最小值。

解：1）设台子上有一个与骰子的侧面全等的正方形。我们把一个骰子放到该正方形上的放法共6×4种。所以不同的骰子共有304

*6!6 种。 ………………… （5分） 2） 由1－6的六个数字所能产生的变差共有15个，其总和为

1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋（1＋2＋3＋4）＋（1＋2＋3+4+5）=35 （10分） 与之相比，每个骰子的全变差中，所缺的是三个相对面上数字之间的变差，记其总和为v ，则

v max ＝（6+5+4）－ (1+2+3) ＝9 ， v min ＝ 1+1+1 ＝ 3 ………………… （15

分）

因此 V max ＝35－v min ＝32 V min ＝35－v max ＝26. ………………… （20分）