北师大版2020-2021九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元基础过关测试题(附答案详解)
∵AC=6 ，∠C=45°
∴AD=AC⋅sin45°=6 × =6，
∵tan∠ABC=3，
∴ =3，
∴BD= =2，
故选A．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，三角函数的知识，熟记知识点是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出第三边，再根据正切函数的定义求出较小锐角的正切值．
【详解】
（2）用公式法解方程：3x2+2x-1=0.
26．在△ABC中，∠C=90°，BC= AC，求∠B的度数（精确到1″）．
27．如图，我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为565米，如果这辆坦克能够爬30°的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？
【解析】
试题分析：2 ≈2×9.3274=18.6548，
tan87°≈19.0811，
∵18.6548＜19.0811，
∴2 ＜tan87°．
故答案为＜．
点睛：本题考查了计算器的使用，要注意一般保留小数点后4位．
12．42
【解析】
试题解析：过点 作 于点D,
∴由勾股定理可知：
的面积为：
故答案为
13．30°
12．如图，在 中， ， ， ，则 的面积为________．
13．某水库大坝，其坡面AB的坡度i=1∶ ，则斜坡AB的坡角的度数为____°.
14．坡角为α=60°，则坡度i=_____．
15．小明沿着坡度为1： 的坡面向下走了20米的路，那么他竖直方向下降的高度为_____．
16．如图，在高 米，坡角为 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米．（精确到 米）
2．A
【解析】
∵cosα= ，∴∠α=30°.
故选A.
3．A
【解析】
试题解析：
∵CD⊥BA的延长线于点D,
∵AB=AC，CD⊥BA，
设AD=x,则AC=2x,
得
故选A.
4．B
【解析】
试题解析：①因为正弦随着锐角度数的增大而增大，故sin59°＞sin29°，正确；
② ， ，正确；
③tan30°+tan40°≈1.42，tan70°≈2.75，1.42≠2.75，错误；
17．一个斜面的坡度i=1：0.75，如果一个物体从斜面的底部沿着斜面方向前进了20米，那么这个物体在水平方向上前进了_____米．
18．计算： ______
19．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=________.
三、解答题
20．（1）计算：（ ﹣1）0﹣（﹣ ）﹣2+ tan30°．
试题分析：原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
试题解析：原式=3+1−1+3=6.
25．（1）1 ；（2）x1= ，x2=-1.
【解析】
试题分析：（1）先对负指数幂、0次幂、绝对值以及三角函数进行运算，再进行加减运算；（2）先写出a、b、c的值，再计算出b2－4ac的值判断出方程有实数根，最后利用公式解出x.
18．0
【解析】
【分析】
直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】
原式
．
故答案为0．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
19．3tan 50°
【解析】
分析：先根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，然后利用正切函数的定义计算即可.
【分析】
先领用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可.
【详解】
∵∠C=90°，BC=6，AC=4，
∴AB=2 ，
A．sinA= = ，故此选项错误；
B．cosA= = ，故此选项错误；
C．tanA= = ，故此选项错误；
D．cotA= = ，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】
A．100mB．120mC．50 mD．100 m
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，那么下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．在以O为坐标原点的直角平面内有一点A2, 4，如果AO与x轴正半轴的夹角为， 那么的余弦值为_____.
11．用科学计算器比较大小：2 ________tan87°．
解：原式=1+3 -1-4× = ．
22．
【解析】
分析：化简绝对值、0次幂和负指数幂，代入30°角的三角函数值，然后按照有理数的运算顺序和法则进行计算即可．
详解：原式= +1﹣2× + = ．
点睛：本题考查了实数的运算，用到的知识点主要有绝对值、零指数幂和负指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟记相关法则和性质是解决此题的关键．
【详解】
如图所示：
∵坡度i=1：0.75，
∴AC：BC=1：0.75=4：3，
∴设AC=4x，则BC=3x，
∴AB= =5x，
∵AB=20m，
∴5x=20，
解得：x=4，
故3x=12，
故这个物体在水平方向上前进了12m．
故答案为：12．
【点睛】
此题主要考查坡度的运用，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度h和水平宽l的比，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示坡角，可知坡度与坡角的关系是 ．
（2）解方程 ．
21．计算：tan45°+ ﹣（ ﹣2016）0﹣4cos30°．
22．计算：|﹣ |+（π﹣2017）0﹣2sin30°+3﹣1．
23．化简：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°．
24．计算： ．
25．（1）计算：( ) +(π-3.14)0-| -2|-2cos30°
此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
10．
【解析】
【分析】
利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．
【详解】
根据题意可得
所以
故答案为：
【点睛】
考查锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，掌握余弦定理的概念是解题的关键.
11．<
试题解析：
（1）原式=2+1－（2－ ）－2× =3－2+ － =1 ；
（2）a=3，b=2，c=－1，
b2－4ac=22－4×3×（－1）=16＞0，
∴x= ，
∴x1= ，x2=－1.
点睛：（1）熟记特殊角的三角函数值；
（2）用公式法解一元二次方程时，先计算出b2－4ac的值，判断方程有无实数根.
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC= ，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（）
A．2B．3C． D．
7．一个直角三角形有两条边长为 和 ，则较小锐角的正切值是（）.
A． 或 B． C． D．
8．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1： ，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（ ）
23．44
【解析】
【分析】
利用互为余角的两个角的余弦平方和等于1即可求解.
【详解】
解：原式= (cos21°+cos289°)+( cos22°+ cos288°)+…+ cos245°
=44×1+( )2
=44 .
【点睛】
本题考点：互为余角的两个角的余弦平方和等于1，特殊角的三角函数值.
24．6
【解析】
详解：∵∠C=90°，∠A=40°，
∴∠B=90°-40°=50°.
∵BC=3， ，
∴AC=BC·tanB=3tan50°.
故答案为：3tan50°..
点睛：本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边.
20．（1）-4；（2）x=6．
【详解】
由题意可得：tan27°= = ≈0.51，解得：AC≈3.9，故AC+BC=3.9+2=5.9（m），即地毯的长度至少需要5.9米．
故答案为5.9．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，得出AC的长是解题的关键．
17．12．
【解析】
【分析】
直接根据题意得出直角边的比值，即可表示出各边长进而得出答案．
试题解析：原式=
A．1： B． ：1 C．1： D． ：1
4．观察下列各式：①sin 59°＞ sin 28°；②0＜ cos α＜1(0°＜α＜90°)；③tan30°+tan40°=tan70°；④sin67°+ sin23°=1.其中正确的结论有（）个
A．1B．2C．3D．4
5．－sin60°的倒数为()
A．－2B． C．－ D．－
当两条边长为3和4是直角边时,则较小锐角的正切值= ；
当3是直角边,4是斜边时,另一条边 则较小锐角的正切值= .
故选：A.
【点睛】
考查锐角三角函数的定义，掌握正切的定义是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解.
8．A
【解析】
试题解析：∵迎水坡AB的斜面坡度是 堤坝高BC=50m，
解得,
故选A.
9．D
【解析】
26．75°57′50″
【解析】
【分析】
根据题意得到tanB的值，再用计算器求得∠B的值即可.
【详解】
北师大版2020-2021九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元能力达标测试题1(附答案详解)
北师大版2020-2021九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元能力达标测试题1（附答案详解） 一、单选题 1．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，测得斜坡的坡度为1：2.4，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（ ）A ．6.2米B ．6.4米C ．6.5米D ．7.2米2．李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境.聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图半径为5的⊙0在线段AB 上方，且圆心O 在线段AB 的中垂线上，到AB 的距离为395，已知AB ＝20.线段PQ 在AB 上(AP ＜AQ)，PQ ＝6，以PQ 的中点C 为顶点向上作Rt △CDE ，其中∠D ＝90°，CD ＝3，sin ∠DCE ＝sin ∠DCQ ＝45，设AP ＝m ，当边DE 与⊙O 有交点时，则m 的取值范围是( )A ．6162155m ≤≤B ．10677155m ≤≤C ．226255m ≤≤D ．377755m ≤≤ 3．如图，设AD 、BE 、CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ）．A ．185B ．4C ．215D ．245 4．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝40°，AB ＝7，则AC 的长为( )A ．7sin40︒B ．7tan40︒C ．7cos 40°D ．7cos40︒5．如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ，若∠A+∠B＝α（0＜α＜90°），那么S △CDP ：S △ABP 等于（ ）A ．sin 2αB ．cos 2αC ．tan 2αD ．21tan α6．在△ABC 中，∠C=90°，BC=4， 2sin 3A =，则边AC 的长是（ ） A ．25 B ．6 C ．83D ．213 7．如图，测量人员在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1 000米到达D 处，在D 处测得山顶B 的仰角为60°，则山高BC 大约是（精确到0.01米）（ ）；A ．1366.00米B ．1482.12米C ．1295.93米D ．1508.21米 8．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC=30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD=BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ）A ．2+3B ．23C ．3+3D ．339．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，那么cot A 等于（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．4310．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝4，点F 是AB 的中点，过点F 作FE ⊥AD ，垂足为E ，将△AEF 沿点A 到点B 的方向平移，得到△A 'E 'F '，设点P 、P '分别是EF 、E 'F '的中点，当点A '与点B 重合时，四边形PP 'CD 的面积为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3﹣4二、填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E、F分别在线段AD、AB上，将△AEF 沿EF翻折，使得点A落在矩形ABCD内部的P点，连接PD，当△PDE是等边三角形时，BF的长为_____．l//l//l//l，且相邻两条平行线的距离都相等，若等腰Rt ABC的12．如图，直线1234三个顶点都在直线上，则cosα=______．13．如图是带支架功能的某品牌手机壳，将其侧面抽象为如图所示的几何图形，已知=，755.46AC cmC∠=，则点B到AC的距离为__________cm（结ABC∠=，45≈）果精确到0.1cm，3 1.7314．某山路的路面坡度i＝1:399,沿此山路向上前进200m,升高了_______m. 15．如图，一辆小车沿着坡度1:3i=的斜坡向上行驶10m，则小车上升的高度是__________．16．已知，AB、BC是半径为r的⊙O内的两条弦，且AB=6，BC=8．（1）若∠ABC=90°，则r=________；（2）若∠ABC=120°，则r=______.17．如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O 上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；A4A0间的距离是_____；…按此规律运动到点A2019处，则点A2019与点A0间的距离是_____．18．比较大小：sin44°_____cos44°（填＞、＜或＝）．19．在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝.20．如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF影长GE为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成30º角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C 的距离是3.6米，则树长AB等于________米。
北师大版2020九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元过关培优测试题1(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元过关培优测试题1（附答案详解）1．如图，在矩形AB CD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥BD交AB于E，若∠ABD=30°，DE=6，则矩形ABCD的周长为（）A．63+18 B．33+9 C．23+18 D．3+92．2sin60°的值等于（）A．1 B．2C．3D．23 33．在△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=2，则∠B的度数是( )A．30°B．45°C．60°D．90°4．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值A．也扩大3倍B．缩小为原来的C．都不变D．有的扩大，有的缩小5．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα6．如图,某人在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i为1∶3,点P,H,B,C,A在同一个平面上,点H,B,C在同一条直线上,且PH⊥HC．则A,B两点间的距离是( )A．15米B．203米C．202米D．103米7．如图是教学用直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝3，则边BC的长为( )8．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则tanA的值为（）A．0.6 B．0.8 C．0.75 D．4 39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90︒，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin BCD∠的值是（）A．513B．512C．1213D．12510．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是弧AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）11．晚上，身高1.6米的小华站在D处（如图），测得他的影长DE=1.5米，BD=4.5米，那么灯到地面的距离AB=_________米．12．在Rt△ABC中，斜边AB=22且tanA+tanB=22，则Rt△ABC的面积是___________.13．如图，△ABC中，5AC=5，tanA=2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为______．14．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E,，且tan ∠EBA=43，有一只蚂蚁从A 出发,先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最短时间是________s15．如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A ′的俯角∠A ′NB 为45°，则电视塔AB 的高度为______米（结果保留根号）．16．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC =4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕，若AE ＝3，则sin ∠BFD 的值为_______．17．若点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边BC=6，则△ABC 的面积为_______. 18．将矩形纸片ABCD （如图）那样折起，使顶点C 落在C ꞌ处，测量得AB=4，DE=8,则sin ∠C ꞌED 为________________.19．如图，点E（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则sin∠OBE=___．20．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=13，则CF=______．21．如图，在东西方向的海岸线上有一个码头M，在码头M的正西方向有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距603千米的A处；经过3小时，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距60千米的B处．（1）求该轮船航行的速度；（2）当该轮船到达B处时，一艘海监船从O点出发以每小时16千米的速度向正东方向行驶，请通过计算说明哪艘船先到达码头M．（参考数据：3 1.73,2 1.41≈≈）22．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（2≈1.414，CF结果精确到米）23．如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 测试题 (含答案)
直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)． 答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)． 答：乙船每小时航行203海里.。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元检测试卷(有答案)
北师大九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.23 sin60°的值等于（ ）A. 13B. √36C. √33D. 43√32.已知tan (α−20°)=√33，则锐角α的度数是（ ）A. 60°B. 45°C. 50°D. 75°3.在Rt △ABC 中，∠C=90°， sinA =35 ,则 cosB 的值为（ ） A. 34 B. 43 B. 43 C. 35 D. 454.（2017·金华）在直角三角形Rt Δ ABC 中， ∠ C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是（ ）A. 34B. 43C. 35D. 455.已知sin α＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ）A. 60°＜α＜90°B. 30°＜α＜90°C. 0°＜α＜60°D. 0°＜α＜30°6.如图， ΔABC 中， D 为 AB 上一点， BD =3,AD =DC =8,sin ∠BCA =√32, 则 AC 的长是（）A. 323B. 8√33 C. 152√3 D. 8877.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A. sinB =ADAB B. sinB =ACBC C. sinB =AD AC D. sinB =CDAC8.已知△ABC中，∠C=90°，tanA=12，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）A. 35B. √105C. 310D. 3√10109.（2017•深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60∘，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30∘，已知斜坡CD的长度为20m，DE 的长为10m，则树AB的高度是（）mA. 20√3B. 30C. 30√3D. 4010.（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC 于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A. x﹣y2=3B. 2x﹣y2=9C. 3x﹣y2=15D. 4x﹣y2=21二、填空题（共10题；共30分）11.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 3√2，AB= 2√6，则∠B=________．12.如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则cosA=________．13.如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= 3，则t的值是________．214.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上），为了测量B、C两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地间的距离为________ m．15.如图，为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C点测得塔顶E的仰角为45°，在D点测得塔顶E的仰角为60°，已知测角仪AC的高为1.6米，CD的长为6米，CD所在的水平线CG⊥EF于点G，铁塔EF的高为________米．（结果用带根号的式子表示）16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，DA∥BC，tan∠DBA= 1，若CD=2 √17，则线段BC的长为2________．17.如图，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CM，作线段CM的垂直平分线，分别交边CB和CA的，则DE=________．延长线于点D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB= 2518.如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向、距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/h 的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为________ h．（结果保留根号）19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2．则cos∠MCN=________．20.如图所示，已知：点A（0，0），B（√3，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于________．三、解答题（共7题；共60分）21.计算：√12−|−2|+(1−√3)0−9tan30°22.如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．23.如图，从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°，45°，此时热气球C处所在位置到地面上点A的距离为400米.求地面上A，B两点间的距离.24.如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°．为了改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）25.如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100 米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）．26.如图，在一次数学课外实践活动中，要求测量山坡前某建筑物的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，然后沿倾斜角为30°的山坡向上前进20m到达E，重新安装好测角仪后又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）27.（2017·衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连结OB，D为OB 的中点。
2020-2021学年北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 同步单元训练卷
北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系同步单元训练卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．cos 30°的值为( )A.12B.32C.22D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列等式中，正确的是( )A ．sinA ＝b cB ．cosB ＝c aC ．tanA ＝a bD ．tanB ＝a b3．如图，在高出海平面100 m 的悬崖顶A 处，观测海平面上一艘小船B ，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC 为( )A ．100 3 mB ．50 mC ．100 2 mD ．100 m4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AC ＝ 5 ，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A ．53B ．255C ．52D ．235．△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中错误的是( )A ．sinα＝cosαB ．tanC ＝26. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB 的长为( )A ．95sin α mB ．95cos αm C ．59sin α m D ．59cos αm 7． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B 的对边分别是a ，b ，且满足a 2－ab －b 2＝0，则tan A 等于( )A ．1 B.1＋52C.1－52D.1±528．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)( )9．如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60 m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD ＝45 m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为(参考数据：sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53)( )A ．76.9 mB ．82.1 mC ．94.8 mD ．112.6 m10．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B 1在y 轴上，点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3在x 轴上．若正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥A.3＋318 B.3＋118C.3＋36 D.3＋16二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________．12. 如图，若点A的坐标为(1，3)，则sin∠1＝________．,13．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)14．如图，人字梯AB，AC的长都为2 m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD约是________．m.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)15．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin α＝________．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为________．．17．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为_____________ m(结果保留根号).18．如图，甲、乙两渔船同时从港口O 出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以10 n mile/h 的速度航行，甲沿南偏西75°方向以10 2 n mile/h 的速度航行，当航行1 h 后，甲在A 处发现自己的渔具掉在了乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B 处追上．则甲船追赶乙船的速度为________n mile/h.三．解答题（7小题，共66分）19．(8分) 计算：(1)2－1－3sin 60°＋(π－2 023)0＋⎪⎪⎪⎪－12； (2)12－3＋4cos 60°·sin 45°－（tan 60°－2）2.20．(8分) 已知α是锐角，且sin (α＋15°)＝32 ，计算8 －4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13 )－1的值．21．(8分) 我市准备在相距2千米的A ，B 两工厂间修一条笔直的公路，但在B 地北偏东60°方向、A 地北偏西45°方向的C 处，有一个半径为0.6千米的住宅小区(如图)，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)22．(10分) 如图，已知▱ABCD ，点E 是BC 边上的一点，将边AD 延长至点F ，使∠AFC ＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF 是平行四边形．(2)若AB ＝13，DF ＝14，tan A ＝125，求CF 的长．23．(10分) 如图①，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图②是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直．(参考数据：sin69°≈1415，cos21°≈1415，tan20°≈411，tan43°≈1415，所有结果精确到个位) (1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面24．(10分) 下面的桥设计灵感来源于兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC)均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC＝∠DEB＝45°，∠ACB＝30°，BE＝6米，AB＝5BD.(1)求最短的斜拉索DE的长；(2)求最长的斜拉索AC的长．25．(12分) 如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 的正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．(1)求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；(2)若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．(结果保留根号)(参考数据：sin 37°＝cos 53°≈35 ，cos 37°＝sin 53°≈45 ，tan 37°≈34 ，tan 76°≈4)参考答案1-5BCDAC 6-10BBABD11.112. 3213. 28014. 1.515. 55 16. 101017. (53 3 －85) 18．(10＋103)19.解：(1)原式＝12－3×32＋1＋12＝12－32＋1＋12＝12； (2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－(3－2)＝－2－3＋2－3＋2＝－23＋ 2. 20. 解：由α是锐角，且sin (α＋15°)＝32，得α＝45°，∴原式＝2 2 －4cos 45°－1＋tan 45°＋3＝2 2 －4×22 －1＋1＋3＝3 21. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，图略．∴AD ＝CD ，BD ＝CD tan 30°＝3CD. ∵BD ＋AD ＝AB ＝2，即3CD ＋CD ＝2，∴CD ＝23＋1＝3－1≈1.73－1＝0.73>0.6，∴修筑的公路不会穿过小区，故该小区居民不需搬迁22．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AF ∥BC.∴∠ADE ＝∠DEC.又∵∠AFC ＝∠DEC ，∴∠AFC ＝∠ADE.∴DE ∥FC.∴四边形DECF 是平行四边形．(2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BCD ＝∠A ，AB＝CD ＝13. 又∵tan A ＝125＝tan ∠DCH ＝DH CH，∴DH ＝12，CH ＝5. ∵DF ＝14，∴CE ＝14. ∴EH ＝9. ∴DE ＝92＋122＝15. ∴CF ＝DE ＝15.23. 解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠A ＝20°，BC ＝20，∴AB ＝BC tanA ＝BC tan20°＝55 (cm)．(2)延长FE 交DG 于点I.则DI ＝DG －FH ＝28 (cm)．在Rt △DEI 中，sin ∠DEI ＝DI DE ＝2830＝1415，∴∠DEI ＝69°，∴∠β＝180°－69°＝111°≠100°，∴此时β不是符合科学要求的100°.24. 解：(1)∵∠ABC ＝∠DEB ＝45°，∴△BDE 为等腰直角三角形，∴DE ＝22BE ＝22×6＝3 2.答：最短的斜拉索DE 的长为3 2 m (2)作AH ⊥BC 于H ，∵BD ＝DE ＝32，∴AB ＝5BD ＝5×32＝152，在Rt △ABH 中，∵∠B ＝45°，∴BH ＝AH ＝22AB ＝22×152＝15，在Rt △ACH 中，∵∠C ＝30°，∴AC ＝2AH ＝30.答：最长的斜拉索AC 的长为30 m25. 解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－37°－53°＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，∴AC ＝AB·sin 37°≈25×35＝15(海里).故观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离约为15海里(2)过点C 作CM ⊥AB 于点M ，由题意易知D ，C, M 在一条直线上，在Rt △AMC 中，CM ＝AC·sin ∠CAM≈15×45 ＝12(海里)，AM ＝AC·cos ∠CAM≈15×35 ＝9(海里).在Rt △AMD 中，tan ∠DAM ＝DM AM，∴DM ＝AM·tan 76°≈9×4＝36(海里)，∴AD ＝AM 2＋DM 2 ＝92＋362 ＝917 (海里)，CD ＝DM －CM ＝36－12＝24(海里)，∴当缉私艇的速度约为16×917 ÷24＝617 (海里/小时)时，恰好在D 处成功拦截。
2020-2021学年北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 同步单元训练卷
北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系同步单元训练卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．计算：cos 245°＋sin 245°＝( )A.12 B ．1 C.14 D.322．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于( )A.35B.45C.34D.433．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知AB ＝m ，∠BAC ＝α，则下列结论错误的是( )A ．∠BDC ＝αB ．BC ＝m·tanα C ．AO ＝m 2sin αD ．BD ＝m cos α4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( )A.35B.34C.105 D ．15．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于( )A.14.7°B.14°7′C.75.3°D.75°3′6. tan 230°－2tan30°＋1＋tan30°＝( ) A.23 3 B.233－1 C ．23－1 D ．1 7．如图，在A 处的正东方向有一港口B .某巡逻艇从A 处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C 处时接结果保留一位小数，则A，B两处间的距离约为()A.42.3 n mile B．73.5 n mileC.115.8 n mile D．119.9 n mile8．如图，在距离铁轨200 m的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10 s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是m/s.()A．20（ 3 ＋1）B．20（ 3 －1）C.200 D．3009．如图，在两建筑物之间有一旗杆高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()A．20米B．10 3 米C．15 3 米D．5 6 米10．如图，AD∥BC，AB⊥AD，点E，F分别在射线AD，BC上，若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则()A．∠AEB＋22°＝∠DEFB．1＋tan∠ADB＝2C．2BC＝5CF二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，旗杆高AB＝8 m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16 m，则tanC＝__________．12. 某坡面的坡度为1∶3，则坡角是________．13．如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小角是∠A，那么tanA 的值为______________.14．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m的牌子，当他沿山坡前进50 m时，他又看见一个标注海拔70 m的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．16．如图，等边△ABC的边长为8，D，E两点分别从顶点B，C出发，沿边BC，CA以1个单位/s，2个单位/s的速度向顶点C，A运动，DE的垂直平分线交BC边于F点，若某时刻tan∠CDE＝32时，则线段CF的长度为_________.17．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为________m.(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)18．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30 m的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°.又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57 m，则教学楼BC的高度约为m.（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）三．解答题（7小题，共66分）19．(8分) 计算：(1) 2－2＋38－2sin 60°＋|－3|；(2)tan30°tan60°＋cos230°－sin2 45°tan45°.20．(8分) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC ＝60°，求△ABC的周长．(结果保留根号)21．(8分) 如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥的斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度i＝1∶1.2，上底BC＝10 m，天桥的高CE＝5 m，求天桥的下底AD的长度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)．22．(10分) 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sin B ＝35，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，CD ＝DE ，AC ＋CD ＝9，求BE ，CE 的长．23．(10分) 如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A ，B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知在A 处测得探测线与地面的夹角为30°，在B 处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命迹象C 处与地面的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)24．(10分) 如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5 m．(计算结果精确到0.1 m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时，吊臂AB的长为________m；(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)25．(12分) 如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n mile/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)参考答案1-5BACBC 6-10DAAAB11．12 12.30° 13．13或24 14.12 15．3∶4 16．5217．8.1 18．13 19．解：(1)原式＝14＋2－2×32＋3＝14＋2－3＋3＝94； (2)原式＝33×3＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫222×1＝1＋34－12＝54. 20. 解：在Rt △ACD 中，∠C ＝90°，AC ＝3，∠ADC ＝60°，∴AD ＝AC sin ∠ADC ＝3sin60°＝2，∴CD ＝1.∵BD ＝2AD ，∴BD ＝4，BC ＝BD ＋CD ＝5，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝52＋（3）2＝27，∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CA ＝27＋3＋5.21. 解：过B 点作BF ⊥AD 于点F ，则四边形 BFEC 是矩形，∴BF ＝CE ＝5 m ，EF ＝BC ＝10 m ．在Rt △ABF 中，∵∠BAF ＝35°，tan ∠BAF ＝BF AF ，∴AF ＝BF tan35° ≈50.70 ≈7.14(m).∵斜坡CD 的坡度i ＝1∶1.2，∴CE ED ＝11.2，∴ED ＝1.2CE ＝1.2×5＝6(m)，∴AD ＝AF ＋FE ＋ED≈7.14＋10＋6＝23.14≈23.1(m)，∴天桥的下底AD 的长度约为23.1 m22. 解：∵sin B ＝35，∠ACB ＝90°，DE ⊥AB ，∴sin B ＝DE DB ＝AC AB ＝35. 设DE ＝CD ＝3k ，则DB ＝5k ，∴CB ＝8k.∴AC ＝6k ，AB ＝10k. ∵AC ＋CD ＝9，∴6k ＋3k ＝9. ∴k ＝1.∴DE ＝3，DB ＝5. ∴BE ＝52－32＝4.如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F. ∵DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，∴DE ∥CF.∴∠BDE ＝∠BCF. 又∵∠B ＝∠B ，∴△DEB ∽△CFB. ∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，∴CF ＝245， BF ＝325.∴EF ＝BF －BE ＝125. 在Rt △CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255.23.如图，过C 点作AB 的垂线交AB 的延长线于点D ， ∵∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°，∴∠ACB ＝30°，∴∠CAB ＝∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝4米， 在Rt △CDB 中，BC ＝4米，∠CBD ＝60°，sin ∠CBD ＝CD BC， ∴sin 60°＝CD 4，∴CD ＝4sin 60°＝4×32＝23≈3.5(米)， 故该生命迹象所在位置的深度约为3.5米24. 解：(1)11.4 (2)过点D 作DH ⊥地面于H ，交水平线于点E ，在Rt △ADE 中，∵AD ＝20 m ，∠DAE ＝64°，EH ＝1.5 m ，∴DE ＝sin64°×AD≈20×0.9≈18(m)，即DH ＝DE ＋EH ＝18＋1.5＝19.5(m)，答：如果该吊车吊臂的最大长度AD 为20 m ，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m25．解：如图，过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x n mile. 在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°，∠PAC ＝90°－60°＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CP AP ＝33. ∴CP ＝33x n mile. 在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°，∴BP ＝AP ＝x n mile. ∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(n mile)，∴33x ＋x ＝15.解得x ＝15（3－3）2. ∴PB ＝15（3－3）2 n mile.∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(h)． 答：该渔船从B 处开始航行3－34h ，离观测点A 的距离最近．。
北师大版2020九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元综合基础达标训练题1(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元综合基础达标训练题1（附答案详解）1．汽车在沿坡比为1∶3的斜坡上前进150米，则汽车上升的高度为（ ） A ．150米 B ．1503 米 C ．753 D ．75米2．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ）A ．34B ．43C ．35D ．453．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，4tan 3A =，若AC =6cm ，则BC 的长度为 A ．8cm B ．7cm C ．6cm D ．5cm5．在△ABC 中，90C =∠，2B A ∠=∠，则cos A 等于（ ）A ．3B ．12C ．3D ．3 6．如图，已知在中，，，，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．7．将一副三角板按如图①的位置摆放,将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后,得到如图②，测得CG=6,则AC长是（）A．6+2B．9C．10D．6+68．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．9．三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（）A．B．C．D．10．某楼梯的侧面如图所示，已测得的长约为3.5米，约为，则该楼梯的高度可表示为（）A．米B．米C．米D．米11．如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=9，sin B=35，则AB的长为（）A．10 B．12 C．15 D．1813．矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在BC边上，△ADE是以AD为一腰的等腰三角形，则tan∠CDE=________．14．计算：2sin456tan302cos30︒+︒-︒=________________.15．在△ABC中，AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，则sin A＋sin B＝________．16．已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BC，BD =8，sin∠CBD=35，则AE=_____________．17．用计算器求sin 35°29'的值.(结果精确到0.001)18．反比例函数kyx=的图象经过点（tan45°，cos60°），则k＝______．19．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是_____．20．同角三角函数的基本关系为：sin2α+cos2α＝1，sincosαα＝tanα，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα＝2，1sin?cosαα＝_____．21．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，则cos A的值为________．22．已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB 的长是．23．若α是锐角且sinα=32，则α的度数是．24．计算：=____________．25．如图在数学活动课中，小敏为了测量小院内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆低端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，如旗杆与教学楼的水平距离CD为12m，则旗杆AB的高度是多少米？（参考值：3≈1.73，2≈1.41，结果精确到0.1米）26．小明拿两个大小不等直角三角板作拼图，如图①小三角板的斜边与大三角板直角边正好重合，已知： AD=1，∠B=∠ ACD=30°，（1）A B的长=__________；四边形ABCD的面积=___________（直接填空）；（2）如图②,若小明将小三角板ACD沿着射线AB方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点A沿AB方向所经过的线段长度）．当点D平移到线段大三角板ABC的边上时，直接写出相应的m的值．（3）如图③，小明将小三角板ACD绕点A逆时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ACD为△AC′D′，在旋转过程中，设C′D′所在的直线与直线BC交于点P，与直线AB交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接求出此时D’Q的长；若不存在，请说明理由．27．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）28．钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为14.4km（即MC=14.4km）．在A点测得岛屿的西端点M 在点A的北偏东42°方向；航行4km后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东56°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）29．计算：（）﹣1+4cos 60°﹣|﹣3|+﹣（﹣2017）0+（﹣1）2016．30．小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角∠1=75°．（1）求AD的长．（2）求树长AB．31．Rt△ABC与Rt△DEF的位置如图所示，其中AC=23，BC=6，DE=33，∠D=30°，其中，Rt△DEF沿射线CB以每秒1个单位长度的速度向右运动，射线DE、DF与射线AB 分别交于N、M两点，运动时间为t，当点E运动到与点B重合时停止运动．（1）当Rt△DEF在起始时，求∠AMF的度数；（2）设BC的中点的为P，当△PBM为等腰三角形时，求t的值；（3）若两个三角形重叠部分的面积为S，写出S与t的函数关系式和相应的自变量的取值范围．32．如图，△ABC是等边三角形，点A坐标为(-8，0)、点B坐标为(8，0)，点C在y 轴的正半轴上．一条动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线3y x交于点D，与线段BC交于点E．以DE为边向左侧作等边△DEF，EF与y轴的交点为G．当点D与点E重合时，直线l停止运动，设直线l的运动时间为t秒(t >0)．（1）填空：点C的坐标为_____，四边形ODEG的形状一定是_____；（2）请用t的代数式表示线段DE的长；（3）试探究：四边形ODEG能不能是菱形？若能，求出相应的t的值；若不能，请说明理由．（4）当t为何值时，点G恰好落在以DE为直径的⊙M上？并求出此时⊙M的半径．33．计算: .34．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔120海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求和的长（结果取整数）.参考数据：，取.35．某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区(如图)．在△ABP中，已知∠PAB＝30°，∠PBA＝45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速(精确到0.1秒)？(参考数据：?2≈1.41，?3≈1.73,60千米/时＝503米/秒)36．已知a=3,且(4tan 45°-b)2132b c+-判断以a,b,c为边组成的三角形的形状.参考答案1．D【解析】试题分析：根据坡比为1：3可直接求得坡角为30°．然后由延斜坡前进150米，可求车上升的高度=150×sin30°=75米．故答案为：D.2．B【解析】试题分析：连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC=BD CD=43故选B．考点：三角形的中位线定义、勾股定理的逆定理、三角函数3．A【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=BC=AD，∴△BEF∽△DAF，∴，∴EF=AF ，∴EF=AE ，∵点E 是边BC 的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE ， ∴EF=DE ，设EF=x ，则DE=3x ， ∴DF=x ， ∴tan ∠BDE=.故选A ． 考点：1.矩形的性质；2.解直角三角形. 4．A【解析】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°， ∴tanA=BC AC . 又∵tanA=43，AC=6cm ， ∴BC=6438⨯÷=（cm ）.故选A.5．A【解析】试题解析：90,2.B A B A ∠+∠=∠=∠ 30.A ∴∠=3cos A 故选A.6．A【解析】试题分析：根据根据余弦的意义cosB=，可得conB==. 故选：A考点：余弦7．A【解析】过G点作GH⊥AC于H，如图所示：则∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=6，在Rt△GCH中，GH=CH=CG=6，在Rt△AGH中，AH=GH=2，∴AC=CH+AH=6+2，故选A．8．B【解析】由勾股定理得2222+=+=,435AB AC BC3sin 5BC A AB ∴== . 故选B.9．B【解析】∵在直角三角形中，正切值等于对边比邻边， ∴故选A.10．A【解析】试题分析：在Rt △ABC 中，∵sin ∠ACB=，∴AB=BCsin ∠ACB=3.5sin29°， 故选A ．考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．11．B【解析】试题解析：连接BD ．∵AB 是直径，∴∠ADB=90°．∵OC ∥AD ，∴∠A=∠BOC ，∴cos ∠A=cos ∠BOC ．∵BC 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BC ，∴cos ∠BOC=，∴cos ∠A=cos ∠BOC=．又∵cos∠A=，AB=4，∴AD=．故选B．考点：解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．12．B【解析】解：∵sin B=35=ACBC=9BC，∴BC=15，∴AB=22BC AC=12．故选B．13．或．【解析】试题分析：在矩形ABCD中，AB=CD=3，BC=AD=5，∠C=∠B=90°，①当DE=DA=5时，如图1所示：∴CE==4，∴tan∠CDE==；②当AE=AD=5时，BE==4，∴CE=BC﹣BE=1，∴tan∠CDE==；故答案为或．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．1431【解析】试题解析：原式233 262+-31．15．7 5【解析】试题分析：由AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，可先证△ABC是直角三角形，再在直角三角形中求得sinA和sinB，便可求解.解：由AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，设AC=3x，BC=4x，AB=5x，则AC2+BC2=25x2=AB2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°，则sin A=BCAB=45，sin B=ACAB=35，则sin A＋sin B＝45+35=75.故答案为7 5 .16．245cm【解析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴CO=AC=3cm ，BO=BD=4cm ，AO⊥BO，∴BC==5cm ， ∴S 菱形ABCD ==×6×8=24cm 2，∵S 菱形ABCD =BC×AE，∴BC×AE=24， ∴AE==cm ． 故答案为cm ．“点睛”此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．17．sin 35°29'≈0.580.【解析】用科学计算器计算即可.18．12【解析】试题分析：点在函数图像上，把点带入函数，就可以求出k 值. y=k x 的图象经过点（tan45°,cos60°），所以co s60°=45k tan ， k=1219．32015． 【解析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．解：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°=12， 则B 2C 2=220cos30B E =（33）1，同理可得：B 3C 3=13=（3）2， 故正方形A n B n C n D n 的边长是：（33）n ﹣1， 则正方形A 2016B 2016C 2016D 2016的边长为：（33）2015， 故答案为：（3）2015． “点睛”此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．20．52【解析】由tan 2a =，sin tan cos a a a =可得sin 2cos αα= ，再由()()22sin 1a cosa +=，可得()()222cos 1a cosa +=，即5()21cosa =，所以1sina cos a =⋅25(cos )52cos cos 2ααα=⋅. 点睛：本题属于阅读理解题，根据题目中所给的规律（或运算方法）是解决这类题目的关键. 21．35【解析】∵AB ²=AC ²+BC ²，∴∠ACB =90°（勾股定理逆定理），∴cos A =AC AB =610=35. 22．8．【解析】试题分析：利用锐角三角函数定义求出所求即可，∵在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，BC=6， ∴sinA=，即=， 解得：AB=8．考点：解直角三角形．23．60°【解析】试题分析：由α是锐角且sinα=3，可得∠α=60°．考点：特殊角的三角函数值24．【解析】∵，∴故答案为.25．旗杆的高AB为18.9米．【解析】试题分析：根据正切的概念分别求出AD、BD的长，计算即可．试题解析：Rt△ACD中，CD=12，∠ACD=30°，AD=CD×tan30°=43Rt△DCB中，CD=12，∠BCD=45°，BD=CD×tan45°=12，∴AB=AD+BD=3米，答：旗杆的高AB为18.9米．26．（1）AB=453；（2）1或3；（3）3333【解析】试题分析：（1）根据30度的直角三角形的性质，求出AC、CD、AB、BC即可解决问题；（2）如图2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．求出DF、DE即可解决问题；（3）分三种情形求解①如图3中，当BP=BQ时，②如图4中，当BQ=PQ时，③如图5中，当BP=BQ时，分别求解即可；试题解析：（1）如图1中，在Rt△ACD中，∵AD=1，∠ACD=30°，∴AC=2CD=2，CD=3AD=3，在Rt△ACB中，∵∠B=30°，AC=2，∴AB=2AC=4，BC=3AC=23，∴四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC=12×1×3+12×2×23=532．（2）如图2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．∴∠DFA=∠BAC=60°=∠DAF，∴△ADF是等边三角形，∴AF=AD=DF=CF=1，∵FE∥AB，∴CE=EB，∴EF=12AB=2，∴当点D平移到线段大三角板ABC的边上时，相应的m的值为1或3．（3）①如图3中，当BP=BQ时，在AD′上取一点E使得AE=EQ．∵∠PBQ=30°，∴∠AQD′=75°，∵∠AD′Q=90°，∴∠EAQ=∠EQA=15°∴∠QED′=30°，设D′Q=x，则AE=EQ=2x，ED′=3x，∴2x+3x=1，∴x=2-3，∴D′Q=2-3．②如图4中，当BQ=PQ时，易知∠AQD′=60°，D′Q=AD•tan30°=33．③如图5中，当BP=BQ时，易知∠AQC′=∠C′AQ=15°，∴AC′=C′Q，∴D′Q=D′C+C′Q′=3+2．综上所述，当△PBQ是等腰三角形时，D′Q的值为333+2．【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、30度的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．27．63米．【解析】试题分析：作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AH tan∠CAH=tan55°•x知CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．试题解析：解：如图，作BE⊥DH于点E，则GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，在Rt△ACH中，CH=AH tan∠CAH=tan55°•x，∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+ DC，即43+x=tan55°•x﹣10+35，解得：x≈45，∴CH=tan55°•x=1.4×45=63．答：塔杆CH的高为63米．点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．28．3.4km【解析】试题分析：在Rt△ACM和在Rt△BCN中，利用正切函数解答．试题解析：解：在Rt△ACM中，tan∠CAM=tan42°=CMAC=1，∴AC≈16km，∴BC=AC﹣AB=16﹣4=12km，在Rt△BCN中，tan∠CBN=tan56°=CNBC，∴CN≈17.76km，∴MN≈3.4km．答：钓鱼岛东西两端MN之间的距离约为3.4km．29．4.【解析】根据实数混合运算法则运算.注意到， ， ， ，.解：原式=2+2-3+3-1+1=4.30．（1）5652+；（2）102．【解析】 试题分析：（1）过点A 作AE⊥CB 于点E ，设AE=x ，分别表示出CE 、DE ，再由CD=10，可得方程，解出x 的值，在Rt△ADE 中可求出AD ；（2）过点B 作BF⊥AC 于点F ，设BF=y ，分别表示出CF 、AF ，解出y 的值后，在Rt△ABF 中可求出AB 的长度．试题解析：（1）如图，过A 作AH ⊥CB 于H ，设AH =x ，CH =3x ，DH =x ．∵CH ―DH =CD 3―x =10，∴x =)531． ∵∠ADH =45°，∴AD 2x =5652．（2）如图，过B 作BM ⊥AD 于M ．∵∠1=75°，∠ADB =45°，∴∠DAB =30°．设MB =m ，∴AB =2m ，AM 3，DM =m ．∵AD =AM ＋DM ，∴56523＋m ．∴m =2AB =2m =10231．(1) ∠AMF =150°；(2) t 的值为0，332，3;(3)S=22331533)32363(366t t t t ）+<≤-+<≤． 【解析】试题分析：（1）根据题意可以求得∠B的度数，∠DFC的度数，从而可以求得∠AME的度数；（2）根据题意可以分两种情况，一种是DM与线段AB相交，一种是DF与AB的延长线相交，分别针对两种情况再讨论，画出相应的图形，求出相应的t的值；（3）根据题意可以分两种情况，一种是DM与线段AB相交，一种是DF与AB的延长线相交，然后根据题意可以分别求出两种情况下S与t的函数关系式．试题解析：（1）在Rt△ABC中，tan∠B=233== ACBC∴∠B=30°，在Rt△DEF中，∠D=30°，∴∠DFC=60°，∴∠FMB=∠DFC﹣∠B=30°，∴∠AMF=180°﹣∠FMB=150°；（2）∵BC=6，点P为线段BC的中点，∴BP=3，（ⅰ）若点M在线段AB上，①当PB=PM时，PB=PM=3，∵DE=33，∠D=30°，∴EF=DE•tan30°=3，∴此时t=0；②如图（1）所示当BP=BM时，BP=BM=3，∵∠B=30°，∠DFE=60°，∴∠FMB=30°，∴△BMF为等腰三角形．过点F作FH⊥MB于H，则BH=12BM=32，在Rt△BHF中，∠B=30°，∴BF=3，∴t=3﹣3；③如图（2）所示，当MP=MB时，∠MPB=∠B=30∵∠MFP=60°，∴PM⊥MF，∠BMF=30°∴FB=FM，设FB=x，则FM=x，PF=2x．∴3x=3，x=1∴t=2；（ⅱ）若点M在射线AB上，如图（3）所示，∵∠PBM=150°∴当△PBM为等腰三角形时，有BP=BM=3∵△BFM为等腰三角形，∴过点F作FH⊥BM于H，则BH=12BM=32，在Rt△BHF中，∠FBH=30°∴BF=3，∴t=3+3，综上所述，t的值为0，3﹣3，2，3+3．（3）当0＜t≤3时，BE=6﹣t，NE=3（6﹣t），∴SΔBEN=12×(6-t)×3（6﹣t）=3（6﹣t）2过点F作FH⊥MB于H，如图（1）所示，∵FB=3﹣t∴HF=12（3﹣t），HB33﹣t），MB33﹣t），∴SΔBMF=12×3（3﹣t）×12（3﹣t）=34（3﹣t）2，∴S=S△BEN﹣S△BMF=36（6﹣t）233﹣t）2=233153--+1224t当3＜t≤6时，BE=6﹣t，NE 36﹣t），如图（4）所示，∴S =S ΔBEN =2133(6-6-t)t -23+63236t t ⨯=）（ 由上可得，当0＜t ≤3时，S =233153--+1224t t ， 当3＜t ≤6时，S=23t -23+63t ． 【点睛】本题考查三角形综合题，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想、特殊角的三角函数值、分类讨论的数学思想解答本题． 32．（1） (0，83)，平行四边形；（2）DE =；（3）能，t =4； （4）t =3，r =23 【解析】试题分析：（1）设l 与x 轴交于点P ，由△ABC 是等边三角形，点A 坐标为（-8，0）、点B 坐标为（8，0），易求得OC 的长，即可求得点C 的坐标，由直线l 与直线3交于点D 且△DEF 是等边三角形，可证得GE∥OD，又由l∥y 轴，可得四边形ODEG 是平行四边形；（2）用待定系数法求得直线BC 的解析式，则可求得点D 与E 的坐标，即可求得DE 的长；（3）当OD=DE 时，四边形ODEG 23343 ,解此方程即可求得答案；（4）连接DG ，当∠DGE=90°时，点G 恰好落在以DE 为直径的⊙M 上，可得点G 是EF 的中点，易得当OD=12DE 时，点G 恰好落在以DE 为直径的⊙M 上，即可得方程33t=12 （3 -33）解此方程即可求得答案．试题解析：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠COB=60°，∵∠BOC=90°，∴tan∠OBC=OC OB =3 ，∵OB=8，∴OC=83 ，∴C（0，83 ）； 由题意可得M （t,0）,∴D（t,3 t ）,∵tan∠ODM=OP =3DP 3t = ，∴∠ODM=60°，∵∠DEF=60°，∴EF//OD，∵l//y 轴，∴四边形ODEG 是平行四边形；（2）∵B（8，0），C （0，83 ），∴y BC =-383x + ,∴E（t, -383t +），D （t,3 t ），∴EP=-383t +，DP=3 t ，∴DE=83 -43t ； （3）当OD=DE 时，四边形ODEG 是菱形，由（1）可得OD=23t ，∴23t =8433-t ，解得t=4；（4）连接DG ，当∠DGE=90°时，点G 恰好落在以DE 为直径的⊙M 上，∴点G 是EF 的中点，∴EG=12 DE ，又∵EG=OD，∴OD=12 DE ，即233 t=12 （83 -433t ），解得t=3,∴DE=43 ，∴半径r=23.点睛：本题主要考查等边三角形、三角函数、一次函数、平行四边形、菱形、一元一次方程等知识，能正确地根据题意确定出DE 长、OD 与DE 的关系是解决问题的关键.33．【解析】试题分析：原式利用特殊角的三角函数值及算术平方根定义计算即可得到结果． 试题解析：原式=2×-3+3=．【点睛】此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．34．BP=153；BA=161.【解析】试题分析：如图，过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，由题意可知，∠A=64°，∠B=45°，PA=120,在Rt △APC 中，求得PC 、AC 的长；在Rt △BPC 中，求得BP 、BC 的长，即可得BA 的长. 试题解析：如图，过点P 作PCAB ，垂足为C ，由题意可知，∠A=64°，∠B=45°，PA=120,在Rt △APC 中，sin ∠A=，∴PC=PA·sin ∠A=120×sin64°，AC=PA×cos ∠A=120×cos64°，在Rt △BPC 中，sin ∠B=， ∴BP= BC=∴BA=BC+AC=120×sin64°+120×cos64°≈120×0.90+120×0.44≈161．答：BP 的长约有153海里，BA 的长约有161海里．35．这辆车通过AB 段超速．【解析】试题分析：作PC ⊥AB 于点C ，根据三角函数即可求得AC 与BC 的长，则AB 即可求得，用AB 的长除以速度即可求解．试题解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C ．在Rt △APC 中，tan ∠PAC=PC AC ， ∴AC=50386.5tan PC PAC=≈∠（米），同理，BC===50tan PC PC PAB∠（米）， ∴AB=AC+BC≈136.5（米），60千米/时=503米/秒， 则136.5÷503≈8.2＞8.1． 故这辆车通过AB 段超速．36．以a,b,c 为边组成的三角形是直角三角形.【解析】试题分析：先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出,b c 的值，再根据三角形的三边关系判断出其形状.试题解析：()24tan?450,b ︒-+= 14tan?450,30,2b bc ∴︒-=+-= 4, 5.b c ∴==又22291625,a b c +=+==∴以,,a b c 为边组成的三角形是直角三角形.点睛：在三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那个这个三角形是直角三角形.。
北师大版2020九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元过关能力测试题2(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元过关能力测试题2（附答案详解）1．如图，△ABC 为直角三角形，30,90,1B A AC ︒︒∠=∠==，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60︒至△11CB A ，再将△11CB A 沿边1B C 翻折至△12CB A ，则△ABC 与△12CB A 重叠部分的面积为（ ）A ．312B ．36C ．33D ．322．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则cos BAC ∠的值为（ ）A ．12B ．1C ．22D ．323．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是（ ）A ．sin A ＝32B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32D ．tan B ＝3 4．如图，,,A B C 是正方形网格上的三个点，则ABC ∠的正弦值是（ ）A ．1B 5C 5D ．105．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是（ ）A ．sin A ＝32B ．tan A ＝12C ．cos B ＝12D ．cos B ＝3 6．如图所示，小明所住高楼AB 高为100米，楼旁有一座坡比为3:1的山坡CE ，小明想知道山坡的高度，于是小明来到楼顶B 俯视坡底C ，测得俯角为45°，仰视坡项E ，测得仰角为27°，请根据小明提供的信息，帮小明求出斜坡CE 的高度ED 的值．（结果均精确到0.1米．参考数据：sin27°≈0.45，cos37°≈0.89，tan27°≈0.51）（ ）A ．151.1米B ．168.7米C ．171.6米D ．181.9米 7．在Rt △ABC 中，90C =∠，如果∠A=α，AB m =，那么线段AC 的长可表示为（ ）．A ．sin m α⋅；B ．cos m α⋅；C ．tan m α⋅；D ．cot m α⋅． 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（3，12）B ．（-3，12）C ．（-3，-12）D ．（-12，-32） 9．如图所示，老张利用国庆假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB ＝6m ，微风吹来时，假设铅锤P 不动，鱼漂移动了一段距离BC ，且项場恰好与水面平齐（即P APC ，水平线1与OC 夹角a ＝8°（点A 在OC 上，则铅锤P 处的水深h 为（ ）（参考数据：sin8°＝210，cos8°＝7210，tan8°＝17）A ．150cmB ．144cmC ．111cmD ．105cm10．如图，在四边形ABCD 中，60,120,B D BC CD a ∠=︒∠=︒==，则AB AD -=（ ）A ．2aB ．32aC ．3aD ．a11．在△ABC 中，若AB ＝5，BC ＝13，AD 是BC 边上的高，AD ＝4，则tanC ＝_____． 12．如图M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝45°，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ，连接FG ，若AB ＝42，AF ＝3，则BG ＝_____，FG ＝_____．13．计算tan60°﹣sin60°+cos 245°＝_____．14．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C 在轮船A 的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C 在轮船B 的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为__海里（精确到1海里，参考数据2≈1.414，3≈1.732）．15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D 处，无人机测得操控者A 的俯角为30，测得点C 处的俯角为45．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC 距离为57米，则教学楼BC 的高度为______________________．(点,,,A B C D 都在同一平面上，结果保留根号)16．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ，使点B 的对应点B '始终落在边AC 上，若MB C '∆为直角三角形，则BM 的长为__________17．计算：22tan 602cos 452sin 60cos 60︒+︒=︒-︒_________． 18．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①ABE △≌DCF ；②3FP PH =；③2DP PH PB =⋅；④312HPD ABCDS S -=正方形△，其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）19．如图，无人机A 的高度为270 m ，从A 处看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看底部C 的俯角为60°，则这栋大楼的高度为______m ．20．如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为___________________21．计算：2011()2sin 45( 3.14)832π--︒+-+． 22．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动，如图，在一个坡度(坡比1:2.4i =)的山坡AB 上发现一棵古树CD ，测得古树低端C 到山脚点A 的距离26AC =米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角48AED ∠=(古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面内，古树CD 与直线AE 垂直)，求古树CD 的高度约为多少米？ (结果保留一位小数，参考数据480.74,sin ≈cos 480.67,tan 48 1.11≈︒≈)23．如图，已知60AOB ∠=︒，在AOB ∠的角平分线OM 上有一点C ，将一个120︒角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与射线,OA OB 相交于点,D E .（1）如图1，当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时，请猜想+OD OE 与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当DCE ∠绕点C 旋转到点D 位于OA 的反向延长线上时，求线段,OD OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.24．已知平行四边形ABCD 中，N 是边BC 上一点，延长DN 、AB 交于点Q ，过A 作AM ⊥DN 于点M ，连接AN ，则AD ⊥AN ．（1）如图①，若tan ∠ADM ＝34，MN ＝3，求BC 的长； （2）如图②，过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ，若AM ＝CN ，求证：DM ＝BH +NH ．25．计算：2tan 60tan 452sin 606tan 301tan 60tan 45︒︒︒︒︒︒-+++ 26．计算：（﹣13）﹣1+（201630﹣4sin6012| 27．（1）计算：2200820111360(2)( 3.14)2π-︒⎛⎫--+--+- ⎪⎝⎭ （2）先化简，再求值：2244311-+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭x x x x x x ，在下列数﹣2，﹣1，0，1中，选你喜欢的一个数代入求值．28．计算：31|+（2019﹣π）0﹣（14）﹣1﹣3tan30° 29．（1）（探索发现）如图1，在正方形ABCD 中，点M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，∠MAN ＝45°，若将△DAN绕点A 顺时针旋转90°到△BAG 位置，可得△MAN ≌△MAG ，若△MCN 的周长为8，则正方形ABCD 的边长为 ．（2）（类比延伸）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B +∠D ＝180°，点M ，N 分别在边BC ，CD 上的点，∠MAN ＝60°，请判断线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系，并说明理由．（3）（拓展应用）如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠ADC ＝120°，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，连接AM ，MN ，AN ，△ABM 是等边三角形，AM ⊥AD 于点A ，∠DAN ＝15°，请直接写出△CMN 的周长．30．计算：(4sin 4522510︒-参考答案 1．C 【解析】 【分析】 设AB 交A 2B 1于点D,先求出2A B ,再根据223tan A D A B B =⋅=，由此得到重叠面积2113331122ABC A BD S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=. 【详解】由题意得： 1121ABC A B C A B C ≌≌,∴211A C A C AC ===,∠21CA B =90︒,∵30,90,1B A AC ︒︒∠=∠==，∴BC=2，AB= 3, ∴2211A B =-=,设AB 交A 2B 1于点D ，在Rt △A 2BD 中， 230,90,B BA D ︒︒∠=∠=∴223tan A D A B B =⋅=, ∴△ABC 与△12CB A 重叠部分的面积211333112233ABC A BDS SS =-=⨯⨯-⨯⨯=, 故选：C.【点睛】 此题考查旋转的性质、轴对称的性质求得2A B 的长，再利用三角函数解直角三角形，求得A 2D 的长，由此利用面积相减法求出重合图形的面积.2．C【解析】【分析】连接BC ，AB=5，BC=5，AC=10，得到△ABC 是直角三角形，从而求解.【详解】解：连接BC ，由勾股定理可得：5510，∵222AB BC AC +=∴△ABC 是直角三角形，∴52cos 10AB BAC AC ∠=== 故选：C ．【点睛】本题考查直角三角形，勾股定理；熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键．3．D【解析】【分析】根据三角函数的定义求解．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2．∴AC 2222213AB BC --=∴sinA＝12BCAB=，tanA＝33BCAC==，cosB＝12BCAB=，tanB＝3ACBC=．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．4．C【解析】【分析】设点A所在的竖直的网格线与BC的交点为D，由图可知，∠ABC在Rt△ABD中，根据正弦的定义求值即可．【详解】解：设点A所在的竖直的网格线与BC的交点为D由图易知：∠ADB=90°,AD=1,BD=2在Rt△ABD中，根据勾股定理可得225AD BD+=sin∠ABC=555ADAB==故选C．【点睛】此题考查的是求一个角的正切值，找出这个角所在的直角三角形和掌握勾股定理、正弦的定义是解决此题的关键．5．C【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再根据正弦、余弦、正切的定义逐项判断即可．【详解】90,1,2ACB BC AB∠=︒==2222213 AC AB BC∴=-=-=A、1sin2BCAAB==，此项错误B、3tan33BCAAC===，此项错误C、1cos2BCBAB==，此项正确D、1cos2BCBAB==，此项错误故选：C．【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，熟记各定义是解题关键．6．D【解析】【分析】作BH⊥ED于H，设EH＝x米，根据直角三角形的性质用x表示出AC，根据坡度的概念用x表示出CD，根据正切的定义列式计算即可．【详解】作BH⊥ED于H，则四边形BADH为矩形，∴DH＝AB＝100，BH＝AD，设EH＝x米，则ED＝（x+100）米，∵∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝100，∵山坡CE的坡比为3：1，∴CD＝1003x+，∴BH＝AD＝100+1003x+，在Rt△BHE中，tan∠EBH＝EHBH，即1001003xx++≈0.51，解得，x≈81.93，则ED＝x+100＝181．93≈181.9，故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．【详解】解：由题意，得cos ACAAB=，·cos?cosAC AB A mα==，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键．8．A【解析】【分析】先利用特殊三角函数值，求出sin60°、cos60°的值，再利用坐标系中，任一点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即可求．【详解】∵sin60°cos60°=12，∴（-sin60°，cos60°）=（-2，12），关于y 12）．故选：A．【点睛】本题考查的是特殊三角函数值、关于x轴、y轴的对称点的知识．正确把握横纵坐标关系是解题关键．9．B【解析】【分析】在Rt△ABC中，已知∠ACB=α=8°，AB=6，根据三角函数就可以求出BC的长；在直角△ABC 中，根据已知条件，利用勾股定理就可以求出水深h．【详解】解：∵l∥BC，∴∠ACB＝α＝8°，在Rt△ABC中，∵tanα＝AB BC，∴BC＝6tan tan8ABα︒=＝42（cm），根据题意，得h2+422＝（h+6）2，∴h＝144（cm）．故选：B．【点睛】本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．10．D【解析】【分析】连接AC ，作CF ⊥AB 于F ，CE ⊥AD 交AD 的延长线于E ．证明△CED ≌△CFB ，Rt △ACE ≌Rt △ACF ，利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，连接AC ，作CF ⊥AB 于F ，CE ⊥AD 交AD 的延长线于E ．∵∠B=60°，∠ADC=120°，∴∠DAB+∠DCB=180°，∵∠E+∠CFA=180°，∴∠EAF+∠ECF=180°，∴∠ECF=∠DCB ，∴∠DCE=∠BCF ，∵∠E=∠CFB=90°，CD=CB ，在△CED 和△CFB 中，DCE BCF E CFB CD CB ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△CED ≌△CFB （AAS ），∴CE=CF ，DE=BF=BC•cos60°=12a ， ∵AC=AC ，CE=CF ，在Rt △ACE 和Rt △ACF 中， AC AC CE CF==⎧⎨⎩， ∴Rt △ACE ≌Rt △ACF （HL ），∴AE=AF ，∴AB-AD=AF+BF-（AE-DE ）=2DE=a ，故选：D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．11．25或14【解析】【分析】先根据勾股定理求出BD的长，再分高AD在△ABC内部和外部两种情况画出图形求出CD 的长，然后利用正切的定义求解即可.【详解】解：在直角△ ABD中，由勾股定理得：BD＝2254-＝3，若高AD在△ABC内部，如图1，则CD＝BC﹣BD＝10，∴tan C＝42105 ADCD==；若高AD在△ABC外部，如图2，则CD＝BC+BD＝16，∴tan C＝41164 ADCD==．故答案为：25或14.【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，属于常见题型，正确画出图形、全面分类、熟练掌握基本知识是解答的关键.12．8353【解析】【分析】由于∠DME=∠A=∠B=45︒，利用外角定理证得∠AFM=∠BMG，即可推出AMF∽△BGM，再根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．【详解】∵∠DME=∠A=∠B=45°∴AC=BC，∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵M为AB的中点，∴AM=BM=，∵∠AFM=∠DME+∠E(外角定理)，∠DME=∠A=∠B(已知)，∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM，∴AF BM AM BG=，∴BG=AM BMAF⋅=833=，AC=BC=cos45°=4，∴CG=4﹣83=43，CF=4﹣3=1，在Rt△FCG中，由勾股定理得：FG=53．故答案为：83，53．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG、FG的长度．13．31 +【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：原式＝3﹣312 +＝31 +．故答案为：31 +．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．14．38．【解析】【分析】作CD⊥AB于点D，再求得AB、∠ACD、∠BCD的值，然后根据锐角三角函数求出CD 的长即可解答．【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，在Rt△ACD中，CD＝AD，在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，∴tan30°＝BD CD ， 即33＝60CD CD -， 解得CD ≈38（海里）．答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．故答案为38．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．15．()30327-米【解析】【分析】作DE AB ⊥于点E ，作CF DE ⊥于点F ，由3tan 30=3DE AE ︒=得303AE =米，由AB=57知()57303BE =-米，由四边形BCEF 是矩形知()57303CF BE ==-米，由45CDF DCF ∠=∠=︒知()57303CF DF ==-米，从而得到()()305730330327BC EF ==--=- 米．【详解】过点D 作DE AB ⊥于点E ，作CF DE ⊥于点F ，由题可得：AB=57，DE=30，30A ∠=︒，45DCF ∠=︒，在Rt △ADE 中，90AED ∠=︒，∴tan 30=3DE AE ︒=∴AE =，∵AB=50，∴(57BE =-，∵四边形BCEF 是矩形，∴57CF BE ==-在Rt △DCF 中，=90DFC ∠︒，∴45CDF DCF ∠=∠=︒，∴57CF DF ==-∴(()305727BC EF ==--=-米．故答案为()27米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，根据题意构造直角三角形是解题的关键．16．157或158【解析】【分析】先依据勾股定理求得BC 的长，有90MB C ∠'=︒和90B MC ∠'=︒种情况，然后再利用锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知：BM B M ='．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，∴依据勾股定理可得到：5BC =．设BM B M x ='=，则5MC x =-．当90B MC ∠'=︒时，34MB MC '=，即354x x =-，解得：157x ．当90MB C ∠'=︒时，35MB MC '=，即355x x =-，解得：158x =． 综上所述，MN 的长为157或158． 故答案为：157或158． 【点睛】 本题主要考查的是翻折变换，锐角三角函数的定义，依据锐角三角函数的定义列出关于x 的方程是解题的关键．17．3+【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】解：原式=2223233112222+==-⨯-⎝⎭.故答案是3【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．①②③．【解析】【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF ，∠A=∠ADC ，AB=CD ，证得ABE DCF △≌△；②先得出DFP BPH ∽△△，再根据CD=BP得出tan 3DF DF DCF PB CD ===∠，进而根据相似三角形的性质即得．③先证明DPH CDP ∽，进而得出2DP PH CD =，再根据PB=CD 等量代换即得；④设正方形ABCD 的边长是3，进而根据BED ABD ABE S S S =-求出BED S ，再根据BPD BED BP S S BE =求出BPD S ，进而根据面积法求出BD 边上的高PM ，最后根据sin 30PM HD PD ==︒求出HD ，进而求出HPD S △即得． 【详解】 解：①∵BPC △是等边三角形∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°∵四边形ABCD 为正方形∴AB=BC=CD ，∠A=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30° 在ABE △与CDF 中A ADC AB CDABE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴() ABE DCF ASA ≌故①正确；②∵BP=PC=BC ，AB=BC=CD∴PC=CD=BP∵∠PCD=30°∴∠PDC=75°∴∠FDP=15°∵∠DBA=45°且由①得∠ABE=∠PCD=30°∴∠PBD=15°∴∠FDP=∠PBD∵∠DFP=∠FCB=∠BPC=60°∴DFP BPH ∽△△∴tan 3FP DF DF DCF PH PB CD ====∠ 故②正确；③∵∠FDP=15°∴∠PDH=30°∴∠PDH=∠PCD∵∠DPH=∠DPC ∴DPH CDP ∽∴DP PH CD DP= ∴2DP PH CD =∵PB=CD∴2DP PH PB = 故③正确；④过P 作PM BD ⊥设正方形ABCD 的边长是3，则32BD =∵BPC △为正三角形∴∠PBC=60°，PB=BC=AD=3∴∠EBA=30°∴AE=ABtan30°=33=33⨯ 3cos303AB BE ===︒ ∴EP=BE-BP=23311933333322BED ABD ABE S S S -=-=⨯⨯-⨯= 9339392423BPD BED BP S S BE -===∵12BPD S BD PM =∴12PM ⨯=∴PM =∴sin 302PM HD PD ===︒∴11824HPD S HD PM -== ∴HPDABCD S S =正方形 故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，解题的关键是根据边长之比得到面积之比进而求出三角形的面积，并应用等积变换求三角形的高．19．180【解析】【分析】过点A 作AD ⊥BC ，交CB 延长线于点D ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC ，交CB 延长线于点D ，由题意可知：∠DAB=30°，∠DAC=60°，∴∠ACB=∠BAC=30°，∴AB=CB，设BD=x，∴AB=2x，∴CB=AB=2x，∴CD=BC+DB=3x，由题意可知：CD=270，∴3x=270，∴x=90，∴BC=2x=180，故答案为：180；【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30 度角的直角三角形的性质，本题属于基础题型．2043【解析】【分析】根据余弦的定义计算，得到答案．【详解】在Rt△ABC中，cosA＝AC AB，∴AB ＝cos30AC =︒，故答案为：3m ． 【点睛】本题考查了三角函数的问题，掌握三角函数的定义以及应用是解题的关键．21．10【解析】【分析】根据负整数指数幂、特殊角的函数值、零指数幂、化简二次根式计算即可．【详解】解：原式19212=-+⨯91=-++=10．【点睛】本题考查负整数指数幂、特殊角的函数值、零指数幂、化简二次根式计算，考查学生的运算能力，解题的关键熟练掌握上述知识点．22．23.3米【解析】【分析】延长DC 交EA 的延长线于点F ，则CF ⊥EF ，设CF ＝k ，由i ＝1:2.4，则AF ＝2.4k ，在Rt △ACF 中，根据勾股定理得到列方程求k 值，从而求得CF 的长，然后在Rt △DEF 中，利用tanE ＝DF EF解直角三角形求得DF 的长，从而使问题得解． 【详解】解：延长DC 交直线EA 于点F ，则DF EF ，∴设CF ＝k ，由i ＝1:2.4，则AF ＝2.4k ，在Rt △ACF 中，由勾股定理得，222CF AF AC +=∴2222.426k k +=，解得：k ＝10，∴CF ＝10，AF ＝24，∴EF ＝AF ＋AE ＝30．在Rt △DEF 中，tanE ＝DF EF∴tan 483030 1.1133.3DF tan EF E ︒≈⨯===⨯33.31023.3CD DF CF ∴=-≈-=故古树CD 的高度约为23.3米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（1）3OD OE OC +=，见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）3OE OD OC -=【解析】【分析】（1）先判断出∠OCE ＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD ，同OE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF ＋OG ，再判断出△CFD ≌△CGE ，得出DF ＝EG ，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【详解】解：（1）OM 是AOB ∠的角平分线1302AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒ ,90,60CD OA ODC OCD ⊥∴∠=︒∴∠=︒60OCE DCE OCD ∴∠=∠-∠=︒在Rt OCD ∆中，cos302OD OC =⋅︒=，同理：OE =OD OE ∴+=（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C 作CF OA ⊥于F ，CG OB ⊥于G90OFC OGC ∴∠=∠=︒60AOB ∠=︒120FCG ∴∠=︒由（1）知，,22OF OG OC ==OF OG ∴+=,CF OA CG OB ⊥⊥，且点C 是AOB ∠的平分线OM 上一点CF CG ∴=120,120DCF FCG ∠=︒∠=︒,DCF ECG CFD CGE ∴∠=∠∴∆≅∆DF EG ∴=,OF OD DF OD EG OG OE EG ∴=+=+=-OF OG OD EG OE EG OD OE ∴+=++-=+OD OE ∴+=（3）结论为：OE OD -=.理由：过点C 作CF ⊥OA 于F ，CG ⊥OB 于G ，∴∠OFC ＝∠OGC ＝90°，∵∠AOB ＝60°，∴∠FCG ＝120°，同（1）的方法得，OF ，OG ，∴OF ＋OG OC ，∵CF ⊥OA ，CG ⊥OB ，且点C 是∠AOB 的平分线OM 上一点，∴CF ＝CG ，∵∠DCE ＝120°，∠FCG ＝120°，∴∠DCF ＝∠ECG ，∴△CFD ≌△CGE ，∴DF ＝EG ，∴OF ＝DF−OD ＝EG−OD ，OG ＝OE−EG ，∴OF ＋OG ＝EG−OD ＋OE−EG ＝OE−OD ，∴OE−OD ．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．24．（1）BC ＝203；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）如图①中，设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，由△ADM∽△NDA，可得AD2＝DM•AN，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．证明△ADK≌△CBH（SAS），推出AK＝CH，再证明Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），推出MK＝HN即可解决问题．【详解】（1）解：如图①中，∵AM⊥DN，∴∠AMD＝90°，∵tan∠ADM＝AIIDN＝34，∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，∵AD⊥AN，∴∠DAN＝90°＝∠AMD，∵∠ADM＝∠ADN，∴△ADM∽△NDA，∴AD2＝DM•AN，∴（5k）2＝4k（4k+3），解得k＝43，∴AD＝203，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝203．（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADK＝∠BNQ，∵BH∥DQ，∴∠CBH＝∠BNQ，∴∠ADK＝∠CBH，∵DK＝BH，DA＝BC，∴△ADK≌△CBH（SAS），∴AK＝CH，∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，∴AN⊥BC，∴∠AMK＝∠CNH＝90°，∵AM＝CN，∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），∴MK＝NH，∴DM＝DK+MK＝BH+HN．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握解直角三角形、相似三角形的性质以及判定定理、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．25．4【解析】【分析】先将特殊的三角函数值代入，然后进行实数的混合运算即可．【详解】解：原式22623⎛=+⨯+⨯⎝⎭)211623=⨯4=故答案是：4【点睛】本题考查实数的综合运算能力.是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式的运算．26．-2【解析】【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【详解】解：原式＝﹣3+1﹣2，故答案为：-2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值的计算，零指数幂、负整指数幂以及绝对值的性质，掌握实数的混合运算是解题的关键．27．（1）6；（2）222-+xx x，13【解析】【分析】（1）根据实数的性质进行化简即可求解；（2）根据分式的运算法则进行化简，再代入让分式有意义的值即可求解．【详解】解：（1）原式＝﹣1﹣|1|+2×4+1，＝﹣1﹣|1﹣3|+8+1，＝﹣1﹣2+8+1，＝6；（2）2244311-+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭x x x x x x ＝2(2)(1)x x x -+÷（31x +﹣11x -）， ＝2(2)(1)x x x -+÷（31x +﹣211x x -+）， ＝2(2)(1)x x x -+÷241x x -+， ＝2(2)(1)x x x -+·1(2)(2)x x x +-+， ＝2(2)x x x -+， ＝222-+x x x ， ∵x （x +1）≠0，4﹣x 2≠0，∴x ≠0，x ≠﹣1，x ≠±2，当x ＝1时，原式＝2121-+＝13． 【点睛】此题主要考查实数与分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．28．-4【解析】【分析】根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值可以解答本题【详解】1+1﹣4﹣4． 【点睛】本题考查绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的混合计算，解答关键是明确它们各自的计算方法．29．（1）4；（2）MN＝NM+DN，理由见解析；（3）6+43【解析】【分析】（1）求出MN＝BM+DN，证明△MNC的周长＝BC+CD即可解决问题；（2）延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，首先证明△ABE≌△ADN，然后证明△MAN≌△MAE，根据全等三角形的性质可得结论；（3）如图3，延长BA，CD交于G，解30度直角三角形求出DG和AG，进而得到BC和CD，然后根据（2）中结论计算即可．【详解】解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝8，∴BM+CM+CN+DN＝8，∴BC+CD＝8，∴BC＝CD＝4，故答案为4；（2）结论：MN＝NM+DN．理由：如图2中，延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ABE和△ADN中，AB ADABEBE DND=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，在△MAN和△MAE中，AN AEMAN MAEAM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MAN≌△MAE（SAS），∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN；（3）如图3，延长BA，CD交于G，∵∠BAM＝60°，∠MAD＝90°，∴∠BAD＝150°，∴∠GAD＝30°，∵AD＝2，∴DG＝1，AG3∵∠DAN＝15°，∴∠GAN＝45°，∴AG＝GN3∴BG＝3，∴BC＝2BG＝3CG3＝3，∴CD ＝CG ﹣DG ＝23+2，由（2）得，MN ＝BM+DN ，∴△CMN 的周长＝CM+CN+MN ＝CN+DN+CM+BM ＝BC+CD ＝4+23+23+2＝6+43．【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换、全等三角形的判定定理和性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 30．222--【解析】【分析】分别根据特殊角的三角函数值和绝对值性质及实数的运算法则计算出各数你，然后进一步计算即可.【详解】(4sin 4522510︒--=4222252⨯+-=222252-=222--【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值与实数的混合运算，熟练掌握相关概念及方法是解题关键.。
2020北师大版九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系单元测试题1解析版
北师大版九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系单元测试题一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则cos B的值为（）A．B．C．D．32．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则∠B的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos B的值为（）A．B．C．D．4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，那么下列说法中正确的是（）A．cos B＝B．cot A＝C．tan A＝D．cot B＝5．2018年4月12日上午，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，展示人民海军崭新面貌，激发强国强军坚定信念．如图，一艘补给舰位于一艘综合登陆舰P的北偏东60°方向，与综合登陆舰P的距离为40海里的A处，补给舰沿正南方向航行一段时间后，到达位于综合登陆舰P的南偏东30°方向上的B处，则此时补给舰所在位置B处与综合登陆舰P之间的距离为（）A．30海里B．40海里C．40海里D．80海里6．若∠A是锐角，且sin A＝，则（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为（）A．B．C．D．8．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，坡高BC＝20，则坡面AB的长度（）A．60B．100C．50D．209．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）A．俯角67°方向B．俯角23°方向C．仰角67°方向D．仰角23°方向10．如图，一根电线杆PO垂直于地面，并用两根拉线PA，PB固定，量得∠PAO＝α，∠PBO＝β，则拉线PA，PB的长度之比＝（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sin A的值是．12．如图，河堤横断面迎水坡AC的坡度i＝1：2，若BC＝30米，则高度AB为米．13．已知tan（α+15°）＝，则锐角α的度数为°．14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则sin A＝．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B的值为．16．如图，某舰艇上午9时在A处测得灯塔C在其南偏东75°方向上，且该舰艇以每小时10海里的速度沿南偏东15°方向航行，11小时到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东75°方向上，则B处到灯塔C的距离为海里．17．如图，已知点C处有一个高空探测气球，从点C处测得水平地面上A，B两点的俯角分别为30°和45°．若AB＝2km，则A，C两点之间的距离为km．18．如图所示是小明家房子的侧面图，屋面两侧的斜坡AB＝AC＝6米，屋顶∠BAC＝150°，计划把图中△ABC（阴影部分）涂上墙漆，若墙漆的造价每平方米为100元，则这部分墙漆的造价共需元．三．解答题（共8小题）19．计算：cos230°﹣2cos30°sin60°+sin260°20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝2，求AB的长．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝4，解这个直角三角形．22．在△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B为锐角且．（1）求∠B的度数；（2）求△ABC的面积；（3）求tan C．23．如图所示是某路灯灯架示意图，其中点A表示电灯，AB和BC为灯架，l表示地面，已知AB＝2m，BC＝5.7m，∠ABC＝110°，BC⊥l于点C，求电灯A与地面l的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）24．从一栋二层楼AE的楼顶点A处看对面的教学楼CD，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知楼AE高6米，AB⊥CD于B，求楼CD高度（结果保留根号）25．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量出AB＝180m，CD＝60m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．26．兰州国际马拉松被国际田联授予国际金标赛事，这大幅提升了兰州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：如图所示：∵AB＝3，BC＝1，∴cos B＝＝．故选：A．2．解：∵∠C＝90°，cos B＝，∴∠B＝60°，故选：B．3．解：如图，∵∠C＝90°，tan A＝，∴tan A＝，设BC＝12x，AC＝5x，∴AB＝＝＝13x，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos A＝＝＝A、cos B＝sin A＝，故本选项符合题意．B、cot A＝＝＝2．故本选项不符合题意．C、tan A＝＝＝．故本选项不符合题意．D、cot B＝tan A＝．故本选项不符合题意．故选：A．5．解：如图：过点P作PC⊥AB于点C，根据题意，正南方向与正北方向平行得∠A＝60°，∠B＝30°，又AP＝40，在Rt△APC中，PC＝AP•sin∠A＝40×＝20在Rt△BPC中，PB＝2PC＝40．所以此时补给舰所在位置B处与综合登陆舰P之间的距离为40海里．故选：B．6．解：∵∠A是锐角，且sin A＝＜＝sin30°，∴0°＜∠A＜30°，故选：A．7．解：如图所示：由勾股定理得：AC＝＝5，∴tan A＝＝；故选：D．8．解：Rt△ABC中，BC＝20，tan A＝1：3；∴AC＝BC÷tan A＝60，∴AB＝＝20．故选：D．9．解：∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；故选：D．10．解：如图，在直角△PAO中，∠POA＝90°，∠PAO＝α，则PA＝．如图，在直角△PBO中，∠POB＝90°，∠PBO＝β，则PA＝．所以＝＝．故选：D．二．填空题（共8小题）11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin A＝＝，故答案为：．12．解：∵迎水坡AC的坡度i＝1：2，∴＝，即＝，解得，AC＝60，由勾股定理得，AB＝＝＝30，故答案为：30．13．解：∵tan30°＝，∴α+15°＝30°，∴α＝15°，故答案为：15．14．解：∵CD是斜边AB上的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴根据勾股定理，BC＝＝＝8，∴sin A＝＝＝，故答案为：．15．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∴设AC＝12k，BC＝5k，则AB＝＝13k，∴sin B＝＝＝．故答案为：．16．解：由题意知，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2×10＝20（海里），在Rt△ABC中，∵tan∠BAC＝，∴BC＝AC tan∠BAC＝20×＝20（海里），故答案为：20．17．解：如图所示，延长AB，过点C作CD垂直于AB延长线，垂足为D，由题意知∠CBD＝45°，∠A＝30°，AB＝2km，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由tan A＝可得＝，解得x＝1+，即CD＝1+，则AC＝2CD＝2+2（km），故答案为：（2+2）．18．解：如图，过点B作BD垂直于CA延长线于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠BAD＝30°．∴BD＝AB•sin30°＝AB＝3米．∴S＝AC•BD＝＝9（平方米）阴影则造价为：9×100＝900（元）故答案是：900．三．解答题（共8小题）19．解：原式＝（cos30°﹣sin60°）2，＝（﹣）2，＝0．20．解：在Rt△ABC中∵tan A═，AC＝2，∴BC＝1，∴AB═．21．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵sin B＝，∴AC＝4sin30°＝2，∵sin A＝，∴BC＝4sin60°＝6．22．解：（1）∵∠B为锐角且，∴∠B＝60°；（2）作AD⊥BC于D，如图所示：∵∠B＝60°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝3，∴AD＝BD＝3，∴△ABC的面积＝BC×AD＝×4×3＝6；（3）∵BC＝4，BD＝3，∴CD＝BC﹣BD＝1，∴tan C＝＝＝3．23．解：过A作AD⊥l，过B作BE⊥AD于E，则DE＝BC＝5.7m，∵∠ABC＝110°，∴∠ABE＝20°，∴∠A＝70°，∴sin20°＝＝＝0.34，解得：AE＝0.68，∴AD＝AE+DE≈6.4；答：电灯A距离地面l的高度为6.4米．24．解：在Rt△ACB中，∠CAB＝45°，AB⊥DC，AE＝6米，∴AB＝BC＝AE＝6米，在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，∴BD＝AB•tan∠BAD＝6，∴DC＝CB+BD＝6+6（米）．答：教学楼的高CD是（6+6）米．25．解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，∴HE＝CD＝60m，设CH＝DE＝xm，在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，∴BE＝xm，在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，∴AH＝xm，由AH+HE+EB＝AB＝180m，得到x+60+x＝180，解得：x＝30，即CH＝30m，则该段运河的河宽为30m．26．解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝AB＝20，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，答：起点拱门CD的高度约为6米．。
北师大版2020-2021九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元培优测试题(附答案详解)
北师大版2020-2021九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元培优测试题（附答案详解） 一、单选题1．如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A 处测得塔顶B 处的仰角α＝60°.在塔底C 处测得A 点俯角β＝45°，已知塔高60米，则山高CD 等于( )A ．30(1＋3)米B ．30(3－1)米C ．30米D ．(303＋1)米 2．如图，在反比例函数32y x=的图象上有一动点A ，连接并AO 延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数k y x=的图象上运动，若tan 2CAB ∠=，则k 的值为A ．－3B ．－6C ．－9D ．－123．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②DF ＝DC ；③S △DCF ＝4S △DEF ；④tan ∠CAD ＝22．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别为边AD 、BC 上的点，5EF =，点G 、H 分别为AB 、CD 边上的点，连接GH ，若线段GH 与EF 的夹角为45，则GH 的长为（ ）A 5B 210C 25D 75．如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E 为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD.则下列结论中：①△ADF是等边三角形；②tan∠EBF＝2－3；③S△ADF＝13S正方形ABCD；④BF2＝DF·EF.其中正确的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=2，其中正确的结论有（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④7．如图，已知在ABCD中，BC=3，AB=4，60BAD∠=，E为线段BC上任意一点，连接AE并延长与DC交于点G，若BE=2EC，则AE的边长为（）A．27B．37C．23D．438．如图，四边形ABCD中，∠ABC=Rt∠．已知∠A=α，外角∠DCE=β，BC=a，CD=b，则下列结论错误的是（）A．∠ADC=90°﹣α+βB．点D到BE的距离为b•sinβC．AD=·coscosa bβα+D．点D到AB的距离为a+bcosβ9．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2018B 2018C 2018D 2018的边长是（ ）A ．（12）2017B ．（12）2016C ．（33）2017D ．（33）2016 二、填空题10．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，点D 是AC 边上一点，∠ABD ＝∠C ，CD ＝25，tan ∠DBC ＝23，则AB 的长是___________11．如图，在ABC 中，C 90∠=，AC 6cm =，BC 8cm.=动点M 从A 点出发，以10cm/s 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点N 从B 点出发，以5cm /s 的速度沿线段BC 向点C 运动；点M 与点N 同时出发，且当M 点运动到B 点时，M ，N 两点同时停止运动设点M 的运动时间为()t s ，连接MN ，将BMN 沿MN 折叠，使点B 落在点B'处，得到，若，则t 的值为______．12．如图，BE 是半径为 6 的⊙D 的圆周，C 点是BE 上的任意一点，△ABD 是等边三角形,则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是13．如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG⊥CD 于点G ，则sin ∠AFG 的值________．14．若A ∠是锐角，且sin A 是方程220x x -=的一个根，则sin A =____． 15．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE AC ⊥，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：AEF ①∽CAB ；CF 2AF =②；DF DC =③；tan CAD 2.∠=④其中正确的结论有______．16．在△ABC 中，AB=AC ，BD⊥AC 于D ，BE 平分∠ABD 交AC 于E ，sinA=35，BC=210，则 AE=_______.17．如图所示，半径为r 的圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动，当⊙O 的移动到与AC 边相切时，OA 的长为______．18．在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，AB=10，AE=6，tan ∠CAE=13，则□ABCD 的面积为_____．19．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E ，点E 为BD 的中点，∠BAC+∠BDC=180°，AB=CD=5，tan∠ACB=12，则AD=______ ．三、解答题20．如图1．小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得5AB=，4AD=．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度；（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）．21．已知△ABC为等边三角形，P是直线AC上一点，AD⊥BP于D，以AD为边作等边△ADE（D，E在直线AC异侧）．（1）如图1，若点P在边AC上，连CD，且∠BDC=150°，则ADBD= ；（直接写结果）（2）如图2，若点P在AC延长线上，DE交BC于F求证：BF=CF；（3）在图2中，若∠PBC=15°，6+2CP的长．22．在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝433，OB＝4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D为x轴正半轴上一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE．(1)如图1，当E点恰好落在线段AB上时，求E点坐标；(2)在(1)问的条件下，将△ODE沿x轴的正半轴向右平移得到△O′D′E′，O′E′、D′E′分别交AB于点G、F(如图2)求证OO′＝E′F；(3)若点D沿x轴正半轴向右移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式．23．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA 上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）．（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时：①求∠AFC的度数；②求222AF FC BFAF FC+-⋅的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B 方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．24．如图1，图2中，正方形ABCD的边长为6，点P从点B出发沿边BC—CD以每秒2个单位长的速度向点D匀速运动，以BP为边作等边三角形BPQ，使点Q在正方形ABCD内或边上，当点Q恰好运动到AD边上时，点P停止运动．设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t＝2时，点Q到BC的距离＝_____；（2）当点P在BC边上运动时，求CQ的最小值及此时t的值；（3）若点Q在AD边上时，如图2，求出t的值；（4）直接写出点Q运动路线的长．25．问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一块四边形的空地（如图5，四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC，BD的长度分别为20cm，30cm 及夹角∠AOB为60°，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积吗？问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积，再相加就可以了．建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：如图1，△ABC中，O为BC上任意一点（不与B，C两点重合），连接OA，OA=a，BC=b，∠AOB=α（α为OA与BC所夹较小的角），试用a，b，α表示△ABC的面积．解：如图2，作AM⊥BC于点M，∴△AOM为直角三角形．又∵∠AOB=α，∴sinα=AMOA即AM=OA•sinα∴△ABC的面积=12•BC•AM=12•BC•OA•sinα=12absinα．问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题．如图3，四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC=20m，BD=30m，∠AOB=60°，求四边形ABCD的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程）新建模型：若四边形ABCD 中，O 为对角线AC ，BD 的交点，已知AC=a ，BD=b ，∠AOB=α（α为OA 与BC 所夹较小的角），直接写出四边形ABCD 的面积= ．模型应用：如图4，四边形ABCD 中，AB+CD=BC ，∠ABC=∠BCD=60°，已知AC=a ，则四边形ABCD 的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用）26．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）27．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α，点P 是△ABC 内一点，且∠PAC+∠PCA=2，连接PB ，试探究PA 、PB 、PC 满足的等量关系． （1）当α=60°时，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP ≌△AC P′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC 的大小为 度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA 、PB 、PC 满足的等量关系为 ；（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA 、PB 、PC 满足的等量关系，并给出证明；（3）PA 、PB 、PC 满足的等量关系为 ．28．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）29．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．参考答案1．A【解析】设AD=x，则CD=AD•tan45°=AD=x，BD=AD•tan60°=3x，∴BC=（3-1）x=60米，∴x=31=30（3+1）米=（303+30）米故选：A．点睛：本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中计算特殊角的三角函数值是解题的关键．2．B【解析】【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过同角的余角相等得出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∠CAB=2，可得出CF•OF的值，进而得到k的值．【详解】解：如图，连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∵直线AB过点O，点A、B在反比例函数y=32x的图像上，∴点A、B点关于O点对称，∴AO=BO．又∵AC=BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF，又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴△AOE∽△COF，∴AECF=OEOF=AOCO，∵tan∠CAB=COAO=2，∴AECF=OEOF=AOCO=12，∴CF=2AE，OF=2OE．又∵AE•OE=32，∴CF•OF=|k|=4 AE•OE=6，∴k=±6．∵点C在第二象限，∴k=-6，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF•OF=6．解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征得出结论．3．A【解析】【分析】【详解】解：如图，过D作DM//BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠ABC=90°，AD=BC，S△DCF=4S△DEF∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；②∵DE //BM ，BE //DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM =DE =12BC ， ∴BM =CM ，∴CN =NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DM 垂直平分CF ，∴DF =DC ，故②正确；③∵点E 是AD 边的中点，∴S △DEF =12S △ADF ， ∵△AEF ∽△CBF ， ∴AF ：CF =AE ：BC =12， ∴S △CDF =2S △ADF =4S △DEF ，故③正确；④设AE =a ，AB =b ，则AD =2a ，由△BAE ∽△ADC ，有2b a a b=，即b =2a ， ∴tan ∠CAD =2CD b AD a = =22．故④正确； 故选A ．4．B【解析】【分析】过点B 作BK ∥EF 交AD 于K ，作BM ∥GH 交CD 于M ，可得∠KBM=45°，作∠MBN=45°交DC 的延长线于N ，求出∠ABK=∠CBN ，然后利用“角边角”证明△ABK 和△CBN 全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=BK ，AK=CN ，利用勾股定理列式求出AK ，过点M 作MP ⊥BN 于P ，可得△BMP 是等腰直角三角形，设GH=BM=x ，表示出MP ，然后利用∠N 的正切值列出方程求解即可．【详解】如图，过点B 作BK ∥EF 交AD 于K ，作BM ∥GH 交CD 于M ，则BM=GH ，∵线段GH 与EF 的夹角为45°， ∴∠KBM=45°， ∴∠ABK+∠CBM=90°-45°=45°， 作∠MBN=45°交DC 的延长线于N ，则∠CBN+∠CBM=45°， ∴∠ABK=∠CBN ，在△ABK 和△CBN 中，90ABK CBN AB BCA BCN ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩＝， ∴△ABK ≌△CBN （ASA ），∴BN=BK ，AK=CN ，在Rt △ABK 中，=， 过点M 作MP ⊥BN 于P ，∵∠MBN=45°， ∴△BMP 是等腰直角三角形，设GH=BM=x，则x ， ∵tan ∠N=BC MP CN PN=，∴21x =，解得x=210，所以GH=210，故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．5．B【解析】【分析】由正方形的性质得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得出MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD=FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，由等边三角形的性质得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，33a，得出FN=MN-FM=（3a，由三角函数的定义即可得出②正确；求出△ADF的面积=123a2，正方形ABCD的面积=16a2，得出③错误；求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，证出△BEF∽△DBF，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得：MN垂直平分AD ，FD=CD ，BN=CN ，∠FDE=∠CDE ，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC ，∴FD=FA ，∴AD=FD=FA ，即△ADF 是等边三角形，①正确；设AB=AD=BC=4a ，则MN=4a ，BN=AM=2a ，∵△ADF 是等边三角形，∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a ，， ∴FN=MN-FM=（a ，∴tan ∠EBF=42FN BN -=②正确； ∵△ADF 的面积=12AD•FM=12×4a×a 2，正方形ABCD 的面积=（4a ）2=16a 2，∴164ADFABCD S S ∆==正方形，③错误； ∵AF=AB ，∠BAF=90°-60°=30°， ∴∠AFB=∠ABF=75°， ∴∠DBF=75°-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB ， ∵∠BEF=180°-75°-75°=30°=∠DBF ， ∴△BEF ∽△DBF ， ∴BF EF DF BF＝， ∴BF 2=DF•EF ，④正确；故选B ．【点睛】本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．6．B【解析】分析：根据相似三角形的判定与性质可判断①②；过点D 作DG ∥BE ，分别交BC ，AC 于点G，H，用线段的垂直平分线的性质可判断③；由正切的定义判断④.详解：A.∵∠BAE＝∠AFE＝90°，∠ABE＋∠BAF＝90°，∠EAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠EAF，∴△AEF∽△CAB，则①正确；∵△AEF∽△CAB，∴AE AF BC FC＝，∵E是AD边的中点，∴CF＝2AF，则②正确；如图，过点D作DG∥BE，分别交BC，AC于点G，H，则四边形BEDG是平行四边形，∴DH⊥FC，FH＝CH，∴DF＝DC，则③正确；∵tan∠CAD＝CDAD，而CD与AD的数量关系不明确，所以④错误.故选B.点睛：本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质及正切的定义，平行四边形的判定可以从“边”的角度.“角”的角度.“对角线”的角度分别进行判定，熟练掌握判定方法是关键.7．A【解析】【分析】过G 作GF垂直AD的延长线于F，根据平行四边形的性质可知△ABE∽△ECG，由BE=2EC，可知AB=2CG，AE=2GE，可求出CG的长，进而求出DG的长，由∠BAD=60°，可知∠GDF=60°，根据∠GDF的三角函数可求出DF、GF的长，根据勾股定理可求出AG的长，进而求出AE的长即可【详解】∵ABCD是平行四边形，∴易得△ABE∽△ECG，∵BE=2EC，∴AB=2CG，AE=2GE，∴CG=2，DG=6，∵∠GDF=∠BAD=60°，∴DF=DG⨯cos60°=3，AF=6，GF=DG⨯sin60°=33，∴根据勾股定理AG2=AF2+GF2=36+27=63，∴AG=37，∴AE=23AG=27，故选A.【点睛】本题考查特殊角三角函数值、平行四边形的性质、相似三角形的判定；根据题意构建直角三角形，熟练掌握特殊角三角函数值是解题关键.8．C【解析】【分析】如图所示，延长AD，BC交于点F，根据直角三角形两直角互余，可得∠F=90°﹣α，再根据∠ADC=∠F+∠DCE可判断A正确；如图所示，过D作DG⊥BC于G，利用三角函数可得DG=b•sinβ，由此可判断B正确；如图所示，过D作DH⊥AB于H，则HD=BG=a+b•cosβ，Rt△ADH中，利用三角函数可得AD=·cossin sinDH a bA Aβ+=，由此可判断C错误；根据HD=BG=BC+CG=a+b•cosβ，由此可判断D正确．【详解】解：如图所示，延长AD，BC交于点F，∵∠ABC=Rt∠，∠A=α，∴∠F=90°﹣α，∴∠ADC=∠F+∠DCE=90°﹣α+β，故A正确；如图所示，过D作DG⊥BC于G，∵∠DCE=β，CD=b，∴DG=b•sinβ，即点D到BE的距离为b•sinβ，故B正确；如图所示，过D作DH⊥AB于H，则HD=BG=BC+CG=a+b•cosβ，∴Rt△ADH中，AD=·cossin sinDH a bA Aβ+=，故C错误；∵HD=BG=BC+CG=a+b•cosβ，∴点D到AB的距离为a+bcosβ，故D正确，故选C．【点睛】本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．9．C【解析】【分析】利用正方形的性质结合锐角三角形函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案.【详解】∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1sin30°=12，则B2C2=22cos30B E︒=13333⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，同理可得：B3C3=2 1333⎛=⎝⎭，故正方形A n B n C n D n的边长是：13n-⎝⎭，则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是：20173⎛⎫⎪⎪⎝⎭，故选D.【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数，根据已知条件推导出正方形的边长与序号的变化规律是解题的关键.10．35【解析】分析：在线段BC上截取DE＝CE，过点E作EF⊥CD于F，证明△ABD∽△FDE，进而得到∠BDE=90°，然后根据相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数求解即可.详解：在线段BC上截取DE＝CE，过点E作EF⊥CD于F∵∠ABD＝∠C＝∠EDC∴Rt△ABD∽Rt△FDE∵∠A＝90°∴∠ABD＋∠ADB＝90°∴∠ADB＋∠FDE＝90°∴∠BDE＝90°∵tan∠DBC＝23 DE BD=∴23 DF DEAB BD==，∴AB＝35 2故答案为35.点睛：此题主要考查了解直角三角形，关键是通过添加辅助线，构造直角三角形，利用线段垂直平分线和相似三角形的知识求解.11．12秒或45秒 【解析】【分析】根据勾股定理计算AB 的长，根据速度和时间可得AM 和BN 的长，当B'N ⊥AB 时，存在两种情况：分别画图根据三角函数列式可得t 的值．【详解】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10，由题意得：AM=10t ，BN=5t ，由折叠得：B'N=BN=5t ，①如图1，延长B'N 交AB 于G ，∴B'G ⊥AB ，sin ∠B=GN BN =AC AB∴5GN t =610, ∴GN=3t ，∴BG=4t ，B'G=5t +3t=8t ，Rt △B'MG 中，tan ∠B'=tan ∠B='MG B G =68, ∴MG=6t ，∵AB=AM +MG +BG=10，∴10t +6t +4t=10，解之得：t=12. ②如图2，B'N ⊥AB ，∴∠BGN=90°，同理得：GN=3t ，∴B'G=B'N ﹣NG=5t ﹣3t=2t ，∵B'M=MB=10﹣10t ，cos ∠B'=cos ∠B=''B G B M =21010t t =810解得：t=4 5 .综上所述：t的值为12秒或45秒.故答案为12秒或45秒.【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理等知识，用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．12．181862P<≤+【解析】四边形ABCD的周长P就是四边形的四边的和，四边中AB，AD，CD的长是BD长度确定，因而本题就是确定BC的范围，BC一定大于0，且小于或等于BE，只要求出BE的长就可以．∵△ABD是等边三角形，∴AB+AD+CD=18，得p＞18，∵BC的最大值为当点C与E重合的时刻，BE=，∴p≤18+6，∴p的取值范围是18＜P≤18+6．故答案为18＜P≤18+6．此题考查了圆的性质与直角三角形的性质．解题的关键是找到临界点，将动态问题转化为普通的几何计算问题．注意数形结合思想的应用．133【解析】∵等边△ABC，∴AC=AB，∠B=∠CAD=60°，∵在△ADC和△BEA中，AC AB B CAD AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△BEA ，∴∠CDA =∠AEB ，∴∠CEA =∠CDB ，∴∠CFE =∠B =60°， ∴∠AFG =60°， ∴sin ∠AFG故答案为2. 点睛：本题关键利用全等证明出角相等，从而求出角的度数.14．12【解析】通过题意，可先解方程2x 2－x ＝0，得x ＝0或x ＝12.然后由∠A 是锐角，可知0＜sin A ＜1，从而求得sinA ＝12. 故答案为12. 15．①②③【解析】【分析】①证明∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°即可；②由AD ∥BC ，推出△AEF ∽△CBF ，得到AE AF BC CF =，由AE=12AD=12BC ，得到12AF CF =，即CF=2AF ；③作DM ∥EB 交BC 于M ，交AC 于N ，证明DM 垂直平分CF ，即可证明；④设AE=a，AB=b，则AD=2a，根据△BAE∽△ADC，得到2b aa b=，即b=2a，可得tan∠CAD=22ba=．【详解】如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AE AF BC CF=，∵AE=12AD=12BC，∴12AFCF=，即CF=2AF，∴CF=2AF，故②正确；作DM∥EB交BC于M，交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=12 BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM 垂直平分CF ，∴DF=DC ，故③正确；设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，由△BAE ∽△ADC ，∴2b a a b=，即a ，∴tan ∠CAD=22b a =，故④错误； 故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．16．5【解析】∵BD ⊥AC 于D ，∴∠ADB=90°，∴sinA=35BD AB =. 设BD=3x ，则AB=AC=5x ，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：AD=4x ，∴CD=AC-AD=x ，∵在Rt △BDC 中，BD 2+CD 2=BC 2，∴2229x x +=，解得1222x x ==-，（不合题意，舍去），∴AB=10，AD=8，BD=6，∵BE 平分∠ABD ， ∴53AE AB ED BD ==， ∴AE=5. 点睛：本题有两个解题关键点：（1）利用sinA=35BD AB =，设BD=3x ，结合其它条件表达出CD ，把条件集中到△BDC 中，结合BC=x ，从而可求出相关线段的长；（2）要熟悉“三角形角平分线分线段成比例定理：三角形的内角平分线分对边所得线段与这个角的两边对应成比例”.17．23.r【解析】【分析】连接OD，利用AC与⊙O相切于点D，△ABC为正三角形，可求得sin∠A=ODOA，利用特殊角的三角函数值可求得OA=23r 3.【详解】如图，连接OD，∵AC与⊙O相切于点D，∴∠ADO=90°，∵△ABC为正三角形，∴∠A=60°，∴sin∠A=OD OA，∴3rOA ，∴OA=23r，故答案为：23r 3.【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形等，画出符合题意的图形，运用数形结合思想解题是关键.18．36或60【解析】分析：分两种情况讨论：①E在线段BC上，如图1，②E在BC的延长线上，如图2．分别利用勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．详解：①如图1．∵AB=10，AE=6，∴BE=8．∵tan∠CAE=13，∴13ECAE=，解得：CE=2，∴BC=BE+CE=10，∴□ABCD的面积=BC×AE=10×6=60；②如图2．∵AB=10，AE=6，∴BE=8．∵tan∠CAE=13，∴13ECAE=，解得：CE=2，∴BC=BE－CE=6，∴□ABCD的面积=BC×AE=6×6=36．综上所述：□ABCD的面积为36或60．故答案为：36或60．点睛：本题考查了勾股定理，锐角三角函数以及平行四边形的面积．解题的关键是分类讨论．19．10【解析】解：过B作BM⊥CA，交CA的延长线于M，过D作DN⊥CA，垂足为N，∴∠BME=∠DNC=90°．∵点E为BD的中点，∴BE=DE．∵∠BEM=∠DEN，∴△BME≌△DNE，∴BM=DN．∵AB=CD，∴Rt△AB M≌Rt△DCN，∴∠BAM=∠DCN．∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAM=180°，∴∠B DC=∠BAM，∴∠BDC=∠DCN，∴DE=CE，∴BE=CE=DE，∴∠DBC=∠ECB，∴∠DBC +∠BDC=∠ECB+∠DCN，∴△BCD是直角三角形．∵tan ∠ACB =12，∴tan ∠DBC =12．∵DC =5，∴BC =10，在△BMC 中，设BM =x ，则CM =2x ，由勾股定理得：x 2+（2x ）2=102，x =±25，∴BM =DN =25，CM =45，由勾股定理得：AM =22AB BM -=225(25)-=5，∴CN =AM =5，∴AN =CM ﹣AM ﹣CN =45﹣5﹣5=25，在△ADN 中，AD =22AN DN +=22(25)(25)+=40=210．故答案为：210．点睛：本题是解直角三角形问题，恰当地构建辅助线是本题的关键，利用三角形全等证明边相等，并借助同角的三角函数值求线段的长，与勾股定理相结合，依次求出各边的长即可．20．（1）25AE =10FG =；（2）分两种情况：①重叠部分2154y x x =-+，②242y x =-；当10y =时，7x =或10215x =-【解析】【分析】（1）先在Rt △BCE 中，利用勾股定理求得CE 的长，即可得DE 的长，然后在Rt △ADE 中，利用勾股定理即可求得AE 的长；然后根据等腰三角形的性质与互余求得BEA AED ∠=∠， 则可证EFG AED ∽，即FG AD EB DE=，将各边数值代入即可求解； （2）如图，分x≤4与x ＞4两种情况，在Rt △EFG 中，求得tan ∠F 的值，从而得到PB 关于x 的代数式，第一种情况根据梯形的面积公式整理即可得解；第二种情况根据y 为△RPQ 的面积加上矩形BCQP 的面积即可得到；然后将y=10时分别代入求解即可.【详解】（1）∵5AB EG DC ===，4AD BC ==，∴2222543CE BE BC =-=-=，∴532DE CD CE =-=-=，∴22224225AE AD DE =+=+=； ∵AB EG =，∴BAE BEA ∠=∠，又∵90BAE EAD ∠+∠=，90AED EAD ∠+∠=，∴BAE AED ∠=∠，即BEA AED ∠=∠在EFG 和AED 中，BEA AED ∠=∠，90FBE ADE ∠=∠=，∴EFG AED ∽，则FG AD EB DE=， ∴45102AD EB FG DE ⋅⨯===；（2）分两种情况：①是x ≤ 4时，如图31-，EF 与AB 相交于P ，∵EFG 的直角边10FG =，5EG =，∴51tan F 102EG FG ∠===， ∵10FB FG BG x =-=-，∴1022FB x BP -==， ∵90FGE ∠=，∴四边形PEGB 是直角梯形，则重叠部分()211·BG 524y BP EG x x =+=-+；②是x ＞4时，如图32-，EF 与AB 相交于P ，与CD 相交于R ，作PQ ⊥CD 与Q ， ∵PQ ∥FG ， ∴∠RPQ=∠F ，即tan ∠RPQ=tan ∠F=12， ∴RQ=12PQ=2， ∴()4101142242222x y PB BC PQ RQ x -=⋅+⋅=+⨯⨯=-， 当重叠部分面积为10时，即10y =分别代入两等式，215104x x -+=， 解得：10215x =+10215x =-24210y x =-=得出，7x =，∴当04x ≤≤时，2154y x x =-+， 当410x <≤时，224y x =-+，∴当10y =时，7x =或10215x =-【点睛】本题主要考查旋转与平移的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，属于综合题，难度较大，解此题的关键在于熟练掌握各个知识.21．（123（2）证明见解析（32【解析】【分析】（1）由题意可证△ABD ≌△ACE ，可得BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，即可求∠EDC=60°，∠EDC=90°，则可得ADBD的值；（2）过点CM∥BD交DE于点M，连接CE，由题意可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠AEC=∠ADB=90°，可求∠DEC=∠EMC=30°，可得MC=EC=BD，则可证△BDF≌△CMF，可得BF=CF；（3）作∠ABG=∠BAD，交AD于点G，由题意可求∠ABG=∠BAG=15°，可得∠BGD=30°，BG=AG，则可得BG=2BD，GD=3BD，AD=3BD+2BD，根据勾股定理可求BD=1，AD=2+3，即可求AP的长，则可求CP的长．【详解】（1）如图：连接CE∵△ABC，△ADE是等边三角形,∴AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°,∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE,∴△ABD≌△ACE（SAS）,∴BD=CE，∠ABD=∠ACE,∵∠ADB=90°，∠BDC=150°，∠ADE=60°,∴∠EDC=60°,∵∠BDC=∠BPC+∠ACD=∠BAC+∠ABD+∠ACD=60°+∠ACE+∠ACD=60°+∠ECD=150°∴∠ECD=90°,∴tan∠EDC=3EC BD DE AD==,∴23 ADBD=；（2）如图：过点CM∥BD交DE于点M，连接CE∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°=∠ADE=∠AED，∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=90°，∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠DEC=∠AEC-∠AED，∴∠BDE=150°，∠DEC=30°，∵MC∥BD，∴∠DMC=∠BDE=150°，∴∠EMC=30°，∴∠DEC=∠EMC，∴MC=CE，∴BD=CM，且∠BDE=∠CMD，∠BFD=∠CFM，∴△BDF≌△CMF（AAS），∴CF=BF，（3）如图：作∠ABG=∠BAD，交AD于点G∵∠ABC=60°，∠PBC=15°，AD⊥BD，∴∠DAB=15°，∵∠ABG=∠BAD，∴∠ABG=∠BAG=15°，∴∠BGD=30°，BG=AG，∴BG=2BD，，∴BD+2BD，在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2．∴）2=+2）2 BD2+BD2．∴BD=1，∴∵∠BAD=15°，∠BAC=60°，∴∠DAP=45°，且AD⊥BD，∴，∵-），∴【点睛】本题考查了三角形综合题，全等三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．22．（1）E（1）；（2）证明见解析；（3）见解析.【解析】分析：（1）由题意作辅助线，作EH⊥OB于点H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，从而得出点E的坐标；（2）假设存在，由OO′=4-2-DB，而DF=DB，从而得到OO′=EF；（3）根据题意分三种情况写出解析式即可．详解：（1）作EH⊥OB于点H，tan∠ABO===，∴∠ABO=30°，∵△OED是等边三角形，∴∠EOD=60°．又∵∠ABO=30°，∴∠OEB=90°．∵BO=4，∴OE=OB=2．∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°∴OH=1，EH=．∴E（1，）；（2）∵∠ABO=30°，∠EDO=60°，∴∠ABO=∠DFB=30°，∴D′F=D′B．∴OO′=4﹣2﹣D′B=2﹣D′B=2﹣D′F=E′D′﹣FD′=E′F；（3）当0＜x≤2时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为△ODE面积=x2，当2＜x＜4时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为四边形GO′DF面积=﹣x2+2x﹣2，当x≥4时，△ODE与△AOB重叠部分的面积为2．点睛：本题考查的是等边三角形的性质、坐标与图形的关系、锐角三角函数的定义以及二次函数解析式的确定，掌握平移规律、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（1）①120°；②1；（2）当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．【解析】【分析】（1）①如图1，由题可得BD=CE=t，易证△BDC≌△CEA，则有∠BCD=∠CAE，根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=F A，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，易证△F AG 是等边三角形，结合△ABC是等边三角形可证到△AGB≌△AFC，则有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，从而可得∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中运用直角三角形的性质可得BH，GH=12y，从而有FH=x﹣12y．在Rt△BHF中根据勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2，代入所求代数式就可解决问题；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t﹣6，从而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，进而可得DN=EC．由△DEM是等边三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，从而可得∠NDE=∠MEC，进而可证到△DNE≌△ECM，则有∠DNE=∠ECM=90°，故M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．然后只需确定点M的始点和终点位置，就可解决问题．【详解】解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t．∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．在△BDC和△CEA中，BD CEB ECABC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDC≌△CEA，∴∠BCD=∠CAE，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，∴∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=F A，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2．∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=F A，∴△F AG是等边三角形，∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAB=∠F AC．在△AGB和△AFC中，AG AFGAB FACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGB≌△AFC，∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，∴∠BGF=60°，∴∠GBH=30°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中，GH=12y，BH=32y，∴FH=FG﹣GH=x﹣12y．在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2=（3y）2+（x﹣12y）2=x2﹣xy+y2，∴222AF FC BFAF FC+-⋅=2222x y x xy yxy+--+（）=1；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6，∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=1 2BE=6﹣t，∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，∴DN=EC．∵△DEM是等边三角形，∴DE=EM，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴∠NDE=∠MEC．在△DNE和△ECM中，∵DN ECNDE CEMDE EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNE≌△ECM，∴∠DNE=∠ECM=90°，∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．当t=3时，E在点B，D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC•sin B=6×3=33；当t=6时，E在点C，D在点A，此时点M在点C；∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为33．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形外角的性质等知识，综合性比较强，有一定的难度；构造旋转型全等三角形（由共顶点的两个等边三角形组成）是解决第1（2）小题的关键，证到∠ECM =90°是解决第（2）小题的关键． 24．（1）23 ；（2）t=32,CQ=33;(3) 933t =- ;(4) 1863- 【解析】 【分析】()1过点Q 作,QE BC ⊥用三角函数的知识即可求出点Q 到BC 的距离，()2点P 在BC 边上运动时，有60QBC ∠=︒，根据垂线段最短，当CQ BQ ⊥时，CQ 最小，作图，求解即可.()3若点Q 在AD 边上，则26CP t =-，证明Rt △BAQ ≌Rt △BCP ，122,DQ DP t ==- 根据222222DQ DP QP BC CP BP +=+=，列出方程求解即可.()4点Q 运动路线的长等于点P 运动的路线长：()2933186 3.⨯-=-【详解】()1如图：过点Q 作,QE BC ⊥当2t =时，224,BP =⨯=BPQ 是等边三角形，4,60,BQ QBE ∴=∠= 3sin 604 3.2QE BQ ==⨯=。