5-5 等势面 电势梯度
电势梯度的计算
电势梯度的计算电势梯度是物理学中一个重要的概念，用于描述电场中的电势随空间变化的速率。
在电势梯度的计算中，我们可以先了解电势梯度的物理意义，然后介绍计算电势梯度的方法和应用。
一、电势梯度的物理意义电势梯度表示了电势随距离的变化率，反映了电场的强弱和变化趋势。
在电场中，电势趋向于逐步减小，这种减小的速度即为电势梯度。
电势梯度的方向与电场力的方向相同，它决定了电荷自高电势区移动到低电势区的方向。
二、计算电势梯度的方法计算电势梯度的基本方法是使用微分运算。
考虑一个电势V在三维空间中的分布，我们可以根据泰勒展开式，将电势在某一点的微小变化ΔV表示为：ΔV ≈ ∂V/∂x * Δx + ∂V/∂y * Δy + ∂V/∂z * Δz其中，∂V/∂x、∂V/∂y和∂V/∂z分别表示电势在x、y和z轴上的偏导数。
Δx、Δy和Δz表示这一点的微小位移。
假设我们希望计算电势梯度的大小，可以使用以下公式：|∇V| = sqrt((∂V/∂x)^2 + (∂V/∂y)^2 + (∂V/∂z)^2)其中，|∇V|表示电势梯度的大小，即速率，∂V/∂x、∂V/∂y和∂V/∂z分别表示电势在x、y和z轴上的偏导数。
三、应用电势梯度的计算在物理学的各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景。
1. 静电场的分析电势梯度的计算经常用于静电场的分析。
通过计算电势梯度，可以确定电势变化的速率和方向，进而推导出电场的强度分布。
在静电场中，电势梯度越大，表示电场的强度越大，反之亦然。
静电场中的电荷粒子会受到电场力的作用，从高电势区向低电势区移动。
2. 电势图的绘制电势梯度的计算可以帮助我们绘制电势图，从而直观地了解电场的分布。
通过在空间中选取一系列点，并计算它们的电势梯度大小和方向，我们可以绘制出等势线和方向箭头，呈现电势梯度的分布情况。
电势图在电场模拟和电势分析中都有很重要的作用。
3. 导体表面的电场分析在导体表面，电场总是垂直于导体表面，并且电势梯度的大小为零。
大学物理：8-5 等势面 电场与电势梯度的关系
=
2πkR 2
∑ ∫ ∫ r < R :
q内
=
r 0
ρdV
=
r 0
k ⋅ 4πr′2dr′
r′
=
2πkr 2
<4> 电场强度的大小，方向 ？
由高斯定理：
∫ ∑ r E
s
⋅
r dS
=
1
ε0
q内
∑ E
⋅ 4πr 2
=
1
ε0
q内
得：E外
=
2πkR 2 4π ε0r 2
=
kR 2
2ε 0r 2
E内
=
2πkr 2 4π ε0r 2
ρ o R1 r′
P
V2:取薄球层（半径为r,厚度为dr）
dq = ρ 4πr 2dr
dV2
=
1
4π ε0
dq r
∫ ∫ ( ) V2 =
dV2 =
R2 ρrdr ε r′
0
=ρ 2ε 0
R22 − r′2
V
= V1
+ V2
=
ρ 6ε 0
⎜⎜⎝⎛ 3R22
− r′2
−
2R13 r′
⎟⎟⎠⎞
同理
E3
=
q
4πε0r 2
=
4π
3
R23 − R13
ρ
4πε0r 2
=
R23 − R13 ρ 3ε 0r 2
( ) ( ) (∞)
∫ ∫ ∫ VP =
Edr =
(P)
R2 r 3 − R13 ρ dr + ∞ R23 − R13 ρ dr
r′ 3ε 0r 2
大学物理(5.5.1)--电势叠加原理电场强度与电势梯度
※ 电势叠加原理
点电荷系
E Ei
i
VA
E dl
A
n
i n1
A Ei dl
Vi
i 1
点电荷
V
q 4πε0r
q1
r1
q2 q3
r2
r3
A
VA
n
Vi
i 1
n i 1
qi 4 π ε0ri
E3 E2
E1
2/20
电荷连续分布时 dq dV体
VA
VB
Q 4πε0
(1 rA
1 rB
)
V
(r)
Q 4πε0r
Q dr
4πε0 rA r 2
（ 4 ）r R
V
(r)
rR
E
dr
R
E
dr
Q 4πε0 R
V
Q 4π 0 R
Q 4π0r
o
AB
R
rA
r
oR
r
rB
10/20
例 4 求 “无限长”带电直导线的电势附近的电势 .
解
VP
rB r
dq
r R
o
x
o
x
Px
6/20
带电圆环的电势 :
VdVP 44ππεε00
dqq xx22Rr 2
例 2: 求通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴
线上任意点的电势 .
V
1 4πε0
R 2πrdr
0 x2 r2
x R
x2
R2
x
R2 2x
V
Q 4πε0 x
dq 2πrdr
电势梯度表达式
电势梯度表达式
（原创版）
目录
1.电势梯度的定义
2.电势梯度的表达式推导
3.电势梯度的物理意义
4.电势梯度在电场中的应用
正文
电势梯度是指单位长度上电势的差值，是描述电场强度的物理量。
电势梯度通常用字母V 表示，也可以用符号▽V 表示。
电势梯度的定义可以追溯到电势的概念，电势是描述电场作用的物理量，它等于单位正电荷在电场中所具有的能量。
电势梯度的表达式可以通过电势的定义和电场的基本公式推导得出。
根据电势的定义，电势梯度可以表示为电势的负梯度。
电势梯度的表达式可以写为V = -dV/dr，其中dV表示电势的微小变化，dr表示距离的微小变化。
这个表达式表示，电势梯度是电势在距离上的变化率。
电势梯度在电场中有着重要的物理意义。
首先，电势梯度表示了单位电荷在电场中所受到的力的大小和方向。
其次，电势梯度可以用来描述电场的强度和方向，因为电势梯度的方向和大小与电场的方向和大小相同。
最后，电势梯度可以用来计算电势的变化，因为电势的变化等于电势梯度与距离的乘积。
电势梯度在电场中有着广泛的应用。
例如，它可以用来计算电势的差值，从而确定电荷的位置和电势能的大小。
另外，电势梯度还可以用来计算电场的强度和方向，从而确定电荷在电场中的运动轨迹。
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电势梯度表达式
电势梯度表达式
摘要：
1.电势梯度的定义
2.电势梯度的表达式推导
3.电势梯度的物理意义
4.电势梯度在电场中的应用
正文：
电势梯度是指单位长度内电势的改变量，它是电势场的一种强度性质。
在电场中，电势梯度可以用来描述电势在空间中的变化情况。
根据电势的定义，我们知道电势是电荷在单位电荷上所具有的能量。
因此，电势梯度可以理解为单位电荷在电场中由于电势差所获得的能量。
电势梯度的表达式可以通过电势的定义和电场的基本公式推导得到。
假设在一个静电场中，我们有两个点A 和B，它们的电势分别为V_A 和V_B，那么电势梯度就可以定义为(V_A - V_B)/d，其中d 是点A 和点B 之间的距离。
这个公式表明，电势梯度等于电势的改变量除以距离。
电势梯度在电场中有很多应用，其中最主要的应用是用来描述电荷的运动。
根据电势梯度的定义，我们知道电势梯度是单位电荷在电场中所获得的能量。
因此，如果一个电荷在电场中沿着电势梯度方向移动，那么它的能量将不断增加。
这个过程可以用来推动其他电荷，从而实现电场的传输。
总之，电势梯度是描述电势在空间中变化的重要概念，它的表达式可以通过电势的定义和电场的基本公式推导得到。
4.4-2 等势面 电势梯度
2） V 0 的地方，E 0 吗 ？ 3） E 相等的地方，V 一定相等吗？等势面上 E
一定相等吗 ？
4.4-2 等势面与电势梯度
第4章 静电场
例18 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度。 解
E V
y dq dl
q V 4 π 0 ( x 2 R 2 )1 2
b
Wab q0 (Va Vb )
b
q0 E dl 0
Wab q0 E cos dl 0
q0 0 E 0 dl 0
a
E dl
4.4-2 等势面与电势梯度
第4章 静电场
按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相 等，即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小。 点 电 荷 的 等 势 面
q R
o
r
V E Ex i i z x qx q i i 2 2 3 2 2 2 12 x 4 π 0 ( x R ) 4 π 0 ( x R )
x
P x
E
4.4-2 等势面与电势梯度
一 等势面（电势图示法）
第4章 静电场
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间 的电势差相等。 在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力作功为
即电场线是和等势面正交的曲线簇。
a 在静电场中，电场强度 E 总是与等势面垂直的，
4.4-2 等势面与电势梯度
第4章 静电场
V El l
V E en ln
大小
V En ln
dl dln En El
8-5 等势面 电场强度与电势梯度
en ϕ P2 P3
p1 p2 = dn
p1 p3 = dl
dV dV = cosϕ dl dn
P1
则 dn = dl ⋅ cosϕ
V V+dV
§8-5 等势面 电场强度与电势梯度的关系 第八章静电场
dV v en 定义电势梯度 gradV = dn
2 其量值为该点电势增 加率的最大值。 加率的最大值。 1 P2 P3 V V+dV
电场力做功等于电势能的减少量
dA = −q ⋅ dV
dV ∴E = − dn dn
E
2 1 P1 ϕ P2
en
场强也与等势面垂直， 场强也与等势面垂直，但指向 电势降低的方向。 电势降低的方向。
r v E = −Een
Байду номын сангаас
P3 V V+dV
写成矢量形式
r dV v E=− en = −gradV dn
§8-5 等势面 电场强度与电势梯度的关系 第八章静电场 物理意义 （1）空间某点电场强度的大小取决于该点领域内 的空间变化率. 电势 V 的空间变化率. 电场强度的方向恒指向电势降落的方向. （2）电场强度的方向恒指向电势降落的方向. 直角坐标系中
电场线与等势面处处正 1）电场线与等势面处处正交. （等势面上移动电荷，电场力不做功.） 等势面上移动电荷，电场力不做功. 2）等势面密处电场强度大；等势面疏处电场强度小. 等势面密处电场强度大 等势面疏处电场强度小
§8-5 等势面 电场强度与电势梯度的关系 第八章静电场 三 电场强度与电势梯度
1、 电势梯度
v E = −∇V
q 4π ε 0 (x + R )
2 2 12
y dq = λdl
电势梯度
Ep = ∫
0
7.有两根半径都是 的无限长直圆筒，平行放置，轴线 有两根半径都是R的无限长直圆筒 平行放置， 有两根半径都是 的无限长直圆筒， 距离为d 、－λ 距离为 (d >> 2R)，线电荷密度分别为＋λ、－ 。 ，线电荷密度分别为＋ 、－ 两导线间的电势差。 求：两导线间的电势差。
2
qint
ε0
o
x
p
b
E
x
kb2 E= 4ε0
E1 = kb ( 4ε0 ) x kSx 2 qint = ∫ kxSdx = 0 2
k b2 E= (x2 − ) (0 ≤ x ≤ b) 2ε0 2
(3)平板内电场强度为 点 平板内电场强度为0点 平板内电场强度为
k b2 E= (x2 − ) 2ε0 2
B E
C
B
C
A
B E
C
E
A
B
A
A
（A） ）
（B） ）
（C）
(D)
4.一个带负电荷的质点，在电场力作用下从 A 一个带负电荷的质点， 一个带负电荷的质点 点出发经 C 点运动到 B 点，其运动轨迹如图 所示。已知质点运动的速率是递增的， 所示。已知质点运动的速率是递增的，下面关 点场强方向的四个图示中正确的是： 于 C 点场强方向的四个图示中正确的是：
o
x
x
dU qx =− 3 2 2 dx 4πε 0 ( R + x ) 2
qx dU = i E = −∇U = − i 3 2 2 dx 4πε 0 ( R + x ) 2
静电场部分小结
大学物理7.10 场强与电势的微分关系 电势梯度.
2015/2/5
DUT 常葆荣
1
1、等势面
（1）沿等势面移动电荷，电场力不作功 。
A12 Q U1 U2
同一等势面上
0
P2
特 点
（2）dA等势Q面E处 d处r 与同电一力等势线面正上交0。
Q 0 E 0 d r 0
U1 U2 dU E cos dl
E
dU dl
U
l
E cos
El El
l 为任 意方向
电场强度在某方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值
U x
Ex
0 dl dn
U y
Ey
dU E dn
U z
Ez
沿着 E 的方向
举例说明。
r
U E
（1）场强相等的区 域，电势处处相等 （）
Q
（3）电势为零处， 场强一定为零 （）
q
-
.
O
+q
Q
（2）场强为零处，
电势一定为零 （）
R
（4）场强大处，电 势一定高
（5）电势不变的空间，场强处处为0 （）Biblioteka （）2015/2/5
DUT 常葆荣
E
dr
（3）电场线总是指向电势降低的方向
+
UaUb Uc
P1
（当规定相邻两等势面的电势差为定值后） （4）等势面稠密处 —— 电势变化快
电场强度大
2015/2/5
1-5等势面场强与电势的微分关系
5.场强反映场点处的电势的“变化率”， E 与 V 无直接的关系 •场强大处，电势不一定大 如两等量异号电荷连线中点上 •场强小处，电势不一定小 如两等量同号电荷连线中点上 V 6.如 E=0， 0, V C 该区域为等势区 n V C , 该区域电势均匀变化 如 E=C， n
dl cos dn dV Edn
dV E dn
V El l 电场强度在某个方向上的 E 分量，等于电势在此方向 V dV c 上的方向导数的负值 dn b V V E En n0 a dl n
n0 为法线方向单位矢量
电场强度等于电势在法线方向上方向导数 的负值
例1：均匀带电圆盘半径为 R ，面电荷密度为 ， 求轴线上一点的场强 解：由带电圆盘轴线上一点的电势公式
V ( x 2 R2 x ) 2 0 V 1 2x E ( 1) 2 2 x 2 0 2 R x x 1 2 2 2 0 R x
E gradV 电场强度为电势梯度的负值 V 四、注意几点 E n0 n 1.“–”表示 E 的方向为电势降低的方向 2.沿等势面法线方向场强最大 3.等势面密处，场强大，电力线也密 等势面疏处，场强小，电力线也疏 4.只要知道一个量的分布就可得知另一个 量的分布 Va a E dl
二、等势面的性质
1.等势面与电力线垂直
E
证明：在等势面上
a
Ua Ub
U ab E dl 0
a b
b
等 势 面
而路径ab是任意的，所以只能处处有
Edl
路径 dl 在等势面上
E等势面
证毕
2.在静电场中沿等势面移动电荷电场力不作功