最新3-5-可分离变量型方程及其解法汇总
变量分离的方程
§2 变量分离的方程考虑微分方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P )1.2(若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称)1.2(为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式：0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X )2.2(变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积.问题是：对)2.2(如何求解？一般来说，)2.2(不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形：0)()(=+dy y Y dx x X )3.2()3.2(显然是一个恰当方程，它的通积分为C dy y Y dx x X =+⎰⎰)()( )4.2(由对方程)3.2(的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除)2.2(式的两侧，得到0)()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X )5.2( )5.2(已具有)3.2(的形式，故通积分为C dy y Y y Y dx x X x X =+⎰⎰)()()()(11 )6.2( 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程)5.2(来代替求解方程)2.2(是合理的，因为此时方程)2.2(与方程)5.2(是同解的.附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入)2.2(式验证，可知a x =（或b y =）是方程)2.2(的解.这个解一般会在由)2.2(化为)5.2(时丢失,故有时不包含在通积分)6.2(中，必须补上.例1 求解微分方程0)1)(1(22=+-+xydy dx y x )7.2(解 当0)1(2≠-y x 时，方程)7.2(可改写为等价的方程01122=-++dy y y dx x x ， 积分得C y x x ln 1ln )ln(222=-++，即 C y e x x =-1222，亦即 2221x e C y x -⋅+= )8.2( 其中0≠C .显然1,0±==y x 都是方程的解.若允许)8.2(中的C 可取零值，则特解1±=y 可含于)8.2(中.因此方程)7.2(的通积分为2221xe C y x -⋅+=， 其中C 为任意常数； 外加特解0=x .例2 求解微分方程 31'23y y = )9.2( 并作出积分曲线族的图形.解 当0≠y 时，将)9.2(改写为dx ydy2331=， 两边积分，得 C x y +=32， （0≥+C x ）， 或 32)(C x y +=， （C x -≥） )10.2(最后，还有特解0≡y ，它不包含在)10.2(之中.利用方程)9.2(并参照通积分)10.2(，可以作出积分曲线族的图形（图 ）由图 不难看出，过x 轴上的每一点)0,(**x P ，都有无穷多条积分曲线通过.很显然每一条这样的积分曲线都由两部分拼合而成：左半部分是与x 轴重合的直线段，右半部分可以是x 轴，也可以是向上或向下延伸的半立方抛物线.左右两部分在接合点相切.总之，微分方程)9.2(满足初值条件00)(y x y =的解，当00≠y 时是局部唯一的；而当00=y 时是局部不唯一的.我们把变量分离的方程的求解方法叫做变量分离法.变量分离法是解一阶方程的基础方法,对于一个微分方程能否用分离变量法求解,关键在于寻找把它转化为可分离变量方程的途径.下面我们通过几个例子来说明,尽管一些方程本身不是可分离变量的,但通过适当变换后,便可变为可分离变量方程.例3 求解微分方程y x dxdy +=2 )11.2( 解 作变换,令y x z +=2,则dx dydx dz +=2,代入原方程得z dx dz+=2,将它分离变量得dx z dz=+2,积分得c x z ln 2ln +=+,或2-=x ce z ,所以原方程的解为22--=x ce y x .例4 求解微分方程)(t a n 2y x dx dy+=)12.2( 解 作变换,令y x z +=,则dx dydx dz+=1,代入原方程,化简后得zdz dx 2cos =,积分得12sin 4121c z z x ++=,所以原方程的隐式解为c y x y x =+--)(2sin )(2.其中14c c =.习题2—21．求解下列微分方程：（1） 221xy y x dxdy +++=； 解 分离变量，得dx x y dy )1(12+=+， 积分后得通积分C x x y ++=221arctan ， 故通解为 )21tan(2C x x y ++=. （2） 2)2c o s (c o s y x dxdy =； 解 分离变量，得xdx ydy 22cos 2cos =， 积分后得通积分C x x y =--2sin 212tan . 此外由02cos =y 可求得特解42ππ+=n y . （3） 21y dxdy x -=； 解 分离变量，得xdx y dy=-21， 积分后得通积分 C x y =-ln arcsin .此外还有特解1±=y .（4） y xey e x dx dy +-=-. 解 分离变量，得dx e x dy e y x y )()(--=+，积分后得通积分C e e x y x y =-+--)(222.2．求解下列微分方程的初值问题：（1）0=+-dy ye xdx x ，1)0(=y ；解 将方程改写为 0=+y d y dx xe x ，积分后得通积分C y e xe x x =+-221. 由初值条件1)0(=y ，得21-=C . 所以初值问题的解为01)1(22=++-y e x x .（2） 21ln y x dx dy +=，0)1(=y ； 解 分离变量，得 dx x dy y ln )1(2=+，积分后得通积分 C x x x y y +-=+ln 313. 由初值条件0)1(=y ，得1=C .所以初值问题的解为 01ln 313=-+-+x x x y y . （3）321xy dxdy x =+，1)0(=y ； 解 将方程改写为 231x x d xdy y +=，积分后得通积分 C x y=++22121. 由初值条件1)0(=y ，得3=C . 所以初值问题的解为312122=++x y . 3． 跟踪：设某A 从xOy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从),0(b 开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ，试求B 的光滑运动轨迹.解 设B 的运动轨迹由)(x y y =表达，在0=t 时，B 的坐标为),0(b ，在时刻t 时，B 的坐标为))(,(x y x ，因为B 与A 永远保持等距b ，从而22yb y dx dy --=， 分离变量，得 dx dy yy b =--22， 积分后得通积分C y b y b b y b b b x +-----+=222222ln 2. 由初值条件b y =)0(，得0=C .所以设B 的运动轨迹为222222ln 2y b y b b y b b b x -----+=. 4． 设微分方程)(y f dxdy = )11.2( 其中)(y f 在a y =的某领域（例如，区间ε≤-a y ）内连续，而且0)(=y f ，当且仅当a y =.则在直线a y =上的每一点，方程)11.2(的解局部唯一，当且仅当瑕积分∞=⎰±εa a y f dy )( （发散）. （从而在特解a y =的领域内的每一点，方程)11.2(的解都局部唯一）.证 显然a y =是方程)11.2(的一个解，又经过域 a y a x D <≤-+∞<<-∞ε,:1和域ε+≤<+∞<<-∞a y a x D ,:2内任一点),(00y x ，恰有方程)11.2(的一条积分曲线，它由下式确定： 00)(x x s f ds yy -=⎰ )12.2( 这些积分曲线彼此不相交.其次域1D （2D ）内所有积分曲线C x y f dy +=⎰)(都可由其中一条，如0)(C x y f dy +=⎰，经过坐标变换0,C C x y --==ξη平移而得到.因此只需考察经过1D （或2D ）内某点的一条积分曲线，它由)12.2(式确定.若在直线a y =上某一点),(1a x ，方程)11.2(的解不局部唯一，即有所论积分曲线当1x x =时达到直线a y =上点),(1a x ，因此积分⎰a y s f ds 0)(必收敛.这与∞=⎰±εa a y f dy )(矛盾. 反之，若⎰a y s f ds 0)(发散.此时由)12.2(容易看出，所论的经过),(00y x 的积分曲线不可能达到直线a y =上，而以直线a y =为渐近线.从而)11.2(的解在直线a y =上的每一点都局部唯一.总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
分离变量法的解题步骤总结
n
如果电势不依赖于方位角，则
B n () r [ A r ( ] P ( c o s ) n n 1 ) r n 0 S
n nS
几种常见的边界条件
导体为等位体； ˆ 均匀场： E i E , E zE r c o s z 0 0 0 S
B m n m (r) [A r (n ] P c o s )c o sm n ( 1 ) r n 0m 0 S
n n mS n
D m n m [ C r (n ]P c o s )s inm n ( 1 ) r n 0m 0 S
n n mS
r S
柱的轴心或球心处若没有线电荷或点电荷，则 电位为有限值； 若电荷分布于有限区域，则无穷远处电位趋近 于零； 周期边界条件。
分离变量法的解题步骤总 结
解题步骤
确定求解区域，写出电势所满足的方程（一般 为Laplace方程）和边界条件（包括物理边界 条件和自然边界条件）； 根据边界的形状选取坐标系； 写出通解（其中包含有待定系数）； 把边界条件代入通解中，确定待定系数，从而 得到问题的解； 对问题进行讨论。
二维情况下直角坐标系通解形式
xy , A x BC D y A s i n k x B c o s k x C s i n h ky D c o s h ky 1 x 1 x 1 y 1 y A s i n h k x B c o s h k x C s i n ky D c o s ky 2 x 2 x 2 y 2 y
线性偏微分方程的解法-分离变量法
由 2.1.1 中 例 题 （ 1 ） 可 知 ， 当 f (x,t ) ≡ 0 时 ， 定 解 问 题 的 本 征 函 数 族 为
⎨⎧sin ⎩
nπx l
⎬⎫, ⎭
(n
=
1,2,3L)
。
因此，设
∑ u(x, t )
=
∞
Tn (t)sin
n =1
nπx l
将（12）带入（11）中的泛定方程，得
∑∞
⎡ ⎢Tn
（23）
上述定解问题和初始条件是非齐次的，但边界条件是齐次的，可以用上一小节的本征函数发 或者冲量定理法继续求解。
另一个函数 v(x,t )，可以用线性函数构造，令
v(x,t) = α (t) + β (t) − α (t) x
l
将（24）式带入（23）式，即可求得ω(x,t )，最终由（22）式可得
= 0,
= u1
0,
x=
l
=
0,
⎪ ⎪⎩u1
t=0
=
ϕ (x ),
u1t t=0 = ψ (x),
（16）
( ) ⎪⎪⎨⎧uu
2 tt
2 x
−
=0
a 2u 2 = 0,
xx = u2
f x,t , x=l = 0,
⎪
⎪⎩u2 t =0 = 0,
u
2 t
t=0 =
0,
（17）
齐次方程（16）可用上一小节分离变量法直接求得，方程（17）泛定方程为非齐次，但初始 条件已经转化为齐次。
nπa l
sin
nπx l
=ψ
(x),
(0 < x < l)
（9）式左边是傅里叶正弦级数展开，因此其系数
微分方程的概念,可分离变量,齐次
5 3
,
所求曲线方程为y 1 x3 5 . 33
例 2 一物体以初速 v 0 垂直上抛，设此物体只受重 力的影响．试求该物体运动的速度和时间 t 的关系．
解 设所求函数为v v(t) , 则 dv g dt
v gt C
代入条件后知 C v0
故 v gt v0 ,
二、微分方程的基本概念
例 dy 2x 的特解为 y x 2 1,
dx
d 2s dt 2
0.4
的特解为s 0.2t 2 20t,
特解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.
这就是微分方程的几何意义.
初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
两端积分
dy
1 y2 (sin x cos x)dx
得：arcsin y (cos x sin x) C
这就是所给方程的通解.
隐式通解
例3
解 微 分 方 程y
y .
x
解 这是可分离变量方程，分离变量得： dy 1 dx
两端积分
dy y
所给方程
1 x
dx
ln y
的通解为: y
C
F( x,( x),( x), ,(n)( x)) 0. 微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任
意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 dy 2x
dx
d 2s dt 2
0.4
的通解为 y x2 C,
的通解为s 0.2t 2 C1t C2
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
注意:
可分离变量的一阶微分方程.
y f (x, y)
(1)
如果能化成
g( y)dy f (x)dx (2)
的形式，即可表示为一端只含y的函数和dy, 而另一端只含
x的函数和dx, 那么原方程就称为可分 离变量的微分方程
(differential equation of separated variables).
C=0即可。 例2 求微分方程 x(1 y2 )dx y(1 x2 )dy 的通解即在条件
y x0 1下的特解
解
分离变量，得 y
1 y2
dy
x 1 x2
dx
两端积分，得1 ln(1 y2 ) 1 ln(1 x2 ) 1 ln C
2
2
2
即
1＋y2 C(1 x2 )
1 dy 3x2dx y
两端积分，得 即
ln y x3 C1 y ex3 C1或y eC1ex3
因 eC1仍是任意常数，令其为C，则所求得通解为
y Cex3
以后为了方便起见，我们可把 ln y 写成ln y,但要
记住结果中的常数C可正可负。
显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取
dt
b
或
dN a(b N ) N dt
其中a k b
分离变量，得 dN
adt
N (b N )
两边积分
N (b N ) N (b N )
dNຫໍສະໝຸດ abdt得ln N abt ln C
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
再利用初值条件y x1 1,确定C 1,从而所求特解为y x
基本概念 可分离变量方程
第二节
第五章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
转化
分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
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分离变量方程的解法:
g(y)dy f (x)dx
①
两边积分, 得
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2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
y P
即 yy 2x 0
Q O xx
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
3.
解法 1 分离变量
积分 即
ey ex C (exC)ey1 0
(C<0 )
解法 2 故有 积分
令u x y, u 1 eu
u ln (1 eu ) x C 所求通解: ln (1 ex y ) y C
(1 eu ) eu 1 eu
du
( C 为任意常数 )
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(其中y 0)
两边积分并整理得方程的通解
y 1 cos x C
经验证 y 也0 是方程的解，所以方程的全部解为
y 1 和y 0 cos x C
因此，通解不一定是方程的全部解 .
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例3. 解初值问题
x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
解: 分离变量得
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第二节 可分离变量的微分方程
解 根据牛顿第二定v 律列方程
初始条件为 v
t0
0.
mg
分离变量，得 k
m
,
两边积分，得
O
t
第第二二节节 可可分分离离变变量量的的微微分分方方程程
例6 * 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
小孔横截面积 S = 1cm2 . 开始时容器内盛满了水, 求水
从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
第二节 可分离变量的微分方程
一、概念及解法 二、举例
第二节 可分离变量的微分方程
一、概念及解法
1. 定义 定义 在一阶微分方程 dy f ( x, y) 中，若函数f (x, y)
dx
可分离变量，即 f (x , y) = (x) (y)，则称该一阶微分
为可分离变量的微分方程.
第二节 可分离变量的微分方程
取不同值
的衰变曲线
利用初始条件, 得 C M 0 ,
O
故所求铀的变化规O律为 M M 0 e t . t
t
第二节 可分离变量的微分方程
例5*设设降降落落伞伞从从跳跳伞伞塔塔下下落落后后所所受受空空气气阻阻力力与与速速度度
成正比，并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0，求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
2. 解法
Step1 分离变量 设 dy f (x, y) 是可分离变量的微 dx
分方程，即 dy (x) ( y) , 分离变量，得
dx
1 dy (x)dx ; (y)
Step2 两边积分
1 ( y)
dy
(
x)dx
.
设左右两端的原函数分别为 (y)、 (x)，则有
变量分离方程的解法
变量分离方程的解法第二章、一阶微分方程的初等解法[教学目标]1.理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。
2.理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。
3.理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。
4.理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。
[教学重难点]重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。
[教学方法]讲授，实践。
[教学时间]14学时[教学内容]变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。
[考核目标]1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。
2.会建立一阶微分方程并能求解。
§2.1变量分离方程与变量变换1、变量分离方程1)变量分离方程形如(或)（2.1）的方程，称为变量分离方程，其中函数和分别是的连续函数.2)求解方法如果，方程(2.1)可化为。
这样变量就分离开了,两边积分,得到（2.2）把分别理解为的某一个原函数.容易验证由（2.2）所确定的隐函数满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在使，可知也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3)例题例1求解方程解将变量分离，得到两边积分，即得因而，通解为这里的是任意的正常数.或解出显式形式例2解方程并求满足初始条件：当时.的特解.解将变量分离，得到两边积分，即得因而，通解为这里的是任意的常数.此外，方程还有解.为确定所求的特解，以.代入通解中确定常数，得到因而，所求的特解为例3求方程（2.3）的通解，其中是的连续函数.解将变量分离，得到两边积分，即得这里的是任意常数.由对数的定义，即有即令，得到（2.4）此外，也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许，则也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中是任意常数.注:1.常数的选取保证(2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解,即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件的一个解，表示的是一条过点的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如（2.5）的方程，称为齐次方程，这里的是的连续函数.另外,ⅰ)对于方程其中函数和都是和的次齐次函数，即对有事实上，取，则方程可改写成形如(2.5)的方程.ⅱ)对方程其中右端函数是和的零次齐次函数，即对有则方程也可改写成形如(2.5)的方程对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令（2.6）即，于是（2.7）将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为整理后，得到（2.8）方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4求解方程。
第二节 可分离变量微分方程
一、变量可分离方程
如果一阶微分方程可以化为下列形式： g ( y ) d y f ( x) d x 则称原方程为变量可分离的方程。
运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：
g ( y ) d y f ( x) d x
积分的结果 y y( x, C ) 就是原方程的通解。
两边积分，得
故
y e e
C1
p( x)d x
。
记 C eC1，得一阶齐线性方程的通解为
表示一个 原函数
y Ce
p( x)d x
。
若 p( x) C，则一阶齐线性方程
y 2C ( x C ) 2
2
y
A
说明: 若已知反射镜面的底面直径为 d ,
d
o h
x
顶到底的距离为 h , 则将
2
( C , 0)
d2 代入通解表达式得 C 8h 这时旋转曲面方程为 d2 d2 y2 z2 x 4h 16h
三、可化为齐次方程的方程
或写成
u ln | xu | C ,
y y ln | y | C ； 再将 u 代入,得通解为 x x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
y 于是得所求特解为 ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
高等数学第七章第二节可分离变量微分方程课件.ppt
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
练习:
解 分离变量
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0
(C<0 )
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M ( 0)
解: 根据题意, 有 d t M t0 M 0 (初始条件)
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
1
y y2
dy
x 1 x2
dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
解: 分离变量得
dy y
1
Hale Waihona Puke x x2dx两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
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3-5-可分离变量型方程及其解法 精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 2.1 可分离变量型方程的解法 [教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标] 1. 会熟记、记准导数公式和积分公式; 2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分; 3. 知道齐次方程的形式«Skip Record If...»，并会用变换«Skip Record If...»，将原方程化为变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解.
1. 导数公式和积分表的意义 小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。 大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表） 练习17. （1） 合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式. （2）双曲正弦«Skip Record If...»，双曲余弦«Skip Record If...»，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表示). 证明：«Skip Record If...». 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 2. 求导法则和积分法则 碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则. 对于一元函数«Skip Record If...»而言，可导性和可微性是等价的，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，导数也称为微商，原因是«Skip Record If...»是y的微分与x微分的商. 下面就给出求导、求微分、求积分法则. 设«Skip Record If...»均可导，则 «Skip Record If...», «Skip Record If...»； 相应（1）«Skip Record If...»; «Skip Record If...», «Skip Record If...»；于是相应地有 （2）«Skip Record If...»; «Skip Record If...»，«Skip Record If...»；于是相应地有 （3）«Skip Record If...»（从左往右，从右往左，不同思路,都要会） 例18. 求下列积分 (a) «Skip Record If...»; (b) «Skip Record If...»; (3) 教材P32例3. 解：(1) (a) 记«Skip Record If...»«Skip Record If...»，将f(x)分解为简单分式的和: «Skip Record If...», 其中«Skip Record If...» «Skip Record If...»， 于是， «Skip Record If...». (b) 记«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，其中 «Skip Record If...» «Skip Record If...» 系数«Skip Record If...»确定如下，取x=0(不同于-1,1)，则«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...». 因此，«Skip Record If...». 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 例19. 求下列积分(a) «Skip Record If...»; (b) «Skip Record If...»; (c) «Skip Record If...». (2)解：(a)«Skip Record If...».
(b) «Skip Record If...» 此路不通！ «Skip Record If...». (c) 作为练习.
例20. 求下列积分(a) «Skip Record If...»; (b) «Skip Record If...». 解：(a) 令«Skip Record If...»于是有 «Skip Record If...». (从右往左) (b) 令«Skip Record If...»， 于是有 «Skip Record If...». 作业18. 求下列方程的通解. (1) «Skip Record If...»; (2) «Skip Record If...»; (3) «Skip Record If...»; 3. 可分离变量型方程形式、齐次方程形式及其求解方法
（1）可分离变量型方程形式：«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»连续. 求解方法：(1) 求出«Skip Record If...»的根«Skip Record If...»，常函数 «Skip Record If...»也是方程的解； (2) «Skip Record If...», 分离变量«Skip Record If...». 例21. 求解下列方程：(a) «Skip Record If...»; (b) «Skip Record If...»; (c) «Skip Record If...». 解：(a) 令«Skip Record If...»=0，得到«Skip Record If...»；
当«Skip Record If...»时，原方程改写为«Skip Record If...» 于是，«Skip Record If...»为所求的通解，此外，«Skip Record If...»也是方程的解. (b) «Skip Record If...»的定义域为«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»=0，得到«Skip Record If...». 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»即为所求通积分，另外«Skip Record If...»也是方程的一个解. (c) 令«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...». 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»， 于是得到 «Skip Record If...»为所求的通积分，另外， «Skip Record If...»也是方程的解. 作业19. 求解如下方程：«Skip Record If...». (2) 齐次方程的形式及其解法 称形如«Skip Record If...»为齐次方程，解法如下：令«Skip Record If...»，于是新方程为«Skip Record If...»，这是可分离变量型方程. 例22. 求解方程(a)«Skip Record If...»;(b) «Skip Record If...». 解：（a) 令 «Skip Record If...»，于是«Skip Record If...». 令«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...». 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»， 于是«Skip Record If...». 返回原变量得到，«Skip Record If...». 另外«Skip Record If...»也是方程的解. (b) 改写原方程为«Skip Record If...»，这是个齐次方程. 令 «Skip Record If...»，即«Skip Record If...». 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，返回原变量得到， «Skip Record If...»为所求的通积分. 另外， u=0对应的 y=0也是方程的一个解. 例23. 求解方程(a) «Skip Record If...»; (b) «Skip Record If...». 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 解：(a) 这是改写为齐次方程«Skip Record If...»，令 «Skip Record If...»，即«Skip Record If...». (i) 令«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...». (ii) 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»， 于是«Skip Record If...»， 得到 «Skip Record If...»， 返回原变量得到，原方程的通积分为«Skip Record If...»为任意正实数. 另外，«Skip Record If...»对应两条直线«Skip Record If...»也是方程的解. (b) 通过线性变换可以将原方程化为(a)的情形. 具体做法(参见教材P38例7. )
作业20. 教材P42 习题1（6）、（9）； 教材P43习题2 (3)、(7). （3）常见可经变量替换化为可分离变量型方程
例25. 求解下列方程： (a) «Skip Record If...»; (b) «Skip Record If...»; (c) «Skip Record If...». 解：(a) 令«Skip Record If...»，改写原方程为«Skip Record If...»，于是，«Skip Record If...». (以下略)
(b) 令«Skip Record If...»，新方程为.«Skip Record If...». (以下略) (c) 改写方程为«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，新方程为«Skip Record If...». 注解：更多通过变换化为可分离变量型方程的例子（参见教材P38第一段，P43