麦克斯韦速率分布
§2[1].3麦克斯韦速率分布
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∫ vdN = v=
∞
2.方均根速率: v2 方均根速率: 方均根速率
v =
2
v2dN ∫ N
=
2
v2 Nf (v)dv ∫ N
= ∫ v2 f (v)dv =
0
∞
3kT 3RT = m µ
3kT 3RT RT v = = ≈1.73 . m µ µ
3.三种速率之比: v p : v : v 2 = 1 : 1.128 : 1.224 三种速率之比: 三种速率之比 它们三者之间相差不超过 23%,而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大 右图表示了麦克斯韦速率分布 中的三种速率的相对大小. 中的三种速率的相对大小. 在§1.6理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 证明中曾用到近似条件 v ≅ v 2
三.用麦克斯韦速率分布律求平均值
1.平均速率: 平均速率: 平均速率 (1)定义:大量分子速率的算术平均值. 定义:大量分子速率的算术平均值. 定义
(2)计算:* 计算:* 计算
由平均速率定义: 由平均速率定义:
∑ v ∆N v =
i
i
N
得:
∞ vNf (v)dv ∫0 N = ∫0 vf (v)dv N 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 8kT R 8RT RT v= ∵k = ∴v = ≈1.60 . πm NA πµ µ
l A S S ω B
φ P C
由于分子的速度大小不同,分子自 由于分子的速度大小不同,分子自B 到C 所需的时 间也不同,所以并非所有通过B 盘的分子,都能通过C 间也不同,所以并非所有通过 盘的分子,都能通过 盘狭缝射到P上 设分子的速率为v 盘狭缝射到 上.设分子的速率为 ,自B 到C 所需的时 间为 t ,
麦克斯韦速率分布函数
M
M
说明
(1) 一般三种速率用途各 不相同
f(v) T
·讨论速率分布一般用 v p ·讨论分子的碰撞次数用 v
·讨论分子的平均平动动 O
vp v
v
能用 v 2
v2
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: v 2 v v p
例 氦气的速率分布曲线如图所示.
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
1 f (v )dv
4π (
)3
/
§6-5 麦克斯韦速率分布律
一. 分布的概念
·问题的提出
气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞 不断地改变， 不可能逐个加以描述。
·分布的概念
例如学生人数按年龄的分布
年龄 人数按年龄的分布 人数比率按年龄的分布
15 ~16 2000 20%
17 ~18 3000 30%
19 ~20 4000 40%
1.381023 J/K
思考：
v 2 vf
v1
(v )dv
是否表示在v1
~v2 区间内的平均速率
？
2. 方均根速率
v 2
v
2
f
(v )dv
3kT
0
μ
3. 最概然速率
v2
3kT 1.73 RT
μ
M
df (v ) 0 dv v v p
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
2π kT
k = 1.38×10-23 J / K
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
11.4-11.6 麦克斯韦速率分布规律 麦克斯韦-波尔兹曼分布律、分子平均碰撞次数和平均自由程
1）
v
vp
Nf
(v)dv
2）
vp
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v) O2
H2
vp
2RT M mol
M mol (H2 ) M mol (O2 )
469.1m / s
由公式
v2 3RT M mol
v2
38.31 300 29 103
507.1m
/
s
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
f (v) 求 1） 速率在vp ~ v 间的分子数； 2）速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
解：速率在v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
N
dN
0
dN
f ()d
N
0N 0
8kT 8RT 1.60 RT
m
M mol
M mol
3
2dN
0
2
f
(
)d
N
0
或由w 1 m2 3 kT
2
2
可得 2 3kT
v1~v2
v2 f ()d
v1
v2 f ()d
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
麦克斯韦速率分布律
O
v p
v
v2
v
气体的三种统计速率
同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
气体的三种统计速率
同一温度下不同种气体速率分布比较
f (v)
m1
m1 m2 m3
m2
分子质量越小，速率
大的分子数越多。
m3
O
v
麦克斯韦速率分布律
例题6-5 试计算气体分子热运动速率的大小介于
vp- vp/100 和 vp+vp/100 之间的分子数占总分子数 的百分数。
解: 按题意
v
vp
vp ＝99 100 100
v
p
v
v
p
vp 100
v
p
vp 100
vp 50
N
0
m
dN
3
f ( v ) Ndv v2
f (v)3mkT
4
3
R2TmkT1.723e
2
v RT mv
2 kT
2
气体的三种统计速率
f (v)
方均根速率
O
v2
v
气体的三种统计速率
三种速率比较
f (v)
vp v v2
三种速率均与 T , m 成反比，但三者有一个
确定的比例关系;三种速
率使用于不同的场合。
(2)Nf (v)dv
f (v) dN Ndv
Nf (v)dv dN
麦克斯韦速率分布定律
(4) 平均速率和方均根速率.
f ( )
解：（1）求 C :
C (0 ) (0 0 ) 0 ( 0 )
0
f ( )d 1 C
6
3 0
（2） N 0 ~ 0 / 4 N
0 / 4
0
5 f ( ) d N 32
0 df ( ) （3）最可几速率 0 p d p 2
6.5 麦克斯韦速率分布定律
气体中个别分子的速度大小和方向完全是偶然的 , 但 平衡态下，气体分子的速度分布遵从一定的统计规律 — — 麦克斯韦速度分布定律. 若不考虑分子速度的方向， 这个规律就成为麦克斯韦速率分布定律.
1859年, 麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布 定律，后由玻尔兹曼使用经典统计力学理论导出. 1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
f (v )
av ， (0 v v 0 ) 0 ， (v v 0 )
2
f (v )
v0 v 求： （1）常量 a 和υ0 的关系 0 （2）平均速率 v v0 （3）速率在 0 之间分子的平均速率 v 2
解： （1）由归一化条件
0
2 0
0
f ( )d 1
3 得 a 3 v0
f ( v)
T1 300K T2 1200K
f ( v)
气体分子运动论和热力学基础之麦克斯韦速率分布律
极大值在376.6m/s~378.1m/s速率区间，极大值为0.0022044。
速率间 隔不断 减小， 直方条 越来越 窄。
当速率间隔很小时， 直方条很窄，直线 都连成一片，顶部 的阶梯几乎消失。
当速率间隔趋于零时， 顶部将趋于光滑的曲 线，极大值范围趋于 一点，极大值越精确。
速率在0~100m/s之内的分子数 占总分子数比例约为1.35%。
麦克斯韦速率分布的函数曲线 分子的质量是参数，函数曲
会随参数不同而有所改变；
线会随参数而有所改变。
氧气分子在300K时 的最概然速率约为 395m/s，在600K时 的最概然速率约为 558m/s。 对于分子质量一定的气
体，温度升高则峰值降 低，说明：在相同的速 率间隔内，向着各个方 向运动的速率小的分子 数量减少了，速率大的 分子数量增加了，分子 运动得更剧烈了。
{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律
[解析](1)在三维速度空间中，在速度间隔vx~vx + dvx、 vy~vy + dvy、vz~vz + dvz内，分子数占总分子数的比例为
dN N0
(m 2πkT
F
)3/
(vx )F (vy )F (vz )dvxdvydvz
2
exp[
m(vx2
v
2 y
2kT
{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律
[解析](2)当v = 0时，f(v) = 0；当v→∞时，f(v)→0。
由于f(v)不小于零，因此f(v)必有极大值。 令df(v)/dt = 0，即
df (v) 4π( m )3/2 (2v v2 m2v ) exp( mv2 ) 0
dv
2πkT
2kT
麦克斯韦速度分布定律
麦克斯韦速度分布定律麦克斯韦速度分布定律是描述气体分子速度分布的统计规律之一，由19世纪末的苏格兰物理学家詹姆斯·麦克斯韦提出。
该定律在热力学和统计物理学中有着广泛的应用，能够揭示气体分子运动特征，对于理解气体动力学和热传导等现象具有重要意义。
根据麦克斯韦速度分布定律，理想气体分子的速度服从麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布。
其概率密度函数为：f(v) = (m / (2πkT))^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2 / (2kT))其中，f(v)表示速度为v的分子的概率密度，m为分子质量，k为玻尔兹曼常数，T为气体温度。
该概率密度函数描述了气体分子速度的分布情况。
根据这一函数，可以得到气体分子不同速度下的概率密度，以及平均速度、平均速度的平方等相关参数。
麦克斯韦速度分布定律具体刻画了速度分布的趋势，从而为研究气体热力学性质提供了重要依据。
根据麦克斯韦速度分布定律可以得到以下几个重要结论：1. 峰值速度：麦克斯韦速度分布定律的概率密度函数在具体速度处取得最大值，即存在一个峰值速度。
这个峰值速度与气体的温度和质量有关，温度越高或质量越小，峰值速度越大。
2. 平均速度：根据麦克斯韦速度分布定律，可以计算出气体分子的平均速度。
平均速度与系统的温度有关，随着温度的升高，平均速度也增加。
3. 速度分散度：麦克斯韦速度分布定律还可以用来计算气体分子速度的分散度。
速度分散度可以通过计算速率最大值附近的速度范围来确定。
由于速度分散度对于描述气体的输运性质至关重要，因此，该定律在研究气体动力学和热学性质时经常被应用。
麦克斯韦速度分布定律是热力学和统计物理学中的重要模型，它将分子速度的概率分布与系统的热力学性质联系在一起。
通过该定律，我们可以更好地理解气体分子的运动规律，研究气体的输运性质和热传导现象。
同时，在工程和科学领域的应用中，麦克斯韦速度分布定律也为材料设计、能源开发和天文物理学等提供了重要指导。
11 能均分定理 麦克斯韦速率分布
习题集：426、33、36、37、39、 40、51
P.15/40
气体分子平均平动动能
1 2 2 2 2 1 2 v , vx v y vz v 2 3 3 2 vx 2 1 2 1 vi kT 3kT 2 2
2
3 kT 2
刚性双原子分子: 刚性多原子分子:
5 kT 2 6 kT 2
P.1/40
平均自由程
v Z 1 2 π d 2n
kT 2 πd2p
例: 求氢在标准状况下分 子的平均碰撞频率和平均 自由程. (设分子直径 d = 210-10 m)
Z
1 2.14 107 m 2 π d 2n
v
7.95 10 9 s 1
P.14/40
作业
第7章 气体动理论
麦克斯韦速率分布曲线:
或速率在 [v1, v2] 区间内的分子数 占总分子数的百分比.
O
v v+dv v1
v2
v
P.7/40
第7章 气体动理论
理论曲线分析: 1. 图中小矩形面积: f ( v)dv 平衡态下, 分子出现在 [v, v+dv] 速率区间内的概率. 或速率在 [v, v+dv] 区间内的 分子数占总分子数的百分比. 2. 图中斜线部分面积: v2 N f ( v)dv v1 N 平衡态下, 分子出现在 [v1, v2] 速率区间内的概率.
第7章 气体动理论
7.6.3 三个统计速率
3. 方均根速率
v
2
1. 最概然速率(最可几速率) d f ( v) 0 dv
vp 2kT
麦克斯韦二维速率分布推导
麦克斯韦二维速率分布推导麦克斯韦二维速率分布是描述气体分子速率分布的一种模型，它是在二维空间中考虑分子速率的概率分布。
麦克斯韦二维速率分布的推导过程是基于统计力学和概率论的。
我们假设气体分子在二维平面内运动，平面内的速度可以被分解成两个分量，即x方向和y方向的分量。
假设分子的质量为m，x方向的速度为v_x，y方向的速度为v_y。
根据统计力学的理论，气体分子的速率分布是服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布的。
而麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个二维速度空间的分布函数，可以表示为：f(v_x, v_y) = A * exp(-m(v_x^2 + v_y^2) / (2kT))其中，A为归一化常数，k为玻尔兹曼常数，T为气体的温度。
为了求解归一化常数A，我们需要对速率分布函数进行归一化处理。
由于速率分布函数是关于v_x和v_y的概率密度函数，所以它满足以下条件：∬f(v_x, v_y) dv_x dv_y = 1对上式进行积分，可以得到：A * ∬exp(-m(v_x^2 + v_y^2) / (2kT)) dv_x dv_y = 1为了简化计算，我们可以先对v_x进行积分，再对v_y进行积分。
这样，可以将二重积分转化为两个一重积分。
首先对v_x进行积分：∫exp(-m(v_x^2 + v_y^2) / (2kT)) dv_x利用高斯积分的公式，可以得到：√(πm/(kT)) * exp(-mv_y^2 / (2kT))接下来，对v_y进行积分：∫(√(πm/(kT)) * exp(-mv_y^2 / (2kT))) dv_y同样利用高斯积分的公式，可以得到：√(πm/(kT))将上述结果代入归一化条件式中，可以得到：A * ∬exp(-m(v_x^2 + v_y^2) / (2kT)) dv_x dv_y = A * ∫√(πm/(kT)) dv_x * √(πm/(kT)) = 1化简上式可以得到：A * πm/(kT) = 1解得归一化常数A为：A = kT / (πm)将A代入速率分布函数中，可以得到麦克斯韦二维速率分布函数：f(v_x, v_y) = (kT / (πm)) * exp(-m(v_x^2 + v_y^2) / (2kT))麦克斯韦二维速率分布函数描述了二维速度空间中气体分子的速率分布情况。
麦克斯韦速率分布定律
υ 附近单位速率区
间的分子数
(5) nf ()d N dN dN
VN V
单位体积中速率在υ ~ υ+dυ区间的分子数
(6) 2 f ()d 1
dN N
N1 2 N
速率在υ1 ~ υ2区间的分
子数占总分子数的百分比
(7) 2 Nf ()d 1
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
(1) f () dN Nd
(2) f ( )d dN
N
υ附近单位速率区间的分子
数占总分子数的百分比
速率在υ ~ υ+dυ区间的分
子数占总分子数的百分比
(3) N f ()d N dN dN
N
速率在υ ~ υ+dυ
区间的分子数
(4) N f () N dN dN Nd d
f ()
T1
T2 T1
T2
p
2kT m
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m0
m0 v 2
)3 2 e v 2kT 2
2 kT
f(v) 说明：
(1)曲线下小矩形面积
f (v)dv dN N
v dv
说明
麦克斯韦速率分布
1、是一个统计规律，仅适用于由大量分子组成的气体
2、N 只表示在某一速率附近 v 速率间隔内的分子
数的统计平均值
3、v 宏观上要足够小，微观上足够大.
4、谈论速率恰好等于某一值的分子数多少，根本没有 意义.
5、对于混合气体没有统一的速率分布律，但麦克斯韦速 率分布律对处于平衡态下的混合气体的各组分分别适用.
（2）v1 v2曲线下面积 f(v)
v2 f (v)dv N
v1
N
麦克斯韦速率分布
（3）整个曲线下面积
f
(v)dv
1
0
结论：
v1
v2
v
归一化条件
在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块面积在数值 上等于相应速率区间内分子数占总分子数的百分率.
（4）很小很大速率分子少
f(v)
中等速率的分子数多
麦克斯韦速率分布
最概然速率 vP
v
vP
分子速率分布在vP附近单位速率区间的相对分子数 最多，或某一分子的速率在vP附近单位速率区间内的 概率最大.
说明下列各式的意义：
麦克斯韦速率分布
（1） f (v)dv
dN f (v)dv N
在v v+dv速率区间内分子数占总分子数的百分率.
（2） Nf (v)dv
dN Nf (v)dv
在v v+dv速率区间内的分子数 .
（3） v2 f (v)dv v1
N v2 f (v)dv
N
v1
在v1 v2速率区间内分子数占总分子数的百分率.
二、气体分子速率分布的测定麦克斯韦速率分布实验装置接抽气泵
2o
l v
Hg
金属蒸汽 狭
v l
麦克斯韦速率分布
单位速率区间内分子数占总分子数的百分率：
N Nv
～
v
速率分布函数：
N 1 dN
f
(v)
lim
v 0
Nv
N
dv
概率
f (v)dv dN
N
速率分布函数的物理意义：
概率密度
分子速率在 v 附近，单位速率区间内分子数占总 分子数的百分率.
麦克斯韦速率分布函数：
麦克斯韦速率分布
f (v) 4 (
20
200 300 m s1 30
0.3
15 10
5
0
麦克斯韦速率分布
1859年，英国物理学家麦克斯韦（J.C.Maxwell）把 统计方法引入分子动理论
研究对象: 处于平衡态的理想气体系统
不考虑分子速度的方向，只考虑分子按速度大小（速 率）的分布称为分子速率分布律
设 N 为总分子数，则
N v v v 分子数
大学物理
气体动理论
第2讲 麦克斯韦速率分布
一、麦克斯韦分子速率分布函数
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布
设有 N = 100 个粒子，速率范围：0 300 m s-1
N
v
N N 50
45
0 100 m s1 20 0.2 40 35
30
100 200 m s 1 50 0.5 25
ΔN ΔN/N
缝
显 示 屏
l
麦克斯韦速率分布
1934年我国 物理学家葛正 权用实验测定 了分子的速率 分布.
麦克斯韦速率分布
气体分子速率分布的测定原理