完全平方公式变形练习题
完全平方公式变形练习题
1、已知m 2+n 2
-6m+10n+34=0，求m+n 的值
2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
3．已知 2
()16,4,a b ab +==求22
3a b +与2()a b -的值。
4．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
5．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
6.已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
7.已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值
8.已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
9.已知222450x y x y +--+=，求21(1)2
x xy --的值。
10.已知16x x -=，求221x x
+的值。 11.0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x
x +
12.试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
13.已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？ 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
完全平方公式练习题一
完全平方公式为： 注：1.完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同． 结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a ?b ）2＝a 2 ?2ab+b 2 ; 平方差公式的结果是两项， 即（a+b ）（a?b ）＝a 2?b 2. 2. 解题过程中要准确确定a 和b ，对照公式原形的两边, 做到不丢项、 不弄错符号、2ab 时不少乘2。 3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。 例1 用完全平方公式计算： （1）(2x ?3)2 ； (2) (4x +5y )2 ; (3) (mn ?a )2 练习： 1、计算：2 )221 (y x - (n +1)2－n 2 (2x 2－3y 2)2 2、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 例2.计算： （1）(-1-2x )2 （2）()()n m n m +--22 （3）)432)(432(-++-y x y x （4）22)32 1()321(b a b a +-
练习： (1)()2c b a -+ (2) (-2x +1) 2 （3))4)(2)(2(22y x y x y x --+ （4）??? ??+-??? ??-b a b a 32132 1 拓展：1.已知31=+ x x ，则=+221x x ________________ 2. 已知131-=x y ，那么2323122-+-y xy x 的值是________________ 3、已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方公式，则m = 4、若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=
最新完全平方公式变形公式专题
半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()22 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 (1)1=+y x ，则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= (二）公式变形 (1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (3)如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 (4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 (5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是
完全平方公式变形的应用练习题
乘法公式的拓展及常见题型整理 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222 +-=+a a a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()2 2 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求 ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 2 2 a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则2221 21y xy x ++= ⑶已知xy ２ y x ，y x x x -+-=---2 22 2)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________
完全平方公式测试题与答案
绝密★启用前 完全平方公式 测试时间:20分钟 一、选择题 1.计算(a-3)2 的结果是( ) A.a 2 -9 B.a 2 +9 C.a 2 -6a+9 D.a 2 +6a+9 2.计算(-a-b)2 等于( ) A.a 2 +b 2 B.a 2 -b 2 C.a 2 +2ab+b 2 D.a 2 -2ab+b 2 3.下列式子中,总能成立的是( ) A.(a-1)2 =a 2 -1 B.(a+1)2 =a 2 +a+1 C.(a+1)(a-1)=a 2 -a+1 D.(a+1)(1-a)=1-a 2 4.对于任意有理数a,b,现用“☆”定义一种运算:a☆b=a 2 -b 2 ,根据这个定义,代数式(x+y)☆y 可以化简为( ) A.xy+y 2 B.xy-y 2 C.x 2 +2xy D.x 2 5.(2019黑龙江伊春中考)下列各运算中,计算正确的是( ) A.a 2 +2a 2 =3a 4 B.b 10 ÷b 2 =b 5 C.(m-n)2 =m 2 -n 2 D.(-2x 2)3 =-8x 6 6.(2019湖南张家界中考)下列运算正确的是( ) A.a 2 ·a 3 =a B.a 2 +a 3 =a 5 C.(a+b)2 =a 2 +b 2 D.(a 3)2 =a 6 7.(2018江苏淮安洪泽期末)下列各式中计算正确的是( ) A.(a-b)2 =a 2 -b 2 B.(a+2b)2 =a 2 +2ab+4b 2 C.(a 2 +1)2 =a 4 +2a+1 D.(-m-n)2 =m 2 +2mn+n 2 8.(2018四川南充中考)下列计算正确的是( ) A.-a 4 b÷a 2 b=-a 2 b B.(a-b)2 =a 2 -b 2 C.a 2 ·a 3 =a 6 D.-3a 2 +2a 2 =-a 2 9.已知x 2 +16x+k 是完全平方式,则常数k 等于( ) A.64 B.48 C.32 D.16 10.已知(x+y)2 =9,(x-y)2 =5,则xy 的值为( ) A.-1 B.1 C.-4 D.4 11.已知a+b=3,ab=2,则a 2 +b 2 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 12.(1)( +4y)2 =1+8y+ ; (2)(a- )2 =a 2-14a+164. 13.一个正方形的边长增加了2 cm,面积相应增加了32 cm 2 ,则原正方形的边长为 . 三、解答题 14.化简:(m+2)2 +4(2-m). 15.计算: (1)(b+c)(-b-c);(2)(-x+3y)2 ;(3)(-m-n)2 . 16.计算:(x -1 2y)2 -(x -1 2y)(1 2y +x). 参考答案 一、选择题 1.答案 C (a-3)2 =a 2 -6a+9,故选C. 2.答案 C (-a-b)2 =(-a)2 -2·(-a)·b+b 2 =a 2 +2ab+b 2 .故选C. 3.答案 D 根据完全平方公式可知(a-1)2 =a 2 -2a+1,(a+1)2 =a 2 +2a+1,根据平方差公式可知(a+1)(a-1)=a 2 -1,故A 、B 、C 均不成立;D 中(a+1)(1-a)=(1+a)(1-a)=1-a 2 ,故D 成立. 4.答案 C (x+y)☆y=(x+y)2 -y 2 =x 2 +2xy+y 2 -y 2 =x 2 +2xy.故选C. 5.答案 D A.a 2 +2a 2 =3a 2 ,故此选项错误; B.b 10 ÷b 2 =b 8 ,故此选项错误; C.(m-n)2 =m 2 -2mn+n 2 ,故此选项错误; D.(-2x 2)3 =-8x 6 ,故此选项正确. 故选D. 6.答案 D a 2 ·a 3 =a 2+3 =a 5 ,A 错误; a 2与a 3 不是同类项,不能合并,B 错误; (a+b)2 =a 2 +b 2 +2ab,C 错误; (a 3)2 =a 3×2=a 6 ,D 正确. 故选D. 7.答案 D A 项,应为(a-b)2 =a 2 -2ab+b 2 ,故本选项错误;B 项,应为(a+2b)2 =a 2 +4ab+4b 2 ,故本选项错误;C 项,应为(a 2 +1)2 =a 4 +2a 2 +1,故本选项错误;D 项,(-m-n)2 =m 2 +2mn+n 2 ,正确.故选D. 8.答案 D -a 4 b÷a 2 b=-a 2 ,故选项A 错误, (a-b)2 =a 2 -2ab+b 2,故选项B 错误, a 2 ·a 3 =a 5,故选项C 错误, -3a 2 +2a 2 =-a 2 ,故选项D 正确. 9.答案 A 16x=2·8x,(x+8)2 =x 2 +16x+64,故k=64. 10.答案 B 由(x+y)2 =9,得x 2 +2xy+y 2 =9,① 由(x-y)2 =5,得x 2 -2xy+y 2=5,② ①-②,得4xy=4,所以xy=1. 11.答案 C ∵a+b=3,ab=2,∴a 2 +b 2 =(a+b)2 -2ab=32 -2×2=5. 二、填空题 12.答案 (1)1;16y 2 (2)1 8 解析 (1)(1+4y)2 =1+8y+16y 2 . (2)(a -18)2 =a 2 -14a+1 64. 13.答案 7 cm
初中数学人教版八年级上册完全平方公式的综合应用(习题及答案)
初中数学人教版八年级上册实用资料 完全平方公式的综合应用（习题） ? 例题示范 例1：已知12x x - =，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】 ① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ? =，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题； ② “x ”即为公式中的a ，“ 1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2 221112x x x x x x ??+=-+? ???； ③ 将12x x -=，11x x ?=代入求解即可； ④ 同理，2 4224221112x x x x x x ??+=+-? ???，将所求的221x x +的值及2211x x ?=代入即可求解． 【过程书写】 例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________． 【思路分析】 此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”． 观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ? 巩固练习 1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____． 2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44 1a a +的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________． （2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上 的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________． 6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______． 7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值． ? 思考小结 1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等 吗？若不相等，相差多少？
完全平方公式之恒等变形
§1．6 完全平方公式（2） 班级： 姓名： 【学习重点、难点】 重点： 1、弄清完全平方公式的结构特点； 2、会进行完全平方公式恒等变形的推导． 难点：会用完全平方公式的恒等变形进行运算． 【学习过程】 ● 环节一：复习填空 ()2_____________a b += ()2_____________a b -= ● 环节二： 师生共同推导完全平方公式的恒等变形 ①()222_______a b a b +=+- ②()222_______a b a b +=-+ ③()()22_______a b a b ++-= ④()()22_______a b a b +--= ● 典型例题及练习 例1、已知8a b +=，12ab =，求22a b +的值 变式训练1：已知5a b -=，22=13a b +，求ab 的值 变式训练2：已知6ab =-，22=37a b +，求a b +与a b -的值 方法小结：
提高练习1：已知+3a b =，22+30a b ab =-，求22a b +的值 提高练习2：已知210a b -=，5ab =-，求224a b +的值 例2、若()2=40a b +，()2=60a b -，求22a b +与ab 的值 小结： 课堂练习 1、（1）已知4x y +=，2xy =，则2)(y x -= （2）已知2()7a b +=，()23a b -=，求=+22b a ________，=ab ________ （3）()()2222________a b a b +=-+ 2、（1）已知3a b +=，4a b -=，求ab 与22a b +的值 （2）已知5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。 （3）已知224,4a b a b +=+=，求22a b 与2()a b -的值。
人教版【教案】 完全平方公式
完全平方公式 【知识与技能】 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何解释. 【过程与方法】 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力. 【情感态度】 在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养探究精神. 【教学重点】 完全平方公式的应用. 【教学难点】 完全平方公式的结构特征及几何解释. 一、情境导入，初步认识 问题一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们，来一个孩子，就给一块糖；来两个孩子，就给每个孩子两块糖，…… （1）第1天有a个男孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第2天有b个女孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （3）第 3天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了孩子们多少块糖？ （4）这些孩子第3天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ 【教学说明】（4）的结果需要化简，应用乘法法则可求出（a+b）2.引导学生结合教材认识从几何角度解释（a+b）2的结果.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”. 【归纳总结】公式的表达式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2. 公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式；左边是两数和的形式时，右边就是这两数的平方和加上这两数积的2倍（和对应加）；左边是两数差的形式时，右边就是这两数的平方和减去这两数积的2倍（差对应减）；两公式结构相同，仅一个符号不同.
二、思考探究，获取新知 例1计算下列各题. 【分析】（1）、（2）可直接应用公式.计算时，如遇小数，应将其化成分数，这样可方便计算.（3）、（ 4 ）应注意符号，或可直接应用公式（a-b）2=a2-2ab+b2. 例2计算：（1）1032；（2）2992. 【分析】通过观察可发现103=100+3，299=300-1，这样可应用完全平方公
完全平方公式变形公式专题
半期复习(3)—- 完全平方公式变形公式及常见题型 一、公式拓展: 拓展一: 拓展二: 拓展三: 拓展四:杨辉三角形 拓展五: 立方与与立方差 二。常见题型: (一)公式倍比 例题:已知=４,求。 (１),则= (2)已知＝ (二)公式变形 (1)设(5a ＋3b)2＝(5a －3b)2+Ａ,则A ＝ (２)若()()x y x y a -=++22 ,则a 为 (３)如果,那么M 等于 (４)已知(a ＋b)２=m,(ａ—b)2＝n,则a ｂ等于 (５)若,则N 得代数式就是 (三)“知二求一” 1.已知ｘ﹣y=1,ｘ2+y 2=２５,求ｘy 得值. 2。若ｘ+ｙ=３,且(x ＋２)(ｙ＋2)=12. (1)求ｘy 得值; (2)求x 2+３xy+y 2得值. ３.已知:x ＋y=3,xy=﹣8,求: (1)ｘ２＋y 2 (2)(x 2﹣１)(y ２﹣1). 4.已知a ﹣b=3,ab=2,求: (1)(a+ｂ)2 (2)a 2﹣6ａｂ+b 2得值、 (四)整体代入 例1:,,求代数式得值、 例2:已知a ＝ x ＋2０,ｂ=x ＋19,c=ｘ+21,求a 2＋ｂ2+c 2－ab-bc-ac 得值 ⑴若,则＝ ⑵若,则＝ 若,则= ⑶已知a 2+b ２=6ab 且a 〉b ＞0,求 得值为
⑷已知,,,则代数式得值就是、 (五)杨辉三角 请瞧杨辉三角(1),并观察下列等式(２): 根据前面各式得规律,则(a+b)6= . (六)首尾互倒 １.已知m2﹣6m﹣1=0,求2ｍ２﹣6m＋＝。 2、阅读下列解答过程: 已知:ｘ≠０,且满足ｘ2﹣3ｘ=1.求:得值。 解:∵x2﹣３x=1,∴x2﹣3x﹣1=0 ∴,即. ∴==32+2=11. 请通过阅读以上内容,解答下列问题: 已知a≠０,且满足(2a+１)(1﹣2a)﹣(3﹣2a)２+９a２=14ａ﹣7, 求:(1)得值;(2)得值。 (七)数形结合 1、如图(1)就是一个长为2m,宽为２ｎ得长方形,沿图中得虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图(2)形状拼成一个正方形。 (1)您认为图(2)中得阴影部分得正方形边长就是多少? (2)请用两种不同得方法求图(2)阴影部分得面积; (3)观察图(2),您能写出下列三个代数式之间得等量关系不? 三个代数式:(m＋n)2,(m﹣ｎ)2,mn. (4)根据(3)题中得等量关系,解决下列问题:若a+ｂ=7,ａb=5,求(a﹣b)2得值. 2.附加题:课本中多项式与多项式相乘就是利用平面几何图形得面积来表示得,例如:(2a＋ｂ)(a+ｂ)＝2a2+3ab＋b２就可以用图1或图２得面积来表示. (１)请写出图3图形得面积表示得代数恒等式; (２)试画出一个几何图形,使它得面积能表示(ａ+b)(a+3b)=ａ2+4ab+3ｂ2。 (八)规律探求 15.有一系列等式:
完全平方公式练习50题
完全平方公式专项练习 知识点： 姓名： 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2 2、能否运用完全平方式的判定： ① 两数和（或差）的平方 即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2 ② 两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。 即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2 -a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2 专项练习： 1．（a ＋2b ）2 2.（3a －5）2 3.．（－2m －3n ）2 4. （a 2－1）2－（a 2＋1）2 5.（－2a ＋5b ）2 6.（－21ab 2－3 2c ）2 7.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ） 8.（2a ＋3）2＋（3a －2）2 9.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； 11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 12. 972； 13. 20022； 14. 992－98×100； 15. 49×51－2499； 16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）2 17.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ） 18. (a+b+c+d)2 19.（２a ＋１）2－（１－２a ）2 20.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）
新人教版完全平方公式教案
14.2.2 完全平方公式 时间： 地点：初二（20）班 开课教师：叶春意 一、 教学目标 知识与技能：了解完全平方公式的推导过程，理解公式的几何背景；能用文字 和符号语言表述完全平方公式，掌握公式的结构特征，会运用公式 】 进行准确的计算。 过程与方法：经历完全平方公式的探索过程，使学生熟悉完全平方公式的特征， 进一步发展学生的符号感和推理能力，培养学生的发现能力、归纳 能力。 情感、态度与价值观：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中 ` 获得成功的体验与喜悦，树立学习信心。 二、 教学重难点 教学重点：能用语言准确表述完全平方公式，会运用公式进行准确的计算 教学难点：掌握公式的结构特征，会运用完全平方公式进行准确的计算 三、 教学过程 ! 1、复习旧知 （1）多项式与多项式相乘的法则： ()()a b m n am an bm bn ++=+++ （2）根据乘方的定义，2()a b +应该写成什么样的形式呢 2()a b += ~ 2、探究新知 问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律 （1）2(1)(1)(1)p p p +=++= （2）2(2)m +=
（3）2()a b += \ 师生活动：通过计算2()a b +=()()a b a b ++=22a ab ba b +++222a ab b =++，教师引导学生得出222()2a b a ab b +=++。 让学生观察上述公式，尝试总结222()2a b a ab b +=++的特点，小组交流讨论，并派学生代表回答。 教师给予肯定并进行相应补充：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。 学生类比上题，计算下列多项式的积： （4）2(1)(1)(1)p p p -=--= ' （5）2(2)m -= （6）2()a b -= 通过计算，学生自主得出222()2a b a ab b -=-+，并尝试用文字语言表述该公式的特点：两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。教师给予肯定，并让学生将两个公式进行对比，进一步挖掘公式的结构特征： ①积为二次三项式； ②积中两项为两数的平方和； . ③另一项是两数的积的2倍，但符号与乘式中间的符号相同； ④公式中的a 、b 可以表示数、单项式或多项式。 222 222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+ 教师指出，这两个公式叫做乘法的完全平方公式，并板书课题。 3、应用新知 - 例1 运用完全平方公式计算：
初中数学完全平方公式的变形与应用
完全平方公式的变形与应用 提高培优完全平方公式 222222()2,()2a b a a b b a b a a b b 在使用时常作如下变形： (1) 222222()2,()2a b a b a b a b a b a b (2) 2222()()4,()()4a b a b a b a b a b a b (3) 2222 ()()2()a b a b a b (4) 2222 1 [()()]2a b a b a b (5) 22 1 [()()]2a b a b a b (6) 222222 1 [()()()]2a b c a b b c ca a b b c c a 例1 已知长方形的周长为 40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有： α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略，下同) 例2 已知长方形两边之差 为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积. 解设长方形长为 α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和， 证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和 . 证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证 例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？ 解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为 S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116 (x 2+y 2) =132 [(x+y)2+(x-y)2] =132 [642+(x-y)2]. ∵(x-y)2 ≥０，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为 64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为 10，平方和为52，求这两数的积. 解设这两数分别为α、b ，则α+b =10，α2+b 2 =52. 由公式(5)，有： αb=12 [(α+b)2-(α2+b 2)] =12 (102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3. 求：α2+b 2+c 2-αｂ-bc-c α的值. 解由公式(6)有： α2+b 2+c 2-αｂ-bc-αｃ =12 [(α-b)2+(b-c )2+(c-α）2] =12 [(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.
完全平方公式提升练习题
完全平方公式提升练习题 一、完全平方公式 1、（－ 21ab 2－3 2c ）2； 2、（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 3、（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； 4、若k x x ++22是完全平方式，则k =____________. 5、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 6、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 7、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 二、公式的逆用 8．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 9．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 10．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 11．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 12．代数式xy －x 2－4 1y 2等于（ ）2 三、配方思想 13、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 14、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 15、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.
16、已知x 、y 满足x 2十y 2十 45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______. 17．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 四、完全平方公式的变形技巧 18、已知 2 ()16,4,a b ab +==求22 3a b +与2()a b -的值。 19、已知2a －b ＝5，ab ＝2 3，求4a 2＋b 2－1的值． 20、已知16x x -=，求221x x +，441x x + 21、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x x +
完全平方公式变形公式专题
半期复习（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展： 2a2b2(a b)22ab 22 拓展一：a b(a b)2ab 11211 2 2 2 a(a)2a(a)2 22 a a a a 2a b2a b22a22b2 2 拓展二：(a b)(a b)4ab 22(a b)2(a b)24ab (a b)(a b)4ab 2222 拓展三：a b c(a b c)2ab2ac2bc 拓展四：杨辉三角形 33232 33 (a b)a a b ab b
444362243 4 (a b) a a b a b ab b 拓展五：立方和与立方差 3b a b a ab b 3223b3a b a ab b 22 a()()a()() 第1页（共5页）
二．常见题型： （一）公式倍比 。 2 2 a b 例题：已知 a b =4，求ab 2 1 1 (1) x y 1，则 2 2 x xy y = 2 2 2 2 x y 2 ) 2 (2) 已知x x x y ，xy ( 1) ( 则= ２ ( 二）公式变形 (1) 设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则A= 2 2 (2) 若( x y) ( x y) a ，则a 为 (3) 如果 2 ( ) 2 (x y) M x y ，那么M等于(4) 已知(a+b) 2=m，(a —b) 2=n，则ab 等于 2 (2 3 ) 2 ( ，则N的代数式是(5) 若2a b a b N 3 ) （三）“知二求一” 1．已知x﹣y=1，x 2+y2=25，求xy 的值． 2．若x+y=3 ，且（x+2）（y+2）=12． （1）求xy 的值； 2+3xy+y 2 的值． （2）求x
完全平方公式常考题型(经典)
完全平方公式典型题型 一、公式及其变形 1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2） 公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意： 222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 2、公式变形 (1)+（2）得:22 22 ()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22 ()()4 a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=- 3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 二、题型 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2 是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．
中考数学 完全平方公式提升练习题
第1页/共3页 完全平方公式提升练习题 一、完全平方公式 （1）（－21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； （3）（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （4）（2a ＋3）2＋（3a －2）2 （5）（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； （6）（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2；（7）（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 8.已知x 2－5x +1=0,则x 2+ 21 x =________. 二、完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = [来源:学#科#网] 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 三、公式的逆用[来源:Z+xx+https://www.360docs.net/doc/f4215219.html,] 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 5．代数式xy －x 2－4 1 y 2等于（ ）2 四、配方思想 1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2 x xy --=_______. 4、已知x 、y 满足x 2十y 2十4 5 ＝2x 十y ，求代数式 y x xy +=_______. 5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 五、完全平方公式的变形技巧 1、已知 2 ()16,4,a b ab +==求22 3 a b +与2()a b -的值。
完全平方公式变形公式专题
半期复习(3)—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一.公式拓展: 拓展一: 拓展二: 拓展三: 拓展四:杨辉三角形 拓展五: 立方与与立方差 二.常见题型: (一)公式倍比 例题:已知=4,求。 (1),则= (2)已知= (二)公式变形 (1)设(5a ＋3b)2=(5a －3b)2＋A,则A= (2)若()()x y x y a -=++22 ,则a 为 (3)如果,那么M 等于 (4)已知(a+b)2=m,(a —b)2=n,则ab 等于 (5)若,则N 得代数式就是 (三)“知二求一” 1.已知x ﹣y=1,x 2+y 2=25,求xy 得值. 2.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12. (1)求xy 得值; (2)求x 2+3xy+y 2得值. 3.已知:x+y=3,xy=﹣8,求: (1)x 2+y 2 (2)(x 2﹣1)(y 2﹣1). 4.已知a ﹣b=3,ab=2,求: (1)(a+b)2 (2)a 2﹣6ab+b 2得值. (四)整体代入 例1:,,求代数式得值。 例2:已知a= x ＋20,b=x ＋19,c=x ＋21,求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 得值 ⑴若,则= ⑵若,则= 若,则=
⑶已知a2＋b2=6ab且a＞b＞0,求得值为 ⑷已知,,,则代数式得值就是. (五)杨辉三角 请瞧杨辉三角(1),并观察下列等式(2): 根据前面各式得规律,则(a+b)6=. (六)首尾互倒 1.已知m2﹣6m﹣1=0,求2m2﹣6m+=. 2.阅读下列解答过程: 已知:x≠0,且满足x2﹣3x=1.求:得值. 解:∵x2﹣3x=1,∴x2﹣3x﹣1=0 ∴,即. ∴==32+2=11. 请通过阅读以上内容,解答下列问题: 已知a≠0,且满足(2a+1)(1﹣2a)﹣(3﹣2a)2+9a2=14a﹣7, 求:(1)得值;(2)得值. (七)数形结合 1.如图(1)就是一个长为2m,宽为2n得长方形,沿图中得虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图(2)形状拼成一个正方形. (1)您认为图(2)中得阴影部分得正方形边长就是多少？ (2)请用两种不同得方法求图(2)阴影部分得面积; (3)观察图(2),您能写出下列三个代数式之间得等量关系吗？ 三个代数式:(m+n)2,(m﹣n)2,mn. (4)根据(3)题中得等量关系,解决下列问题:若a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2得值. 2.附加题:课本中多项式与多项式相乘就是利用平面几何图形得面积来表示得,例 如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2得面积来表示. (1)请写出图3图形得面积表示得代数恒等式; (2)试画出一个几何图形,使它得面积能表示(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2. (八)规律探求 15.有一系列等式:
《完全平方公式》测试题
6 1.8完全平方公式 （总分100分 时间40分钟） 一、填空题:(每题4分,共28分) 1 2 2 1 2 1. ( _x+3y) = _____ ,( ) = —y-y+1. 3 4 2 2 2 2 2. ( ) =9a - ______ +16b ,x +10x+ _______ =(x+ 2 3. (a+b-c) = ___________________ . 2 2 2 1 4. (a-b) + _______ =(a+b) ,x + 飞 + ___________ =(x- x 2 5. 如果a 2 +ma+9是一个完全平方式，那么m= _______ 6. （x+y-z ）（x-y+z ）= ____ . 7. 一个正方形的边长增加 2cm,它的面积就增加12cm 2 ,?这个正方形的边长是 ________________ 二、选择题:（每题5分,共30分） 8. 下列运算中，错误的运算有（） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 〔22 I ①(2x+y) =4x +y ,②(a-3b) =a -9b ,③(-x-y) =x -2xy+y ,④(x- ) =x - 2 x+ , 4 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.若 a 2 +b 2 =2,a+b=1,则 ab 的值为 () A.-1 B.- 1 C.- 3 D.3 2 2 10.若 4 4 ~2 — 1,则-=() x x x A.-2 B.-1 C.1 D.2 11.已知 x-y=4,xy=12,则 x 2 +y 2 的值是() 1 14. 已知 X M 0 且 x+ =5,求 x 4 x .) A.28 B.40 C.26 D.25 12.若 x 、y 是有理数，设 N=3x+2y-18x+8y+35,则() A.N C.N 定是负数 定是正数 1 13.如果（一a 2 八1 2 3 3 三、解答题：（ x)2 B.N D.N 1 2 a 4 2 3 或-1 3 每题7分,共42分） B.- 一定不是负数 的正负与x 、y 的取值有关 1 ,则 x 、y 9 -C. 3 的值分别为（
完全平方公式变形公式专题
半期复习(3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二:a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2 222---++=++ 拓展四:杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二.常见题型： （一）公式倍比 例题:已知b a +=4,求ab b a ++2 2 2。 (１)1=+y x ,则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= （二)公式变形 (１)设(５a ＋3b ）2=(5ａ－３b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (３)如果2 2)()(y x M y x +=+-,那么M 等于 （4）已知(ａ+b)2=m ，(a —b)２=n ，则ａb 等于 (５)若N b a b a ++=-22)32()32(,则N 的代数式是 （三）“知二求一” 1．已知ｘ﹣ｙ=1,x ２+y ２＝25，求xy 的值. 2.若x ＋y=3,且（x+2)（y ＋2）=12. （1)求ｘｙ的值； （2）求x 2＋3x ｙ+ｙ2的值．
完全平方公式的变形与应用
完全平方公式的变形与应用 完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形： (1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+ (2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+- (3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+ (4) 22221[()()]2 a b a b a b +=++- (5) 221[()()]2 ab a b a b =+-- (6) 2222221[()()()]2 a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- 例1 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 解 设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有： α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略，下同) 例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积. 解 设长方形长为α，宽为b ，则α-b=4，αb=12. 由公式(2)，有： (α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和. 证明 设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证 例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？ 解 设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为S ，则由公式(4)，有： S=(x 4)2+(y 4)2=116 (x 2+y 2) =132 [(x+y)2+(x-y)2] =132 [642+(x-y)2]. ∵(x-y)2≥0， ∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为64232 =128(cm 2). 例5 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积. 解 设这两数分别为α、b ，则α+b=10，α2+b 2=52. 由公式(5)，有： αb=12 [(α+b)2-(α2+b 2)] =12 (102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3. 求：α2+b 2+c 2-αb -bc-cα的值. 解 由公式(6)有： α2+b 2+c 2-αb -bc-αc =12 [(α-b)2+(b-c)2+(c-α)2] =12 [(-1)2+(-1)2+22] =12 ×(1+1+4)=3.