静电场散度与旋度
§ 1.7 静电场的散度和旋度
现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程——散度方程和旋度方程.
1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848）
在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比
的极限
(1.7-1)
为矢量场 A在该点的散度（divergence of A）
它是一个标量.显然
若则该点散度▽·A ≠ 0，该点就是矢量场A的一个源点
若则该点散度▽·A = 0，该点不是矢量场A的源点
若所有点上均有▽·A = 0，A就称为无散场.
在直角坐标系中
(1.7-2)
▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850.
高斯定理（Gauss, Theorem）
对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立：
(1.7-3)
即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分. 由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽·A = 0. 这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线.
2.电场的散度方程
大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程
(1.7-4)
其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) )，(1.7-4)的左边可化为V内E 的散度之体积分，因此有
设想体积V缩小成包含某点P（x,y,z）的无限小体积元dV，便得
(1.7-5)
这就是电场高斯定理的微分形式——电场的散度方程.它表示电荷分布点，即r ≠ 0 的点上▽·E ≠ 0, 这些点就是电场的源点.
3.矢量场的旋度和斯托克斯定理（参见教材 P853）
在连续可微的矢量场 A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径 L积分，△S=△S是L 围成的面积元矢量, 并且约定：
面积元△S 的法向，与路径积分绕行方向符合右旋规则.当△S缩小成某点P（x,y,z）的无限小邻域，定义如下极限
(1.7-6)
为矢量场 A的旋度▽×A (curl of A , rotation of A )
在方向的投影
按上述约定
若（▽×A）n为正值，则A的场线在该点周围形成右手涡旋
若（▽×A）n为负值，则A的场线在该点周围形成左手涡旋
若（▽×A）n =0，A线在该点不形成涡旋
如果在所有点上均有▽×A =0，则A场就称为无旋场
在直角坐标系中，A的旋度为
(1.7-7)
▽×A在球坐标和柱坐标系中的表达式，见教材 P855.
斯托克斯定理（Stokes, Theorem）
对任意闭合路径L及其围成的曲面S，下述积分变换成立：
(1.7-8)
即，矢量场A沿任意闭合路径L的环量，等于它在L所围的任意曲面S上各点旋度的面积分. 由此可知，若矢量场A沿任意闭合路径L的环量恒为零——保守场，它就是无旋场，即处处有▽×A = 0.
4.静电场的旋度方程
我们知道，静电场是一个保守场，即对任意闭合路径L ，E 的环量均为零
(1.7-9)
据斯托克斯定理（1.7-8)，我们可得到(1.7-9)的微分形式
▽×E = 0 (1.7-10)
这表示，静电场是无旋场.如大家所知，静电场的E 线始发于正电荷，终止于负电荷， E线无涡旋状的结构磁场线（B线）则是围绕电流构成闭合的、涡旋状的结构. (1.7-5)和(1.7-10) 是静电场两个基本的微分方程.
静电场的两个基本的微分方程
至此，我们已经得到静电场的两个基本的微分方程：
(1.7-5)
▽×E = 0 (1.7-10)
（1）这两个方程分别是静电场的高斯定理
和环路定理
的微分形式
（2）这两个方程描述了静电场的有源无旋性质：
电荷分布点是电场的源点
静电场的场线无涡旋状结构
散度和旋度
§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS 我们已经得到稳恒磁场两个积分方程： 磁场“高斯定理” (2.4-1) 安培环路定理 (2.4-2) 由高斯积分变换定理 于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程： ▽.B = 0 （2.4-3） （比较：电场的散度方程▽.E = ρ / ε0） 再由斯托克斯积分变换定理 由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B = μ0J （2.4-4） （比较：静电场的旋度方程▽×E = 0 ） (2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质. 方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立. （2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方， ▽×B = 0，涡旋不是在此处形成.
5.关于磁单极子 ( Magnetic Monopole) 按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值 n = 0 , ±1，±2 ···（2.4-5） 其中，普郎克常数 h = 6.626196(50) ×10-34焦耳秒， e为基本电荷的绝对值. 上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n =±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B 线发出或终止. 假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开q m为 r 处 （2.4-6） 那么，对于包围着q m的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成 （2.4-7） 若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程 （2.4-8） 我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的. 此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到 （2.4-9）
散度,旋度,涡度
假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。 上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。 矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例如加、减和乘等（数学上没有矢量的除法）。 显然，我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算，例如同时将它们乘以一个数，或加上一个数等。但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算，其中散度就是其中一种。 三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为（P，Q，R）。注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。 对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为（P，Q，R）进行以下操作： 1、求出dP/dx＋dQ/dy＋dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同； 2、将这个值赋予这个点 对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence)，这种运算就叫做“对矢量场取散度”。 除了散度运算以外，我们还可以对矢量场进行其它的运算，例如旋度运算(curl)。 跟散度运算不同，旋度运算的结果不是标量场，而是另一个矢量场。旋度运算的规则比较繁复，但是网上很多地方都有解释，这里就不讲了。 而涡度就是一个速度场的旋度，显然涡度是一个矢量场，而散度是一个标量场，这就是两者的本质区别了。 对电场散度和旋度的理解 首先在说明散度和旋度之前，先说说对于曲面积分和曲线积分的理解。 对曲面的积分有两类（第一类曲面积分和第二类曲面积分），这个差别主要在于矢量性，第一类曲面积分并不带矢量性，比如知道面密度和面积的微元，对密度求积分得到整个面积的质量，而第二类曲面积分带有矢量性，比如知道流速V=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k和小微元面积的单位法向量n=(cosA,cosB,cosC)，对流速求积分得到单位时间的流量，但是后者的流速和小微元面积带有方向。因此可以说第二类曲面积分就是对于向量点积的积分，第一
梯度,散度,旋度以及几个常用的PDE方程
梯度，散度，旋度以及几个常用的PDE 方程 ——蒋小敏2012-05-07 在最近的学习过程中，经常碰到梯度、散度、旋度等数学概念。惭愧的是以前学的不够认真，到了现在，忘记的也差不多了，趁这个机会把这些知识捡回来，做一个总结，以后可以作为一个参考，是为记。 本文按知识点进行小节划分，提到的问题都是我自己经常忘记和搞混的知识点。先定义一下本文的一些符号表达： 矢量：大写黑体斜体字母A ，大写斜体字母加表示矢量的符号 标量：小写斜体字母u 单位矢量：小写上加倒勾e x 一、矢量 （1）矢量的定义 若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。例如在直角坐标系中, 矢量A 的三个分量模值分别是Ax ，Ay ，Az ，则矢量A ， z y x A z A y A x A ???++= （2）矢量的模 222z y x A A A A ++= （3）矢量的乘积 标量积，Dot production 点乘，这是一个标量 AB a B A B A cos =? 2 222A A A A A A B A B A B A B A z y x z z y y x x =++=?++=? A x e
矢量积，Cross production 叉乘，这是一个矢量 AB a B A n B A sin ?=? 其中 为A , B 所在平面的右手法向。 z y x z y x B B B A A A z y x B A ???=? 二、通量 （1）通量的定义 若矢量场A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S ，则 ??=ψS d S A 为矢量A 沿有向曲面S 的通量。 （2）通量的物理含义 表示穿入和穿出闭合面S 的矢量通量的代数和。 若0>ψ穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源； 若0<ψ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源； 若0=ψ，闭合面无源。 在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。 三、散度 （1）散度的定义 当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A 在该点的散度，以div A 表示，即 n ?
静电场的散度和旋度
§1.7 静电场的散度和旋度 现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程--散度方程和旋度方程. 1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848） 在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比 的极限 (1.7-1) 为矢量场A在该点的散度（divergence of A） 它是一个标量.显然 若则该点散度▽·A ≠0，该点就是矢量场A的一个源点 若则该点散度▽·A = 0，该点不是矢量场A的源点 若所有点上均有▽·A = 0，A就称为无散场. 在直角坐标系中 (1.7-2) ▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850. 高斯定理（Gauss, Theorem） 对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立： (1.7-3) 即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分. 由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽·A = 0. 这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线. 2.电场的散度方程 大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程 (1.7-4) 其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) )，(1.7-4)的左边可化为V内E 的散度之体积分，因此有 设想体积V缩小成包含某点P（x,y,z）的无限小体积元dV，便得 (1.7-5) 这就是电场高斯定理的微分形式--电场的散度方程.它表示电荷分布点，即r ≠0 的点上▽·E ≠0, 这些点就是电场的源点. 3.矢量场的旋度和斯托克斯定理（参见教材P853） 在连续可微的矢量场A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径L积分，△S=△S 是L 围成的面积元矢量, 并且约定： 面积元△S 的法向，与路径积分绕行方向符合右旋规则.当△S缩小成某点P（x,y,z）的无限小邻域，定义如下极限 (1.7-6)
静电场的散度与旋度
静电场的散度与旋度 赫母霍兹定理指出,任意矢量场由他的散度,旋度和边界条件 唯一的确定,要确定静电场,需要讨论它的散度与旋度. ⑴静电场的散度与高斯定理 )(4)1()1()(41 )(:)1()(41)()(,)1(,,,)(41)(2 200330r r R V d R r r E V d R r r E r E R R R r R r r R V d r R R r E V V v --=?∴'?-=??'?-=-=?-=-='=???πδρπερπερπε两遍取散度写成可将由前面所学可知式中 V d r r r V ''-'=???)()(10δρε
0,ερ=??∴E V 内区域我们已假设电荷分布在 这是高斯定理的微分形式，它表明空间任意一点电场强度的散度 与该处的电荷密度有关，静电荷使静电场的通量源，电荷密度为 正，称为发散源；电荷密度为负，汇聚源。 对上式两边求积分 ??=??V V dV dV 0ερ ????=∴=??v S S V dV d d dV ρε01由于 之比。所包围的总电荷与的通量等于该闭合曲面曲面矢量穿过闭合形式。它表明电场强度上式为高斯定理的积分0εS 静电场的旋度⑵ ??? ?????''-?=∴-'?'?'-=??V V V d R r r V d R r )(41)(41)(,)1()(41)(0 0ρπεπερρπε无关及与考虑
故 梯度再求旋度时恒等于而任何一个标量函数的函数 上式括号时一连续标量对上式取旋度 ,0))(41 ()(E 0?''??-?=??V V d R r r ρπε因此静电场是无旋场0 =??E 0,,0=??=??=??????? d E d E S d E S d E C C S S 利用斯托克斯定理 电场力不做功。 动一周合路径移电荷沿静电场中任一闭其物理含义是将单位正的积分恒等于沿任意闭合路径在静电场中上式表明,,0,,C
2.1 静电场的散度与 旋度
静电场的散度和旋度
汪毅
本章重点、难点及主要内容简介
本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定 律及一些假设总结出麦克斯韦方程。 本章难点：介质的极化和磁化、电磁场的边值关 系、电磁场能量与能流。
主要内容： 总结出静电场、稳恒电场中的磁场方程； 找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场能
量、能流并讨论电磁能量的传输。
库仑定律
F
=
qQr
4πε 0r 3
ε0
=
8.85 ×10?12
C2 N im2
F
q
r
Q
ε0
在真空中，两个静止的点电荷q,Q之间相互作用力
的大小与它们的带电量乘积成正比，和它们之间距 离r的平方成反比，作用力的方向沿着它们的连线， 同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
电场
E
=
F q
=
Qr
4πε 0r 3
E
q
r
Q
ε0
电场中任意点的电场强度E等于静止于该点的单位
正检验电荷所受的电场力。它的方向沿正试验电荷 受力的方向，大小与检验电荷无关。
电场的叠加原理
∑ ∑ E =
n Qi
i=1 4πε0
ri ri3
=
n
Ei
i =1
电荷系在空间某点产生的电 场强度等于组成该电荷系的 各点电荷单独存在时在该点
产生的场强的矢量和。
E(x)
=
∫V
ρ ( x′)
4πε 0
r r3
dV ′
P dE
r
dQ
静电场的散度和旋度
§ 1.7 静电场的散度和旋度 现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程——散度方程和旋度方程. 1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848） 在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比 的极限 (1.7-1) 为矢量场 A在该点的散度（divergence of A） 它是一个标量.显然 若则该点散度▽·A ≠ 0，该点就是矢量场A的一个源点 若则该点散度▽·A = 0，该点不是矢量场A的源点 若所有点上均有▽·A = 0，A就称为无散场. 在直角坐标系中 (1.7-2) ▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850. 高斯定理（Gauss, Theorem）
对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立： (1.7-3) 即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分. 由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽·A = 0. 这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线. 2.电场的散度方程 大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程 (1.7-4) 其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) )，(1.7-4)的左边可化为V内E 的散度之体积分，因此有 设想体积V缩小成包含某点P（x,y,z）的无限小体积元dV，便得 (1.7-5) 这就是电场高斯定理的微分形式——电场的散度方程.它表示电荷分布点，即r ≠ 0 的点上▽·E ≠ 0, 这些点就是电场的源点. 3.矢量场的旋度和斯托克斯定理（参见教材 P853） 在连续可微的矢量场 A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径 L积分，△S=△S是L 围成的面积元矢量, 并且约定：
习题课第1章 静电场的基本规律
第1章 静电场的基本规律（习题课） 一、 本章内容提要 要求：理解和掌握各种物理量（概念）的定义和物理含义，掌握各种物理 定理（律）的成立条件和运用方法。 1. 两种电荷、电荷守恒和电荷量子化 2. 库仑定律 r r q q F ?4122 10 ?=πε 3. 电场强度 0 q F E = 4. 场强叠加原理 ∑=i E E 5. 点电荷电场 r r q E ?4120?=πε 6. 电荷连续分布的带电体 三种电荷分布 ?? ? ??===dl dq dS dq dV dq λσρ r r dq E d E 2041 ?==? ?πε 计算电场分布的第一种方法（如何计算矢量积分？） 7. 电场线及其性质 发自正电荷（无穷远），终止于负电荷（无穷远），不在没有电荷处中断。 在静电场中，电场线不构成闭合曲线。两条电场线不相交。 8. 高斯定理 电场的通量 ε∑?? = ?i s q S d E （积分形式）
ερ= ??E （微分形式） 电场的散度 E ??=E d i v ， 有源场和无源场 高斯定理的意义——反映一般电场性质的规律。 哈密顿算符 z k y j x i ??+??+??=????， θ?θθ ??? +???+??=?r e r e r e r 1?sin 1?? 计算电场分布的第二种方法（有条件的） 9. 静电场的环路定理 电场的环量 0l d =?? E L （积分形式） 0=??E （微分形式） 电场的旋度 E ??=E r o t ，有旋场和无旋场 反映静电场性质的规律。静电力是保守力，静电场是有势场。 10. 静电势能 l d 0 ?==-? Q P PQ Q P E q A W W 代表0q 与场源电荷之间的相互作用能 11. 电势差和电势 l d 0 ?== -=-=? Q P PQ Q P Q P PQ E q A q W W U U U l d ?= -=? o P o P p E U U U 电势U 和静电势能W 参考零点的选择： （A ）场源电荷分布于有限空间内，无穷远；