相交线与平行线初学教案

第五章相交线与平行线

课前准备：准备几支铅笔,一篇方格纸

导入新课：把两支铅笔比作两条直线，放在一起交叉就是两直线相交导入新课相交线。

5.1相交线

两直线相交会产生四个角，这四个角有什么关系？

一、互为邻补角与对顶角

A

4 D

2 1

O

C 3

B

1．由上个图我们先观察∠2与∠4他们有一个公共边OA，他们的另一条边OC、OD互为反向延长线具有这种关系的两个角，互为邻补角。

2．再看∠1与∠2他们有一个公共顶点O,并且∠1得两边分别是∠2的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。

3．对顶角的性质：

还是上面的图∠2与∠4互补，∠1与∠4互补也就是∠2+∠4=180°，∠1+∠4=180°，可以得出∠1=∠2

（同角的补角相等）。而∠1与∠2是对顶角，所以得到对顶角的性质：对顶角相等

二、垂线

1 垂直

现在我们还看这两支铅笔，保持两支铅笔相交让一支不动，转动另外一支，当两支铅笔相交所形成的四个角都相等得时候，也就是每个角都是90°时，两条直线互相垂直，其中一条直线是另外一条直线的垂线，他们的焦点是垂足。所以垂直是相交的一种特殊的情况。

反过来，两条直线互相垂直，他们相交所成的四个角都是直角。

判断两直线是否垂直，应求出两条直线相交所成德角的数，若为90°，则垂

直，否则不垂直。 二、垂线的性质

1．动手画：过直线l 上一点O 可以做几条直线与l 垂直，过直线外一点B 可以做几条直线与l 垂直？通过动手操作学生可以得出只：只能画出一条。如下左，只有B O ⊥l, OA 、OC 都不垂直l.所以说经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

l

l

B C D E

2、如上右图，连接直线L 外一点P 与直线L 上的各点B 、C 、D 、E 、F …其中PA ⊥L （我们称PB 为点P 到直线L 的垂线段），比较线段PB 、PC 、PD 、PE PF …的长度，可以发现在这些线段中垂线段PB 最短。

总结：连接直线外一点与直线上个点的所有线段中，垂线段最短。 简单说成：垂线段最短。 3

、点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 例1．如图，∠1的邻补角是( )．

.(A)∠BOC (B)∠BOC 和∠AOF (C)∠AOF (D)∠BOE 和∠AOF 例2. 图中，∠∠12、是对顶角的为（ ）

1 2 A

B C D

1

2

1

1

2

2

例2. 如图，三条直线l l l 123，，相交于点O ，则∠+∠+∠=123（ ） A. 90? B. 120?

C. 180?

D. 360?

1 O 3

2 l 1 l 2 l

3

例3．若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，且∠BOC ＝α，则∠AOD 等于( )．

(A)180°－2 α

(B)180°－α （C)α2

190+

(D)2 α－9°

例4．如图，AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )条．

(A)3 (B)4 (C)7

(D)8

练习题 1．判断正误

(1)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．

( )．

(2)如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．( )．

(3)有一条公共边的两个角是邻补角． ( )．

(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角． ( )．

(5)对顶角的角平分线在同一直线上． ( )．

(6)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角． ( )．2．判断下列语句是否正确?(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直. ( )．

(2)若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直. ( )．

(3)一条直线的垂线只能画一条． ( )．

(4)平面内，过线段AB外一点有且只有一条直线与AB垂直． ( )．

(5)度量直线l外一点到直线l的距离． ( )．

(6)点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离．( )．

(7)画出点A到直线l的距离． ( )．

(8)在三角形ABC中，若∠B＝90°，则AC＞AB．( ) 3．三条直线相交于一点，所成的对顶角的对数是（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

4．(1)图中是对顶角的是( )

(3)如图，直线AB与CD相交于O，若∠AOC＋∠BOC＋∠DOB＝242°，则

∠AOC的度数为( )．

(A)62°(B)118°(C)72°(D)59°

(4)如图所示，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是( )．

(A)∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°；

(B)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°

(C)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°

(D)∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°

5．(1)如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为P A＝4cm，PB＝6cm，PC＝3cm，则点P到直线m的距离为( )．

(A)3cm (B)小于3cm

(C)不大于3cm (D)以上结论都不对

(2)如图，BC⊥AC，AD⊥CD，AB＝m，CD＝n，则AC的长的取值范围是( )．

(A)AC＜m (B)AC＞n

(C)n≤AC≤m(D)n＜AC＜m

(3)若直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线a距离等于2cm的点的

个数是( )．

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

三、同位角、内错角、同旁内角

我们知道两条直线相交形成了四个角，有两对对顶角，有四对邻补角。现在两条直线都和第三条直线相交如下图形成了八个角。除对顶角、邻补角之外，像∠1与∠5，∠2与∠6等这样的角有何特点？还有∠3与∠5，∠4与∠6有什么特点？再者要看∠3与∠6，∠4与∠5等这样的角有什么特点？他们都是什么角？

b

c

根据对上图的分析，可以找到规律，∠1与∠5分别在两条直线a, b 的同一方，并且都在第三条直线c 的同侧，∠2与∠6也同样，具有这种位置关系的一对角叫做同位角；∠3与∠5都在两条直线a, b 之间，并且分别在第三条直线c 的两侧，∠4与∠6也同样，具有这种位置关系的一对角叫做内错角; ∠4与∠5又有何特点，观察发现他们都在两条直线a, b 之间，并且在第三条直线c 的同旁，∠

3与∠6也同样，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。

同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，对他们的识别要结合图形。 随堂练习

1．如图，若直线a 、b 被直线c 所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪种特殊位置关系的角?

(1)∠1与∠2是______；(2)∠5与∠7是______； (3)∠1与∠5是______；(4)∠5与∠3是______； (5)∠5与∠4是______；(6)∠8与∠4是______； (7)∠4与∠6是______；(8)∠6与∠3是______； (9)∠3

与∠7是______；(10)∠6与∠2是______． 2．如图：

(1)∠D的同位角是______．

(2)∠D的内错角是______．

(3)∠D的同旁内角是______．

3．如图所示，

(1)∠B和∠ECD可看成是直线AB、CE被直线______所截得的______角；

(2)∠A和∠ACE可看成是直线______、______被直线______所截得的______角．4．如图所示，

(1)∠AED和∠ABC可看成是直线______、______被直线______所截得的______角；

(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线______、______被直线______所截得的______角；

(3)∠EDC和∠C可看成是直线______、______被直线______所截得的______角．

5.2平行线

一、平行线

动手转一转

b

b

b

将三支铅笔标为a、b、c，分别将铅笔a、b与木条c钉在一起，并把他们想像成两端可以无限延伸的三条直线。转动a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐渐变为在右侧与b相交。在这个过程中，有没有直线a与直线b不想交的位置呢？

在转动的过程中，存在一个直线a与直线b不相交的位置，这时直线a与直线b互相平行，记作a∥b.

想一想

1．生活中有哪些实际例子是平行的？