2016-2017年全国中考二次函数与平行四边形压轴题

二次函数与平行四边形

1．如图，已知抛物线y=ax 2+c 过点（﹣2，2），（4，5），过定点F （0，2）的直线l ：y=kx+2与抛物线交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点B 在抛物线上运动时，判断线段BF 与BC 的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；

（3）P 为y 轴上一点，以B 、C 、F 、P 为顶点的四边形是菱形，设点P （0，m ），求自然数m 的值；

（4）若k=1，在直线l 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得△QBF 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标及△QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线c bx x y ++=22

1与x 轴交于B A 、两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知6==OC OB .

⑴求抛物线的解析式及点D 的坐标；

⑵连接F BD ,为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；

⑶平行于x 轴的直线交抛物线于N M ,两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P

在x 轴上，且MN PQ 2

1=时，求菱形对角线MN 的长. 3如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为()10,0，抛物线24y ax bx =++过

,B C 两点，且与x 轴的一个交点为()2,0D -，点P 是线段CB 上的动点，设

()010CP t t =<<.

（1）请直接写出,B C 两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点P 作PE BC ⊥，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，PBE OCD ∠=∠？

（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作//PM BQ ，交CQ 于点M ，作//PN CQ ，交BQ 于点N .当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值. 4（10分）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点B （3，0），C （0，﹣2），直线l ：y=﹣x ﹣交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点，P 为抛物线上一动点（不与A ，D 重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M ，PN ∥y 轴交l 于点N ，求PM+PN 的最大值．

（3）设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．

5如图，在平面直角坐标系x y O 中，抛物线223y x x =--交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M ，将该抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N ，曲线N 交y 轴于点C ，连接C A 、C B ．

（1）求曲线N 所在抛物线相应的函数表达式；

（2）求C ∆AB 外接圆的半径；

（3）点P 为曲线M 或曲线N 上的一个动点，点Q 为x 轴上的一个动点，若以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线12

++=bx ax y 交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点)0,4(B ，与过A 点的直线相交于另一点)2

5,3(D ，过点D 作x DC ⊥轴，垂足为C .

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），过P 作x PN ⊥轴，交直线AD 于M ，交

抛物线于点N ，连接CM ，求PCM ∆面积的最大值；

（3）若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为，是否存在，使以点N D C M 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

7如图，抛物线2

3y ax bx =+-经过点()2,3A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D 在y 轴上，且BDO BAC ∠=∠，求点D 的坐标；

（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

8如图，是将抛物线2

y x =-平移后得到的抛物线，其对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)A -，另一交点为B ，与y 轴交点为C ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点N 为抛物线上一点，且BC NC ⊥，求点N 的坐标；

（3）点P 是抛物线上一点，点Q 是一次函数3322

y x =+的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，这样的点P Q 、是否存在？若存在，分别求出点P Q 、的坐标，若不存在，

说明理由．

9如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO 于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；

（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

11如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．

（1）求抛物线C的函数表达式；

（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．

（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．