集合与简易逻辑【应试技巧总结】[1]

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。 集合与简易逻辑 一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如 （1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}abaPbQ，若{0,2,5}P，

}6,2,1{Q，则P+Q中元素的有________个。 （答：8） （2）设{(,)|,}UxyxRyR，{(,)|20}Axyxym，{(,)|Bxyxyn0}，那么点)()3,2(BCAP

u

的充要条件是________

（答：5,1nm）； （3）非空集合}5,4,3,2,1{S，且满足“若Sa，则Sa6”，这样的S共有_____个 （答：7） 二．遇到AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；同样当AB时，你是否忘记A的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如 集合{|10}Axax，2|320Bxxx，且ABB，则实数a＝___.

（答：10,1,2a） 三．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12n ，12n .22n 如 满足{1,2}{1,2,3,4,5}M集合M有______个。

（答：7） 四．集合的运算性质： ⑴ABABA； ⑵ABBBA； ⑶ABuuAB痧； ⑷uuABAB痧； ⑸uABUABð； ⑹()UCABUUCACB； ⑺()UUUCABCACB. 如：设全集}5,4,3,2,1{U，若}2{BA，}4{)(BAC

U，}5,1{)()(BCACUU

，则

A＝_____，B＝___. （答：{2,3}A，{2,4}B） 五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：xyxlg|—函数的定义域；xyylg|—函数的值域；xyyxlg|),(—函数图象上的点集，如 （1）设集合{|2}Mxyx，集合N＝2|,yyxxM，则MN___ （答：[4,)）； （2）设集合{|(1,2)(3,4),MaaR，{|(2,3)(4,5)Naa，}R，则NM_____ （答：)}2,2{(）

六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如： 已知函数12)2(24)(22ppxpxxf在区间]1,1[上至少存在一个实数c，使0)(cf，求实数p的取值范围。

（答：3(3,)2） 七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如： 在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件； ⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件； ⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件； ⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。 其中正确的是__________ （答：⑴⑶） 八．四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。 提醒： （1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价； （2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”； （3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定； （4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ABBA”判断其真假，这也是反证法的理论依据。 （5）哪些命题宜用反证法？ 如： （1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为__________ （答：在ABC中，若90C，则,AB不都是锐角）；

（2）已知函数2(),11xxfxaax，证明方程0)(xf没有负数根。 九．充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若BA，则A是B的充分条件；若BA，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如： （1）给出下列命题： ① 实数0a是直线12yax与322yax平行的充要条件；

② 若0,,abRba是baba成立的充要条件； ③ 已知Ryx,，“若0xy，则0x或0y”的逆否命题是“若0x或0y则0xy”； ④“若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是假命题 。 其中正确命题的序号是_______ （答：①④）； （2）设命题p：|43|1x；命题q:0)1()12(2aaxax。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是

（答：1[0,]2） 十．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若0a,则bxa；若0a,则bxa；若0a,则当0b时，xR；当0b时，x。如 已知关于x的不等式0)32()(baxba的解集为)31,(，则关于x的不等式0)2()3(abxba的解集为_______ （答：{|3}xx） 十一．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0和0时的解集你会正确表示吗？设0a,12,xx是方程20axbxc的两实根，且12xx，则其解集如下表： 20axbxc 20axbxc 20axbxc 2

0axbxc

0 1{|xxx或2}xx 1{|xxx或

2}xx 12{|}xxxx 12

{|}xxxx

0 {|}2bxxa R  {|}2bxxa

0 R

R  

如解关于x的不等式：01)1(2xaax。 （答：当0a时，1x；当0a时，1x或1xa；当01a时，11xa；当1a时，x；

当1a时，11xa） 十二．对于方程02cbxax有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次若0a，则一定有042acb。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？ 如：（1）222210axax对一切Rx恒成立，则a的取值范围是_______ （答：(1,2]）； （2）关于x的方程()fxk有解的条件是什么？(答：kD，其中D为()fx的值域)，特别

地，若在[0,]2内有两个不等的实根满足等式cos23sin21xxk，则实数k的范围是_______. （答：[0,1)）

十三．一元二次方程根的分布理论。方程2()0(0)fxaxbxca在),(k上有两根、在(,)mn上有两根、在),(k和),(k上各有一根的充要条件分别是什么？ 0()0()02fmfnbman





、()0fk）。根的分布理论成立的前提是开（0()02fkbka、

区间，若在闭区间],[nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果，再令nx和mx检查端点的情况．

如实系数方程220xaxb的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则12ab的取值范围是_________ （答：（41，1））

十四．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20axbxc的两个根即为二次不等式20(0)axbxc的解集的端点值，也是二次函数2

yaxbxc

的图象与x轴的交点的横坐标。

如（1）不等式32xax的解集是(4,)b，则a=__________

（答：18）； （2）若关于x的不等式02cbxax的解集为),(),(nm，其中0nm，则关于x

的不等式02abxcx的解集为________

（答：),1()1,(

nm

）；

（3）不等式23210xbx对[1,2]x恒成立，则实数b的取值范围是_______ （答：）。

y (a>0) O k x1 x2 x