【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试理数试题解析(原卷版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.）
1.z是z的共轭复数，若2,2(zzzzii为虚数单位），则z（ ）
A．1i B．1i C．1i D．1i
2.已知向量a与b的夹角为60,2,5ab，则2ab在a方向上的投影为（ ）
A．32 B．2 C．52 D．3
3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长
安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先
至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）
A．12日 B．16日 C． 8日 D．9日
4.已知0,0ab，若不等式3103mabab恒成立，则m的最大值为（ ）
A．4 B．16 C． 9 D．3
5.动点,Pxy满足1253yxyxy，点Q为1,1,O为原点，OQOPOQ，则的最大值是（ ）
A．1 B．1 C．2 D．2
6.如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）
A． 105 B． 102
C．6226 D．626
7.已知函数2sinsin3fxxx是奇函数，其中0,2,则函数cos2gxx的
图象（ ）
A．关于点,012对称
B．可由函数fx的图象向右平移3个单位得到
C．可由函数fx的图象向左平移6个单位得到
D．可由函数fx的图象向左平移3个单位得到
8.ABC中，若sin3cossincosCAAB，则（ ）
A．3B B．2bac
C．ABC是直角三角形 D．222abc或2BAC
9.已知数列na满足111,2nnnaaanNa，若11121,nnbnnNba，
且数列nb是单调递增数列，則实数的取值范围是（ ）
A．23 B．32 C．23 D．32
10.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若ACAMBD，则（ ）
A．43 B．53 C．158 D．2
11.已知函数3212fxaxx，在1x处取得极大值，记1'gxfx,程序框图如图所示，
若输出的结果20142015S，则判断框中可以填人的关于n的判断条件是（ ）
A．2014n？ B．2015n？ C．2014n？ D．2015n？
12.已知na满足211112311,,44...44nnnnnnaaanNSaaaa，则
54nnnSa
（ ）
A．1n B．n C．2n D．2n
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.数列na满足：11a，且对任意的,mnN都有：nmnmaaanm，则100a ．
14.在ABC中，111,2,4,,,2224AABACAFABCECABDBC，则DEDF的
值为 ．
15.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，5cos23C，且coscos2aBbA，
则ABC面积的最大值为 ．
16.已知方程23ln02xax有4个不同的实数根，則实数a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、
c
,且
3cos23cosaCbcA
.
（1）求角A的大小；
（2）求25cos2sin22CB的取值范围.
18.（本小题满分12分）设数列na的前n和为nS，211,22nnaSnannnN.
（1）求证：数列na为等差数列, 并分别写出na和nS关于n的表达式；
（2）是否存在自然数n,使得321...2112423nnSSSSn？若存在,求出n的值; 若不存在, 请说
明理由；
（3）设1232,...7nnnncnNTccccnNna,若不等式32nmTmZ,对
nN
恒成立, 求m的最大值.
19.（本小题满分12分）如图, 以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴交于点A,点,BP在单
位圆上, 且525,,55BAOB.
（1）求4cos3sin5cos3sin的值；
（2）若四边形OAQP是平行四边形.
①当P在单位圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
②设02POA,点,Qmn,且3fmn,求关于的函数f的解析式, 并求
其单调增区间.
20.（本小题满分12分）已知函数1lnfxxaxaRx.
（1）若函数fx在1,上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）已知211321,,22gxxmxmhxfxgxx,当1a时, hx有两个扱值
点12,xx,且12xx,求12hxhx的最小值.
21.（本小题满分12分）在单调递增数列na中, 122,4aa,且21221,,nnnaaa成等差数
列,22122,nnnaaa 成等比数列，1,2,3,...n.
（1）①求证：数列2na为等差数列；
②求数列na通项公式；
（2）设数列1na的前n项和为nS,证明:4,33nnSnNn.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图,,AB 是圆O上两点, 延长AB至点C,满足22ABBC,过C作直线CD与圆O相切于点
,DADB
的平分线交AB于点E.
（1）证明:CDCE；
（2）求ADBD的值.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为cos(0,sinxaabyb为参数），以O为极点，x轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C上的点2,3M对应
的参数,34与曲线2C交于点2,4D.
（1）求曲线1C,2C的普通方程；
（2）12,,,2AB是曲线1C上的两点, 求221211的值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知2122fxxxx.
（1）求证:5fx；
（2）若对任意实数229,1521xfxaa都成立, 求实数a的取值范围.
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试理数试题解析(原卷版)
河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，或，则（）A. B. C. D.2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（）A. B. C. D.4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.6. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D.7. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）A. B. C. D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.10. 执行如图所示的程序框图，输出的值等于（）A. B.C. D. ...11. 椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A. B. C. D.12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，若，则__________．14. 在中，分别为角的对边，，若，则__________．15. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为__________．16. 点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和.18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且与均为正三角形，为的重心.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.（1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.21. 设函数）.（1）若直线和函数的图象相切，求的值；（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程...在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知定义在上的函数，且恒成立.（1）求实数的值；（2）若，求证：.。
河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试数学(理)试题(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2log 1P x x =<-，{}1Q x x =<，则P Q =（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()0,1 D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A考点：集合的运算．2.已知i 为虚数单位，复数z满足()2311i z =-，则z 为（ ）A ．12B．2 C．4D．16【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，()321i 1z z -==⇒==+，故选C ． 考点：复数的运算．3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．8B ．12C ．18D ．24【答案】B考点：几何体的三视图及几何体的体积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图，得出该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，即可求解该组合体的体积．学科4.已知命题p ：方程2210x ax --=有两个实数根；命题q ：函数()4f x x x=+的最小值为4．给 出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∨⌝． 则其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】试题分析：由22(2)4(1)440a a ∆=--⨯-=+>，所以方程2210x ax --=有两个实数跟，所以命题p 是真命题；当0x <时，函数()4f x x x=+的取值为负值，所以命题q 为假命题，所以p q ∨，p q ∧⌝，p q ⌝∨⌝是真命题，故选C ．考点：命题的真假判定．5.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4C ．163D ．6【答案】C考点：定积分求解曲边形的面积． 6.函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，()211cos cos 1e 1e x x x e f x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，所以()1cos()1e x xe f x x ----=⋅-+ 1cos ()1ex x e x f x -=⋅=-+，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令1x =，则()12111cos1cos101e 1e e f -⎛⎫⎛⎫=-=< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故选B ． 考点：函数的奇偶性及函数的图象．7.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138【答案】D考点：程序框图的计算．8.定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞【答案】A 【解析】试题分析：设()(),xxg x e f x e x R =-∈，则()()()()[()1]xxxx g x e f x e f x ee f x f x '''=+-=+-，因为()()1f x f x '+>，所以()()1f x f x '+-0>，所以()0g x '>，所以()y g x =是单调递增函数，因为()e e 3x x f x >+，所以()3g x >，又因为()()00003g e f e =-=，即()()0g x g >，所以0x >，故选A ． 考点：利用导数研究函数的单调性． 9.若实数a ，b ，c ，d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ） A 2 B ．2C ．22D ．8【答案】D考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用．10.已知()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩存在210x x >≥，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范 围为（ ）A．11,42⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．,14⎫⎪⎪⎣⎭ D．2132⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A 【解析】试题分析：作出函数()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩的图象，如图所示，因为存在21,x x 当210x x >≥时，()()12f x f x =，所以1102x ≤<，因为12x +在1[0,)2上的最小值为11,22x -在1[,2)2上的最小值为2，所以1111222x x +≥⇒≥，所以11122x ≤<，因为()()11211(),2f f x x f x x =+=，所以()21211111()2x f x x f x x ==+，令21112y x =+112x ≤<），所以21112y x =+为开口向上，对称轴为14x =-上抛物线，所以21112y x =+在区间11,)22上递增，所以当12x =时，24y -=，当12x =时，12y =，即()12x f x的取值范围是11,42⎫⎪⎪⎣⎭，故选A ．考点：对数函数的图象及二次函数的性质． 11.设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()210f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的 取值范围为（ ） A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2-【答案】C选C ．考点：根的存在性及根的个数判断．【方法点晴】本题主要考查了方程中根的存在性及其方程根的个数的判读，其中解答中涉及到函利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，以及数与方程思想的应用、试题有一定的难度，属于中档试题，解答中利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想、推理与运算能力．12.设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究过曲线在某点的切线方程，其中解答中涉及到函数的求导数的公式、两条直线的位置关系的判定与应用，解答此类问题的关键在于把问题转化为集合之间的关系，列出不等式组求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设1m >，变量x ，y 在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =_________．【答案】1m =+考点：简单的线性规划的应用．14.函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3e e,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意得e 0xy mx =-=，得x e m x =，设()()22(1)x x x x e e x e e x f x f x x x x ⋅--'=⇒==，可得()f x 在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，同时也是最小值()1f e =，因为当0x →时，()f x →+∞，当3x =时，()333e f =，所以要使得函数e xy mx=-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m 的取值范围是3e e 3m <<．考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．15.已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=_________． 【答案】11考点：利用导数研究函数的极值．【方法点晴】本题主要考查了利函数在某点取得极值的性质，其中解答中涉及到了应用导数研究函数的单调性与极值、函数的极值的性质等知识点的考查，利用导数研究函数的极值时，若函数子啊取得极值0()0f x '=，反之结论不成立，即函数由0()0f x '=，函数在该点不一定是极值点（还得加上两侧的单调性的改变），防止错解，属于基础题．16.定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，当0x <时，()f x x '<，则不等式()()112f x f x x +≥-+的解集为_________． 【答案】12x ≤考点：抽象的性质及其应用．【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质及其应用，其中解答中涉及到利用到导数研究函数的单调性、函数单调性的应用、不等式的求解等知识点的考查，同时考查了构造函数研究函数性质的能力，其中根据题设，利用导数研究出函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想及学生的推理与运算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos 2cos 3cos a b cA B C==． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值．【答案】（1）π4A =；（2）a = 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理化简得sin sin sin cos 2cos 3cos A B CA B Cθ==，即可得到tan 2tan B A =， tan 3tan C A =，利用三角恒等变换，可知求解tan 1A =，即可求解角A 的大小；（2）利用正弦定理得出sin sin Bb a A=，代入三角形的面积公式，即可求解a 的值．（2）由tan 1A =可得tan 2B =，tan 3C =，则sin B =，sin C =．在ABC ∆中有sin sin a bA B=，则sin sin 2B b a a A ===，则2113sin 3225ABCa S ab C a ∆====． 得25a =，所以a =考点：正弦定理；三角形的面积公式． 18.（本小题满分12分） 函数21()ln 22f x x ax x =--． （1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1,a ∀∈-+∞，()1,e x ∃∈，有()0f x b -<，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）增区间是10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】（2）首先，对于任意()1,a ∈-+∞，21ln 22x ax x b --<恒成立，则2max1ln 22b x ax x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭因为函数()2211ln 22ln 22h a x ax x x a x x =--=--+在()1,-+∞上是减函数， 所以()()2112ln 2h a h x x x <-=-+，212ln 2b x x x ∴≥-+ 其次，()1,x e ∃∈，使不等式212ln 2b x x x ≥-+成立，于是2min12ln 2b x x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 令()212ln 2g x x x x =-+，则()()21120x g x x x x-'=-+=≥，所以函数()g x 在()1,e 上是增函数，于是()()min 312g x g ==，故32b >-，即b 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭考点：利用导数研究函数的单调性及其最值． 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且4sin b A =．（1）求sin B 的值；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值． 【答案】（1）sin 4B =；（2）cos cos 2A C -=．【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得4sin sin B A A =，即可求解sin B 的值；（2）已知和正弦定理以及考点：正弦定理；三角函数的化简求值． 20.（本小题满分12分）已知函数()242ln f x ax bx a x =-+（,a b ∈R ）． （1）若函数()y f x =存在极大值和极小值，求ba的取值范围； （2）设m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，若存在实数2e 1,2e b a ⎫+∈⎪⎭，使得1m n -=，求a的取值范围． 【答案】（1）1ba>；（2）22111e e 4e e 2a --<<----． 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数()f x '，函数()y f x =存在极大值和极小值，故方程()0f x '=有两个不等的正实数根，列出不等式组，即可求解ba 的取值范围；（2）由2e 1,2eb a ⎛⎫+∈⎪⎭得0a >，且2e12eba⎫+∈⎪⎭．由（1）知()f x存在极大值和极小值，设()0f x'=的两根为1x，2x（120x x<<），则()f x在()10,x上递增，在()12,x x上递减，在()2,x+∞上递增，所以()1m f x=，()2n f x=，根据121x x=可把m n-表示为关于1,x a的表达式，再借助1x的范围即可求解a的取值范围．试题解析：（1）()2224224a ax bx af x ax bx x-+'=-+=，其中0x>……………2分由于函数()y f x=存在极大值和极小值，故方程()0f x'=有两个不等的正实数根，即22420ax bx a-+=有两个不等的正实数根记为1x，2x，显然0a≠…………4分所以()221212160,20,10.b abx xax x⎧∆=->⎪⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩解得1ba>．…………………………………………6分令21t x=，则12lnm n a t a tt⎛⎫-=--+⎪⎝⎭，令()21112lne eh t t t tt⎛⎫⎛⎫=--+<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()22211210t h t t t t -'=--+=-≤， 所以()h t 在211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()122e e 2e e 4h t ----<<-- 由()1m n ah t -==，知()1a h t =，所以22111e e 4e e 2a --<<----，………1分 考点：利用导数研究函数的单调性及其极值．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，综合考查了学生综合运用知识分析问题和解答问题的能力，试题综合性强、计算量大，能力要求高，属于难题，解答中根据121x x =可把m n -表示为关于1,x a 的表达式，借助1x 的范围是试题的难点，此类问题需平时注重总结和整理．21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()e xxg x =． （1）记()()()F x f x g x =-，判断()F x 在区间()1,2内的零点个数并说明理由；（2）记()F x 在()1,2内的零点为0x ，()()(){}min ,m x f x g x =，若()m x n =（n ∈R ）在()1,+∞内 有两个不等实根1x ，2x （12x x <），判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明． 【答案】（1）()F x 在区间()1,2有且仅有唯一实根；（2）1202x x x +>，证明见解析．显然当2x →+∞时，1202x x x +>，下面用分析法给出证明．要证：1202x x x +>即证20102x x x x >->，而()m x 在()0,x +∞上递减，故可证()()2012m x m x x <-，又由()()12m x m x =，即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<，…………9分记()0022ln x xx xh x x x e --=-，01x x <<，其中()00h x =．()0000022212211ln 1ln x x x x x xx x x x h x x x e e e ---+--'=++=++-， …………10分 记()t t t e ϕ=，()1t t t e ϕ-'=，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<；()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>故()max1t eϕ=，而()0t ϕ>故()10t eϕ<<，而020x x ->，从而002210x xx xee---<-<，因此()00000222122111ln 1ln 10x x x x x xx x x x h x x x e e e e---+--'=++=++->->，…………11分 即()h x 单增．从而01x x <<时，()()00h x h x <=即01011122ln x x x x x x e --<，故1202x x x +>得证…………12分考点：利用导数研究函数的单调性及其极值（最值）．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，综合考查了学生综合运用知识分析问题和解答问题的能力，试题综合性强、计算量大，能力要求高，属于难题，解答中由（1）和题设条件，得出函数()00ln ,1,x x x x x m x x x x e<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，进而利用函数()m x 的性质求解是解答的关键，此类问题需要注重方法的总结和积累．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD OE ⊥于D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．（1）证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；（2）设50DBC ∠=︒，30ODC ∠=︒，求OEC ∠的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）20．()18018020OBC DBC DBC ODC =︒-∠-︒-∠=∠-∠=︒． …………10分考点：与圆有关的比例线段．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为10,x t y t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ-+=． （1）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 向右平移h 个单位，所得直线l '与圆C 相切，求h ． 【答案】（1）22420x y y +-+=；（2）6h =或10h =．考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化；参数方程的应用． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+，a ∈R ，()21g x x =-． （1）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值；（2）若当x ∈R 时，恒有()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）[)2,+∞．考点：绝对值不等式．。
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河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，或，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。
2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因为，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C。
3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意抽取比例为故总人数为所以高三被抽取的人数为4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为6. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意画出可行域：=，所以目标函数最值问题转化为可行域中的点与原点连线斜率的问题，可知取点F，G时目标函数取到最值，F(2，1),G(1，3),所以最大值将点F代入即可得最大值为17. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（）...A. B. C. D.【答案】B【解析】=2，所以的展开式中的常数项为：，令r=3得常数项为8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由奇函数，是边长为的正三角形，可得，是最高点且，得A=,所以9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】从题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是腰长为的等腰直角三角形，高为4的柱体，如图，其全面积，应选答案B。
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河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.若()1z i i +=，则z 等于（ ）A ．1BCD ．123.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．34.已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9 C.7 D ．56. 已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．609. 已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，则12k k +的最小值为（ ）A ．1B D 10. 在棱长为6的正方体1111ABCD A BCD -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ） A ．36 B ． C.24 D ．11.已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12.已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ） A．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为 ．14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为 ．15.已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积. 18.（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值. 19.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12k k 的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.20.（本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.。
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河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，或，则（）A. B. C. D.2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（）A. B. C. D.4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.6. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D.7. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）A. B. C. D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.10. 执行如图所示的程序框图，输出的值等于（）A. B.C. D. ...11. 椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A. B. C. D.12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，若，则__________．14. 在中，分别为角的对边，，若，则__________．15. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为__________．16. 点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和.18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且与均为正三角形，为的重心.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.（1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围. 21. 设函数）.（1）若直线和函数的图象相切，求的值；（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程...在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知定义在上的函数，且恒成立.（1）求实数的值；（2）若，求证：.。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试理数试题解析(原卷版)
河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，或，则（）A. B. C. D.2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（）A. B. C. D.4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.6. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D.7. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）A. B. C. D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.10. 执行如图所示的程序框图，输出的值等于（）A. B.C. D. ...11. 椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A. B. C. D.12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，若，则__________．14. 在中，分别为角的对边，，若，则__________．15. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为__________．16. 点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和.18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且与均为正三角形，为的重心.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.（1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.21. 设函数）.（1）若直线和函数的图象相切，求的值；（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程...在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知定义在上的函数，且恒成立.（1）求实数的值；（2）若，求证：.。
河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试化学试题解析(解析版)
1．下列实验室制取物质的思路既合理又符合绿色化学思想的是（ ）【答案】B【解析】【考点定位】考查实验设计方案的评价、绿色化学等知识。
【名师点睛】本题考查实验设计方案的评价，制备实验方案的设计要做到：条件合适，操作方便，原理正确，步骤简单，原料丰富，价格低廉，产物纯净，污染物少等；铜和浓硫酸反应生成SO 2，SO 2引起酸雨的主要的原因，不符合绿色化学；氢氧化铝表现两性，偏铝酸钠和硫酸反应，如果硫酸过量，会造成氢氧化铝溶解，造成氢氧化铝的损失；钠的价格昂贵，碳酸钠价格低廉，工业一般采用CO 2＋NH 3＋H 2O ＋NaCl=NaHCO 3↓＋NH 4Cl ，2NaHCO 3=====△ Na 2CO 3＋CO 2↑＋H 2O ，此题比较简单。
2．下列说法正确的是 ( )A ．有些活泼金属如铝可用作热还原法的还原剂B ．用电解NaCl 溶液的方法来冶炼金属钠C ．用加热分解氧化物的办法制取铜D ．使元素由化合态转化成游离态的过程就是还原的过程【答案】A【解析】试题分析：A 、因为铝具有强还原性，可以利用还原性强的制取还原性弱的，故正确；B 、电解食盐水：2NaCl ＋2H 2O =点燃 =======通电 =======电解 ========催化剂△2NaOH ＋H 2↑＋Cl 2↑，故错误；C 、工业上冶炼铜，通过热还原法，也可以通过火法炼铜和湿法炼铜，故错误；D 、F 2＋2H 2O=4HF ＋O 2，氧元素有－2价→0，化合价升高，被氧化，故错误。
【考点定位】考查金属的冶炼、氧化还原反应等知识。
【名师点睛】考查金属的冶炼，金属冶炼一般方法：（1）电解法，适用于K～Al，（2）热还原法，适用于Zn～Cu，常用还原剂有H2、CO、C、活泼金属，(3)热分解法：适用于Cu以后金属，(4)特殊方法，如铜的冶炼还有湿法炼铜和火法炼铜；化合态转变为游离态，此反应可以是氧化反应，如F2＋2H2O=4HF ＋O2，也可以是还原反应，如H2＋CuO=H2O＋Cu，此题较为简单。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试文数(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}(){}2|12,|lg 2A x xB x y x x =+≤==--，则()RA CB =（ ）A ．[)3,1-B ．[]3,1-C ．[]1,1-D ．(]1,1- 【答案】C 【解析】试题分析：[]()()3,1,,12,A B =-=-∞-⋃+∞，故()[]1,1R A C B =-.考点：绝对值不等式，一元二次不等式，集合交并补．2.设复数2z i =+，则复数()1z z ⋅-的共轭复数为（ ）A ．13i --B ．13i -+C ． 13i +D ．13i - 【答案】B 【解析】试题分析：()113z z i ⋅-=--，其共轭复数为13i -+. 考点：复数概念及运算．3.函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，則()17012f f π⎛⎫+⎪⎝⎭的值为 （ ）A ．2B ．2+C ．1D ．1+【答案】A 【解析】试题分析：由图可知,2T πω==，()()2sin 2f x x ϕ=+，2sin 0,633f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()170212f f π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭考点：三角函数图象与性质．4.执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ）A ． 5B ．15 C ．23 D ．31 【答案】D 【解析】考点：算法与程序框图．5.已知数列{}n a 为等差数列，满足32013OA a OB a OC =+，其中,,A B C 在一条直线上，O 为直 线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（ ）A ．20152B ． 2015C ．2016D ．2013 【答案】A 【解析】试题分析：依题意有320131a a +=，故3201320152015201522a a S +=⋅=. 考点：数列求和，向量运算．6.设a 、b 、c 为ABC ∆的三边长, 若222c a b =+cos A A +=，则B ∠的大小为（ ） A ．12πB ．6πC ．4πD ．512π【答案】D 【解析】考点：解三角形．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱 中，最长的棱的长度为（ ）A ．BC ．3D ． 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知，这是一个三棱锥，画出直观图如下图所示，故最长的棱长为3AB ==.AB考点：三视图．8. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()211122,3n n nS n S n n n N a *+-+=+∈=，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．41n -B ．21n +C ．3nD ．2n + 【答案】A 【解析】试题分析：当1n =时，()2213234,7a a ⋅+-⋅==，故A 选项正确. 考点：数列求通项．9.若点(),P a b 在函数23ln y x x =-+的图象上，点(),Q c d 在函数2y x =+的图象上，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ）A B ． 2 C ． D ．8 【答案】D 【解析】考点：函数图象与性质． 10.已知函数()31x xf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足，()()()20.5log log 21f a f a f +≤，则实数a 的 取值范围是（ ） A ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】试题分析：()()f x f x -=故函数为偶函数，()()()()20.52log log 2log 21f a f a f a f +=≤，即()()2log 1f a f ≤，故21log 1a -≤≤，解得1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.考点：函数奇偶性与单调性．11.已知数列{}n a 满足()211n n n n a a a a n N *+++-=-∈，且52a π=，若函数()2sin 22cos 2xf x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前9项和为（ ） A ．0 B ． 9- C ．9 D ．1 【答案】C 【解析】考点：数列求和．【思路点晴】由()211n n n n a a a a n N *+++-=-∈可知数列{}n a 为等差数列，另外还知道52a π=，没有其它特殊的要求，故不妨设2n a π=，也就是假设n a 为常熟列，每一项都是2π，然后将2n a π=代入()n f a 也就可以求出n y 每一项都是1，故前9项和为9.在选择填空题中，小题小做不要小题大做，往往可以节约很多的时间.12.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥，时，()()()5sin 01421114xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩， 若关于x 的方程()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取 值范围是（ ）A ．01a <<或54a =B ． 01a ≤≤或54a = C ．01a <≤或54a = D ． 514a <≤或0a =【答案】C 【解析】考点：分段函数，函数单调性与奇偶性．【思路点晴】本题考查分段函数，函数单调性与奇偶性，首先我们按照奇偶性画出函数()f x 的图象，()f x 的图象分成两段，第一段是三角函数，第二段是指数函数.然后处理第二个已知条件，()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦，这是一个可以因式分解的类似二次函数的表达式，我们将它因式分解，也就可以求出6,5t t a ==，接着我们就可以在()f x 的图象上画出这两条直线，两条直线和起来有六个交点.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．【答案】85【解析】试题分析：设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，()()()2,2,2,1,1,2AC AM BN ===-，故2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得628,,555λμλμ==+=. 考点：向量运算．14.如果直线12:220,:840l x y l x y -+=--=与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为 ． 【答案】4考点：两条直线的位置关系，基本不等式．15.已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()14f =，且()f x 的导函数()'3f x <,则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为 ．【答案】()0,e 【解析】试题分析：构造函数()()()()()''3,11,30F x f x x F Fx f x =-==-<，故函数()F x 单调递减，()ln 3ln 1f x x >+，即()()()()ln 3ln 1,ln 1,1,0,f x x F x F lnx x e ->><∈.考点：函数导数与不等式．【思路点晴】本题主要考查函数导数与不等式，构造函数法求解不等式.通过阅读题目，可以知道，这是一个定义在R 上的函数，有的时候题目还会增加奇偶性.另外给了一个含有导数的式子()'3f x <，像这样的题目我们一般考虑构造函数来做，即构造()()3F x f x x =-，利用导数可以知道它是单调递减的，这样我们就可以将要求解的不等式利用单调性求解出来. 16.函数()()2sin 2,cos 223(0)36f x x g x m x m m ππ⎛⎫⎛⎫=+=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存 在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12g x f x =成立, 则实数m 的取值范围是 ． 【答案】41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】考点：三角恒等变换，恒成立问题．【思路点晴】本题考查三角恒等变换，恒成立问题等知识点.题目的关键语句在于“对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12g x f x =成立,”也就是说，()g x 的函数值，都有()f x 的函数值和它相对应，由此可知()g x 的值域是()f x 值域的子集.接下来利用三角函数求最值的方法，求出()(),f x g x 的值域，进而求得m 的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数()1cos sin cos 2,64f x x x x x R π⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 单调递增区间； （2）求()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.【答案】（1）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2. 【解析】试题解析：()111cos sin cos 2cos cos cos 26424f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2113cos cos cos 22cos 222443x x x x x x x π⎛⎫=+--=-=- ⎪⎝⎭. （1）由222232k x k πππππ-≤-≤+，解得()5,1212k x k f x ππππ-≤≤+∴的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由64x ππ-≤≤得()212,1sin 2,33632x x f x ππππ⎛⎫-≤-≤∴-≤-≤≤≤⎪⎝⎭因此,()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 考点：三角恒等变换，三角函数图象与性质．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量()1,1,21,2nn a S b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,满足条 件a b .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,数列{}n a 满足条件()()1111,1n n b f b f b +==--. ①求数列{}n b 的通项公式； ②设nn nb c a =数列{}n c 的前n 项和为n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）①n b n =；②222n n n T +=-. 【解析】试题解析： （1）因为11,21,222n n n n a b S S +∴=-=-.当2n ≥时,12n n n n a S S -=-=. 当1n =时,112a S ==, 满足上式, 所以2n n a =. （2）①()()()11111111111,,2122212n n n nx bn b b b n f x f b f b +++-++⎛⎫⎛⎫==∴=∴= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭,11n n b b +∴=+,即11n n b b +-=,又{}11,n b b =∴是以1为首项,1公差的等差数列.n b n ∴=.②121121, (22222)n n n n n n n b n n nc T a --===++++,两边同乘12得,2311121...,22222n n n n n T +-=++++以上两式相减得1231111111112112222...,1,21222222222212n n n n n n n n n n n n T T T +++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=-=-∴=--.考点：数列的基本概念，数列求和．19.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且()cos 2cos C b A =.（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围.【答案】（1）6A π=；（2）1⎛⎤- ⎥ ⎝⎦. 【解析】试题解析：（1）由正弦定理可得，cos 2sin cos cos A C B A C A =,从而可得()2sin cos 2sin cos A C B A B B A +==,又B 为三角形的内角, 所以sin 0B ≠,于是cos A =又A 为三角形的内角, 因此6A π=. （2）255cos 2sin sin cos 1sin cos 1226C B B C B B ππ⎛⎫⎛⎫--=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭553sin coscos sin sin 1sin 116626B B B B B B πππ⎛⎫=++-=-=-- ⎪⎝⎭,由6A π=可知,520,,,6663B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤-∈-⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,因此116B π⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围为1⎛⎤- ⎥ ⎝⎦.考点：解三角形，三角恒等变换．20.（本小题满分12分）已知曲线()2ln f x ax bx x =+在点()()1,1f 处的切线是21y x =-.（1）求实数,a b 的值；（2）若()()21f x kx k ≥+-恒成立, 求实数k 的最大值.【答案】（1）1a b ==；（2）1. 【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组()()'112f f x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1a b ==；（2）对()()21f x kx k ≥+-分离参数，得2ln 1x xk x +≤+恒成立.利用导数求得右边函数的最小值为1，故k 的最大值为1.试题解析：考点：函数导数与不等式．【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理． 21.（本小题满分12分）设函数()ln 1f x x =+. （1）已知函数()()2131424F x f x x x =+-+,求()F x 的极值； （2）已知函数()()()()2210G x f x ax a x a a =+-++>,若存在实数()2,3m ∈,使得当(]0,x m ∈时, 函数()G x 的最大值为()G m ,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）极大值为0，极小值为3ln 24-；（2）()1ln 2,-+∞. 【解析】（1）由已知条件得, ()2135ln 424F x x x x =+-+,且函数定义域为()0,+∞,所以()()()21211332'2222x x x x F x x x x x---+=+-==,令()'0F x =,得1x =或2x =,()(),'F x F x 随x 的变化如下表:当1x =时,函数()F x 取得极大值()10F =;当2x =时,函数()F x 取得极小值()32ln 24F =-. （2）由条件, 得()()2ln 211G x x ax a x a =+-+++,且定义域为()0,+∞,()()()()1221'221x ax G x ax a x x --=+-+=,当0a >时, 令()'0G x =有1x =或12x a=. ①当12a =时, 函数()G x 在()0,+∞上单调递增, 显然符合题意.②当112a >, 即102a <<时, 函数()G x 在()0,1和1,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 此时由题意, 知只需()()21G G >,解得1ln 2a >-,又11ln 22-<,所以实数a 的取值范围是11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.考点：函数导数与不等式．【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 过圆O 外—点P 作圆的切线PC ,切点为C ,割线PAB 、割线PEF 分别交圆O 于A 与B 、E 与F .已知PB 的垂直平分线DE 与圆O 相切.（1）求证:DE BF ；（2）若1PC DE ==,求PB 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题解析： （1）证明: 连接,BE DE 圆O 相切,BED BFE ∴∠=∠, 又DE 为PB 的垂直平分线,,,BED PED PED BFE DE BF ∴∠=∠∴∠=∠∴.（2）由（1）知DE BF 且D 为PB 的中点,E ∴为PF 的中点, 且90,.FBP EDP BE PE EF PC ∠=∠=∴==为圆O 的切线,()22,232,6PC PE PF PEPE PE ∴=∴=∴=,2PB BD ∴====.考点：几何证明选讲．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合,若曲线C的极坐标系方程为6cos 2sin ρθθ=+,直线l 的参数方程为1(2x t y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数). （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程;（2）设点()1,2Q 直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 求QA QB 的值. 【答案】（1）22620x y x y +--=，30x y +-=；（2）5.【解析】试题解析：（1）由6cos 2sin ρθθ=+,得2226cos 2sin ,62x y x y ρρθρθ=+∴+=+,即曲线C 的直角坐标方程为22620x y x y +--=.由12x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩,消去参数t ,得直线l 的普通方程30x y +-=.（2）由（1）知直线l的参数方程为转化为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,代入曲线C 的直角坐标方程为22620x y x y +--=得250t +-=,由韦达定理, 得125t t =-,则125QA QB t t ==.考点：坐标系与参数方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+. （1）若2a =,解不等式()3f x ≤；（2）若存在实数a , 使得不等式()122f x a x ≥-++成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）37|42x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析：（1）2a =，()2323f x x x =--+≤，零用零点分段法去绝对值后可求得解集为37|42x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）先用分析法分析，()122f x a x ≥-++等价于3321a x x a --+≥-，即3361x a x a --+≤-，由基本不等式知()()33633661x a x x a x a a --+≤--+=+≥-，解得5,2a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.试题解析：（1）不等式()3f x ≤化为2323x x --+≤,则2,2323x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或2232323x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪---≤⎩,或233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---≤⎩,解得3742x -≤≤,所以不等式()3f x ≤的解集为37|42x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. 考点：不等式选讲．：。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)理数试题
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（ ） A ．45 B ．50 C.55 D ．605.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ） （参考数据：3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．48.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ） A ．26 B ．212 C. 24 D ．31210. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积1312S c =，则ab 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C. 16D ．3 11.已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3,4)B ．(2,)+∞ C. (2,5) D ．(3,22) 12.已知直线y a =分别与函数1x y e +=和1y x =-交于,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ）A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若61()n x x x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆的面积为3，则p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+-=的圆心Q 在椭圆C 上，点(0,2)P 到椭圆C 的右焦点的距离为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x ty t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y-+的最小值，并求相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲已知实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案一、选择题A D A D CC BD B BB D二、填空题13.5 14. 2 15.84 16.1a ≤-三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17.解：（1）()*11n n a S n N λ+=+∈， ()112n n a S n λ-∴=+≥，1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………2分()231a λ∴=+，()()241113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分()12,13132n n n a b n n -∴==+-=-.………………6分（2）()1322n n n a b n -=-⋅，()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅… ()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………10分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()3939,100P A ∴=…………4分 （Ⅱ）根据以上数据得到如表： 非重度污染重度污染 合计供暖季228 30非供暖季 63 7 70 合计 8515100…………8分2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（1）取11A C 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ∆中，EG 为中位线，11,GE A B GE ∴⊄平面1111,ABB A A B ⊂平面11ABB A ，GE ∴平面11ABB A ，同理可得GE 平面11ABB A ，…………2分 又GFGE G =，所以平面GEF 平面11ABB A ，EF ⊂平面GEF ，EF ∴平面11ABB A .…………4分（2）连接1AC ，在11AAC 中，11111,24C A A AC AA π∠==， 所以由余弦定理得2222111111111111112cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A BC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11110,0m A C m A B ∙=∙=，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量， 所以222110113222cos ,112113m n m n m n⨯+⨯+⨯<>===⨯⨯++， 平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值22211.20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点(),0,6,2F c PF c =∴=，…………1分()2,2在椭圆C 上，22421a b ∴+=，…………2分由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.…………4分（Ⅱ）由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，MAB ∆的面积为14242⨯⨯=，…………5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l 的方程为：2y kx =+，则直线2l 的方程为：()()112212,,,,y x A x y B x y k =-+，由221842x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()22124240k x kx ++-=，所以121222424,1212k x x x x k k --+==++，…………7分 则()()2221224141121k k AB k x x k ++=+-=+，………………8分又圆心()2,2Q 到2l 的距离12221d k =<+得21k >，…………9分又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为2d ，即222222211k k d kk-+==++，………………10分所以MAB ∆面积()()2222222414411422121k k k k s AB d k k ++===++，…………11分 令()2213,t k =+∈+∞，则222112311131450,,44,4322283t t S t t t ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫∈==--∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，MAB ∆面积的取值范围为45,43⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.…………12分21.解：（1）()()()()221221222x f x ax bx a b ax b e x x x x ⎡⎤=++-++-++-+⎣⎦ ()()2212322xax a b x a e x x ⎡⎤=+++-+⎣⎦，…………1分 ()00f a ∴==，又()010,1f a b b =-+=∴=.………………4分（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分 令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫=-++==-+=- ⎪⎝⎭.当0x >时，()10x h x e =->；当0x <时，()10x h x e =-<， ()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=，即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤. ∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥，当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分22.解:（1）由1x t =-，得1t x =-，代入23y t =+， 得直线的普通方程3320x y --+=. 由2p =，得2224,4p x y =∴+=.…………5分（2）,12x x C y y ⋅⋅⋅⎧=⎪∴⎨=⎪⎩的直角坐标方程为2214x y +=. ∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==.2222324cos 23sin cos 2sin 2cos 233x xy y πθθθθθ⎛⎫∴-+=-+=++ ⎪⎝⎭ ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩时，上式取最小值1. 即当31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，2232x xy y -+的最小值为1.…………10分 23.解：（Ⅰ）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，…………2分 所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+=.………………4分（Ⅱ）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-，…………6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，()max 3g x <-成立，()g x 的对称轴为2a x a =-<， ()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数，()g x ∴的最大值为()22223g a a a b a a =---=-+-，…………8分 2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<.………………10分。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试理数试题解析(解析版)
河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，或，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。
2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因为，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C。
3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意抽取比例为故总人数为所以高三被抽取的人数为4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为6. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意画出可行域：=，所以目标函数最值问题转化为可行域中的点与原点连线斜率的问题，可知取点F，G时目标函数取到最值，F(2，1),G(1，3),所以最大值将点F代入即可得最大值为17. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（）学#科#...A. B. C. D.【答案】B【解析】=2，所以的展开式中的常数项为：，令r=3得常数项为8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由奇函数，是边长为的正三角形，可得，是最高点且，得A=,所以9. 如图，格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】从题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是腰长为的等腰直角三角形，高为4的柱体，如图，其全面积，应选答案B。