4.6反证法
八年级数学下册 第4章 平行四边形 4.6 反证法教学课件浙教级下册数学课件
则∠A+∠B+∠C < 180°.
这与___三___角__形__三__个__内__角__的__和__等__于__1_8_0_°___相矛盾(máodùn). 所以__假_设___不成立，.
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所以∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 第十页，共二十二页。
求证(qiúzhèng)：四边形中至少有一个角是钝角或直角
所以四12/1边2/20形21 ABCD中至少有一个角是钝角或直角．
第十一页，共二十二页。
反证法的一般(yībān)步骤:
假设命题(mìng tí)结论不成立。（即命题结论的反面成立）
假设
所证命题 成立
推理得出 的结论
与已知条件矛盾 假设不
与定理、定义、公理
成立
矛盾
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请与大家分享你的判断！
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内容(nèiróng)总结
教学课件。王戎是怎样知道李子是苦的呢。与定理、定义、公理矛盾。假设出发(chūfā) 所得结论与已知条件或定义、基本事实、定理矛盾。从而说明假设不成立，原命题成立。
No ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)，。这与已知的∠1≠∠2矛盾，。证明：假设结论不成立，
教学 课件 (jiāo xué)
数学(shùxué) 八年级下册 浙教版
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第4章 平行四边形
4.6 反证法
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小故事(gùshì):
中国古代有一个《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们 外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取 (zhāi qǔ)果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?
4.6 反证法
4.6 反证法
1．试说出下列命题的反面：
(1)a是实数．__a不是实数__；
(2)a大于2.__a小于或等于2__；
(3)a小于2.__a大于或等于2__；
(4)至少有2个．__不多于2个__；
(5)最多有一个．__一个也没有__；
(6)两条直线平行．__两直线相交__．
2．用反证法证明“若a2≠b2，则a≠b”的第一步是__假设a＝b__．
3．用反正法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步__假设这个三角形是等腰三角形__．
4．已知：如图4－6－6，△ABC中，D，E两点分别在AB和AC上．
图4－6－6
求证：CD，BE不能互相平分．
证明：假设CD，BE互相平分．连结DE，故四边形BCED是平行四边形，∴BD∥CE，
这与BD，CE交于点A矛盾，假设错误，∴CD，BE不能互相平分．
5．已知：如图4－6－7，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC.
图4－6－7
求证：PB ≠PC ，
证明：假设PB ＝PC ，在△ABP 与△ACP 中， ⎩⎨⎧AB ＝AC ，
AP ＝AP ，PB ＝PC ，
∴△ABP ≌△ACP (SSS)，
∴∠APB ＝∠APC ，
这与已知条件∠APB ≠∠APC 矛盾，假设不成立． ∴PB ≠PC .。
浙教版八年级数学下册《4.6反证法》同步练习(含答案)
4.6反证法A练就好基础基础达标1．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是(B) A．5B．2C．4D．82．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应先假设(D) A．a不垂直于c B．b不垂直于cC．c不平行于b D．a不平行于b3．用反证法证明命题“若a>b，b>c，则a>c”时应先假设(D)A．a≠c B．a＜cC．a＝c D．a≤c4．下列命题宜用反证法证明的是(C)A．等腰三角形两腰上的高相等B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行D．全等三角形的面积相等5. 在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中(C)A. 没有锐角B. 都是直角C. 最多有一个锐角D. 有三个锐角6．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设：__李子为甜李__．7．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．解：已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1＝∠A＋∠B，证明：假设∠1≠∠A＋∠B.∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＋∠2≠180°这与三角形内角和为180°相矛盾，∴假设∠1≠∠A＋∠B不成立，∴∠1＝∠A＋∠B.8. 阅读下列文字，回答问题．题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B.所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC.上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.解：有错误．改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B.∵又∠C＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，∴AC＝BC不成立，∴AC≠BC.B更上一层楼能力提升9．用反证法证明(填空)：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°.求证：l1__∥__l2.证明：假设l1__不平行于__l2，即l1与l2相交于一点P.则∠1＋∠2＋∠P__＝__180°(__三角形内角和定理__)，所以∠1＋∠2__<__180°，这与__∠1＋∠2＝180°__矛盾，故__假设__不成立．所以结论成立，l1∥l2．10．已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，用反证法，其步骤为：假设__∠C＝90°__，根据__勾股定理__，一定有__AC2＋BC2＝AB2__，但这与已知__AC2＋BC2≠AB2__相矛盾，因此假设是错误的，故原命题是真命题．11．用反证法证明下列问题．如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O.求证：BD和CE不可能互相平分.证明：连结DE，假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形．∴BE∥CD.∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾．故假设不成立，原命题正确，即BD和CE不可能互相平分.12．反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即均小于60°，则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，故假设不成立．原命题成立．13图1将此命题改写成符号语言．已知：如图1，在△ABC中，D是AB边上的中点，DE∥BC交AC于点E．求证：AE＝CE.【分析】“反证法”是一种间接证明的方法．其实还有一种间接证明的方法叫“同一法”，具体做法是：先作出一个符合结论特性的图形，然后证明图2所作的图形与已知条件其实是同一个图形，从而间接地证明出已知条件的图形具有这种性质．请你从完成下列不完整的证明过程中，体会这种证明方法的妙处．证明：如图2，取AC边的中点F，连结DF.∴DF是△ABC的__中位线__，∴__DF∥BC__(三角形的中位线定理)．∵DE∥BC，由基本事实“过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线”得：DF 与DE 重合，即点__F __与点__E __重合，∴__AE ＝CE __．C 开拓新思路 拓展创新14．能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个 14题图14题答图解：不能填．理由如下：设所填的互不相同的4个数为a ，b ，c ，d ；则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋c 2＝b 2＋d 2，①a 2＋d 2＝c 2＋b 2，②a 2＋b 2＝c 2＋d 2，③①－②得c 2－d 2＝d 2－c 2，∴c 2＝d 2.因为c ≠d ，只能是c ＝－d ，④同理可得c 2＝b 2，因为c ≠b ，只能c ＝－b ，⑤比较④，⑤得b ＝d ，与已知b ≠d 矛盾，所以题设要求的填数法不存在．。
浙教版初中数学八年级下册4.6 反证法课件
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
反证法的一般步骤 :
假设
假
设
命 从假设出
题 不
发
成
立
即___求__证__的___命__题__正___确__.
2.警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎． 聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真 话？你会释放谁？ 请与大家分享你的判断！
小华. 是如何推断该命题的正确性的?
假设小芳全家外出旅游, 那么今天不可能碰到小芳, 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾, 所以假设不成立, 所以小芳全家没有外出旅游.
在证明一个命题时,人们有时先假设 命题不成立,从这样的假设出发,经过推理 得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本 事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不 成立是错误的，即所求证的命题正确。这 种证明方法叫做反证法。
别人能做到的事情，我也能做到。
义务教育教科书（浙教）八年级数学下册
第4章 平行四边形
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴们 外出游玩,看到路边的李 树上结满了果子.小伙伴 们纷纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.王戎 回答说:“树在道边而多 子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下 果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢 ?他运用了怎样的推理方法？
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或__钝__角__. 当∠B是_直__角__时，则___∠___B_+__∠__C__= 180°
4.6反证法 新浙教版2014
王戎推理方法是:
假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾 假设 “李子甜”不成 立 所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
在证明一个命题时,有时先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛
1、作业本 2、课后练习
(1)你首先会选择哪一种证明方法?
c
a b
c
(2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
(3)能不用反证法证明吗?你是怎样证明的?
合作学习
求证: 在同一平面内,如果一条直线和两条平行 直线中的一条平行,那么和另一条也平行.
已知：直线a, b, c 在同一平面内，且a∥b, c∥a 求证： c∥b c
a b
平行线传递性定理：
c
在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的 一条平行,那么和另一条也平行.
平行线传递性定理： 在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的 一条平行,那么和另一条也平行.
几何语言表示: ∵a∥b b∥c ∴ a∥ c
a b c
c
1பைடு நூலகம்
a b
求证：a∥b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立 ∴ a∥ b
合作学习
求证: 在同一平面内,如果一条直线和两条平行 直线中的一条平行,那么和另一条也平行.
已知：直线a, b, c 在同一平面内，且a∥b, c∥a 求证： c∥b
学以致用
已知:直线l与a，b，c都相交，且 a∥ c ， b∥c ， 求证:∠1=∠2 证明:假设∠1 =∠2, 则a ∥b,
4-6 反证法 课件2022-2023学年浙教版数学八年级下册
课堂练习
5．完成下列证明． 如右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角． 证明：假设结论不成立，则∠B是_直___角_____或_钝___角_____． 当∠B是__直__角___时，则_∠_A__+__∠_B__+__∠_C__>__1_8__0_°， 这与_三___角__形__的__内__角___和__等__于__1__8_0__°矛盾； 当∠B是__钝__角___时，则_∠__A_+__∠__B_+__∠_C__>__1__8，0° 这与_三__角___形__的__内__角___和__等__于__1__8_0_°__矛盾． 综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角．
新知讲解
求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 已知：四边形ABCD. 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．
证明：假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角， 即∠A<90 °，∠B＜90 °，∠ C<90 °，∠ D<90 ° ， 于是∠ A＋ ∠ B+ ∠ C＋ ∠ D<360 °. 这与“四边形的内角和为360 °”矛盾，所以四边形 ABCD中至少有一个角是钝角或直角．
新知讲解
反证法的步骤
一、提出假设 假设命题不成立（即命题的反面成立）
二、推理论证 从假设出发经过推理
三、得出矛盾 四、结论成立
假设出发所得结论与已知条件或定义、基本事 实、定理矛盾 从而说明假设不成立，原命题成立
Hale Waihona Puke 新知讲解求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直 线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法?
4.6 反证法
浙教版 八年级下
八年级下册数学浙教版教习题课件：4.6 反证法
与名校名师面对面 与命题专家面对面
第4章 平行四边形
4．6 反证法
夯夯实实基基础础
能力提升
挑战自我
1．“m＜n”的反面应是( D ) A．m≠n B．m＞n C．m＝n D．m≥n
夯夯实实基基础础
能力提升
挑战自我
2．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数 都是4的倍数”是假命题的反例是( B ) A．5 B．2 C．4 D．8
夯实基础
能能力力提提升升
挑战自我
13．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角 平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不 与点D重合．
夯实基础
能能力力提提升升
挑战自我
证明：假设点 M 与点 D 重合．延长 AM 到 N， 使 AM＝MN，连结 BN.在△AMC 和△NMB 中， CM＝BM， ∠AMC＝∠NMB， ∴△AMC≌△NMB(SAS). AM＝NM，
夯实基础
能能力力提提升升
挑战自我
11．用反证法证明(填空)： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互 补，那么这两条直线平行． 已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝ 180°， 求证：l1_∥___l2.
夯实基础
能能力力提提升升
挑战自我
证明：假设l1 不平行 l2，即l1与l2相交于一 点P.则∠1＋∠2＋∠P ＝ 180°.
夯夯实实基基础础
能力提升
挑战自我
3．用反证法证明“若a∥c，b∥c，则a∥b”，第 一步应假设( D )
A．a∥b
B．b与c不平行
C．a与c不平行
D．a与b相交
夯夯实实基基础础
能力提升
挑战自我
4．用反证法证明“若实数a，b满足ab＝0，则a ，b中至少有一个是0”时，应先假设( C ) A．a，b中至多有一个是0 B．a，b中至少有两个是0 C．a，b都不等于0 D．a，b都等于0
浙教版八年级下测试题4.6 反证法
1．用反证法证明命题：三角形中必有一内角小于或等于60°时，首先应假设这个三角形中(D) A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°2．“a＞b”的反面应是(D) A．a≠b B．a＜bC．a＝b D．a＝b或a＜b3．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设(D) A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°【解析】应先假设每一个锐角都大于45°.4．用反证法证明“2是无理数”时，最恰当的证法是先假设(C)A.2是分数B.2是整数C.2是有理数D.2是实数5．已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法证明这个结论，可假设(C) A．∠A＝∠BB．AB＝ACC．∠B＝∠CD．∠A＝∠C【解析】∠B≠∠C的反面是∠B＝∠C，故可假设∠B＝∠C.6．用反证法证明命题“△ABC中，若∠A＞∠B＋∠C，则∠A＞90°”时，可以先假设__∠A≤90°__．7．已知如图4－6－1所示，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行于b.证明：假设__a∥b__，则__∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)__，这与__∠1≠∠2__相矛盾，所以__假设__不成立，所以a不平行于b.图4－6－18．用反证法证明：如图4－6－2所示，已知a⊥c，b⊥c，那么a∥b.图4－6－2证明：假设a，b不平行，则a，b相交，设交点为P，则过P有两条直线垂直于c，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以a，b相交不成立，所以a∥b.9．求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角．解：已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A＞90°，∠B＞90°，∴∠A＋∠B＋∠C＞90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴假设不成立，即在一个三角形中，不能有两个角是钝角．10．阅读下列文字：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.证明：假设AC＝BC，∵∠A≠45°，∠C＝90°，∴∠A≠∠B，∴AC≠BC.上面的证明有没有错误？若没有错误，请指出证明的方法是什么？若有错误，请予以纠正．解：有错误，改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B.又∵∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，这与∠A≠45°矛盾，∴AC＝BC不成立，∴AC≠BC.11．求证：三角形中至少有一个内角不小于60°.证明：假设三角形中三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，∴∠A＋∠B＋∠C＜180°，这与∠A＋∠B＋∠C＝180°矛盾，∴假设∠A，∠B，∠C都小于60°是不成立的，∴∠A，∠B，∠C中至少有一个角不小于60°，即三角形中至少有一个角不小于60°.。