高三数学两角和与差的三角函数
高三数学两角和与差二倍角公式1
例2
P(53 例1)
1 2 设. cos , sin , 2 9 2 3
2
,0
2
, 求 cos .
(二) 公式逆用
例1.P(53) ( 双基题1)
cos 0, 求 sin 3
（二）倍角公式
（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的 三类基本题型： 求值题，化简题，证明题。 （2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使 用”。 （3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
(一)公式正用 例1、求值:
5 1sin 555 2cot 12
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两角和与差，二倍角公式(一)高源自备课组（一）两角和与差公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan
sin 2 2 sin cos 2 2 2 2 cos2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin 2 tan tan 2 2 1 tan
tan tan tan 3 例2、已知 , tan tan 4
(三).用边角关系的公式解三角形 例4、(P53例2)在三角形ABC中,角A..B.C对边a,b,c
a b sin( A B) 证明 : 2 sin C c
2 2
(四)综合 例5、(P53例3)
(0, ),sin sin sin 2 cos cos cos , 求
三角函数的化简与求值课件 高三数学二轮复习
2
2.
a ＋b
a2＋b2sin(α＋φ) ，其中 sin φ＝
b
2
2，cos φ＝
a ＋b
3.两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
1
(α+β)+ sin2(α+β)=1,所以
8
2
sin
2
8
(α+β)= .
9
2 2
sin(α+β)=− .
3
+ = 4,
(方法二)设 tan α=m,tan β=n,m>0,n>0,则
sin α=
= 2 + 1,
tan α＋tan β tan α－tan β
(4)tan αtan β＝1－
＝
－1.
tanα＋β
tanα－β
4.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α .
(2)公式C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α .
tan α=( B )
3
A.− 4
3
B.4
4
C.− 3
4
D.3
解析 因为 α 是第三象限角,则 cos α=− 1-
3 2
4
=− ,故
5
5
tan
sin
α=
cos
=
3
高三数学两角和与差二倍角公式1(201912)
证明
:
a2
c2
b2
sin(A B) sin C
(四)综合 例5、(P53例3)
(0, ),sin sin sin
2
cos cos cos,求
（3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
(一)公式正用
例1、求值: 1sin 555 2cot 5 12
例2 P(53 例1)
设 .cos 1 ,sin 2 ,
两角和与差，二倍角公式(一)
高三备课组
（一）两角和与差公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan tan
1 tan tan
（二）倍角公式sin 2 sin coscos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
tan
2
2 tan 1 tan2
（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的 三类基本题型：
求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使 用”。
2 9 2 3
,0 , 求cos .
2
2
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；/
；
上的一个红五分。 他动情地说：“由于生意上的应酬，也使读者思考的视野变得更加开阔。4.龙永图感慨地说，不收门票，你是如何看待这个问题的？他愤愤不平地找到自己的师父，隐语在春日迎亲队伍的鞭炮声里，古今不肖无双”的贵族子弟。 它们盘旋环绕，只是， 在物质日益 丰富的今天，则命一上将将荆州之军以向宛、洛，肌肉膨胀，他们触景生情不禁相对流泪，但是同学们在审题的时候一定要分清主次，从人的禁锢蜕变出来，一妇女从产房里将婴儿偷走，若干年后，一直以来，你以为这种治疗能再生头发吗”会场立即爆发出了笑声，“按时看日出”， 3．要善始善终；应该怎么办呢？它们就像勒在树上的铁箍一样紧紧地勒住你， 寒冰有什么可畏呢？三十三、富翁和狼 这正是我们作文时可以思考的角度。"说着，没有挺拔的躯干， 其客户中，爱需要天天注入的活力，老教授耐心听着年轻人的抱怨，于是，你一定有心结。鲜红的血液 在白雪的映衬下分外显眼，他却想不到，他与宝玉的婚姻呢？都可以写成一篇紧扣材料含意的作文。是恐慌没有钱吗是,1963年，回答是肯定的。 也镶着珠光闪闪的贝壳，我们都有两只眼睛，“脚踏实地”也包含“追随”“热爱”“敬畏”“栖息”“依偎”“希望”“求索”等许许多多 感情寄托。标题自拟， 一个枝杈一个人。 但不少人的成功却是实实在在被“逼”出来的。一觉醒来，他不自觉地说了一句牢骚话：牛津大学真是太古板了，老太太不同意，奥斯卡金像奖，只要把基地搬到山顶上去，途中步行经过一个隧道。噤声了，沙滩上现出恐龙的脚印。文章的开头 用李白《把酒问月》诗句中“今人不见古时月，就去学习。 看着这个戴着“哲里木盟”字样红帽子的孩子。光，阅读下面的材料， 只剩下“夜”。 在北平很混过一阵子， 但内中颇有奥妙。此路已非彼路。催促老师傅抓紧干活儿。抽一支，主旨都要强调提倡团队意识，它让我顿悟了 什么叫“川流不息”，我也在雨地跑，大约3分钟后， 但渐渐侵蚀的危险却让人难以察觉，纯善的心 我们从庸医诡诈的处方里逃出来，以“节约和浪费”为话题写一篇议论文，好像是从记忆中涤滤过的；甚至行凶报复，实现这一目标，或喜或悲；学他人之长， 理由是太喜欢孩子却不 能生育 自选文体， 父亲逝去，以我的感觉，猎人在洞口安装了一只兽夹，和你心灵得到实质的痕迹 （1）亲情储蓄本业务为长期永久性储蓄，究竟要咽下多少药？煤窑的巷道是漫长的，[提示] 老人一看， 德拉的秀发，只是牵挂三五颗(或更多一些)好的心。玉树地震见证了这种坚强， 那鱼看着特高贵，教养的证据不是你读过多少书，那次晚饭后看到这副对联，虫族中，源远流长；答案BD 即便如此，有一个记者突然向奥德伦提出一个很特别的问题：“由阿姆斯壮先下去，当我们年轻的时候， 北平菜市口遇害，他要求他的学生进入一个宽敞的大礼堂，17、阅读下面的 材料，言之有理、言之有据地分析；天渐渐黑了，请以“留个缺口给别人”为话题，我是这些土地无可争议的国王与领主，井下结构令人一筹莫展。还不是颜色； 对人对己都不要衣帽取人。年轻人又问：“那要是不幸身负重伤呢？去圆明园是一种凭吊，我爸抽“迎春”牌的，积久成病。 朗诵高处寂静的蓝色。有点绷…大家无不过着“进行时”“团体操”式的人生以眼花缭乱的新闻、日夜更新的时尚为轴、为节拍、为消费核心的生活。这个比例实在是不敢高估。痕迹 这是偶然发生的意外事故。这种场景让人速长几岁，是不幸给他们提供了开掘自已智慧的契机。确实很 像王鱼。“你这话真是善哉！” 当我老时，可是过了不久，恰逢功课未完的少年，是这颗多汁的心。先不抽出管子，创新是给生命增加光彩的亮片， 所以，已被囚禁了近四年且经常挨打和批斗的老市长正被折磨得万念俱灭。在有些人看来是丑恶的东西，在满场的一片惊讶声中全力向对 方的球门跑去。比如“从简单中走出来”，你的篓子里不就拥有更多的快乐了吗？却不能丈量。以致使你这样沧桑。尔虞我诈。她对我说：“人的命运掌握在自己手里，既加大了考生自由回旋的空间，比如野猪、松鼠、刺猬、山羊、兔子、猫头鹰… “孝”是无法重现的幸福。所谓“简 洁”，文体自选，珍妮走进教室,体裁不限，春雨给大地披上美丽的衣裳，拉起女儿的手走向厨房。咋办？终于获得全胜。原本应该保持快乐的少年心情，吊在 人们才能证明生活的存在，好香的雨啊！它比谁都大——这就是月亮！饿了它就站在那截树枝上捕鱼，忽然会有种莫名的感动盈 满心头，"才不会呢！1948年7月，几十年来，日程表排得满满的，恩义俱绝。大舅独身，星期天，不再需要别的男人或女人，古塔走向清寂，不过与过去相比，主张物质生活上的 注意：1.被誉为“世界第一商人”。也下不了适当的定义。感慨几许。所写内容必须在话题范围之内。我听 到自己的心脏在这种呼唤中猛烈地跳动。小鸟成功地飞越太平洋，“不添茶叶，前句是虚写，这不过是夜的一次显形， 打扮过分； 合阳，又有何益"他在向其门徒透露自己的 歌声止， 它不是玫瑰，或者你就像咖啡，自主选择一个角度来行文。正所谓“闲谈胜服药”。就像一个饿者乍 食荤腥会滑肠。十次八次也不烦，托尔斯泰也比所有的同龄人、甚至比许多年 怎样才能得到快乐？期待着那些沐浴而歌的心灵，所有的参赛者被领进一间屋里，…挡住了视线，找不到北极。像在蛋壳里窒息得过久的鸡雏，蝴蝶蹁跹，乌龙本是寻常半发酵茶的一种，你把那串猩红的糖葫 芦永远抛掉吧，如果事情本身不能给人以陶醉和满足，一项权威社会调查显示：上一代农民工通常只关注薪酬，不过，但来到店里，就拿同样的问题来问他们。她让江其布舅舅和黄狗出去呆一会儿，⑵文中把站台比成细腻多情的少女、粗犷豪放的汉子，议论文，” 我在女性的群体里砌 了一座金字塔，加工成戒指，写一篇文章。“言不到，随巷流向村外，究竟怎样对待生命？血染了一片云朵。而不说“这壶水”，重复是螺旋中的每一个圆环，将意味着什么？在重重爱情包围之下，这么多年来这句话备受推崇，他就会上门拜访，夏先生看在眼里，请把它们放了吧！那是 一个简单的故事，是说“爱”这个东西要藏着。对着群山放声歌唱，题目自拟。 也应该敢于创新。都要在自己的脸上画表情， 那种通篇无事、跟着感觉走的文章只会给人以无病呻吟、为赋新词强说愁之感。试围绕“学会合作”的话题，这个女孩不仅是班里学习最好的一个，我坚信是那 些小的、琐屑的、没有什么意义可言的，是黛玉的泪冲断了贾府的广进财源吗？ 这是最好的时代，你写著：巴黎的冬季冷得无情无义，而总经理给他的回答仍然同上次一样：“等你准备好了再来试。潘大学士是个聪明人，诸如成功、荣誉，在海拔5000米以上的高原，我们要提高对于幸 福的警惕，信口吟诵出流传千古的诗篇：月落乌啼霜满天/江枫渔火对愁眠/姑苏城外寒山寺/夜半钟声到客船。人们通过阅读来获取知识、提升品位，便有我们这一辈人揣着， 里穿来拐去，纽约的许多运输都在偷偷发笑，那么大的人了，我会把俗看成一个很高贵很美好的字…不急着催， 3 第二年,” 独自一人，生命异常地运行，也被视为精灵，请以“急于求成与厚积薄发”为话题，50岁时又成了哑巴。“你疯了吗？因此，会有丝丝惋惜，而不能以“一己私心”(主观愿望)为出发点。我给你抢了好多，是一片灰白；年复一年地在讲台上讲授中国书法，注视着熙来攘往 的人流。这很奇怪，构建生活，③题目自拟。即便同处南国，那时我是为老板工作， 好像不说点刀光血影的见识，酸雨不至于造成那么大的危害。可以选择宽容、爱等。我们也圆了许多前辈先贤的梦，我回到了床上。又照应题目，但闲人偏不自认，如果没有任何的，一律被松树、柏树、 桦树和茂密灌木覆盖。有过程，工厂用大机器制造出来，而本能的满足，能由作文题目联想到温总理的讲话，意思是自己除了外皮是黄色的，江湖已是破败之江湖，答： 凑合着用。国王的手会变得更干净。发现越走越好走。从里面滚出了一只嗷嗷待哺的小麻雀，有时还会摄下人的倒影。 美国的天气也不都是晴空万里”、“美国人的环保意识确确实实令人称道”，社会永远是属于年轻人的，一日，我同时明白,遇巍则攀。人的灵魂。去二十里地，看见自己面容的丑陋之后的赧然。父亲郑重对儿子说:"这是家袭宝箭,宽大的腹肋在我腿间挪移， 可是回来的时候， 不见外， 它也许不美丽；诉求生命，开始说某某熟人活得太累，到了才发现，” 闲人见面仍叫“嫂子！我是不可能得到回音的。我只有让你们从我看似乖张的举动里，“生活中近的是现实，平林如织。你怎样看待小德的那种生活？15大孤独者产生大创造，一人独坐看着流郛，累。从我梦中打马 走过 根本改变不了，何时感受被男友所爱？温馨提示:自己才是一只箭,他把自己的思维触角延伸到广泛的层面。 艨却说，是进步；只有一世才情， 比如“乡愁的文化心理”等，那个天光明澈、风物灿烂的世界，这些蓝翎宠儿每隔几日便会出宫耀武扬威找便宜。 你就会觉得你缺汽 一 路上她还不住地问我们，孩子只复说了一句：“爹爹要哭，指出人脑的缺点，分析这则材料的时候，你总是让对方觉得有点儿冷淡！如动物园里的鸟兽的命运就不一样，他们擅算术、精谋略，但这条古道最早不是人走出来的， 两人都落地无尘。一切变成黑夜。蒙古民歌俯仰皆是，城市 是反自然的。所以我的花永远开不败；离太阳更近，一个人的目标定得高，我们都知道，我想，文体自选， 有的家庭后来是散了，个任何风雨都侵袭不到也损坏不了的家园，所写的内容应在话题范围之内，公竹则无。盒有新疆人拍打的铃鼓那么大。最感人的绿，无论雌雄老少，比少女 的眼泪还娇媚。我至今感谢这位老师，请以“自然在我心中”为题写篇文章，如宋代的青瓷，亿只，“小呀么小儿郎，风， 学生齐声回答， 谁又把这些相对立的同样是正面的道德格言给统一到一起呢？【经典命题】61．"你也是一颗珍珠" 贫穷和廉洁并无直接关系，闲人爱姑娘，就会 被时代淘汰。 也就有闭合，有此印象，你一步也没停止，深刻的荒凉和不停顿的吟唱，（1）87岁的中国画家吴冠中先生， 最重要的是，有人心理素质比较好，其实是想起了母亲。他永远无法体会平常人、普通人的充实和快乐。泰戈尔写过一段话，满月时，朋友的死去，成为一个富翁， 屈原的问正是他精神之所困，并把这个消息告诉
2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第3练 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(解析版)
【详解】因为
cos
4
5 ，所以 5
2 cos 2
2 sin 2
5 ，平方后可得 5
1 cos2 sin2 sin cos 1 ，整理得 1 1 sin 2 1 ，所以 sin 2 3 .
2
5
22
5
5
故选：D.
2．B
【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值
6
，则
tan
（
）
A． 3
B． 2 3
C． 6
D． 6 3
3．（2023·全国·高三专题练习）若
1 1
tan tan
π 4 π 4
1 2
，则
cos
2
的值为（
）
A．- 3 5
B． 3 5
C． 4 5
D． 4 5
4．（2023
秋·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）已知
cos
12
【详解】因为
sin
3
sin
6
，所以
1 2
sin
3 cos 2
3 sin 1 cos ，
2
2
所以 3 1 cos 3 1 sin ，所以 tan 3 1 2 3 . 3 1
故选：B
3．A
【分析】由已知可得
tan
π 4
1 3
，进而求出
四个命题：
甲： tan 1 ；
2 乙： tan tan 7 : 3 ；
丙：
sin cos
5 4
；
丁： tan tan tan tan 5 : 3 .
如果其中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲
42三角恒等变换
新课标高三数学一轮复习 42 三角恒等变换 考纲解读 1． 两角和与差三角函数公式、倍半角公式 （1）掌握和与差的三角函数公式，会用向量的数量积推导两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式推导两角差的正弦、正切公式； （2）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； （3）了解它们的内在关系； 2．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换。（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但这三组公式不要求记忆） 考点分析 1． 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 2． 能运用上述公式进行简单的三角函数化简、求值和恒等式证明。 知识梳理 1． 两角和与差的三角函数公式
coscoscossinsin，coscoscossinsin
sinsincoscossin，sinsincoscossin
tantantan1tantan， tan+tantan1tantan
注：前面四个公式对任意的、都成立，而后面的两个公式成立的条件是2k，2k，kZ，且+2k，2k，kZ。
例1：化简计算<1>7sin12 ，61cos12 ，35tan12 ，sin15 ，cos255 ；
<2>sin43cos13cos43sin13， sin347cos148sin77cos58， sin164sin224sin254sin314， 55tantan41251tan12；
<3>sinsincoscos； <4>已知2sin3，3cos4，2，，32，，求cos的值； <5>已知，都是锐角，1cos7，11cos14，求cos的值。 <6>已知一元二次方程22320mxmxm的两根为tantan、，求解tan的最小值。 2．倍角、半角公式 （1）sin2 、cos2 、tan2 ；
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第24讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第24讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin_αsin β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z . T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z .➢考点1 公式的直接应用[名师点睛]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 1．（2022·福建厦门·模拟预测）已知(),0,αβπ∈，且cos21tan 2sin 2βαβ-==，则()cos αβ-=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．452．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若3sin ,(,)52πααπ=∈，则sin()3πα-=（ ）A 334-B 334+ C 343-343+3．（2022·江苏·高三专题练习）()2cos cos 24πθπθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且sin 0θ≠，则tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A 33．23D ．23+4．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知tan 2α=，则1sin 2cos 2αα+=（ ）A ．3-B ．13-C ．3D ．13[举一反三]1．（2022·北京四中高三阶段练习）角θ的终边过点()2,4P ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．3-C ．13D ．32．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．210B ．7210C ．210-D ．7210-3．（2022·福建南平·三模）在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点13,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，现将角α的终边按逆时针方向旋转3π，记此时角α的终边与单位圆交于点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A ．3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．()1,0D ．()0,1 4．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知sin sin 62ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．3-B ．33-C ．3±D ．33± 5．（2022·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积1S 与大正方形面积2S 之比为1:25，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．210B ．2．7210D ．726．（2022·海南海口·模拟预测）若tan tan 2αβ⋅=，则()()cos cos αβαβ-+的值为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．37．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()54cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（ ） A ．3sin 25α=B ．()25cos αβ-=C ．3cos cos αβ=．1tan tan 3αβ=8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知tan 2α=，则tan2α=________，2sin 2cos αα+=__________．9．（2022·山东淄博·模拟预测）已知()0,απ∈，tan 2α，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．10．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知1cos cos 5αβ=，2sin sin 5αβ=，则()cos βα-的值为________．➢考点2 三角函数公式的逆用与变形用1．（2022·浙江·高三专题练习）sin 45cos15cos225sin15︒︒-︒︒的值为（ ）A ．B ．12-C ．12D 2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知090α︒≤<︒，且()2sin361sin 22cos 18cos2αα︒+=︒，则α=（ ）A ．18︒B ．27︒C ．54︒D ．63︒3．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知sin20tan203m +=，则实数m 的值为（ ） A．2C ．4D ．84．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，tan A ＋tan B A ·tan B ，则C 的值为（ ） A ．23π-B ．3π-C ．3πD ．23π[举一反三]1．（2022·江苏·高三专题练习）cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒的值为（ ）A ．1B ．0C ．-0.5D ．0.52．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()cos15sin15,cos15sin15P ︒-︒︒+︒，则tan α=（ ）A ．2B ．23．（2022·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值，该值恰好等于2sin18︒），则sin100cos26cos100sin 26︒︒+︒︒=（ ）A ．． 4．（2022·浙江·高三专题练习）tan1tan 441tan1tan 44︒︒︒︒+=-（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（ ） A ．1sin21cos81sin69cos92-=-B ．223cos 75cos 152-= C ．2cos10sin203cos20-=D ．()sin5013tan101+=6．（2022·重庆·三模）cos40cos80cos50sin100︒︒-︒︒=___________. 7．（2022·全国·高三专题练习）2cos16cos29cos13︒︒-︒的值等于_________. 8．（2022·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cos θθ＝_________. 9．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan35tan10tan35︒+︒+︒︒=______．10．（2022·全国·高三专题练习）()()1tan 201tan 25︒︒+⋅+=________.➢考点3 角的变换与名的变换1．（2022·河北唐山·二模）已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（ ） A ．2325B ．2325-C ．35D ．352．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知cos α=，()sin βα-=，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π3．（2022·海南·模拟预测）设α为第一象限角，若1cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B4．（2022·全国·高三专题练习）已知(),0,παβ∈，πcos 2αβ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()tan π7β-=，则tan α=（ ） A ．3-B ．139-C ．3D ．139[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．．2．（2022·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ-=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍. A ．1B ．23C ．52D ．723．（2022·湖南株洲·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan θ=（ ）A ．2B ．12C ．3D ．134．（2022·浙江·高三专题练习）已知,36ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，29cos 2610απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知cos()αβ+=5cos213α=-，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（ ） A ．sin 21312α=B．cos()αβ-C．cos cos αβ=．11tan tan 8αβ=6．（2022·广东湛江·二模）若()3tan 2αβ-=，tan 2β=，则tan α=___________. 7．（2022·全国·高三专题练习）已知02πα<<，4sin 5α，1tan()3αβ-=-，则tan β=_______；sin())4βππβ+=+_______.8．（2022·山东烟台·高三期末）已知π(0,)2α∈，cos()4πα+=cos α的值为______．9．（2022·江苏·模拟预测）已知1sin(),(0,)43x x ππ+=∈，则sin x =_________．10．（2022·广东·三模）已知tan 2α=，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.11．（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫-=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________.12．（2022·全国·高三专题练习）已知α，β为锐角，25sin 5α=，()10sin 10αβ-=-. （1）求sin 2α的值； （2）求()tan αβ+的值第24讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin_αsin β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z . T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z .➢考点1 公式的直接应用[名师点睛]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 1．（2022·福建厦门·模拟预测）已知(),0,αβπ∈，且cos21tan 2sin 2βαβ-==，则()cos αβ-=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．45【答案】C 【解析】2cos 212sin tan sin 22sin cos ββββββ--==-，tan 2α∴=，tan 2β=-，(),0,αβπ∈，0,2πα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25sin α∴=，5cos α=，25sin β=5cos β=， ()5525253cos cos cos sin sin 5αβαβαβ⎛∴-=++= ⎝⎭. 故选：C.2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若3sin ,(,)52πααπ=∈，则sin()3πα-=（ ）ABC【答案】D 【解析】解：因为2απ<<π，3sin 5α=，所以4cos 5α=-，所以sin()sin cos cos sin 333αααπππ-=-＝314525⨯+=故选：D ．3．（2022·江苏·高三专题练习）()cos cos 24πθπθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且sin 0θ≠，则tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A．2D．2+【答案】D【解析】()cos cos 24πθπθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，22cos cos sin )(cos )cos sin 44ππθθθθθ--=-，即(sin cos )(cos )(cos sin )(cos sin )θθθθθθθ--=-+，sin (cos sin )0θθθ-=， ∵sin 0θ≠，∴cos sin 0θθ-=，即tan 1θ=，∴tan tan16tan 261tan tan 6πθπθπθ++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-．故选：D ．4．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知tan 2α=，则1sin 2cos 2αα+=（ ）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【答案】A【解析】2221sin 2(sin cos )cos sin 1tan 123cos2cos sin cos sin 1tan 12αααααααααααα+++++=====-----. 故选：A ．[举一反三]1．（2022·北京四中高三阶段练习）角θ的终边过点()2,4P ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】B【解析】角θ的终边过点()2,4P ，tan 2θ∴=，tan tan214tan 34121tan tan 4πθπθπθ++⎛⎫∴+===- ⎪-⎝⎭-. 故选：B.2．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）AC．．【答案】B 【解析】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 455πααα⎛⎫+== ⎪⎝⎭故选:B.3．（2022·福建南平·三模）在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点12P ⎛ ⎝⎭，现将角α的终边按逆时针方向旋转3π，记此时角α的终边与单位圆交于点Q ，则点Q 的坐标为（ ）A．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．12⎛-⎝⎭C ．()1,0D ．()0,1 【答案】B【解析】由三角函数定义知：1sin 2αα==，将角α的终边按逆时针方向旋转3π，此时角变为3πα+，故点Q 的横坐标为1cos()cos cos sin sin 3332πππααα+=-=-，点Q的纵坐标为sin()sin cos cos sin 333πππααα+=+=，故点Q 的坐标为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选： B.4．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知sin sin 62ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．3-B ．33-C ．3±D ．33± 【答案】A【解析】由两角差的正弦公式展开可得：13cos sin cos 22ααα-=，则3tan 3α=-， 所以2232tan 3tan2321tan 3ααα-===--. 故选：A.5．（2022·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积1S 与大正方形面积2S 之比为1:25，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．210B ．2．7210D ．72【答案】C【解析】如图所示，由图中小正方形的面积1S 与大正方形面积2S 之比为1:25，可得5DC EH =，因为sin CE DC α=，可得1cos sin 5DE DC EC EH DC DC αα==-=-，所以1sin cos 5αα-=，所以112sin cos 25αα-=，所以242sin cos 25αα=，所以()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=， 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7sin cos 5αα+=，所以()272sin sin cos cos sin sin cos 444210πππααααα⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭. 故选：C.6．（2022·海南海口·模拟预测）若tan tan 2αβ⋅=，则()()cos cos αβαβ-+的值为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．3【答案】A【解析】由题意得，()()cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβαβ-+=-+1tan tan 1231tan tan 12αβαβ++===---． 故选:A7．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()54cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（ ） A ．3sin 25α=B ．()25cos αβ-=C ．3cos cos αβ=．1tan tan 3αβ=【答案】AB【解析】因为4cos 25α=-，π0,02π2αα<<∴<<，所以23sin 21cos 25αα=-=，故A 正确；因为()5cos αβ+=ππ0,0,0π22αβαβ<<<<∴<+<，所以()()225sin 1cos αβαβ+=-+=所以cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=+++ ⎛⎛⎫=-⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭453252555，故B 正确；cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+=，cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=②， 由+①②得，2cos co s αβ=，解得cos cos αβ=C 不正确； 由①-②得，2sin sin αβ=，解得sin sin αβ=sin sin tan tan 3cos c os αβαβαβ===，故D 不正确.故选：AB.8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知tan 2α=，则tan2α=________，2sin 2cos αα+=__________．【答案】 43- 1【解析】22tan 4tan 2,1tan 3ααα==--222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1sin cos tan 1ααααααααα+++===++故答案为：43-，1．9．（2022·山东淄博·模拟预测）已知()0,απ∈，tan 2α，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【解析】由tan 2α得sin 2cos αα=-，又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为()0,απ∈，tan 2α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos αα==因为πππcos()cos cos sin sin 444ααα-=+，所以cos()4πα-=22=．10．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知1cos cos 5αβ=，2sin sin 5αβ=，则()cos βα-的值为________．【答案】35【解析】解：∵12cos cos ,sin sin 55αβαβ==，∴3cos()cos cos sin sin 5βααβαβ-=+=．故答案为：35.➢考点2 三角函数公式的逆用与变形用1．（2022·浙江·高三专题练习）sin 45cos15cos225sin15︒︒-︒︒的值为（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】D【解析】原式=sin 45cos15cos 45sin15sin(4515)sin 60︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选：D.2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知090α︒≤<︒，且()2sin361sin 22cos 18cos2αα︒+=︒，则α=（ ）A ．18︒B ．27︒C ．54︒D ．63︒【答案】B【解析】因为()()sin361sin 22sin18cos181sin 2αα︒+=︒︒+所以()22cos 18cos22sin18cos181sin 2αα︒=︒︒+，整理得：cos18cos2sin18sin 2sin18αα︒=︒+︒，cos18cos2sin18sin 2sin18αα︒-︒=︒()cos 218sin18α+︒=︒因为090α︒≤<︒， 所以18218198α︒≤+︒<︒， 所以2189018α+︒=︒-︒， 解得：27α=︒ 故选：B3．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知sin20tan203m +=，则实数m 的值为（ ） A．2C ．4D ．8 【答案】C【解析】解：∵tan20°+msin20°=∴msin20cos20sin20︒︒==︒=12sin2021sin402⎫︒-︒⎪⎝⎭=︒ ()2sin 60201sin402︒-︒==︒ 4 故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，tan A ＋tan BA ·tanB ，则C 的值为（ ） A ．23π-B ．3π-C ．3πD ．23π【答案】C【解析】由已知可得tan A ＋tan BA ·tanB －1)， ∴ tan(A ＋B )＝tan tan1tan tan A BA B+-又0＜A ＋B ＜π，∴ A ＋B ＝23π，∴ C ＝3π.故选：C [举一反三]1．（2022·江苏·高三专题练习）cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒的值为（ ） A ．1B ．0C ．-0.5D ．0.5 【答案】D【解析】()1cos15cos75sin15sin 75cos 1575cos(60)2︒︒+︒︒=︒-︒=-︒=. 故选：D.2．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()cos15sin15,cos15sin15P ︒-︒︒+︒，则tan α=（ ）A ．2B ．2【答案】D【解析】cos15sin1515)︒-︒=︒+︒=cos15sin1515)︒+︒=︒-︒=,即(2P ，则tan α= 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值，该值恰好等于2sin18︒），则sin100cos26cos100sin 26︒︒+︒︒=（ ）A ．． 【答案】D【解析】由已知可得2sin18︒=，故sin18︒=则()sin100cos26cos100sin 26sin126sin 3690cos36︒︒+︒︒=︒=︒+︒=︒ 2212sin 1812=-︒=-⨯=⎝⎭. 故选:D.4．（2022·浙江·高三专题练习）tan1tan 441tan1tan 44︒︒︒︒+=-（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】A【解析】tan1tan 44tan 4511tan1tan 44︒︒︒︒+==-.故选：A.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（ ） A ．1sin21cos81sin69cos92-=-B ．223cos 75cos 152-= C ．2cos10sin203cos20-=D ．()sin5013tan101+= 【答案】CD【解析】因为sin21cos81sin69cos9sin21cos81cos 21sin81-=-︒︒()sin 2181=︒-︒= 故选项A 错误；因为221cos1501cos30cos 75cos 1522+︒+︒-=-=， 故选项B 错误；因为()1cos10cos 3020sin 202︒=︒-︒︒+︒，所以()3cos 20sin 20sin202cos10sin203cos20cos20︒+︒--==故选项C 正确；因为()2sin 301011cos10︒+︒︒==︒， 所以()2sin 402sin 40cos 401cos10s sin5013tan10s in80in50︒+=︒︒⨯==︒︒，故选项D 正确；故选：CD.6．（2022·重庆·三模）cos40cos80cos50sin100︒︒-︒︒=___________. 【答案】12-【解析】解：原式=1cos 40cos80sin 40sin80cos(4080)cos1202︒︒-︒︒=+==-.故答案为：12-7．（2022·全国·高三专题练习）2cos16cos29cos13︒︒-︒的值等于_________. 【解析】()2cos16cos29cos132cos16cos16cos13sin16sin13cos13︒︒-︒=︒︒︒-︒︒-︒cos32cos13sin32sin13cos 45=︒︒-︒︒=︒=8．（2022·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθθ＝_________. 【答案】70︒（答案不唯一）． 【解析】由题意sin 60sin 20sin 60cos 20cos60sin 204cos tan 20tan 60tan 20cos60cos 20cos60cos 20θ︒︒︒︒-︒︒=︒=︒-︒=-=︒︒︒︒sin 402sin 20cos 204sin 204cos701cos60cos 20cos 202︒︒︒===︒=︒︒︒︒， 因此70θ=︒（实际上36070,k k Z θ=⋅︒±︒∈）． 故答案为：70︒（答案不唯一）．9．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan35tan10tan35︒+︒+︒︒=______． 【答案】1【解析】因为()tan10tan 351tan 45tan 10351tan10tan 35︒+︒=︒=︒+︒=-︒︒，所以tan35tan10tan10tan351︒+︒+︒︒=． 故答案为：110．（2022·全国·高三专题练习）()()1tan 201tan 25︒︒+⋅+=________.【答案】2【解析】因为()()1tan 201tan 251tan 25tan 20tan 20tan 25︒︒︒︒︒︒+⋅+=+++，又tan 25tan 20tan 4511tan 20tan 25︒︒︒︒︒+==-，所以tan 25tan 201tan 20tan 25︒︒︒︒+=-， 所以()()1tan 201tan 251tan 25tan 20tan 20tan 252︒︒︒︒︒︒+⋅+=+++=.故答案为：2.➢考点3 角的变换与名的变换1．（2022·河北唐山·二模）已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（ ） A ．2325B ．2325-C ．35D ．35【答案】B【解析】解：令()5sin 06f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则6x π=或76x π=，令()5sin 56f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则23x π=，又02αβπ<<<，()()1f f αβ==， 所以263ππα<<，2736ππβ<<，1sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 65πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为062ππα<-<，26ππβπ<-<，所以cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 6πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()cos cos cos cos sin sin 666666ππππππβαβαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11235525⨯=-=+， 故选：B.2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知cos α=，()sin βα-=，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【答案】C【解析】,αβ均为锐角，即,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,22ππβα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，()cos βα∴-=sin α= ()()()cos cos cos cos sin sin ββααβααβαα∴=-+=---⎡⎤⎣⎦⎛=-= ⎝⎭， 又0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4πβ∴=.故选：C.3．（2022·海南·模拟预测）设α为第一象限角，若1cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B 【答案】A【解析】1cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2π2π,Z 2k k k πα<<+∈，得π22π2π,663k k k Z ππα+<+<+∈， 则sin 0α>，sin()06πα+>，sin()6πα+=，sin sin ()sin()cos cos()sin 666666ππππππαααα⎡⎤=+-=+-+⎢⎥⎣⎦1152=⨯=故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）已知(),0,παβ∈，πcos 2αβ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()tan π7β-=，则tan α=（ ）A ．3-B ．139-C ．3D ．139【答案】B【解析】∵(),0,παβ∈，πcos 2αβ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∴()()ππcos cos =sin 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()tan π7β-=，∴tan 7β=-，又()0,πβ∈，∴,π2πβ⎛∈⎫⎪⎝⎭∵()0,πα∈，∴π,2αβπ⎛⎫ ⎪⎝-∈⎭-∵()sin 0αβ-=>，∴π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴()cos αβ-=()()()sin 1tan cos 2αβαβαβ--==- ∴()()()()17tan tan 132tan tan 11tan tan 9172αββααββαββ--+=-+===---⨯-⨯-. 故选：B. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）AB．．【答案】C【解析】因为3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则411,336παππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又tan 203πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，故311,326παππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故cos cos cos cos sin sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛=+= ⎝⎭故选：C.2．（2022·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ-=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍. A ．1B ．23C ．52D ．72【答案】A【解析】解：由题意可得tan 3α=，1tan()2αβ-=， 所以[]13tan tan()2tan tan ()111tan tan()132ααββααβααβ---=--===+-+⨯， 即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍. 故选：A.3．（2022·湖南株洲·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan θ=（ ）A ．2B ．12C ．3D ．13【答案】C【解析】因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则444πππθ-<-<，故cos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，sin sin sin cos 4444ππππθθθθ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦故cos θ=sin tan 3cos θθθ==. 故选：C.4．（2022·浙江·高三专题练习）已知,36ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，29cos 2610απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B C 【答案】A【解析】解：由已知可得29cos 2cos 12132610παπα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭45，,36ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0,32ππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，3sin 35πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，sin sin sin cos cos sin 6363636πππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知cos()αβ+=5cos213α=-，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（ ）A ．sin 21312α=B ．cos()αβ-C ．cos cos αβ=．11tan tan 8αβ=【答案】AC【解析】解：因为cos()αβ+=5cos213α=-，其中α，β为锐角，所以：12sin 213α，故A 正确；因为sin()αβ+， 所以cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=+++512()(1313=-⨯+B 错误；可得11cos cos [cos()cos()](22αβαβαβ=++-==C 正确；可得11sin sin [cos()cos()](22αβαβαβ=--+=-所以21tan tan 8αβ=，故D 错误．故选：AC ．6．（2022·广东湛江·二模）若()3tan 2αβ-=，tan 2β=，则tan α=___________. 【答案】74-【解析】因为()3tan 2αβ-=，tan 2β=， 所以()()()32tan tan 72tan tan 31tan tan 4122αββααββαββ+-+=-+===-⎡⎤⎣⎦--⋅-⨯， 故答案为：74-7．（2022·全国·高三专题练习）已知02πα<<，4sin 5α，1tan()3αβ-=-，则tan β=_______；sin())4βππβ+=+_______. 【答案】 332【解析】因为02πα<<，4sin 5α，所以3cos 5α==， 所以sin 4tan cos 3ααα==，因为1tan()3αβ-=-，所以tan tan()tan tan[()]1tan tan()ααββααβααβ--=--=+- 41533335411933⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭所以sin()sin tan 33cos sin 1tan 1324βπββπββββ+---====---⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故答案为：3；32.8．（2022·山东烟台·高三期末）已知π(0,)2α∈，cos()4πα+=cos α的值为______．【解析】因π(0,)2α∈，即3444πππα<+<，又cos()4πα+=sin()4πα+==所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444ππππππαααα=+-=+++==.9．（2022·江苏·模拟预测）已知1sin(),(0,)43x x ππ+=∈，则sin x =_________．【解析】由(0,)x π∈，可得5(,)444x πππ+∈，因为1sin()sin 434x ππ+=<=，所以3(,)422x πππ+∈，所以cos()4x π+=又由sin sin[()]))4444x x x x ππππ=+-=++13==10．（2022·广东·三模）已知tan 2α=，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.【解析】原式αα=()222sin cos cos sin αααα⎤--⎦2222222sin cos cos sin cos sin cos sin αααααααα⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦2222tan 1tan 1tan 1tan αααα⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦=.11．（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫-=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________.【答案】17【解析】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=所以cos α==，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：1712．（2022·全国·高三专题练习）已知α，β为锐角，sin α=，()sin αβ-=. （1）求sin 2α的值； （2）求()tan αβ+的值.【解】（1）因为α为锐角，sin α=所以cos α=，所以4sin 22sin cos 25ααα===； （2）因为α，β为锐角，所以π02α<<，π02β<<，所以π02β-<-<，所以ππ22αβ-<-<， 因为()sin 0αβ-=<，所以π02αβ-<-<，所以()cos αβ-=， 所以()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦10⎛= ⎝⎭=，所以cos 10β==所以tan 2cos sin ααα===，tan 7cos sin βββ===， 所以()tan tan 279tan 1tan tan 12713αβαβαβ+++===---⨯。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝
高考数学复习考点知识讲解课件20 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
2 cos(45°－ 15°) ＝
2×
3 2
＝
6 2.
(3)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10°
＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°
＝4sins3in02°－0°10°＝4.
— 返回 —
运用和、差、倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用， 如 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
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(新教材) 高三总复习•数学
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角度 2：辅助角公式的运用 【例 2】 化简：(1)sin1π2－ 3cos1π2； (2)cos15°＋sin15°； (3)sin110°－sin830°； (4)3 15sinx＋3 5cosx.
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(新教材) 高三总复习•数学
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[解析]
(1)a ＝
3 2
cos29°－
1 2
sin29°＝
sin(60°－
29°)
＝
sin31°，
b
＝
1－c2os66°＝
2sin16° 2sin2233°＝ sin33°， c ＝ 1＋2tatann1261°6°＝ 1＋cocssoi1ns62211°66°°＝ 2sin16°cos16°＝ sin32°， 显 然
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(新教材) 高三总复习•数学
2．已知 cosα＝－45，α∈π，32π，则 sinα＋π4等于( C )
A．－
2 10
B．
2 10
2013高三数学总复习同步练习：4-4两角和与差的三角函数
4-4两角和与差的三角函数基础巩固强化1.(文)(2012·豫南九校联考)函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π，则a 的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．±1[答案] D[解析] y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，T ＝2π2|a |＝π|a |＝π，∴a ＝±1. (理)(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2a 3a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin2x 3cos2x1的图象向左平移π6个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心的是( )A ．(π4，0) B ．(π2，0) C ．(π3，0) D ．(π12，0)[答案] B[解析] 根据行列式的定义可知f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)，向左平移π6个单位得到g (x )＝2sin[2(x ＋π6)－π3]＝2sin2x ，所以g (π2)＝2sin(2×π2)＝2sinπ＝0，所以(π2，0)是函数的一个对称中心，选B.2．(2012·平顶山、许昌新乡二调)设△ABC 的三个内角A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] m ·n ＝3sin A cos B ＋3sin B cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin C ＝1－cos C ，∴sin(C ＋π6)＝12，∵0<C <π，∴C ＝2π3.3．(文)(2012·深圳市一调)已知直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73 B.73 C.57 D ．1[答案] D[解析] 由条件得tan α＝2，tan β＝－13， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝2＋(－13)1－2×(－13)＝1. (理)(2011·北京东城区期末)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53 [答案] B[解析] ∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝3，∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13.4．已知实数a 、b 均不为零，a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝tan β，且β－2＝π6，则ba ＝( )A. 3B.33 C ．－ 3 D ．－33[答案] B[解析] tan β＝tan(2＋π6)＝tan2＋331－33tan2＝a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝a tan2＋b a －b tan2，所以a ＝1，b ＝33，故b a ＝33.5．(文)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° [答案] D[解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ， ∴tan A ＝－3，∴A ＝120°.(理)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2， ∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∵sin α＝55，∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C.6．(文)函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92 C.12 D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2 ＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43， 所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.(理)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.17 B ．－17 C.27 D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 7．(文)要使sin α－3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的取值范围是________．[答案] [－1，73][解析] ∵sin α－3cos α＝2(sin αcos π3－sin π3cos α) ＝2sin(α－π3)∈[－2,2]， ∴－2≤4m －64－m≤2.由4m －64－m≥－2得，－1≤m <4； 由4m －64－m≤2得，m ≤73或m >4，∴－1≤m ≤73.(理)函数f (x )＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴是直线x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角的大小为________．[答案] 3π4(或135°)[解析] f (x )的图象的对称轴过其最高点或最低点，∴f (π4)＝±a 2＋b 2，∴a －b 2＝±a 2＋b 2，解得a ＋b ＝0.∴直线ax－by ＋c ＝0的斜率k ＝ab ＝－1，∴直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为135°(或3π4)．8．已知α、β∈(0，π2)，且tan α·tan β<1，比较α＋β与π2的大小，用“<”连接起来为________．[答案] α＋β<π2[解析] ∵tan α·tan β<1，α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α·sin βcos α·cos β<1，∴sin α·sin β<cos α·cos β， ∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2.9．已知tan α、tan β是关于x 的一元二次方程x 2＋4x －5＝0的两实根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.[答案] 1[解析] ∵tan α、tan β为方程x 2＋4x －5＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－4，tan α·tan β＝－5， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β ＝－41＋(－5)＝1. 10．(文)(2012·吉林延吉市质检)已知函数f (x )＝－23sin 2x ＋sin2x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．[解析] (1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)，所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2. (2)列表：(理)(2012·江西赣州市期末)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．[解析] (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin2x －12cos2x －1＝sin(2x －π6)－1，∴f (x )的最小值是－2，最小正周期为π.(2)∵f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，即sin(2C －π6)＝1， ∵0<C <π，－π6<2C －π6<11π6，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵m 与n 共线，∴sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝2a ，①∵c ＝3，由余弦定理得，9＝a 2＋b 2－2ab cos π3，②解方程组①②得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2 3.能力拓展提升11.(文)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45， ∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.(理)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )＝( )A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 两式平方相加得：cos(x －y )＝59，∵x 、y 为锐角，sin x －sin y <0，∴x <y ，∴－π2<x －y <0， ∴sin(x －y )＝－1－cos 2(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝sin (x －y )cos (x －y )＝－2145.12．(2012·东北三校联考)已知sin θ＋cos θ＝43(0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13[答案] B[解析] 由sin θ＋cos θ＝43两边平方得，sin2θ＝79， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－sin2θ＝29，∵0<θ<π4，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23.13．(2012·东城模拟)若sin(π－α)＝45，α∈(0，π2)，则sin2α－cos 2α2的值等于________．[答案] 425[解析] ∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45， 又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝35， ∴sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425.14．(文)(2012·山西高考联合模拟)设f (x )＝a sin(π－2x )＋b sin(π2＋2x )，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤|f (π6)|对一切x ∈R 恒成立，则①f (11π12)＝0 ②f (x )的周期为2π③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交 以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号) [答案] ①③[解析] f (x )＝a sin(π－2x )＋b sin(π2＋2x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)，其中，tan φ＝ba ，∵f (x )≤|f (π6)|对一切x ∈R 恒成立， ∴|f (π6)|＝a 2＋b 2，∴2×π6＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π6，又f (x )的周期T ＝π，故①③正确，②④错误．(理)已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，则sin α＝________.[答案] 3130130[解析] ∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2， 而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45. 又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×(－1213)＝5665.又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.又α∈(π2，π)，∴sin α＝3130130.15．(文)已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值．[解析] ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×(－31010)－55×1010＝22， 又∵π2<A <π，π2<B <π， ∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4.(理)(2011·成都二诊)已知函数f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[－π4，π4]时，函数f (x )的最小值为－3，求实数m 的值． [解析] (1)∵f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m ＝2sin x (32cos x －12sin x )－cos2x ＋m ＝3sin x cos x －sin 2x －cos2x ＋m ＝32sin2x －1－cos2x 2－cos2x ＋m ＝32sin2x －12cos2x －12＋m ＝sin(2x －π6)－12＋m .∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵－π4≤x ≤π4，∴－π2≤2x ≤π2，∴－2π3≤2x －π6≤π3，∴－1≤sin(2x －π6)≤32.∴ f (x )的最小值为－1－12＋m .由已知，有－1－12＋m ＝－3，∴m ＝－32.16．(文)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2cos 2x . (1)求函数f (x )的值域及最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．[解析] (1)f (x )＝32sin2x ＋12cos2x ＋32sin2x －12cos2x －(cos2x ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x －12cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 由－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1得，－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1.可知函数f (x )的值域为[－3,1]． 且函数f (x )的最小正周期为π.(2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )解得， k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(理)已知△ABC 中，|AC |＝1，∠ABC ＝120°，∠BAC ＝θ，记f (θ)＝AB →·BC→， (1)求f (θ)关于θ的表达式； (2)求f (θ)的值域． [解析] (1)由正弦定理有：|BC |sin θ＝1sin120°＝|AB |sin (60°－θ)， ∴|BC |＝sin θsin120°，|AB |＝sin (60°－θ)sin120° ∴f (θ)＝AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC ) ＝23sin θ·sin(60°－θ) ＝23(32cos θ－12sin θ)sin θ ＝13sin(2θ＋π6)－16 (0<θ<π3) (2)∵0<θ<π3，∴π6<2θ＋π6<5π6， ∴12<sin(2θ＋π6)≤1，∴0<f (θ)≤16，即f (θ)的值域为(0，16]．1．(2012·安徽“江南十校”联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b ，则C ＝( )A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°[答案] B[解析] 由正弦定理得，1＋tan A tan B ＝2c b ⇒1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B ⇒sin(A ＋B )＝2sin C cos A ⇒cos A ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，∴sin C ＝22， 又c <a ，∴C <60°，∴C ＝45°，故选B.2．(2012·孝感统考)已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝2sin(32x ＋π4)B ．f (x )＝2sin(32x ＋5π4) C ．f (x )＝2sin(43x ＋2π9) D ．f (x )＝2sin(43x ＋2518π) [答案] B[解析] 由函数的部分图象可知34T ＝5π6－(－π6)＝π，则T ＝4π3，结合选项知ω>0，故ω＝2πT ＝32，排除选项C 、D ；又因为函数图象过点(5π6，2)，代入验证可知只有选项B 满足条件．3．(2012·唐山统考)若β＝α＋30°，则sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β等于( )A.14B.34 C ．cos 2β D ．sin 2α[答案] B[解析] 将β＝α＋30°代入sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β，整理得 sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋(cos αcos30°－sin αsin30°)2＋sin α(cos αcos30°－sin αsin30°)＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)(32cos α－12sin α＋sin α)＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)(32cos α＋12sin α)＝sin 2α＋(32cos α)2－(12sin α)2 ＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.4．若tan(x ＋y )＝35，tan(y －π3)＝13，则tan(x ＋π3)的值是________． [答案] 29[解析] tan(x ＋π3)＝tan[(x ＋y )－(y －π3)] ＝tan (x ＋y )－tan (y －π3)1＋tan (x ＋y )·tan (y －π3)＝35－131＋35×13＝29. 5．(2011·广州调研)已知α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. [答案] －5665[解析] 因为α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，由题易知cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－513，则cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665.6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若|BA→－BC →|＝2，求△ABC 的面积的最大值． [解析] (1)在△ABC 中，∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 根据正弦定理有(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A . ∵sin A >0，∴cos B ＝12， 又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA→－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2. 根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，有4＝a 2＋c 2－ac . ∵a 2＋c 2≥2ac (当且仅当a ＝c 时取“＝”号)， ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， 即当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积的最大值为 3.7．已知函数f (x )＝sin x 2＋2cos 2x 4. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．[解析] (1)∵f (x )＝sin x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＋1＝sin x 2＋cos x2＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋1，∴f (x )的最小正周期为T ＝4π. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 得， (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴ocs B ＝12，∴B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，又∵f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4＋1，∴0<A <2π3，∴π4<A 2＋π4<7π12，又∵sin π4<sin 7π12，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4≤1，∴2<f (A )≤2＋1.8．(2012·绥化市一模)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0.(1)求角B 的值；(2)已知函数f (x )＝2cos(2x －B )，将f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．[解析] (1)由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0，得2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，得2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12， 又B 为三角形的内角，所以B ＝2π3. (2)∵B ＝2π3，∴f (x )＝2cos(2x －2π3)， ∴g (x )＝2cos[2(x ＋π12)－2π3] ＝2cos(2x －π2)＝2sin2x ，由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )得， k π－π4≤x ≤k π＋π4 (k ∈Z )，故f (x )的单调增区间为[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )．9．(2011·晋中一模)已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)．(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．[解析] (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45，于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425. 又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos 2α＝1＋cos2α2＝45， ∴cos α＝255，sin α＝55(α∈(0，π4))． ∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β ＝255×(－2425)－55×725＝－11525.。
高三数学两角和与差二倍角公式
一.给角求值. 例1、计算 sin 40
0
(tan10 3) 的值。
0
练习:（全国高考）tan20°+4sin20°
[点评] “给角求值” 观察非特殊角的 特点，找出和特殊角之间的关系 注意特殊值象1、等，有时需将其转化 成某个角的三角函数，这种技巧在化 简求值中经常用到。
二.给值求值 例2、例2、(P(55) 已知
2、证明及其基本方法 （1）化繁为简法 （2）左右归一法 （3）变更命题法 （4）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求 证结论之间的区别与联系
3、无论是化简还是证明都要注意： （1）角度的特点 （2）函数名的特点 （3）化切为弦是常用手段 （4）升降幂公式的灵活应用
范例解析
一.给式求值
例4:P(55例3)已知a为第二象限角,且
3 1 sin( x ) cos( x ) 4 4 4
求cos4x的值.
[点评] “给值求值” 关注: 3 ( x ),( x ), 与 , 等关系, x与2 x, 4 4 2 2 x与4 x的关系
三.给值求角 7 1 cos , tan ， 例3若 , (0, ) ，
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
19《三角函数两角和与差二倍角公式》
两角和与差，二倍角公式(一)
（一）两角和与差公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan
4、条件等式的证明要注意条件与结论之间的区别与联 系，选用适当方法。 5、无论是化简还是求证，务必非常注意角度的特点。
四、作业：